Дифференциальные уравнения с примерами решения

Содержание:

Решения многих прикладных задач приводят к равенствам, связывающим неизвестные функции с их производными. Такие равенства называют дифференциальными уравнениями.

Примеры: 

Рассмотрим некоторые из таких задач.

Задача о размножении бактерий:

Масса бактерий в среде меняется со временем. При благоприятных условиях в каждый момент скорость размножения бактерий пропорциональна их массе. Надо определить функцию, выражающую зависимость массы бактерий от времени.

Решение:

Пусть

отсюда

Здесь  — произвольная положительная постоянная, так как  постоянная при постоянной 

Функция  — общее решение уравнения  Подставляя вместо  различные действительные числа, можно получить бесконечное множество его частных решений.

Как видим, составленное по условию задачи одно дифференциальное уравнение не даёт возможности получить однозначный ответ. Если задачу дополнить «исходными данными», пример, отметить, что в момент  масса бактерий равнялась  то можно определить постоянную 

Поэтому  

 — конкретное частное решение задачи.

Отыскание решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего исходные данные, называют задачей Коши.

Задача о радиоактивном распаде:

Известно, что скорость уменьшения массы радиоактивного вещества в каждый момент времени  пропорциональна его массе. Как зависит масса изотопа Стронция  от времени, если для него коэффициент пропорциональности (постоянная распада)  и в момент времени  его масса равнялась 10 г?

Решение:

Пусть искомая функция  Скорость её изменения Согласно условию задачи  (перед  ставим минус, так как масса вещества уменьшается). Для изотопа стронция имеем дифференциальное уравнение  Его общее решение 

Определим постоянную  по исходным данным задачи.

Поскольку при  масса стронция равнялась 10 г, то  отсюда 

Ответ, 

Дифференциальное уравнение может содержать вторую производную, третью и т. д.

Примером дифференциального уравнения со второй производной является уравнение  Его общее решение  содержит две постоянные:  Это уравнение — математическая модель многих задач о колеблющихся процессах, поэтому его называют уравнением гармонического колебания.

Различных видов дифференциальных уравнений много. Мы не можем говорить о них подробно, эта тема выходит за рамки школьной программы. Отметим только, что из всех математических дисциплин важнейшую роль в математике и прикладных науках играет математический анализ, а из всех разделов математического анализа — теория дифференциальных уравнений.

Дифференциальные уравнения — достаточно большой и важный раздел математического анализа. Много прикладных задач из различных областей сводятся к решению дифференциальных уравнений или их систем. Дифференциальные уравнения бывают разных видов, их решение часто требует применения оригинальных способов и методов.

Пример:

Точка движется прямолинейно с переменной скоростью  Какое расстояние она пройдет за первые 10 с?

Решение:

Пройденное точкой расстояние  зависит от времени:  Скорость движения точки — производная этой функции:  Решение полученного дифференциального уравнения — первообразная для функции  поэтому 

По содержанию задачи при  поэтому  отсюда 

Следовательно, 

Пример:

Постоянная распада изотопа Стронция  Найдите период его полураспада.

Решение:

Пусть искомый период полураспада равен 

Тогда  отсюда 

Исторические сведения:

Введению понятия интеграл предшествовала большая работа многих математиков. Еще Архимед (III век до н. э.) находил площади и объёмы геометрических фигур методами, подобными вычислению интегральных сумм.

Например, чтобы найти объём тела, которое теперь мы называем фигурой, образованной вращением вокруг оси  подграфика функции Архимед разбивал это тело на  слоев одинаковой толщины (рис. 134). Далее рассматривал суммы объёмов цилиндров, описанных вокруг каждого из этих слоёв и вписанных в них, показывал, что разница этих сумм при увеличении  становится сколь угодно малой. Наконец, находил объём рассматриваемого тела как общий предел этих сумм (хотя, разумеется, чёткого понятия предела у него ещё не было). Так Архимед решил многие задачи, которые теперь решают с помощью интегралов

Архимед показал, что значение числа  находится между   и  Число   называют числом Архимеда.

АРХИМЕД (ок. 287-212 до н. э.)

Древнегреческий ученый, изобретатель, конструктор. Показал, как можно вычислять площади параболического сегмента, объёмы различных тел вращения, как находить суммы членов геометрической прогрессии, суммы квадратов натуральных чисел. Важнейшие труды Архимеда: «О квадратуре параболы», «О спирали», «Метод», «Об измерении круга», «Книга лемм», «О коноидах и сфероидах», «О числе песчинок», «О плавающих телах». В последнем обоснованно закон Архимеда.

Подобными методами пользовался и немецкий астроном и математик И. Кеплер (1571 —1630). В частности, считая, что каждое тело вращения состоит из бесконечного множества «тонких кружочков», он определил объёмы 92 таких тел. Ещё дальше пошёл итальянский математик Б. Кавальери. Представляя каждую фигуру составленой из «неделимых» — плоскую фигуру из отрезков, а тело из плоских фигур, — он сформулировал свои принципы (см. задачу 708; аналогичное утверждение верно и для объёмов тел). Сам Кавальери считал эти утверждения очевидными, принимал их без доказательства, как принципы (лат.  — начало, основа, то же, что и аксиома). Методами современной математики их можно доказать как теоремы.

Для развития интегрального исчисления много сделали П. Ферма, Б. Паскаль, И. Барроу, а особенно И. Ньютон и Г. Лейбниц. Они работали независимо друг от друга, один в Англии, второй в Германии, шли разными путями, а пришли к одному и тому же открытию, которое теперь называют основной теоремой математического анализа или формулой Ньютона—Лейбница. Установив связь между интегрированием и дифференцированием, они тем самым создали очень эффективный метод решения многих важных задач. Создание этого метода специалисты считают величайшим открытием XVII века.

Проследим, как постепенно менялась система понятий и обозначений, связанных с интегралами. Кавальери, называя отрезки линиями, площадь плоской фигуры считал суммой всех линий. Лейбниц заметил: «целесообразнее писать знак  вместо все и  вместо все линии». Последнее обозначение впоследствии он заменил на  а ещё позже — на  Л. Эйлер писал и

пределы интегрирования:

Здесь латинские слова  означают от и до. Современное обозначение интеграла предложил французский математик Ж. Фурье (1768—1830).

Термин интеграл (лат.  — целый) ввёл в 1690 г. И. Бернулли. Понятие первообразная, которую сначала называли примитивной начальный), ввёл в 1797 г. Ж. Лагранж.

Термин «дифференциальное уравнение» ввёл Г. Лейбниц. С помощью дифференциальных уравнений можно решать важнейшие прикладные задачи, поэтому разработкой теории таких уравнений занималось много ведущих математиков. В XVIII ст. теория дифференциальных уравнений отделилась от математического анализа в большой раздел современной математики.

Первообразная функция:

Функция  называется первообразной для функции  на промежутке если для каждого значения  из этого промежутка 

Каждая первообразная для функции  имеет вид  где  — одна из этих первообразных, а  — произвольное число. Графики любых двух первообразных для функции  такие, что их можно совместить параллельным переносом вдоль оси ординат.

Операцию нахождения первообразных называют интегрированием функции. Эта операция обратная дифференцированию.

Общий вид всех первообразных для функции  называют неопределённым интегралом данной функции:

Первообразные и неопределённые интегралы функции  можно находить по формулам, представленным в таблице.

Если  — первообразные для функций  то  — первообразная для 

Если  — первообразная для функции — постоянные, то:

•  — первообразная для функции к 
•    первообразная для функции 

Площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке  равна  — первообразная для функции 

Предел интегральной суммы  если  называют определённым интегралом функции  и обозначают символом 

 — формула Ньютона—Лейбница.

Её называют также основной формулой математического анализа. Тело, образованное вращением подграфика функции  на  вокруг оси  имеет объём 

Если  — производительность труда в момент времени  то объём произведенной продукции за промежуток  можно вычислить по формуле

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее искомую функцию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков данной функции.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких — то уравнением в частных производных. Мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (и по этой причине само слово «обыкновенные» будет опускаться).

Простейший пример дифференциального уравнения дает задача о нахождении первообразной для заданной функции (см. гл. 10), поскольку ее можно рассматривать как задачу о нахождении функции , удовлетворяющей уравнению

В общем случае дифференциальное уравнение можно записать в виде

где — некоторая функция от переменных, , при этом порядок старшей производной, входящей в запись уравнения, называется порядком дифференциального уравнения. Например, задача о нахождении первообразной приводит к дифференциальному уравнению первого порядка, уравнение

— третьего порядка и т.п.

Дифференциальное уравнение -го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид

где — некоторая функция от переменной.

Определение дифференциального уравнения

Семейство функций:

Рассмотрим уравнение

в котором обозначает любое действительное число, или, как говорят, параметр. Если придадим определенное значение, например , то получим уравнение , которое имеет своим графиком параболу, изображенную на рис. 108. Если положить , то получим новую параболу, уравнение которой будет . При будем иметь , т. е. ось .

Таким образом, уравнение (1) определяет не одну функцию, а, как говорят, семейство функций, зависящее от одной произвольной постоянной (или параметра). Поскольку каждая функция имеет своим графиком некоторую кривую, то уравнение (1) определяет семейство кривых. На рис. 108 изображены кривые, принадлежащие семейству и соответствующие .

Теперь найдем производную от функции (1)

и рассмотрим систему уравнений (1) и (2). Исключим из них произвольное постоянное (параметр) . Решая уравнение (2) относительно и подставляя полученное выражение в уравнение (1), получим: , или

Это уравнение связывает , и для любой кривой семейства, определенного уравнением (1).

Уравнение (3) называют дифференциальным уравнением семейства кривых (1). Этому уравнению удовлетворяет любая функция семейства (1). Это надо понимать так: если возьмем уравнение любой функции из семейства (1), найдем производную и подставим в уравнение (3), то получим тождество

Рассматривая дифференциальное уравнение (3), можно найти некоторые свойства всех кривых семейства (1). Например, в первой четверти и положительны; поэтому выражение в первой четверти всегда больше нуля и, следовательно, производная всегда положительна. Отсюда можно заключить, что все функции рассматриваемого семейства в первой четверти возрастают. Значит, рассмотрение дифференциального уравнения семейства позволило нам сделать заключение не об одной кривой, а о всем семействе сразу.

Теперь рассмотрим уравнение

где и —произвольные постоянные, или параметры. Если взять, например, значения и , тогда получим . Эта кривая изображена на рис. 109. Если , , то получаем . Эта кривая также изображена на рис. 109.

Вообще, для каждой пары значений и получается определенная кривая (на рис. 109 изображены кривые, соответствующие и ; и ; и ). Будем говорить, что уравнение (4) определяет семейство функций, зависящее от двух произвольных постоянных (или двух параметров), а так как каждой функции соответствует кривая, то будем также говорить, что уравнение (4) определяет семейство кривых. Найдем первую и вторую производные от функции, определяемой уравнением (4):

Исключим из уравнений (4), (5) и (6) параметры и [в этом примере и проще всего исключаются при помощи сложения уравнений (4) и (6)] После исключения будем иметь

Уравнение (7) является дифференциальным уравнением семейства (4). Из уравнения (7) находим, что , отсюда видно, что в первой и второй четвертях, т. е. при , вторая производная отрицательна. А если, то (см. гл. VIII) кривая выпукла. Таким образом, опять из рассмотрения дифференциального уравнения мы выяснили, что все кривые семейства, если они расположены над осью , выпуклы, а если ниже оси , вогнуты. Приведенные примеры показывают связь между дифференциальными уравнениями и семействами кривых.

Основные определения дифференциального уравнения

Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое входят', независимое переменное, неизвестная функция и производные от этой неизвестной функции. При этом в уравнение обязательно должны входить производные, а независимое переменное и сама искомая функция явно могут не входить. Например,

являются дифференциальными уравнениями, хотя второе и третье уравнения не содержат явно неизвестной функции, а в четвертое не входит независимое переменное.

Наивысший порядок производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения. Приведем примеры дифференциальных уравнений первого порядка:

Примерами дифференциальных уравнений второго порядка могут служить следующие:

Уравнение есть дифференциальное уравнение третьего порядка. Уравнение — пятого порядка. Примером дифференциального уравнения порядка может служить уравнение

Решить, или проинтегрировать, дифференциальное уравнение—это значит найти такую функцию, которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, обращает его в тождество. Такая функция называется решением дифференциального уравнения.

Например, функция является решением дифференциального уравнения . Действительно, , , подставляя , в уравнение , получаем , т. е. тождество.

Если решение дифференциального уравнения содержит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения, то такое решение называется общим решением дифференциального уравнения.

Поясним, что называют независимыми произвольными постоянными: Постоянные, входящие в решение, называются независимыми, если они входят в решение так, что нельзя заменить никакую комбинацию двух или нескольких из них при помощи введения нового постоянного и тем самым уменьшить число постоянных.

Например, если имеем , то сюда входят три постоянных и . Однако можно заданное уравнение переписать в виде . Если теперь обозначим , через , то последнее уравнение перепишется так: . В этом уравнении постоянных только два и . Таким образом, в первоначальном уравнении постоянные , и не были независимыми. Также, если рассмотрим уравнение то его можно переписать в виде обозначив , через , a через получим

Следовательно, в уравнении постоянные , и не являются независимыми.

Пример:

имеет общее решение

Решение, которое получается из общего при определенных значениях произвольных постоянных, называется частныт решением. Например, если положить в предыдущем примере и , то получим , это частное решение.

Геометрический смысл общего решения: общее решение дифференциального уравнения является семейством кривых, зависящим от произвольных постоянных в числе, равном порядку дифференциального уравнения. Частное решение имеет своим графиком какую-нибудь из кривых, входящих в указанное семейство. Эти кривые называются интегральными кривыми. Часто встречается задача, в которой нужно определить частное решение по начальным данным, или начальным условиям. Эта задача состоит в следующем:

Дано дифференциальное уравнение ; требуется найти решение , которое при принимало бы значение , или, что то же, найти решение, график которого проходил бы через заданную точку . Координаты этой точки и являются начальными данными, или начальными условиями. Например, дано уравнение ; его общим решением является (так как , то при подстановке в уравнение получаем тождество). Надо выделить из общего решения частное, принимающее значение при (это начальные данные). Полагая в уравнении , а , получаем, из этого уравнения определяем С. Находим, что . Таким образом, является искомым частным решением.

Дифференциальные уравнения возникают часто при решении геометрических и физических задач, так как установить соотношение между дифференциалами (или производными) обычно легче, чем между самими величинами. Это объясняется тем, что, пользуясь дифференциалами, можно допускать ошибки, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка по сравнению с приращением независимого переменного, как мы это видели в гл. IX и ХП и увидим в пр. 4 следующего параграфа.

Решение дифференциального уравнения

Решением дифференциального уравнения (12.1) называется такая функция которая при подстановке се в это уравнение обращает его в тождество. Например, функция является решением уравнения так как для любых .

Задача о нахождении решения некоторого дифференциального уравнения называется задачей интегрирования данного дифференциального уравнения. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Поскольку , то исходное уравнение равносильно следующему равенству дифференциалов: Выполняя почленное интегрирование, получаем где — произвольная постоянная. Вновь записывая производную как отношение двух дифференциалов, приходим к равенству . Интегрируя почленно, окончательно получаем , где — произвольная постоянная.

Отметим, что без дополнительных предположений решение данного уравнения принципиально неоднозначно. Другими словами, дифференциальное уравнение задает семейство интегральных кривых на плоскости. Для выделения однозначно определенной интегральной кривой (решения) в нашем случае достаточно указать точку плоскости, через которую проходит искомая интегральная кривая, и направление, в котором она проходит через эту точку. (Дополнительные условия такого рода обычно называют начальными, поскольку часто дифференциальные уравнения используются для описания динамических процессов — процессов, проходящих во времени. В этих случаях независимая переменная обозначает время.) Например, если известно, что то приходим к решению . Аналогично, для выделения однозначно определенного решения дифференциального уравнения -го порядка следует, вообще говоря, дополнительно задать начальных условий. ►

Общим решением дифференциального уравнения (12.1) -го порядка называется такое его решение

которое является функцией переменной произвольных независимых постоянных (Независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений между ними.)

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных

В примере 12.1 — общее решение, — частное решение дифференциального уравнения

Чтобы построить дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют кривые заданного семейства (12.2), следует продифференцировать равенство (12.2) раз, считая, что — функция независимой переменной , а затем из полученных равенств и (12.2) исключить

Пример:

Составить дифференциальное уравнение семейства кривых

Решение:

Дифференцируя заданную функцию, находим, что

Исключая из этих двух равенств постоянную , приходим к уравнению

К дифференциальным уравнениям приводят ряд задач экономики, физики, биологии, экологии и т.п. Приведем некоторые из них.

Пример:

Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени. (Описать протекание демографического процесса.)

Решение:

Пусть — число жителей региона в момент времени Прирост населения за время равен разности между числом родившихся и умерших за это время, т.е.

или

где . Переходя к пределу при , получаем уравнение

представляющее математическую модель демографического процесса.

Решая это уравнение (см. § 12.4 а также пример 12.8), получаем закон изменения численности населения

где — постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени). ►

Пример:

Найти уравнения кривых, в каждой точке которых отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится пополам точкой касания.

Решение:

Пусть — произвольная точка кривой указанного типа; — касательная к кривой в точке — точки пересечения касательной с осями абсцисс и ординат соответственно (см. рис. 12.1). По условию имеем и потому или Так как угловой коэффициент касательной является производной, т.е. то приходим к уравнению

решая которое (см. § 12.5), получаем уравнение обратной пропорциональной зависимости

где — некоторое число. ►

Дифференциальные уравнения первого порядка. Теорема о существовании и единственности решения

Рассмотрим вопросы теории дифференциальных уравнений на примере уравнений первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. таких, которые допускают представление в виде

где — некоторая функция двух переменных.

Мы будем обозначать через множество точек плоскости на котором функция определена, дополнительно предполагая, что множество является открытым. (Множество точек плоскости называется открытым, если вместе с каждой своей точкой оно содержит некоторую окрестность этой точки.)

Рассмотрим геометрический смысл уравнения (12.7). Производная функции представляет угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной к кривой в точке с абсциссой . Следовательно, уравнение (12.7) каждой точке плоскости задает направление касательной к интегральной кривой проходящей через эту точку. Говорят также, что уравнение (12.7) задает поле направлений в области (см. рис. 12.2).

Решить уравнение (12.7) — значит найти семейство кривых, отвечающих заданному полю направлений.

Перейдем теперь к теореме существования и единственности решения, играющей важную роль при описании решений дифференциального уравнения. (При формулировке этой теоремы нам потребуются некоторые понятия теории функций нескольких переменных. Необходимые определения можно найти в гл. 15.)

Теорема. Пусть в дифференциальном уравнении (12.7) функция и ее частная производная непрерывны на открыто множестве координатной плоскости Тогда:

1. Для всякой точки множества найдется решение уравнения (12.7), удовлетворяющее начальному условию
2. Если два решения и уравнения (12.7) совпадают хотя бы для одного значения , т.е. если , то эти решения совпадают для всех тех значений переменной , для которых они определены.

Геометрический смысл теоремы состоит в том, что через каждую точку множества проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (12.7) (см. рис. 12.3).

Теорема устанавливает условия существования и единственности решения задачи Коши — задачи отыскания частного решения дифференциального уравнения (12.7), удовлетворяющего начальному условию .

Пример №1

Решить уравнение

Решение:

В данном случае определены и непрерывны при любых и, следовательно, условия теоремы выполнены на всей плоскости .

Непосредственной подстановкой в уравнение убеждаемся в том, что каждая функция вида

где — некоторое число, является решением уравнения (12.8). Покажем, что все решения уравнения (12.8) имеют такой вид при некотором значении постоянной . Пусть — некоторое решение уравнения (12.8), — точка, в которой это решение определено, и Положим Тогда решения и уравнения (12.8) совпадают при , а потому согласно п. 2 теоремы совпадают для всех точек. ►

Приведем пример уравнения, для которого не выполняется условие единственности решения, т.е. существует такая точка плоскости Оху, через которую проходит более одной интегральной кривой. Пусть . Проверяем непосредственно, что -- решения данного уравнения, проходящие через точку (0; 0) (см. рис. 12.4).

Подробное объяснение:

Из всех дифференциальных уравнений первого порядка мы рассмотрим только один тип, именно уравнения с разделяющимися переменными. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Чтобы проинтегрировать, или, что то же, решить это уравнение, переписывают его в таком виде:

После этого ищут неопределенные интегралы от левой и правой частей уравнения (2) и приравнивают результаты. Произвольные постоянные, которые при этом получаются, обычно переносят в одну из частей равенства и их разность обозначают одной буквой. Покажем на примерах, как это делается.

Пример №2

Рассмотрим уравнение . Разделяя переменные, перепишем его так: . Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем

Обозначая , найдем , откуда

Это и есть общее решение данного уравнения.

Пример №3

Рассмотрим дифференциальное уравнение . Заменим производную отношением дифференциалов и разделим переменные:

Проинтегрируем левую часть по , правую по и приравняем результаты:

Это равенство и дает общее решение.

Интересно отметить, что общие решения могут иметь различный вид, поэтому сразу не скажешь, что они дают одну и ту же связь между и . Например, возьмем только что полученное общее решение и положим , тогда

Теперь возьмем тангенсы от левой и правой частей

Заметив, что , и применив формулу тангенса суммы, получим

или

Последнее равенство также дает общее решение уравнения .

Пример №4

Закон охлаждения тела в воздухе формулируется следующим образом:

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности температур тела и воздуха, т. е.

где — время, —температура тела, — температура воздуха, которая во время опыта считается неизменной, — коэффициент пропорциональности.

Тело в начале опыта имело температуру 100° С. Через 20 минут его температура стала 60° С. Узнать, через сколько минут температура тела станет равной 30° С, если известно, что температура воздуха во время опыта оставалась равной 20° С.

В нашей задаче , поэтому сформулированный закон запишется

Это—дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Перепишем его, разделив переменные:

Интегрируя левую и правую части, будем иметь

или, потенцируя,

Используем начальные условия: подставим в равенство (5) и , получим 1. Отсюда , и уравнение (5) принимает вид

Полученное уравнение еще не позволяет вычислить искомое время, так как в нем содержится неизвестный коэффициент . Для его определения используем результаты наблюдения, т. е. что при температура. Подставляя эти данные в уравнение (6), получим ; , откуда ; следовательно, уравнение (6) можно записать в виде

Теперь можно получить ответ на поставленный в задаче вопрос: положим в (7) , тогда . Решая это уравнение, находим ; ; . Таким образом, 60 минут охладится до 30°С.

Пример №5

Истечение жидкости из сосуда. Если жидкость вытекает из сосуда через малое отверстие в дне сосуда, то скорость истечения в данный момент определяется формулой . Здесь —расстояние свободной поверхности жидкости от отверстия, —ускорение силы тяжести и —коэффициент, определяемый опытным путем и зависящий от вязкости жидкости и формы отверстия. Например, если жидкость— вода, а отверстие — круг радиуса 0,1, то коэффициент . Значит, в этом случае формула будет выглядеть так:

Пользуясь приведенной формулой, решим задачу.

