Определённый интеграл - определение с примерами решения

Содержание:

Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой на (рис. 11.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой , то справедливо приближенное равенство Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь взять предел площади под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. В результате мы получим, в частности, понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы

Пусть на задана функция Разобьем отрезок на элементарных отрезков точками На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку положим , где Сумму вида

будем называть интегральной суммой для функции на Очевидно, что интегральная сумма (11.1) зависит как от способа разбиения отрезка точками так и от выбора точек на каждом из отрезков разбиения

Геометрический смысл интегральной суммы

Пусть функция неотрицательна на . Отдельное слагаемое интегральной суммы (11.1) в этом случае равно площади 5, прямоугольника со сторонами где (см. рис. 11.3, где и т.д.). Другими словами, — это площадь под прямой на отрезке Поэтому вся интегральная сумма (11.1) равна площади под ломаной, образованной на каждом из отрезковпрямой , параллельной оси абсцисс (рис. 11.3).

Понятие определенного интеграла

Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через , максимальную из длин отрезков, где

Определение. Пусть предел интегральной суммы (11.1) при стремлении , к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на , обозначается .

При этом число называется нижним пределом, число — его верхним пределом; функция — подынтегральной функцией, выражение — подынтегральным выражением, а задача о нахождении — интегрированием функции на отрезке .

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы (11.1).

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как представляет семейство функций, есть определенное число.

Во введенном определении определенного интеграла предполагается, что По определению положим

Принимая во внимание (11.2), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Полагая в (11.2) , получаем

или т.е.

Дополнительное подробное объяснение о определённом интеграле

Рассмотрим другой подход к определению площади криволинейной трапеции.

Пусть дана криволинейная трапеция, образованная графиком функции  на  (рис. 117). Разобьём отрезок  точками  на  равных отрезков: 

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник высотой  на втором — прямоугольник высотой  — прямоугольник высотой  В результате получим ступенчатый многоугольник, составленный из  прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно  тогда площадь всего ступенчатого многоугольника

Суммы такого вида называют интегральными суммами функции Полученную интегральную сумму можно считать приближённым значением площади  криволинейной трапеции, образованной графиком функции  При этом если  (рис. 118). Пишут: 

Не только задача о нахождении площади криволинеиной трапеции, но и много других важных прикладных задач приводят к вычислению пределов подобных интегральных сумм. Поэтому для такого понятия введено специальное название и обозначение.

 Предел интегральной суммы  функции  на отрезке  если называют определённым интегралом функции  от 

Его обозначают символом  (читают: интеграл от  эф от икс де икс). Здесь числа  пределы интегрирования,  — знак интеграла,  — подинтегральная функция,  — переменная интегрирования.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции  равна  т. е.  Как доказано в предыдущем пункте, эта площадь равна  — первообразная для функции  Поэтому

Это — формула Ньютона—Лейбница, основная формула математического анализа. Она даёт возможность решать много разных интересных и содержательных задач — абстрактных и прикладных, в частности — и очень важных. Решали такие задачи сотни математиков еще задолго до создания математического анализа. Но для каждой задачи раньше они находили отдельный оригинальный способ решения. Найдя и обосновав формулу Ньютона—Лейбница, учёные получили общий и очень эффективный способ решения таких задач. Не случайно открытие формулы Ньютона—Лейбница специалисты считают самым важным открытием XVII века.

Рационализировать вычисления определённых интегралов часто помогает такое их свойство:

Справедливость этой формулы вытекает из следующих преобразований: 

Пример №1

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций 

Решение:

Построим графики данных функций (рис. 119). Надо найти площадь закрашенной фигуры. Она равна разности площадей фигур Границы интегрирования — абсциссы точек  в которых пересекаются графики функций, т. е. значения  удовлетворяющие системе уравнений  и  Из системы получим уравнение  корни которого 

Следовательно, искомая площадь

Ответ.  Кв. ед.

Пример №2

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  и 

Решение:

Фигура, о которой говорится в задаче, расположена ниже оси  (рис. 120), поэтому не соответствует определению криволинейной трапеции. Однако она симметрична относительно оси  криволинейной трапеции, образованной графиком функции  на промежутке  Площади этих фигур равны, поэтому

Ответ.  кв. ед. 

Пример №3

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями 

Решение:

Данная фигура расположена по разные стороны от оси  (рис. 121, а). Перенесём её параллельно на 4 единицы в направлении оси  (рис. 121, б). Образованная фигура ограничена линиями  Её площадь, а следовательно, и площадь данной фигуры

Ответ. 12 кв. ед.

Пример №4

Докажите утверждение Кавальери. Если две фигуры можно разместить на плоскости так, что каждая секущая, параллельная данной прямой, пересекая одну из них, пересекает и другую по отрезку такой же длины, то площади этих фигур равны.

Решение:

Пусть фигуру  ограничивают линии  и  а фигуру  — линии  (puc. 122). Если каждая секущая  параллельная оси  пересекает фигуры  по отрезкам равной длины, то  для каждого Тогда

т. е. площади фигур  равны.

КАВАЛЬЕРИ Бонавентура (1598—1647)

Итальянский математик, преподаватель Болонского университета, автор «Геометрии», в которой изложен метод неделимых. По сути он умел решать задачи, которые теперь решают, вычисляя интегралы  при натуральных  

Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция неотрицательна на отрезке , где численно равен площади под кривой на (см. рис. 11.1). Действительно, при стремлении , к нулю ломаная (см. рис. 11.3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

(Первый из интегралов — площадь квадрата со стороной единичной длины; второй — площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий — площадь четверти круга единичного радиуса; предлагаем читателю в качестве упражнения выполнить необходимые чертежи самостоятельно.)

Заметим, что равенство (11.3) согласовано с геометрическим смыслом определенного интеграла: в случае, когда отрезок интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна нулю.

Экономический смысл интеграла

Пусть функция описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции и, произведенной за промежуток времени

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени — постоянная функция), то объем продукции произведенной за некоторый промежуток времени задается формулой В общем случае справедливо приближенное равенство где которое оказывается тем более точным, чем меньше

Разобьем отрезок на промежутки времени точками: Для величины объема продукции , произведенной за промежуток времени имеем , гдеТогда

При стремлении , к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

т.е. если производительность труда в момент есть объем выпускаемой продукции за промежуток .

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции (см. выше) показывает, что величина и объема продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .

Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции)

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке [, то она интегрируема на этом отрезке.

Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения.

Пример №5

Вычислить

Решение:

Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки разбиения имеют одинаковую длину , равную , где — число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков разбиения точка совпадает с правым концом этого отрезка, т.е. , где (В силу интегрируемости функции , выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек , на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы.) Тогда

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Следовательно,

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла, который будет рассмотрен в § 11.4.

Свойства определенного интеграла

В данном параграфе мы будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

где — некоторое число.

 Пусть фиксированы разбиение отрезка и выбор точек на каждом из отрезков разбиения. Используя ассоциативный (распределительный) закон умножения чисел, имеем

Перейдем к пределу в левой и правой части последнего равенства при

По определению определенного интеграла первый из пределов равен левой части равенства (11.4), последний — правой. ■

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Нетрудно видеть, что это свойство остается справедливым для любого числа слагаемых.

Доказательство свойства 2 аналогично свойству 1.

Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых

Рассмотрим геометрический смысл свойства 3. Пусть и функция неотрицательна на . Согласно геометрическому свойству определенного интеграла (рис. 11.4), где — площадь под кривой на отрезке (площадь всей заштрихованной фигуры на рис. 11.4). Тогда при сделанных предположениях равенство (11.6) утверждает наличие следующего (очевидного) соотношения между площадями:

Пусть и функция неотрицательна на отрезке Применяя равенство (11.2) ко второму интегралу из правой части (11.6), запишем этот интеграл так, чтобы верхний предел был больше нижнего (для остальных интегралов (11.6) верхний предел больше нижнего по предположению):

Тогда равенство (11.7) утверждает наличие следующего (очевидного) соотношения между площадями криволинейных трапеций (рис. 11.5): где — площадь под кривой на отрезке

4. Если на отрезке то и

т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

 Пусть фиксированы разбиение отрезка и выбор точек , на каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:

Переходя к пределу при , получим (11.8).

Следствие. Пусть на отрезке где - некоторые числа. Тогда

По свойству 4 имеем

Остается заметить, что по свойству 1 и геометрическому смыслу определенного интеграла и аналогично

5. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке (где ), то найдется такое значение что

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения верно, что от где от и — наименьшее и наибольшее значения функции на . Тогда, согласно (11.9), имеем

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число что

ПустьТогда теорема о среднем утверждает: найдется такая точка из отрезка , что площадь под кривой на равна площади прямоугольника со сторонами (см. рис. 11.6 и геометрический смысл определенного интеграла). Еще одно возможное объяснение геометрического смысла теоремы о среднем см. в § 11.6.

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и нахождение функции от функции (см. гл. 5). В данном параграфе мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.

Если функция интегрируема на отрезке , то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке вложенном в .

Положим по определению

где а функция называется интегралом с переменным верхним пределом.

Пусть на отрезке . Тогда (см. § 11.1) значение функции в точке равно площади под кривой на отрезке (см. рис. 11.7). (В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом.)

Последнее замечание позволяет, в частности, по-новому посмотреть на некоторые известные функции. Например, (см. § 11.4) поэтому значение функции в точке численно равно площади под гиперболой на отрезке (см. рис. 11.8).

Рассмотрим теперь свойства функции (интеграла с переменным верхним пределом, см. (11.11)).

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то функция также непрерывна на .

 Пусть таково, что принадлежит отрезку . Согласно (11.1) и (11.6), имеем

По теореме о среднем (см. § 11.2) найдется такое значение что и, следовательно,

Поскольку точка , принадлежит, в частности, отрезку , то, где - наименьшее и наибольшее значения функции на . (При изменении значение возможно, меняется, но в любом случае мы имеем дело с ограниченной функцией.)

Переходя в (11.12) к пределу при и используя теоремы о пределах, получим

Теперь мы докажем, что производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу равна подынтегральной функции. Более точно справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции , т.е.

 Воспользуемся равенством (11.12) из доказательства теоремы 1. Тогда

где Переходя в (11.14) к пределу при и учитывая, что (в силу непрерывности функции ), приходим к (11.13). ■

Рассмотрим геометрический смысл доказательства теоремы 2. Пусть По геометрическому смыслу интеграла с переменным верхним пределом (Рис. 11.9), т.е. приращение функции Ф(х) равно приращению площади под кривой при изменении абсциссы от По теореме о среднем найдется такое значение что площадь криволинейной трапеции будет равна площади прямоугольника со сторонами В результате и приходим к (11.14). При отрезок стягивается в точку, и переходит в , а предел левой части (11.14) равен

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке , то для этой функции существует первообразная на отрезке .

Действительно, примером первообразной для является функция , заданная формулой (11.11).

Замечание. Четыре арифметических действия и нахождение функции от функции, примененные к элементарным функциям (конечное число раз), вновь приводят к функциям элементарным. Что же касается интеграла с переменным верхним пределом (11.11), то здесь элементарность функции , вообще говоря, не обеспечивает элементарности функции . Например, функции ,(и т.п. функции, связанные с неберущимися интегралами,

см. § 10.9) неэлементарны, так как они являются первообразными для функций которые не имеют первообразных в классе элементарных функций.

Формула Ньютона-Лейбница

В этом параграфе, опираясь на свойства интеграла с переменным верхним пределом, мы получим основную формулу интегрального исчисления, традиционно связываемую с именами И. Ньютона и Г.В. Лейбница (см. (11.15)).

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и — любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на этом отрезке, т.е.

 Пусть — некоторая первообразная для функции . Но по теореме 2 функция , заданная формулой (11.11), также является первообразной для функции , и по теореме из § 10.1 найдется такое число , что Тогда для приращения первообразной имеем

(см. определение (11.11) функции ). Для завершения доказательства достаточно заметить, что согласно (11.3)

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница (11.15) осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную для подынтегральной функции ; на втором применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона—Лейбница можно использовать любую первообразную для подынтегральной функции , например, имеющую наиболее простой вид при .

Пример №6

Вычислить:

Решение:

а) Произвольная первообразная для функции имеет вид Для нахождения интеграла по формуле Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную, у которой (см. замечание выше). Тогда

что совпадает, конечно, с результатом, полученным в примере 11.1.

б) Первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (10.9). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем При нахождении интеграла из примера 11.2б было использовано свойство приращения первообразной где — некоторое число.

Заметим, что введенное ранее определение (11.2) и его следствие (11.3) согласованы с формулой Ньютона-Лейбница. Действительно,

и

Таким образом, и при применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

Теорема 1. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке и функция непрерывна в каждой точке вида где

Тогда справедливо следующее равенство

Формула (11.18) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

 Пусть — некоторые первообразные для функций . В гл.10 было доказано, что также является первообразной для функции . Тогда по следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число , что Поэтому

Но по формуле Ньютона—Лейбница совпадает с правой частью (11.18), a — с левой частью (11.18). 

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования по новой переменной как решение относительно переменной уравнений На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной упрощается:

Пример №7

Вычислить

Решение:

Положим . Тогда

Если то и если Следовательно,

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке . Тогда

где

Формула (11.19) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Поскольку , то функция является первообразной для функции .

Тогда по формуле Ньютона—Лейбница и (11.5) получаем:

что равносильно (11.19), поскольку по определению дифференциала

Пример №8

Вычислить

Решение:

Пусть Тогда

(см. гл. 10).

Применяя (11.19), получаем

Для нахождения полученного интеграла положим

Тогда и если если то Следовательно,

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур. 1. Пусть функция неотрицательна и непрерывна на отрезке . Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла (см. § 11.1) площадь под кривой на (см. рис. 11.1) численно равна определенному интегралу , т.е.

Пример №9

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Из чертежа (см. рис. 11.10) видно, что искомая площадь криволинейного треугольникаравна разности двух площадей:

каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла. Решая систему , получаем, что точка пересечения прямой и кривой имеет координаты .

Тогда ,

Окончательно

Отметим, что данная задача может быть также решена другим способом. Сделаем сначала некоторые замечания общего характера. По определению определенного интеграла

Это равенство можно понимать так, что при построении интегральной суммы разбиению подвергается отрезок оси ординат. Соответственно точки -- это ординаты, фиксированные на каждом из отрезков разбиения. Поэтому, если то интеграл численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой и прямыми (см. рис. 11.11). (Другими словами, в данном случае площадь вычисляется посредством проецирования криволинейной трапеции на ось ординат.) Теперь, возвращаясь к задаче нашего примера, можем записать:

2. Пусть функция неположительна и непрерывна на (см. рис. 11.12). Выясним, какая связь в этом случае существует между площадью криволинейной трапеции «над кривой» на и интегралом

Отражая кривую относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением Функция уже неотрицательна на , а площадь под этой кривой на из соображений симметрии равна площади (см. рис. 11.13). Тогда

Таким образом, если функция неположительна на , то площадьнад кривой на отличается знаком от определенного интеграла

Пример №10

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Из рис.11.14 видно, что искомая площадь криволинейного треугольника может рассматриваться как площадь над кривой на отрезке Однако указанная кривая (ломаная) не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения разобьем криволинейный треугольник на части, проецируя точку излома на ось абсцисс. Тогда (см. рис.11.14). Абсциссы точек задают пределы интегрирования. (Проверку того, что координаты точек равны (0; 0), (1; -1) (2; 0), мы оставляем читателю в качестве упражнения.)

Окончательно

3. Пусть на отрезке задана непрерывная функция общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция будет знакопостоянна или равна нулю. Выясним, какая в данном случае существует связь между определенным интегралом и площадями возникающих криволинейных трапеций. Рассмотрим, например, случай функции, изображенной на рис. 11.15. Площадь заштрихованной фигуры т.е. равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

Сделанные замечания позволяют дать еще одну геометрическую интерпретацию теоремы о среднем (см. § 11.2). Равенство (11.10) можно переписать в виде

т.е. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка что после сдвига исходной кривой вдоль оси ординат на величину для полученной кривой площади частей криволинейной трапеции,расположенных выше и ниже оси равны (например, на рис. 11.16 ).

4. Приведем формулу, применение которой часто упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.

Теорема. Пусть на отрезке заданы непрерывные функции , такие, что . Тогда площадь фигуры, заключенной между кривыми , на отрезке вычисляется по формуле

Проиллюстрируем теорему графически. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке .

откуда следует формула (11.21).

откуда следует (11.21)

откуда следует (11.21).

4. Общий случай (см. рис. 11.17 г) сводится к частным случаям, рассмотренным выше, если разбить отрезок на отдельные отрезки

Пример №11

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , (рис. 11.18).

Решение:

Найдем координаты точек пересечения параболы и прямой , решив систему этих уравнений: На отрезке

Воспользуемся формулой (11.21), полагая.

Абсциссы точек пересечения наших линий зададут пределы интегрирования:

Вычисление объемов тел вращения

Пусть на отрезке задана непрерывная знакопостоянная функция . Необходимо найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями , (см. рис. 11.19).

Для решения задачи применим тот же подход, который был использован выше для нахождения площади криволинейной трапеции. Разобьем отрезок на элементарные отрезки точками: и на каждом из отрезков разбиения некоторым образом выберем точку , где . Тогда некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма .

слагаемое которой () — это объем цилиндра с высотой и радиусом основания (см', рис.11.19). Очевидно, что приближение для, искомого объема будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения поэтому за искомый объем естественно взять следующий предел

где — максимальная из длин отрезков разбития. Но выражение, стоящее в правой части (11.23), Не что иное, Как предел интегральной суммы для функции , поэтому (см. определение определенного интеграла и формулу (11.4)) окончательно получаем

Пример №12

Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями вокруг оси .

Решение:

По формуле (11.24) искомый объем (рис. 11.20).

Формально заменяя в формуле (11.24) переменную получаем формулу для вычисления объема тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ординат:

(на рис. 11.21 вращаемая криволинейная трапеция заштрихована).

Пример №13

Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Проецируя вращаемую фигуру на ось ординат (рис. 11.22), убеждаемся, что искомый равен разности двух объемов: объема , полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями и объема , для которого вращаемая фигура ограничена линиями (С учетом предстоящего применения формулы (11.25) уравнения кривых записаны в виде , предполагающем переменную независимой.) Применяя (11.25), получаем:

Окончательно

Несобственные интегралы

В предыдущих параграфах мы рассматривали интегралы от функций, интегрируемых (и, следовательно, ограниченных) на конечных отрезках интегрирования. На практике возникает необходимость обобщения этих понятий на случаи, когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция определена и интегрируема на произвольном отрезке т.е. функция определена для произвольного

Определение: Несобственным интегралом от функции на полуинтервале называется предел функции при , стремящемся к , т.е.

Если предел, стоящий в правой части равенства (11.26), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.

По аналогии с теорией числовых рядов (см. гл. 13) при работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

• а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
• б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры (см. примеры ниже).

Пример №14

Вычислить

Решение:

По определению

Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона—Лейбница: Тогда т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1. Аналогично, используя формулу Ньютона—Лейбница, можно убедиться, что является сходящимся к если , и расходящимся, если . Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида гипербола является своеобразным «порогом»: те кривые данного вида, которые на лежат ниже нее, ограничивают полубесконечную фигуру конечной площади; если же кривая лежит выше или

совпадает с гиперболой , то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь (см. рис. 11.23).

