Предел и непрерывность числовой функции одной переменной с примерами

Содержание:

Предел и непрерывность числовой функции одной переменной

Определения предела по Гейне и по Коши

Для каждого из 6 СПС наряду с

Нам предстоит дать определение , где  каждый — один из б СПС, т.е. всего 36 определений.
Будем считать, что функция f определена в некоторой проколотой окрестности a. Тогда для любой последовательности такой, что , значения f(x_n) определены  для , где — некоторое натуральное число. При этом оговорка для а = а, а + 0, а — 0 означает , для бесконечных символов оговорку можно опустить.

Определение 3.1 (определение предела функции по Гейне). Пусть функция f определена в некоторой проколотой окрестности a. Тогда говорят, что , если для любой последовательности такой, что  выполняется равенство

Например:

I., если существует такое, что f определена при , и для любой последовательности такой, что , выполняется равенство

II., если существует такое, что f(x) определена при , и для любой последовательности такой, что , выполняется равенство

III., если существует такое, что f определена при , и для любой последовательности такой, что , выполняется равенство 

Аналогично можно сформулировать остальные 33 определения.

При исследовании предела f при существенно поведение f лишь в некоторой проколотой окрестности а. Если a = а, а + 0, а — 0, то в точке а функция f не обязана быть определённой; если , то значение f(а) не обязано совпадать со значением предела.

Пример 3.1.

Во всех трёх случаях , так как f определена в некоторой проколотой окрестности точки 0 и для любой последовательности такой, что , выполняется равенство С точки зрения предела при эти функции неразличимы, так как совпадают в некоторой проколотой окрестности точки 0. Для сравнения: две последовательности неразличимы с точки зрения предела, если они совпадают начиная с некоторого номера.

Аналогично если f(x) = С в проколотой окрестности СПС a (постоянная функция), то

Пример 3.2. Для функции при любом  

□Для любой последовательности такой, что и , имеем

Значит,

Аналогично можно доказать, что

Пример 3.3. При построении различных контрпримеров в математическом анализе часто рассматривается функция Дирихле:

График этой функции нарисовать невозможно — это две «сплошь дырявые» параллельные прямые. Тем не менее определение 2.1 выполнено, и это — совершенно «полноправная» функция. Докажем, что ни при каком не существует

□Если бы существовал то для любой последовательности такой, что , выполнялось бы равенство Легко показать, что можно построить две последовательности такие, что   причём при всех  Если а — рациональное число, то можно взять где — некоторое положительное иррациональное число. Если а — иррациональное число, то можно взять — последовательность десятичных приближений а сверху (лемма 2.11). Тогда при всех выполняются равенства , т.е. одновременно b = 1 и b = 0. Полученное противоречие показывает что  не существует (ни конечный, ни бесконечный). ■

3амечание. Так как , то мы фактически доказали, что не существует . Аналогично можно доказать, что не существует

Метод, применённый в доказательстве утверждения примера 3.3, часто используется при доказательстве отсутствия предела функции. Для того чтобы доказать, что не существует, достаточно выбрать две последовательности и такие, что и при этом различны. Если бы существовал то имели бы место равенства  что не выполняется. Значит, не существует.

Определение 3.2 (определение предела функции по Коши). Пусть каждый — один из б СПС. Говорят, что , если для любого > 0 найдётся такое, что для всех соответствующие значения принадлежат

Всего здесь 36 определений. Например:

Аналогично можно сформулировать остальные 32 определения. В определении предела по Коши число зависит от ,

Докажем, что определения предела функции по Гейне и Коши эквивалентны.

Теорема 3.1. Пусть каждый — один из 6 СПС. Тогда в смысле определения 3.1  в смысле определения 3.2.

Пусть по Коши. Тогда

Рассмотрим любую последовательность такую, что Для , найденного по данному , выберем номер такой, что Тогда Итак,

Это и означает, что . Так - любая, то по Гейне.

Пусть по Гейне. Докажем от противного, что по Коши. Если это не так, то

Рассмотрим сначала случай, когда а — конечный символ (а, а + 0 или а — 0, ). Возьмём Найденное число зависит от n, т.е. мы нашли некоторую последовательность

Ясно, что по теореме 2.3 (если а = а, то  если а = а + 0, то , если а = а - 0, то . Тогда , т.е.

что противоречит (3.1). Полученное противоречие показывает, что по Коши.

Если или , то доказательство аналогично, только берём Если если если Значит, , и завершение доказательства аналогично. ■

Отметим, что в доказательстве теоремы 3.1 мы не использовали никакие свойства предела функции. Поэтому все свойства предела функции можно выводить как из определения 3.1, так и из определения 3.2, никаких нарушений логической последовательности изложения не будет.

Пример 3.4. Рассмотрим функцию , где f(x) — функция Дирихле из примера 3.3, т.е.

Докажем, что

□Первый способ (по определению Коши). Так как для всех х выполняется неравенство , то при также и . Значит,

По определению 3.2

Второй способ (по определению Гейне). Для любой последовательности такой, что выполняется равенство , так как — произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую (лемма 2.9). Значит,

Определение 3.3. Функция f называется бесконечно малой при , если Функция f называется бесконечно большой при , если

Пример 3.5. Функция f(x) = х — бесконечно малая при , бесконечно большая при

Она не является ни бесконечно малой, ни бесконечно большой при

Свойства предела функции

Лемма 3.1 (о сохранении знака). Если , где а —один из 6 СПС, то существует такое, что для всех выполняется равенство Иными словами, если b > 0, то  если b < 0, то

□Пусть > 0. Тогда ио определению 3.2 при = b имеем: т.е. 0 < В частности, отсюда следует, что выполняется неравенство f{x) > 0. Случай b < 0 разбирается аналогично

Теорема 3.2 (об арифметических операциях с пределами функций). Пусть , где — один из 6 СПС. Тогда

□Докажем 3-е утверждение. Так как , то по лемме 3.1 существует такое, что , и определена в . Тогда для любой последовательности такой, что , выполняются равенства значит, Это и означает, что 

1-е и 2-е утверждения доказываются аналогично (без разбора оговорки ).  