Пример №6

Вычислить время , за которое вода вытечет из сосуда, имеющего форму полушара радиуса, если известно, что в начальный момент вода заполняла весь сосуд. Отверстие, через которое вытекает вода, является кругом радиуса 0,1 м (рис. 110, а).

Решение:

Выберем оси координат так, как показано на рис. 110, а, и рассмотрим промежуточный момент времени . В этот момент вода уже не будет занимать всего сосуда и ее поверхность будет находиться на расстоянии от начала координат. Расстояние свободной поверхности воды от отверстия будет равно , скорость истечения .

Рассмотрим, что произойдет с водой за малый промежуток времени , протекший с момента . За этот промежуток времени уровень воды понизится на . С другой стороны, за этот же промежуток времени вода вытечет через отверстие в виде цилиндрической струйки. На чертеже изображены вытекший слой высоты (рис. 110, б) и струйка (рис. 110, в). Объем слоя и струйки равны между собой.

Подсчитаем каждый из этих объемов. Подсчеты будем вести так же, как в гл. XII, с точностью до бесконечно малых высшего порядка. Так как мало, то можно считать, что скорость истечения за промежуток времени остается неизменной, такой же, какой она была в момент времени Значит, будем считать, что скорость истечения в указанном промежутке времени равна .

Поэтому длина струйки (высота цилиндра) равна скорости, умноженной на время, т. е. . Объем струйки получим, умножив ее длину (высоту цилиндра) на площадь отверстия (площадь основания цилиндра), которая равна . Таким образом, объем струйки равен . Теперь подсчитаем объем слоя как объем цилиндра, высота которого равна , а радиус основания . Выразим через из прямоугольного треугольника . Применяя теорему Пифагора, получим . Поэтому площадь круга равна, а объем слоя

Приравнивая объем струйки объему слоя, получим

Это—дифференциальное уравнение, связывающее расстояние свободной поверхности воды от начала координат, время истечения и их дифференциалы. Уравнение можно переписать в виде

Здесь переменные разделены, т. е. левая часть зависит только от , а правая — только от . Интегрируя, получим

Для вычисления интеграла, стоящего в правой части, сделаем замену переменного, положив . Отсюда , и интеграл перепишется в следующем виде:

Делая последовательные преобразования и интегрируя, получаем

Следовательно,

Это уравнение, хотя и дает связь между величинами t и х, но для расчетов им воспользоваться нельзя, так как в него еще входит произвольное постоянное , величина которого неизвестна.

Однако вспомним, что нами не было использовано условие, что в начальный момент времени вода занимала весь сосуд, т. е. ее поверхность проходила через начало координат. Значит, при величина равнялась нулю. Подставляя и в уравнение , получим

откуда

Найденное значение подставляем в:

Итак, мы получили связь между и . Так как в момент, когда вся вода вытечет, , то время истечения воды из сосуда найдем, подставляя в уравнение ; получим, что .

Ещё раз вспомним что такое дифференциальное уравнение:

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка следующий:

В простейших случаях это уравнение может быть разрешено относительно производной у':

Общее решение уравнения (1) имеет вид

где С — произвольная постоянная. Геометрически общее решение (2) представляет собой семейство интегральных кривых, т. е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С (рис. 224). Интегральные кривые обладают тем свойством, что в каждой их точке М (х, у) наклон касательной удовлетворяет условию

Если задать точку , через которую должна проходить интегральная кривая, то тем самым из бесконечного семейства интегральных кривых, в простейшем случае, выделяется некоторая определенная интегральная кривая, которая соответствует частному решению нашего дифференциального уравнения.

Аналитически это требование сводится к так называемому начальному условию: при . Если известно общее решение (2), то имеем .

Из этого условия, вообще говоря, можно определить произвольную постоянную С и, следовательно, найти соответствующее частное решение. В этом состоит задача Koшu (начальная задача).

Задача Коши. Найти решение дифференциального уравнения (1), удовлетворяющее заданному начальному условию , т. е. принимающее при заданное значение .

Геометрически задачи Коши формулируются так: найти интегральную кривую дифференциального уравнения (1), проходящую через заданную точку .

Отметим следующее: дифференциальные уравнения являются математическим аппаратом, с помощью которого мы можем изучать процессы, протекающие в природе. Если условия задачи полностью определяют процесс, то он должен протекать однозначно, т. е. решение дифференциального уравнения, дающее закон протекания процесса, должно быть единственным. Общее решение дифференциального уравнения содержит произвольные постоянные и, следовательно, не дает определенного ответа на поставленный вопрос. Поэтому при решении конкретных задач кроме дифференциального уравнения нужны еще дополнительные условия. В простейшем случае это начальные условия, и мы приходим к задаче Коши.

В некоторых случаях дифференциальное уравнение (1) первого порядка выгодно записывать в форме

или в форме

где — известные функции. Форма (3) удобна тем, что здесь переменные х и у равноправны, т. е. каждую из них можно рассматривать как функцию другой. Под решениями уравнения (3), в общем случае, понимаются функции заданные параметрически (t — параметр) и удовлетворяющие уравнению (3).

Не существует общего метода интегрирования дифференциального уравнения первого порядка. Обычно рассматривают лишь некоторые отдельные типы таких уравнений, для каждого из которых дается свой особый способ решения.

Запомните:

Простейшие уравнения не содержат искомой функции, а иногда и аргумента. Нахождение решений выполняется обычным интегрированием.

Найти общее решение (если заданы начальные условия, то и частное решение) дифференциального уравнения.

Пример №7

Решение данного уравнения находится обычным интегрированием

Пример №8

В данном уравнении задано начальное условие, поэтому вначале найдем общее решение уравнения, а затем (вычислив значение произвольной постоянной) - частное.

- общее решение.

Подставив сюда начальное условие, найдем С:

Получаем частное решение у = 5х + 10.

Элементы качественного анализа дифференциальных уравнений первого порядка

Дифференциальное уравнение (12.7) называется автономным, если функция зависит только от переменной, т.е. если уравнение имеет вид

(Например, уравнение (12.8) — автономно.)

Уравнения такого типа часто встречаются на практике. Например, если дифференциальное уравнение описывает динамическое действие некоторого закона природы, то естественно предположить, что сам закон не будет изменяться с течением времени, и потому в запись правой части (12.10) время х не входит (см., например, задачу о росте населения в примере 12.3).

Ниже мы будем предполагать, что для функции выполнены условия, обеспечивающие существование и единственность решения уравнения (12.10) при произвольном значении переменной , т.е. положим, что функция имеет непрерывную производную при любом (см. § 12.2). Пусть, кроме того, нули функции (корни уравнения ) не имеют предельных точек, т.е. все они отстоят друг от друга не менее, чем на заданную положительную величину.

Будем предполагать, что уравнение (12.10) описывает процесс движения точки по прямой которая называется также фазовой прямой (переменная обозначает время). В этом случае — это скорость движения точки. Согласно (12.10) она зависит только от координаты точки и не зависит от значения текущего момента времени.

Особую роль в проводимом анализе будут играть нули функции . Убедимся в том, что если и точка в некоторый момент времени имеет координату то с течением времени она не меняет своего положения на фазовой прямой (оси ). (Равно как и во все предшествующие моменты времени она находилась в этой же точке.) Действительно, проверяем подстановкой, что — решение уравнения (12.10). Но решение как раз и описывает точку, не меняющую с течением времени своего положения. Ввиду изложенных причин нули функции называются также положениями равновесия или стационарными точками.

Пусть нули функции . Прямые разбивают всю координатную плоскость на полосы, расположенные параллельно оси абсцисс. Рассмотрим особенности интегральных кривых, заполняющих одну из таких полос. Так как функция непрерывна, то согласно (12.10) производная знакопостоянна на произвольном интервале между положениями равновесия. Поэтому все интегральные кривые, лежащие в одной полосе, задаются либо только возрастающими, либо только убывающими функциями.

Пример №9

Построить семейства интегральных кривых уравнения (12.8).

Решение:

В данном случае и единственным нулем этой функции является . В результате вся координатная плоскость разбивается прямой на две полуплоскости («полосы»). Решения (12.8) описываются функциями вида (12.9). При получаем решение, отвечающее неподвижной точке. Для всех имеем семейство монотонно возрастающих функций, для — монотонно убывающих (см. рис. 12.5).

Рассмотрим интегральные кривые, лежащие в выделенной полосе, например кривые Поскольку то при параллельном переносе интегральной кривой вдоль оси абсцисс вновь получается интегральная кривая, причем из т о г о же семейства.

Пусть — две интегральные кривые указанного семейства и Перенося вторую кривую вдоль оси абсцисс на единиц, приходим к первой кривой.

Действительно, . Таким образом, все интегральные кривые одной полосы получаются одна из другой параллельным переносом вдоль оси абсцисс.

Отметим также, что прямая , отвечающая неподвижной точке дифференциального уравнения, является горизонтальной асимптотой интегральных кривых этого уравнения. ►

Можно доказать, что утверждения, сформулированные при решении примера 12.6, остаются справедливыми в общем случае.

Описывая движение точки по фазовой прямой, мы полностью сохраним качественную информацию об этом движении, если вместо интегральных кривых изобразим лишь возможные траектории точки с указанием направления движения. Графическое изображение этих траекторий, называемых фазовыми, дает фазовый портрет автономного уравнения (12.10). Например, фазовый портрет уравнения (см. пример 12.6) изображен на рис. 12.6.

В данном случае фазовая прямая распадается на три траектории: интервалы и положение равновесия

Пример №10

Найти фазовый портрет уравнения .

Решение:

Решая уравнение , получаем положения равновесия: . Траекторий в данном случае будет пять: интервалы и точки . Из вида решаемого уравнения следует, что если , то решение — убывающая функция, и, следовательно, точка движется по фазовой прямой с уменьшением своей координаты (влево).

Если и точка движется вправо. Окончательный фазовый портрет изображен на рис. 12.7. ►

Направления движения точки вблизи ее положения равновесия определяют тип положения равновесия. Например (см. рис. 12.7), находясь в достаточной близости от точки , подвижная точка будет лишь приближаться к точке равновесия .

Такие положения равновесия называются устойчивыми. Наоборот, находясь в достаточной близости от точки , подвижная точка будет лишь удаляться от положения равновесия . Такие положения равновесия называются неустойчивыми.

Возможен также третий тип точек равновесия — так называемые точки полуустойчивого равновесия. (Например, точка уравнения (см. рис. 12.8) или точка уравнения (см. рис. 12.9).

Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение (12.7) первого порядка называется неполным, если функция явно зависит либо только от , либо только от . Рассмотрим решения таких уравнений.

1. Уравнение или Перепишем уравнение в виде откуда его решение

2. Уравнение

Его решение удобно искать в виде т.е. считать, что переменная обозначает независимую переменную, а переменная — функцию. (Поскольку то уравнение (12.7) можно записать в виде

и, ввиду инвариантности формы дифференциала, считать переменные равноправными.) В этом случае из (12.11) получаем и

Пример №11

Решить уравнение (12.8):

Решение:

Найдем решение в виде Полагая, что из (12.8) и (12.12), получаем и

откуда Полагая, что произвольная постоянная получим (Заметим, что полученное общее решение уравнения при дает частное решение , «потерянное» в процессе преобразований.) ►

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть представлено в виде

или в виде

где — некоторые функции переменной — функции переменной .

Для решения такого уравнения его следует преобразовать к виду, в котором дифференциал и функции переменной окажутся в одной части равенства, а переменной — в другой. Затем проинтегрировать обе части полученного равенства. Например, из (12.14) следует, что .

Выполняя интегрирование, приходим к решению уравнения (12.14).

Пример №12

Решить уравнение

Решение:

Разделив левую и правую части уравнения на выражение (при ), приходим к равенству . Интегрируя, получим

или

(так как интеграл в левой части (12.16) табличный, а интеграл в правой части может быть найден, например, заменой

Решение (12.17) перепишем в виде или , где

Уравнения вида

где — некоторые числа, приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными заменой (или где — некоторое число).

Пример №13

Решить уравнение

Решение:

Положим Тогда откуда и исходное уравнение приводится к виду

который допускает разделение переменных. Действительно, выражая из последнего равенства , получаем

и, следовательно,

Выполним почленное интегрирование данного равенства:

Возвращаясь к первоначальным переменным, получаем

или

где

Предлагаем читателю в качестве упражнения убедиться, что неявные функции (12.20) действительно удовлетворяют исходному уравнению (12.19). ►

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если оно может быть представлено в виде

где — некоторая функция (одной переменной).

Например, уравнение — однородное.

Понятие однородного дифференциального уравнения связано с однородными функциями. Функция называется однородной степени (по переменным ), если для произвольного числа выполняется равенство

Пример №14

Выяснить, являются ли однородными следующие функции:

Решение:

а) Так как то данная функция однородная степени 2.

б) Так как то данная функция однородная степени 0.

в) Так как ни для какого то данная функция неоднородная. ►

Если функция однородная степени 0, то уравнение

может быть сведено к однородному. Действительно, положим Тогда в силу (12.22) при

Полагая, что приводим уравнение (12.23) к виду (12.21).

Из доказанного вытекает, что если дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

где функции являются однородными степени то это уравнение может быть сведено к однородному, так как из (12.24) получаем

а функция, стоящая в правой части последнего равенства, однородная степени 0.

Рассмотрим теперь способ решения дифференциального уравнения (12.21). Убедимся, что введение в рассмотрение вспомогательной функции от переменной (замена переменной) позволяет свести это уравнение к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, так как то поэтому уравнение (12.21) приобретает следующий вид

откуда получим, что

Пример №15

Решить уравнение

Решение:

Так как то уравнение (12.26) имеет вид (12.21) при Положим Тогда и, согласно (12.25), имеем

Интегрируя почленно последнее равенство, получаем

откуда

Возвращаясь к первоначальным переменным, получим откуда

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если оно имеет вид

где — некоторые (непрерывные) функции переменной . В случае, когда функция тождественно равна нулю, уравнение называется однородным, в противном случае — неоднородным.

Рассмотрим один из возможных способов решения уравнения (12.27): будем искать решение в виде (тем самым искомыми становятся функции одна из которых может быть выбрана произвольно, а другая — должна определяться из уравнения (12.27).

Так как то из (12.27) следует или

Найдем сначала какое-либо частное решение уравнения

Тогда (см. (12.28)) функция — решение уравнения

Тем самым решение исходного уравнения (12.27) сводится к решению двух уравнений с разделяющимися переменными (см. (12.29) и (12.30)).

Пример №16

Решить уравнение

Решение:

Разделив левую и правую части (12.31) на , приходим к линейному неоднородному уравнению:

Пусть тогда уравнение (12.31) примет вид или

Положим или , откуда

Проинтегрировав, найдем какое-либо частное решение этого уравнения, например, при При равенство (12.32) обратится в уравнение или Решая это уравнение с разделяющимися переменными, получаем Тогда окончательно имеем

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

В некоторых случаях решение дифференциального уравнения второго порядка может быть сведено к последовательному решению двух дифференциальных уравнений первого порядка (тогда говорят, что данное дифференциальное уравнение допускает понижение порядка).

Если дифференциальное уравнение имеет вид

то оно решается последовательным интегрированием.

Если в запись уравнения не входит искомая функция , т.е. оно имеет вид

то такое уравнение можно решить, найдя сначала вспомогательную функцию

Пример №17

Решить уравнение

Решение:

Положим Тогда и исходное уравнение принимает

Откуда Интегрируя, приходим к решению Возвращаясь к первоначальной функции, получаем уравнение решая которое, окончательно имеем

Если в уравнение не входит переменная , т.е. оно имеет вид

то порядок уравнения можно понизить, если за независимую переменную взять , а за неизвестную функцию —

Пример №18

Решить уравнение

Решение:

Положим Тогда

и исходное уравнение принимает вид

Данное уравнение — с разделяющимися переменными:

. Выполняя интегрирование, получаем или, полагая , . Так как , то приходим к следующему уравнению относительно функции

Выполняя интегрирование, получаем или

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

где — некоторые действительные числа, — некоторая функция. Если то уравнение

называется однородным; в противном случае при уравнение (12.33) называется неоднородным.

Можно доказать, что существует единственное решение уравнения (12.33), удовлетворяющее начальным условиям где — некоторые (действительные) числа.

Рассмотрим сначала решение линейного однородного уравнения (12.34) с постоянными коэффициентами.

Напомним, что линейной комбинацией функций и с коэффициентами называется выражение вида Если линейная комбинация функций равна нулевой функции только тогда, когда коэффициенты равны нулю, то функции называются линейно независимыми, в противном случае — линейно зависимыми.

Пример №19

Убедиться в линейной независимости следующих функций:

Решение:

а) Если но так как , то функция, стоящая в правой части последнего равенства, является постоянной, только если и, следовательно,

б) Тождественное равенство возможно, только если функция является нулевой, откуда следует

в) Предположим, что

Тогда Если хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля, то нетрудно подобрать такое значение переменной , что функция в левой части последнего равенства отлична от нуля (например, ).Поскольку это невозможно, то ►

Говоря о решениях уравнения (12.34), отметим прежде всего, что они обладают, как говорят, структурой линейного пространства: если — решения уравнения (12.34), то их линейная комбинация

где — некоторые числа, также является решением этого уравнения. Действительно, подставляя функцию (12.35) в (12.34), получаем

Другими словами, формула (12.35) задает способ построения новых решений уравнения (12.34) из уже имеющихся. Возникает вопрос: сколько и какие решения уравнения (12.34) следует задать, чтобы с их помощью можно было описать все решения этого уравнения? Ответ на него дает следующая теорема.

Теорема 1. Если — линейно независимые частные решения уравнения (12.34), то общее решение этого уравнения является линейной комбинацией этих частных решений, т.е. имеет вид (12.35) для некоторых действительных чисел .

Итак, чтобы найти общее решение уравнения (12.34), надо знать два его частных решения

Будем искать решение уравнения (12.34) в форме

где — некоторое (действительное) число (если такое существует). Так както функция (12.36) является решением уравнения (12.34), если число есть корень уравнения

которое называется характеристическим уравнением исходного уравнения (12.34).

Описание решений уравнения (12.34) зависит от того, имеет ли соответствующее характеристическое уравнение (12.37) два различных корня, один корень или не имеет действительных корней. Справедлива теорема.

Теорема 2. 1. Пусть характеристическое уравнение (12.37) уравнения (12.34) имеет действительные корни , причем . Тогда общее решение уравнения (12.34) имеет вид

где — некоторые числа.

2. Если характеристическое уравнение (12.37) имеет один корень (кратности 2), то общее решение уравнения (12.34) имеет вид

где — некоторые числа.

3. Если характеристическое уравнение (12.37) не имеет действительных корней, то общее решение уравнения (12.34) имеет вид

где — некоторые числа.

 Принимая во внимание теорему 1 и результаты, полученные в примере 12.16, для доказательства достаточно проверить, что функции, линейные комбинации которых рассматриваются в п. а, б, в, действительно являются решениями уравнения (12.34) при сделанных предположениях. В случае функций и из п. а и функции из п. б справедливость этого утверждения вытекает из замечания о функциях вида (12.36) (см. выше). Проверку остальных случаев мы оставляем читателю в качестве упражнения. ■

Пример №20

Найти частное решение следующих уравнений при указанных начальных условиях:

Решение:

а) Решая характеристическое уравнение , находим его корни Тогда общее решение данного уравнения имеет вид Найдем такие значения постоянных , при которых выполняются заданные начальные условия. Так как и то постоянные находим, решая систему

Откуда

По теореме о существовании и единственности решения уравнения вида (12.33) найденное частное решение — искомое.

б) Решая характеристическое уравнение , получаем . Согласно п. 2 теоремы 2 общее решение дифференциального уравнения (12.34) имеет вид . Так как и, поскольку то Таким образом, окончательно получаем частное решение

в) Характеристическое уравнение не имеет действительных корней. В этом случае согласно п.3 теоремы 2 общее решение дифференциального уравнения имеет вид

Так как Найдем Учитывая, что , получим Таким образом, приходим к частному решению

Перейдем теперь к решению линейного неоднородного уравнения (12.33) с постоянными коэффициентами.

Это уравнение может быть, в частности, решено методом вариации произвольных постоянных, который состоит в следующем. Сначала находится общее решение однородного уравнения (12.34), имеющего ту же левую часть, что и исходное неоднородное уравнение (12.33). Затем решение уравнения (12.33) находится в виде т.е. предполагается, что постоянные являются функциями независимой переменной . При этом функции могут быть найдены как решения системы

Пример №21

Решить уравнение

Решение:

Решая соответствующее однородное уравнение

, находим

Полагая теперь, что — функции переменной , найдем первые производные этих функций, решая систему (12.41)

Найдем . Полученные дифференциальные уравнения — с разделяющимися переменными. Решая эти уравнения, получаем где — некоторые постоянные. Таким образом, окончательно решение уравнения имеет вид

Обратим внимание на структуру полученного решения. Первые два слагаемых — это общее решение однородного уравнения (12.43), соответствующего исходному дифференциальному уравнению (12.42). Последнее слагаемое, как нетрудно убедиться непосредственным вычислением, — частное решение исходного уравнения (12.42). Аналогичное утверждение справедливо и в общем случае, т.е. справедлива теорема.

Теорема 3. Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения (12.33) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (12.34) и частного решения исходного неоднородного уравнения (12.33).

Следует отметить, что метод вариации произвольных постоянных достаточно сложен, поэтому в ряде случаев целесообразно использовать другие методы решения, основанные на теореме 3. Сначала, как и при методе вариации произвольных постоянных, находится общее решение однородного дифференциального уравнения (12.34), а затем отыскивается частное решение неоднородного уравнения (12.33). При этом вид частного решения устанавливается по виду правой части уравнения (12.33), и задача сводится к отысканию коэффициентов этого частного решения.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Пусть правая часть уравнения (12.33) является многочленом степени т.е. имеет вид

где — действительные числа и . Тогда частное решение уравнения (12.33) следует искать в виде

т.е. в виде произведения многочлена той же степени на , где (см. (12.37)), если (Другими словами, показатель степени равен кратности значения как корня характеристического многочлена (12.37).)

Пример №22

Найти частное решение уравнения

Решение:

По сформулированному правилу частное решение уравнения (12.44) следует искать в виде

Найдем значения параметров в данном выражении для . Дифференцируя (12.45), получаем

Так как — решение уравнения (12.44), то значения и должны быть такими, что равенство т.е.

или

будет удовлетворяться тождественно, т.е. при всех .

Поэтому уравнение (12.46) равносильно системе

Решая эту систему, находим, что , т.е. искомое частное решение уравнения (12.44)

2. Пусть правая часть уравнения (12.33) имеет вид

где — некоторые действительные числа.

Тогда частное решение уравнения (12.33) следует искать в виде

где показатель степени равен кратности значения как корня характеристического многочлена (12.37).