По аналогии с (11.26) определяется несобственный интеграл на полуинтервале

Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше.

Введем понятие несобственного интеграла на интервале Пусть для некоторого числа несобственные интегралы

сходятся. Тогда положим, что

при этом интеграл называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (11.28), расходится, то несобственный интеграл называется расходящимся. (Можно доказать, что введенное определение не зависит от выбора числа .

Пример №15

Вычислить

Решение:

Исследуем на сходимость интегралы и (В формуле (11.28) мы полагаем )

т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но

т.е. расходится и следовательно, расходится несобственный интеграл

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл , называемый интегралом Эйлера—Пуассона.

Доказано, что

другими словами, площадь под кривой (получившей название кривой Гаусса) на интервале равна 1 (рис. 11.24).

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Начнем с рассмотрения важного частного случая: пусть функция непрерывна, но не ограничена на полуинтервале

Определение: Несобственным интегралом oт функции на полуинтервале называется предел где , т.е.

Если предел, стоящий в правой части равенства (11.30), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции непрерывной, но неограниченной на

Пример №16

Вычислить

Решение:

По определению

По формуле Ньютона—Лейбница

Тогда

т.е. полубесконечная фигура, ограниченная осями координат, кривой и прямой , имеет конечную площадь, равную . (см. рис. 11.25).

Замечание. Если функция не ограничена при , где , то интеграл также называется несобственным. В этом случае интеграл

считается сходящимся, если сходятся два несобственных интеграла в правой части равенства. В противном случае называется расходящимся. Например, является расходящимся, так как расходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (предлагаем убедиться в этом читателю самостоятельно).

Приближенное вычисление определенных интегралов

Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона—Лейбница. Однако ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной функции. Поэтому в приложениях используют так называемые численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью. Этот подход оказывается еще более предпочтительным в связи с возрастающими возможностями современной вычислительной техники, Реализующей алгоритмы с необходимой скоростью.

В данном параграфе мы рассмотрим одну из приближенных формул вычисления определенного интеграла — формулу трапеций.

Пусть на отрезке задана непрерывная функция . Предположим дополнительно, что . Тогда численно равен площади под кривой на отрезке . Мы получим приближенное значение искомого интеграла, если вместо площади под кривой возьмем площадь под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой. Для построения этой ломаной поступим следующим образом: разобьем отрезок интегрирования на равных частей длиной и на каждом из отрезков разбиения , где , заменим участок кривой хордой, стягивающей концевые точки (рис. 11.26).

Тогда , где — площади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков разбиения), на рис. 11.26 эти трапеции заштрихованы. Но

Вынося множитель заметим, что все слагаемые данной суммы, отличные от , встречаются в ней дважды. Приводя подобные члены и учитывая, что,окончательно получаем

где Формула (11.32) носит название формулы трапеций. Она получена нами в предположении неотрицательности функции , но можно доказать, что этот результат остается справедливым также и в общем случае.

Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешности от применения формулы трапеций (существенно, что без рассмотрения этого вопроса формула (11.32) будет носить лишь качественный характер).

Обозначим через выражение, стоящее в правой части формулы (11.32). Тогда

— абсолютная погрешность от применения формулы трапеций (11.32). Обозначим через максимальное значение модуля второй производной подынтегральной функции на , т.е.

Доказано, что абсолютная погрешность от применения формулы трапеций

Пример №17

Вычислить по формуле трапеций при Оценить погрешность.

Решение:

Поскольку число отрезков разбиения равно 5, то длина отрезков разбиения равна и так как имеем

;

Подынтегральная функция , поэтому согласно (11.32) получаем

Перейдем теперь к оценке погрешности. Эта функция монотонно убывает на , поэтому достигает своего максимального значения в левой концевой точке этого отрезка (т.е. при ). Тогда и согласно (11.33) имеем

Заметим, что по формуле Ньютона-Лейбница

и поэтому найденное значение 0,4059 нашего интеграла является также приближением (с указанной точностью) для числа . Таким образом, формула трапеций может оказаться также удобным средством вычисления значений некоторых функций.

Определенный интеграла в экономике

Выше мы отмечали экономический смысл определенного интеграла, выражающего объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.

Рассмотрим другие примеры использования интеграла в экономике.

Если в функции Кобба—Дугласа (см. гл. 15) считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид . Тогда объем выпускаемой продукции за лет составит:

Пример №18

Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба—Дугласа имеет вид .

Решение:

По формуле (11.34) объем произведенной продукции равен

Используем метод интегрирования по . Тогда

Следовательно,

Исследуя кривую Лоренца — зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую , рис. 11.27), мы можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую — биссектрису , поэтому площадь фигуры между биссектрисой и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника (коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

Пример №19

По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца (рис. 11.27) может быть описана уравнением , где — доля населения, — доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини.

Решение. Очевидно, коэффициент Джини (см. рис. 11.27)

Поэтому

С помощью замены, например, можно вычислить

Итак, коэффициент Джини

Достаточно высокое значение показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время (лет) при годовом проценте (процентной ставке) , называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при ,определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть — конечная сумма, полученная за лет, и — дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют' также современной суммой. Если проценты простые, то , где — удельная процентная ставка. Тогда В случае сложных процентов и потому .

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией и при удельной норме процента, равной процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход за время вычисляется по формуле:

Пример №20

Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млн руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн руб.

Решение:

Очевидно, что капиталовложения задаются функцией Тогда по формуле (11.35) дисконтированная сумма капиталовложений

Интегрируя (аналогично примеру 11.14), получим млрд руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млн руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

Пусть известна функция , описывающая изменение затрат времени на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где — порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время , затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от изделий, вычисляется по теореме о среднем (11.10):

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий , то часто она имеет вид

где — затраты времени на первое изделие, — показатель производственного процесса.

Пример №21

Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения от до изделий, полагая в формуле (11.37) (мин),

Решение:

Используя формулу (11.36), получаем

Пример №22

Вычислить:

Решение:

а) Воспользуемся заменой переменной:

Тогда Если то .Выполняя замену, получаем

Отметим, что полагая можно также считать, что

При этом все условия теоремы 1 из § 11.5 выполнены и, поскольку в этом случае получаем

б) Положим . Тогда и если то и если Выполняя замену, получаем

в) Полагая , получаем, что если (одна из возможностей) Тогда

Пример №23

Вычислить

Решение:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям (11.19): положим Тогда

Пример №24

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 11.28).

Решение:

Координаты точек пересечения кривых найдем из системы их уравнений: Проецируя фигуру на ось абсцисс (см. пример 11.7), видим, что искомая площадь — это площадь фигуры, заключенной между кривыми; при этом на отрезке Применяя (11.21), получаем

Пример №25

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

и расположенной в первой четверти (рис. 11.29)

Решение:

Решая соответствующие системы уравнений, получаем, что точками пересечения заданных линий являются (рис. 11.29). Проецируя точки на ось абсцисс (см. замечание в примере 11.7), видим, что искомая площадь равна разности между площадью прямоугольника и суммой площадей двух криволинейных трапеций и . Вычислим: Итак,

Пример №26

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Для нахождения искомой площади (рис. 11.30) используем проецирование фигуры на ось ординат и соответственно интегрирование по переменной . Записывая уравнение в виде получаем

Тогда Мы предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно найти также данную площадь, используя проецирование на ось абсцисс.

Пример №27

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Выделим на чертеже вращаемую фигуру (рис. 11.31, криволинейный треугольник ABC). Заметим, что точно такое же тело вращения получится, если вокруг оси абсцисс вращать криволинейный треугольник Тогда искомый объем равен разности двух объемов: где — объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейного треугольника аналогично — объем тела, полученного от вращения треугольника Записывая уравнения ограничивающих линий в виде и используя (11.24), получаем

Пример №28

Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями

Решение:

Из чертежа (рис. 11.32) видно, что искомый объем равен разности двух объемов: где — объемы тел, полученных от вращения вокруг оси ординат плоских фигур соответственно. Для нахождения указанных объемов используем формулу (11.25). При этом нам потребуются уравнения кривых в виде Записывая уравнение параболы, заданной по условию в виде решим это квадратное уравнение относительно переменной , считая переменную параметром:

Тогда — уравнение кривой — уравнение кривой Используя (11.25), получаем

Определенные интегралы в высшей математике

Интегральные суммы:

Пусть функция f(x) задана на сегменте [a,b], а<Ь. Обозначим символом T разбиение сегмента [a,b] при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек на n частичных сегментов . Точки будем называть точками разбиения Т. Пусть произвольная точка частичного сегмента а - разность — которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента

Определение:

Число где: называется интегральной суммой (или суммой Рима на) функции f(x), соответствующей разбиению Т сегмента [a,b] и данному выбору промежуточных точек на частичных сегментах

Геометрический смысл интегральной суммы - площадь ступенчатой фигуры.

Введем обозначение

Определение:

Число I называется пределом интегральных сумм при если для любого положительного можно указать такое число что для любого разбиения Т сегмента [а,b], для которого максимальная длина частичных сегментов меньше , независимо от выбора точек на сегментах выполняется неравенство

Определение:

Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на сегменте [а,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при . Указанный предел I называется определенным интегралом функции но сегменту [а,b] и обозначается следующим образом:

Числа а и b называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок [а,b] - интервалом интегрирования.

В случае определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось Ох линии х = а и х = Ь, а также график функции у = f(x).

Обозначим через м, и ш. соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте

Определение:

Суммы:

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) для данного разбиения Т сегмента [а,b].

Очевидно, что любая интегральная сумма данного разбиения T сегмента [а,b] заключена между верхней и нижней суммой S и s этого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

1. Для любого фиксированного разбиения Т и для любого промежуточные точки на сегментах можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки на сегментах можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам
2. Если разбиение Т' сегмента [а,Ь] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства
3. Пусть Т' и Т" - любые два разбиения сегмента [а,Ь]. Тогда если s', S' и s*, S" - соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т' и T", то
4. Множество {S} верхних сумм данной функции f{x) для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество s нижних сумм ограничено сверху. Обозначим через точную нижнюю грань множества {S} верхних сумм, а через - точную верхнюю грань множества нижних сумм {s} . Определение: Числа называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции f(x).
5. Пусть разбиение Т' сегмента получено из разбиения Т добавлением к последнему новых точек, и пусть, если ,S' и s,S . соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т' и T. Тогда для разностей S-S' и s-s' может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины частичных сегментов разбиения Т, числа Р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции на сегменте Именно
6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу -от функции f(x) по сегменту являются соответственно пределами верхних и нижних сумм при и, следовательно,

Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте [а,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение Т сегмента [а,b], для которого

Определение: Число называется колебанием функции f(x) на сегменте

Так как . Далее запишем S-s в следующей форме:

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте [а,b] функция f{x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение Т сегмента [а,b], для которого

Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке [а,b) является выполнение условия где

Равномерно непрерывные функции

Определение: Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве {x}, если для любого числа можно указать такое , что для любых двух точек х' и х" множества {x}, удовлетворяющих уравнению выполняется неравенство

Теорема (теорема Кантора о равномерной непрерывности): Функция f(x), определенная и непрерывная на сегменте [а,b] равномерно непрерывна на этом сегменте.

Следствие: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [аb]. Тогда для любого числа можно указать такое , что на каждом принадлежащем сегменту [а,b] частичном сегменте [c,d], длина d-с которого меньше , колебание функции f(х) меньше .

Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций

Теорема: Непрерывная на сегменте [а,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [а,b], и если для любого числа можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую длину меньше , то f(x) интегрируема на сегменте [а,b].

Следствие: Ограниченная на сегменте [а,b] функция f(x), имеющая лишь конечное число точек разрыва первого рода, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно-непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Монотонная на сегменте [а,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Основные свойства определенного интеграла

1. Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):
2. Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:
3. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a,b), тогда функции также интегрируемы на этом сегменте, причем:
4. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то функция cf(x) (c =const) интегрируема на этом сегменте, причем:
5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то эта функция интегрируема на любом сегменте [c,d], содержащемся в сегменте [a,b].
6. Пусть функция f(x) интегрируема на сегментах [а,с] и [с,b]. Тогда эта функция интегрируема на сегменте [a.ft], причем:

Оценки интегралов. Формулы среднего значения

1. Пусть интегрируемая на сегменте [a, b] функция f(x) неотрицательна на этом сегменте. Тогда:
2. Если функция f(x) интегрируемая на сегменте [a,b] и , то:
3. Если функция f(x) непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю на сегменте [а,b], то:
4. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [а,b] и всюду на этом сегменте, то:
5. Если функция f(x) интегрируемая на сегменте [а,b], то и функция также интегрируема на этом сегменте, причем:
6. Пусть функции f(x) и интегрируемы на сегменте (а.b) и . Тогда, если M и m - точные грани f(x) на сегменте [а.b), то:
7. Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], и пусть M и m - точные грани f(x) на сегменте (а,b]. Тогда найдется такое число , удовлетворяющее неравенствам , что

Основные правила интегрирования

Теорема: Любая непрерывная на интервале (а,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:

, где с - любая фиксированная точка интервала (а,b)

Так как две первообразные данной функции f(x) отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразная F(х) непрерывной на сегменте [а,b] функции f(x) имеет вид:

где С - некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала х = а, затем х = b; и используя первое свойства определенного интеграла, получим:

Из этих равенств вытекает соотношение:

которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона - Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

1. Функция f(х) непрерывна на отрезке [а,b];
2. Отрезок [а,b] является множеством значений некоторой функции x = g(t), определенной на отрезке и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;
3. 

При этих условиях справедлива формула:

Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

Так как то эту формулу можно записать следующим образом:

Площадь плоской фигуры

Определение: Плоская фигура Q - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой L, при этом кривая L называется границей фигуры Q.

Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру Q, если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре о или ее границе.

Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры

Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру Q многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника.

Пусть - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру Q многоугольников, а - числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигуры Q многоугольников. Очевидно, что множество ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника), а множество {S.,} ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества , через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры Q

Замечание: Нижняя площадь фигуры Q не больше верхней площади т. е. .

Определение. Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число Q называется площадью фигуры о.

Теорема: Для того чтобы плоская фигура Q была квади-рируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, что разность площадей которых была бы меньше

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте [а,b] непрерывной и неотрицательной функции f(x), ординатами, проведенными в точках а и b, и отрезком оси Ох между точками a и b.

Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь Р которой может быть вычислена по формуле:

Объемы тел вращения

Пусть Е - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело Е, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела Е.

Пусть {V,} - числовое множество объемов вписанных в тело E a - числовое множество объемов описанных вокруг Е многогранников. Множество {V,} ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через точную верхнюю грань множества {V,}, а через точную нижнюю грань множества .

Числа и называются соответственно нижним объемом и верхним объемом тела Е.

Замечание: Нижний объем тела Е не больше верхнего объема этого тела, т. е. .

Определение: Тело Е называется кубируемым, если верхний объем этот тела совпадает с нижним объемом . При этом число называется объемом тела Е.

Теорема: Для того чтобы тело Е было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа с можно было указать такой описанный вокруг тела Е многогранник и такой вписанные в тело Е многогранник, разность объемов которых была бы меньше .

Теорема: Пусть функция у = f(х) непрерывна на сегменте . Тогда тело Е> образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапецииу ограниченной графиком функции f(x), ординатами в точках а и b, и отрезком оси Ох между точками а и b, кубируемо и его объем V может быть найден по формуле:

Несобственные интегралы

При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными на отрезке интегрирования [a,b] а сам отрезок является конечным. Постановка задачи интегрирования возможна, когда одно из этих условий или оба они нарушены. В этом случае интегралы называются несобственными, а задача интегрирования формулируется несколько иначе. Рассмотрим оба случая:

• Подынтегральная функция неограниченна;
• Промежуток интегрирования бесконечен.

Интегрирование неограниченных функций

Предположим, что функция f(x) определена и непрерывна на промежутке [а,b) и стремится к бесконечности при х—>b. Точку х = b называют особой, если функция f(x) не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в промежутке [а,b).

Определение: Пусть функция y = f(x) неограничена на отрезке однако ограничена на любом меньшем отрезке Тогда, если существует конечный предел то его принимают за несобственный интеграл от неограниченной функции f(x), т.е.: а интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Если особой точкой является точка х = а, то несобственный интеграл определяется аналогично:

Если единственной особой точкой является внутренняя точка х = с, принадлежащая интервалу (a,b), то полагают, что:

при условии, что оба несобственных интеграла справа сходятся. Интегрирование по бесконечному промежутку Определение: Пусть функция у = f(x) интегрируема на каждом отрезке [а,b), т.е. существует определенный интеграл . Тогда за несобственный интеграл принимают предел . Если этот предел существуem и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом:

При рассмотрении интеграла с бесконечными верхним и нижним пределами выбирается произвольная промежуточная точка с и используется свойство аддитивности:

Если оба справа сходятся, то говорят, что существует и несобственный

интеграл Нетрудно показать, что выбор точки с не влияет на конечный результат.

Следует отмстить важное свойство несобственных интегралов, отличающее их от определенных интегралов.

Известно, что для определенных интегралов справедливо утверждение: если существует , то существует и интеграл

В случае несобственных интегралов имеет место следующее утверждение: из сходимости несобственного интеграла от следует сходимость несобственного интеграла от f(x). В этом случае говорят об абсолютной сходимости . В то же время, сходимость не означает сходимости. В этом случае называется условно сходящимся

Приближенное вычисление определенных интегралов

Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти значение интеграла с достаточно высокой точностью. Суть этих методов - в замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом. При этом возникает альтернативный выбор: осуществить замену подынтегральной функции одним интерполяционным многочленом высокой степени, описывающим изменение функции на всем интервале интегрирования [а,b].

Формула прямоугольников

Вычисление интеграла методом прямоугольников заключается в определении суммы площадей элементарных прямоугольников, на которые делится площадь под кривой при делении интервала интегрирования [а,b] на n участков. При этом точность вычисления будет тем больше, чем больше n, однако при этом требуемое время вычисления также увеличится.

Если за высоту прямоугольника принимается левая ордината участка, то метод вычисления называется методом левых прямоугольников, а если правая - правых.

Метод прямоугольников можно пояснить наглядно. Формула вычисления интеграла методом левых прямоугольников имеют вид:

Аналогично для правых прямоугольников:

Начальные значения х равны:

Формула трапеций

В методе трапеций выполняется линейное интерполирование функции у = f(x). На каждом интервале разбиения участок кривой у = f(x) заменяется хордой, стягивающей концевые точки, а интеграл функции на участке разбиения - площадью трапеции:

Тогда:

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Рассмотрим на плоскости график функции Будем считать, что график функции представляет собой непрерывную кривую, лежащую целиком над осью т. е. считаем, что все ординаты этого графика положительны. Определим площадь плоской фигуры, обозначаемую и называемую криволинейной трапецией, ограниченную осью кривой двумя прямыми перпендикулярными к оси абсцисс. Для этого разобьем промежуток на частей точками так, что:

Рассматриваемая площадь разобьется на вертикальных полос, причем -ая полоса имеет основание длины, равное (см. рис. 19.1).

Положим Число называют диаметром разбиения. Обозначим через соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке Тогда площадь полоски не меньше площади вписанного прямоугольника и не больше площади описанного прямоугольника

(см. рис. 19.1).

