Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Содержание:

Определители второго порядка:

Под определителем (детерминантом) второго порядка понимается выражение

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Числа Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Формула (1) дает правило «развертывания» определителя второго порядка, а именно: определитель второго порядка равен разности произведений его элементов первой и второй диагоналей.

Определители второго порядка

С помощью определителей второго порядка удобно решать линейные системы двух уравнений с двумя неизвестными:

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Такую линейную систему, в которой свободные члены находятся в правых частях, для определенности мы будем называть стандартной.

Под решением системы (2) понимается всякая пара чисел (х, у), обращающая эту систему в тождество. Если существует только одна такая пара, то решение называется единственным. Аналогично вводится понятие решения для системы, содержащей п неизвестных Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения.

Для нахождения решений системы (2) применим метод исключения. Умножая первое уравнение системы (2) на Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, а второе — на — Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения и складывая, будем иметь

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Аналогично, умножая первое уравнение системы (2) на а2 второе — на Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения складывая, получаем

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Введем определитель системы

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

а также дополнительные определители

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Заметим, что дополнительные определители Dx и Dy получаются из определителя системы D путем замены коэффициентов при указанном неизвестном на соответствующие свободные члены.

Уравнения (3) и (4) принимают вид

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Если Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, то отсюда получаем, что система (2) имеет единственное решение

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

(формулы Крамера)

Замечание. Если определитель D = 0, то система (2) или не имеет решений (т. е. несовместна), или имеет бесконечно много решений (т. е. система неопределенная).

Пример:

Решить систему

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Решение:

Имеем Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Отсюда на основании формул Крамера (6) получаем

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Геометрически решение (95; 110) представляет собой точку пересечения прямых (7).

Система двух однородных уравнений с тремя неизвестными

Рассмотрим однородную систему

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Эта система всегда совместна, так как, очевидно, имеет нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0. Однако интересно найти не н у л е в ы е решения (х, у, z) системы (1). Пусть, например, Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения.

Тогда систему (1) можно переписать в виде

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Отсюда, предполагая, что Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, получаемОпределители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Введем в рассмотрение матрицу коэффициентов системы (1)Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Определители второго порядка Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, которые получаются из матрицы (5) путем вычеркивания соответствующего столбца, называются ее минорами. Таким образом, имеем Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Используя эти обозначения, уравнения (3) и (4) можно переписать в следующем виде:

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Отсюда получаем

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Равенства (6), очевидно, справедливы также и для нулевого решения.

Таким образом, имеем следующее правило: неизвестные однородной системы (1) пропорциональны соответствующим минорам ее матрицы коэффициентов, взятым с надлежащими знаками.

Обозначая через t коэффициент пропорциональности для отношений (6), получим полную систему решений системы (1):

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

При выводе формул (7) мы предполагали, что Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения. Однако, как легко убедиться, формулы (7) будут справедливы, если любой (хотя бы один) из миноров Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения отличен от нуля.

Замечание. Если все миноры Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения равны нулю, то система (1) требует особого рассмотрения.

Пример:

Решить систему

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Решение:

Составляя матрицу коэффициентов

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

находим ее миноры: Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения На основании формулы (7) полная система решений системы (8) имеет вид

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

где Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Простейшее ненулевое решение системы (1), получающееся при t - 1, есть х = -3, у = 18, z = 13.

Определители третьего порядка

Определение: Под определителем {детермипантом) третьего порядка понимается выражение

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Числа Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения называются элементами определителя; они расположены в трех строках и трех столбцах его (ряды определителя). ,

Раскрывая определители второго порядка (миноры) в формуле (1) и собирая члены с одинаковыми знаками, получаем, что определитель третьего порядка представляет собой знакопеременную сумму шести слагаемых:

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

из которых три берутся со знаком плюс, а три — со знаком минус.

Пример:

Вычислить

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Решение:

Используя формулу (1), имеем Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения В дальнейшем мы укажем более удобные способы вычисления определителей третьего порядка.

Определение: Под минором элемента определителя третьего порядка понимается определитель младшего (второго) порядка, получающийся из данного определителя в результате вычеркивания строки и столбца, содержащих данный элемент.

Например, для определителя (3) минором его элемента 2, стоящего во второй строке и в первом столбце, является определитель Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения В дальнейшем для краткости будем говорить, что элемент определителя третьего порядка занимает четное место, если сумма номеров его строки и его столбца есть число четное, и нечетное место, если эта сумма есть число нечетное.

Определение: Алгебраическим дополнением (минором со знаком) элемента определителя третьего порядка называется минор этого элемента, взятый со знаком плюс, если элемент занимает четное место у и со знаком минус, если его место нечетное.

Таким образом, если М есть минор элемента определителя, a i и j — соответственно номер строки и номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент, то его алгебраическое дополнение есть

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Например, для элемента с2 определителя (1), находящегося во второй строке и в третьем столбце, его алгебраическое дополнение естьОпределители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Соответствующие знаки, приписываемые при этом минорам элементов определителя, можно задать таблицей

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

В дальнейшем алгебраические дополнения элементов определителя с буквенными элементами условимся обозначать соответствующими прописными (большими) буквами.