Пример №23

Найти частные решения уравнений:

Решение:

а) В данном случае и поскольку такого значения нет среди корней характеристического уравнения то Таким образом, частное решение уравнения (а) будем искать в виде Тогда

Подставляя выражения в уравнение (а), приходим к равенству

или

которое должно удовлетворяться тождественно. Поэтому и искомое частное решение

б) Здесь и это значение совпадает с одним из двух различных корней соответствующего характеристического уравнения. Поэтому , и частное решение уравнения (б) будем искать в виде

Подставляя выражения и ее производных в уравнение (б), получим (после преобразований)

в) В данном случае . Одновременно корнями характеристического уравнения уравнения (в) являются (т.е. значение является корнем кратности 2). Поэтому и частное решение уравнения (в) следует искать в виде

Представляя выражение для и ее производных в уравнение (в), получим после преобразований и

3. Пусть правая часть уравнения (12.33) имеет вид где — некоторые действительные числа и

Тогда частное решение уравнения (12.33) следует искать в виде:

где если одновременно выполнены условия (см. 12.37), в остальных случаях. (Условия случая равносильны требованию, чтобы значение в выражении было таково, что комплексное число было одним из корней характеристического уравнения (12.33).)

Пример №24

Найти частное решение уравнения

Решение:

По сформулированному правилу частное решение в данном случае следует искать в виде

Найдем Подставляя выраже ния в уравнение (12.48), приходим к равенству

которое должно удовлетворяться тождественно.

Учитывая, что получим систему:

откуда и, следовательно, искомое выражение имеет вид

Рассмотренные случаи различных выражений правой части уравнения (12.33) являются частными случаями функции вида

где — многочлены (с действительными коэффициентами); — некоторые (действительные) числа.

Можно доказать, что частное решение уравнения (12.33) с правой частью (12.49) следует искать в виде

где равно кратности корня характеристического многочлена (12.37); — многочлены, степень которых равна наибольшей из степеней многочленов в выражении (12.49). Коэффициенты многочленов находятся из системы линейных уравнений, получаемой после подстановки решения (12.50) и его производных в уравнение (12.33).

Замечание. Если правая часть уравнения (12.33) является суммой некоторых функций, т.е.

то для нахождения частного решения такого уравнения достаточно сложить частные решения уравнений

Пример №25

Решить уравнение

Решение:

Найдем общее решение однородного дифференциального уравнения Получим Учитывая замечание (см. выше), частное решение и дифференциального уравнения (12.51) будет равно сумме частных решений уравнений

найденных

в примерах 12.20 (а, б), 12.21, т.е.

На основании теоремы 3 общее решение неоднородного дифференциального уравнения

Использование дифференциальных уравнений в экономической динамике

Дифференциальные уравнения находят достаточно широкое применение в моделях экономической динамики, в которых отражается не только зависимость переменных от времени, но и их взаимосвязь во времени.

Рассмотрим некоторые (простейшие) задачи макроэкономической динамики.

Задача 1. Пусть — объем продукции некоторой отрасли, реализованной к моменту времени . Будем полагать, что вся производимая отраслью продукция реализуется по некоторой фиксированной цене т.е. выполнено условие ненасыщаемости рынка. Тогда доход к моменту времени составит .

Обозначим через величину инвестиций, направляемых на расширение производства. В модели естественного роста полагают, что скорость выпуска продукции (акселерация) пропорциональна величине инвестиций, т.е.

(Здесь мы пренебрегаем временем между окончанием производства продукции и ее реализацией, т.е. считаем, что инвестиционный лаг равен нулю.)

Полагая, что величина инвестиций составляет фиксированную часть дохода, получим

где коэффициент пропорциональности (так называемая норма инвестиций) — постоянная величина,

Подставляя последнее выражение (12.53) для в (12.52), приходим к уравнению

где

Полученное дифференциальное уравнение — с разделяющимися переменными (см. § 12.4). Решая его, приходим к функции

Заметим, что уравнение (12.54) описывает также рост народонаселения (демографический процесс, см. § 12.1), динамику роста цен при постоянной инфляции, процесс радиоактивного распада и др.

На практике условие насыщаемости рынка может быть принято только для достаточно узкого временного интервала. В общем случае кривая спроса, т.е. зависимость цены реализованной продукции от ее объема у является убывающей функцией (с увеличением объема произведенной продукции ее цена падает в результате насыщения рынка). Поэтому модель роста в условиях конкурентного рынка примет вид

оставаясь по-прежнему уравнением с разделяющимися переменными.

Так как все сомножители в правой части уравнения (12.55) положительны, то и это уравнение описывает возрастающую функцию . При исследовании функции на выпуклость естественно используется понятие эластичности функции. Действительно, из (12.55) следует, что

Напомним, что эластичность спроса (относительно цены) определяется формулой (см. § 7.6). Тогда выражение для можно записать в виде и условие равносильно равенству

Таким образом, если спрос эластичен, т.е. или и функция выпукла вниз; в случае, если спрос не эластичен, т.е. или - то и функция выпукла вверх.

Пример №26

Найти выражение для объема реализованной продукции если известно, что кривая спроса задается уравнением норма акселерации норма инвестиций

Решение:

Уравнение (12.55) в этом случае принимает вид

или

Выполняя почленное интегрирование, получаем

или

где

Учитывая, что получаем, что Выражая теперь из (12.56), окончательно имеем

График данной функции схематично изображен на рис. 12.10. В данном случае эластичность спроса задается функцией и условие определяющее положение точки перегиба на кривой, дает

Кривая, изображенная на рис. 12.10, называется логистической. Подобные кривые описывают процесс распространения информации (рекламы), динамику эпидемий, процесс размножения бактерий в ограниченной среде и др. ►

Задача 2. Доход , полученный к моменту времени некоторой отраслью, является суммой инвестиций и величины потребления , т.е.

Как и ранее в модели естественного роста, будем предполагать, что скорость увеличения дохода пропорциональна величине инвестиций, т.е.

где — коэффициент капиталоемкости прироста дохода (что равносильно (12.52) при постоянной цене на продукцию и

Рассмотрим поведение функции дохода в зависимости от функции .

Пусть представляет фиксированную часть получаемого дохода: , где — норма инвестиций (см. задачу 1). Тогда из (12.57) и (12.58) получаем

что равносильно уравнению (12.54) при

В ряде случаев вид функции потребления бывает известен (из некоторых дополнительных соображений).

Пример №27

Найти функцию-дохода , если известно, что величина потребления задается функцией коэффициент капиталоемкости прироста дохода

Решение:

Из соотношений (12.57) и (12.58) имеем уравнение

т.е. функция дохода удовлетворяет линейному неоднородному уравнению первого порядка. Для его решения воспользуемся методом, описанным в § 12.6: будем искать решение в виде

Тогда имеем Значение постоянной находим из начальных условий: поскольку то Окончательно имеем

Вычисление дифференциальных уравнений

Построение математической модели какого-либо экономического процесса заключается в выявлении его закономерности, в получении аналитического выражения функциональной зависимости между переменными параметрами этого процесса.

Пример:

Из статистических данных известно, что для рассматриваемого региона число новорожденных и число умерших за единицу времени пропорциональны численности населения с коэффициентами пропорциональности соответственно. Найти закон изменения численности населения с течением времени.

Пусть y = y(t)- число жителей региона в момент времени t. Прирост населения за промежуток времени равен разности между родившимися и умершими за этот период, т.е. . Обозначим . Полученное уравнение можно записать в виде Если перейти к пределу при получается уравнение у' = ку. Решением этого уравнения является математическая модель демографического процесса , где С- постоянная, определяемая начальными условиями (численность населения в начальный момент времени).

Большинство таких задач на отыскание связи между переменными сводится к решению уравнений, связывающих между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные различных порядков по х. Такие уравнения называют дифференциальными. Огромное значение этих задач для практики, как и для теории обуславливает особо важное значение этого раздела математического анализа.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок высшей производной, содержащейся в этом уравнении. Таким образом, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий:

где F- некоторая функция n + 2 переменных при , причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить х, у и отдельные производные порядков ниже чем n. Дифференциальное уравнение n-го порядка называется разрешенным относительно старшей производной, если оно имеет вид:

(2)

где Н - некоторая функция n +1 переменной.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если левая часть его есть многочлен первой степени относительно неизвестной функции у и ее производных и не содержит их произведений, т.е. если это уравнение имеет вид:

(3)

Всякая функция у = , которая, будучи подставленной в уравнение (1), обращает его в равенство, называется решением этого уравнения. Решить (или проинтегрировать) данное дифференциальное уравнение - значит, найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Если искомая функция зависит от одной переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если от нескольких - то уравнением в частных производных. Основная задача теории дифференциальных уравнений заключается в изучении методов нахождения неизвестных функций, определяемых дифференциальным уравнением.

Основная задача интегрального исчисления - отыскание функции у, производная которой равна данной непрерывной функции f(х) - сводится к простейшему дифференциальному уравнению у'= f(x).

Общее решение этого уравнения есть функция , где С-произвольная постоянная. Выбирая надлежащим образом значение этой константы при условии непрерывности функции f(x), можно получить любое решение этого дифференциального уравнения. При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример:

Рассмотрим уравнение второго порядка у"= 0.

Так как у" = (у)'=0, то отсюда следует . Интегрируя последнее равенство, получим

Таким образом, решение содержит две произвольные постоянные т.е. число произвольных постоянных в формуле общего решения дифференциального уравнения равно порядку этого уравнения.

Определение. Общим решением дифференциального уравнения называется такое решение ) которое содержит столько независимых постоянных , каков порядок этого уравнения.

Предполагается, что функция (р в общем решении непрерывно дифференцируема по всем своим аргументам достаточное число раз. При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции , не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных.

Если общее решение задано в неявном виде то оно обычно называется общим интегралом.

Определение. Всякое решение дифференциального уравненияу которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим, называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример:

Рассмотрим уравнение второго порядка у" + у = 0.

Решениями этого уравнения будут функции sinx и cosx, т.к. . Нетрудно проверить непосредственно, что таким же решением этого уравнения является функция - произвольные постоянные. Эта функция представляет собой общее решение уравнения. Если, например, положить то полученная функция у = 5sinx — 3cosx является частным решением данного дифференциального уравнения.

Если в результате решения дифференциального уравнения найдена некоторая функция, то, подставив эту функцию в данное уравнение, можно проверить правильность решения.

Пример:

Показать, что функция есть решение уравнения

Следовательно:

что и требовалось показать.

Вычисление дифференциального уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида:

, (2)

где х - аргумент; у - неизвестная функция.

Наиболее простым является дифференциальное уравнение, разрешенное относительно

Иногда уравнение первого порядка записывается в форме:

Функция у = называется решением уравнения (1), если она обращает его в тождество, т.е..

Решение, заданное неявно, т.е. в виде , называется интегралом дифференциального уравнения.

Пример №28

Показать, что уравнение , определяющее у, как неявную функцию от х, есть интеграл дифференциального уравнения .

Дифференцируя данное уравнение, найдем у':

Подставив у в дифференциальное уравнение, получим тождество:

Дифференциальные уравнения семейства кривых

Одно-параметрическим семейством кривых называется совокупность линий, определяемая уравнением

Фиксируя значение параметра С, получают конкретную линию данного семейства. Например, уравнение определяет собой семейство парабол с вершиной в начале координат, симметричных относительно оси Оу. Придавая параметру С значения, получают параболы .

Дифференцируя уравнение семейства линий по x (считая у функцией от дг) и исключая параметр С, приходят к дифференциальному уравнению вида , которому удовлетворяет любая линия данного семейства.

Пример №29

Из семейства окружностей выделить ту, которая проходит через точку A(3,4). Составить дифференциальное уравнение данного семейства окружностей.

Чтобы выделить нужную окружность, необходимо найти соответствующее ей значение параметра С. Так как искомая окружность проходит через точку А, то координаты этой точки удовлетворяют уравнению окружности. Подставляя x = 3; у = 4, получим. Искомое уравнение имеет вид: .

Чтобы составить дифференциальное уравнение семейства окружностей :, продифференцируем его по x:

Геометрическое истолкование дифференциального уравнения

Пусть является решением дифференциального уравнения F(x,y,y')= 0. График функции называется интегральной кривой уравнения. Само дифференциальное уравнение устанавливает зависимость между координатами точки (х,у) и угловым коэффициентом касательной у' к интегральной кривой в той же точке.

Если через а обозначить угол между касательной и интегральной кривой в точке (x, y) и положительным направлением оси Ох, то , следовательно, tga = f(х, у). Это значает, что направление касательных к интегральным кривым задается самим дифференциальным уравнением.

Геометрически уравнение у' = f(x,y) равносильно заданию в области определения функции f(x, у) поля направлений, а интегрирование этого уравнения равносильно проведению таких линий, которые в каждой своей точке касаются направления поля, заданного в этой точке.

Изучая поле направлений, определяемое данным дифференциальным уравнением, получают некоторое представление об интегральных кривых этого уравнения, а иногда и сами интегральные кривые. Линия, вдоль которой направление поля, определяемого уравнением у = f(x, у) одно и то же, называется изоклиной. Уравнение изоклины получается из уравнения у' = f(х,у), если положить у'= const, т.е. f(x,y)=C.

Пример:

Изоклинами уравнения является семейство окружностей.

Задача Коши

Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, чтобы найти решение, которое при заданном значении аргумента принимает заданное значение , т.е. удовлетворяет начальному условию

Геометрически задача Коши формулируется следующим образом: среди всех интегральных кривых данного дифференциального уравнения выделить ту, которая проходит через заданную точку Решение задачи Коши называют частным решением дифференциального уравнения.

Пример №30

Найти:

• семейство кривых, для которых угловой коэффициент касательной равен ординате точки касания;
• кривую этого семейства, проходящую через точку (2,5).

Решение:

Дифференциальное уравнение искомого семейства у'=у или .

Проинтегрировав обе части равенства, получим: 1n у = x + 1n, откуда уравнение семейства кривых, обладающих заданным свойством.

Определим значение С, соответствующее начальным значениям:

Следовательно, - искомая интегральная кривая.

Дифференциальное уравнение n-го порядка можно свести к системе n дифференциальных уравнений 1-го порядка. В самом деле, если обозначить через через через 1, получим систему дифференциальных уравнений:

Для этой системы также можно ввести понятия частного и общего решений, а также начальных условий. Начальные условия можно задавать значениями всех функций в некоторой точке , т.е. это просто начальные условия исходного уравнения n-го порядка. Когда такое решение будет найдено, то функция у будет искомым частным решением исходного уравнения n-го порядка. Верно и обратное: если дана произвольная система дифференциальных уравнений первого порядка, то, исключив из нее все неизвестные функции, кроме одной, ее можно свести к одному уравнению соответствующего порядка, которое, возможно, проще решить.

Пример №31

Решить систему двух уравнений первого порядка:

Решение:

Продифференцировав первое уравнение, получим у" = z'. Подставим в него z из второго уравнения, получим у" = у. Общее решение этого уравнения имеет вид . Используя первое уравнение, получаем , и исходная система решена. Теперь рассмотрим систему дифференциальных уравнений первого порядка вида:

которую коротко можно записать в векторной форме

Задача Коши для такой системы формулируется следующим образом: для заданной точки найти вектор-функцию , которая является решением системы уравнений и .

Рассмотрим задачу Коши для разрешенного относительно дифференциального уравнения n-го порядка которое можно получить из рассмотренной выше системы дифференциальных уравнений первого порядка, если ввести обозначения:

получится эквивалентная система п дифференциальных уравнений первого порядка:

Задача Коши для уравнения n-го порядка формулируется следующим образом: найти решение уравнения для данных значений:

Точки называются начальными условиями, их можно записать также в виде

Существование и единственность решения задачи Коши может быть сформулировано в виде следующих теорем.

Теорема. Пусть в некоторой области D функция f(x,y) и ее частная производная непрерывны. Тогда через каждую точку проходит единственное решение дифференциального уравнения .

Графически это можно представить как семейство кривых, представляющих графики решений, которые полностью заполняют область D, но при этом они не могут иметь общих точек, т.е. они не пересекаются и не касаются друг друга.

Теорема. Рассмотрим систему дифференциальных уравнении.

Если функции и их частные производные по непрерывны в n + 1-мерной области D, то через каждую точку области D проходит единственное в области D решение системы дифференциальных уравнений:

Теоремы существования и единственности решения задачи Коши позволяют описать множество решений дифференциального уравнения в виде общего решения.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Если уравнение вида после преобразования может быть записано в виде , то оно называется уравнением с разделяющимися переменными.

Исключим из рассмотрения точки, в которых и . После этого разделим обе части уравнения на и получим уравнение:

, в котором переменные разделены.

Общим интегралом уравнения будет:

Пример №32

Найти общий интеграл уравнения и выделить интегральную кривую, проходящую через точку 0(0,0).

Общим интегралом будет или .

Полагая в нем x = 0, y = 0, находим, что С = 0. Искомой интегральной кривой будет .

Пример №33

Найти общий интеграл

Разделим переменные в данном уравнении, деля обе части на

Почленно интегрируя, получим:

Применим изложенный метод к задаче об эффективности рекламы:

Пусть торговой фирмой реализуется некоторая продукция, о которой в момент времени t = 0 из рекламы получили информацию д0 человек из общего числа N потенциальных покупателей. Далее эта информация распространяется посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число знающих о продукции людей равно x(t). Сделаем предположение, что скорость роста числа знающих о продукции пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент покупателей, так и числу неосведомленных покупателей. Это приводит к дифференциальному уравнению:

Здесь к - положительный коэффициент пропорциональности. Из уравнения получаем равенство дифференциалов двух функций аргумента t:

Интегрируя левую и правую части, находим общее решение дифференциального уравнения:

В общее решение входит неопределенная константа С. Полагая NC = D, получим равенство: , из которого определим функцию

Здесь . Такого вида функция называется логистической, а её график - логистической кривой.

Если теперь учесть, что и положить где а > 0, то можно найти значение константы Е. Логистическая функция примет вид:

На рисунке приведены примеры логистических кривых, полученных при различных значениях а. Здесь величина n условно принималась за 1, а величина к бралась равной 0,5.

С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост популяции определенного вида животных и др.

Однородные дифференциальные уравнения

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с понятием однородной функции.

Многочлен называется однородным степени n, если все члены его имеют один и тот же порядок n, т.е. для каждого члена выполняется условие i + j=n.

Например, есть однородный многочлен степени 2. Интересно отметить, что если аргументы х и у однородного многочлена степени п заменить пропорциональными величинами , то в результате исходный многочлен будет умножен на величину, равную коэффициенту пропорциональности в степени n, т.е. . Так, для приведенного выше полинома:

Это свойство положено в основу общего определения однородной функции.

Определение. Функция f(x,y) называется однородной функцией степени n (или n-го измерения), если для любого числа имеет место тождество

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если коэффициенты Р(х,у) и Q(x,y) при дифференциалах переменных х и у - однородные функции одной и той же степени.

Пусть однородное дифференциальное уравнение имеет вид у' = f(x,y) или . Записывая это уравнение в полных дифференциалах, получим dy = f(x, y)dx.

При dy стоит коэффициент, равный единице, т.е. однородная функция нулевой степени. Следовательно, f(х,у) также должна быть однородной функцией нулевой степени. Таким образом, дифференциальное уравнение первого порядка у' = f(x,y) является однородным тогда и только тогда, когда f(x,y) является однородной функцией нулевой степени. Другими словами, однородное дифференциальное уравнение первого порядка может быть преобразовано к виду .

Подстановка , где u(х) новая неизвестная функция, приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.

Если . Подставляя в уравнение, получим: , т.е. или

После интегрирования подставим вместо u и получим общий интеграл данного уравнения.

Пример:

Проинтегрировать уравнение. Разделив обе части равенства на , получим уравнение, правая часть которого есть функция отношения

Положив в нем , получим уравнение с разделяющимися переменными:

Разделяем переменные: Интегрируя и подставляя вместо и, получим общий интеграл исходного уравнения:

Линейные дифференциальные уравнения

Уравнение вида:

y' + P(x)y = Q(x), (2)

где Р(x) и 0(х) непрерывные функции от х называется линейным, в частности, уравнение у' + Р{х)у = 0 называется линейным без правой части или линейным однородным.

В линейном однородном уравнении переменные разделяются: , и поэтому его интегрирование сводится к вычислению интегралов от обеих частей равенства:

Для того чтобы решить уравнение (2) при будем искать неизвестную функцию у в виде произведения двух пока неизвестных функций U, V от х, т.е. положим , тогда

у = U(x) • V(x)+ U(x)-У(х) .

Подставить значения у и у' в уравнение (2):

После группировки получим:

Выберем U(x) так, чтобы выражение, стоящее в квадратных скобках, обращалось в ноль, т.е. U'(x)+U(x)р(x)=0. Для этого достаточно, чтобы u(х) было частным решением уравнения с разделяющимися переменными:

Проинтегрировав его, берем частное решение, отвечающее значению С = 0. Находим u(х). Подставив в уравнение (2') значение U(x), получим второе дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

общее решение которого V = V(x,C). Следовательно, общим решением уравнения (2) будет

В ряде случаев дифференциальное уравнение первого порядка является линейным не относительно у, а относительно x, т.е. может быть приведено к виду: . Метод интегрирования его тот же, что и для уравнения (2), но переменные дг и у меняют свои роли: у считается аргументом, а - неизвестной функцией.

Пример:

Проинтегрировать дифференциальное уравнение: .

Положим

Подставим у и у' в данное уравнение:

Положим

Проиитегрировав, получим частное решение при С = 0:

При равенство (3) обратится в уравнение:

откуда и общим решением данного уравнения будет

Решение многих дифференциальных уравнений нельзя свести к интегрированию известных функций. Поэтому большое значение имеют различные приближенные методы интегрирования уравнений.

Метод эйлера приближенного решения дифференциальных уравнений

Для нахождения точного решения дифференциального уравнения первого порядка универсального метода не существует, поэтому большое значение приобретают приближенные методы решений дифференциальных уравнений.

Пусть на заданном отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения первого порядка у'= f(x, у) с непрерывной правой частью f(x,y), удовлетворяющее начальному условию

Геометрически это значит, что для дифференциального уравнения у'= f(х,у) нужно построить интегральную кривую у = у(х), проходящую через точку . Из геометрического смысла производной следует, что в каждой точке М(х9у) интегральной кривой ее наклон (т.е. тангенс угла наклона касательной) удовлетворяет условию к = tga = f(x,y).

Поскольку правая часть дифференциального уравнения y*=f(x,y) по предположению непрерывна, то можно считать, что на небольшом участке интегральной кривой ее наклон постоянен, т.е. эту кривую можно заменить ломаной линией. Практически это делается следующим образом: Отрезок разбивается на n достаточно мелких частей

Длина n-го отрезка (i = 1,2,...,n-1) для простоты предполагается одинаковой для всех отрезков, т.е.

Величина h называется шагом процесса. Кривая с вершинами заменяется ломаной линией с вершинами , и последовательными наклонами, которая называется полигоном Эйлера:

Расчетные формулы выглядят следующим образом:

Суть метода Эйлера - замена непрерывного процесса, описываемого дифференциальным уравнением у'= f(x,y) на дискретный процесс, скорость протекания которого постоянна в пределах элементарного интервала разбиения и скачкообразно изменяется при переходе от одного интервала разбиения к другому.

Недостатки метода:

• Малая точность при значительном шаге h, большой объем работы при малом шаге;
• Систематическое накопление ошибок.