Такое неравенство имеет место для каждой полоски. Поэтому вся рассматриваемая площадь будет не превосходить суммы площадей больших прямоугольников (описанных прямоугольников) и будет не меньше суммы площадей меньших прямоугольников (вписанных прямоугольников), т. е.:

где

Суммы называются соответственно последовательностями нижних и верхних сумм.

Будем теперь увеличивать до бесконечности число точек разбиения, т. е. и если при этом то

а поскольку

то по теореме о «зажатой последовательности» получим, что

Это означает, что предел последовательностей нижних или верхних сумм есть площадь рассматриваемой фигуры. Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 19.1.1. Если функция у = f{x) непрерывна на отрезке , то существует предел последовательности нижних и верхних сумм.

Этот предел называют определенным интегралом. Итак, мы рассмотрели задачу, которая приводит к понятию определенного интеграла.

Сформулируем далее определение определенного интеграла безотносительно к площади криволинейной трапеции.

Определенный интеграл и его существование

Пусть отрезок разбит на п частей, т.е. отрезок представляется объединением отрезков (см. рис. 19.2). В каждом из этих отрезков возьмем по точке, которые обозначим • таких, что

В каждой из этих точек вычислим значения функций и составим сумму:

которая называется интегральной суммой для функции f(х) на отрезке

Так как для произвольного выполняются неравенства

и так как то

для любых .Следовательно,

Геометрический смысл последнего неравенства при состоит в том, что фигура, площадь которой равна ограничена ломаной, заключенной между "вписанной" и "описанной" ломаной. Ясно, что сумма зависит от способа разбиения отрезка на отрезки и от выбора точек внутри получающихся отрезков. Рассмотрим различные разбиения отрезка на элементарные отрезки и для каждого разбиения составим интегральную сумму:

Если при увеличении разбиений , то так как и эти суммы стремятся к некоторому пределу, то и сумматакже стремится к этому пределу в силу неравенства (19.2.1) и теоремы о "зажатой последовательности", т.е. справедливо следующее определение.

Определение 19.2.1. Если при любых разбиениях отрезка таких, что и при любом выборе точек на отрезках , интегральная сумма стремится к одному и тому же пределу S. то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают символом:

Итак, по определению

Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок - отрезком интегрирования.

Определение 19.2.2. Если для функции f(x) предел (19.2.3) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезке

Так как последовательности нижних и верхних сумм являются частными случаями интегральной суммы и если f(x) интегрируема на то нижняя и верхняя интегральные суммы стремятся к тому же пределу S:

Из выше сказанного следует, что если построить график подынтегральной функции у =f(х) , то в случае , интеграл

будет численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной указанной кривой у= f(x) , прямыми х = а, х = b и осью Ох (см. рис. 19.3).

Поэтому, если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ее вычисляют с помощью интеграла:

Сформулируем далее очень важную теорему существования определенного интеграла.

Теорема 19.2.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , ти она интегрируема на этом отрезке.

В теореме 19.2.1 приводятся достаточные условия интегрируемости функций. Монотонная на отрезке функция, также интегрируема на этом отрезке.

Заметим, что и среди разрывных функций есть интегрируемые функции. Кроме того, определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования, а зависит только от вида функции f(х) и пределов интегрирования а и b. При замене местами пределов интегрирования выполняется равенство: так как при введении понятия определенного интеграла мы предполагали, что а b. Если же а = b, то полагаем по определению для любой функции

Теорема 19.2.2. Если функция интегрируема ни отрезке то она ограничена на этом отрезке.

В теореме 19.2.2 приводятся необходимые условия интегрируемости функций.

Из определения определенного интеграла следует правило для вычисления любых определенных интегралов, а именно: необходимо составить интегральную сумму и вычислить ее предел. Ясно, что это очень громоздкий путь. Поэтому естественно возникает задача о нахождении практически удобного метода вычисления определенных интегралов. Такой метод был найден Ньютоном и Лейбницем.

Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, оценку интеграла, теорему о среднем.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Доказательство. Воспользовавшись определением определенного интеграла, последовательно получим:

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

Доказательство. В силу определения 19.2.1 и свойства пределов функции, последовательно получим:

Заметим, что свойства 1 и 2 справедливы не только для а b, но и для b а.

Следствие. Определенный интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов слагаемых:

3. Если на отрезке [a, b], где а  b, функции удовлетворяют условию , то

Доказательство. Согласно свойству 2 разность интегралов равна интегралу разности функций, который в свою очередь равен пределу интегральной суммы:

В силу условий теоремы каждая разность неотрицательна:

Следовательно, каждое слагаемое суммы неотрицательно, значит, неотрицательна вся сумма и неотрицателен ее предел, т.е. определенный интеграл:

что и требовалось доказать.

Если , то неравенство (19.3.1) наглядно иллюстрируется геометрически. Визуально (см. рис. 19.4) легко определить, что

4. Если m и М - наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке то справедливо неравенство:

Доказательство. Из условия теоремы следует, что

Тогда, в силу свойства 3, такому же неравенству удовлетворяют и интегралы:

Поскольку

то получим:

Если f(x) > 0, то это свойство легко иллюстрируется геометрически: площадь кривой трапеции содержится между площадями прямоугольников (см. рис. 19.5).

5. (теорема о среднем) Если функция f(x) непрерывна на отрезке то на этом отрезке найдется такая точка, что справедливо равенство:

Эту формулу называют формулой среднего значения.

Доказательство. Пусть для определенности а  b. Так как f(x) непрерывна на отрезке то она достигает наибольшего М и наименьшего m значений на этом отрезке . Тогда, в силу свойства 4, получим: Разделив члены неравенства на b-а, b-а> 0. преобразуем его к виду:

Сравним последнее неравенсгво с неравенством m f(x)M. Так как непрерывная функция f(x) принимает все промежуточные значения, то существует такая точка на отрезке , что

откуда следует, что

6. Если функция f(х) интегрируема на отрезках то функция f(x) интегрируема и на отрезке причем справедливо равенство:

Доказательство. Предположим сначала, что а сb и составим интегральную сумму для функции f(x) на отрезке . Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка на элементарные отрезки, то мы будем разбивать отрезок таким образом, чтобы точка с была одной из точек деления. Далее, представим интегральную сумму в виде двух интегральных сумм, одна из которых соответствует отрезку [а,с], а другая отрезку

Переходя в последнем равенстве к пределу при получаем равенство (19.3.2) в силу определения 19.2.1 и свойства 2.

Пусть теперь abc. Тогда на основании доказанного, можно записать:

ИЛИ

Поменяем пределы интегрирования во втором интеграле. В результате изменится знак перед интегралом:

Тогда

Аналогично рассуждая, можно доказать это свойство и при любом другом расположении точек а, b и с .

Применение определенного интеграла в экономических исследованиях

В экономике определенный интеграл может быть использован для вычисления разных величин. Покажем это на примерах.

Пример №29

Известно, что производительность труда в течение времени (рабочего дня) изменяется. Предположим, что известна функция ДО, характеризующая изменение производительности труда, где t - отрезок времени, отсчитываемого от начала рабочего дня. a f(t) производительность труда в данный момент. Определим объем продукции, произведенный рабочим за пятый час рабочего ДНЯ.

Решение:

Объем произведенной продукции можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенных на бесконечно малых отрезках на которые поделен отрезок [4;5].

Предположим, что па каждом из таких бесконечно малых отрезках функция не изменяется, где и, следовательно, объем произведенной продукции за время есть произведение производительности труда и времени . Тогда, объем продукции, произведенной за пятый час рабочего дня, приближенно равен сумме . Присвоенная сумма является интегральной суммой и ее предел равен определенному интегралу:

Пример №30

Пусть планируемый годовой доход D(t) есть функция времени t. Предположим, также, что удельная норма процента равна i (удельная норма процента - это отношение процента к величине денежных средств или процент приносимый 1 рублем) и проценты начисляются непрерывно. Определим дисконтированный объем дохода полученного за Т лет.

Решение:

Для вычисления этой величины, разделим отрезок

времени в Т лет на n равных отрезков длиною

На весьма малом отрезке времени Att доход можно считать неизменным и, следовательно, равным При непрерывном начислении процентов дисконтированный доход на временном отрезке определяется произведением:

Сумма произведений

определяющей приближенно годовой доход, является итегральной суммой, а ее предел равен определенному интегралу:

Следовательно, на отрезке времени [0,T] дисконтированный доход определяется при помощи определенного интеграла:

Эта формула позволяет определить величину начального дохода S, если планируемый ежегодный доход в течении Т должен составить величину равную D(t).

Дисконтирование - это определение начальной суммы на основе ее конечной величины.

Пример №31

Суммарный фонд потребления за плановый период [0;T] также можно определить при помощи определенного интеграла:

где С(t) - функция потребления, характеризующая непроизводственное потребление, непроизводственное накопление, прирост материальных оборотных средств, государственных материальных резервов, потери.

Пример №32

Величину начального вклада Р, если регулярные выплаты по этому вкладу планируются в размере S ежегодно в течение Т лет, можно определить при помощи определенного интеграла:

где r - непрерывная процентная ставка.

Из приведенных примеров следует, что в экономических моделях, где производится непрерывное изменение экономических показателей и определяется суммарное значение этих показателей можно воспользоваться определенным интегралом.

Непрерывность интеграла по верхнему пределу

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке , тогда она интегрируема и на отрезке т. е. для любого имеет смысл интеграл , значение которого зависит от х. Следовательно, этот интеграл является функцией верхнего предела интегрирования x::

Функция F(x), определенная на отрезке [a, b], называется интегралом с переменным верхним пределом. Для нее справедлива следующая теорема.

Теорема 19.5.1. Если функция f(х) интегрируема на отрезке

, то функция непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Выберем точку хе и зададим такое приращение , чтобы , тогда из (19.5.1) и свойства 6 определенных интегралов следует, что

Тогда приращение функции F(x) можно представить через интеграл:

Геометрически приращение , для случая когда b. на отрезке [а.Ь] - это площадь криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 4.1).

Так как функция f(х) интегрируема на то в силу теоремы 19.2.2, она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такое

число М> О, что , для любых . Применяя это неравенство для оценки приращения получим

откуда следует,

Переходя к пределу в этом неравенстве при стремящемся к нулю, будем иметь:

т.е. , а это означает непрерывность функции F(x) в каждой точке

Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу

Пусть определена функция

Теорема 19.6.1. (теорема Барроу). Производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной на верхнем пределе:

Доказательство. Воспользуемся определением производной функции и покажем, что для любой точки где .Для этого представим приращение силу (19.5.2)) в виде:

Воспользовавшись свойством 5 (функция f(x) непрерывна на получим

т. к. на отрезке функция f(x) непрерывна и.

Поэтому, откуда вытекает утверждение теоремы, так как - любая точка отрезка и при

Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то на этом отрезке она имеет первообразную.

Действительно, согласно теореме 19.6.1 такой первообразной является, например, функция:

Следствие 2. Производная интеграла с переменным нижним пределом от непрерывной функции по переменному нижнему пределу равна подынтегральной функции со знаком минус, вычисленной на нижнем пределе:

Действительно, так как , то получаем:

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 19.7.1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке а функция Ф(х) является какой-либо ее первообразной на этом отрезке. Тогда определенный интеграл равен разности значений этой первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке то в силу следствия 1 из теоремы 19.6.1, функция

является первообразной для функции f(x) на отрезке . Следовательно, функция f(х) имеет две первообразные . Известно, что две первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину F(x) - Ф(х) = С, т.е.

Подставив значение функции F(x), получим равенство:

Если в равенстве (19.7.2) положить х = а, то

Откуда находим, Ф(а) = -С, или С = -Ф(а). Подставив значение С в равенство (19.7.2), будем иметь:

Пологая, в последней формуле, , получим утверждение теоремы:

Для краткости записи часто употребляют обозначение:

Так как Ф(х) - первообразная функция, то, воспользовавшись определением неопределенного интеграла , формулу (19.7.1) можно переписать в виде:

Полученная формула устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами от непрерывной функции f(х).

Формулы (19.7.1) и (19.7.3) называют формулами Ньютона-Лейбница.

Пример:

Вычислить интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

Пример:

Вычислить интеграл, применяя формулу Нью-тона-Лейбница:

При вычислении определенных интегралов в примерах 19.7.1 и 19.7.2, мы находили первообразные и рассматривали разности значений этих первообразных на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Методы вычисления определенного интеграла. Приложения определенного интеграла

Замена переменной под знаком определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница позволяет перенести на определенные интегралы от непрерывных функций многие свойства неопределенных интегралов, т. е. справедлива теорема.

Теорема 20.1.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке , причем

тогда справедлива формула:

называемая формулой замены переменной под знаком определенного интеграла.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что функция f(x) определена на области значений функции , (см. рис. 20.1).

Поэтому, имеет смысл сложная функция Кроме того, в силу непрерывности функций существуют оба интеграла в формуле (20.1.1).

Пусть Ф(х) - какая-либо первообразная функции f(х), тогда имеет смысл сложная функция , производная которой, по правилу дифференцирования сложной функции, равна:

Так как при , то

а это означает, что функция является на отрезкепервообразной для фушеции • Тогда по формуле Ньютона-Лейбница

или

где . Из этих равенств и следует формула (20.1.1), которую можно записать в виде:

Пример:

Вычислить интеграл:

применяя правило замены переменной.

Решение:

Для того чтобы определить первообразную подынтегральной функции воспользуемся правилом замены переменной под знаком определенного интеграла, положив и вычислив новые пределы интегрирования. Затем применим формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления удобно записать между вертикальными линиями:

Интегрирование по частям

Теорема 20.2.1. Если функции непрерывные вместе со своими производными на отрезке то справедлива формула интегрирования по частям:

или

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем и так как функциии их производные непрерывны, то существуют интегралы в равенстве:

а функция является первообразной для функции Тогда согласно формуле Ньютона-Лейбница

получим формулу:

которую удобно записывать в виде:

или

Пример №33

Вычислить интеграл

Решение:

Применим формулу интегрирования по частям (20.2.1), положив Получим:

Теорема 20.2.1. легко обобщается на функции кусочно-непрерывно дифференцируемые.

Определение 20.2.1. Функция f(x) называется кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке, если ее производная кусочно-непрерывна на этом отрезке.

Теорема 20.2.2. Пусть функции u(х) и v(x) непрерывны и ку-сочно-непрерывно дифференцируемы на отрезке , тогда для них справедлива формула (24.2.2) интегрирования по частям.

Доказательство этой теоремы опирается на непрерывность функций и определение 20.2.1.

Заметим, что для вычисления определенных интегралов можно применять все способы вычисления неопределенных интегралов, которые рассмотрены на предыдущей лекции, так как справедлива формула (19.7.3).

Приближенное вычисление определенных интегралов

Если первообразная подынтегральной функции не выражается в элементарных функциях и если нахождение первообразной сопряжено с громоздкими выкладками, то определенные интегралы вычисляются приближенно, без использования формулы Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим простейшие численные методы вычисления определенных интегралов.

Формула трапеций

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Если f(x) непрерывна на отрезке то он равен площади соответствующей криволинейной трапеции, которую можно приближенно заменить суммой площадей вписанных в нее трапеций. Для этого разделим отрезок на n равных элементарных отрезков:

длиной Тогда

Так как площадь каждой вписанной трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то:

Таким образом, мы получим приближенную формулу трапеций:

Погрешность, при вычислении определенных интегралов по формуле трапеций, оценивается по формуле:

где - остаточный член приближенной формулы (20.3.1),

Формула парабол (Симпсона)

Если отрезокразделить на четное число равных элементарных отрезков, длина каждого из которых равна:

то площадь криволинейной трапеции можно приближенно заменить суммой площадей соответствующих параболических трапеций, ограниченных дугой параболы, проходящей через три точки. Так как площадь одной параболической трапеции, ограниченной параболой

, осью Ох и прямыми x = -h, х = h, определяется

по формуле:

где то получим приближенную формулу парабол (Симпсона):

Погрешность, при использовании формулы Симпсона (20.3.2), можно оценить по формуле:

' где - остаточный член формулы (20.3.2),

Если требуется вычислить определенный интеграл с заданной точностью , то для обеспечения необходимой точности подбираем число n точек деления отрезка на элементарные отрезки, решая неравенство:

Отметим в заключение, что применение численных методов вычисления определенных интегралов удобно осуществлять на персональных компьютерах.

Вычисление площадей плоских фигур

В этом пункте получим формулу для вычисления площади плоской фигуры, под которой будем понимать произвольное ограниченное множество точек плоскости.

Для введения понятия площади плоской фигуры, воспользуемся понятием площади многоугольной фигуры. Под многоугольной фигурой на плоскости будем понимать множество, составленное

конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников. При этом площадь многоугольной фигуры является неотрицательным числом, удовлетворяющим трем свойствам:

• - адитивности:
• - инвариантности:если равны между собой,
• - монотонности: если

где - две многоугольные фигуры, а символическое обозначение площади многоугольной фигуры Р

Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в плоской фигуре F .(вписанные) и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие фигуру F (описанные).

Будем говорить, что плоская фигура F имеет площадь (называется квадрируемой), если числовые множества площадей всех вписанных (описанных) многоугольных фигур P{Q) ограничены сверху (снизу) и имеют точную верхнюю грань , (точную нижнюю грань)

которые равны друг другу:

. При этом числоназывается площадью фигуры F.

1. Сначала определим формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной функции у = f(х), непрерывной и неотрицательной на отрезке , перпендикулярными к оси Ох прямыми х = а и х =b, и отрезком оси Ох между точками а и b:

Теорема 20.4.1. Если функция f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке , то площадь S криволинейной трапеции выражается определенным интегралом:

2. Пусть теперь функция f(x) непрерывна и неположительная на отрезке Положим, в этом случае, что множество и рассмотрим множество , симметричное с множеством G относительно оси Ох (см. рис. 20.2).

Ясно, что и поэтому можно, вычислив площадь множества , получить площадь G. Воспользовавшись формулой (20.4.1), найдем площадь G :

Поскольку функция неотрицательна на и так как

Таким образом, значение интеграла дает значение площади криволинейной трапеции с точностью до знака.

Площадь криволинейной трапеции cCDd (см. рис. 20.3), ограниченной справа графиком функции , снизу- прямой У = с, сверху - прямой у = d , слева осью Оу, вычисляется по формуле:

Если же функция f(x) меняет знак на отрезке [a.b] в конечном числе точек, то значение интеграла дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, в которой каждая площадь, расположенная за осью Ох. входит со знаком «-».

Так, сумма заштрихованных на рис. 20.4 площадей равна:

Если же криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху кривыми, уравнения которых , то рассматривая ее как разность площадей двух фигур AEFD и ABCD (рис. 20.5, а), получим, что площадь названой трапеции вычисляется по формуле

Площадь криволинейной трапеции (рис. 20.5, б) вычисляется по формуле:

Перейдем теперь к рассмотрению площади криволинейного сектора.

Пусть дан сектор АОВ, ограниченный кривой АВ и двумя радиус-векторами АО и ОВ (каждый из которых может свестись и к точке) (см. рис. 20.6). Рис. 20.6

При этом кривая АВ задается полярным уровнем - неотрицательная непрерывная в промежутке функция. Вычислим площадь сектора АОВ. Для этого разобьем угол АОВ радиус-векторами соответствующим углам

Если ввести наименьшее и наибольшее из значений функции для каждого частичного отрезка то, круговые секторы, описанные этими радиусами, будут соответственно входящими и выходящими для фигуры (рис. 20.6). Составим отдельно из входящих секторов и из выходящих две фигуры, площади которых будут вычисляться по формулам:

Ясно, что и при стремлении к нулю наибольшей из

разностей , обе они имеют пределом интеграл, , когорый численно равен площади фигуры АОВ, т. е.