Следствия. В условиях теоремы 3.2:

Теорема 3.3 (предельный переход в неравенстве). Если , причем существует такое , что при всех выполняется неравенство

□Рассмотрим любую последовательность такую, что Тогда  значит, Так как  то по теореме 2.2

3амечание. Если , то (возможно, b = с). Например, выполняется неравенство , но

Теорема 3.4 («теорема о двух милиционерах для функций»). Если , причем

то и

□Рассмотрим любую последовательность такую, что Тогда  значит, Но  поэтому по теореме 2.3 Так как — любая, то

Лемма 3.2.

□1) Рассмотрим любую последовательность такую, что Тогда  , значит, Ho , noэтому по лемме 2.15 Так как — любая, то

2) Доказательство аналогично.    ■

Лемма 3.3. Пусть функция f ограничена в некоторой , а функция g — бесконечно малая при  Тогда функция fg — бесконечно малая при

□Рассмотрим любую последовательность такую, что Тогда  Значит, последовательность f(x_n) ограничена при , т.е. по лемме 2.3 ограничена. Далее, Поэтому (произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую). Так как последовательность — любая, то

Лемма 3.4. Если , то существует  такое, что f ограничена в

□Возьмём в определении предела по Коши

откуда следует, что т.е. функция f ограничена в

Лемма 3.5.

Очевидно, так как если для любых  для всех и для всех

Пусть Тогда

Тогда если взять

Лемма 3.6.

□Доказывается аналогично, нужно взять

Лемма 3.7. 1) Если функция f бесконечно большая при  но, то функция — бесконечно малая при

2) Если функция f бесконечно малая при , то функция —бесконечно большая при

□Докажем сначала вторую часть утверждения. Рассмотрим любую последовательность такую, что  Тогда Но значит, Тогда по лемме 2.13 последовательность — бесконечно большая. Так как последовательность —любая, то

Первая часть доказывается аналогично. Надо только учесть, что так как , то, взяв в определении предела по Коши е = 1, получим

т.е. заведомо

Теорема 3.5 (о замене переменной под знаком предела). Пусть в некоторой  Пусть далее Тогда

□Рассмотрим любую последовательность такую, что Тогда Рассмотрим последовательность Найдётся номер такой, что , значит, Тогда , т.е. Так как последовательность —любая, то

Замечание 1. Здесь каждый из символов — один из 6 СПС. Итого имеем 216 утверждений.

Замечание 2. Условие в теореме 3.5 существенно. Рассмотрим следующий пример. Пусть Тогда  но условие  не выполнено. Пусть  Мы знаем, что (пример 3.1). Но , поэтому  Теорема 3.5 не выполняется, так как не выполнено одно из её условий.

Пример 3.6. Доказать, что

□Применим теорему 3.5. Внутренняя функция (это следует из примера 3.2, лемм 3.5 и 3.7, а также из того, что f(x) > 0 при х > 0). При этом проверять условие не имеет смысла. Так как для всех и, то из примера 3.2 и леммы 3.2 следует, что , где внешняя функция Значит,

Теорема 3.6 (критерий Коши существования конечного предела функции). Пусть функция f определена в некоторой проколотой окрестности a, где а — один из 6 СПС. Тогда существует конечный  (условие Коши, являющееся аналогом фундаментальности в формулировке критерия Коши сходимости последовательности).

Пусть Тогда

Окончательно для любых выполняется неравенство

Условие Коши выполнено.

Пусть Рассмотрим любую последовательность такую, что Для данного

Тогда

Последовательность фундаментальна, по критерию Коши сходимости последовательности она сходится. Остаётся доказать, что для любых последовательностей таких, что , предел один и тот же.

Пусть для двух таких последовательностей

Рассмотрим последовательность , полученную «перемешиванием» последовательностей . Очевидно, её предел равен а (вне любой не более конечного числа и не более конечного числа , значит, не более конечного числа членов «перемешанной» последовательности). Но последовательность

не имеет предела, так как имеет два конечных частичных предела . Полученное противоречие показывает, что существует конечный

Пример 3.7. Докажем при помощи критерия Коши, что ни при каком не существует , где f — функция Дирихле (см. пример 3.3).

□Отрицание условия Коши формулируется так:

Это имеет место при , так как в любой найдутся как рациональное число х', так и иррациональное число х". При этом , значит,

Непрерывность функции в точке

Определение 3.4. Пусть функция f определена в некоторой окрестности точки . Тогда f называется непрерывной в точке а, если существует

На языке Коши (определение предела 3.2) непрерывность f в точке а означает, что

Оговорка (соответствующая неравенству здесь уже не нужна, так как при х = а имеем , и нужное неравенство выполняется автоматически.

На языке Гейне (определение предела 3.1) непрерывность f в точке а означает, что для любой последовательности такой, что , выполняется равенство

Оговорка здесь опять-таки не нужна. В самом деле, если принимает значения, равные а, то в последовательности f(x_n) появляются члены, равные f(а). Если их конечное число, то они ни на что не влияют. Если же их бесконечное число, то последовательность f(x_n) приобретёт частичный предел, равный f(а). Если и без этих членов  то новых частичных пределов не появится, предел останется равным f(а). Если без этих членов утверждение  f(a) было неверным, то оно останется неверным и после учёта этих членов.

Определение 3.5. Пусть и функция / определена в некоторой окрестности а + 0 (или а —0). Тогда f называется непрерывной справа (соответственно слева) в точке а, если существует (соответственно

В дальнейшем будем применять следующие обозначения:

Очевидно, функция f непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда (следует из леммы 3.5). Это можно сформулировать иначе: f непрерывна в точке а тогда и только тогда, когда она непрерывна в этой точке и слева, и справа.

Определение 3.6. Функция f называется разрывной в точке , если она определена в некоторой проколотой окрестности точки а и не является непрерывной в этой точке. Точка а при этом называется точкой разрыва функции f.

Определение 3.7. Если в точке разрыва а функции f существуют конечные , то эта точка называется точкой разрыва первого рода. Величина называется скачком функции в точке а. Если в точке разрыва первого рода , то разрыв называется устранимым. Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

Замечание 1. Требование определения функции в некоторой проколотой окрестности точки а существенно. Например, функция — не определена при , поэтому она не является разрывной, например, в точке 1, хотя, конечно, не является и непрерывной в этой точке.