Пример:

Методом Эйлера на промежутке [0,0.5] наити решение дифференциального уравнения у'=х + у, y(О) = 1.

Выберем шаг h = 0.1. Результаты вычисления с точностью до 0,001 приведены в таблице:

Таким образом, y(0.5) = 1.721. Поскольку уравнение линейное, несложно найти точное решение: отсюда

Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной

Общее решение этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные . Геометрически общее решение представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров . Вообще говоря, через каждую точку плоскости Оху проходит пучок интегральных кривых. Поэтому, чтобы из семейства интегральных кривых выделить одну определенную интегральную кривую, недостаточно указать точку через которую проходит эта кривая, нужно указать еще и направление, в котором кривая проходит через эту точку, т.е. задать тангенс угла наклона касательной к этой кривой в точке с положительным направлением оси Ох.

Задача Коши

Задача нахождения решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего условиям: - заданные числа, называется задачей Коши. Эти условия часто называют начальными условиями, так как с экономической точки зрения они означают, что в фиксированный момент времени задано начальное состояние экономического процесса и скорость его изменения.

Геометрический смысл задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку и имеющей заданный угловой коэффициент касательной в этой точке.

Пример №34

Решить задачу Коши у" = 2, y(l) = О, у'(l) = 4.

Найдем все решения данного уравнения. Интегрируем:

Воспользовавшись начальными условиями, определим значение констант из системы уравнении:

Следовательно, и искомое решение:

Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка не решается аналитически, однако, в некоторых случаях, дифференциальные уравнения второго порядка определенных типов решаются с применением операции неопределенного интегрирования.

Тип I. y" = f(x)

Интегрируя, получим

Интегрируя еще раз, окончательно получим - произвольные постоянные, и неопределенные интегралы трактуются как некоторые первообразные соответствующих функций.

Тип II. у" = f(x).

Положим, у'= р. Отсюда, рассматривая р как функцию от у, будемиметь:

dx

Следовательно, уравнение y" = f(y) примет вид Разделяя переменные, получим .

Интегрируя последнее уравнение, находим:

Так как . Отсюда, разделяя еще раз переменные и интегрируя, получим:

Положим у'= р, тогда . Уравнение у"= f(y') примет вид:

Разделяя переменные и интегрируя, получим:

Определив из этого уравнения величину , путем вторичного интегрирования, можно найти и у.

Случаи понижения порядка

Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

I. Пусть левая часть уравнения не содержит х, т.е. уравнение имеет вид Полагая получим дифференциальное уравнение первого порядка , где роль независимой переменной играет у .

II. Пусть левая часть уравнения не содержит у, т.е. уравнение имеет вид у"= f(x,y'). Полагая , получим уравнение первого порядка с неизвестной функцией p.

Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка у" + р(х)у + q(x)y = 0 с непрерывными коэффициентами р(х) и q(x).

Предположим, что - частные (т.е. не содержащие произвольных постоянных) решения этого уравнения.

Определение. Два решения называются линейно зависимыми, если можно подобрать числа не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т.е.

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения называются линейно независимыми. Иными словами, если функции линейно независимы и выполняется тождество , то числа одновременно равны нулю.

Очевидно, решения будут линейно зависимыми тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т.е. (или наоборот), где а - постоянный коэффициент пропорциональности.

Понятие линейной независимости применимо к любой паре функций. Аналогично определяется линейная зависимость и линейная независимость нескольких функций.

Зная два частных линейно независимых решения линейного однородного уравнения, легко получить общее решение этого уравнения.

Теорема. Если - линейно независимые частные решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка , то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т.е. общее решение имеет вид - произвольные конечные постоянные величины.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Уравнение вида - некоторые действительные числа, называется линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Частное решение этого уравнения будем искать в виде - постоянное число, которое необходимо определить. Дифференцируя , получаем . Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

Множитель отличен от нуля, поэтому можно разделить на него обе части уравнения и получить эквивалентное уравнение , из которого можно определить значения параметра . Уравнение называется характеристическим уравнением линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . Для построения характеристического уравнения достаточно в дифференциальном уравнении производные и функцию у заменить на соответствующие степени параметра , рассматривая при этом функцию у как производную нулевого порядка.

Теорема. Если - частные решения уравнения , то есть общее решение этого уравнения.

Для определения частных решений следует предварительно решить характеристическое уравнение:

Корни характеристического уравнения равны

При решении данного квадратного уравнения возможны три случая:

1. , тогда характеристическое уравнение имеет два различных корня . При , эти функции являются линейно-независимыми. Действительно, если допустить обратное, то должно выполняться соотношение где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Следовательно, можно получить тождество что противоречит здравому смыслу, поскольку левая часть равенства изменяется с изменением х, в то время как правая часть постоянна. Таким образом, общее решение для этого

случая имеет вид

2. тогда характеристическое уравнение имеет единственный кратный корень . Поэтому частное решение дифференциального уравнения будет иметь вид . Всякое другое частное решение будет иметь вид - некоторая функция от х, не являющаяся тождественно постоянной. В результате дифференцирования у2 получаем:

Подставляя в исходное уравнение после сокращения на общий множитель , получим или . Поскольку, по условию , получаем z"(x) = 0. Отсюда - произвольные постоянные. Следовательно, Поскольку, является частным решением и постоянные а и b являются произвольными, можно принять а= 1 и b = 0, при этом

Таким образом, общее решение уравнения у" + ру' + qy = 0 имеет вид:

3. тогда характеристическое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни . В этом случае частные решения дифференциального уравнения будут иметь вид и , а общее

Пример №35

Найти общее решение дифференциального уравнения .

Составим характеристическое уравнение:. Корни этого уравнения различные и действительные и - частные решения этого уравнения, тогда - общее решение данного уравнения.

Пример №36

Найти частное решение дифференциального уравнения удовлетворяющее начальным условиям:.

Корни характеристического уравнения - действительные и равные: , поэтому частные решения . Тогда общее решение уравнения: .

Для определения частного решения в равенства подставим начальные условия.

Получим:

Подставив эти значения в общее решение, найдем частное у = е'(4-2х).

Пример №37

Найти общее решение дифференциального уравнения

Корни характеристического уравнения ком-плексно-сопряженные: . В этом случае . Общее решение будет:

Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, где р и q - данные постоянные числа и f(x) - известная функция от x.

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами равно сумме общего решения однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения.

Доказательство: Пусть есть общее решение уравнения , a z - некоторое частное решение уравнения у" + ру' + qy = f(x). Если подставить решения в соответствующие исходные уравнения получим: и . Складывая почленно, приходим к равенству: . Отсюда ясно, что функция будет общим решением уравнения у" + ру'+ qy = f(x), поскольку оно содержит две независимые произвольные постоянные .

Поскольку решение однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами рассматривалось ранее, то необходимо только указать способ нахождения частного решения z. I. Правая часть уравнения является показательной функцией . Тогда частное решение также ищется в виде показательной функции , где А - неопределенный коэффициент. Отсюда, . Подставив в исходное уравнение и сократив на , получим

Возможны два случая:

• m не является корнем характеристического уравнения, т.е. , тогда и, следовательно,
• Если m - простой корень, то решение следует искать в виде; если m- кратный корень, то решение следует искать в виде .

II. Правая часть уравнения является тригонометрическим полиномом . Тогда частное решение этого уравнения ищется также в форме тригонометрического полинома , где А и В - неопределенные коэффициенты. Дифференцируя z получим:

Подставив в исходное уравнение и сгруппировав коэффициенты при тригонометрических функциях, получим:

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при тригонометрических функциях должны быть равны между собой:

Из этой системы и определяются коэффициенты А и В. Эта система несовместна только в том случае, когда .

(т.е. когда - корни характеристического уравнения). Тогда частное решение следует искать в виде .

III. Правая часть уравнения является полиномом, например, второй степени

Тогда частное решение также следует искать в форме полинома второй степени . В результате дифференцирования получим . Подставляя z, z' и z" в исходное уравнение приходим к тождеству:

или

Так как два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной х равны, то для определения коэффициентов А, В и С получается система:

Если , то из этой системы для коэффициентов А, В и С получаются вполне определенные значения. Частное значение в этом случае также будет вполне определено.

Если q = 0 (характеристическое уравнение имеет простой нулевой корень), то система уравнений несовместна. В этом случае, полагая, что частное решение следует искать в виде Эта задача решается аналогично, если f(x) является полиномом какой-нибудь другой степени.

Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

Если f(x) = 0, то уравнение называется однородным. В противном случае, если тождество f(x) = 0 не выполняется, уравнение называется неоднородным.

Для более компактной записи введем обозначение:

Свойства решений линейного дифференциального уравнения n-го порядка:

1. Для любых функций ;
2. Для любого числа k и функции v(x) L(kv(x)) = kL(v(x));
3. Если - решения однородного дифференциального уравнения, а у - частное решение неоднородного дифференциального уравнения, то для любых чисел функция является решением неоднородного уравнения.

Для построения общего решения линейного дифференциального уравнения необходимо обобщить понятие линейной независимости на систему n функций.

Определение. Система функции называется линейно независимой на множестве А, если тождественное равенcmво имеет единственно возможное решение

Предположим, что функции непрерывны и имеют непрерывные производные до (n— 1) — го порядка включительно на множестве А.

Тогда определитель:

называется определителем Вронского.

Известно, что определитель Вронского, составленный из решений линейного однородного дифференциального уравнения, обладает следующим свойством.

Теорема. Определитель Вронского W(х) для решений линейного однородного дифференциального уравнения тождественно равен нулю, когда решения линейно зависимы и не равен нулю ни в одной точке, когда решения линейно независимы па множестве А.

Теорема. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения имеет вид: -решения однородного дифференциального уравнения, у - частное решение неоднородного дифференциального уравнения.

Линейно независимая система решений линейного однородного дифференциального уравнения называется фундаментальной системой решений.

Некоторые дифференциальные уравнения, встречающиеся в механике

Если точка движется по оси под влиянием силы и если обозначает время, а —расстояние от начала координат, то скорость точки определяется первой производной , а ускорение —второй производной, т. е. .

Связь между силой, массой точки и ее ускорением устанавливается законом Ньютона: действующая сила равна произведению массы на ускорение, т. е.

или

или

Приведем примеры дифференциальных уравнений, полученных при помощи этого закона.

Пример №38

Точка движется под действием силы, пропорциональной скорости точки и направленной против движения. В начальный момент точка находилась в начале координат и скорость точки была равна . Найти закон движения, т. е. связь между расстоянием точки от начала координат и временем.

Решение:

В этом примере величина силы равна , а так как сила направлена против движения, то

Применяя закон в форме (2), получаем дифференциальное уравнение первого порядка

Разделяем переменные:

Интегрируем левую и правую части и приравниваем результаты:

Для удобства записи положим :

потенцируя, имеем

Это — общее решение задачи. Так как в начальный момент скорость равнялась , то, подставляя и в уравнение (4), найдем значение :

следовательно, уравнение (4) примет вид

Это—частное решение. Однако задача еще не решена, так как зависимость от не найдена. В силу того, что , уравнение (5) можно переписать в виде

Это тоже дифференциальное уравнение первого порядка. Разделяем переменные:

Интегрируем отдельно левую и правую части и, приравнивая результаты, получаем

Так как в начальный момент времени точка находилась в начале координат, то, подставляя в (8) значения и , имеем . Отсюда . При этом значении из общего решения (8) получаем частное

или

Это и есть решение задачи.

Приведем конкретный пример, сводящийся к предыдущей задаче.

Пример №39

Моторная лодка, вес которой 245 кГ, идет прямолинейно и равномерно со скоростью 10 м/сек. В некоторый момент, который будем считать начальным, двигатель выключается и движение лодки замедляется за счет трения о воду. Через одну секунду после выключения двигателя лодка имела скорость 8 м/сек. Нужно найти скорость лодки через 5 сек и расстояние, пройденное за это время.

Примечание. Сила трения лодки о воду пропорциональна скорости и направлена против движения. Коэффициент пропорциональности находится из опыта.

Решение:

Применяя обозначения предыдущей задачи, имеем . Так как вес лодки 245 кГ, то ее масса равна , а считая, что , получим 25. Подставляя эти данные в равенство (5), находим

Эта формула еще непригодна для вычислений, так как в ней неизвестно. Но мы еще не использовали то, что через 1 сек скорость лодки была 8 м/сек. Подставив эти данные, полученные из наблюдений, в равенство (5'), мы сможем найти . Сделаем это:

откуда

Логарифмируя обе части этого выражения, найдем , откуда Итак, коэффициент пропорциональности найден. После этого равенство (5') примет вид

Отсюда можно определить искомую скорость, подставляя :

Подставляя найденное значение и данные значения , и в равенство (9), найдем путь, пройденный за пять секунд:

Пример №40

Рассмотрим движение точки под влиянием силы . Возьмем закон Ньютона в форме (3), тогда

Это дифференциальное уравнение второго порядка. Проверим что выражение

является его общим решением. Для этого найдем

и

Подставляя вторую производную и саму функцию в уравнение, получим

Таким образом, функция (11), подставленная в уравнение (10), обращает его в тождество. Значит, функция (11) является решением уравнения (10). Поскольку эта функция содержит две произвольные постоянные и (ведь это любые числа), то она является общим решением уравнения (10).

Общее решение можно записать и в другом виде, а именно:

Положим

тогда

или

Коэффициент называется амплитудой, —частотой, —фазой. Вспомнив видим, что любым решением уравнения (10) является синусоида, т. е. колебательное движение. Уравнение (10) называется уравнением гармонических колебаний.

Система дифференциальных уравнений

Пусть точка с массой движется на плоскости под влиянием силы , которая меняется и по величине и по направлению. Для изучения этого движения точку проектируют на оси координат и рассматривают движения этих проекций по осям. Таким образом, вопрос движения точки на плоскости сводится к рассмотрению двух движений по осям координат.

Обозначим угол, образуемый силой с положительным направлением оси , через а (этот угол является переменной величиной). Тогда проекция силы на ось (обозначим ее ) будет

а проекция силы на ось (обозначим ее ) будет

Проекции скорости на оси и обозначим соответственно и , а проекции точки на оси и — и . Имеем , . Можно записать:

или

Таким образом, движение точки на плоскости определяется двумя дифференциальными уравнениями (4₁) и (4₂). Иногда удобнее пользоваться уравнениями (3₁) и (3₂). Уравнения (4₁) и (4₂) называются системой дифференциальных уравнений движения точки на плоскости.

Пример №41

Рассмотрим движение материальной точки под влиянием силы тяжести в безвоздушном пространстве, если известно, что точка брошена под углом к горизонту из начала координат с начальной скоростью т»0. Выберем оси координат так, чтобы ось была горизонтальной (рис. 111).

Во время движения на точку действует только сила тяжести , равная , где — масса точки, a —ускорение силы тяжести. Сила тяжести направлена в отрицательном направлении оси . Никакие другие силы на точку не действуют.

Проекция силы на ось равна нулю, а на ось — равна (). Поэтому уравнения (4₁)и (4₂) для нашего случая напишутся так:

Это—система двух дифференциальных уравнений второго порядка. Однако удобнее воспользоваться уравнениями (3)₁ и (3₂), т. е. системой дифференциальных уравнений первого порядка. Эта система для рассматриваемой задачи такова:

Из уравнения (5₁) имеем: ; значит, все время сохраняет постоянное значение, а так как в начальный момент времени , то и всегда

Ho , поэтому уравнение (6) перепишем в виде

Интегрируя, находим

Известно, что при абсцисса равна нулю, т. е. . Подставляя эти значения в равенство (8), находим

Уравнение (8) получает вид

Из уравнения (5,) находим:

или

Интегрируя, получаем, что

Так как при , то из (10)

Уравнение (10) принимает вид

или

Интегрируя, наконец, последнее уравнение, получим, что

Так как при ордината тоже равна нулю, то, подставляя значения и в (11), находим, что . После этого уравнение (11) уже принимает окончательный вид:

Уравнения (9) и (12) определяют движение точки, брошенной под углом к горизонту, под действием силы тяжести. Эти уравнения были уже получены из других соображений в гл. 111.

Дифференциальные уравнения I порядка

1. Основные определения.

Определение: Соотношение вида (х - независимая переменная, у(х) - неизвестная функция, подлежащая отысканию, - ее производные вплоть до порядка n) называется дифференциальным уравнением порядка n.

Определение: Порядок наивысшей производной, входящей в дифференциальное уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Определение: Дифференциальным уравнением I порядка называется соотношение вида

Определение: Если удается выразить производную из заданного соотношения, определяющего дифференциальное уравнение I порядка (ДУI), то говорят, что уравнение разрешено относительно первой производной.

Используя определение производной через отношение дифференциалов функции и аргумента, можно ДУI записать в виде = 0, которое в общем виде можно записать так

Определение: Дифференциальное уравнение называется ДУI, записанным в дифференциалах.

Определение: Процесс решения ДУ называется интегрированием, а график функции, определяющей решение ДУ, называется интегральной кривой.

Пример №42

Найти интегральные кривые ДУI

Решение:

Так как первообразной для заданного уравнения является функция где С-постоянная интегрирования, то линия определяет интегральную, а функция определяет интегральные кривые.

Определение: Общим решением ДУI называется функция такая, что

• при любом значении эта функция удовлетворяет данному уравнению;
• каковы бы ни были принадлежащие области определения функции у, существует единственное значение С такое, что

Определение: Частным решением ДУI называется функция, которая получается из общего решения при конкретном значении постоянной интегрирования

Замечание: Решение ДУ может быть получено в явном, неявном или параметрическом виде.

Для нахождения частного решения ДУI задается начальное условие в виде

Определение: Нахождение частного решения ДУ называется задачей Коши. Геометрический смысл ДУ состоит в следующем: правая часть ДУ задает в каждой точке производную, т.е. она определяет тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой. Совокупность отрезков, определяющих касательные к интегральной кривой, дают поле направлений для интегральной кривой.

Определение: Изоклиной называется геометрическое место точек, в которых касательные к интегральным кривым имеют одно и то же значение.

Пример №43

Построить поле направлений и изоклины для ДУI Правая часть данного уравнения определяет концентрические окружности с центром в начале координат, следовательно, поле направлений и изоклины имеют вид (Рис. 18):

Решение:

Поле изоклин для дифференциального уравнения первого порядка

Теорема: (о существовании и единственности решения ДУI). Если функция f(х, у), стоящая в правой части ДУI, непрерывна в области D(x, у), то для любых точек из области существует решение ДУI такое, что . Если при этом непрерывна частная производная то это решение единственно.

Определение: Точка, в которой нарушаются условия теоремы, называется особой.

Замечание: Если в области D(x, у) через каждую точку проходит только одна интегральная кривая, то через особую точку проходит несколько интегральных кривых.

Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными

Определение: Дифференциальное уравнение вида называется ДУI с разделяющимися переменными.

Решение ДУI с разделяющимися переменными решают по схеме:

• обе части уравнения умножают на , при этом уравнение принимает вид;
• обе части уравнения делят на функцию , т.е. приводят уравнение к виду (точки, в которых определяют особые точки, при этом получаемые решения являются особыми);

Определение: Дифференциальное уравнение вида называется

• ДУI с разделенными переменными.
• ДУI с разделенными переменными интегрируется, т.е. .

Замечание: В общем случае ДУI с разделяющимися переменными имеет вид:

Деля ДУI на произведение получаем дифференциальное уравнение с разделенными переменными Особые решения данного ДУI следуют из решения уравнений ДУI с разделенными переменными интегрируют

Пример №44

Решить ДУI

Решение:

Разделим все уравнение на произведение функций ух (особой точкой является точка O(0; 0)), получим Полученное ДУI с разделенными переменными интегрируем

Вычислим неопределенные интегралы, получим общее решение данного ДУI

Однородные и линейные дифференциальные уравнения I порядка

1. Однородные ДУI

Определение: Функция f(х,у) называется однородной функцией n-го измерения относительно переменных х и у, если имеет место равенство

Пример №45

Однородны ли функции

Решение:

Используя определение однородной функции, получаем

- однородная функция второго измерения;

- однородная функция нулевого измерения .

Рассмотрим ДУI где f(х;у) - однородная функция. Выберем тогда дифференциальное уравнение запишется в виде

Замечание: Если правая часть ДУI зависит только от отношения то это однородное ДУI.

Решение однородного ДУI проводится по схеме:

• вводят новую функцию
• находят производную ;

- найденные величины подставляют в однородное ;

Замечание: В результате указанной замены однородное ДУI сводится к ДУI с разделяющимися переменными.

- решают ДУI с разделяющимися переменными ;

- находят искомую функцию

Пример №46

Решить ДУI

Решение:

В правой части разделим числитель и знаменатель дроби на получим уравнение следовательно, данное дифференциальное уравнение первого порядка является однородным. Будем действовать в соответствии со схемой решения:

Для вычисления интеграла применим метод тождественных преобразований подинтегральной функции

Замечание: Если искомая функция и ее аргумент входят в полученное общее решение дифференциального уравнения под знаком логарифма, то постоянную интегрирования рекомендуется выбирать в виде В общем случае постоянная интегрирования выбирается из соображений упрощения формы записи общего решения дифференциального уравнения.

С учетом замечания и определения функции u получаем

Потенцируя полученное равенство и сокращая обе части равенства на получим общее решение заданного однородного дифференциального уравнения

Замечание: Если однородное ДУI задано в дифференциалах то его преобразуют к виду и решают по вышеприведенной схеме.

Пример №47

Решить ДУI

Решение:

Приведем заданное уравнение к обычному виду В правой части разделим числитель и знаменатель дроби на х, получим уравнение следовательно, данное дифференциальное уравнение первого порядка является однородным. Будем действовать в соответствии со схемой решения:

Потенцируя полученное равенство и умножая обе части равенства на х, получим общее решение заданного однородного дифференциального уравнения

Линейные дифференциальные уравнения I порядка

Определение: Дифференциальное уравнение первого порядка вида называется линейным ДУI Решение линейного ДУI проводят по схеме:

• искомую функцию представляют в виде произведения двух функций, одну из которых можно выбрать произвольным образом, т.е. ;
• находят ее производную
• найденные величины подставляют в линейное ДУI ;
• группируют, например, второе и третье слагаемые уравнения;
• так как одну из функций u или v можно выбрать произвольным образом, то выберем функцию v так, чтобы выражение, записанное в круглых скобках обратилось в нуль, тогда уравнение будет эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными, т.е.;
• решают первое уравнение системы (при этом постоянную интегрирования выбирают равной нулю в силу произвольности отыскиваемой фу нкции);
• найденную функцию v подставляют во второе уравнение системы и решают его (при этом постоянная интегрирования будет произвольной и не равной нулю);
• находят искомую функцию

Пример №48

Решить ДУI

Решение:

По форме записи определяем, что данное ДУI является линейным (сравните с теоретической формой записи: Применим вышеприведенную методику: Полученное уравнение эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными Решим первое уравнение системы Потенциируя полученное равенство, находим, что функция Подставим эту функцию во второе уравнение системы и решим его

Сокращая обе части равенства на и разделяя переменные, получим Проинтегрируем полученное равенство вычисляем интегралы и находим, что функция и Найдем неизвестную функцию заданного ДУI

Уравнение Бернулли

Определение: Дифференциальное уравнение первого порядка вида называется уравнением Бернулли.