Формула (20.4.5) применяется для вычисления площадей в полярных координатах.

В более общем случае, плоскую фигуру разбивают на части, площади которых вычисляются по приведенным формулам (20.4.1) - (20.4.4) или определяются непосредственно.

Пример №34

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой и прямой у = х.

Решение:

Построим плоскую фигуру на плоскости (см. рис. 20.7). Нам нужно найти площадь заштрихованной фигуры, которую можно рассматривать как частный случай фигуры BCFE (см. рис.20.5 (а)).

Поэтому применим формулу (20.4.3) в которой

где 0 и 1 абсциссы точек пересечения кривых которые находим, решив систему уравнении:

Пример №35

Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой (см. рис. 20.8).

Решение:

Площадь вычислим, применяя формулу (20.4.5), учитывая, что :

Объем тел вращения

Введем сначала понятие объема.

Пусть дано тело V произвольной формы, т. е. ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве, и пусть фаницей тела служит замкнутая поверхность. Рассмотрим многогранники {X} объема X, целиком содержащиеся в нашем теле, и многогранники {Y объема Y , содержащие в себе это тело. Существует всегда точная верхняя граница для X и точная нижняя граница для Y, причем Если обе границы совпадают, то их общее значение V называют объемом тела (V). В этом случае тело (V) называют кубируемым.

Выведем формулу для вычисления объемов тел вращения. Пусть функция f(х) непрерывна и неотрицательна на отрезке . Вращая криволинейную трапецию

вокруг оси Ох, получим некоторое тело (см. рис. 20.9(a)), объем которого и вычислим. Произведем разбиение отрезка на n частей тогда тело, ограниченное плоскостями (см. рис. 20.9, а), можно считать цилиндром и его объем приближенно равен объему цилиндра высотою и радиусом , и, следовательно, сумма приближенно выражает объем тела , и предел этой суммы равен объему тела V:

Итак, мы получили формулу для вычисления объема тел вращения:

Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции cCDd (рис. 20.9, б), где CD - дуга кривой суd, определяется формулой:

Пример №36

Найти объем V шара радиуса r.

Решение:

Рассматривая этот шар как результат вращения полу-

окружности вокруг оси Ох, и применяя

формулу (20.5.1), получим:

Длина дуги плоской кривой

Пусть задана дуга АВ некоторой кривой у = f(x) (см. рис. 20.10). Впишем в нес ломаную линию, и будем увеличивать число сторон (звеньев) этой ломаной так, чтобы наибольшая из длин сторон стремилась к нулю. Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, не зависящему от длины звеньев ломаной, то дуга называется спрямляемой, а указанный предел называется длиной этой дуги.

Пусть кривая, на которой выделена дуга АВ, задана уравнением у = f(x), причем точкам А и В соответствуют значения х=а и х = b, а b . Если функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке , то дуга спрямляема и ее длина выражается определенным интегралом.

Впишем ломанную линию в дугу АВ, вершины которой соответствуют точкам деления отрезка на элементарные отрезки: , при этом . Воспользовавшись формулой для вычисления длины отрезка, получим формулу для вычисления периметра вписанной ломаной линии:

Так как функция f(х) непрерывно дифференцируема на огрез-кс , то в силу теоремы Лагранжа: , формула для вычисления периметра ломаной линии принимает вид:

где . Предел периметра вписанной ломаной линии, при условии, что максимальная длина звена ломаной стремится к нулю, имеет предел, равный определенному интегралу:

Таким образом, длина L, дуги АВ кривой у = f(x) выражается

формулой:

Если кривая, на которой выделяется дуга АВ, задана параметрически

причем точкам А и В соответствуют значения , то длина L дуги АВ будет выражаться формулой:

Если кривая задана в полярных координатах уравнением, то длина дуги АВ, где точками А и В соответствуют значения , вычисляется по формуле:

Формулы (20.6.1) - (20.6.3) остаются справедливыми и в случае замкнутой кривой.

Пример №37

Вычислить длину дуги полукубической параболы (см. рис. 20.11), заключенной между точками (0;0) и

Решение:

Функция определена и непрерывно дифференцируема, . Поскольку , при то в силу формулы (20.6.1), получим:

Пример №38

Вычислить длину дуги астроиды (см. рис. 20.12):

Решение:

Поскольку , то, воспользовавшись формулой (20.6.2), найдем длину дуги астроиды:

Пример №39

Найти длину дуги кардиоиды (см. рис. 20.13),

Решение:

Поскольку и

то, в силу формулы (20.6.3), получим:

Определенный интеграл в математическом анализе

Отвлекаясь от геометрического смысла предыдущего параграфа, можно изложить его содержание следующим образом.

На отрезке задана функция . Разбиваем этот отрезок на части точками

и составляем суммы и , из которых первая строится при помощи наименьших ординат, взятых на каждом из мелких отрезков, a —при помощи наибольших ординат. Сумму будем называть нижней суммой, а сумму — верхней суммой. Составим еще одну сумму:

где —любое число, взятое на отрезке , т. е. ; такую сумму будем называть интегральной суммой. Таким образом, и нижняя и верхняя суммы являются частными случаями интегральных сумм.

Когда мы будем говорить об «измельчении разбиения», то будем подразумевать под этим следующее: отрезок разбиваем точками на более мелкие отрезки, при этом длину наибольшего из них будем стремить к нулю. Тогда каждый из полученных отрезков по длине будет стремиться к нулю, а число отрезков будет возрастать.

Определение: Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при условии измельчения разбиения. Записывается определенный интеграл так:

Таким образом,

где . Условие «при измельчении разбиения» будем всегда подразумевать, не отражая его в записи.

Число называется нижним пределом интегрирования, число —верхним пределом интегрирования, функция — подынтегральной функцией. Запись читается так: определенный интеграл от функции в пределах от до .

Можно было бы доказать, что для непрерывной функции, заданной на отрезке , пределы верхней, нижней и любой интегральной суммы существуют и равны между собой.

Применяя данное определение к примеру предыдущего параграфа, можем сказать, что площадь криволинейной трапеции, рассмотренной там, равна . Таким образом,

И вообще, площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью , прямыми и . кривой , равна .

Вычисление определенного интеграла при помощи первообразной функции

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью , кривой , прямыми и , параллельными оси (рис. 82). Если мы будем изменять , т. е. двигать правую сторону данной трапеции, то площадь будет изменяться. Поэтому можно сказать, что рассматриваемая площадь зависит от положения стороны , а это положение определяется числом х, следовательно, площадь есть функция .

Обозначим указанную площадь через , тогда пл..

Было показано, что площадь выражается определенным интегралом, поэтому

Нам известно, что дифференциал площади криволинейной трапеции равен . Следовательно,

Значит, площадь криволинейной трапеции является одной из первообразных от функции , ограничивающей эту трапецию. Обозначим через любую первообразную от функции . Тогда

Если сделать верхний предел интегрирования равным (рис. 82), т. е. правую сторону совместить с левой, то площадь станет равной нулю. Это значит, что . Находим отсюда, что . Подставляя полученное значение в равенство , будем иметь

или

В частности,

Таким образом, получается правило вычисления определенного интеграла.

Чтобы вычислить определенный, интеграл , нужно:

1. найти одну из первообразных от подынтегральной функции;
2. вычислить значение функции при , т. е. ;
3. вычислить значение функции при , т. е. ;
4. из первого результата вычесть второй:

Пример №40

Вычислим интеграл .

Решение:

Так как .

Пример №41

. Так как , то . Следовательно, ; . Поэтому . При вычислении определенного интеграла используют знак подстановки , именно, если есть первообразная от функции , то

Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл вычисляется при помощи неопределенного (т. е. при помощи первообразной функции), поэтому свойства неопределенного интеграла, переносятся и на определенный интеграл.

Имеем:

Формулы (I)—(III) применяются без особых затруднений, замена же переменного (IV) требует некоторых объяснений, которые будут даны на примерах. Формула (V) выражает свойство определенного интеграла, ясное из его геометрического смысла. В самом деле, интеграл есть площадь криволинейной трапеции (рис. 83), а интегралы и выражают площади и , отсюда и видна справедливость формулы (V). Эта формула называется формулой разбиения отрезка интегрирования.

Приведем примеры.

Пример №42

. Обозначим для краткости этот интеграл через . Применяя (II) и используя результат, полученный в пр. 4 из § 2 гл. X, получим

Пример №43

. Делаем ту же замену переменного, и используя полученный там результат, получаем

Здесь мы переходили от переменного к переменному (при вычислении первообразной) и затем делали обратный переход от к . При вычислении мы этого перехода не делаем, так как этот пример был разобран ранее.

Можно сделать вычисления иначе, именно сделав подстановку • Пересчитаем пределы интегрирования. Если , то в силу , т. е. , откуда . Если , то в силу имеем , откуда. Итак, при изменении от 0 до переменное меняется от 0 до .

Принимая во внимание все сказанное, можем написать

При таком вычислении нами был осуществлен переход от к , а обратного перехода от к нам делать не пришлось. В этом и есть преимущество такого порядка вычислений.

В формуле (IV) числа и — значения переменного , соответствующие значениям и переменного .

Пример №44

Вычислим интеграл .

Решение:

Сделаем замену переменного, положив . Отсюда получаем: при , а при . Дифференцируя , имеем и, следовательно,

Задачи на применение определенного интеграла

Начнем эту главу с напоминания понятий дифференциала, приращения и бесконечно малых. Для этого рассмотрим пример.

Пример №45

Конус имеетесь, расположенную по оси . Его высота , угол при вершине , радиус основания (рис. 84, а).

Очевидно, что объем конуса есть функция независимого переменного . Если дадим приращение , то объем получит приращение , изображенное на рис. 84, и отдельно на рис. 84, . Построим цилиндр, имеющий высоту и радиус основания . Этот цилиндр изображен на рис. 84, и отдельно на рис. 84, .

Построим еще один цилиндр, имеющий высоту , но с радиусом основания, равным . Этот цилиндр указан на рис. 84, . Объем первого цилиндра назовем а второго . Из чертежей ясно, что , меньше , а меньше . Таким образом, объем приращения отличается от объема меньше чем на объем цилиндрической трубки (рис. 84, ). Объем цилиндрической трубки с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен (см. пр. 2 из § 5 гл. IX)

Применительно к обозначениям рассматриваемого примера, в котором . Но (рис. 84, ), значит, т. е. объем цилиндрической трубки есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно . Значит, объем цилиндра отличается от приращения на величину высшего порядка малости относительно . Таким образом, мы показали, что , есть дифференциал объема конуса: .

Рассуждениями, аналогичными проведенным, мы будем постоянно пользоваться в этой главе.

Площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью , кривой и двумя прямыми: и (рис. 85).

Возьмем произвольное значение (только не и не ). Дадим ему приращение и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми и , осью и дугой , принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника на криволинейный треугольник , а площадь последнего меньше площади прямоугольника со сторонами и площадью, равной .

С уменьшением стороны сторона также уменьшается и одновременно с стремится к нулю. Поэтому площадь является бесконечно малой второго порядка. Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника , равная , есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное меняется от до , поэтому искомая площадь будет равна

Пример №46

Вычислим площадь, ограниченную параболой , прямыми и осью (рис. 86).

Здесь , пределы интегрирования и , поэтому

Пример №47

Вычислим площадь, ограниченную синусоидой , осью и прямой (рис. 87).

Применяя формулу (I), получаем

Пример №48

Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды , заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью (например, между началом координат и точкой с абсциссой ). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления:

Действительно, наше предположение оказалось справедливым.

Пример №49

Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и осью на одном периоде (рис. 88).

Решение:

Предварительные рассуждения позволяют предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим

Этот результат требует разъяснений.

Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой и осью в пределах от до . Применяя формулу (I), получаем

Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V, то получим:

То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси , при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной.

В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном при мере будет таким: искомая площадь равна .

Пример №50

Вычислим площадь , указанную на рис. 89.

Решение:

Эта площадь ограничена осью , параболой и прямой . Искомая площадь состоит из двух частей: и . Так как точка является точкой пересечения параболы и прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений

(нам нужно найти только абсциссу точки ). Решая систему, находим . Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. , а затем пл.:

Следовательно, искомая площадь равна

Пример №51

Вычислим площадь, ограниченную параболой и прямой (рис. 90).

Решение:

Искомая площадь . Она частично расположена над осью , частично—под ней. Поэтому вычисления нельзя провести сразу.

Рассмотрим вместо площади две площади: и . Каждая из них не является криволинейной трапецией (см. гл. IX, § 4), а при помощи определенного интеграла можно вычислять площади только криволинейных трапеций. Следовательно, надо поступить иначе. Представим площадь так:

Теперь все четыре части являются криволинейными трапециями (две из них, и , просто треугольники). Вычислим площадь каждой из них, для этого нам потребуются точки . Получим:

Поэтому пл. .

Объем тела вращения

Рассмотрим поверхность , образованную вращением дуги кривой (рис. 91).

Пусть объем ограничен поверхностью и двумя плоскостями, каждая из которых перпендикулярна оси . Одна из них отстоит от начала координат на расстояние , вторая — на расстояние . Таким образом, внутри объема абсцисса меняется от до . Проведем плоскость, перпендикулярную оси и отстоящую от начала координат на расстояние . Объем, отсекаемый этой плоскостью от тела , является функцией . Обозначим его . Дадим приращение , тогда получит приращение , указанное на рис. 91 (рекомендуется одновременно рассматривать и рис. 84).

Это приращение заключено между двумя цилиндрами: первый из них имеет высоту и радиус основания , а второй—ту же высоту и радиус . Объем первого , второго . Поэтому объем цилиндрической трубки, заключенной между этими цилиндрами, равен . Следовательно, приращение отличается от объема меньшего цилиндра не больше чем на . Но это есть бесконечно малая высшего порядка относительно , так как одновременно с , поэтому дифференциал объема равен объему меньшего цилиндра . Интегрируя, получим искомый объем

Пример №52

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной параболой , осью и прямой (рис. 92).

Решение:

Применяя формулу (II), в которой положим, , будем иметь

Пример №53

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси фигуры , ограниченной линиями и .

Решение:

В этом случае искомый объем следует разбить на две части. Первая получается вращением фигуры , а вторая — фигуры . Поэтому

Пример №54

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси фигуры . Эта фигура ограничена осью, дугой синусоиды и дугой косинусоиды (рис. 93).

Решение:

Так как точка пересечения синусоиды и косинусоиды имеет абсциссу, равную , то внутри рассматриваемого объема х меняется от 0 до .

Искомый объем сразу вычислить нельзя. Его получим, вычитая из объема, полученного вращением косинусоиды, объем, полученный вращением синусоиды; поэтому

Объем тела, у которого известны площади поперечных сечений

Рассмотрим тело, расположенное так, как указано на рис. 94. Обозначим объем этого тела через .

Назовем поперечным сечением этого тела фигуру, полученную при пересечении его плоскостью, перпендикулярной оси . Обозначим площадь сечения . Предположим,

что площадь каждого поперечного сечения известна. При этих условиях определим объем тела. Для этого возьмем два поперечных сечения на расстоянии друг от друга. Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет своим основанием левое поперечное сечение, второй — правое; высоты обоих цилиндров одинаковы .

Объем куска тела, расположенного между указанными поперечными сечениями, есть приращение объема . Обозначим его . Это приращение больше объема первого цилиндра и меньше объема второго. Рассуждая, можем сказать, что дифференциал равен объему первого цилиндра, т. е. равен произведению площади основания на высоту , так что . Интегрируя в пределах от до , будем иметь

Пример №55

Дан цилиндр, высота которого равна , а радиус основания . Плоскость, проведенная через диаметр основания, пересекает этот цилиндр (рис. 95). Определим объем меньшей части, отсекаемой плоскостью, т. е. объем части .

Решение:

Нарисуем отдельно отрезанный кусок (рис. 95, б). На этом рисунке и .

Примем за ось прямую, перпендикулярную диаметру и лежащую в плоскости основания цилиндра. Тогда . Проведем поперечное сечение ', это—прямоугольник (рис. 95, в). Его площадь равна . Выразим ее через .

Из прямоугольного треугольника найдем :

Из подобных треугольников и находим:

откуда . Поэтому площадь поперечного сечения . Применяя формулу (III), получаем

Для вычисления этого интеграла сделаем подстановку

Отсюда получаем и . При новое переменное равно , при оно равно 0. Сделав замену переменного в , получим

Вычисление давления жидкости

Давление жидкости на погруженную в нее горизонтальную пластинку равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — расстояние пластинки от свободной поверхности жидкости. Обозначим давление буквой , удельный вес жидкости , площадь пластинки , а расстояние от свободной поверхности жидкости до пластинки ; тогда

В формулировке этого закона существенно, что пластинка горизонтальна. Поверхность жидкости предполагается также горизонтальной плоскостью. Расстояние между параллельными плоскостями точно определено. Если же пластинка расположена не горизонтально, то надо говорить о расстоянии между двумя непараллельными плоскостями; но что это значит?

Укажем, как решается задача в случае пластинки, расположенной вертикально.

Пример №56

Пусть в жидкость, удельный вес которой равен у, опущена пластинка, имеющая форму круга радиуса и расположенная вертикально (рис. 96). Круг касается поверхности жидкости. Определить давление жидкости на эту пластинку (точнее, на одну ее сторону).

Решение:

Примем за ось вертикальную прямую, проходящую через центр пластинки, а за ось —горизонтальную прямую, проходящую через эту же точку. (Здесь мы принимаем за независимое переменное, а —за функцию.) Уравнение контура пластинки запишется в виде

В силу симметрии будем рассматривать только правую половину пластинки. Вырежем из нее горизонтальную полоску ширины , нижняя сторона которой отстоит от начала координат на расстояние (рис. 96, а). Тогда . Дополним ее до прямоугольника и вместо полоски будем рассматривать этот прямоугольник. Повернем вокруг , придав ему горизонтальное положение. Теперь можно применить закон, указанный в начале этого параграфа. Возьмем столб жидкости, имеющий основанием прямоугольник (в горизонтальном положении), а высотой — расстояние до поверхности жидкости. Объем столба равен , а вес . Эту величину назовем элементарным давлением и обозначим через. Итак,

Интегрируя в пределах от до , получим искомое давление:

Пределы интегрирования показывают наименьшее и наибольшее значения у в пределах пластинки. Под знаком интеграла стоят две переменные величины: и . Исключим , выразив его через из уравнения . Тогда

Преобразуем интеграл:

Применяя результаты, полученные в пр. 2 и 3 из § 3 гл. X, будем иметь:

Поэтому окончательно Итак, давление жидкости на половину пластинки (правую) равно . Давление на всю пластинку равно .

Вычисление работы силы

Если постоянная сила направлена по оси и ее точка приложения перемещается также вдоль оси на отрезок , то работа силы на этом участке вычисляется по формуле

Если же сила меняет величину, хотя и остается направленной по оси, то формулу уже применить нельзя.

Пример №57

Сила направлена по оси и ее величина зависит от абсциссы точки приложения силы, т. е. . Точка перемещается вдоль отрезка , расположенного на оси . Вычислить работу силы на отрезке .