Замечание 2. В точке устранимого разрыва , но и непрерывности нет. Поэтому либо (как, например, точка а = 0 в примере 3.1а), либо f не определена в точке а (как, например, точка а = 0 в примере 3.1в). Если в точке устранимого разрыва доопределить или переопределить f(a) общим значением , то получится функция, непрерывная в точке а (как говорят «разрыв устранился»). Пример 3.16 представляет собой устранение разрыва в точке а = 0 для примеров 3.1а и 3.1b.

Пример 3.8. Рассмотрим функцию (график изображен на рис. 2.4). Ясно, что при х > 0, а если две функции совпадают в , то они неразличимы с точки зрения предела при ). Аналогично, = -1. Поэтому а = 0 — точка разрыва первого рода, скачок в этой точке равен 2.

Пример 3.9. Рассмотрим функцию (график изображен на рис. 2.2). Если , то = а — 1. Поэтому любая целая точка а является точкой разрыва первого рода. Скачок в этой точке равен 1. Отметим, что в этой точке функция f является непрерывной справа, но не является непрерывной слева.

Пример 3.10. Для функции Дирихле (см. пример 3.3 и замечание к нему) любая точка а является точкой разрыва второго рода, так как не существуют конечные пределы слева и справа в этой точке. Такие разрывы второго рода обычно называют ограниченными, так как функция ограничена в некоторой окрестности каждой такой точки.

Пример 3.11. Рассмотрим функцию (график изображен на рис. 3.4). Из леммы 3.7 и примера 3.2 следует, что (учитывая знаки

Поэтому точка а = 0 является точкой разрыва второго рода (это — неограниченный разрыв).

Из теорем об арифметических операциях с пределами следует

Теорема 3.7. Если функции и  непрерывны в точке а, то функции непрерывны в точке а; если при этом , то и функция непрерывна в точке а.

Отмстим, что функции непрерывны в любой точке (замечание после примера 3.1 и пример 3.2). Поэтому из теоремы 3.7 следует, что любой многочлен непрерывен в любой точке, любая рациональная функция (отношение двух многочленов) непрерывна в любой точке, где знаменатель не обращается в нуль.

Пример 3.12. Найти пределы функции

X 0.1 I о

а) при    б) при

в) при    г) при

а) Функция непрерывна в точке 0, как рациональная функция, знаменатель которой не обращается в нуль при х = 0. Поэтому

б) И числитель, и знаменатель обращаются в нуль при х = 2. Но легко видеть, что при  функция совпадает с Функция  непрерывна в точке 2, и  Так как в проколотой окрестности точки 2, то с точки зрения предела при они неразличимы, и

в) Рассмотрим функцию Эта функция непрерывна в точке 4, и По лемме 3.7 (здесь использовано то, что в
г)  (в силу теоремы 3.2 и леммы 3.7). 

Теорема 3.8 (о переходе к пределу под знаком непрерывной функции). Пусть а функция  непрерывна в точке b. Тогда

Последнее равенство может быть записано в виде

(знак предела и знак непрерывной функции можно поменять местами).

□ Рассмотрим любую последовательность такую, что Тогда Рассмотрим последовательность В силу определения непрерывности на языке Гейне т.е. Так как последовательность —любая, то

3 а м e ч а н и е. Эта теорема аналогична теореме 3.5, но не следует сразу из неё, так как в условии нет оговорки

Следствие (непрерывность сложной функции).

Если функция непрерывна в точке а функция g непрерывна в точке то сложная функция  непрерывна в точке с.

□ По теореме 3.8,

Пределы монотонных функций

Определение 3.8. Функция называется строго (или нестрого) возрастающей на множестве если для любых таких, что выполняется неравенство (соответственноФункцияназывается строго (или нестрого) убывающей на множестве если для любых таких, что  выполняется неравенство (соответственно ). Все такие функции называются монотонными на множестве X.

Пример 3.13. Функция является строго убывающей на и на , но не является монотонной на всей области определения

Теорема 3.9 (о пределах монотонных функций).

1) Пусть функция возрастает (вообще говоря, нестрого) на где a — конечно или конечно или b = . Тогда существует если ограничена сверху на то предел конечен, если нет — равен Кроме того, существует если ограничена снизу на  то он конечен, если нет — равен

2) Пусть функция убывает (вообще говоря, нестрого) на где а — конечно или — конечно или b = Тогда существуют  (с аналогичными оговорками).

3 а м е ч а н и е. Если то под понимаем тот же символ Если то под понимаем 

Доказательство теоремы проводим для случая возрастающей функции,(остальные случаи доказываются аналогично).

Рассмотрим любую последовательность такую, что Нужно доказать, что

1) Пусть т.е. ограничена сверху на  Тогда

 

В определении точной верхней грани мы заменили для удобства число Так как (см. рис. 3.5). Тогда также Окончательно 

значит, Поэтому

2) Пусть т.е. неограничена сверху на Тогда Так как

(см. рис. 3.5). Тогда

Окончательно

Значит,

Эта теорема распространяет теорему Вейерштрасса 2.4 и её аналог 2.6 на пределы функций.

Лемма 3.8. Если функция монотонна на интервале (конечном или бесконечном), то её разрывы во внутренних точках могут быть только первого рода.

Пусть для определённости возрастает на (вообще говоря, нестрого); Тогда возрастает на и ограничена сверху (так как для всех ).
По теореме 3.9 существует конечный Аналогично существует конечный Поэтому если — точка разрыва, то — первого рода. 

Лемма 3.9. Функция , монотонная на интервале конечном или бесконечном, не может иметь точек устранимого разрыва на

Пусть для определённости  возрастает на (вообще говоря, нестрого); Для всех имеет место неравенство Переходя к пределу в неравенстве (теорема 3.3), получим (предел существует по лемме 3.8). Аналогично Поэтому если то равно их общему значению, и непрерывна в точке

Теорема 3.10. Множество точек разрыва функции , монотонной на интервале (конечном или бесконечном) — не более чем счётно.