35. При n = 0 уравнение Бернулли переходит в линейное ДУI, а при n = 1 - в ДУI с разделяющимися переменными.

Разделим все уравнение на получим Введем в рассмотрение новую функцию тогда Откуда находим, что величина Подставим найденные величины в уравнение Бернулли которое приводится к виду линейного дифференциального уравнения первого порядка Следовательно, уравнение Бернулли можно решать непосредственно по схеме решения линейного ДУI.

Пример №49

Решить ДУI

Решение:

По форме записи определяем, что данное ДУI является уравнением Бернулли (сравните с теоретической формой записи: Применим вышеприведенную методику: Полученное уравнение эквивалентно системе дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными

Решим первое уравнение системы (1): Откуда получаем Потенциируя полученное равенство, находим, что функция Подставим эту функцию во второе уравнение системы и решим его (2): Сокращая в правой части равенства на и разделяя переменные, получим Проинтегрировав полученное равенство находим, что Откуда функция Найдем неизвестную функцию заданного ДУI

Дифференциальные уравнения второго порядка

1. Дифференциальные уравнения II порядка, сводящиеся к ДУI

Определение: Соотношение вида называется дифференциальным уравнением II порядка.

Рассмотрим частные случаи ДУI, когда путем соответствующих замен удается свести это уравнение к ДУI:

1. Простейшее дифференциальное уравнение второго порядка путем замены с учетом того факта, что сводится к ДУI с разделяющимися переменными: . Откуда находим . С учетом определения функции вновь получаем ДУI с разделяющимися переменными: . Разделяя переменные и интегрируя, получим .

Замечание: Отметим тот факт, что общее решение ДУИ содержит две постоянные интегрирования .

2. ДУII, явным образом разрешенное относительно второй производной, не содержит неизвестной функции: . В этом случае производят замену и с учетом того факта, что , ДУII сводится к ДУI, решение которых было изучено в предыдущих лекциях: .

Пример №50

Решить ДУII

Решение:

В данном дифференциальном уравнении второго порядка в явном виде отсутствует неизвестная функция у, поэтому проведем замену и с учетом того факта, что ДУII сводится к ДУI в котором переменные разделяются Интегрируя это равенство, получим

Вновь разделим переменные и проинтегрируем полученное равенство

3. ДУII, явным образом разрешенное относительно второй производной, не содержит аргумента: . В этом случае производят замену и с учетом того факта, что , ДУII сводится к ДУI:

Пример №51

Решить задачу Коши:

Решение:

Данное уравнение не содержит в явном виде аргумента, поэтому воспользуемся заменой С учетом того факта, что ДУII сведем к ДУI:

Разделим переменные после чего проинтегрируем Потенцируя полученное выражение, находим, что Откуда Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся начальными условиями, т.е. подставим в найденное равенство Вновь разделяя переменные, найдем, что Интегрируя это равенство, получим выражение для искомой функции Для нахождения постоянной интегрирования воспользуемся начальными условиями, т.е. подставим в найденное равенство Таким образом, решение задачи Коши после взятия функции синус от обеих частей равенства имеет вид

Линейные ДУ н-го порядка:

Определение: Линейным ДУII называется дифференциальное уравнение второго порядка вида где Р(х), Q(х) и G(x) - заданные непрерывные функции или постоянные величины.

Определение: Функция G(x) называется правой частью линейного ДУII. Если G(x) =

= 0, дифференциальное уравнение второго порядка называется однородным, в противном случае, когда - неоднородным.

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка (ЛОДУII) и выясним структуру его общего решения.

Определение: Две функции называются линейно-зависимыми, если выполняется равенство в противном случае эти функции называются линейно-независимыми.

Теорема: Если две линейно-независимые функции и являются частными решениями линейного однородного ДУII, то функция также является решением этого уравнения.

O5. Определитель, составленный из частных решений ЛОДУII и и их первых производных, называется определителем Вронского или вронскианом

Теорема: Если функции и линейно-зависимы на сегменте , то на этом отрезке вронскиан тождественно равен нулю.

Доказательство: Пусть Следовательно, определитель Вронского в соответствии со свойствами определителей.

ТЗ. Если функции и Два частных решений ЛОДУII и их определитель Вронского тождественно равен нулю на сегменте , то на этом отрезке функции и линейно-зависимы.

Доказательство: Пусть точка для которой Обозначим отношение тогда имеет место равенство По условию теоремы определитель Вронского следовательно, Так как Рассмотрим функцию

Эта функция является решением ЛОДУII, так как функции два частных решений ЛОДУII, а функция - их линейная комбинация. Функция у(х) и ее первая производная удовлетворяют нулевым начальным условиям, так как

Отсюда следует, что так как решение у(х) = 0 является единственным решением ЛОДУII, удовлетворяющим нулевым начальным условиям. Отсюда следует, что т.е. функции линейно-зависимы.

Теорема: Если функции и два частных линейно-независимых решения ЛОДУII на сегменте , то на этом отрезке вронскиан отличен от нулю на всем сегменте .

Доказательство: Пусть функции два частных линейно-независимых решения ЛОДУII на сегменте тогда Так как вронскиан (убедиться самостоятельно). Следовательно, Решая это ДУI с разделяющимися переменными, получим, что (это формула Остроградского-Лиувилля). Из полученной формулы видно, что вронскиан равен нулю только тогда, когда либо не равен нулю ни в одной точке сегмента В первом случае функции линейнозависимы, а во втором - линейно-независимы.

Замечание: Формула Остроградского-Лиувилля позволяет по одному известному частному решению, например найти второе частное решение ЛОДУ II

Линейные однородные ДУII (ЛОДУ II) с постоянными коэффициентами

1. Характеристическое уравнение для ЛОДУII.

Рассмотрим ЛОДУII с постоянными коэффициентами где р и q - постоянные действительные числа. Для того чтобы решить ЛОДУII с постоянными коэффициентами достаточно найти два частных линейно-независимых решения Эти решения будем искать в виде где действительное число k подбирается так, чтобы приведенная функция была бы решением исходного уравнения. Подстановка функции ЛОДУII с постоянными коэффициентами дает

В силу того, что Отсюда видно, что функция является решением ЛОДУII с постоянными коэффициентами, если число k определяется как корень уравнения

Определение: Уравнение называется характеристическим уравнением для ЛОДУII с постоянными коэффициентами.

Решим характеристическое уравнение, которое является квадратным уравнением. Возможны следующие варианты:

1. Дискриминант . В этом случае характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня . Вводя обозначения и , можно записать два частных линейно-независимых решения и . Тогда по теореме общее решение ЛОДУII постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: .

Пример №52

Решить ДУ II

Решение:

Согласно изложенной методике ищем решение в виде тогда

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид Дискриминант этого квадратного уравнения Корни уравнения являются комплексно-сопряженными величинами т.е. коэффициенты Таким образом, два частных линейно-независимых решения Тогда по теореме общее решение будет иметь вид:

2. Дискриминант D = 0. В этом случае характеристическое уравнение имеет два совпадающих вещественных корня . Допустим, что эти корни различаются на бесконечно малую величину , т.е. тогда два частных линейно-независимых решения имеют вид и

Следовательно, функция также является решением ЛОДУII с постоянными коэффициентами, т.е. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае два частных линейно-независимых решения можно выбрать в виде Тогда общее решение ЛОДУII с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид:

Пример №53

Решить ДУII

Решение:

Согласно изложенной методике ищем решение в виде тогда

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид Дискриминант этого квадратного уравнения Корни уравнения в этом случае вещественны и совпадают следовательно, два частных линейно-независимых решения можно выбрать в виде

Тогда общее решение ЛОДУII с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид:

3. Дискриминант . В этом случае характеристическое уравнение имеет два различных вещественных корня . Отсюда следует, что в рассматриваемом случае два частных линейно-независимых решения ЛОДУII с постоянными коэффициентами имеют вид и . Тогда об- щее решение ЛОДУII c постоянным коэффициентом в данном случае записывается в виде:

Пример №54

Решить ДУ II

Решение:

Согласно изложенной методике ищем решение в виде тогда Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид Дискриминант этого квадратного уравнения D=25-24=l. Корни уравнения в этом случае вещественны и различны Отсюда следует, что в рассматриваемом случае два частных линейно-независимых решения ЛОДУII с постоянными коэффициентами имеют вид Тогда общее решение ЛОДУII с постоянными коэффициентами записывается в виде:

Линейные неоднородные ДУ II с постоянными коэффициентами

Определение: Уравнение вида называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением второго порядка (ЛНДII).

Теорема: (о структуре общего решения ЛНДУII) Общее решение ЛНДУII можно представить в виде суммы общего решения соответствующего ему ЛОДУII и любого частного решения исходного ЛНДУII, т.е. .

Доказательство: Так как общее решение ЛОДУII то общее решение ЛНДУII будет иметь вид Докажем, при любых вещественных числах данная функция является решением ЛНДУII.

Подставляя в ЛНДУII функцию у, получим Докажем, что за счет выбора постоянных можно удовлетворить любым допустимым ненулевым начальным условиям Так как функция следовательно, Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно констант

Главным определителем этой системы является вронскиан который в точке отличен от нуля. Следовательно, система имеет единственное решение (см. метод Крамера, Лекция № 3, Первый семестр) относительно постоянных

Метод вариации постоянных

Для отыскания решения ЛНДУII с постоянными коэффициентами Лагранж предложил метод вариации постоянных, который состоит в следующем:

• находят решение линейного однородного дифференциального уравнения II порядка с постоянными коэффициентами ;
• предполагают, что коэффициенты и также являются функциями аргумента, т.е. общее решение ЛНДУII с постоянными коэффициентами ищут в виде ;
• находят первую производную общего решения;
• в силу произвольности функций и выбирают их так, чтобы выполнялось равенство ;
• находят вторую производную общего решения;
• все полученные величины подставляют в заданное ЛНДУII с постоянными коэффициентами,
• одинаково подчеркнутые величины равны нулю, так как образуют ЛОДУII с постоянными коэффициентами, поэтому уравнение преобразовывается к виду ;
• составляют систему линейных алгебраических уравнений относительно функций и из полученных выше соотношений
• решают систему и находят функции и ;
• интегрируют полученные выражения и находят функции и ;
• записывают общее решение ЛНДУII с постоянными коэффициентами.

Замечание: Метод вариации постоянных применим и в том случае, когда в качестве коэффициентов выступают функции.

Пример №55

Решить ДУII

Решение:

Решим однородное ДУII В этом уравнении в явном виде отсутствует функция у, следовательно (см. Лекцию № 14), проведем замену и с учетом того факта, что ДУII сводится к ДУI с разделяющимися переменными

Потенциируя полученное равенство находим, чтo Разделяя переменные и интегрируя, получим

Из этого выражения видно, что два частных линейно-независимых решения однородного уравнения имеют вид Решение неоднородного ДУII будем искать в виде Запишем систему линейных алгебраических уравнений относительно функций

Из второго уравнения системы находим, что тогда из первого уравнения системы Интегрируя полученные выражения, находим Таким образом, общее решение неоднородного ДУII равно

Линейные неоднородные ДУII (ЛНДУII) с постоянными коэффициентами со специальной правой частью

1. ЛНДУII со специальной правой частью.

Рассмотрим ЛНДУII с постоянными коэффициентами в случаях специальной правой части.

Замечание: В случае специальной правой части можно найти частное решение ЛНДУII с постоянными коэффициентами по виду правой части.

I специальный вид правой части: где - полином порядка n. В этом случае частное решение ЛНДУII с постоянными коэффициентами ищут в виде , где - папином порядка n с неизвестными коэффициентами, подлежащими отысканию. Найдем первую и вторую производные от частного решения:

Подставляя все найденные величины в дифференциальное уравнение, после группировки и сокращения обеих частей уравнения на получим

Отметим, что является папином порядка - полином порядка (n-2). Рассмотрим возможные случаи:

1. , т.е. число а не является корнем характеристического уравнения Это означает, что в левой и правой частях уравнения стоят полиномы одинакового порядка. Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента, получают систему линейных алгебраических уравнений для неизвестных коэффициентов полинома
2. т.е. число а совпадает с одним из корней характеристического уравнения Это означает, что в левой части уравнения стоит папином порядка (n-1), поэтому в этом случае частное решение надо искать в виде
3. т.е. число а совпадает с обоими корнями характеристического у равнения Это означает, что в левой части уравнения стоит папином порядка (n-2), поэтому в этом случае частное решение надо искать в виде

Обобщая рассмотренные случаи, можно записать частное решение для I случая специальной правой части в виде:

Замечание: К I случаю специальной правой части относятся также случаи, когда

Пример №56

Решить ДУ II

Решение:

Согласно изложенной методике найдем решение однородного уравнения, которое ищем в виде тогда

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид Дискриминант этого квадратного уравнения Корни уравнения в этом случае вещественны и совпадают следовательно, два частных линейно-независимых решения можно выбрать в виде Тогда общее решение ЛОДУII с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: Проанализируем правую часть данного ЛНДУII, приведя ее к теоретическому виду: Следовательно, поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде Найдем первую и вторую производные этой функции и подставим найденные функции в исходное уравнение

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях аргумента находим

Решаем эту систему и определяем неизвестные коэффициенты: следовательно, Таким образом, частное решение неоднородного ДУII имеет вид: Общее решение неоднородного ДУII тогда равно

II специальный вид правой части: В этом случае частное решение ЛНДУII с постоянными коэффициентами ищут в виде , где , если комплексное число не является корнем характеристического уравнения, и если комплексное число является корнем характеристического уравнения,

Замечание: Частными случаями являются варианты правой части, когда или или или комбинация из пар Случай, когда одновременно М=0 и N=0, относится к I специальному виду правой части.

Замечание: Сравнивать комплексное число с корнями характеристического уравнения надо только тогда, когда это уравнение имеет отрицательный дискриминант.

Пример №57

Решить ДУII

Решение:

Согласно изложенной методике найдем решение однородного уравнения, которое ищем в виде тогда

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид Корни уравнения в этом случае комплексные и равны следовательно, величины Два частных линейно-независимых решения однородного ДУII имеют вид Тогда общее решение ЛОДУII с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид:

Проанализируем правую часть данного ЛНДУII, приведя ее к теоретическому виду: Следовательно, комплексное число поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде

Найдем первую и вторую производные этой функции и подставим найденные функции в исходное уравнение

или Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях находим

Решаем эту систему и определяем неизвестные коэффициенты: А = -5, а коэффициент В = 0. Таким образом, частное решение неоднородного ДУII имеет вид: Общее решение неоднородного ДУII тогда равно

Принцип суперпозиции частных решений

При решении ЛНДУII с постоянными коэффициентами полезной может оказаться теорема, определяющая принцип суперпозиции частных решений.

Теорема: Частное решение ЛНДУII с постоянными коэффициентами вида

ищется в виде суперпозиции частных решении которые являются частными решениями уравнении

Пример №58

Решить ДУII

Решение:

Согласно изложенной методике найдем решение однородного уравнения, которое ищем в виде тогда

Следовательно, характеристическое уравнение имеет вид Корни уравнения в этом случае вещественные и равны следовательно, два частных линейно-независимых решения однородного ДУII имеют вид . Тогда общее решение ЛОДУII с постоянными коэффициентами в данном случае будет иметь вид: Проанализируем правую часть данного ЛНДУII, которая состоит из суммы двух функций, первая из которых равна Согласно принципу суперпозиции частных решений частное решение данного ЛНДУII будем искать в виде причем первое частное решение удовлетворяет уравнению а второе частное решение - уравнению Решим первое уравнение приведя ее правую часть к теоретическому виду:

Следовательно, комплексное число поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде

Найдем первую и вторую производные этой функции и подставим найденные функции в исходное уравнение

или Сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях находим Решаем эту систему и определяем неизвестные коэффициенты: А = 0, а коэффициент В=-1. Таким образом, частное решение неоднородного ДУII имеет вид: Решим второе уравнение, приведя правую часть данного ЛНДУII к теоретическому виду:

Следовательно, поэтому частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде Найдем первую и вторую производные этой функции и подставим найденные функции в исходное уравнение

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х найдем Решаем эту систему и определяем неизвестные коэффициенты: A=-1, а коэффициент В = 3 . Таким образом, частное решение неоднородного ДУII имеет вид: Общее решение исходного неоднородного ДУII есть сумма всех найденных функций

Применение ДУН к изучению механических и электрических колебаний

1. Колебания тела на пружине.

Пусть тело массой m прикреплено к пружине с коэффициентом упругости k, коэффициент трения о горизонтальную плоскость равен Выведем тело из положения равновесия и отпустим. На тело действуют следующие силы: сила упругости сила трения и внешняя вынужда- ющая сила F(t), которая является равнодействующей всех внешних сил, действующих на тело (Рис. 19):

Рис. 19. Колебание тела на пружине.

По второму закону Ньютона - ускорение, следовательно, уравнение движения имеет вид Введя обозначения перепишем полученное уравнение в виде Это уравнение описывает колебания с трением под действием внешней силы. Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

1. Пусть отсутствуют внешние силы и сила трения тогда

уравнение принимает вид и описывает свободные колебания. С математической точки зрения данное уравнение является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка, поэтому ищем его решение в виде В этом случае характеристическое уравнение определяется квадратным уравнением вида корнями которого будут величины Следовательно, общее решение

Преобразуем это равенство следующим образом

Вводя обозначения получим формулу, описывающую свободные колебания

где А - амплитуда колебаний, - фаза колебаний, - начальная фаза колебаний.

2. Пусть отсутствуют внешние силы (), т.е. колебания осуществляются с трением (диссипативная система). В этом случае уравнение колебаний имеет вид а характеристическое у равнение дается квадратным уравнением

С практической точки зрения наибольший интерес представляет случай, когда В этом случае корни характеристического у равнения равны где Проводя преобразования аналогичные тем, которые были проведены для предыдущего случая, запишем формулу, описывающую затухающие колебания

Из формулы видно, что при наличии силы трения колебания происходят с уменьшающейся амплитудой при у величении времени t.

3. Пусть отсутствует сила трения т.е. колебания осуществляются под действием внешних сил, тогда уравнение принимает вид Если внешняя сила описывается периодической функцией то решение ЛНДУII представляется в виде суммы решения однородного ДУII (см. случай 1.) и частного решения неоднородного ДУII, которое будем искать в виде

а) пусть Подставляя эту функцию и ее вторую производную в уравнение, сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях и решая систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов А и В, получаем, что А = 0, а

следовательно, общее решение имеет вид

пусть но и . тогда решение принимает вид ; пусть и , тогда

б) пусть Подставляя эту функ- цию и ее вторую производную в уравнение, сравнивая коэффициенты при одинаковых функциях и решая систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов А и В, получаем, что следовательно, общее решение имеет вид:

(решение дифференциальных уравнений в случаях а) и б) провести самостоятельно).

Колебания в электрическом контуре (расчёт с помощью дифференциальных уравнений)

Рассмотрим следующую электрическую цепь (Рис. 20):

Рис. 20. Электрический колебательный контур. Напряжение в цепи равно

Следовательно, уравнение, описывающее колебания в контуре после введения обозначений

принимает вид:

Это уравнение анализируется также, как и в случае механических колебаний.

Дифференциальные уравнения в высшей математике

Во многих вопросах геометрии, физики, механики, естествознания, техники и т. п. играют большую роль дифференциальные уравнения. Так называются уравнения, связывающие между собой независимую переменную х, искомую функцию у и ее производные различных порядков по х. Порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение, называется порядком этого уравнения.

Таким образом, общий вид дифференциального уравнения n-го порядка следующий:.

причем в частных случаях в это уравнение могут и не входить х, у и отдельные производные порядка ниже чем . Например, уравнения

имеют соответственно порядок первый, второй и третий.

Дифференциальное уравнение (1) называется линейным, если левая часть его есть многочлен первой степени относительно неизвестной функции у и ее производных (и не содержит их произведений), т. е. если это уравнение имеет вид

Здесь функции обычно определенные и непрерывные в некотором общем интервале, называются коэффициентами линейного уравнения, а функция f(x) — правой частью или свободным членом его. Если правая часть f(x) линейного уравнения (2) тождественно равна нулю, то уравнение называется однородным (или без правой части); в противном случае это уравнение называется неоднородным (или с правой частью). Линейные дифференциальные уравнения находят многочисленные применения в приложениях.

Всякая функция

которая, будучи подставлена в уравнение (1), обращает его в тождество, называется решением этого уравнения. Решить, или проинтегрировать, данное дифференциальное уравнение — значит найти все его решения в заданной области. График решения называется интегральной кривой.

Заметим, что основная задача интегрального исчисления — отыскание функции у, производная которой равна данной непрерывной функции f(x),— сводится к простейшему дифференциальному уравнению

Общее решение этого уравнения есть

где С — произвольная постоянная и под интегралом понимается одна из первообразных функции f (х).

Выбирая надлежащим образом постоянную С, при условии непрерывности функции f(x) можно получить любое решение этого простейшего дифференциального уравнения.

При интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков появляется несколько произвольных постоянных.

Пример:

Рассмотрим уравнение второго порядка у" = 0. Так как у" = (у')' = 0, то отсюда следует у' = С₁. Интегрируя последнее равенство, будем иметь

Таким образом, решение (4) содержит две произвольные постоянные , т. е. число произвольных постоянных в формуле (4) в точности равно порядку уравнения. Такое решение называется общим решением уравнения; в данном случае оно представляет всю бесконечную совокупность решений дифференциального уравнения.

Точнее, формулу (3) следует писать в виде

где х₀— некоторая начальная точка данной области. Формула вида (3') удобна для приложений, так как позволяет явно выделить произвольную постоянную С. Это замечание следует иметь в виду и в дальнейшем.

Определение 1. Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое решение его

которое содержит столько независимых произвольных постоянных каков порядок этого уравнения.

При этом произвольные постоянные называются независимыми, если общее число постоянных, входящих в состав функции ф, не может быть уменьшено путем введения других произвольных постоянных, непрерывно зависящих от данных. Если общее решение задано в неявном виде

то оно обычно называется общим интегралом.

Определение: Всякое решение дифференциального уравнения, которое получается из общего решения, если приписать определенные значения произвольным постоянным, в него входящим , называется частным решением этого дифференциального уравнения.

Пример:

Рассмотрим уравнение второго порядка

Легко сообразить, что функции sin х и cos х будут решениями этого уравнения, так как Как нетрудно проверить непосредственно, функция

где — независимые произвольные постоянные, также является решением нашего уравнения и, следовательно, представляет собой общее решение его. Если мы, например, положим то получим функцию

являющуюся частным решением данного дифференциального уравнения.

Если в результате решения дифференциального уравнения найдена некоторая функция, то, подставив эту функцию в данное уравнение, можно проверить правильность решения.

Пример:

Показать, что функция есть решение уравнения

Решение:

Функция ф предполагается непрерывно дифференцируемой по всем своим аргументам достаточное число раз.

В самом деле, здесь

Следовательно,

что и доказывает наше утверждение.

Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение: Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если оно имеет вид

где — функции только переменной х, a , — функции только переменной у.

