Скалярное произведение и его свойства с примерами решения

Содержание:

Скалярное произведение и его свойства в векторной алгебре

Скалярное произведение векторов

Определение: Скалярным произведением двух векторов

Пример:

Вычислить скалярное произведение векторов , если их длины равны 2 и 5, соответственно, а угол между векторами равен

Решение:

Используя определение скалярного определения, находим

Замечание: Используя определения проекции (см. Лекция № 2) и скалярного произведения двух векторов, можно записать, что Откуда можно найти проекцию одного вектора на другой, например,

Пример:

Найти и (координаты векторов и ).

Решение:

Введём новые векторы:

Так как проекция одного вектора на другой определяется формулой вычислим скалярное произведение и длину вектора

Следовательно, Поступая аналогичным образом, найдем

вычислим скалярное произведение и длину вектора

Отсюда находим, что

Рассмотрим свойства скалярного произведения:

• 1. ;
• 2. ;
• 3. ;
• 4. ;
• 5. Если вектор перпендикулярен вектору (), то их скалярное произведение равно нулю: .

Замечание: Свойство 5. определяет условие перпендикулярности векторов.

• Заказать решение задач по высшей математике

Формула для скалярного произведения векторов через проекции перемножаемых векторов

Теорема: Пусть и . Тогда .

Доказательство: Запишем вектора в декартовом базисе: и Для доказательства формулы теоремы составим таблицу скалярных произведений ортов осей:

Используя эту таблицу, вычислим скалярное произведение векторов

Следствие: Если вектор перпендикулярен вектору (), то их скалярное произведение равно нулю, т.е.

Следствие: Если - угол между векторами и то

Следствие: Проекция вектора на произвольную ось (U) равна скалярному произведению вектора на орт этой оси: .

Пример:

Найти, при каком значении m вектора перпендикулярны.

Решение:

Условием перпендикулярности векторов является обращение в нуль их скалярного произведения, поэтому воспользуемся следствием 1 из теоремы 2:

Применение скалярного произведения

1. Физика. Пусть под воздействием силы некоторое тело совершает перемещение тогда работа, совершенная над телом, равна

2. Тригонометрия, а) Теорема косинусов: рассмотрим произвольный треугольник АВС , в котором введем вектора тогда (Рис. 1 1):

Рис. 11. Теорема косинусов для произвольного треугольника.

Доказательство: (используя свойства 2. и 4. для скалярного произведения векторов, найдем) б) Косинус суммы двух углов: пусть в плоской декартовой системе координат даны вектора которые образуют с положительным направлением оси Ох углы соответственно (Рис. 12):

Рис. 12. Косинус суммы двух углов.

Тогда С другой стороны, аффинные координаты векторов равны Используя формулу для скалярного произведения векторов через проекции перемножаемых векторов, получим Сравнивая полученные формулы, находим формулу для косинуса суммы 2 углов