Каждая точка разрыва — первого рода, неустранимая. Поэтому ей соответствует интервал на оси ординат. В силу монотонности / такие интервалы, соответствующие различным точкам разрыва, не пересекаются. Выберем в каждом из них рациональную точку (теорема 1.2 о плотности множества рациональных чисел во множестве действительных чисел). Все эти рациональные точки различны. Получим взаимно однозначное соответствие между множеством точек разрыва и подмножеством множества Q, которое не более чем счётно.  

Пример 3.14. Функция  на интервале  имеет счетное множество точек разрыва, соответствующее целым значениям функции на (точки ). Эта функция нестрого убывает на (0; 1), её график изображён на рис. 3.6.

3 а м е ч а н и е. Немонотонная функция может иметь несчётное множество точек разрыва. Например, функция Дирихле (примеры 3.3 и 3.10) разрывна в каждой точке.

Свойства функций, непрерывных на промежутках

Определение 3.9. Промежутком числовой прямой называется содержащее более одной точки множество которое вместе с любыми двумя точками содержит целиком отрезок с концами в этих точках.

Лемма 3.10. Множество является промежутком есть одно из множеств вида

Утверждение очевидно.

Пусть (так как X содержит более одной точки, то a < b). Если множество X ограничено, причём Но так как

Значит,

Если множество X ограничено, но С другой стороны,

ТогдаТак как — любая точка то Значит, 

Аналогично разбираются остальные случаи. Например, если множество X неограничено сверху и ограничено снизу, причём С другой стороны,

Тогда Так как — любая точка то Значит,

Определение 3.10. Функцияопределенная на промежутке, называется непрерывной на этом промежутке, если она непрерывна во всех его внутренних точках, а в концах промежутка, если они принадлежат промежутку, имеет место соответствующая односторонняя непрерывность

Так, функция, определенная на отрезке называется непрерывной наесли она непрерывна во всех точках интервала непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке b.

Теорема 3.11 (первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке  то она ограничена на

Пусть не является ограниченной на Тогда

Возьмём Тогда полученные значения х образуют последовательность такую, что при всех  выполняется неравенство По теореме Больцано-Вейсрштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность Так как все то и (следствие из теоремы 2.2). Но непрерывна в точке значит Если — один из концов отрезка, например, то непрерывна справа в точке а. Равенство сохраняется.

Но (так как ...), поэтому Полученное противоречие показывает, что ограничена на   

Пример 3.15. Функция, непрерывная на конечном интервале, не обязана быть ограниченной. Рассмотрим функцию Она неограничена, так как
Пример 3.16. Функция, не являющаяся непрерывной на отрезке не обязана быть ограниченной. Рассмотрим функцию  Она разрывна в точке х = 0 и неограничена на  (аналогично примеру 3.15). График этой функции изображён на рис. 3.7.

Примеры 3.15 и 3.16 показывают, что в теореме 3.11 оба условия: отрезок как область определения и непрерывность функции — являются существенными.

Теорема 3.12 (вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке то существуют точки на отрезке такие, что  (функция достигает своих точных верхней и нижней граней).

Докажем, что достигается (для точной нижней грани доказательство аналогично).

По определению точной верхней грани, которая существует по теореме 3.11,

Рассмотрим Тогда полученные значения образуют последовательность такую, что при всех выполняется неравенство

По теореме 2.3

По теореме Больцано-Вейерштрасса можно выделить сходящуюся подпоследовательность Нонепрерывна в точке значит, Случай, когда — один из концов отрезка, разбирается так же, как и в доказательстве теоремы 3.11. С другой стороны,  Значит, и есть та точка, где достигается точная верхняя грань

Пример 3.17. Функция, непрерывная на конечном интервале, может быть ограниченной, но не достигать ни точной верхней, ни точной нижней грани. Рассмотрим функцию Она ограничена: ни одна из точных граней не достигается.

Пример 3.18. Функция, не являющаяся непрерывной на отрезке может быть ограниченной, но не достигать ни точной верхней, ни точной нижней грани. Рассмотрим функцию  Она разрывна в точках х = ±1 (в концах отрезка нет односторонней непрерывности); ни одна из точных граней не достигается.

Теорема 3.13 (Больцано-Коши). Если функция непрерывна на отрезке и принимает в точках значения разного знака (т.е.), то существует точка с такая, что

Рассмотрим точку — середину отрезка. Если то искомая точка найдена. Если нет, то выберем — ту из половинок отрезка на концах которой принимает значения разных знаков. Рассмотрим теперь точку —  середину отрезка Если то искомая точка найдена. Если нет, то выберем — ту из половинок на концах которой принимает значения разных знаков, и т.д. Если на каком-то n-м шаге то искомая точка найдена. В противном случае получим последовательность вложенных отрезков такую, что на концах каждого из отрезков функция принимает значения разных знаков. Длина n-го отрезка равна—  стремится к нулю по лемме 2.10. 

По теореме Кантора о вложенных отрезках существует единственная точка с, принадлежащая всем отрезкам Ясно, что с Докажем, что Пусть это не так, и, например, (если с — один из кондов отрезка, то соответствующий предел односторонний). По лемме 3.1

(в самой точке с неравенство выполняется автоматически, так как если с — один из концов отрезка, то соответствующая окрестность — односторонняя). Так как найдётся номер по такой, что при всех  длина отрезка меньше, чем то при всех отрезок целиком лежит в (см. рис. 2.10). Следовательно, для всех выполняется неравенство Это противоречит тому, что на концах функция принимает значения разных знаков. Значит,  = 0. Ясно также, что так как

Пример 3.19. Для разрывных на функций теорема не обязана выполняться. Рассмотрим функцию

На концах отрезка [— 1; 1] функция принимает значения разных знаков, но нигде на ( — 1; 1) не обращается в нуль.

Теорема 3.14 (о промежуточных значениях непрерывной функции). Если функция непрерывна на отрезке то для любого значения заключённого между и существует точка такая, что

Если или то или соответственно. В противном случае рассмотрим функцию  Тогда числа имеют разный знак; по теореме Больцано-Коши найдётся точка такая, что

Теорема 3.15. Пусть функция непрерывна на отрезке Тогда множество её значений на есть отрезок  где

По теоремам 3.11 и 3.12 m и М — конечны, и найдутся точки из отрезка такие, что М. Рассмотрим на отрезке (или смотря что больше). По теореме 3.14

Значит, поэтому

Приведём теперь аккуратное доказательство теоремы, которую в школьном курсе алгебры обычно считают очевидной.