Для решения уравнения (1) разделим обе части его на произведение , предполагая, что оно не равно нулю. Тогда после очевидных сокращений получим

В уравнении (2) при dx стоит функция только от х, а при dy стоит функция только от у. В этом случае говорят, что переменные разделены. Беря интегралы от левой и правой частей равенства (2), будем иметь

Здесь под интегралами понимаются некоторые соответствующие первообразные.

Соотношение (3) и представляет собой общий интеграл уравнения (1).

В общем случае, деля на произведение , мы рискуем потерять те решения уравнения (1), которые обращают это произведение в нуль.

Непосредственной подстановкой легко убедиться, что функция

где а — корень уравнения , т. е. , есть решение уравнения (1). Функция

где — корень уравнения , т. е , также является решением уравнения (1).

Геометрически решения (4) и (5), если они существуют, представляют собой прямые линии, соответственно параллельные оси Оу и оси Ох.

Пример №59

Пусть дано уравнение

Отсюда имеем

Предположим, что у0. Если мы обе части этого уравнения разделим на ху, то переменные разделятся и мы получим

Интегрируя, будем иметь

или

Здесь произвольная постоянная взята в логарифмической форме, что законно, так как всякое действительное число С₁ может быть представлено как логарифм другого числа:

Потенцируя равенство (7), окончательно получим

Полагая теперь ху = 0 и учитывая, что , получим решение уравнения (6) у = 0. Формально это решение получается из формулы (8) при С = 0.

Общее решение (8), где С — любое действительное число, геометрически представляет собой семейство полупрямых, исходящих из начала координат (рис. 225).

Пример №60

Найти кривую, проходящую через точку Q (-1, 4) и обладающую тем свойством, что поднормаль ее в любой точке имеет одно и то же значение, равное 4.

Пусть у = f(x) — искомая кривая, МТ — касательная к этой кривой в точке М (х, у), MN — нормаль (перпендикуляр к касательной в точке касания) (рис. 226). Поднормалью PN называется проекция отрезка нормали MN на ось Ох.

Строго говоря, мы должны писать

Но допущенная нами вольность не отразится на окончательном результате, если после потенцирования произвольную постоянную С считать действительным числом. Это следует иметь в виду и для дальнейшего.

Так как , то . Но согласно геометрическому значению производной ; поэтому для поднормали окончательно имеем такое выражение:

В силу условия задачи

Разделяя переменные, получаем

Взяв интегралы от правой и левой частей, будем иметь

Отсюда

Мы получим семейство парабол, вершины которых лежат на оси Ох.

Определим произвольную постоянную С₁ из условия, что наша парабола проходит через данную точку Q (-1, 4). Подставляя в уравнение (8) вместо текущих координат координаты точки Q, находим 16 = -8 + С₁; отсюда С₁ = 24.

Следовательно, уравнение искомой параболы имеет вид или

Вершина параболы находится в точке А(-3, 0), а осью ее служит ось Ох (рис. 227).

Пример №61

Скорость охлаждения тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха. Температура воздуха равна 20 °С. Известно, что в течение 20 мин тело охлаждается от 100 до 60 °С. Определить закон изменения температуры тела в зависимости от времени.

Решение:

Если обозначить время через f, а температуру тела через U, то скорость охлаждения тела, иначе — скорость изменения его температуры, будет равна производной Согласно условию задачи имеем

где k — коэффициент пропорциональности. Разделяя переменные, получим

Взяв интегралы от левой и правой частей, будем иметь

Отсюда и, следовательно,

Для определения постоянных С и к воспользуемся условиями задачи:

Подставляя эти значения в уравнение (10), будем иметь

Отсюда и, следовательно,

Внося эти значения в уравнение (10), окончательно получаем

Таков закон изменения температуры U в зависимости от времени t при указанных условиях.

В рассмотренных примерах 2 и 3 на составление дифференциальных уравнений мы имели дело непосредственно с производной искомой функции. Приведем пример, где рассуждения удобнее вести, оперируя с дифференциалами искомых величин.

Пример №62

В резервуар, содержащий 10 кг соли на 100 л смеси, каждую минуту поступает 30 л воды и вытекает 20 л смеси (рис. 228, а).

Решение:

Так как в дальнейшем мы будем потенцировать, то здесь выгодно писать In С вместо С.

Определить, какое количество соли останется в резервуаре через t мин, предполагая, что смесь мгновенно перемешивается.

Пусть х — количество соли в резервуаре в момент времени t, а х + dx — количество соли в момент времени i +dt. Так как смесь вытекает, то количество соли х уменьшается с течением времени и, следовательно, dx <0 при dt > 0. Объем смеси в резервуаре в момент времени t, очевидно, равен

поэтому концентрация соли (т. е количество соли, содержащейся в единице объема смеси) в момент времени t будет равна

Изменение количества соли -dx за бесконечно малый промежуток времени [t, t + dt] мы получим, если объем вытекшей за этот промежуток смеси 20dt умножим на концентрацию соли (11). Отсюда имеем дифференциальное уравнение

Кроме того, из условий задачи вытекает начальное условие

Разделяя переменные в уравнении (12) и интегрируя, последовательно получаем

т. е.

и, следовательно,

Полагая t = 0, из начального условия (13) находим 10 = С/100, т. е. С = 1000. Поэтому закон изменения количества соли х в килограммах, находящейся в резервуаре, в зависимости от протекшего времени t в минутах (рис. 228, б) дается формулой

Заметим, что из формулы (14), зная количество соли, оставшейся в резервуаре (последнее легко установить, измеряя объем резервуара и концентрацию соли в нем), можно определить, сколько времени прошло от начала процесса. На этой идее основано вычисление возраста морей и океанов.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Понятие однородного дифференциального уравнения первого порядка связано с однородными функциями. Многочлен

называется однородным степени если все члены его имеют один и тот же порядок л, т. е. для каждого такого члена имеем

Например,

есть однородный многочлен степени 2. Заметим, что если аргументы х и у однородного многочлена степени заменить на пропорциональные величины kx и ky, то в результате этот многочлен умножится на -ю степень коэффициента пропорциональности k. Так, например, для многочлена (1) имеем

Последнее свойство кладется в основу общего определения однородной функции.

Определение: Функция Р (х, у) называется одно родной степени п, если для любого числа k имеет место тождество

Рассмотрим теперь дифференциальное уравнение

Определение: Дифференциальное уравнение первого порядка (2) называется однородным, если коэффициенты Р (х, у) и Q (х, у) при дифференциалах переменных х и у суть однородные функции одной и той же степени.

Можно доказать, что с помощью подстановки

где — новая неизвестная функция, однородное дифференциальное уравнение (2) приводится к уравнению с разделяющимися переменными.

Пример №63

Решить дифференциальное уравнение

Решение:

Здесь — однородные функции первой степени, поэтому уравнение (4) однородное. Согласно указанию полагаем

где — неизвестная функция. Отсюда

Подставляя это выражение в уравнение (4), будем иметь

Разделяя переменные, получаем

Для удобства умножим обе части последнего равенства на 2. Тогда, интегрируя почленно, будем иметь

отсюда находим

В силу формулы (5) имеем и, следовательно,

где — произвольная постоянная.

В процессе решения нам приходилось делить на функции х и 2 + 1. Приравнивая их нулю, получаем возможные решения:

Обе функции 1) и 2), как легко убедиться проверкой, удовлетворяют данному уравнению (4); последняя получается из общего решения (6) при

Пусть теперь однородное дифференциальное уравнение имеет вид

Записывая последнее уравнение в дифференциалах, получим

При dy стоит коэффициент, равный 1, т. е. однородная функция нулевой степени; следовательно, f(x, у) также должна быть однородной функцией нулевой степени.

Таким образом, дифференциальное уравнение (7) является однородным тогда и только тогда, когда правая часть его f(х, у) есть однородная функция нулевой степени

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка имеет вид

где — заданные функции. Если , то уравнение (1) можно записать в приведенном виде

где — свободный член или правая

часть уравнения). Мы будем предполагать, что коэффициент и свободный член уравнения (2) непрерывны на некотором интервале .

Для решения уравнения (2) искомую функцию у представим в виде произведения двух множителей;

где — некоторое ненулевое решение соответствующего однородного уравнения

а у — новая неизвестная функция. Так как

то, подставляя выражения (3) и (5) в дифференциальное уравнение (2), получаем

или в силу (4) имеем

Заметим, что фактически функция и подбирается так, чтобы коэффициент при v в уравнении (6) был равен нулю.

Из уравнений (4) и (7) последовательно находятся функции и и v, причем для и выбирается какое-нибудь конкретное решение, отличное от нуля. Подставляя полученные выражения для функций в формулу (3), найдем искомую функцию у.

Замечание. На практике нет необходимости линейное уравнение (1) приводить к виду (2); можно сразу применять подстановку (3).

Пример №64

Решить уравнение

Решение:

Уравнение (8), очевидно, линейное. Полагаем

Подставляя эти выражения в уравнение (8), получаем

Подбираем функцию и так, чтобы

тогда

Из (10) последовательно получаем

интегрируя, находим

а следовательно, выбирая С₀= 1, получаем

Отсюда из (11) имеем и, таким образом,

где С — произвольная постоянная.

Итак, на основании (12) и (13) окончательно находим

Пример №65

Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию: у = 0 при х = -1.

Решение:

По виду уравнение (14) не является линейным. Однако если рассматривать х как функцию от у, то, учитывая, что , получаем линейное уравнение

Как обычно, положим

Подставляя эти выражения в уравнение (15), будем иметь

Отсюда, учитывая, что согласно выбору и

получаем

Из (17) находим частное решение

Поэтому из (18) получаем

и, значит,

(здесь было применено интегрирование по частям!) Из (19) и (20) находим общее решение:

Полагая здесь у = 0 при х = -1, получаем -1 = -1 + С, т. е. С = 0. Таким образом,

есть искомое частное решение.

Пример №66

Сила тока i в электрической цепи с омическим сопротивлением R и коэффициентом самоиндукции L удовлетворяет дифференциальному уравнению

где Е — электродвижущая сила (рис. 229, а). Найти силу тока i через время t после момента включения, если Е меняется по синусоидальному закону

и i = 0 при t = 0.

Решение:

Из (22) имеем

где для краткости положено а = R/L.

Полагая, обычным приемом получаем

Отсюда

(постоянную интегрирования мы опускаем!) и

Из (25) имеем

где

(одна из первообразных).

Применяя двукратное интегрирование по частям, находим

откуда получаем

Подставляя это выражение в формулу (27), находим

где С — произвольная постоянная.

Перемножая функции а и и ((26) и (30)), получаем закон изменения силы тока

При t = 0 из начального условия находим

Следовательно,

Если t достаточно велико, то — малая величина (а > 0) и ею в формуле (32) можно пренебречь. В таком случае будем иметь

Полагая (рис. 229, б) из формулы (33) окончательно получаем

где - — начальная фаза тока.

Понятие о методе Эйлера

В предыдущих параграфах мы рассмотрели простейшие типы дифференциальных уравнений первого порядка, допускающих решения в квадратурах (или, как иногда говорят, интегрирующихся в конечном виде!). Однако не существует общего метода для нахождения точного решения произвольного дифференциального уравнения первого порядка. Поэтому важное значение приобретают приближенные методы решений дифференциальных уравнений. Мы рассмотрим простейший из них, так называемый метод Эйлера.

Пусть на заданном отрезке требуется найти решение дифференциального уравнения первого порядка

с непрерывной правой частью f(x, у), удовлетворяющее начальному условию

Геометрически это значит, что для дифференциального уравнения (1) нужно построить интегральную кривую у = у(х), проходящую через точку (рис. 230, а). Из геометрического смысла производной получаем, что в каждой точке М (х, у) интегральной кривой ее наклон (т. е. угловой коэффициент касательной) удовлетворяет условию

Так как правая часть дифференциального уравнения (1), по предположению, непрерывна, то можно считать, что на небольшом

участке интегральной кривой ее наклон постоянен, т.е. эту кривую приближенно можно заменить ломаной линией.

Практически это делается так: разобьем отрезок на достаточно мелкие части: число которых равно , и пусть

— длины соответствующих частичных отрезков. Для простоты будем считать их равными (хотя это не обязательно!). Тогда

Величина h называется шагом процесса.

Заменим кривую с вершинами ломаной с вершинами где , и последовательными наклонами

(полигон Эйлера) (рис. 230, а). Из рис. 230, б имеем расчетные формулы

Заметим, что с механической точки зрения мы непрерывный процесс, описываемый дифференциальным уравнением (1), заменяем импульсным процессом, протекающим с постоянной скоростью на элементарных промежутках , скорость которого меняется скачками при переходе к последующему промежутку.

Недостатки метода: 1) малая точность при значительном шаге Л, большой объем работы при малом шаге;

2) систематическое накопление ошибок.

Метод Эйлера служит идейной основой для других, более совершенных методов приближенного решения дифференциальных уравнений.

Пример №67

Методом Эйлера на промежутке [0; 0,5] найти решение дифференциального уравнения

Решение:

Выберем шаг . Результаты вычисления (с точностью до 10'3) занесены в таблицу:

Таким образом, = 1,721. Нетрудно найти точное решение (уравнение (7) — линейное!): ; отсюда

Дифференциальные уравнения второго порядка

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка, разрешенного относительно старшей производной, следующий:

Общее решение

этого уравнения содержит две независимые произвольные постоянные и . Геометрически общее решение (2) представляет собой бесконечную совокупность интегральных кривых, зависящую от двух независимых параметров и . Вообще говоря, через каждую точку плоскости Оху проходит пучок интегральных кривых (рис. 231). Поэтому, чтобы из нашего семейства интегральных кривых выделить одну определенную интегральную кривую Г, недостаточно указать точку , через которую должна проходить эта последняя кривая, а следует указать еще направление, в котором кривая Г проходит через точку М₀, т. е. задать тангенс угла , образованного касательной к этой кривой в точке М₀ с положительным направлением оси Ох. Аналитически, если обозначить

мы приходим к таким начальным условиям: при . На основании (2) имеем

Из системы (3) можно, вообще говоря, определить постоянные и тем самым найти частное решение

удовлетворяющее нашему уравнению (1) и заданным начальным условиям

(задача Коши). Заметим, что при решении конкретных физических задач, как правило, наряду с дифференциальным уравнением фигурируют те или иные начальные условия (4), так как решение такой задачи, по понятным соображениям, должно быть однозначным.

С помощью дифференциального уравнения второго порядка записывается основное уравнение динамики.

Пусть материальная точка массы т движется по оси Ох под действием переменной силы F. Если обозначить через j ускорение этой точки, то согласно закону Ньютона имеем

В наиболее общем случае сила F зависит от времени t, от координаты х (характеризующей положение материальной точки на оси Ох) и от скорости этой точки. Следовательно,

С другой стороны, как известно  для прямолинейного движения ускорение; равно второй производной от пути по времени, т. е.

Подставляя величины F и в уравнение (5), получим дифференциальное уравнение движения точки

Чтобы полностью описать движение точки, нужно дополнительно задать начальное положение и начальную скорость точки

(начальные условия).

Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка не может быть решено в конечном виде. Мы рассмотрим здесь некоторые простые случаи, когда уравнение второго порядка решается с помощью квадратур, т.е. применением операций неопределенного интегрирования.

Тип I. Пусть

Интегрируя, будем иметь

Интегрируя еще раз, окончательно получаем

где — произвольные постоянные, и неопределенные интегралы трактуются как некоторые первообразные соответствующих функций.

Тип II. Пусть

Положим

Отсюда, рассматривая р как функцию от у, будем иметь

Следовательно, уравнение (2) примет вид

Разделяя переменные, получаем

Интегрируя последнее уравнение, находим

Так как , то предыдущее уравнение можно записать так:

Отсюда, разделяя еще раз переменные и интегрируя, окончательно будем иметь

Не стоит запоминать эту сложную формулу общего решения уравнения типа II, а следует усвоить способ интегрирования.

Тип III. Пусть

Полагаем

Тогда

Уравнение (3) примет вид

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь

Определив из этого последнего уравнения величину , путем вторичного интегрирования можно будет найти и у.

Пример №68

Определить закон движения материальной точки массой m брошенной с начальной скоростью v₀ вертикально вверх.

Решение:

Вертикальную прямую, являющуюся траекторией движущейся точки, примем за ось Ох, при этом положительное направление оси Ох установим вверх. За начало координат О возьмем начальное положение нашей материальной точки.

Если пренебречь сопротивлением воздуха, то единственная сила, действующая на нашу точку, есть сила тяжести mg, направленная вертикально вниз. Согласно закону Ньютона имеем следующее дифференциальное уравнение движения:

Кроме того, должны быть соблюдены начальные условия:

Производя подстановку

из уравнения (4) получаем

Интегрируя, будем иметь

Полагая здесь t = 0 и используя второе условие (5), найдем . Отсюда

Интегрируя еще раз, будем иметь

Для определения константы заметим, что в силу первого условия (5) х = 0 при t = 0. Подставляя эти значения в наше последнее уравнение, получаем = 0. Следовательно,

Таков закон движения материальной точки, брошенной вертикально вверх с начальной скоростью (без учета сопротивления воздуха). В частности, в наивысшей точке подъема должно быть . Отсюда из уравнения (6) определяем время подъема , а из уравнения (7) — соответствующую высоту подъема

Пример №69

Решить уравнение

Решение:

Полагаем здесь у' = р, отсюда

Подставляя в дифференциальное уравнение, получаем

Разделяя переменные и интегрируя, последовательно будем иметь

Отсюда

и, следовательно,

Это уравнение первого порядка. Разделяя переменные, имеем

Умножая обе части на , получаем

После интегрирования будем иметь

Вычислим интеграл, стоящий в левой части уравнения. Замечая, что

будем последовательно иметь

Таким образом, находим , или окончательно

Пример №70

Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям:

Решение:

Полагая , имеем

Разделяя здесь переменные, получаем

или после интегрирования

Для определения постоянной используем начальное условие Имеем ; отсюда и, следовательно,

Извлекая корень, получаем

причем перед корнем взят знак плюс, так как при х=1 мы должны иметь р = 1.

Разделяя переменные и интегрируя, находим

Для определения постоянной полагаем х = 1 и у = 0; тогда т. е. Таким образом, искомое решение есть

Случаи понижения порядка дифференциальных уравнений

Укажем два случая, когда дифференциальное уравнение второго порядка

приводится к дифференциальному уравнению первого порядка.

Случай 1. Пусть правая часть дифференциального уравнения (1) явно не содержит х, т. е. уравнение имеет вид

Полагая здесь

получим дифференциальное уравнение первого порядка

где роль независимой переменной играет у.

Случай 2. Пусть правая часть дифференциального уравнения (1) явно не содержит у, т. е. уравнение имеет вид

Полагая

получим уравнение первого порядка

с неизвестной функцией р.

Отметим, что рассмотренные выше типы II и III являются частными случаями соответственно уравнений (2) и (3).

Пример №71

Решить уравнение

Решение:

Согласно случаю 1 полагаем у' = р и Тогда уравнение (4) примет вид

Отсюда: 1) р = О, т. е. у = С; или 2) и

Потенцируя, будем иметь

и, следовательно,

После интегрирования получаем

и, значит,

где — произвольные постоянные.

Пример №72

Найти решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям:

Решение:

В уравнении (5) полагаем Тогда

Полученное уравнение — однородное, поэтому примем ; следовательно,

Подставляя в уравнение (6), будем иметь

отсюда

Интегрируя, получаем

и, следовательно,

Уравнение (6) можно также рассматривать как линейное.

Для определения постоянной используем начальные условия: р = у' = 1 при х = 1. Получаем т. е и, таким образом,

Отсюда имеем dy = х dx и

Постоянную определяем из начальных условий. Полагая х = 1 и у = 1/2 в формуле (7), получаем Следовательно, искомое частное решение есть

Понятие об интегрировании дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов

Для простоты изложим этот метод на примере дифференциального уравнения первого порядка

где функция бесконечно дифференцируема, т. е. имеет производные всех порядков.

Будем искать решение задачи (1) в виде ряда Тейлора

где для краткости положено

Свободный член ряда (2) определяется из начального условия (1). Коэффициент мы находим из дифференциального уравнения (1)

Для нахождения коэффициента продифференцируем по х уравнение (1), предполагая, что у есть функция от х. Имеем

отсюда

и т. д. Сложный вопрос о сходимости ряда (2) мы оставляем без рассмотрения.

Этот метод, с очевидными изменениями, применим также и для уравнения второго порядка

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №73

С помощью степенных рядов найти решение дифференциального уравнения

Решение:

Положим

Из условий (4) имеем Дифференцируя как сложную функцию правую часть уравнения (4), получаем

отсюда

Далее, дифференцируя уравнение (6), будем иметь

и, следовательно, и т. д. Таким образом, из (5) имеем

Результаты вычислений можно оформить в виде таблицы:

Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка

коэффициенты которого р(х) и q(x) непрерывны. Пусть

— частные решения уравнения (I).

Определение: Два решения у₁ и у₂ называются линейно зависимыми, если можно подобрать постоянные числа

и а₂ не равные одновременно нулю, такие, что линейная комбинация этих функций тождественно равна нулю, т. е.

В противном случае, если таких чисел подобрать нельзя, решения называются линейно независимыми Иными словами, если функции линейно независимы и имеет место тождество (2), то .

Очевидно, решения будут линейно зависимы тогда и только тогда, когда они пропорциональны друг другу, т. е. если

(или наоборот), где а — постоянный коэффициент пропорциональности.

В самом деле, если выполнено условие (3), то можно записать

где , и, следовательно, эти решения являются линейно зависимыми.

Обратно, если решения линейно зависимы, то имеет место тождество

где по меньшей мере одна константа, , не равна нулю. Полагая, например, что , получаем .

Понятие линейной зависимости применимо также к любой паре функций. Аналогично определяются линейная зависимость и линейная независимость нескольких функций.

Пример №74

Функции при линейно независимы.

В самом деле, допустим, что имеет место соотношение

где хотя бы один из коэффициентов , например , не равен нулю. Тогда получим тождество

что невозможно, так как левая часть этого равенства меняется с изменением х, а правая часть постоянна.

Зная два частных линейно независимых решения уравнения (1), легко получить общее решение этого уравнения. А именно, имеет место такая теорема.

Слово «частные» здесь понимается в том смысле, что эти решения не содержат произвольных постоянных.

Теорема: Если — линейно независимые частные решения линейного однородного уравнения второго порядка (1), то общее решение уравнения есть линейная комбинация этих частных решений, т. е. общее решение уравнения (1) имеет вид

где — произвольные постоянные

Доказательство: В самом деле, так как — решения уравнения (1), то имеем

Подставляя выражение (4) в левую часть уравнения (1), в силу (5) и (6) получаем

Отсюда следует, что функция

будет решением уравнения (1) при любом выборе постоянных

Если решения линейно независимы, то решение (7) будет общим решением дифференциального уравнения (1), так как оно содержит две произвольные постоянные , которые в этом случае не могут быть сведены к одной, т. е. являются независимыми.

Можно доказать, что формула (7) дает все решения соответствующего линейного дифференциального уравнения (1).