Решение:

К решению этой задачи нужно применить определенный интеграл, как предел интегральных сумм (см. гл. XI, § 2). Для этого разобьем отрезок на мелкие части при помощи точек (рис. 97).

Будем считать, что сила сохраняет на отрезке то значение, которое она имела в его левом конце, т. е. . Тогда работу на отрезке можно вычислить по формуле , она равна . Поступая аналогично на каждом отрезке, получим результаты, сведенные в таблицу:

Складывая работы, вычисленные на отдельных отрезках, получим приближенное значение искомой работы:

Это интегральная сумма. Если начнем измельчать разбиение, то пределом интегральной суммы будет являться интеграл

Таким образом, работа силы на отрезке выражается определенным интегралом

Заметим, что все рассуждения проводились в предположении, что сила непрерывно меняется с изменением и что она зависит только от .

Пример №58

Вычислим работу силы , если зависит только от , причем . Работу вычислим на отрезке, имеющем концами точки и . Используя формулу (IV), получим

Пример №59

Вычислим работу силы на отрезке от 2 до 5, если сила определена уравнением . Применяя формулу (IV), получим

Пример №60

Вычислим работу силы, указанной в предыдущем примере, на отрезке от до . Применяя формулу (IV), получим

Замечание. Работа может быть положительной и отрицательной, а также и равной нулю, как это видно из приведенных примеров. Знак работы зависит от того, совпадают ли по знаку перемещение и направление силы.

Длина дуги

Рассмотрим кривую, заданную уравнением

и на ней отметим точку , абсциссу которой обозначим , а ординату . В силу уравнения . Длину дуги, расположенной на кривой (1), будем отсчитывать от точки .

Если дуга идет в сторону возрастания абсциссы , то будем считать ее положительной, если в другую сторону, то— отрицательной. На рис. 98, дуга положительна, дуга отрицательна. Условимся считать точку неподвижной, а точку будем двигать по кривой, тогда для нее . Таким образом, длина дуги является функцией ; обозначим ее . Дадим приращение , тогда вместо точки получим новую точку . Координаты этой точки будут и . Дуга получает приращение . Это значит, что функция получит приращение: Делая ошибку в бесконечно малых высшего порядка, можно считать, что и что дуга , является почти отрезком прямой (рис. 98, б). Применяя теорему Пифагора, получим

Выражение называется дифференциалом дуги и обозначается , так что

Дифференциал дуги можно выразить через производную, а именно:

тогда

Для того чтобы вычислить длину дуги , где точка имеет абсциссу , а ординату , надо проинтегрировать дифференциал дуги . Интегрируя, получаем

Пример №61

Вычислим длину дуги окружности, заданной уравнением , лежащей в первом координатном угле.

Решение:

Из уравнения окружности находим производную . Тогда

Интегрируя, получим

Для вычисления этого интеграла делаем замену переменного интегрирования . Отсюда при переменное, а при переменное . Дифференцируя, имеем . Поэтому

что, конечно, совпадает с известным результатом.

Приближенное вычисление определенных интегралов

Вычисления при помощи интегральных сумм

Очень часто при решении задач физического и технического содержания получаются определенные интегралы, которые нельзя вычислить при помощи первообразных функций (так как первообразные неизвестны) или это вычисление приводится к очень сложным и длительным выкладкам. В этих случаях решают задачи приближенно, заменяя вычисление интеграла вычислением интегральной суммы. Для вычисления интегральной суммы надо уметь только вычислять значения подынтегральной функции, а если они уже известны, то для дальнейших вычислений требуются только арифметические действия.

Приведем пример вычисления интеграла при помощи интегральных сумм.

Пример №62

Вычислим интеграл .

Решение:

Для этого разобьем промежуток интегрирования на десять частей точками: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Вычислим значения подынтегральной функции для этих значений независимого переменного. Эти значения можно найти в «Пятизначных математических таблицах» Сегала и Семендяева или в «Справочнике по высшей математике» Бронштейна и Семендяева. Если же этих таблиц нет, то можно воспользоваться логарифмическими таблицами. Имея таблицы логарифмов, будем поступать следующим образом: сначала прологарифмируем выражение и, зная, что , найдем логарифмы нужных чисел, а затем и сами числа. Результаты сведены в таблицу:

Воспользуемся формулой (1) из § 1 гл. XI. В нашем случае все разности равны 0,1; поэтому, вынося их за скобку, получим внутри скобок сумму всех значений функции. Эта сумма равна 7,77817. Умножим ее на 0,1, получим 0,777817. Таким образом, интеграл приближенно вычислен:

Нами вычислен приближенно определенный интеграл , но неизвестно, с какой степенью точности проведено это вычисление. Для того чтобы иметь представление о точности получаемого результата, поступают следующим образом: проделывают аналогичные вычисления, только разбивают отрезок интегрирования на большее число частей (обычно это число удваивают). В нашем примере разобьем на двадцать частей. Конечно, при этом получится другой результат, но некоторые цифры сохраняются и в новом результате. По числу сохранившихся цифр и будем судить о точности вычисления. Проделав это, получим

Конечно, эти вычисления не позволяют найти точность вычисления, но все-таки вселяют некоторую уверенность в нервом десятичном знаке. В следующем параграфе будет изложен другой метод, который при том же объеме работы, вообще говоря, дает более точный результат.

Формула Симпсона

Помимо приближенного вычисления интегралов при помощи интегральных сумм, существуют различные формулы, выражающие приближенно определенный интеграл. Выведем одну из них, так называемую «формулу Симпсона». Для ее вывода решим предварительно две задачи.

Пример №63

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой , прямыми и осью абсцисс.

Решение:

Как было показано раньше, площадь криволинейной трапеции выражается определенным интегралом. В рассматриваемом случае этот интеграл запишется следующим образом:

Вычислим интеграл и произведем возможные упрощения:

Итак, искомая площадь выражается формулой

Пример №64

Написать уравнение параболы, проходящей через точки и , где числа произвольны, a — любое положительное число. Кроме того, вычислить площадь криволинейной трапеции, граниченной этой параболой, осью абсцисс, прямыми и .

Решение:

Уравнение искомой параболы можно записать в виде

Поскольку по условию точка должна лежать на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2), т. е.

Также условия того, что точки и лежат на параболе, запишутся следующим образом:

В уравнениях (2'), (2"), (2'") неизвестными являются , и ; мы найдем их, решая систему уравнений (2'), (2"), (2”'). Из уравнения (2") находим, что

Подставляя найденное значение в уравнения (2') и (2'"), будем иметь:

Сложим почленно эти уравнения и найдем :

а затем вычтем из второго первое и найдем :

Итак, коэффициенты уравнения (1) определены формулами (3), (4) и (5), т. е. уравнение искомой параболы напишется так:

Для вычисления площади применим результат задачи 1, подставив в формулу (1) значения и из формул (3) и (4); будем иметь

Сделаем возможные упрощения:

Искомая площадь выражается формулой

Эту формулу можно прочесть так: площадь, ограниченная параболой, двумя ординатами и и отрезком оси абсцисс, длиной , равна одной трети произведения двух множителей. Первый множитель является суммой крайних ординат и и учетверенной средней ординаты второй множитель равен половине отрезка оси абсцисс, т. е. .

Пример №65

Вычислить площадь, ограниченную параболой , прямыми и и отрезком оси абсцисс .

Решение:

Найдем крайние ординаты: . Отрезок оси абсцисс равен . Средняя ордината соответствует средней точке отрезка, т. е. абсциссе , поэтому средняя ордината . Употребляя формулу (6), получаем

Применим полученные результаты к приближенному вычислению определенного интеграла . Этот интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , прямыми, и осью абсцисс. Поэтому приближенное вычисление интеграла равносильно приближенному вычислению площади указанной трапеции.

Обозначим площадь трапеции через , тогда

Разобьем отрезок на равных частей; длина каждой части будет равна . Эти мелкие части (отрезки) имеют концы в точках с абсциссами , , . Через эти точки проведем ординаты точек кривой и обозначим их а их концы—буквами . Точки разобьем на тройки:

Через точки, принадлежащие одной тройке, проведем дугу параболы, получим: первая дуга , вторая дуга , .... последняя дуга . Рассмотрим, наконец, «двойные полоски». Первая из них ограничена дугой параболы , ординатами и и отрезком оси абсцисс; вторая ограничена дугой , ординатами и и отрезком оси абсцисс , ..., последняя двойная полоска ограничена дугой , ординатами и и отрезком оси абсцисс.

Обозначим двойные полоски . При мелком разбиении, т. е. при маленьких , сумма площадей двойных полосок будет достаточно мало отличаться от площади .

Площади двойных полосок можно вычислять по формуле (6). Получим:

Следовательно, сумма площадей всех двойных полосок выражается так:

или

Объединим все у с нечетными номерами и все с четными номерами, кроме и . Заметим при этом, что, кроме и каждый с четным номером встречается два раза.

При малом приближенно имеем . Поэтому

или, поскольку , получим

Эта формула называется формулой Симпсона.

Пример №66

Вычислим вновь интеграл , который был приближенно вычислен.

Решение:

Разобьем промежуток интегрирования на двадцать частей. Напоминаем, что для метода Симпсона требуется обязательно четное число частей. Выпишем значения подынтегральной функции, располагая их определенным образом в таблице:

Следовательно, при помощи формулы Симпсона получено приближенное значение

В этом результате первые три десятичных знака верны (это можно установить, сравнивая полученное число с числом, полученным путем деления на все большее число промежутков, или оценивая ошибку, что хотя трудно, но возможно).

Если сравнивать с результатом, полученным в § 1 (при делении на двадцать частей), то видно преимущество формулы Симпсона; при одинаковом объеме работы эта формула дала три верных десятичных знака, в то время как в § 1 был получен только один верный знак.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1. Пусть на сегменте задана непрерывная функция график которой лежит выше оси абсцисс. Необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции ABCD, ограниченной слева прямой справа - прямой снизу - прямой у = 0, а сверху - кривой Из школьного курса математики известно: если на сегменте функция f(x) = const, то площадь пря- моугольника (см. рис. а)) определяется по формуле (Рис. 5а):

Рис. 5. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Если на сегменте функция (см. рис. 5б)), для вычисления площади криволинейной трапеции ABCD посту пим следующим образом:

• сегмент произвольными точками разобьем на n частей, т.е.
• внутри каждого элементарного сегмента возьмем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке;
• вычислим площадь элементарного прямоугольника где
• просуммируем площади элементарных прямоугольников, получим приближенное значение площади криволинейной трапеции

Определение: Сумма называется интегральной суммой.

• обозначим через наибольшую длину элементарного сегмента и устремим количество точек разбиения к бесконечности, а величину , тогда получим точное значение площади криволинейной трапеции

Пример №67

Пусть материальная точка движется со скоростью Требуется вычислить путь, пройденный точкой за время от

Решение:

Проводя рассуждения, получим

Обобщая рассмотренные задачи, приходим к понятию определенного интеграла.

Определение: Пусть функция непрерывна на сегменте Произведем следующие действия:

• сегмент произвольными точками разобьем на n частей, т.е.
• длину каждой части обозначим через ;
• внутри каждого элементарного сегмента возьмем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке;
• вычислим произведения
• просуммируем все произведения предыдущего пункта, получим;
• обозначим через наибольшую длину элементарного сегмента и устремим количество точек разбиения к бесконечности, а величину , тогда получим

Если полученный предел существует, то он называется определенным интегралом от функции в пределах от а до b, т.е. где число называется нижним, а число - верхним пределами интегрирования.

Замечание: В отличие от неопределенного интеграла, который является функцией, определенный интеграл дает число.

Определение: Функция называется интегрируемой на сегменте если существует предел интегральной суммы.

Замечание: Если функция непрерывна на сегменте то на этом сегменте она интегрируема.

С геометрической точки зрения определенный интеграл дает площадь криволинейной трапеции, а с физической точки зрения - путь, пройденный материальной точкой заданный промежуток времени.

Давайте изучим свойства определенного интеграла:

1. Определенный интеграл от линейной комбинации функций равен той же линейной комбинации определенных интегралов от этих функций

Из этого свойства вытекают следующие частные случаи:

а) определенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) определенных интегралов от этих функций:

б) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла .

2. При перестановке пределов интегрирования местами определенный интеграл изменяет свой знак на противоположный

.

3. Если пределы интегрирования равны между собой, то определенный интеграл равен нулю .

4. .

5. Если на сегменте функция , то .

6. (аддитивность определенного интеграла) Если точка , то

Геометрический смысл свойства (Рис. 6):

Рис. 6. Иллюстрация свойства аддитивности определенного интеграла.

Замечание: Свойство аддитивности определенного интеграла справедливо и тогда, когда точка с лежит вне интервала Пусть, например, тогда можно записать, что Используя свойство 2. для вычитаемого определенного интеграла, получим формулу свойства 6.

7. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования в определенном интеграле .

Неравенства для определенных интегралов

Теорема: Если непрерывные на сегменте функции и удовлетворяют неравенству , то

Замечание: Данная теорема применяется для сравнения определенных интегралов без их непосредственного вычисления.

Доказательство: Введем в рассмотрение новую функцию Так как то по свойству 5. для определенного интеграла

Отсюда следует доказываемое неравенство.

Пример №68

Пусть заданы на сегменте Доказать, что

Решение:

Построим графики данных функций на сегменте [0; 1] (Рис. 7):

Рис. 7. Сравнение определенных интегралов.

Из рисунка видно, что Отсюда, по теореме имеем

Теорема: Если - наименьшее, а - наибольшее значения непрерывной на сегменте функции , то

Замечание: Данная теорема применяется для оценки определенного интеграла без его непосредственного вычисления.

Доказательство: Так как функция непрерывна на сегменте и достигает своих наименьшего и наибольшего значений либо на концах заданного сегмента, либо внутри этого отрезка, то все ее значения для данного интервала удовлетворяют двойному неравенству следовательно, по теореме для определенных интегралов будет выполняться неравенства или с учетом следствия из свойства 1. для определеного интеграла имеем Используя свойство 4. для определенного интеграла получаем

Теорема:

Теорема: (о среднем интегральном значении подынтегральной функции) Если функция непрерывна на сегменте , то существует такая точка

, что

Доказательство: Так как функция непрерывна на сегменте и достигает своих наименьшего и наибольшего значений, то из неравенств теоремы следует, что С другой стороны, по свойству для непрерывных функций существует хотя бы одна точка се такая, что Сравнивая полученные неравенства получаем, что

Определение: Величина называется средним интегральным значением функции на сегменте

Методы вычисления определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла на основе его определения

В качестве вычисления определенного интеграла согласно его определения рассмотрим вычисление интеграла Разобьем исходный интервал на n элементарных интервалов с одинаковой длиной На каждом i-ом элементарном отрезке выберем произвольную точку следующим образом: Вычислим интегральную сумму

Перейдем к пределу, устремив п к бесконечности (при этом ), получим

Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования

Определенный интеграл зависит как от подынтегральной функции так и пределов интегрирования а и b.

Определение: Если верхний предел интегрирования в определенном интеграле (b = х) является переменной величиной, то интеграл называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема: (теорема Барроу) Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе интегрирования,

Доказательство: Рассмотрим значение определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования в приращенной точке, т.е.

Следовательно, приращение определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования будет равно Согласно теореме можно записать, что Таким образом, получаем, что Переходя в этом равенстве к пределу при находим, что

Пример №69

Найти производную от интеграла

Решение:

По теореме Барроу имеем

Формула Ньютона-Лейбница

В силу того, что по теореме Барроу то величина является первообразной для функции Если функция является другой первообразной для функции то в соответствии с теоремой, они связаны соотношением

При х = а имеем Откуда находим, что C=-F(d). При х = b с учетом полученного выражения для постоянной интегрирования находим формулу Ньютона-Лейбница:

Замечание: Согласно формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл ровен разности между значением первообразной на верхнем пределе интегрирования и значением первообразной на нижнем пределе интегрирования.

Пример №70

Вычислить

Решение:

Найдем первообразную для подынтегральной функции и воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница

Метод замены переменной интегрирования

Теорема: Пусть функция непрерывна на сегменте и пусть , причем первая производная этой функции непрерывна на сегменте , а значения этой функции на концах сегмента равны и , соответственно. Тогда

Доказательство: Вычислим левую и правую части данного равенства с использованием формулы Ньютона-Лейбница:

• левая часть
• правая часть

Замечание: Отметим, что при использовании метода замены переменной интегрирования в определенном интеграле, надо обязательно пересчитывать пределы интегрирования.

Пример №71

Вычислить

Решение:

Воспользуемся методом замены переменной интегрирования в определенном интеграле, получим

(пересчитаем пределы интегрирования по формуле замены

получим

Замечание: При использовании метода замены переменной интегрирования в определенном интеграле после нахождения первообразной с новой переменной интегрирования не надо возвращаться к старой переменной интегрирования, а надо воспользоваться формулой Ныотона-Лейбница.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле основан на формуле:

Замечание: При использовании метода интегрирования по частям в определенном интеграле к проинтегрированной части применяется формула Ньютона-Лейбница.

Пример №72

Вычислить К интегралам такого вида применяется метод интегрирования по частям.

Решение:

Определенный интеграл от четной и нечетной функций по симметричному интервалу интегрирования

Пусть функция является нечетной функцией, т.е. тогда

Вывод. Определенный интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования равен нулю.

Пусть функция является четной функцией, т.е. тогда

Вывод. Определенный интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования равен удвоенному значению определенного интеграла по половине симметричного интервала интегрирования.

Пример №73

Вычислить

Решение:

В силу того, что подынтегральная функция является четной, то

Пример №74

Вычислить

Решение:

Так как подынтегральная функция нечетная, то

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

1. Пусть функция непрерывна на сегменте и принимает на этом отрезке только неотрицательные значения тогда согласно геометрическому смыслу определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b будет равен площади криволинейной трапеции

Пример №75

Вычислить площадь плоской фигуры, которая ограничена линиями

Решение:

Первая линия у = 0 определяет прямую, которая является осью абсцисс, а вторая линия определяет параболу с ветвями, направленными вниз, и поднятую вверх по оси ординат на 4 единицы. Парабола пересекает ось абсцисс в точках

Рис. 8. Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями Следовательно, (подынтегральная функция четная, а пределы интегрирования симметричные, поэтому) Отсюда площадь плоской фигуры

2. Пусть функция непрерывна на сегменте и принимает на этом отрезке только неположительные значения (), тогда площадь плоской фигуры может быть вычислена по одной из формул:

Для практических расчетов предпочтительной является последняя формула.

3. Пусть функция непрерывна на сегменте и меняет на этом отрезке свой знак в точке например, с “+” на "-", тогда площадь плоской фигуры определяется формулой

Пример №76

Вычислить площадь плоской фигуры, которая ограничена линиями

Решение:

Заданные линии определяют полуволну косинусоиды, которая изменяет свой знак с “+” на "-" в точке (Рис. 9):

Рис. 9. Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями Следовательно, площадь такой плоской фигу ры будет равна:

4. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на сегменте и на этом отрезке удовлетворяют неравенству (Рис. 10), тогда площадь кривая ин ейной трапеции можно вычислить по формуле:

Рис. 10. Площадь плоской фигу ры, ограниченной линиями

Пример №77

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=х и (см. Рис. 7).

