Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Содержание:

Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Решать любое уравнение или неравенство, содержащее знак модуля можно одним из трех основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля или по общей схеме. Некоторые уравнения или неравенства, содержащие знак модуля, могут быть также решены с использованием специальных соотношений (табл. 15).

В зависимости от выбранного способа решения получаем разные записи решения.

Пример №441

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

I способ (по определению модуля)

Решение:

► 1) Если

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

то получаем уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

ТогдаУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения что удовлетворяет и условию (1).

2) Если

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (2)

то получаем уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения что удовлетворяет и условию (2).

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Чтобы раскрыть знак модуля по определению, рассмотрим два случая:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

По определению модулем положительного (неотрицательного) числа является само это число, а модулем отрицательного числа является противоположное ему число. Поэтому при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

В каждом случае решаем полученное уравнение и выясняем, удовлетворяет ли каждый из найденных корней тому условию, при котором мы его находили.

II способ (использование геометрического смысла модуля)

Решение:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

С геометрической точки зрения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — это расстояние от точки 0 до точки Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения По условию уравнения оно равно 6, но расстояние 6 может быть отложено от 0 как вправо (получаем число 6), так и влево (получаем число -6). Таким образом, равенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения возможно тогда и только тогда, когда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения илиУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Замечание. При решении уравнения с использованием геометрического смысла модуля знак модуля раскрывается неявно, то есть определение модуля в явном виде не применяется.

Общая схема решения уравнений и неравенств, содержащих знак модуля, — это фактически немного измененный метод интервалов. Поясним содержание этой схемы на примере уравнения с двумя модулями вида

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Чтобы решить это уравнение, необходимо раскрыть знаки модулей, а для этого необходимо знать, где функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения будут положительными, а где — отрицательными. То есть фактически мы должны решить неравенства

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (2)

Каждое из этих неравенств мы умеем решать методом интервалов. Перестроим прием решения неравенств методом интервалов таким образом, чтобы он давал возможность одновременно решать каждое из последних неравенств. Как известно, решение неравенства (1) методом интервалов начинается с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения), а решение неравенства (2) — с нахождения его ОДЗ (то есть области определения функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Чтобы начать одновременно решать оба неравенства, необходимо найти общую область определения для функций Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть найти ОДЗ данного уравнения (это и есть первый из ориентиров необходимой схемы). Чтобы продолжить решение неравенств Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения методом интервалов, необходимо найти нули функций Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть найти нули всех подмодульных функций (это и есть второй ориентир). Если далее применить схему метода интервалов одновременно для двух неравенств, необходимо на ОДЗ отметить нули подмодульных функций и разбить ОДЗ на промежутки (это третий ориентир).

В каждом из полученных промежутков знаки функций Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения не могут измениться. Тогда мы можем найти знаки подмодульных функций на каждом промежутке (в любой точке этого промежутка), раскрыть знаки модулей и найти решение данного уравнения в каждом из этих промежутков (это и есть четвертый ориентир общей схемы). Обоснование возможности применения приведенной схемы к решению неравенств, содержащих знак модуля, проводится аналогично.

Примеры решения задач:

Пример №442

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► 1. ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3. Нули 0 и 2 разбивают ОДЗ на четыре промежутка, в которых подмодульные Рис. 67 функции имеют знакиУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, показанные на рисунке 67.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4. Находим решения данного уравнения в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций одинаковы на промежутках I и III, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и III: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУчитывая знаки подмодульных функций на этих промежутках и определение модуля, получаем, что в этих промежутках данное уравнение равносильно уравнению Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения В рассмотренные промежутки полученные значения не входят, таким образом, в этих промежутках корней нет.

Промежуток II: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (Следует обратить внимание на то, чтобы не пропустить значение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения которое принадлежит ОДЗ.) В этом

промежутке получаем уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень, поскольку принадлежит этому промежутку.

Промежуток IV: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (И в этом промежутке необходимо не

забыть значение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) Получаем уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень, поскольку принадлежит этому промежутку. Объединяя все решения, которые мы получили в каждом промежутке, имеем решение данного уравнения на всей ОДЗ.