Замечание. Если же частные решения линейно зависимы, то решение (4) не будет общим. В самом деле, пусть линейно зависимы, т. е. пусть имеет место соотношение , где а — некоторая константа. Подставляя у₂ в выражение (4), будем иметь

где . Это решение содержит только одну произвольную постоянную С и потому не будет общим. Итак, чтобы найти общее решение уравнения (1), достаточно знать два его частных линейно независимых решения .

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Пусть линейное однородное дифференциальное уравнение

имеет постоянные коэффициенты р и q.

Будем искать частное решение уравнения (1) в форме

где k — постоянное число, подлежащее определению. Из (2) имеем

Подставляя в уравнение (1), получаем

или, сокращая на множитель , который не равен нулю, находим

Квадратное уравнение (3), из которого определяется число к, называется характеристическим уравнением данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами (1). Заметим, что для написания характеристического уравнения (3) достаточно в дифференциальном уравнении (1) производные и функцию у заменить на соответствующие степени величины k, рассматривая при этом функцию у как производную нулевого порядка.

Решая характеристическое уравнение (3), получаем

Здесь могут представиться три различных случая.

Случай I. Если

то согласно формуле (4) характеристическое уравнение (3) имеет два действительных и различных корня . Следовательно, линейное уравнение (1) допускает два различных частных решения

Так как , то эти решения, как мы видели, линейно независимы. Следовательно, общее решение для случая I имеет вид

Пример №75

Пусть

Решая характеристическое уравнение

находим его корни . Общее решение уравнения (7) имеет вид

Случай II. Если

то в силу формулы (4) характеристическое уравнение (3) имеет единственный корень

Такой корень называется кратным. Поэтому одно частное решение уравнения (1) будет

Всякое другое частное решение у₂, линейно независимое с обязательно должно иметь вид

где — некоторая функция от х, не являющаяся тождественно постоянной. Отсюда

Дифференцируя, находим

Подставляя в ypaнение (1), после сокращения на общий множитель получаем

Наконец, в силу условия (8) будем иметь

Отсюда

где а и b — произвольные постоянные. Следовательно,

Так как мы интересуемся только частным решением, то можно принять а = 1 и b = 0. Тогда

Таким образом, общее решение уравнения (1) в случае II будет

Заметим, что формула (10), в сущности, уже давала это общее решение, так как всякое решение уравнения (1) можно представить в виде (10).

Пример №76

Пусть у" - 6у' + 9у = 0.

Решая характеристическое уравнение , находим кратный корень . Следовательно, общее решение запишется в виде

Случай III. Если

то на основании формулы (4) характеристическое уравнение (3) имеет два сопряженных комплексных корня

где .

Тогда частные решения уравнения (1) будут такие:

1) Под производной комплексной функции

действительной переменной — действительные функции от х, a i — мнимая единица, по определению понимают выражение

Пользуясь формулой (4) из, легко проверить, что если Следовательно, функции а также любая линейная комбинация их удовлетворяют нашему дифференциальному уравнению.

Отсюда общее решение уравнения (1) формально можно записать так:

где — некоторые комплексные константы, подобранные таким образом, чтобы выражение (13) было действительным.

В выражении (13) можно избавиться от мнимых величин. Согласно формулам Эйлера имеем

Отсюда

Полагая

окончательно получаем

где — какие угодно (ввиду произвольности постоянных ) постоянные действительные числа. Это и есть общее решение в действительной форме уравнения (1) для случая III.

В частности, если в характеристическом уравнении (3) имеем , то корни будут чисто мнимыми (а = 0) и для соответствующего дифференциального уравнения

получим общее решение его в таком виде:

Замечание. В приложениях иногда используется другой вид формулы (14). А именно, полагая

где А и ф — новые произвольные (А > 0) постоянные, будем иметь

Из (16) получаем

Если д: трактовать как время, то с физической точки зрения функция (17) описывает колебательный процесс, затухающий при а < 0 и неограниченно растущий при а > 0.

Пример №77

Имеем уравнение

Решая характеристическое уравнение , получаем комплексные корни . Здесь . Следовательно, на основании формулы (14) общее решение запишется в виде

Пример №78

Материальная точка массы т притягивается к неподвижному центру О с силой, пропорциональной удалению х точки от притягивающего центра (упругая сила) (рис. 232). Найти закон движения этой точки (пренебрегая сопротивлением среды).

Решение:

Согласно закону Ньютона имеем

где k — коэффициент пропорциональности, а знак минус поставлен потому, что направление действующей силы противоположно смещению х. Отсюда

Мы получили линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Корни соответствующего характеристического уравнения

являются чисто мнимыми: . Поэтому в силу формулы (14) имеем

Можно положить — некоторые другие произвольные постоянные. Отсюда

т. е. материальная точка в наших условиях совершает периодические гармонические колебания около притягивающего центра с амплитудой А и начальной фазой ф.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка

где р и q — данные постоянные числа, f(x) (правая часть уравнения) — известная функция от х. Имеет место следующая теорема:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения (1) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения

и частного решения данного неоднородного уравнения.

Доказательство: Пусть

есть общее решение уравнения без правой части (2) и z есть некоторое частное решение соответствующего уравнения с правой частью (1). Очевидно, имеем

Складывая почленно эти уравнения и учитывая, что производная суммы равна сумме производных, получаем

Отсюда ясно, что функция

будет решением уравнения (1), и при этом общим, так как в ее состав, в силу формулы (3), входят две независимые произвольные постоянные .

Так как мы умеем находить общее решение у однородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами, то остается лишь указать способ нахождения частного решения z соответствующего неоднородного уравнения (1), где р и q — постоянные.

При рассмотрении этой последней задачи мы ограничимся лишь простейшими правыми частями f(x) В этих случаях для нахождения частного решения уравнения (1) обычно применяется так называемый метод неопределенных коэффициентов.

Случай I. Правая часть уравнения (1) есть показательная функция

Ищем частное решение z также в форме показательной функции

где А — неопределенный коэффициент. Отсюда

Подставляя f(x) и выражения для z и его производных в уравнение (1), после сокращения на будем иметь

Возможны два случая: 1) не является корнем характеристического уравнения, т. е.

Тогда и, следовательно,

2) число есть корень характеристического уравнения, т. е.

Тогда уравнение (6) противоречиво и, следовательно, дифференциальное уравнение (1) не имеет частного решения в форме (5).

В этом случае: а) если есть простой корень характеристического уравнения (т. е. другой корень этого уравнения отличен от /м), то частное решение уравнения (1) следует брать в виде

и б) если же — кратный корень характеристического уравнения, то частное решение уравнения (1) нужно искать в виде

Эту рекомендацию можно непосредственно проверить.

Пример №79

Пусть

Решим сначала уравнение без правой части:

Характеристическое уравнение здесь имеет вид Отсюда корни его будут Следовательно, общее решение уравнения без правой части таково:

Так как = 1 не является корнем характеристического уравнения, то ищем частное решение уравнения с правой частью в следующей форме:

где А — неопределенный коэффициент. Дифференцируя, будем иметь

Подставляя эти выражения в наше неоднородное уравнение, получаем

Отсюда А =1/2. Итак, частное решение уравнения с правой частью есть

Общее же решение этого уравнения на основании предыдущей теоремы имеет вид

Случай И. Правая часть уравнения (1) есть тригонометрический полином

Ищем частное решение z этого уравнения также в форме тригонометрического полинома

где А и В — неопределенные коэффициенты. Дифференцируя, получим

Отсюда, подставляя эти выражения в уравнение (1) и собирая вместе члены с , будем иметь

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при в левой и правой частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу и мы получим

Из этой системы, вообще говоря, мы и сможем определить коэффициенты А и В. Единственный случай, когда система (9) несовместна, это

(т. е. когда — корни характеристического уравнения). Тогда частное решение z следует брать в такой форме:

Пример №80

Пусть

Соответствующее однородное уравнение будет

Решая характеристическое уравнение , находим кратный корень

Следовательно, общее решение однородного уравнения (11) есть

Будем искать частное решение уравнения (10) в такой форме:

где А и В — неопределенные коэффициенты.

Дифференцируя, получаем

Подставляя z, z' и z" в уравнение (10), будем иметь

Приравнивая коэффициенты при cos х и sin х справа и слева, получим систему

Решая эти уравнения совместно, находим А = 3/25 и В = -4/25 и, следовательно,

Отсюда общее решение уравнения (10) будет иметь вид

Пример №81

Изучить колебания материальной точки массы т, находящейся под действием упругой силы, пропорциональной отклонению х точки от положения равновесия, при наличии периодической возмущающей силы

(F₀, p — постоянные). Сопротивлением среды пренебрегаем.

Решение:

Согласно закону Ньютона дифференциальное уравнение движения точки имеет вид (рис. 233)

где . Общее решение однородного уравнения

как известно, имеет вид (свободные колебания точки)

где — произвольные постоянные.

При нахождении частного решения z неоднородного уравнения (12) следует различать два случая.

1) Пусть , т. е. частота внешней силы не совпадает с частотой свободных колебаний (13). Полагаем

где А и В — неопределенные коэффициенты.

Подставляя выражение (14) в уравнение (12), будем иметь

Отсюда

и, следовательно, . Таким образом,

Общее решение неоднородного уравнения (12) (вынужденные колебания точки) дается формулой

и представляет собой наложение двух колебаний с частотами , причем колебания ограничены.

2) Пусть , т. е. частота внешней силы совпадает с частотой свободных колебаний (13).

В этом случае формула (15), очевидно, теряет смысл. Полагаем

отсюда

Подставляя эти выражения в уравнение (12), будем иметь

Отсюда для определения неопределенных коэффициентов А и В имеем систему

Следовательно, и, значит,

(рис. 234). Вынужденные колебания точки при этом описываются выражением

Формула (16) показывает, что размах колебаний х неограниченно растет вместе с временем t. Таким образом, даже ничтожно малая внешняя сила в случае 2 вызывает неограниченные колебания системы. Это явление носит название резонанса. Физическим последствием резонанса является нарушение работы и даже разрушение упругой системы. Например, известны случаи, когда ритмические стуки поезда, идущего по железнодорожному мосту, приводили к разрушению этого моста.

Случай III. Правая часть линейного уравнения (1) представляет собой полином, например, второй степени

Ищем частное решение z этого уравнения также в форме полинома второй степени

где А, В и С — неопределенные коэффициенты. Дифференцируя, будем иметь

Отсюда, подставляя z, z' и z" в уравнение (1), получаем

Так как два многочлена тождественно равны друг другу тогда и только тогда, когда коэффициенты при одинаковых степенях переменной х равны, то для определения коэффициентов А, В и С имеем систему

Если , то из этой системы для коэффициентов А, В и С получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение z будет вполне определено.

Если же q = 0 (характеристическое уравнение имеет простой нулевой корень), то система (18) несовместна. В этом случае, полагая, что , частное решение z следует искать в форме

Аналогично нужно поступать, если f (х) есть полином какой-нибудь другой степени.

Пример №82

Пусть Уравнение без правой части здесь будет

Характеристическое уравнение имеет вид , его корни . Общее решение однородного уравнения запишется так.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в такой форме:

Отсюда z' = А и z" = 0. Подставляя эти выражения в неоднородное уравнение, получаем

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях последнего тождества, будем иметь

Решая совместно эту систему уравнений, получаем А = 2/13, В = 21/169. Следовательно, частное решение неоднородного уравнения есть

Поэтому его общее решение имеет вид

Произвольные постоянные, входящие в общее решение, могут быть определены из начальных условий.

Пример №83

Найти решение у = у(х) уравнения

такое, что

Запишем уравнение (19) в стандартном виде

Однородное уравнение здесь следующее:

Характеристическое уравнение имеет корни Следовательно, общее решение однородного уравнения есть

где — постоянные.

Для нахождения частного решения z неоднородного уравнения (21) полагаем

Подставляя эту функцию в уравнение (21), будем иметь

Отсюда

следовательно, Общее решение неоднородного уравнения (19) имеет вид

Дифференцируя, находим

Полагая х = 0 в формулах (22) и (23) и используя начальные условия (20), для определения постоянных получаем систему

Отсюда

Подставляя эти значения в формулу (22), получаем искомое решение

Понятие о дифференциальных уравнениях, содержащих частные производные

Пусть функция и описывает некоторый физический процесс. Всякий процесс протекает в пространстве, точки которого можно характеризовать декартовыми прямоугольными координатами (х, у, z) и во времени t. Поэтому в общем случае функция и является функцией четырех переменных: . Дифференцируя функцию получаем частные производные и т. д. В данном процессе эти производные связаны известными соотношениями, и, таким образом, мы приходим к дифференциальному уравнению, содержащему частные производные.

Для физических приложений особый интерес представляют дифференциальные уравнения, для которых входящие в них старшие частные производные имеют второй порядок (так называемые дифференциальные уравнения второго порядка). К числу их относятся уравнения газовой динамики, гидродинамики, электромагнетизма (уравнения Максвелла) и многие другие. Поэтому дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка получили название уравнений математической физики.

Для случая двух независимых переменных приведем важнейшие типы таких уравнений.

I.Одномерное волновое уравнение

Это уравнение встречается при изучении ряда колебательных процессов (поперечные колебания упругой струны, продольные колебания стержня, колебание глаз в трубке и др.).

II.Уравнение теплопроводности (уравнение Фурье)

описывающее нестационарный тепловой режим стержня. С этим уравнением связана также задача о распространении электрических колебаний в линии.

III.Уравнение Лапласа

дающее стационарное распределение температуры в однородной пластинке, и др.

Для решения этих уравнений в различных условиях были созданы специальные приемы (так называемые методы математической физики).

Ограничимся для простоты случаем двух независимых переменных х, у

и введем сокращенные обозначения и т. п. Тогда общий вид дифференциального уравнения второго порядка для неизвестной функции и следующий:

где F — известная функция.

Всякая функция , обращающая уравнение (1) в тождество, называется его решением; график решения носит название интегральной поверхности.

Пример №84

Найдем , если

Уравнение (2) можно записать в следующем виде:

Отсюда следует, что не зависит от у, т.е. является функцией только переменной х. Таким образом, из (3) вытекает

где — произвольная функция.

Интегрируя уравнение (4) по переменной у, получаем

где — произвольные функции. С помощью дифференцирования легко убедиться, что решение общего вида (6), содержащее произвольные функции , дает здесь совокупность всех решений дифференциального уравнения (2). Таким образом, решением дифференциального уравнения (2) является произвольная функция, линейная относительно переменной у.

Отметим, что общие решения обыкновенных дифференциальных уравнений содержат произвольные постоянные; для дифференциальных уравнений с частными производными их решения общего вида включают произвольные функции.

Конкретизируя функции в формуле (6), получаем частные решения уравнения (2). Например, полагая С₁(х) =, будем иметь частное решение и т. п.

В интеграле (5) переменная х предполагается постоянной, причем для каждого фиксированного х можно брать свою произвольную постоянную С₂. Поэтому .

Дифференциальные уравнения с частными производными, как правило, имеют бесконечное число решений (см., например, пример 1). Решение же физической проблемы, описываемой дифференциальным уравнением, по смыслу должно быть однозначным; иначе оно не дает возможности прогнозировать соответствующее физическое явление и, следовательно, является малоценным для практики. Поэтому при решении задач физического содержания кроме дифференциального уравнения должны быть использованы дополнительные условия, позволяющие из бесконечной совокупности решений данного дифференциального уравнения выделить единственное его решение, дающее закон функционирования рассматриваемого физического процесса. В простейшем случае это так называемые начальные и краевые условия. Грубо говоря, первые характеризуют данный процесс в начальный момент времени, а вторые описывают поведение процесса на границе рассматриваемой области. Начальные и краевые условия задачи называются граничными условиями.

Если в уравнении (1) переменную у интерпретировать как время, то простейшие начальные условия для неизвестной функции и имеют вид

где —заданные функции. Нахождение функции и, удовлетворяющей дифференциальному уравнению (1) и начальным условиям (7), носит название задачи Коши.

Пример №85

Найти решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям

На основании формулы (6) будем иметь

Полагая у = 1 в формулах (8), получаем

отсюда и, следовательно,

Решение и единственно.

Физическая задача, описываемая дифференциальным уравнением с частными производными, а также граничными условиями, называется корректно поставленной, если: 1) эта задача имеет решение; 2) решение задачи единственно; 3) решение задачи непрерывно зависит от граничных условий.

Действительно, прежде чем решать задачу, нужно убедиться, что эта задача вообще разрешима. В истории науки известны многочисленные примеры, когда люди затрачивали массу труда и времени в поисках решения задач, не имеющих решения. Так, например, около 2000 лет многие математики пытались разрешить задачу о «квадратуре круга», т. е. с помощью циркуля и линейки построить квадрат, равновеликий данному кругу, и лишь в конце XIX столетия доказано, что это невозможно. Аналогично, в химии оказались бесплодными поиски философского камня, переводящего неблагородные металлы в благородные. Гарантию разрешимости рассматриваемой задачи дает теорема существования решения.

Что касается второго требования, то, как было отмечено выше, неоднозначные решения задачи малопригодны для практики. Однозначность решения обеспечивается теоремой единственности.

Наконец, нарушение третьего условия приводит к нежелательным последствиям. С точки зрения практики это плохо, если ничтожно малые изменения начальных или краевых условий (в реальной обстановке они известны лишь приближенно) влекут значительное изменение решения задачи в данной области! Поэтому тут нужна теорема гладкости решений.

В последнее время возник интерес к некорректно поставленным задачам. Здесь основополагающие результаты были получены академиком А. Н. Тихоновым.

Линейные дифференциальные уравнения с частными производными

Определение: Дифференциальное уравнение называется линейным (точнее, вполне линейным), если оно является целым многочленом первой степени относительно неизвестной функции и ее производных и, в частности, не содержит их произведений.

Таким образом, общий вид линейного дифференциального уравнения второго порядка следующий:

где — известные коэффициенты, f(x, у) — заданный свободныйчлен. Если f(x, у) 0, то линейное уравнение (1) называется однородным (без свободного члена); в противном случае уравнение (1) называется неоднородным.

Вводя сокращенное обозначение

(здесь L — так называемый линейный дифференциальный оператор), уравнение (1) можно записать в компактном виде

Линейное однородное дифференциальное уравнение

обладает следующим важным свойством: любая линейная комбинация с постоянными коэффициентами решений линейного однородного дифференциального уравнения есть также решение этого уравнения. В частности, сумма любого числа решений линейного однородного дифференциального уравнения есть также решение этого уравнения (принцип наложения решений).

Не проводя доказательства в общем виде, ограничимся примером, выясняющим идею доказательства. Пусть дано однородное уравнение

и — его решения, т. е.

Рассмотрим, например, функцию

Из (3) имеем

Таким образом, есть решение уравнения (3).

Вывод уравнения теплопроводности

Рассмотрим однородный стержень постоянного поперечного сечения S и длины , теплоизолированный с боков, ось которого примем за ось Ох (рис. 235). Обозначим через температуру стержня в сечении с абсциссой х в момент времени t.

Пусть р = const — плотность стержня, с = const — его удельная теплоемкость, k = const — коэффициент теплопроводности, Ф(х, t) — интенсивность теплового источника, находящегося в сечении х для момента времени t, отнесенная к единице массы и единице времени (например, аппаратуру, работающую в космическом корабле, можно рассматривать как источник тепла). Согласно закону Фурье количество теплоты, изменяющееся в направлении оси Ох за бесконечно малый промежуток времени dt через сечение S с абсциссой х, равно

где k — коэффициент теплопроводности представляет здесь градиент температуры . В формуле (1) стоит знак минус, так как при , т. е. при возрастании температуры и вместе с х, поток тепла направлен в обратную сторону, и наоборот.

Составим соотношение теплового баланса для элемента стержня , заключенного между двумя бесконечно близкими сечениями I и II, соответственно, с абсциссами х и х + dx. Положим для определенности, что температура стержня и возрастает в направлении оси Ох. Тогда через сечение I тепло выходит(-), а через сечение II — входит (+). Пусть dQ есть количество теплоты, полученное нашим элементом за промежуток времени dt.

Тогда, учитывая, что количество теплоты, выделенное за время dt источниками тепла, сосредоточенными в элементе , равно

и, используя формулу (X), будем иметь

Применяя формулу

с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости, получим

Поэтому формула (3) принимает вид

С другой стороны, есть скорость изменения температуры элемента , и поэтому представляет собой изменение его температуры. Так как масса элемента равна pS dx, то полученное при этом количество теплоты составляет

Приравнивая выражения (7) и (6), после сокращения на общий множитель S dx dt получаем

или, вводя традиционное обозначение

окончательно будем иметь

Дифференциальное уравнение (10), описывающее распределение температуры и в стержне, носит название уравнения теплопроводности (уравнение Фурье).

Если источники тепла отсутствуют, то уравнение (10) принимает вид

Аналогичное уравнение справедливо также для изменения температуры тела.

Уравнение теплопроводности находит применение в физике, химии, астрономии, строительном деле и др.

Задача о распределении температуры в ограниченном стержне

Согласно температуре однородного стержня (рис. 236) в сечении х в момент времени t в отсутствие источников тепла удовлетворяет уравнению теплопроводности

Будем предполагать, что задано начальное условие

Предположим также, что концы стержня х = 0 и х = 1 постоянно имеют температуру, равную температуре внешней среды, которую условно будем считать равной нулю. Таким образом, имеем простейшие краевые условия

при любом t 0.

При данных условиях требуется найти распределение температуры u = u(xt t) в стержне для последующих моментов времени t 0.

Для уравнения (1) сначала будем искать ненулевые решения специального вида:

где X (х) есть функция только переменной х, а Т (t) — функция только переменной t. Так как

то, подставляя эти выражения в уравнение (1), получаем

Отсюда, разделяя переменные, будем иметь

Левая часть тождества (5) зависит только от х, а правая — только от t. Так как х и t — независимые переменные, то это возможно лишь тогда, когда обе части тождества (5) равны некоторой постоянной величине. Обозначая эту постоянную для удобства дальнейших выкладок через — получаем

Отсюда будем иметь два уравнения:

Первое из уравнений (7) есть линейное однородное уравнение с постоянными коэффициентами; корни его характеристического уравнения есть . Согласно известным формулам его общее решение имеет вид

где А и В — произвольные постоянные.

Второе уравнение (3) легко решается методом разделения переменных, а именно, находим

где С — произвольная постоянная.

Перемножая функции (8) и (9), будем иметь

причем здесь принято С = 1, что равносильно замене АС на А и ВС на В.

Функции (10), при любом выборе постоянных А, В и А., удовлетворяют уравнению теплопроводности. Потребуем, чтобы они удовлетворяли также краевым условиям (3). Полагая х = 0, получаем 0 = В, отсюда В = 0 и, следовательно,

Полагая теперь х = , в силу условия (3) будем иметь

Но , так как в противном случае мы бы имели нулевое решение = 0. Поэтому

Отсюда

Числа называются характеристическими числами задачи, а совокупность их — спектром задачи. Каждому характеристическому числу соответствует частное решение уравнения теплопроводности.

где для краткости положено

Заметим, что в качестве достаточно брать лишь целые положительные числа ( = 1, 2, ...), так как при = 0 имеем 0, что противопоказано, а при < 0 получаем решения той же природы, как при соответствующем ' = - > 0.