Теорема 3.16. Любой многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

Рассмотрим многочлен  (для определённости считаем, что ).

Пусть т.е.  Ясно, что Тогда, так как 

 (символические записи соответствующие записи предлагались в качестве упражнения 2.14 в случае последовательностей, для функций доказательство проводится стандартным образом сведением к последовательностям и применением определения предела функции по Гейне).

Значит, взяв в определении предела Е = 1:

Выберем фиксированные точки Тогда По теореме Больцано-Коши найдётся число такое, что

Лемма 3.11. Если функция непрерывна на промежутке I, то её множество значений — также промежуток или состоит из одной точки (для постоянной функции).

Пусть Тогда найдутся точки такие, что Так как непрерывна на  то по теореме 3.14

откуда следует, что Значит,  — промежуток.

Лемма эта необратима, так как для разрывной на промежутке функции множество значений может быть также промежутком.

Пример 3.20. Рассмотрим функцию

Докажем, что эта функция непрерывна в точке х = 0, разрывна в остальных точках.

В самом деле, легко видеть, что

Функция g ограничена, поэтому (произведение ограниченной функции g на бесконечно малую х). Значит, функция непрерывна в точке х = 0.

Далее, для любого числа найдутся последовательности такие, что  причем  (см. пример 3.3). Так как то при  предел  не существует, следовательно, разрывна в любой точке

Вместе с тем ясно, что множество значений на отрезке [—1; 1] — это отрезок [-1; 1].

Для монотонных функций лемма 3.11 обратима.

Лемма 3.12. Пусть функция нестрого монотонна и не является постоянной на промежутке I. Тогда непрерывна на I её множество значений — промежуток.

Это утверждение следует из леммы 3.11. 

Для определённости считаем, что  возрастает на I. Пусть разрывна во внутренней точке промежутка I. Так как разрыв первого рола и неустранимый (леммы 3.8 и 3.9), то

Рассмотрим точки такие, что Тогда (см рис. 3.8)  Ясно, что но весь отрезок  не может принадлежать (из всех точек интервала     (0)) множеству принадлежит разве что точка если она не совпадает с Значит, не является промежутком.

Аналогично разбирается случай разрыва в конце промежутка I, если этот конец принадлежит промежутку. Например, пусть левый конец и в этой точке функция не является непрерывной справа в точке а. Рассмотрим точку такую, что Тогда (см. рис. 3.9) Точки принадлежат , но отрезок не принадлежит целиком . Значит, не является промежутком.  

Теорема об обратной функции

Определение 3.11. Пусть — функция с областью определения и множеством значений , причём соответствие между X и Y, осуществляемое функцией , взаимно однозначно, т.е. любому соответствует единственный такой, что Тогда функция называется обратимой на X. Обратное соответствие определяет также функцию с областью определения Y и множеством значений X, которая называется обратной к функции . Обратная функция обозначается .

Особенностями этой ситуации по сравнению с общим определением 2.1 является наличие взаимно однозначного (биективного) соответствия между а также совпадение (см. рис. 3.10, сравнить его с рис. 2.1).

Пример 3.21. Пусть X — множество человек, присутствующих на лекции, — год рождения х. Если в качестве Y рассмотреть подмножество , совпадающее с , то функция не является обратимой, так как в аудитории присутствуют разные люди, имеющие один и тот же год рождения (см. пример 2.1).

Теорема 3.17 (об обратной функции). Пусть функция строго монотонна и непрерывна на промежутке I. Тогда на промежутке определена, строго монотонна в ту же сторону и непрерывна обратная функция .

Пусть для определённости строго возрастает на I. По лемме 3.11, J — промежуток. Покажем, что осуществляет взаимно однозначное соответствие между I и J. Пусть это не так, т.е. существуют  такие, что  Но если для определённости — противоречие.

Значит, существует обратная функция . При этом  Покажем, что  строго возрастает на J. Пусть Докажем, чтоПусть это не так, т.е. Тогда, в силу возрастания функции , выполняется неравенство — противоречие.

Так как — промежуток и монотонна на J, то по лемме 3.12 непрерывна на J.   

Пример 3.22. Рассмотрим функцию при нечётном натуральном n. Ясно, что функция строго возрастает и непрерывна на

Отсюда следует, что принимает сколь угодно большие по модулю как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому — промежуток, неограниченный как сверху, так и снизу, т.е. . По теореме 3.17 на определена, строго возрастает и непрерывна обратная функция , которая называется корнем п-й степени (обозначение ).

Если  Обозначая аргумент обратной функции традиционно через х, получим Переобозначение х и у соответствует симметричному отражению плоскости относительно биссектрисы I и III координатных углов, поэтому графики симметричны относительно этой биссектрисы (см. рис. 3.11).

Пример 3.23. Рассмотрим функцию при чётном натуральном n. Она необратима, так как не осуществляет взаимно однозначное соответствие между  Будем теперь считать строго возрастает и непрерывна на . Далее,

Тогда — промежуток, содержащий 0, не содержащий отрицательных чисел и неограниченный сверху, т.е. По теореме 3.17 на определена, строго возрастает и непрерывна обратная функция , которая называется корнем n-й степени (обозначение ).

Графики функций изображены на рис. 3.12.

Как и в курсе элементарной алгебры, корень n-й степени, извлеченный из неотрицательного числа и принимающий неотрицательные значения, называется арифметическим корнем. Свойства арифметического корня n-й степени, известные из курса алгебры, сохраняются вместе с доказательствами (в школьном курсе не устанавливается лишь существование корня из любого положительного числа). Аналогично элементарному курсу определяется степень с рациональным показателем положительного действительного числа доказывается независимость этого выражения от представления рационального числа в виде отношения двух целых чисел, а также доказываются известные свойства степени с рациональным показателем.

Приведём некоторые примеры решения задач на пределы последовательностей и пределы функций, содержащих корни n-й степени и степени с рациональным показателем.
 

Пример 3.24. Доказать, что:

1) если

2) если причём то

 

Сформулированное утверждение фактически означает, что:

1) функция непрерывна в любой точке а > 0;

2) функция непрерывна справа в точке 0.