Теорема Разложения: Определитель третьего порядка равен сумме парных произведений элементов какого-либо ряда его на их алгебраические дополнения (под рядом понимается строка или столбец).

Таким образом, для определителя (1) справедливы шесть разложений: Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Легко проверить, что формулы (4) и (5) дают одно и то же выражение (2), принятое за определение.

Замечание. С помощью формул типа (4) или (5), по индукции, можно ввести определители высших порядков.

Основные свойства определителей

При формулировках мы не будем указывать порядок определителя, так как эти свойства справедливы для определителей любого порядка.

I. (Равноправность строк и столбцов.) Определитель не меняет своего значения при замене всех его строк соответствующими столбцами, т. е.Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Действительно, разлагая первый определитель по элементам первой строки, а второй — по элементам первого столбца, в силу теоремы разложения мы получим один и тот же результат.

II. При перестановке двух параллельных рядов определителя его модуль сохраняет прежнее значение, а знак меняется на обратный.

Пусть, например, в определителе Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения переставлены первая и вторая строки; тогда получим определитель Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Разлагая определитель D по элементам второй строки и учитывая, что при перестановке строк изменилась четность мест этих элементов, будем иметь

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Аналогичное положение получается и в других случаях.

Следствие 1. Определитель, у которого два параллельных ряда одинаковы, равен нулю.

В самом деле, пусть, например,

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Переставляя первую и вторую строки определителя, в силу теоремы получим определитель -D. Но очевидно, эта операция не изменяет определитель D, поэтому -D = D и, следовательно, D = 0.

Следствие 2. Сумма парных произведений элементов какого-либо ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю, т. е. для определителя (2) имеем Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения и т. д., а также Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения и т. д. (всего таких соотношений можно написать двенадцать).

Левые части всех соотношений (3) и (4) представляют собой разложения соответствующих определителей третьего порядка, содержащих два одинаковых параллельных ряда и, следовательно, равны нулю. Например, Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения (здесь разложение нужно производить во второй строке!).

III. Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя можно выносить за знак определителя, т. е.

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

и т. п.

Это свойство непосредственно вытекает из разложения определителя по элементам соответствующего ряда.

Следствие 1. Если все элементы какого-либо ряда определителя равны нулю, то определитель равен нулю.

Следствие 2. Если элементы какого-либо ряда определителя пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда его, то определитель равен нулю.

Например, имеем Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

IV. Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Например, имеем

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

и т. п.

Следствие. Величина определителя не изменится, если /с элементам какого-либо ряда его прибавить (или отнять) числа, пропорциональные соответствующим элементам параллельного ряда с одним и тем же коэффициентом пропорциональности (так называемые «элементарные преобразования определителя»).

Действительно, пусть

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Рассмотрим, например, определители

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Используя свойства IV и III, будем иметь Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Элементарные преобразования дают удобный способ вычисления определителей.

Пример:

Вычислить симметричный определитель

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Решение:

Вычитая из второй строки удвоенную первую строку, а из третьей строки утроенную первую строку, получим Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Система трех линейных уравнений

Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

свободные члены которых находятся в правых частях. Под решением системы понимается всякая тройка чисел (х, у, г), удовлетворяющая этой системе. Введем определитель системы

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения а также дополнительные определителиОпределители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Последовательно умножая уравнения системы (1) на алгебраические дополнения Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения соответствующих элементов Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решенияОпределители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения первого столбца определителя D, получим

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Отсюда, применяя теорему разложения и следствие 2 к свойству II, будем иметь Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, т. е. Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Используя алгебраические дополнения элементов второго и третьего столбцов определителя D, аналогично находим

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Если определитель системы Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, то из уравнений (5) и Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения получаем единственное решение системы (1): Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Таким образом, имеем правило Крамера: неизвестные стандартной линейной системы (1) с ненулевым определителем представляют собой дроби, знаменатель которых есть определитель системы, а числители равны соответствующим дополнительным определителям.

Замечание. Если определитель системы D = 0, то система (1) или несовместна, или имеет бесконечно много решений.

Пример:

Решить систему

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Решение:

Имеем

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Вычитая из второго столбца удвоенный первый столбец, а из третьего столбца утроенный первый столбец, получимОпределители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Для дополнительных определителей находим следующие значения: Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Используя правило Крамера, получаем решение системы:

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Однородная система трех линейных уравнений

Рассмотрим линейную систему

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

свободные члены которой равны нулю. Такая линейная система называется однородной.

Однородная линейная система (1), очевидно, допускает нулевое решение х = 0, у = 0, z = 0 и, следовательно, всегда совместна.

Интересно выяснить случаи, когда однородная система имеет ненулевые решения.

Теорема: Линейная однородная система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю, т. е.