Итак, формула (15) дает полный набор линейно независимых частных решений вида (4) уравнения теплопроводности (1), удовлетворяющих краевым условиям (3). Физически функции ип представляют собой температурные волны, графиками которых являются затухающие при синусоиды (рис. 237, а, б).

Осталось обеспечить начальное условие (2). Так как уравнение (1) линейное и однородное, то можно применить принцип наложения решений. Отсюда будем иметь

причем если ряд (16) сходится, то при известных условиях функция (16) является решением уравнения (1). Полагая t = 0 в формуле (16), в силу начального условия (2) будем иметь

Ряд (17) представляет собой разложение на отрезке функции f(x) в ряд Фурье по синусам кратных дуг. Для коэффициентов разложения справедливы формулы 

Таким образом, решение задачи дается рядом (16), коэффициенты которого определяются формулой (18). Для обычной инженерной практики достаточно брать несколько членов этого ряда.

Заметим, что полученное решение носит формальный характер, так как не была исследована сходимость ряда (16). Однако можно показать, что если функция f(x) — достаточно гладкая на отрезке , то ряд (16) сходится и сумма его и(х, t) удовлетворяет как дифференциальному уравнению (1), так и начальному условию (2), а также краевым условиям (3), т. е. и(х, t) есть решение нашей задачи в обычном смысле.

Примененный метод решения задачи обычно называют методом Фурье (или методом разделения переменных).

Дифференциальные уравнения в математическом анализе

При решении многих прикладных задач часто не удается сразу установить функциональную зависимость между искомыми и данными переменными величинами, но зато удается составить уравнение, связывающее независимую переменную, искомую функцию и её производные. Такое уравнение называется дифференциальным. Дифференциальное уравнение может не содержать в явном виде независимую переменную и искомую функцию, но обязательно должно содержать одну или несколько производных искомой функции.

Примеры дифференциальных уравнений:

35.          37. 

36.  

Простейшее дифференциальное уравнение мы уже встречали при решении задачи о нахождении первообразной функции. Действительно, если функция у=F(х) является первообразной для функции f(х), то по определению первообразной F'(x) =f'(x) имеем простейшее дифференциальное уравнение

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка связывает независимую переменную, искомую функцию и её первую производную. В общем виде его можно записать следующим образом:

Заметим, что такое уравнение может не содержать в явном виде х и у, но обязательно содержит Например,

Решением дифференциального уравнения первого порядка называется всякая функция которая при подстановке её в уравнение обращает его в тождество.

Замечание. В отличие от алгебраического уравнения, где решением уравнения является число, для дифференциального уравнения решениями являются некоторая заведомо неизвестная функция или семейство функций. Для проверки правильности нахождения неизвестной функции необходимо найти её производную и подставить значение производной и функции в дифференциальное уравнение. Если уравнение обращается в тождество, значит решение (искомая функция) найдено верно.

Пример №86

Показать, что функция является решением уравнения

Последнее равенство является тождеством.

Как будет показано позже, при нахождении решения дифференциального уравнения приходится в большинстве случаев выполнять операции интегрирования, поэтому процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Как и в случае неопределенного интеграла, существует множество отличающихся на постоянную составляющую функций, удовлетворяющих дифференциальному уравнению первого порядка.

Задача Коши, ее геометрическая интерпретация

1. Дифференциальному уравнению первого порядка соответствует бесчисленное множество функций (интегральных кривых) и, следовательно, бесчисленное множество решений, представляющих собой функциональные зависимости определенного вида.
2. Для выделения из этого множества конкретной интегральной кривой надо задать точку через которую должна проходить кривая. Задание такой точки называется заданием начальных условий.

Задача нахождения решения уравнения удовлетворяющее начальному условию называется задачей Коши.

Дадим теперь определения общего и частного решений дифференциального уравнения

Функция зависящая от аргумента х и произвольной постоянной С, называется общим решением уравнения, если при любых значениях произвольной постоянной С функция является решением уравнения;

Всякое решение получающееся из общего решения при конкретном значении называется частным решением.

Значение можно найти из условия

Замечание. Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешенном относительно функции, т.е. в виде то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с

разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

 или  

Второе уравнение четко указывает на происхождение названия этого типа уравнений - в каждой части равенства содержатся функция одной переменной и дифференциал той же переменной.

Некоторые дифференциальные уравнения изначально представляются как уравнения с разделяющимися переменными, в других уравнениях имеется возможность приведения их к уравнениям с разделяющимися переменными. Приведем некоторые примеры.

Пример:   - переменные х и у в уравнении разделены.

Пример:   - переменные не разделены, поэтому

предпримем попытку их разделения с помощью алгебраических преобразований

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.

Пример:  - переменные не разделены и путем алгебраических преобразований разделены быть не могут, поэтому данное уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными.

Метод интегрирования уравнения с разделяющимися переменными состоит в следующем.

1. Если уравнение преобразовано к виду то решение

может быть найдено непосредственным интегрированием обеих частей равенства

Произвольная постоянная помещается в любую часть равенства. Иногда (с целью удобства дальнейших преобразований) вместо произвольной постоянной С используется иное её представление, а именно
2. Если уравнение представлено в виде  то перед интегрированием уравнения требуется выполнить очевидные преобразования

Последнее выражение представляет собой общий интеграл исходного уравнения.

Пример:  Найти частное решение уравнения

Из найденного общего решения требуется найти частное решение, удовлетворяющее начальному условию. Из общего решения легко получить

Последняя функция представляет собой частное решение исходного уравнения.

Пример:  Найти частное решение уравнения

При интегрировании вместо произвольной постоянной С взята величина только для удобства дальнейших преобразований.

Из полученного общего решения и начального условия найдем величину произвольной постоянной и частное решение уравнения.

Пример:  Решить уравнение

Выполним некоторые преобразования

Интегрируем обе части уравнения

Решение уравнения получено в виде общего интеграла.

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде 
или в виде 

где - однородные функции одной и той же степени.

Функция называется однородной функцией степени n, если для всех k > 0 имеем 
 

Пример: Показать, что функция является однородной функцией третьего порядка.

Пример:  Показать, что функция является однородной функцией нулевого порядка.

Однородное уравнение легко может быть преобразовано в уравнение с разделяющимися переменными. С этой целью вводится новая функция

Пример:  Найти общее решение дифференциального уравнения
Разделим уравнение на X и выполним следующие преобразования

Положив имеем  Тогда уравнение преобразуется к виду

Получаем уравнение с разделенными переменными. Выполнив интегрирование, получим общий интеграл исходного уравнения

 

Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения

В правой части уравнения содержится однородная функция. Выполнив некоторые преобразования и воспользовавшись заменой переменной получаем

Возвращаясь к исходной переменной, получаем

 

Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальное уравнение n-го порядка в общем виде записывается следующим образом 

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производном

В частном случае дифференциальное уравнение л-го порядка может не содержать х,у (функцию) и её производные до (n -1) порядка, но обязательно должно содержать

Общее решение уравнения n-го порядка зависит от n произвольных постоянных, т.е. является функцией вида 

Решение дифференциального уравнения, получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением. Для выделения частного решения задаются начальные условия В случае дифференциального уравнения n-го порядка начальные условия имеют вид

где - заданные числа.

Дифференцируя общее решение n-1 раз и используя начальные условия, получим систему уравнений для определения постоянных

Для уравнения n-го порядка имеет место теорема существования и единственности решения, аналогичная соответствующим теоремам для уравнений первого и второго порядков.

Задача Коши для уравнения n-го порядка формулируется следующим образом: найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.
 

Пример №87

Найти общее решение дифференциального уравнения третьего порядка

и выделить из него частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

Решение.

Подставляя начальные условия, найдем

Итак, частное решение, соответствующее данным начальным условиям, имеет вид

Пример №88

Найти общее решение дифференциального уравнения четвертого порядка

Линейные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно представить в виде

где ) - заданные функции.

Линейным уравнение называется, потому что в уравнение входят искомая функция и её производная в первой степени.

Если функция в правой части уравнения отсутствует, т.е. то уравнение называется линейным уравнением без свободного члена, или линейным однородным уравнением.

Если то уравнение называется линейным неоднородным уравнением.
 

Пример №89

Дано дифференциального уравнения Является ли приведенное уравнение линейным?

Здесь Уравнение приводится к виду

а данное уравнение является линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка (ЛНДУ1).

Пример №90

Является ли приведенное уравнение линейным Искомая функция и её производная входят в уравнение в первой степени. Кроме того, отсутствует член уравнения, свободный от функции и её производной. Следовательно, данное уравнение является линейным однородным (ЛОДУ1)

Пример №91

Является ли приведенное уравнение линейным Уравнение не является линейным, так как функция входит в уравнение не в первой степени (фрагмент ).

Пример №92

Является ли приведенное уравнение линейным

Разделив всё уравнение на X и перейдя к принятым обозначениям, получаем

 

Интегрирование линейного однородного дифференциального уравнения

Имеем уравнение

В этом уравнении легко разделяются переменные

Отсюда, потенцируя, находим общее решение уравнения

Пример №93

Найти решение уравнения

- в чем легко убедиться, подставив данное решение в исходное дифференциальное уравнение.

Интегрирование линейного неоднородного дифференциального уравнения (ЛHДУ).

Для решения ЛНДУ

наиболее распространенными методами решения ЛНДУ первого порядка (ЛНДУ 1) являются методы, разработанные Лагранжем и Бернулли.

Метод Лагранжа (метод вариации произвольной постоянной)

Идея метода заключается в следующем:

1)    находим решение соответствующего ЛОДУ1 как показано выше в виде

2)    заменяем произвольную постоянную С в предыдущем решении

некоторой (пока неизвестной) функцией

3)    так как последнее выражение должно быть решением исходного ЛНДУ1, оно должно удовлетворять этому уравнению; следовательно необходимо выполнить действия аналогичные проверке правильности найденного решения:

-    находим производную

- подставляем выражения для в исходное уравнение, после очевидных преобразований получаем

4) находим общее решение линейного уравнения

Несмотря на громоздкость вышеприведенных выражений, использование данного метода для решения конкретных дифференциальных уравнений достаточно компактно.

Пример №94

Найти общее решение уравнения

Не будем при поиске решения пользоваться готовой формулой, а проделаем все преобразования вновь. Рассмотрим сначала соответствующее однородное уравнение

Получено уравнение с разделяющимися переменными

В полученном решении однородного уравнения выполним замену С = z(x), найдем производную и подставим в исходное неоднородное уравнение

Вновь получено уравнение с разделяющимися переменными (для функции z(x))

Подставим полученное решение для функции z(x) в решение однородного уравнения (вместо произвольной постоянной), получим общее решение исходного уравнения

Итак, для интегрирования ЛНДУ1 методом Лагранжа необходимо найти решения двух уравнений с разделяющимися переменными

Метод Бернулли (метод подстановки)

Идея метода заключается в следующем:

1)    искомая функция представляется в виде произведения двух заранее неизвестных функций или в сокращенной записи 

2)    находим производную искомой функции и (вместе с функцией) подставляем в уравнение (получаем преобразованное уравнение)

3)    так как одна из функций может иметь произвольный вид, выберем функцию v(x) так, чтобы выражение в круглых скобках было равно нулю

4)    получено уравнение с разделяющимися переменными, откуда может быть легко найдена функция v(x):

(произвольная постоянная при интегрировании принята равной нулю)

5)    найденная функция v(x) подставляется в преобразованное уравнение (выражение в скобке равно нулю!)

6)    получено уравнение с разделяющимися переменными, откуда может быть легко найдена функция u(х):

7)    так как то

При использовании этого метода, также необходимо найти решения двух уравнений с разделяющимися переменными, причем эти уравнения идентичны для обоих методов. Здесь, как и в предыдущем методе, решение в общем виде представляет собой достаточно громоздкие выражения, однако, использование данного метода для решения конкретных дифференциальных уравнений достаточно компактно.

Пример №95

Найти общее решение уравнения

Выполним проверку правильности решения: найдем производную найденной функции и подставим её в исходное уравнение 
 - уравнение обратилось в
тождество, значит, решение верное.

Пример №96

Найти частное решение уравнения Преобразуем уравнение

Найдем общее решение методом Бернулли

Получаем общее решение уравнения

Подставим начальное условие и найдем значение произвольной постоянной

Получаем частное решение уравнения

Замечание. Если задача состоит в нахождении частного решения

дифференциального уравнения, то проверка правильности найденного решения состоит из 2-х обязательных этапов:

1. проверка соответствия найденного решения заданному уравнению;
2. проверка соответствия найденного решения начальному условию.
    

Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия

В экономических приложениях часто встречаются дифференциальные уравнения второго порядка, поэтому на изучении методов их интегрирования следует остановиться особо.

Дифференциальное уравнение второго порядка (ДУ2) связывает независимую переменную, искомую функцию и её первую и вторую производные. В частных случаях три первых составляющих могут и отсутствовать, однако уравнение обязательно должно содержать Дифференциальное уравнение второго порядка в общем случае записывается в виде

или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно второй производной

Как и в случае уравнения первого порядка, для уравнения второго порядка могут существовать общее и частное решения.

Рассмотрим на примере, какой вид имеет общее решение уравнения второго порядка и как из него выделяется частное решение.

Пример №97

Возьмем простейшее уравнение второго порядка (в этом уравнении отсутствуют аргумент, функция и её первая производная)

Для его решения введем некоторые обозначения и дважды проинтегрируем y = v

Полученное общее решение зависит от двух произвольных постоянных.

Геометрически это решение представляет множество парабол, причем, очевидно, через каждую точку плоскости проходит бесчисленное множество парабол, имеющих в этой точке различные касательные. Для выделения из этого множества кривых какой-либо одной интегральной кривой необходимо, кроме координат точки задать дополнительно угловой коэффициент касательной, т.е. значение производной в этой или какой-нибудь иной точке.

Таким образом, условия, с помощью которых из общего решения уравнения второго порядка, выделяется частное решение (начальные условия), имеют вид

Первое из этих условий указывает точку через которую должна проходить интегральная кривая.

Второе условие определяет наклон интегральной кривой в точке 

Пример №98

Проиллюстрируем это на примере решенного нами простейшего уравнения.

Для этого зададим нижеследующие начальные условия

Найдем величины произвольных постоянных:

Получаем искомое частное решениe
Полученные результаты остаются справедливыми и в общем случае уравнения второго порядка.

Задача нахождения решения дифференциального уравнения удовлетворяющего заданным начальным условиям, называется задачей Коши.

• Если общее решение дифференциального уравнения второго порядка получено в виде, не разрешенном относительно искомой функции: то это соотношение называют общим интегралом данного дифференциального уравнения.
• Всякое решение получающееся из общего решения при конкретных значениях постоянных называется частным решением.
   

Дифференциальные уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка

Иногда дифференциальное уравнение второго порядка удается с помощью замены переменной свести к уравнению первого порядка. Такое преобразование называется понижением порядка.

Простейшими уравнениями второго порядка, допускающими понижение порядка, являются, так называемые, «неполные» уравнения:

Рассмотрим последовательно, как осуществляется понижение порядка и как интегрируется каждое из этих уравнений.

а) Введем новую функцию и мы получаем уравнение первого порядка

Дважды проинтегрировав, получаем

Пример №99

Найти общее решение уравнения

б) Вводя, как и прежде, новую функцию получаем уравнение первого порядка относительно функции v(x):

Допустим, что найдено общее решение этого уравнения Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

 

Пример №100

Найти частное решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

Выделим из найденного общего решения частное:

в) Это уравнение не содержит явно независимой переменной. Понижение порядка осуществляется введением новой, аналогичной предыдущему, функции y' = v(y).

Дифференцируем это равенство по х, учитывая, что у является функцией от
X.

Подставляя выражения для  и  в исходное уравнение, получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции v(y)

Пусть функция является общим решением этого уравнения. Тогда получаем уравнение с разделяющимися переменными

 

Пример №101

Найти общее решение уравнения

 

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка

Большое количество прикладных задач экономики и других наук приводят к особому виду дифференциальных уравнений, так называемым линейным уравнениям. Ранее нами уже были рассмотрены линейные уравнения первого порядка.

Дифференциальное уравнение вида

называется линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Если b(х) = 0, то линейное уравнение принимает вид

и называется однородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка (ЛОДУ2) или уравнением без правой части. Если же то уравнение называется неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка (ЛНДУ2).

Пример №102

Уравнения являются линейными, причем первое из них неоднородное, а второе - однородное.

Уравнения не являются линейными.

Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим частный случай линейных уравнений второго порядка, когда коэффициенты уравнения постоянны, т.е. являются числами. Такие уравнения называются уравнениями с постоянными коэффициентами. Этот вид уравнений находит особенно широкое применение.

Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

в котором коэффициенты постоянны, причем Разделив все члены уравнения на  и обозначив получим

Последнему дифференциальному уравнению ставится в соответствие характеристическое уравнение

где k - переменная.

Как известно, корни данного уравнения могут быть:

1)    действительными и различными;

2)    действительными и равными;

3)    комплексно сопряженными.

Рассмотрим, какой вид имеют решения в каждом из этих случаев.

1.    Корни характеристического уравнения действительны и
различны.

В этом случае общее решение ЛОДУ2 имеет вид

2.    Корни характеристического уравнения действительны и равны

В этом случае общее решение ЛОДУ2 имеет вид

3.    Корни характеристического уравнения комплексно сопряженные.

В этом случае  и общее решение ЛОДУ2 имеет вид

Пример №103

Найти общее решение уравнения Составим характеристическое уравнение и найдём его корни

Получаем общее решение ЛОДУ2

Выполним проверку найденного решения: найдем первую и вторую производные и подставим функцию и её производные в исходное уравнение

Результат проверки очевиден: найденная функция является решением исходного уравнения.

Пример №104

Найти общее решение уравнения

Пример №105

Найти частное решение уравнения

 

Пример №106

Найти общее решение уравнения

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛНДУ2) с постоянными коэффициентами

Рассмотрим теперь уравнение

в котором коэффициенты р и q по-прежнему некоторые числа, a f(x) -известная функция.

Линейное однородное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью неоднородного уравнения, в дальнейшем будем называть соответствующим ему однородным уравнением.

Рассмотрим теперь метод интегрирования ЛНДУ2.

Общее решение ищется по следующему алгоритму:

1.    Составляем соответствующее ЛОДУ2.

2.    Находим общее решение ЛОДУ2 - Y(х).

3.    По виду правой части уравнения (функции f(x)) методом подбора выбираем вид решения -- неопределенные

коэффициенты (числа), которые определяются, как уравнением, так и параметрами функции f(х).

4.    Общее решение является суммой решений, найденных в п.2 и п.З:

5.    Частное решение ЛНДУ2 (решение с вполне определенными постоянными интегрирования ) определяется с использованием начальных условий.

Выполнение п.1 является вполне очевидным.

Выполнение п.2 изложено в предыдущем подразделе.

Выполнение п.4 не вызывает затруднений.

Выполнение п.5 аналогично изложенному в предыдущем подразделе.

Для реализации всего алгоритма следует изложить методику выполнения п.З. Здесь следует заметить, что в приложениях часто правые части подобных уравнений имеют специальный вид, для которых разработаны простые методы нахождения решения. Основным из этих методов является метод подбора формы частного решения.

Рассмотрим виды решений в зависимости от вида правой части дифференциального уравнения:

1. Правая часть уравнения представляет собой полином

В этом случае решение следует искать в виде

Здесь - многочлен той же степени, что и но с неизвестными коэффициентами, а r - число корней характеристического уравнения, равных нулю.

Коэффициенты многочлена находят путем подстановки решения в уравнение и приравниванием коэффициентов при равных степенях аргумента (аналогично методу неопределенных коэффициентов при разложении правильных рациональных дробей на простейшие дроби).

2.    Правая часть уравнения представляет собой произведение экспоненциальной функции и полинома

где - многочлен степени n, а коэффициент а - действительное число.

В этом случае решение следует искать в виде

Здесь - многочлен той же степени, что и многочлен но с неизвестными коэффициентами, а r - число корней характеристического уравнения, совпадающих с коэффициентом а в показателе экспоненты. Коэффициенты многочлена находят так же, как в предыдущем случае.

3.    Правая часть уравнения представлена в виде

где M , N и b - заданные числа

В этом случае решение следует искать в виде

где А и В - неизвестные коэффициенты, а r равно числу корней характеристического уравнения, совпадающих с bi.

Коэффициенты А и В находят путем подстановки решения в уравнение и приравниванием коэффициентов при функциях cosbx и sinbx в левой и правой частях уравнения.

Дополнение. Если правая часть уравнения представлена в виде суммы функций, аналогичных рассмотренным выше

то в этом случае решение следует искать в виде

Здесь - решения, найденные вышеописанным способом.

Пример №107

Найти общее решение уравнения

- общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения (ОР ЛОДУ2).

Решение, связанное с видом правой части ищем в виде

Найдем производные этого решения:

Подставим решение и производные в исходное уравнение

Искомое общее решение имеет вид

Выполним проверку правильности найденного решения

Исходное уравнение обратилось в тождество, значит найденное решение верно.

Пример №108

Найти частное решение уравнения причем такое, чтобы при х = 0 функция имела экстремум равный у = 5. Сначала запишем начальные условия в обычной форме:

Найдем решение соответствующего ЛОДУ2

Один из корней равен нулю, следовательно, получаем вид решения

Решение, связанное с видом правой части ищем в виде

Найдем производные этого решения и вычислим значения неизвестных коэффициентов:

Отсюда получаем и общее решение ЛНДУ2 имеет вид

Для получения частного решения необходимо вычислить значения коэффициентов с помощью известных начальных условий.

Отсюда получаем и окончательно получаем частное решение ЛНДУ2

Студентам рекомендуется самостоятельно выполнить проверку правильности решения.

Пример №109

Найти общее решение уравнения Найдем решение соответствующего ЛОДУ2:

Один из корней характеристического уравнения совпадает с коэффициентом в показателе экспоненты в правой части уравнения, т.е. r = 1. Поэтому решение, связанное с правой частью уравнения, будем искать в виде

Найдем производные этого решения:

Подставим в исходное уравнение (очевидно, что всё уравнение сокращается на ) и найдем значения коэффициентов Л и В:

Получаем  и окончательно решение ЛНДУ2

 

Пример №110

Найти общее решение ЛНДУ2

Решение.

- решение соответствующего ЛОДУ2.

Отсюда А=1; В=-6.

- решение, связанное с правой частью.

- решение ЛНДУ2.

Пример №111

Найти общее решение уравнения

Решение,

- решение соответствующего ЛОДУ2.

Заметим, что "bi” = 2i= следовательно, r = 1 и

- решение, связанное с правой частью.

 - решение ЛНДУ2.

Пример №112

Найти общее решение уравнения

Решение,

- решение соответствующего ЛОДУ2.

Правая часть уравнения представляет собой сумму двух функций

Следовательно, Таким образом, необходимо рассмотреть два ЛHДУ 2 с одинаковой левой частью:

Найдем решения, связанные с каждой из функций в правой части уравнения

Итак, решение, связанное с правой частью исходного уравнения имеет вид

Тогда решение исходного ЛHДУ 2 имеет вид