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияНа рисунке 67 в каждом из промежутков первый знак — это знак функции

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а второй — знак функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения При выполнении рисунка удобно сначала

отметить на числовой прямой ОДЗ, а потом нули подмодульных функций на ОДЗ.

Проиллюстрируем также получение и использование специальных соотношений, приведенных в таблице 15.

Обоснуем, например, соотношение 5: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Запишем заданное равенство в виде Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и проанализируем его, опираясь на известные из 6 класса правила действий над числами с одинаковыми и с разными знаками. Чтобы сложить два числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения мы сложили их модули, таким образом, эти числа имеют одинаковые знаки. Если бы эти числа были оба отрицательными, то и их сумма была бы тоже отрицательна, но Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда получаем, что числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — оба неотрицательные. Наоборот, если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то выполняется Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Таким образом, действительно уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения равносильно системе неравенств Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Пример №443

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► Поскольку Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то данное уравнение имеет вид Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения но это равенство может выполняться тогда и только тогда, когда числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — оба неотрицательные. Таким образом, данное уравнение равносильно системе

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Если обозначить Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и данное уравнение имеет вид Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а по соотношению 5 такое уравнение равносильно системе

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Заметим, что данное уравнение можно решать и по общей схеме, но тогда решение будет более громоздким.

При решении неравенств, содержащих знак модуля, рассуждения, связанные с раскрытием знаков модулей, полностью аналогичны рассуждениям, которые использовались при решении уравнений, содержащих знак модуля.

Пример №444

Решите неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► Учитывая геометрический смысл модуля, получаем, что заданное неравенство равносильно неравенству

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Неравенство вида Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (где Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения удобно решать, используя геометрический смысл модуля.

Поскольку заданное неравенство — это неравенство вида Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а модуль числа — это расстояние на координатной прямой от точки, изображающей данное число, до точки 0, то заданному неравенству удовлетворяют все точки, находящиеся в промежутке Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Если возникают затруднения с решением двойного неравенства (1), то его заменяют на равносильную систему Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Пример №445

Решите неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

Решение:

► 1. ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения таким образом: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — не принадлежит ОДЗ) и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3. Нуль 2 разбивает ОДЗ на четыре промежутка, на которых подмодульные функции имеют знаки, показанные на рисунке 68 (на каждом из промежутков первый знак — это знак функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а второй — знак функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4. Находим решения заданного неравенства в каждом из промежутков (поскольку знаки подмодульных функций являются одинаковыми на промежутках I и II, удобно для решения объединить эти промежутки). Промежутки I и II: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Учитывая знаки подмодульных функций в этих промежутках и определение модуля, получаем, что при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное неравенство равносильно неравенству Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Отсюда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

В промежутки, которые мы рассмотрели, входят все значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения таким образом, в этом случае решением будет Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Промежуток III: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения На этом промежутке получаем неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Но при этом значении Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения из промежутка III последнее неравенство обращается в неверное неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Таким образом, в промежутке III неравенство (1) решений не имеет.

Промежуток IV: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения В этом промежутке получаем неравенствоУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Как видим, при любом Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения из IV промежутка неравенство (1) обращается в верное числовое неравенство

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Таким образом, решением неравенства (1) в IV промежутке

есть любое число из этого промежутка Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Объединяя все решения, полученные в каждом из промежутков, имеем решение данного неравенства на всей ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Укажем, что для решения некоторых неравенств, содержащих знак модуля, удобно применять также специальные соотношения, приведенные в таблице 15.

Пример №446

Решите неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► Поскольку Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения монотонно возрастает на множестве неотрицательных чисел, то все разности модулей в неравенстве можно заменить на разности их квадратов (то есть воспользоваться соотношением 4: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Получаем неравенство, равносильное заданному

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Раскладывая на множители все разности квадратов, имеем:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Далее методом интервалов получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (рис. 70).

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Общая схема, предложенная в таблице 15, может быть использована не только при решении уравнений или неравенств, содержащих знак модуля, но и при преобразовании выражений, содержащих знак модуля.

Например, для построения графика функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения удобно сначала по общей схеме раскрыть знаки модулей, а уже потом строить график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Оформление решения подобного примера может быть таким.