Решение:

Если построить графики указанных линий, то роль функции играет функция а в качестве функции g(x) выступает функция у = х, следовательно,

5. Если непрерывная кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана в параметрическом виде при то площадь трапеции вычисляется по формуле

Пример №78

Вычислить площадь под одной аркой циклоиды

Решение:

Циклоида - это кривая, которую описывает точка на ободе колеса при его полном повороте, следовательно, для одной арки циклоиды параметр

По приведенной формуле площадь под аркой циклоиды равна:

6. Если непрерывная кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана в полярной системе координат и фигура ограничена лучами и то площадь плоской фигуры вычисляется согласно формуле

Пример №79

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной одним витком спирали Архимеда.

Решение:

Спираль Архимеда описывается уравнением Для одного витка спирали Архимеда угол Используя вышеприведенную формулу, получаем Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Выполнить чертеж (для построения графиков см. окончание Первого семестра).

Вычисление объема и площади поверхности тела

1. (объем любого тела с известным законом изменения площади поперечного сечения). Пусть дано некоторое тело, для которого известен закон изменения площади поперечного сечения, например, вдоль оси абсцисс, т.е.(Рис. 11).

Рис. 11. Объем тела с заданным законом изменения площади поперечного сечения.

Тогда объем такого тела вычисляется по формуле

Пример №80

Вычислить объем эллипсоида

Решение:

Если зафиксировать абсциссу, т.е. положить то получим

Разделив это равенство на найдем, что в плоскости эллипс описывается уравнением с полуосями

Вычислим площадь этого эллипса (Рис. 12):

Рис. 12. Отыскание закона изменения площади поперечного сечения эллипсоида.

Так как эллипс симметричен относительно координатных осей, то достаточно вычислить площадь его четвертой части (см. Рис. 12) и увеличить полученную площадь в 4 раза, т.е. (произведем замену переменной интегрирования) =(пересчитаем пределы интегрирования по формуле замены) Следовательно, площадь поперечного сечения в направлении оси абсцисс с учетом выражений для полуосей определяется формулой

Таким образом, объем эллипсоида будет равен

2. (объем тела вращения)

Определение: Если тело получается путем ротации линии вокруг оси Ох (Оу), то оно называется телом вращения.

Площадь поперечного сечения такого тела описывается формулой (или ), следовательно, объем тела вращения вычисляется по фор- муле: - при вращении вокруг оси абсцисс. - при вращении вокруг оси ординат.

Пример №81

Вычислить объем тела вращения, если оно получено путем ротации линии (Рис. 8) вокруг оси абсцисс при

Решение:

Согласно приведенной формуле:

3. (площадь поверхности тела вращения) Площадь поверхности тела вращения вычисляется по формуле

- при вращении вокруг оси абсцисс; - при вращении вокруг оси ординат.

Пример №82

Вычислить площадь поверхности тела вращения шара радиуса R .

Решение:

Шар получается путем вращения линии вокруг оси абсцисс при Первая производная от указанной функции

cледовательно,

Длина дуги

1. Если линия определяется явной функцией то длина дуги при вычисляется по формуле

2. Если линия задана параметрически при то длина дуги вычисляется по формуле

3. Если линия задана в полярной системе координат и дуга ограничена лучами и то то длина дуги вычисляется по формуле

Пример №83

Вычислить длину дуги

Решение:

Вычислим первую производную от заданной функции Таким образом, Следовательно, длина дуги

Понятие об определенном интеграле

Пусть f(x) — функция, непрерывная на данном отрезке , где а < b или а > 6, и F(x) — некоторая ее первообразная, т. е.

Определение: Под определенным интегралом

от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезке [а, Ь] понимается соответствующее приращение ее первообразной, т. е.

(формула Ньютона—Лейбница).

Кроме того, считаем для любой функции f(x), имеющей смысл в точке а,

(а — любое). Таким образом, формула (2) справедлива также при а = b.

В выражении (1) числа а и b называются пределами интегрирования, соответственно — нижним и верхним, [а, b] — промежутком интегрирования, a f(x) — подынтегральной функцией. Формулу (2) можно выразить в виде правила: определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Введя обозначение для разности

где вертикальная черта носит название вставки, формулу (2) можно записать еще так:

причем следует помнить, что при расшифровке вставки сначала подставляется верхний предел интегрирования, а затем нижний.

Пример №84

Найти интеграл от х² в пределах от 2 до 4.

Решение:

Так как есть первообразная для х², то согласно формуле (3) имеем

Заметим, что тот же результат мы получили бы, если бы использовали другую первообразную для х², например и т. д.

Это явление носит общий характер.

Теорема: Определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной функции.

Доказательство: Пусть и Fx(x) — две различные первообразные непрерывной на отрезке подынтегральной функции f(x) интеграла (1). В силу основной теоремы для неопределенного интеграла имеем

где С — некоторая постоянная величина. Отсюда

что и требовалось доказать.

Следствие.

где под понимается одна из первообразных для функции f(x).

Формула (4) устанавливает связь между определенным и соответствующим неопределенным интегралами. Отметим формальную разницу между ними: определенный интеграл представляет собой число, а неопределенный — функцию.

Согласно теореме Коши, всякая непрерывная на отрезке функция имеет первообразную. Отсюда вытекает теорема.

Теорема: Для всякой функции, непрерывной на отрезке , существует соответствующий определенный интеграл,

Замечание. Пусть т. е.

Интегрируя равенство (5) в пределах от а до , будем иметь

Последняя формула часто применяется на практике.

Учение о неопределенном и определенном интегралах и их приложениях составляет предмет интегрального исчисления.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке . Рассмотрим интеграл

где (во избежание путаницы переменная интегрирования обозначена другой буквой).

Если F (х) — первообразная функции f(x), т. е.

то согласно формуле Ньютона—Лейбница имеем

Отсюда

Следовательно, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела:

Таким образом, интеграл

является первообразной для подынтегральной функции f(x). Отметим, что из формулы (2) следует, что , т. е. Ф(х) есть та первообразная для функции f(x), которая обращается в нуль при х = а.

Пример:

Имеем

Рассмотрим теперь определенный интеграл с переменным нижним пределом

где

На основании формулы Ньютона—Лейбница имеем

Таким образом, производная определенного интеграла с переменным нижним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела, взятому с обратным знаком.

Замечание. Если функция f(x) непрерывна на отрезке , то на основании связи неопределенного интеграла с первообразной будем иметь

при где С — произвольная постоянная.

Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим площадь переменной криволинейной трапеции (рис. 130), ограниченной сверху непрерывной кривой , снизу осью OX(Y = 0), слева неподвижной вертикалью X = а, а справа подвижной вертикалью

Наглядно можно вообразить себе, что вдоль оси ОХ происходит наводнение и вертикальный фронт воды передвигается слева направо.

Пусть х получает приращение (для определенности положим, что ). Тогда площадь изменится на величину (рис. 130), представляющую собой площадь полоски, ограниченной дугой кривой, осью ОХ и двумя вертикалями X = х и X = х + . Положим

Сравнивая площадь с площадями прямоугольников с общим основанием и высотами и М, будем иметь

Отсюда

Пусть теперь . Тогда в силу непрерывности функции имеем

Отсюда на основании теоремы о пределе промежуточной переменной получаем

Аналогично, при будем иметь

Следовательно, существует предел

Таким образом, производная площади переменной криволинейной трапеции для любого значения аргумента X = х равна ее концевой ординате у = f(x) (теорема Ньютона—Лейбница).

Из формулы (4) получаем

Пусть S — полная площадь криволинейной трапеции (рис. 130), ограниченная кривой Y = , осью ОХ и двумя вертикалями X = а и X = Ь. Интегрируя равенство (5) в пределах от а до b и учитывая, что S(a) = 0, на основании формулы (6) из будем иметь

Таким образом, определенный интеграл (6) от непрерывной неотрицательной функции при равен площади соответствующей криволинейной трапеции1) (геометрический смысл определенного интеграла).

Пример №85

Найти площадь S одной полуволны синусоиды у = sin х (рис.131).

Решение:

На основании геометрического смысла определенного интеграла имеем

Пример №86

Выяснить геометрический смысл интеграла

и, пользуясь этим, найти его значение.

Решение:

Так как есть уравнение верхней полуокружности , то интеграл I представляет собой площадь полукруга радиуса 1 (рис. 132).

Поэтому ; этот результат можно получить также непосредственным вычислением интеграла (7).

Физический смысл определенного интеграла

Пример:

Зная скорость v = v(t) прямолинейного движения точки, найти пройденный ею путь за промежуток времени .

Предполагая, что траекторией точки является ось Ох (рис. 133) и х = x(t) есть уравнение движения, будем иметь

Интегрируя равенство (2) в пределах от 0 до Т, получим путь, пройденный точкой за время t:

Точнее, формула (3) дает приращение абсциссы движущейся точки, т. е. перемещение точки за время Т. Пройденный путь получится в том случае, когда скорость u(f) сохраняет постоянный знак, т. е. точка движется в одном и том же направлении.

Замечание. Из (3) получаем уравнение движения точки

где

Пример:

На какую высоту за 10 с поднимется ракета, брошенная вертикально вверх, если ее скорость (км/с) меняется по закону .

Чему равна средняя скорость полета ракеты за этот промежуток времени?

Решение:

Путь, пройденный ракетой за 10 с, равен

Поэтому соответствующая средняя скорость ракеты равна

Основные свойства определенного интеграла

При выводе основных свойств определенного интеграла мы будем исходить из формулы Ньютона—Лейбница:

где f(x) непрерывна на отрезке

Для лучшей обозримости свойства определенного интеграла разобьем на группы.

Общие свойства:

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

где х, t — любые буквы.

Это свойство непосредственно вытекает из формулы (1).

II.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (на основании сделанного соглашения).

Заметим, что это определение соответствует и формуле Ньютона—Лейбница:

III.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

В самом деле, переставляя пределы интегрирования, в силу формулы (1) имеем

Свойство аддитивности

IV.Если промежуток интегрирования разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку , равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

Действительно, пусть, например, , где . Тогда, полагая , имеем

Замечание. Формула (3) остается верной, если с лежит вне отрезка и подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезках и .

Свойства линейности

V.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Действительно, пусть F (х) — первообразная для f(x) на и А — постоянная величина, тогда AF(x) есть первообразная для Af(x), так как

Имеем

VI.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Действительно, рассмотрим, например, алгебраическую сумму

трех непрерывных функций f(x)y g(x), h(x), и пусть F(x), G(x), Н(х) — их первообразные, т. е.

Тогда F(x) + G(x) - H(x) является первообразной для суммы (4), так как

Отсюда имеем

Свойства монотонности

VII.Если подынтегральная функция определенного интеграла непрерывна и неотрицательна, а верхний предел интегрирования больше нижнего или равен ему, то определенный интеграл также неотрицателен.

В самом деле, пусть при . Так как , то первообразная F(x) есть возрастающая функция (точнее, неубывающая функция). В таком случае при имеем

VIII. Неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать почленно при условии, что верхний предел интегрирования больше нижнего.

Действительно, пусть при , где f(x) и g(x) непрерывны на отрезке . Так как g(x) - f(x) 0, то при в силу свойств VI и VII имеем

отсюда

Замечание. Пусть f(x) — знакопеременная непрерывная функция на отрезке , где . Например (рис. 134), при при и при .

В силу свойства аддитивности IV, учитывая геометрический смысл интеграла, имеем

где — площади соответствующих криволинейных трапеций.

Таким образом, определенный интеграл, в общем случае, при представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, где площади трапеций, расположенных выше оси Ох, берутся со знаком плюс, а площади трапеций, расположенных ниже оси Ох, — со знаком минус.

Если , то все обстоит наоборот.

Заметим, что площадь заштрихованной на рис. 134 фигуры выражается интегралом

Теорема о среднем

Теорема: Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумента

Доказательство: В самом деле, в силу формулы Ньютона— Лейбница имеем

где F(x) = f(x). Применяя к разности первообразных теорему о конечном приращении функции, получим

где a < с

где a < с

Замечание. Формуле (2) при можно дать простую геометрическую иллюстрацию. В самом деле, левая часть ее представляет собой площадь криволинейной трапеции АаbВ, где АВ имеет уравнение у = f(x) и а и b — абсциссы точек А и В. Правая же часть этой формулы выражает площадь прямоугольника с основанием b - а и высотой сС, равной (рис. 135).

Таким образом, формула (2) геометрически означает, что можно всегда подобрать на дуге АВ такую точку С с абсциссой с, заключенной между а и Ь, что площадь соответствующего прямоугольника aDEb с высотой сС будет в точности равна площади криволинейной трапеции аАВЬ.

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией, равновелика площади прямоугольника с тем же «основанием» и высотой, равной некоторой средней ординате линии.

Число f(c) = носит название среднего значения функции f(x) на промежутке . Из формулы (2) имеем

Пример №87

Сила переменного тока равна , где — максимальное значение силы тока, Т — период, t — время.

Найти среднее значение квадрата силы тока за период Т.

Решение:

На основании формулы (3) имеем

где черта обозначает операцию усреднения. Так как sin²a=, то

Корень квадратный из среднего значения квадрата силы тока носит название эффективной силы тока, т. е. . На основании формулы (4) получаем важный для электротехники результат:

Следствие. Пусть

Так как , то при а < b из формулы (2) имеем

Пример №88

Оценить интеграл

Решение:

Так как при , то на основании формулы (6) имеем . Приближенно можно положить

Точное значение интеграла есть

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть — непрерывно дифференцируемые1) функции на отрезке . Имеем

Интегрируя это равенство в пределах от а до b и учитывая, что

находим

Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

Для краткости употребляется обозначение

Пример №89

Найти

Решение:

Полагая , получим du = dx, = sin x. Применяя формулу (1), будем иметь

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан определенный интеграл

где f(x) — непрерывная функция на отрезке и пусть по каким-то соображениям нам желательно ввести новую переменную t9 связанную с прежней\х соотношением

где — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке . Если при этом: 1) при изменении t от переменная х меняется от т. е.

и 2) сложная функция определена и непрерывна на отрезке , то справедлива формула

Для доказательства рассмотрим сложную функцию

где — первообразная для функции f(x), т. е.

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

следовательно, функция является первообразной для

функции

Отсюда на основании формулы Ньютона—Лейбница, учитывая равенства (3), будем иметь

что и требовалось доказать.

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к прежней переменной, достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования по формулам (3).

Пример №90

Вычислить

Решение:

Естественно положить

Если значения не выходят из отрезка , то условие 2) излишне.

отсюда . Новые пределы интегрирования определяются из формулы (6); полагая , будем иметь и, полагая X = 3, получим t = 2. Следовательно,

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и пусть для определенности f(x) > 0 на , где а < Ь. Тогда ее определенный интеграл геометрически представляет собой площадь S криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной данной кривой у = f(x), осью Ох (у = 0) и двумя вертикалями х = а и х = b (рис. 136).

Еще свыше 2000 лет тому назад греческие математики для приближенного вычисления площади S употребляли следующий прием: разобьем фигуру S на весьма большое число вертикальных полосок, ограниченных перпендикулярами к оси Ох, проведенными в точках

Каждую из этих полосок приближенно можно считать за прямоугольник с основанием и некоторой промежуточной высотой где

Тогда площадь одного такого прямоугольника, очевидно, равна

и, следовательно, площадь ступенчатой фигуры, состоящей из п таких прямоугольников, будет

или, короче,

где буква обозначает знак суммирования (сложения) и под этим знаком выписан общий (типичный) член слагаемых; при этом указано, сколько слагаемых и какие именно входят в состав суммы.

Сумма (2) или (2') называется интегральной суммой для функции f(x). Так как при и наши полоски в пределе обращаются в ординаты графика функции , то естественно ожидать, что

Действительно, справедлива следующая теорема:

Теорема: Если функция fix) непрерывна на отрезке , то предел ее интегральной суммы S_n при равен соответствующему определенному интегралу этой функции, т. е.

Понятие интегральной суммы (2') естественно обобщается на случай знакопеременной функции.

В этом смысле знак интеграла представляет собой стилизованную букву S (знак суммы), а обозначение всего определенного интеграла является сокращенной записью суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых вида на отрезке (с нашей точки зрения, Предел такой суммы).

Доказательство: Пусть

Положим . в силу свойства аддитивности имеем

Отсюда, применяя теорему о среднем, будем иметь

где

Рассмотрим интегральную сумму

где

Из формул (5) и (6) получаем

Отсюда

Если — произвольное положительное число, то при достаточно малом , в силу непрерывности функции f(x), обеспечены неравенства

Поэтому из (9) и (8) получаем

где (b - а) — длина отрезка [а, Ь].

Для любой непрерывной на отрезке функции доказано свойство ее равномерной непрерывности на рассматриваемом отрезке.

Из неравенства (10), ввиду произвольности числа 8, вытекает, что

т. е. справедливо равенство (3).

Замечание. Если на , то под площадью криволинейной трапеции аАВЬ по определению мы будем понимать число

предполагая, что этот предел существует.

Следствие. Если функция f(x) 0 непрерывна на отрезке , то криволинейная трапеция имеет конечную площадь, т. е. является квадрируемой фигурой.

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

Определенный интеграл

от заданной непрерывной функции у = f(x) точно вычисляется далеко не всегда. Однако, пользуясь его геометрическим смыслом, можно дать ряд приближенных формул, с помощью которых этот интеграл находится с любой степенью точности. Мы здесь рассмотрим простейшую из них, так называемую формулу трапеций.

Как известно, интеграл (1) представляет собой площадь (с учетом знака — см. замечание на с. 263) криволинейной трапеции, ограниченной линией у = f(x), осью Ох и двумя ординатами х = а и х = (рис. 137).

Разобьем отрезок на п равных частей длины (шаг разбиения).

Пусть — абсциссы точек деления,

— соответствующие ординаты кривой. Имеем расчетные формулы

. В результате построения наша криволинейная трапеция разбилась на ряд вертикальных полосок одной и той же ширины , каждую из которых приближенно примем за трапецию. Суммируя площади этих трапеций, будем иметь

((формула трапеций). Формулу (2) можно коротко записать в виде

где = 1/2 при i = 0 и i = ; = 1 при i = 1, 2, ..., - 1.

Погрешность

называется остаточным членом формулы трапеций (3). Доказано, что если функция у = f(x) имеет непрерывную вторую производную f"(x) на отрезке , то

Пример №91

Приближенно вычислить

Решение:

Разобьем промежуток интегрирования [0, 1] на 10 частей ( = 10); следовательно, шаг h = 0,1. Абсциссы точек деления и соответствующие им ординаты , вычисленные с помощью таблицы квадратных корней, приведены в таблице, причем ординаты для удобства умножены на множитель такой, что при i = 0 и i = 10 (отмечены звездочкой) и = 1 при i = 1, 2, ..., 9.

По формуле (3) имеем Точное значение интеграла равно

Формула Симпсона

Более точную формулу мы получим, если профиль криволинейной полоски будем считать параболическим.

Рассмотрим вертикальную полоску (рис. 138), ограниченную непрерывной кривой у = f(x), осью Ох (у = 0) и двумя вертикалями х = -h и х = h.

Если h мало, то кривую у — f(x) приближенно можно заменить параболой

проходящей через точки

Тогда

приближенно будет равен

Полагая в формуле (1) последовательно получаем

Отсюда

Подставляя эти значения в формулу (2), будем иметь

(формула Симпсона).

Пример №92

Пользуясь формулой Симпсона, найти

Решение:

Полагая , имеем . Следовательно,

(точное значение = 2).