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Доказательство: Пусть система (1) имеет ненулевое решение Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Если определитель ее Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения то на основании формул Крамера система (1) обладает только нулевым решением, что противоречит предположению. Следовательно, D = 0.

Пусть D = 0. Тогда линейная система (1) либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. Но наша система совместна, так как имеется нулевое решение. Следовательно, система (1) допускает бесконечно много решений, в том числе и ненулевые.

Замечание. Укажем способ нахождения ненулевых решений однородной системы (1) в типичном случае.

Пусть определитель системы D = 0, но не все его миноры второго порядка равны нулю.

Мы будем предполагать, что

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

(этого всегда можно добиться с помощью перестановки уравнений и изменения нумерации неизвестных).

Рассмотрим подсистему, состоящую из двух первых уравнений системы (1):Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

В силу  решения этой системы имеют вид

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения где Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения — соответствующие алгебраические дополнения. Подставляя эти числа в неиспользованное третье уравнение системы (1) и учитывая, что определитель D = 0, получаем

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Следовательно, формулы (5), где t произвольно, дают все решения полной системы (1).

Геометрически уравнения системы (1) представляют собой уравнения трех плоскостей в пространстве Oxyz. Если определитель Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, то эти плоскости пересекаются в единственной точке 0(0, 0, 0); если же определитель D =0, но не все его миноры второго порядка равны нулю, то в нашем случае эти плоскости пересекаются по прямой линии (как «листы книги»). Без рассмотрения оставлен случай слияния трех плоскостей.

Система линейных уравнений с многими неизвестными. Метод Гаусса

Рассмотрим систему Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения линейных уравнений с Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения неизвестными:

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Здесь для коэффициентов системы введена двойная индексация, а именно: у коэффициента Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j — номер неизвестного. Для удобства выкладок свободные члены обозначены через Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Наиболее простой метод решения системы (1) — это метод исключения. Мы изложим его в форме схемы Гаусса (обычно называемой методом Гаусса).

Пусть для определенности Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения - ведущий коэффициент». Разделив все члены первого уравнения на аи, будем иметь приведенное уравнение

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

где

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Рассмотрим i-e уравнение системы (1):

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Для исключения xx из этого уравнения умножим приведенное уравнение (2) на ап и полученное уравнение вычтем из уравнения (4). Тогда будем иметь

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

где

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Таким образом, получаем укороченную систему

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

коэффициенты которой определяются по формулам (6).

Если ее ведущий коэффициент Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, то из системы (7) указанным выше приемом можно исключить неизвестное Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения. причем новые коэффициенты будут вычисляться по формулам типа (6) и т.д. Эта часть вычислений называется прямым ходом метода Гаусса.

Для определения неизвестных Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решенияОпределители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Рассмотрим приведенные уравнения

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Отсюда последовательно находим неизвестные (обратный ход) Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Заметим, что операции (9) выполняются без деления.

Если очередной ведущий коэффициент окажется равным нулю, то уравнения системы следует переставить надлежащим образом. Возможно, конечно, что система (1) несовместна. Тогда, естественно, метод Гаусса не допускает реализации.

Пример:

Методом Гаусса решить систему

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Решение:

Составляем таблицу коэффициентов системы (10), рассматривая свободные члены ее как коэффициенты при Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения:Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Последний столбец Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения содержит суммы элементов соответствующих строк таблицы; этот столбец служит для контроля вычислений.

Считая отмеченный коэффициент 2 ведущим и деля на этот коэффициент все элементы первой строки таблицы (включая и входящий в столбец Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения), получаем коэффициенты первого приведенного уравнения (см. табл.). Текущий контроль вычислений осуществляется тем, что элемент из столбца Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения равен сумме всех остальных элементов этой строки. Этим заканчивается заполнение раздела I таблицы.

Далее, используя формулу (6), подсчитываем коэффициенты укороченной системы, не содержащей неизвестного xv Для наглядности будем называть строку, содержащую коэффициенты приведенного уравнения, приведенной, а столбец, содержащий ведущий элемент раздела, — ведущим. Тогда на основании формулы (6) справедливо правило: преобразованные коэффициенты схемы Гаусса, равны ее прежним коэффициентам минус произведение «проекций» их на соответствующие приведенную строку и ведущий столбец таблицы. Пользуясь этим, заполняем раздел II таблицы, включая контрольный столбец. Для удобства вычислении в качестве ведущего коэффициента раздела П берем элемент 8 (см. табл.).

Аналогично производится заполнение раздела III таблицы. Этим заканчивается прямой ход схемы Гаусса.

Неизвестные Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения последовательно определяются из приведенных уравнений

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

Отсюда

Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения

(обратный ход). Результаты обратного хода помещены в разделе IV таблицы.

Заметим, что если в качестве свободных членов взять элементы столбца Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения, то для неизвестных получатся значения Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решенияОпределители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решенияОпределители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения превышающие на единицу значения неизвестных Определители второго и третьего порядков и их свойства с примерами решения Этим обеспечивается заключительный контроль вычислений.