Приведём также непосредственные доказательства этих утверждений.

1) Если , то по лемме 2.6  и  определён. Так как то  Значит,

2) тогда если  значит,

Пример 3.25. Доказать, что для любого рационального числа г > 0 имеет место равенство

Сначала докажем, что для любого натурального m

В самом деле, неравенство равносильно
Поэтому
Равенство (3.2) доказано.

Если г — любое положительное рациональное число, то найдётся натуральное число m такое, что (если  где ). Тогда при выполняются неравенства

Из (3.2) и теоремы 2.3 следует, что

Пример 3.26. При всех а > 0 имеет место равенство

Сначала рассмотрим случай а > 1. Так как то Тогда, применяя неравенство Бернулли, имеем

откуда 

По теореме 2.3

п—юо    п—юо

Если 0 < а < 1. то Тогда из предыдущего следует, что

При а = 1 утверждение очевидно.   

Пример 3.27. Доказать, что для любого рационального числа г > 0 имеет место равенство

Сначала докажем, что для любого натурального m

В самом деле, неравенство равносильно Поэтому

Равенство (3.3) доказано.

Если г — любое положительное рациональное число, то аналогично примеру 3.25 найдётся натуральное число m такое, что Тогда при х > 0 выполняются неравенства

Из (3.3) и теоремы 3.4 следует, что 

• Заказать решение задач по высшей математике

Тригонометрические функции

После аккуратного определения корня n-й степени нашей ближайшей задачей будет определение всех элементарных функций, применяемых в алгебре (тригонометрические и обратные тригонометрические функции, показательная функция, логарифмы).

Определение тригонометрических функций числового аргумента — то же, что в элементарной тригонометрии. Пусть — точка плоскости, имеющая в прямоугольной системе координаты (1;0), — точка единичной окружности с центром в начале координат такая, что поворот вектора против часовой стрелки на угол х радиан дает вектор Тогда sin х и cos х — это соответственно ордината и абсцисса точки (см. рис. 3.13),  Естественно, имеют место неравенства для всех а также все известные формулы тригонометрии: и т.д.

Конечно, такое определение тригонометрических функций нельзя признать аккуратным. Дело в том, что угол х радиан — это центральный угол такой, что длина соответствующей дуги окружности единичного радиуса равна х. А определения длины Рис. 3.13    дуги кривой линии у нас пока нет.

Это определение будет дано в главе VI. Строго говоря, мы должны пока воздержаться от рассмотрения тригонометрических и обратных тригонометрических функций и весь материал, к ним относящийся, считать полностью иллюстративным. Только после того, как будет развита соответствующая теория, можно говорить о тригонометрических функциях (кстати, и о числе , связанном с длиной окружности единичного радиуса). На этом пути возникают существенные трудности, и в учебных пособиях по математическому анализу, как правило, этот момент вообще игнорируется. Мы обращаем внимание на проблему, но, подобно большинству авторов аналогичных пособий, не будем пытаться построить строгую теорию, исключающую ссылки на геометрическую наглядность.

Лемма 3.13. Для любого действительного числа х выполняется неравенство

Достаточно рассмотреть случай В силу нечётности функций х и sin x: достаточно доказать, что

Но если то поэтому остаётся разобрать случай  В этом случае (см. рис. 3.14):

Лемма 3.14.

1) Функция строго возрастает на

2) функция строго убывает на

3) функция строго возрастает на

4) функция строго убывает на

1) Пусть Тогда

(так как и ).

3) Пусть Тогда

(так как  0).

Пункты 2) и 4) рассматриваются аналогично.    ■

Теорема 3.18. Функции  непрерывны каждая на своей области определения.

□ В силу леммы 3.13

Поэтому для любого

функция непрерывна в любой точке а. Непрерывность функции в любой точке доказывается аналогично.

Функция непрерывна в любой точке, где т.е. при (по теореме о непрерывности частного двух непрерывных функций). Аналогично, функция непрерывна в любой точке

Теорема 3.19 (первый замечательный предел).

□ Функция определена при Если то (по лемме 3.13), кроме того,   (см. рис. 3.15).

В самом деле, (прямая — касательная к окружности). Далее,  (длина ломаной, объемлющей дугу окружности, больше длины этой дуги). В силу очевидной симметрии относительно прямой имеет место неравенство для «половинок»: т.е.

Итак, при имеет место неравенство  Делим все части неравенства на положительное число sin х:

В силу чётности функций последнее неравенство выполнено при  

Так как функция непрерывна в точке то  и по теореме 3.4 

Определим теперь обратные тригонометрические функции.

Так как функция непрерывна и строго возрастает на  причём всегда то множество значений функции sin х, которое является промежутком, может быть только отрезком [—1; 1]. Поэтому по теореме об обратной функции на [-1; 1] определена, строго возрастает и непрерывна обратная функция

Так как функция непрерывна и строго убывает на причём всегда  то Поэтому по теореме об обратной функции на [-1; 1] определена, строго убывает и непрерывна обратная функция

Построим график функции (см. рис. 3.16).

Лемма 3.15. Для всех имеет место равенство

□ Пусть Ясно, что  так как  то  Имеем далее   Так как а и b лежат на

 то из равенства  следует 

Так как функция непрерывна и строго возрастает на  (так как ),

(аналогично), то — промежуток, неограниченный как сверху, так и снизу. Значит, Поэтому по теореме об обратной функции на определена, строго возрастает и непрерывна обратная функция  

Так как функция непрерывна и строго убывает на  По теореме об обратной функции на определена, строго убывает и непрерывна обратная функция

Аналогично лемме 3.15 доказывается

Лемма 3.16. Для всех имеет место равенство

Из школьного курса алгебры известно, что для всех х из областей определения соответствующих функций выполняются равенства:

Таким образом, — функции нечётные (обратные функции к нечётным функциям, определённым на множествах, симметричных относительно точки 0); и не являются ни чётными, ни нечётными функциями (это неудивительно, так как соответствующие области определения для которых рассматриваются обратные функции, несимметричны относительно точки 0).

Приведём некоторые примеры решения задач на пределы функций, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Пример 3.28. Доказать, что не существует.