Пример №447

Постройте график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

► 1. Область определения функции: все Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2. Нули подмодульных функций: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3. Отмечаем нули на области определения и разбиваем область определения на промежутки (на рисунке 71 также указаны знаки подмодульных функций в каждом из промежутков).

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4. Тогда

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Строим график этой функции (рис. 72).

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства с параметрами

Решение уравнений и неравенств с параметрами

Если в запись уравнения или неравенства, кроме переменной и числовых коэффициентов, входят также буквенные коэффициенты — параметры, то при решении таких уравнений можно пользоваться следующим ориентиром.

Любое уравнение или неравенство с параметрами можно решать как обычное уравнение или неравенство до тех пор, пока все преобразования или рассуждения, необходимые для решения, можно выполнить однозначно. Если какое-то преобразование нельзя выполнить однозначно, то решения необходимо разбить на несколько случаев, чтобы в каждом из них ответ через параметры записывался однозначно.

На этапе поиска плана решения уравнения или неравенства с параметрами или в ходе решения часто удобно сопровождать соответствующие рассуждения схемами, по которым легко проследить, в какой момент мы не смогли однозначно выполнить необходимые преобразования, на сколько случаев пришлось разбить решение и чем отличается один случай от другого. Чтобы на таких схемах (или в записях громоздких решений) не потерять какой-то ответ, целесообразно помещать окончательные ответы в прямоугольные рамки. Записывая окончательный ответ, следует учитывать, что ответ должен быть записан для всех возможных значений параметра.

Пример №448

Решите неравенство с переменной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Заданное неравенство является линейным относительно переменной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения поэтому используем известный алгоритм решения линейного неравенства:

1) переносим члены с переменной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения в одну сторону, а без Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — в другую:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2) выносим в левой части за скобки общий множитель Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (то есть приводим неравенство к виду Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения): Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Для решения последнего неравенства мы хотели бы разделить обе его части на Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Но если обе части неравенства разделить на положительное число, то знак неравенства не изменится, а если на отрицательное, то знак неравенства необходимо изменить на противоположный. Кроме того, следует учесть, что на нуль делить нельзя. Следовательно, начиная с этого момента нужно рассмотреть три случая: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Приведенные выше рассуждения можно наглядно записать так:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: 1) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения 2) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — любое число.

При решении более сложных уравнений или неравенств следует помнить, что уравнения и неравенства с параметрами чаще всего решают с помощью равносильных преобразований, а все равносильные преобразования уравнений или неравенств выполняют на области допустимых значений (ОДЗ) заданного уравнения или неравенства (то есть на общей области определения для всех функций, которые входят в запись уравнения или неравенства). Поэтому, прежде чем записать ответ, нужно обязательно учесть ОДЗ заданного уравнения или неравенства.

Пример №449

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения где Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — переменная.

Комментарий:

Заданные дробные выражения существуют тогда и только тогда, когда знаменатели заданных дробей не равны нулю, следовательно, ОДЗ уравнения: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Умножим обе части заданного уравнения на выражение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — общий знаменатель дробей — и получим целое уравнение, которое при условии Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (то есть на ОДЗ заданного уравнения) равносильно заданному: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Из этого уравнения получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Для того чтобы найти значение переменной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, хотелось бы разделить обе части последнего уравнения на Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения но при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения пришлось бы делить на 0, что невозможно. Следовательно, начиная с этого момента нужно рассмотреть два случая.

Решение в соответствии с приведенными выше рассуждениями можно наглядно записать в виде схемы.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение:

► ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Выясним, при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения найденные корни не входят в ОДЗ уравнения, то есть при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — решений нет. Следовательно, при всех значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения не равен 3.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — посторонний корень (не входит в ОДЗ), то есть при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение не имеет корней.

Ответ: 1) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения корней нет; 2) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Пример №450

Решите уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения относительно переменной л: - а х

Комментарий:

Будем выполнять равносильные преобразования заданного уравнения. Для этого найдем его ОДЗ (знаменатели дробей не равны нулю). Если теперь обе части уравнения умножить на произведение выражений, которые стоят в знаменателях дробей (и которое не равно нулю на ОДЗ уравнения), то получим уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения равносильное заданному (на ОДЗ заданного). Но последнее уравнение будет квадратным только при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения потому для его решения следует рассмотреть два случая (Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения).

Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то для исследования полученного квадратного уравнения нужно рассмотреть еще три случая: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — ив каждом из них проверить, входят найденные корни в ОДЗ или нет. При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения удобно использовать, что значение корня соответствующего квадратного уравнения совпадает с абсциссой вершины параболы Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

то естьУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Рассматривая случай Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения следует помнить также предыдущее ограничение: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Поскольку корни уравнения (1) записываются достаточно громоздкими формулами (см. решение), то вместо подстановки полученных корней в ограничение ОДЗ можно подставить «запрещенные» значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения в уравнение (1) и выяснить, при каких значениях параметра а мы получим те значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, которые не входят в ОДЗ, а затем проверить полученные значения параметра.

Решение:

► ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения На этой ОДЗ заданное уравнение равносильно уравнениям: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1)

1. Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то из уравнения (1) получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — не входит в ОДЗ, следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения корней нет.

2. Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то уравнение (1) — квадратное. Его дискриминант Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияРассмотрим три случая:

1) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда уравнение (1) имеет одно

значение корня: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения. Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнения (1)

входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения. Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решениято корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнения (1) тоже входит в ОДЗ и является корнем заданного уравнения.

2) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то естьУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Тогда уравнение (1) не имеет корней.

3) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения но Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Тогда уравнение (1) имеет два корня:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (2)

Выясним, при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияа найденные корни не входят в ОДЗ, то есть при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Подставляя в уравнение (1) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения но при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение не имеет корней.

Подставляя в уравнение (1) Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то естьУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (заданное уравнение не имеет корней), или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Проверим эти значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения ОДЗ записывается так: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Из формулы корней (2) имеем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (входит в ОДЗ) и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (не входит в ОДЗ). Следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение имеет только один корень: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения ОДЗ записывается так: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а из формулы корней (2) получим: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения(входит в ОДЗ) и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (не входит в ОДЗ). Следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение имеет только один корень: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Таким образом, формулу корней (2) можно использовать, если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, только при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Ответ: 1) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения 4) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения 5) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

6) если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то корней нет

Замечание. Чтобы облегчить запись ответа в этом и аналогичных примерах, можно пользоваться таким приемом. Перед записью ответа в сложных или громоздких случаях изобразим ось параметра (а) и отметим на ней все особые значения параметра, которые появились в процессе решения. Под осью параметра (левее от нее) выпишем все полученные решения (кроме решения «корней нет») и напротив каждого ответа отметим, при каких значениях параметра этот ответ можно использовать (рис. 73). После этого ответ записывают для каждого из особых значений параметра и для каждого из полученных промежутков оси параметра. В частности, перед записью ответа в рассмотренном примере, на черновике удобно изобразить такую схему (рис. 73).

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Исследовательские задачи с параметрами

Некоторые исследовательские задачи с параметрами удается решить по такой схеме: 1) решить заданное уравнение или неравенство; 2) исследовать полученное решение.

Пример №451

Найдите все значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при которых уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет единственный корень.

Решение:

► ОДЗ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения На ОДЗ получаем равносильное уравнение

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Учтем ОДЗ. Для этого выясним, когда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — посторонний корень; Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — единственный корень.

При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения получаем: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияпосторонний корень; Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

единственный корень. Также заданное уравнение будет иметь единственный корень, если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (тогдаУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения).

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Поскольку дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю, то на ОДЗ Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения заданное уравнение равносильно уравнению Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Дальше учитываем, что произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю (а второй имеет смысл).

После этого выясним, при каких значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения найденные корни не входят в ОДЗ, то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения приравниваем корни к -7 и находим соответствующие значения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения. При найденных значениях Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения один из двух полученных корней будет посторонним (Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения), и уравнение будет иметь единственный корень (одно значение корня). Кроме того, заданное уравнение будет иметь единственный корень еще и в том случае, когда два полученных корня (Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) будут совпадать (и, конечно, будут входить в ОДЗ).

Исследование количества решении уравнении и их систем

При решении некоторых задач с параметрами можно пользоваться таким ориентиром: если в задаче с параметрами речь идет о количестве решений уравнения (неравенства или системы), то для анализа заданной ситуации часто удобно использовать графическую иллюстрацию решения.