Используя параллельный перенос системы координат, формулу Симпсона можно писать в виде

где h =

Замечание. Для увеличения точности вычисления определенного интеграла промежуток интегрирования разбивают на частичных промежутков, где — достаточно большое натуральное число, и к каждому из них применяют формулу Симпсона (5'), полагая . В силу свойства аддитивности данный определенный интеграл будет приближенно представлять сумму полученных так результатов (параболическая формула).

• Заказать решение задач по высшей математике

Несобственные интегралы

При определении интеграла

предполагалось, что: 1) промежуток интегрирования конечен и 2) подынтегральная функция /(х) определена и непрерывна на отрезке . Такой определенный интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если нарушается по меньшей мере одно из двух условий: 1) или 2), то символ (1) будем называть несобственным определенным интегралом.

Выясним смысл этого нового понятия для двух простейших случаев.

I.Пусть функция f(x) непрерывна при . Тогда по определению полагают

Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования, стоящий в левой части равенства (2), называется сходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.

Геометрически для неотрицательной на функции f(x) несобственный интеграл (2) представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией у = f(x), осью Ох и вертикалью х = а (рис. 139).

Пусть F(x) — первообразная функция для подынтегральной функции f(x). На основании формулы (2) имеем

Если ввести условное обозначение

то получим для сходящегося несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом интегрирования обобщенную формулу Ньютона—Лейбница:

где

Пример №93

II.Пусть функция f(x) непрерывна при и имеет точку разрыва при х = Ь. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции определяется формулой

и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или не существует предел правой части равенства (4).

Если существует функция F(x)f непрерывная на отрезке и такая, что

(обобщенная первообразная), то для несобственного интеграла (4) справедлива обобщенная формула Ньютона—Лейбница:

Пример №94

Площадь в прямоугольных координатах

Пример:

Найти площадь S криволинейной трапеции , ограниченной данной непрерывной линией , отрезком оси Ох и двумя вертикалями х = а и х = Ь, если f(x) > О при (рис. 140).

На основании геометрического смысла определенного интеграла имеем

где - данная функция.

Замечание. Формулу (1) можно обосновать иначе. Будем рассматривать площадь S как переменную величину, образованную перемещением текущей ординаты хМ = у из начального положения аА в заключительное положение bВ. Давая текущей абсциссе х приращение получим приращение площади , представляющее собой площадь вертикальной плоскости хММ'х', заключенной между ординатами в точках (рис. 140). Дифференциал площади dS есть главная линейная часть приращения при и, очевидно, равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у поэтому

Можно строго доказать, что для непрерывной функции у = площадь прямоугольника у dx отличается от площади полоски на величину высшего порядка малости относительно dx. (элемент площади в прямоугольных координатах). Интегрируя равенство (2) в пределах от х = а до х = b, будем иметь формулу (1):

Здесь на частном примере показано применение так называемого метода дифференциала, сущность которого заключается в том, что сначала из элементарных соображений составляется дифференциал искомой величины, а затем после интегрирования в соответствующих пределах находится значение самой искомой величины. Более подробно этот метод развит в теории дифференциальных уравнений (гл. XXII).

В следующих параграфах на конкретных примерах мы ознакомимся с двумя основными методами в теории определенного интеграла: 1) методом интегральных сумм и 2) методом дифференциала.

Пример №95

Найти площадь S области, ограниченной эллипсом

Решение:

Ввиду симметрии можно ограничиться вычислением 1/4 площади S (рис. 141).

Из уравнения эллипса для I квадранта имеем . Отсюда по формуле (1) получаем

Применим тригонометрическую подстановку х = a sin t, dx = a cos t dt. Новые пределы интегрирования t = а и t = определяются из уравнений 0 = a sin t, а = a sin t. Можно положить а = 0 и

Следовательно,

В частности, полагая получим площадь круга с радиусом а.

Замечание. В более сложных случаях фигуру стараются представить в виде суммы или разности криволинейных трапеций.

Пример №96

Найти площадь области, ограниченной двумя непрерывными линиями

и двумя вертикалями х = а и х = b (рис. 142).

Будем предполагать, что — неотрицательные функции на . Этого всегда можно добиться путем параллельного переноса оси Ох.

Искомую площадь S можно рассматривать как разность двух криволинейных трапеций, ограниченных данными линиями. Поэтому

и, следовательно,

где — данные функции. Заметим, что

представляет собой «толщину» площади S в точке х.

Пример №97

Определить площадь S, ограниченную параболой у = и прямой (рис. 143).

Решение:

Решая совместно систему уравнений параболы и прямой

находим абсциссы точек пересечения:

Полагая , на основании формулы (3) получим

Формула (1) дает возможность вычислять также площади простых фигур, уравнение контура которых задано параметрически.

Пример №98

Найти площадь S, ограниченную первой аркой циклоиды

и осью Ох.

Решение:

Имеем

Произведем в этом интеграле замену переменных, приняв за независимую переменную параметр t. Из уравнений (4) получим

причем имеем t = 0 при х = 0 и t = при х = . Следовательно,

Таким образом, получаем теорему Галилея: площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее хордой, равна утроенной площади производящего круга.

Площадь в полярных координатах

Пример:

Найти площадь S сектора ОАВ, ограниченного данной непрерывной линией

и двумя лучами , где — полярные координаты (рис. 144).

Для решения задачи используем метод дифференциала.

Представим себе, что площадь S возникла в результате перемещения переменного полярного радиуса р = при ф, меняющемся от до (рис. 144). Если текущий полярный угол ф получит приращение , то приращение площади . Дифференциал dS представляет собой главную линейную часть приращения при и равен площади кругового сектора OMN радиуса р с центральным углом ; поэтому

(элемент площади в полярных координатах). Интегрируя равенство (1) в пределах от получим искомую площадь

где — данная функция.

Пример №99

Найти площадь, ограниченную кардиоидой

Решение:

Составляем таблицу значений:

Построив точки кардиоиды по значениям из нашей таблицы, можно составить приближенное представление о форме этой кривой (рис. 145).

Действительно, по аналогии с физическим смыслом дифференциала, дифференциал площади dS равен фиктивному приращению площади 5 при повороте на угол полярного радиуса р при условии, что последний сохраняет постоянную величину. Отсюда ясно, что dS есть площадь кругового сектора радиуса р с центральным углом .

Так как кардиоида, очевидно, симметрична относительно полярной оси, то достаточно определить верхнюю половину площади, а затем ее удвоить. Обозначая всю площадь, ограниченную кардиоидой, через S, будем иметь

Отсюда

Или, так как

окончательно получаем

Длина дуги в прямоугольных координатах

Определение: Под длиной дуги АВ понимается предел, /с которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

Назовем кривую гладкой, если эта кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую свое положение от точки к точке. Очевидно, кривая будет гладкой, если уравнение ее может быть записано в виде

где функция f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную f'{x) на данном отрезке

Теорема: Всякая гладкая кривая (1) имеет определенную конечную длину дуги.

Доказательство: Впишем в данную гладкую кривую (1) ломаную линию (рис. 146), где Проецируя звенья ломаной на ось Ох, получим разбиение отрезка [a, b] на систему отрезков Ах,. Пусть — приращение данной функции у = f(x) на отрезке (рис. 146). По теореме Пифагора имеем

Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим , где — некоторая промежуточная точка отрезка Отсюда

и, следовательно, длина всей ломаной (т. е. ее периметр) равна

Чтобы найти длину кривой (1), нужно в последнем выражении перейти к пределу, предполагая, что . Таким образом,

Геометрически есть та точка отрезка в которой касательная к графику функции у = f(x) параллельна его хорде .

Мы получили предел интегральной суммы для непрерывной функции

Поэтому

где у' = f'(x).

Дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Пусть одна точка А(а, h) кривой фиксирована, а другая М(х, у) — переменная (рис. 147). В таком случае длина дуги = AM есть некоторая функция от переменной х. Согласно формуле (2) мы имеем

Отсюда, используя теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом, получим

следовательно,

Это и есть формула дифференциала дуги в прямоугольных координатах.

Так как , то

Любопытно отметить, что последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МТР (рис. 147).

Пример №100

Вычислим длину дуги отрезка цепной линии. Так называется линия, форму которой принимает тяжелая нить, закрепленная в двух точках.

Уравнение этой линии в надлежащим образом выбранной системе координат таково:

где а — некоторое положительное число (параметр цепной линии). Уравнение (4) проще записать так:

где ch — гиперболический косинус.

Точка А (0, а), являющаяся наиболее низкой точкой кривой (4) (рис. 148), называется вершиной цепной линии.

Вычислим длину дуги АВ цепной линии, предполагая, что абсцисса точки В равна 6, а ордината ее равна . Дифференцируя уравнение (4')» будем иметь

Далее выводим Следовательно,

Отсюда согласно формуле (2) получим

Формула для длины дуги АВ принимает более простой вид, если правую часть ее выразить через ординату h точки В. В самом деле, очевидно,

В силу тождества имеем

т. е. дуга АВ равна катету ОС прямоугольного треугольника ОАС (рис. 148), гипотенуза которого АС = h и другой катет OA = a.

Замечание. Пусть требуется найти длину дуги L кривой, заданной параметрически:

где — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке . Можно доказать, что формула (3) для дифференциала дуги dl будет справедлива и в этом случае. Так как , то имеем

Интегрируя последнее выражение в пределах от получим длину дуги

Пример №101

Найти длину дуги окружности

Решение:

Здесь поэтому

и, следовательно,

Пример №102

Найти длину дуги астроиды

(рис. 149).

Решение:

Уравнение астроиды можно записать в виде

Естественно ввести параметр t, полагая

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

где

Ввиду симметрии кривой (6) достаточно найти 1/4 длины дуги соответствующую изменению параметра t от . Имеем

Отсюда находим

Интегрируя это выражение в пределах от t = 0 до t = , получим

Следовательно, вся длина дуги астроиды равна

Длина дуги в полярных координатах

Выведем сначала дифференциал dl дуги в полярных координатах. На основании формулы (3) из имеем

где x и у — прямоугольные декартовы координаты точки дуги.

Как известно, формулы перехода от полярных координат р и ф к прямоугольным х и у следующие:

Отсюда

Возведя в квадрат, получим

Складывая эти равенства почленно, будем иметь

Следовательно,

Последнюю формулу можно представить в таком виде;

где

Пример №103

Найти длину дуги непрерывно дифференцируемой кривой

между точками где — полярные координаты (рис. 150). Интегрируя равенство (1) в пределах от , получим длину дуги в полярных координатах

где — заданная функция, — ее производная.

Пример №104

Вычислим полную длину дуги кардиоиды (см. рис. 145)

Решение:

Имеем Поэтому

и, следовательно, Обозначая длину дуги верхней части кардиоиды через , получим

Отсюда для длины дуги всей кардиоиды, ввиду симметрии верхней и нижней частей ее, находим = 8а.

Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям

Пример:

Зная закон изменения площади поперечного сечения тела, найти объем V этого тела (рис. 151,).

Пусть Ох — некоторое выбранное направление, а S = S(х) — площадь поперечного сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох в точке с абсциссой х. Функцию S(x) будем предполагать известной и непрерывно меняющейся при изменении х. Кроме того, будем предполагать, что, в некотором смысле, контур сечения изменяется также непрерывно.

Проецируя тело на ось Ох, получим некоторый отрезок , дающий линейный размер тела в направлении оси Ох.

Разделим отрезок на большое число мелких частей и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох. В результате наше тело разобьется на п слоев, каждый из которых приближенно может быть принят за цилиндр. Так как объем i-го слоя приближенно равен где — некоторая точка отрезка (рис. 151), то для объема тела V получаем выражение

Если , причем , то приближенное равенство (1) становится все более точным и в пределе мы получим

Сумма (1) представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции S(x), и ее предел есть соответствующий определенный интеграл. Поэтому

Пример №105

Найти объем V пирамиды с площадью основания В и высотой (рис. 152).

Решение:

За ось Ох примем прямую, проходящую через вершину О пирамиды перпендикулярно основанию ее и направленную от вершины к основанию.

Пусть — площадь сечения пирамиды плоскостью, находящейся на расстоянии х от вершины. Так как площади параллельных сечений

пирамиды относятся как квадраты расстояний их от вершины, т. е. , то Из формулы (2) предыдущего параграфа получаем

что согласуется с известной формулой геометрии.

Пример:

Пусть (рис. 153) — площади нижнего и верхнего сечений «бочкообразного» тела, a S₀ — площадь его среднего сечения. Тогда, применяя формулу Симпсона к интегралу (2), получаем

где — высота тела (кубатурная формула Симпсона).

Объем тела вращения

Пример:

Найти объем тела Vx, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВ, ограниченной данной непрерывной линией

отрезком оси Ох и двумя вертикалями х = а и х = (рис. 154).

Эта задача представляет частный случай задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Здесь площадь переменного поперечного сечения S = S(x), соответствующего абсциссе х, есть площадь круга радиуса уу поэтому S(x) = . Отсюда на основании формулы (2) имеем

где у = f(x) — данная функция.

Формулу (1) можно также получить непосредственно методом дифференциала. Элемент объема очевидно, представляет собой цилиндр с основанием S и высотой dx. Следовательно,

Отсюда, интегрируя в пределах от , получим формулу (1).

Замечание. Пусть криволинейная трапеция cCDd, ограниченная однозначной непрерывной линией х = g(y), отрезком оси Оу и двумя параллелями у = с и у = d, вращается вокруг оси Оy (рис. 155). Тогда объем тела вращения V_y, по аналогии с формулой (1), равен

где — данная функция.

Пример №106

Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса.

вокруг большой оси а (ось Ох) (рис. 156).

Решение:

Так как эллипс (3) симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси ОХ площади ОАВ, равной одной четверти площади эллипса (рис. 156), и полученный результат удвоить.

Иными словами, dV_x есть главная линейная часть приращения переменного объема Vx при перемещении сечения S (х) на бесконечно малую величину dx.

Обозначим объем тела вращения через V_x; тогда на основании формулы (1) имеем

где 0 и а — абсциссы точек В и А. Из уравнения эллипса находим Отсюда

Следовательно, окончательно имеем

Аналогично, при вращении эллипса (3) вокруг малой оси b объем соответствующего тела вращения равен

Полагая , получим объем шара радиуса а:

Работа переменной силы

Пример:

Найти работу А непрерывной переменной силы приложенной к материальной точке М, при перемещении последней вдоль оси Ох из положения х = а в положение х = b, предполагая, что направление силы совпадает с направлением перемещения.

Пусть точка М переместилась из положения х в положение х + dx (рис. 157). На бесконечно малом промежутке

длины dx силу F(x) приближенно можно считать постоянной. Поэтому элементарная работа силы равна

Интегрируя выражение (1) в пределах от , получим всю работу

Пример №107

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 5 см, если сила 100 Н растягивает пружину на 1 см?

Решение:

Согласно закону Гука, упругая сила F, действующая на пружину, возрастает пропорционально растяжению х пружины, т. е.

F = kx.

Здесь перемещение х выражено в метрах, а сила F — в ньютонах. Для определения коэффициента пропорциональности k согласно условию задачи полагаем F - 100 Н при х = 0,01 м. Отсюда 100 = k • 0,01, т. е. k = 10000 и, следовательно, F = 10000 х. Искомая работа на основании формулы (2) равна

Физические приложения определенного интеграла

Для иллюстрации основных методов в теории определенного интеграла: 1) метода дифференциала и 2) метода интегральных сумм — рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Концентрация вещества (г/м³) в воде меняется по закону (х — глубина слоя).

Сколько вещества Q содержится в вертикальном столбе воды, площадь поперечного сечения которого равна S = 1 м², а глубина меняется от 0 до 200 м?

Рассмотрим бесконечно тонкий слой столба воды с сечением S толщины dx, находящийся на глубине х (рис. 158).

Количество вещества, содержащегося в этом слое, равно

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до 200, получим

Пример №108

Найти, с какой силой однородный стержень 1 линейной плотности притягивает материальную точку Р(а) (а > 1) массы (рис. 159).

Решение:

Согласно закону Ньютона, бесконечно малый элемент стержня массы dx притягивает материальную точку Р с силой

где k — коэффициент пропорциональности (гравитационная постоянная). Так как эти силы притяжения действуют в одном и том же направлении, то их можно алгебраически складывать, а следовательно, и интегрировать (так как интеграл — предел алгебраической суммы). Получим

Пример №109

Определить силу давления воды на вертикальный круг радиуса R, центр которого погружен в воду на глубину Н

Решение:

В качестве оси Ох возьмем вертикальную прямую с началом координат О, совпадающим с центром круга (рис. 160). Данный круг разобьем на п узеньких горизонтальных полосок толщины соответственно . Рассмотрим i-ю полоску АА'В'В, удаленную от центра круга на величину и имеющую толщину (рис. 160). Если — малая величина, то эту полоску приближенно можно принять за прямоугольник, и поэтому ее площадь

Считая, что уровень погружения этой полоски равен согласно закону Паскаля получим силу давления воды на эту полоску

где р — плотность воды. Суммируя эти выражения, получим приближенное значение силу давления Р воды на всю пластинку

Формула (4) тем точнее, чем меньше В пределе при и , получим точную формулу для силы давления воды:

Сумма (4) является интегральной для функции

поэтому ее предел есть соответствующий определенный интеграл. Следовательно, из (5) находим

Определенный интеграл и площадь

Площадь, ограниченная графиком функции приблизительно находится как сумма площадей прямоугольников шириной высотой

Пример:

Площадь, ограниченная кривой на рисунке, приблизительно равна площади 4 прямоугольников, полученных при делении данного отрезка на равные части.

Геометрически эта сумма равна площади ступенчатой фигуры на рисунке и называется интегральной суммой функции на отрезке Если увеличить количество точек деления, то можно записать:

Это можно коротко записать при помощи знака "сигма".

Для непрерывной функции для достаточно больших значений (т. е. при достаточно малых значениях сумма площадей построенных прямоугольников и является интересующей нас площадью, "можно сказать, что они равны", т. е. при получим

Отметим, что в интегральной сумме вместо значений можно взять значение в произвольной точке интервала

Справочный материал по определенному интегралу

Можно показать, что для непрерывной на отрезке функции при последовательность интегральных сумм стремится к определенному числу. Это число называется определенным интегралом функции на отрезке и записывается как

Числа и являются пределами интегрирования, - нижний предел, - верхний предел, знак интеграла. - подынтегральная функция, переменная - переменная интегрирования.

Таким образом, при площадь фигуры, ограниченной графиком функции на отрезке выражается формулой

При нахождении площади, ограниченной кривой обратите внимание на следующее:

1. Схематично изобразите график функции.
2. Заданный отрезок делится на отрезков, каждый из которых имеет длину
3. При вычислении определитесь в выборе значения в левом или правом конце отрезков, полученных при делении.
4. Вычисления можно проводить для прямоугольников, не превышающих кривой или превышающих кривой.

Пример:

Найдите, приблизительно, площадь криволинейной трапеции, находящейся под графиком функции на отрезке разделив его на 5 равных частей.

Решение: на рисунке представлен график данной функции, построенный при помощи графкалькулятора.

В рассматриваемом случае

Для выберем значение в точке левого конца полученных отрезков. Сумма площадей 5 прямоугольников, шириной 3 ед. и высотой приблизительно равна значению площади криволинейной трапеции:

Пример:

Поезд с 07:00 до 09:00 двигался со скоростью 90 км/час. а) Выразите путь поезда в виде определенного интеграла; b) Найдите значение определенного интеграла, вычислив соответствующую площадь.