□ Рассмотрим последовательности Ясно, что   При этом Это значит, что не существует а значит, и (аналогично можно показать, что не существует ).

График функции изображён на рис. 3.17.  

Пример 3.29. Найти пределы функции при 

□ (произведение бесконечно малой функции х на ограниченную является бесконечно малой функцией при ). Далее, по теореме 3.5 о замене переменной под знаком предела

(здесь проведена замена  использован первый замечательный предел). График функции изображён на рис. 3.18. 

Пример 3.30.

(здесь использованы первый замечательный предел и непрерывность функции в точке х = 0).

Пример 3.31.

 

Пример 3.32. Доказать, что

□

(здесь проведена замена
при использован пример 3.30).

Второе соотношение доказывается аналогично при помощи замены используется первый замечательный предел.

Показательная функция и логарифмы

Определим при как естественное обобщение степени с рациональным показателем.

Определение 3.12. Пусть Значение определяется как  где — произвольная последовательность рациональных чисел такая, что

Как и для сложения и умножения действительных чисел, нужно установить корректность этого определения.

□ I) Существование. Как известно,  (пример 3.26). Тогда Значит,

(в определении предела найдётся номер такой, что нужные неравенства выполняются при всех но нам сейчас достаточно взять один такой номер ).

Пусть теперь — произвольная сходящаяся последовательность рациональных чисел. Докажем, что последовательность также сходится. Имеем

Так как последовательность сходится, то она ограничена сверху: значит, Так как последовательность  фундаментальна, то для числа к, определённого в (3.4),

Отсюда следует, что

и в силу (3.4)

Окончательно из (3.5) имеем

Так как — постоянная величина, то последовательность фундаментальна, следовательно, сходится.

II) Единственность. Доказано, что для любой последовательности рациональных чисел такой, что  существует конечный  Пусть существуют две последовательности  такие, что  а  Рассмотрим последовательность  полученную «перемешиванием» последовательностей и 

Очевидно, (вне любой не более конечного числа и не более конечного числа значит, не более конечного числа ). Но последовательность имеет два конечных частичных предела у и z, следовательно, расходится. Значит, один и тот же для всех рациональных последовательностей  таких, что

III) Преемственность. Докажем, что если то в смысле определения 3.12 совпадает с обычным значением В самом деле, рассмотрим последовательность такую, что при всех Ясно, что  Поэтому, в силу доказанной единственности, для любой последовательности такой, что предел

 Значит, в смысле определения 3.12 совпадает с обычным значением

Итак, для всех при а > 1 определено значение При а = 1 естественно определить при всех    при  определим согласно определению 3.12.

Это можно сделать, так как Таким образом, при а > О определена функция

Лемма 3.17. При всех выполняется неравенство Если а > 1, то функция строго возрастает на Если  то функция строго убывает на

□  Докажем сначала, что при а > 1 функция строго возрастает на Пусть Рассмотрим рациональные числа такие, что Для любого выберем рациональное число

По теореме 2.3  значит, С другой стороны, так как значит, (свойство степени с рациональным показателем). По теореме 2.2 Аналогично, Так как Доказано, что функция строго возрастает на

Так как Лемма доказана полностью при а > 1. Если 0 < а < 1, то  Значит, для всех строго убывает на

Теорема 3.20. Функция непрерывна на при всех a > 0.

□ В силу соотношения и положительности теорему достаточно доказать при а > 1.

Пусть  —любая последовательность действительных чисел такая, что Тогда найдётся стремящаяся к последовательность рациональных чисел такая, что при выполняются неравенства (достаточно выбрать при рациональную точку — (см. рис. 3.19)).

Ясно, что  так как то  по теореме 2.3

По лемме 3.17 Но по определению 3.12. Значит, по теореме 2.3 Так как последовательность — любая, то Аналогично доказывается, что  Значит, функция непрерывна в любой точке

Лемма 3.18.

1)если

2) если 

□ В силу соотношения достаточно доказать первую часть леммы.

Так как при а > 1 функция строго возрастает на то существует (конечный или ). Достаточно доказать, что хотя бы для одной последовательности такой, что  выполняется равенство (тогда для любой другой также будет ). Рассмотрим Так как (лемма 2.10), то  Значит, Аналогично, при выполняются равенства и  поэтому

Итак, при а > 1 функция непрерывна и строго возрастает на Её множество значений — промежуток, состоящий из положительных чисел, неограниченный сверху и содержащий точки, сколь угодно близкие к 0: значит, Тогда по теореме об обратной функции на определена, строго возрастает и непрерывна обратная функция

Если то функция непрерывна и строго убывает на  Аналогично, Обратная функция непрерывна и строго убывает Графики функций  изображены на рис. 3.20.

Покажем теперь, что стандартные свойства степеней сохраняются для степени с произвольным действительным показателем (соответствующие свойства степени с рациональным показателем считаются известными).

Лемма 3.19. Для любых и для любых

□ Докажем свойство 3. Пусть — любые последовательности рациональных чисел такие, что  Тогда Чтобы не разбирать отдельно случаи сошлёмся на непрерывность функции По определению непрерывности через последовательности:

Свойства 1, 2, 4 доказываются аналогично. Несколько сложнее доказывается свойство 5.

Пусть сначала Докажем, что при всех выполняется равенство

Рассмотрим произвольную последовательность рациональных чисел такую, что Тогда В силу непрерывности функции

Но  Поэтому, в силу непрерывности функции  в точке имеем:

(здесь мы воспользовались тем, что последовательность  стремится к ). Теперь ясно, что

Пусть теперь Рассмотрим произвольную последовательность рациональных чисел такую, что

В силу (3.6) Так как при фиксированном х функция непрерывна по у то  Наконец, и в силу непрерывности функции Так как

Все стандартные свойства степеней сохраняются, поэтому сохраняются (вместе с обычными доказательствами из элементарной алгебры) все свойства логарифмов.