Наиболее простым соответствующее исследование является в том случае, когда заданное уравнение можно преобразовать к виду Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения поскольку график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — это прямая, параллельная оси Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (которая пересекает ось Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения в точке Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Отметим, что, заменяя заданное уравнение на уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решениянужно следить за равносильностью выполненных преобразований, чтобы полученное уравнение имело те же корни, что и заданное, а следовательно, и количество корней у них будет одинаковым. Чтобы определить, сколько корней имеет уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения достаточно определить, сколько точек пересечения имеет график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с прямой Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при различных значениях параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (Для этого на соответствующем рисунке целесообразно изобразить все характерные положения прямой.)

Пример №452

Сколько корней имеет уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения в зависимости от значения параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения?

Решение:

► Построим графики функций Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Анализируя взаимное размещение полученных графиков, получаем ответ:

1) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение корней не имеет;

2) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение имеет 3 корня;

3) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение имеет 6 корней;

4) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение имеет 4 корня;

5) при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение имеет 2 корня.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Поскольку в этом задании речь идет о количестве решений уравнения, то для анализа заданной ситуации попробуем использовать графическую иллюстрацию решения.

1. Строим график функции (учитывая, что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения построение может происходить, например, по таким этапам:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2) Строим график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3) Анализируем взаимное размещение полученных графиков и записываем ответ (количество корней уравнения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения равно количеству точек пересечения графика функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с прямой Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения).

Отметим, что значительное количество исследовательских заданий не удается решить путем непосредственных вычислений (или такие вычисления являются очень громоздкими). Поэтому часто приходится сначала обосновывать какое-то свойство заданного уравнения или неравенства, а затем, пользуясь этим свойством, уже давать ответ на вопрос задачи.

Например, принимая во внимание четность функций, которые входят в запись заданного уравнения, можно использовать такой ориентир.

Если в уравнении Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения является четной или нечетной, то вместе с каждым корнем а мы можем указать еще один корень этого уравнения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Пример №453

Найдите все значения параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при которых уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (1) имеет единственный корень.

Решение:

► Функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения является четной Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень уравнения (1), то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тоже является корнем этого уравнения. Потому единственный корень у заданного уравнения может быть только тогда, когда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Следовательно, единственным корнем заданного уравнения может быть только Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то из уравнения (1) получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнения (1) превращается в уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Следовательно, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уравнение (1) имеет три корня и условие задачи не выполняется. При Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияуравнение (1) превращается в уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Поскольку Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то получаем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — единственный корень. Следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Комментарий:

Замечаем, что в левой части заданного уравнения стоит четная функция, и используем ориентир, приведенный выше. Действительно, если Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень уравнения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — правильное числовое равенство. Учитывая четность функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеем Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — тоже корень уравнения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Единственный корень у этого уравнения может быть только тогда, когда корни Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения совпадают. Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Выясним, существуют ли такие значения параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при которых Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияявляется корнем уравнения (1). (Это значение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения)

Поскольку значение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения мы получили из условия, что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — корень уравнения (1), то необходимо проверить, на самом ли деле при этих значениях а заданное уравнение будет иметь единственный корень. При решении полученных уравнений целесообразно использовать, что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена

Использование условий расположения корней квадратного трехчлена Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения относительно заданных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решение некоторых исследовательских задач с параметрами можно свести к использованию необходимых и достаточных условий расположения корней квадратного трехчлена. Основные из этих условий приведены в таблице 16 (в таблице использованы традиционные обозначения:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Объяснение и обоснование:

Для обоснования указанных условий достаточно воспользоваться тем, что график функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — сплошная (неразрывнаяУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) линия. Если такая функция на концах какого-то промежутка принимает значения с разными знаками (то есть соответствующие точки графика находятся в разных полуплоскостях относительно оси Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения), то внутри этого промежутка есть по крайней мере одна точка, в которой функция равна нулю (рис. 74).

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Например, для того чтобы два различных корня квадратного трехчлена Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения были расположены по разные стороны от заданного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, достаточно зафиксировать только одно условие: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (рис. 75).

Действительно, график квадратичной функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — парабола, ветки которой направлены вверх. Тогда в случае, когда аргумент Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения стремится к Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или к Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (это обозначают обычно так: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения стремится к Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Если выполняется условие Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то с изменением значения аргумента Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения от Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения квадратичная функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения изменяет свой знак с «-» на « + », таким образом, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет по крайней мере один корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Точно так же с изменением значения аргумента Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения от Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения квадратичная функция Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения изменяет свой знак с « + » на «-», следовательно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет по крайней мере один корень Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Но квадратный трехчлен Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения не может иметь более двух корней, значит, при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения условие Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения необходимое и достаточное для того, чтобы два различных корня квадратного трехчлена были расположены по разные стороны от заданного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Аналогичные рассуждения при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения показывают, что для выполнения этого требования необходимо и достаточно, чтобы Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Эти два условия можно объединить в одно: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияСоответствующее свойство будет обосновано более строго в 11 классе при рассмотрении так называемых непрерывных функций.

Действительно, Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Следовательно,

квадратный трехчлен Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет два различных корня, которые расположены по разные стороны от заданного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения тогда и только тогда, когда выполняется условие Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Аналогично можно обосновать и другие условия, приведенные в таблице 16.

Заметим, что приведенные условия не обязательно запоминать: для их записи можно пользоваться графиком квадратичной функции (изображенным для нужного расположения корней) и таким ориентиром.

Для того чтобы корни квадратного трехчлена Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения были расположены заданным образом относительно данных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения необходимо и достаточно выполнения системы условий, которая включает:

1) знак коэффициента при старшем члене;

2) знаки значений Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

3) знак дискриминанта Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4) положение абсциссы вершины параболы Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения относительно данных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Отметим, что для случаев, в которых хотя бы одно из данных чисел расположено между корнями квадратного трехчлена (см. вторую, пятую, шестую и седьмую строки табл. 16), достаточно выполнения первых двух условий этого ориентира, а для других случаев приходится рассматривать все четыре условия. Заметим также, что, записывая каждое из указанных условий, следует выяснить, будет ли выполняться требование задачи в том случае, когда в этом условии будет записан знак нестрогого неравенства.

Пример №454

Найдите все значения параметра Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения для которых уравнение Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения имеет один корень больше двух, а второй — меньше единицы.

Комментарий:

Поскольку заданное уравнение имеет два различных корня, то оно квадратное (то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Тогда Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и, чтобы получить ответ на вопрос задачи, достаточно решить совокупность из Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Но такой путь решения достаточно громоздкий.

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Попробуем воспользоваться условиями расположения корней квадратного трехчлена. Для этого можно непосредственно использовать соответствующие условия, зафиксированные в таблице 16, или получить их с помощью предложенного ориентира. В частности, обозначим Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и изобразим график квадратичной функции Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (параболу) в таких положениях, которые удовлетворяют условию задачи (рис. 76, а и б).

Для того чтобы корни квадратного трехчлена располагались по разные стороны от чисел 1 и 2, необходимо и достаточно выполнения совокупности условий Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения или Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Замечаем, что в этих системах знаки Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а также Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения иУравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения противоположны, поэтому полученную совокупность систем можно заменить одной равносильной системой Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения которая и позволяет получить план решения задачи.

Решение:

► Поскольку заданное уравнение имеет два различных корня, то оно является квадратным (то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения). Обозначим Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Как известно, корни квадратного трехчлена будут располагаться по разные стороны от данных чисел 1 и 2 тогда и только тогда, когда выполняется система условий: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Получаем систему

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Решаем неравенства (1) и (2) и находим общее решение системы (рис. 77).

Ответ: заданное уравнение имеет один корень больше двух, а второй — меньше единицы при Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Сведения из истории:

Напомним, что алгебра — раздел математики, посвященный изучению буквенных выражений и уравнений. Долгое время алгебра была частью науки о числе — арифметики. Значительное количество задач, возникающих в процессе практической деятельности человека, решают одинаковыми способами. Используя вместо чисел буквы, математики научились решать такие задачи в общем виде. Так и образовалась математическая наука — алгебра.