Особую роль будут играть логарифмы по основанию е. Эти логарифмы называются натуральными; применяется обозначение

Сложная степенно-показательная функция

где , преобразуется к виду

В таком виде она может быть рассмотрена как суперпозиция элементарных функций, и по следствию из теоремы 3.8 если — непрерывные функции в точке или на промежутке, причём , то непрерывной является и функция 

В математическом анализе и в прикладных науках часто применяются так называемые гиперболические функции:
 (гиперболический синус);

 (гиперболический косинус);

 (гиперболический тангенс);

 (гиперболический котангенс).

Связь их с тригонометрическими функциями станет понятной в главе VII после введения функции комплексного переменного , а пока отметим, что все формулы тригонометрии сохраняются «с точностью до знака», т.е. некоторые из них сохраняются полностью, а в некоторых где-то меняется знак, так что всё равно эти формулы нужно выводить заново. Например,

В отличие от тригонометрических функций эти функции непериодичны;  а вот — ограниченная функция: для всех х выполняется неравенство Графики изображены на рис. 3.21.

Теорема 3.21 (второй замечательный предел)

□ По определению Нам предстоит доказать, что предел функции при равен е, т.е. вместо х можно взять любую последовательность такую, что а не только

Пусть — произвольная (не обязательно строго возрастающая) последовательность натуральных чисел такая, что —  фиксированное положительное число. Вне  содержится не более конечного числа членов Пусть — наибольший из их номеров. Так как  то среди номеров лишь конечное число не превосходит  Значит, вне содержится лишь конечное число членов Поэтому

Пусть теперь — произвольная последовательность действительных чисел такая, что Рассмотрим последовательность

Ясно, что для всех выполняются неравенства В частности, отсюда следует, что и имеет место (3.7). Также  поэтому

Правая часть цепочки неравенств (3.8) равна  в силу (3.7) предел этой последовательности при равен Левая часть цепочки неравенств (3.8) равна  Предел этой последовательности равен (в (3.7) вместо можно подставить ; годится любая последовательность индексов, стремящаяся к ). По теореме 2.3 из (3.8) следует, что Так как — любая положительная последовательность, стремящаяся к нулю, то

Для нахождения предела слева дважды применим теорему 3.5. Сначала сделаем замену Если , то при Имеем

Затем сделаем замену Если то и при при этом  Тогда искомый предел равен (использовано, что предел справа равен е). Итак, значит,  

В качестве примеров рассмотрим несколько следствий теоремы 3.21.

Пример 3.33. Доказать, что

□ Мы доказали, что Так как функция непрерывна в точке е, то по теореме 3.8 о переходе к пределу под знаком непрерывной функции

Если логарифм берётся по другому основанию  то Мы начинаем замечать, что число е и натуральные логарифмы играют особую роль в математическом анализе.

Пример 3.34. Доказать, что

□ В пределе сделаем согласно теореме 3.5 замену Если , при Предел примет вид

откуда

Пример 3.35. Доказать, что при а > 0 имеет место равенство

□ При а = 1 равенство очевидно. При в пределе сделаем согласно теореме 3.5 замену  если Предел примет вид

Сравнение функций

Определение 3.13. Пусть функции определены в некоторой проколотой окрестности где — один из б СПС.

Тогда говорят, что:

Если в некоторой проколотой окрестности то определение 3.13 можно переписать так

При этом могут вести себя как угодно — стремиться к вообще не иметь предела и т.д. Аналогичные определения можно дать для последовательностей

Определение 3.14. Пусть —две последовательности, определённые при Тогда говорят, что

В дальнейшем в этом параграфе речь будет идти о сравнении функций, но аналогично можно говорить о сравнении последовательностей.

Определение 3.15. Если при и обе функции бесконечно малые при то говорят, что — бесконечно малая более высокого порядка, чем — бесконечно малая более низкого порядка, чем при Если при и обе функции бесконечно большие при то говорят, что — бесконечно большая более высокого порядка, чем — бесконечно большая более низкого порядка, чем при

Пример 3.36. 1) При имеем значит,

— бесконечно малая более высокого порядка, чем х.

2) При имеем: значит, — бесконечно большая более высокого порядка, чем х.

3) Более общо,

(здесь если ограничиться случаями то всё сохраняется при любых ).

Заметим, что соотношения равносильны. В этом случае говорят, что функции — функции одного порядка при

3 а м е ч а н и е. Записи типа не обладают всеми свойствами равенств. Например, при Запись сложилась исторически. Её следует формально воспринимать как т.е. принадлежность к классу Тогда и отсюда вовсе не следует, что

Приведём некоторые свойства символов сравнения (везде подразумевается ).

1) 

□ —бесконечно малая при — ограничена в проколотой окрестности Тогда  — бесконечно малая при Значит,

Символически это свойство можно записать так: ; формально это надо понимать как включение двух классов функций:

Отсюда следует, что  где С — постоянная; (очевидно, что любая функция удовлетворяет также соотношению

2)

3)

4)  

□ Первое из двух «о малых» запишем как а второе как где Тогда их сумма равна  и т.е. сумма также есть о малое от

5) 

6) 

7) 

8) 

□ Эквивалентность функций означает, что   где Представим в виде  где Тогда запись равносильна тому, что

Пример 3.37. 1)

Теорема 3.22 (о замене числителя и знаменателя дроби на эквивалентные величины при вычислении предела). Пусть при Тогда  и  существуют одновременно (конечные или бссконечные), в случае существования они равны.

□ где

при этом в некоторой проколотой окрестности Тогда в некоторой проколотой окрестности тогда и только тогда, когда в некоторой проколотой окрестности Имеем

Отсюда и следует утверждение теоремы.  

Пример 3.38.

(здесь мы воспользовались тем, что при ).

3 а м е ч а н и е. При вычислении пределов на эквивалентные величины можно менять числитель и знаменатель дроби. Аналогично можно менять на эквивалентные величины сомножители и основания постоянной степени (в примере 3.38 мы воспользовались тем, что если ). Нельзя менять на эквивалентные величины слагаемые и основания переменной степени. Например, Но, если в пределе заменить на 1, получим в качестве ответа 0, хотя на самом деле этот предел равен  Также при но, если в пределе заменить  на 1, получим в качестве ответа 1, хотя на самом деле этот предел равен е.

Записи, содержащие о малое, широко используются в разложениях функций по формуле Тейлора, которая может применяться при вычислении различных пределов, о чём пойдёт речь в главах IV и V.