Исторически зачатки алгебры были известны вавилонянам, египтянам и грекам задолго до нашей эры. Сохранился египетский папирус Ахмеса (XVII в. до н. э.) с решением алгебраических задач. Ученые Вавилона (более 4000 лет назад) умели находить приближенное значение квадратного корня из любого натурального числа, а также решать квадратные уравнения. Это было связано с решением задач на нахождение площадей земельных участков и с развитием астрономии. Однако у вавилонян еще не было понятия отрицательного числа, и поэтому корень квадратного уравнения мог быть только положительным.

Диофант, греческий математик, живший в III в. в Александрии, написал трактат «Арифметика», в котором он уже решал линейные и другие уравнения. В Средние века особенно активно алгебра развивалась в арабских странах и Средней Азии.

Задачи, связанные с квадратными уравнениями, можно найти и в трудах индийских математиков V в. Квадратные уравнения классифицировал в трактате «Алгебра» аль-Хорезми. Он же привел и способы их решения.

В течение многих веков развитие алгебры сильно тормозилось, потому что математикам долго не удавалось ввести в свои исследования удобные обозначения. Поэтому изложение математических работ выглядело громоздко. Только начиная с XVI в. постепенно в математику начали вводить современные обозначения. Символы Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и т. п. впервые применил французский ученый Рене Декарт (1596-1650). Символ Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения для произвольного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения предложил английский ученый Исаак Ньютон (1643-1727).

Благодаря исследованиям французского математика Франсуа Виета (1540-1603) уравнения второй степени, третьей и четвертой степеней впервые стали рассматривать в буквенных обозначениях. Он ввел буквенные обозначения для неизвестных величин и коэффициентов уравнений. Особенно ценил открытые им формулы, названные впоследствии формулами Виета. Однако Виет признавал только положительные корни. Лишь в XVII в., после работ Г. Декарта, И. Ньютона и других математиков, решение квадратных и других уравнений приобрело современный вид.

Идея зависимости величин тоже берет начало от древнегреческой науки. Но греки рассматривали лишь величины, которые имеют «геометрическую» природу, и не ставили вопрос об общем изучении разных зависимостей. Графическое изображение зависимостей между величинами широко использовали Г. Галилей (1564-1642), П. Ферма (1601-1665) и Г. Декарт, который ввел понятие переменной величины. Развитие механики и техники привело к необходимости введения общего понятия функции, что сделал немецкий философ и математик Г. Лейбниц (1646-1716). Большие классы функций изучал в ходе своих исследований И. Ньютон.

В 1718 г. ученик Лейбница, И. Бернулли (1667-1748), дал определение функции, лишенное геометрических образов. Следующий шаг в развитии понятия функции сделал его ученик, член Петербуржской академии наук Л. Ейлер (1707-1783).

После работ ряда математиков (Ж. Фурье (1768-1830), М. И. Лобачевский, П. Дирихле и др.) было дано следующее определение: «Переменная величина Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называется функцией переменной величины Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения если каждому значению величины Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения отвечает единственное значение величины Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения». П. Дирихле (1805-1859)

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

На современном этапе к словам «каждому значению величины л:» добавляют «принадлежащему некоторому множеству», а вместо переменных величин говорят об элементах этих множеств. Такой подход позволяет рассматривать с единой точки зрения как числовые функции, так и, например, геометрические преобразования и т. п.

Несоизмеримость стороны квадрата и его диагонали была открыта в V в. до н. э. в Древней Греции. Это открытие показало, что для измерения геометрических величин недостаточно рациональных чисел. Поэтому греческие математики отказались от обозначения геометрических величин числами и стали развивать геометрическую алгебру (поэтому и сейчас говорят «квадрат числа», «куб числа» и т. п.).

Греческий математик Евдокс (IV в. до н. э.) разработал теорию отношений геометрических величин, которая заменяла для древнегреческих математиков современную теорию действительных чисел. В основе теории Евдокса лежит идея о бесконечной делимости отрезков и других фигур.

Р. Декарт ввел произвольно выбранный единичный отрезок, что позволило ему выразить все действия над числами через действия над отрезками. В сущности, он уже работал с положительными действительными числами. Лишь во второй половине XIX в. теория действительных чисел была приведена к теории натуральных чисел.

О понятии действительного числа

Первые представления о числах формировались постепенно под влиянием практики. С давних времен числа применялись в ходе счета и измерения величин.

Ответ на вопрос «Сколько элементов содержит данное конечное множество?» всегда выражается или натуральным числом, или числом «нуль». Следовательно, множество

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

всех неотрицательных чисел обслуживает все потребности счета.

Иначе с измерением величин. Расстояние между двумя пунктами может равняться 3,5 километра, площадь комнаты — 16,45 квадратных метра и т. п.

Исторически положительные действительные числа появились как отношение длин отрезков. С открытием несоизмеримости диагонали единичного квадрата с его стороной стало понятным, что отношение длин отрезков не всегда можно выразить не только натуральным, но и рациональным числом. Чтобы числовое значение каждого отрезка при фиксированной единице измерения было определено, необходимо было ввести новые числа — иррациональные.

Все практические измерения величин имеют только приближенный характер. Их результат с необходимой точностью можно выразить с помощью рациональных дробей или конечных десятичных дробей.

Например, измеряя диагональ квадрата со стороной 1 м с точностью до 1 см, мы выясним, что ее длина приближенно равна Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения м. Измеряя с точностью до 1 мм, получим, что эта длина приближенно равна Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения м.

Однако в математике часто уклоняются от приближенного характера практических измерений. Последовательный теоретический подход к измерению длин отрезков приводит к необходимости рассмотрения бесконечных десятичных дробей. (Именно такими дробями являются числа

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Отношение длины любого отрезка к длине отрезка, принятого за единицу измерения, всегда можно выразить числом, представленным в виде бесконечной десятичной дроби.

Полная теория действительных чисел достаточно сложна и не входит в программу средней школы. Она обычно рассматривается в курсах математического анализа. Однако с одним из способов ее построения мы ознакомимся в общих чертах.

1. Пусть:

а) каждому действительному числу соответствует (как его запись) бесконечная десятичная дробь:

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

б) каждая бесконечная десятичная дробь является записью действительного числа.

Но при этом естественно считать десятичную дробь, оканчивающуюся бесконечной последовательностью девяток, только другой записью числа, представленного десятичной дробью, оканчивающей бесконечной последовательностью нулей: Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Только исключив из рассмотрения десятичные дроби с девяткой в периоде, получим взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством бесконечных десятичных дробей. Число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — это целая часть положительного числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решениядробная часть числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения Число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называют десятичным приближением с точностью до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с недостатком, а число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решенияназывают десятичным приближением с точностью до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с избытком для числа

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Если число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения отрицательно, то есть Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения то считают, что

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

2. Вводят правило сравнения двух действительных чисел. По определению число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения меньше числа Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения когда по меньшей мере для одного Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения выполняется неравенство Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения где Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения — десятичные приближения с точностью до Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения с недостатком для чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (Мы воспользовались тем, что правило сравнения конечных десятичных дробей уже известно.)

3. Определяют арифметические действия над действительными числами (при этом также пользуются тем, что эти действия уже определены для конечных десятичных дробей).

Суммой двух действительных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (обозначается Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения) называют такое действительное число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, что для любого Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения выполняются неравенства

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

В курсах математического анализа доказывается, что такое число существует и оно единственное.

Аналогично произведением двух неотрицательных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называют такое число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (обозначают Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения), что при любом Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения выполняются неравенства

Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Такое число существует, и оно единственное.

Напомним, что примеры выполнения таким образом определенных действий сложения и умножения действительных чисел было рассмотрено в курсе алгебры 8 класса.

Воспользовавшись тем, что произведение неотрицательных чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения уже определено, полагают, что для действительных чисел разных знаков Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения а для чисел одинаковых знаков — Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения (как обычно, модулем каждого из чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называют число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения).

Вычитание определяется как действие, обратное сложению: разностью Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения чисел Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения и Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называется такое число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения, что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

Деление определяется как действие, обратное умножению: частным Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения называется такое число Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения что Уравнения и неравенства содержащие знак модуля с примерами решения

4. Показывают, что неравенства и арифметические операции, определенные выше, сохраняют основные свойства, присущие им во множестве рациональных чисел.

Теория действительного числа была построена сразу в нескольких формах немецкими математиками Р. Дедекиндом (1831-1916), К. Вейерштрассом (1815-1897) и Г. Кантором (1845-1918).