Решение: а) Значение пути, которое требуется найти, численно равно закрашенной на рисунке площади.

Эта площадь выражается интегралом

b) Значение пути, проделанного поездом на заданном временном промежутке равна площади прямоугольника, ограниченного графиком постоянной функции на отрезке [7; 9]. Так как высота данного прямоугольника 90, а ширина то площадь равна: т. е.

Пример:

Вычислите интеграл

Решение. Значение заданного определенного интеграла равно числовому значению площади ограниченной графиком функции на отрезке

Данная фигура имеет форму трапеции и ее площадь можно вычислить при помощи геометрических формул.

Определенный интеграл и формула Ньютона-Лейбница

Практическое занятие:

1) Постройте в тетради график функции и выразите закрашенную площадь на рисунке в виде функции, зависящей от

2) Покажите, что

Если для непрерывной на отрезке неотрицательной функции площадь полученной фигуры будет то

Для нахождения производной функции используем определение производной.

Если есть площадь под графиком функции построенном на отрезке то площадь соответствует площади под графиком той же функции на отрезке

При стремлении к нулю площадь стремится к площади

прямоугольника, шириной и высотой

Отсюда,

Эта запись показывает, что

Значит, если одна из первообразных функции то

По графику также видно, что площадь на отрезке равна площади на отрезке минус площадь на отрезке

Т. е., площадь на отрезке равна

Пример:

Найдите площадь, ограниченную графиком функции

на отрезке

Решение: Мы уже знаем, что

Значит, Найдем общий вид первообразных для функции

Постоянная не влияет на разность значений функции. Тогда искомая площадь равна:

Сравнивая формулы и площади, ограниченной

кривой, получаем следующий результат: для неотрицательной непрерывной на отрезке функции

Полученная формула верна для любой непрерывной функции.

Основная теорема интегрального исчисления

Если функция непрерывна на отрезке и функция одна из первообразных функции то справедливо следующее равенство

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.

Эта формула также записывается как

Таким образом, определенный интеграл произвольной функции на отрезке равен приращению первообразной на данном отрезке . В частном случае, если верхняя и нижняя границы определенного интеграла совпадают, то значение определенного интеграла равно нулю:

Для вычисления определенного интеграла:

1. Для функции находится какая-либо первообразная
2. Вычисляются значения в точках и
3. Находится разность

Пример №110

По рисунку найдите площадь, ограниченную графиком функции на отрезке

Решение:

Пример №111

Вычислите определенный интеграл.

Решение:

Пример №112

Объясните ситуацию, соответствующую определенному интегралу.

Функция выражает численность (в миллионах) населения через лет. Какую информацию выражает значение интеграла

Решение: Данный интеграл показывает, что численность

населения за 8 лет выросла 2 млн. человек

Прикладные задании

Работа переменной силы. Работа, совершаемая на нуги постоянной силой направленной вдоль прямой, вычисляется но формуле Если принять, что переменная сила остается постоянной на отрезке и обозначить ее через то получим, что на отрезке длиной работа будет равна

Тогда на пути (отрезке) работа силы вычисляется по формуле

Пример №113

По закону Гука сила, расстягивающая пружину на см, вычисляется по формуле Здесь к коэффициент пропорциональности. При растяжении пружины на 5 см, сила эластичности равна Какую работу надо совершить для растяжения пружины на 5 см?

Решение: По условию Таким образом, и

Свойства определенного интеграла

Отметим следующие свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Значение определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования.

Свойство 2. Для любого числа справедливо равенство

Пример: 

Свойство 3. Если функции и непрерывны на отрезке то

справедливо равенство

Пример: 

Свойство 4. Для и непрерывной на отрезке функции справедливо равенство

площадь ограниченная функцией на интервале равна сумме площадей

Пример: Вычислите определенный интеграл

Так как то

Свойство 5. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, знак интеграла меняется на противоположный.

На самом деле,

До настоящего момента говоря о площади, которую ограничивает график функции, мы имели ввиду, что функция принимает неотрицательные значения. Что же будет, если площадь, ограниченная графиком функции, будет находится как ниже, так и выше оси Сможем ли мы найти эту площадь при помощи определенного интеграла? В этом случае надо использовать свойство, представленное выше.

Площадь расположена выше оси !

Если при условии на промежутке функция то график функции расположен выше оси и значение интеграла положительно.

Площадь расположена ниже оси !

Если при условии на промежутке функция то график функции расположен ниже оси и значение интеграла отрицательно.

Понятно, что числовое значение площади не может быть отрицательным, поэтому при нахождении этого интеграла берется его абсолютное значение.

Площадь функции ограниченной на отрезке состоит из двух частей -площади на отрезке и площади на отрезке

На отрезке интеграл

На отрезке интеграл

Общая площадь:

Пример: Найдите площадь закрашенной части.

Решение: Зная, что на отрезке а на отрезке имеем:

Свойство 5. Если на отрезке функция то справедливо следующее равенство:

Площадь фигуры, ограниченной кривыми

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций и Площадь требуемой фигуры на рисунке можно найти, вычитая из площади площадь Каждую площадь можно вычислить как определенный интеграл на заданном промежутке.

Эти суждения можно обобщить следующим образом. Так как функции и непрерывны на отрезке и на этом отрезке выполняется условие (т. е. график функции расположен выше графика функции то площадь ограниченная графиками функций и прямыми можно выразить следующим выражением:

Графики функций не имеют общих точек.

Пример №114

Найдите площадь, ограниченную графиками функций и и прямыми

Решение:

Графики функций пересекаются в двух точках.

Пример №115

Найдите площадь, ограниченную графиками функций и

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций

Полученные значения являются границами определенного интеграла.

Функции имеют более двух точек пересечения

Пример №116

Найдите площадь, заключенную между графиками функций и

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения графиков.

Значит, графики пересекаются в точках с абсциссами По графикам функций также видно, что площадь, которую мы должны найти, состоит из площади, ограниченной графиками на промежутке и на промежутке На промежутке выполняется условие на промежутке выполняется условие (разность функций учитываются при записи интеграла).

Пример №117

Члены школьного клуба юных конструкторов работают над созданием нового двигателя для автомобиля, который будет меньше засорять окружающую среду. Для нового мотора изменение количества частиц (млрд), загрязняющих атмосферу, в ый год можно выразить следующим образом: Количество загрязняющих частиц, выбрасываемых старым мотором имеет вид:

a) В какой год они будут выбрасывать в атмосферу одинаковое количество частиц?

b) Какова разница между количеством вредных частиц, выброшенных в атмосферу, за этот период?

Решение: а) при удовлетворяющего условию количество вредных частиц будет одинаково.

Значение не соответствует смыслу задачи. На 3-ий год новый мотор будет давать такое же количество вредных частиц, как и старый.

b) Разность количества вредных частиц равна разности площадей на промежутке

(млрд. частиц)

Определенный интеграл и объем фигур вращении

Как известно, площадь является числовой мерой фигур на плоскости. Объем является числовой мерой пространственных тел. Для вычисления объемов ряда пространственных фигур были найдены геометрические формулы.

Например, нам известны формулы для вычисления объемов прямоугольного параллелепипеда пирамиды цилиндра а также шара и конуса

Формулы для нахождения объемов можно доказать как геометрически, гак и при помощи интеграла.

Существуют различные способы нахождения объемов фигур. Один из них - способ расслойки (сложение сечений). С этим способом мы познакомились на примере принципа Кавальери. При помощи этого способа можно найти как объем фигуры, сечения которых не изменяются, как, например, цилиндра, так и объемы фигур с изменяющимися сечениями, например, пирамиды.

Объем фигуры можно найти, найдя сумму объемов каждого слоя. Пусть - площадь сечения, проходящего через точку Значит, если фигура состоит из сечений и высота каждого сечения равна то зная, что площадь основания, объем фигуры можно выразить как сумму объемов расслоек

По определению интеграла объем пространственных фигур можно найти по формуле:

Для нахождения объема фигур при помощи метода расслойки, надо:

• 1. Изобразить соответствующий рисунок и определить форму поперечного сечения (слоя).
• 2. Записать площадь поперечного сечения как функцию от определенной переменной.
• 3. Для данной функции, на заданном отрезке, записать и вычислить определенный интеграл.

Пример №118

Методом расслойки определите формулу объема правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а высота

1) Любое сечение, параллельное основанию данной пирамиды, является квадратом.

2) Обозначим площадь сечения, проходящего на расстоянии от вершины через

Из подобия полученных пирамид получим:

Отсюда:

Объем пирамиды:

Фигуры вращения, поперечным сечением которых является круг, и их объемы.

Фигура на рисунке получена вращением плоскости, ограниченной функцией на отрезке вокруг оси

Рассмотрим другой пример, где нужно найти объем фигуры вращения.

Тело вращения на рисунке получено вращением вокруг оси части плоскости, ограниченной графиком функции на отрезке Объем фигуры можно, приблизительно, найти как сумму объемов бесконечно маленьких цилиндров, если разделить отрезок на одинаковые но длине отрезки Объем каждого маленького цилиндра, полученного вращением фигуры, можно выразить как и поэтому объем тела вращения находится по формуле:

Пример №119

Найдите объем фигуры, полученной вращением плоской части, ограниченной графиком функции на отрезке вокруг оси

Решение: объем искомой фигуры, согласно формуле объемов фигур вращения, находится так:

Пример №120

Найдите объем конуса, радиус которого равен а высота равна

Решение: гак как то

Объем конуса:

Определенный интеграл и его приложения

К понятию определенного интеграла приводят самые разнообразные задачи, такие как определение площади плоской фигуры, отыскание работы переменной силы, отыскание пути по заданной переменной скорости и многие, многие другие задачи.

Понятие определенного интеграла, геометрический и экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция у = f(х) - непрерывна на отрезке Фигура ограниченная графиком функции у = f(x), прямыми

называется криволинейной трапецией (рисунок 1). Найдем площадь этой трапеции.

Выполним следующие действия:

1.    Разобьем отрезок  следующими точками:

на n частичных  отрезков

2.    В каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину

3.    Умножим найденное значение функции на длину соответствующего частичного отрезка:

4.    Составим    сумму    всех    таких    произведений:

Сумма вида (7.1) называется интегральной суммой функции у = f(х) на отрезке где - длина соответствующего частичного отрезка.

Площадь  приблизительно равна площади криволинейной трапеции

5. Найдем предел интегральной суммы (7.1), когда количество отрезков разбиения следовательно, длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю.

Определение. Если существует предел интегральных сумм (7.1), когда количество отрезков разбиения и длина наибольшего из элементарных отрезков стремится к нулю; и если при этом интегральная сумма  имеет предел S который не зависит от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число S называется определенным интегралом.

где:

а и b - числа, соответственно нижний и верхний пределы интегрирования,

f(х) - подынтегральная функцией,

-подынтегральное выражение,

х - переменная интегрирования,

-область (отрезок) интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла (рисунок 7.1).

Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции ограниченной графиком функции у = f(х), прямыми и осью 0х.

 

Теорема существования

Теорема Коши. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке то определенный интеграл существует.

Функция у = f(х), для которой существует определенный интеграл

называется интегрируемой на этом отрезке.

Формула Ньютона - Лейбница

Теорема. Интеграл от дифференциала функции F(x) равен приращению

функции F(x) на промежутке интегрирования

или:

если F(x) есть какая-либо первообразная подынтегральной функции f(х), то

Формула (7.2) называется формулой Ньютона-Лейбница, служит для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл.

т.е. определенный интеграл равен разности значений неопределенного

интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Правило: чтобы вычислить определенный интеграл надо найти неопределенный интеграл  подставить в полученное выражение
вместо х вначале верхний предел, затем нижний, и вычесть вторую величину из первой.

Замечание. Постоянное слагаемое С неопределенного интеграла можно не выписывать, т.к. оно уничтожается при вычитании.
 

Пример 1.
 

Пример 2.

Пример 3. 
 

Напомню свойства определенного интеграла:

1.    При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный

2.    Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

3.    Если функция у = f(х) интегрируема на отрезке то отрезок интегрирования можно разбивать на части:

4.    Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых

5.    Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

где с - постоянная.

6.    «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке то существует точка  такая, что
Геометрический смысл данного свойства: значение определенного интеграла равно, при некотором площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-а.

Число 
называется средним значением функции f(х) на отрезке

7.    Неравенство между непрерывными функциями на отрезке можно интегрировать. Так, если  при то 

8. Оценка определенного интеграла. Если m - наименьшее, а М -наибольшее значения функции  на интервале 

Доказательство: т.к. для любого имеет место неравенство то согласно свойству 7:

Применяя к крайним интегралам свойство 6, получим

Если f(х)- неотрицательная функция, то свойство 8 иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции (Рисунок 7.2) заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть а высоты соответственно равны m и М .

9. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница

Следовательно,

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная подынтегральной функции.

Интегрирование методом замены переменной

где - функция, непрерывная вместе со своей производной, на отрезке - функция, непрерывная на отрезке

Пример №121

Вычислить

Введем новую переменную t

Определим для нее пределы интегрирования 
Подставляя, получим:

Интегрирование по частям определенного интеграла

где - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке

Пример №122

 

Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат

1. Площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (рисунок 7.3), где - уравнение линии, ограничивающей трапецию, равна определенному интегралу:

где пределы интегрирования а и b - абсциссы начала и конца линии.

2. Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (рисунок 7.4) то ее площадь определяется:

3. Площадь фигуры, ограниченной кривыми прямыми можно найти по формуле:

4. Если плоская фигура имеет «сложную форму», то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

5. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически прямыми х = а и х = b и осью Ох, то ее площадь находится по формуле

где находятся из равенств
 

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат

Если линия, ограничивающая фигуру, задана уравнением в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимается криволинейный сектор - фигура, ограниченная линией и двумя лучами

Площадь равна

Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Если кривая у = f(х) на отрезке - гладкая (т.е. производная непрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

2. При параметрическом задании кривой

( непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от  вычисляется по формуле

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением то длина дуги равна

Пример №123

Найти длину дуги кривой

Дифференцируя уравнение кривой, найдем
Таким образом,

Пример №124

Найти длину дуги кривой

Решение. Найдем производные по параметру Следовательно,

 

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х, т. е. в виде то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси 0х плоскостями х = а и х = b, находится по формуле

Вычисление объема тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной знакопостоянной функцией прямыми: у = 0, х = а и х = b, вращается вокруг оси 0х, то в результате образуется «тело вращения» (рисунок 7.5), объем которого можно вычислить. На каждом частичном отрезке выберем произвольную точку и вычислим значение функции в ней, т.е. величину

Если фигура, ограниченная кривыми  и 

и прямыми х = а и х = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

Пример №125

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х фигуры (Рисунок 7.6), ограниченной кривой  и прямой х = 2.

Решение. 

 

Использование понятия определенного интеграла в экономике

Рассмотрим приложения определенного интеграла для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Введем несколько экономических понятий и обозначений.

Спрос на данный товар (D-demand) -сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой Р (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической теории - предложение (S-supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара Р и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене. Отметим, что экономисты сочли удобным изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом (Рисунок 7.7).

Введем еще одно понятие - рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (Рисунок 7.8), -точка равновесия.

В дальнейшем для удобства анализа мы будем рассматривать не зависимость а обратные функции спроса и предложения, характеризующие зависимость  тогда аргумент и значение функции графически будут изображаться привычным для нас образом.

Перейдем к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка.

Для этого изобразим на графике обратную функцию спроса Допустим, что (см. Рисунок 7.9)

 

Если покупатель приобретает товар в количестве по равновесной цене то

очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят что равно площади заштрихованной фигуры А . Но предположим теперь, что товар в количестве продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями  Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка. Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.

Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве (Рисунок 7.10), который продается по цене Так как по предположению величина мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене  при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят  что соответствует площади заштрихованного прямоугольника (Рисунок 7.10).

Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят что соответствует площади прямоугольника

Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Тогда становится ясно, какой должна быть величина для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке

В результате получим, что цена n-й партии товара а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят или площадь прямоугольника

Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями равны

Так как величина очень мала, а функция непрерывна, то заключаем, что  приблизительно равна площади фигуры В (Рисунок 7.11), которая, как известно, при малых приращениях аргумента  равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до  т. е. в итоге получим, что

Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса
показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры В соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку единиц товара. Разность между площадью фигуры В и площадью прямоугольника А есть потребительский излишек при покупке данного товара - превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.12).

Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

Рассмотрим задачи на определение излишка потребителя.

Задача №1. Известно, что спрос на некоторый товар задается

функцией где q - количество товара (в шт.), р - цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при Определите величину потребительского излишка (Рисунок 7.12).

Решение.

Ответ: 2 2/3 (руб.).
 

Задача № 2. Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией  а предложение данного товара характеризуется функцией q = 500р. Найдите величину излишка потребителя при покупке данного товара.

Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия Для этого решим систему уравнений

Таким образом,  

Запишем формулу для вычисления потребительского излишка, где f(q) - функция, обратная функции

Ответ: 1000

Несобственные интегралы

Ранее мы рассматривали интегралы от функций, интегрируемых на конечных отрезках интегрирования, т.е. ограниченных. На практике возникает необходимость обобщения этих понятий на случаи, когда либо один из концов или оба отрезка интегрирования удалены в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования. Такие интегралы называются несобственными.
 

Несобственные интегралы 1-го рода (интегралы с бесконечными пределами интегрирования)

Пусть функция f(х) определена и непрерывна при всех значениях х таких,
что

Определение. Если существует конечный предел

то этот предел называют несобственным интегралом от функции f(х) на интервале и обозначают:

Следовательно, по определению имеем:

Если существует конечный предел в правой части равенства (7.3), то в этом случае говорят, что несобственный интеграл сходится.

Если же указанный предел не существует, то говорят, что интеграл расходится.

При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

• а)    исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
• б)    вычисление значения интеграла, если несобственный интеграл сходится.

Геометрический смысл несобственных интегралов

Если интеграл - определяет площадь области, ограниченной кривой осью абсцисс и ординатами  то несобственный интеграл выражает площадь неограниченной (бесконечной) трапеции, заключенной между линиями и осью абсцисс.

Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:

Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется по формуле

где с - произвольное число.

В случае (7.5) интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Пример:

т.к. предел существует, то интеграл сходится.
 

Пример:

интеграл
расходится.
 

Пример:

интеграл расходится, t.k. при предел не существует.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл

 называемый интегралом Эйлера-Пуассона. Доказано, Другими словами, площадь S под кривой (получившей название кривой Гаусса) на интервале равна 1.

Признаки сходимости несобственных интегралов

Теорема 1 (признак сравнения). Если на промежутке

непрерывные функции удовлетворяют условию  то из сходимости интеграла следует сходимость интеграла 

а из расходимости интеграла следует расходимость интеграла
 

Пример №126

Исследовать на сходимость интеграл
Решение. При имеем Но интеграл сходится, (см. пример 9). Следовательно, интеграл  также сходится, его значение меньше 1.

Теорема 2. Если существует предел

то интегралы одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример №127

Исследовать сходимость интеграла

Решение. Подынтегральная функция положительна в промежутке интегрирования. Для определения сходимости интеграла воспользуемся теоремой 2 и найдем предел отношений функций исходного интеграла и функции сходящегося интеграла  :

т.к. предел существует, то интеграл   сходится. (Числитель дроби преобразован по теореме об эквивалентных бесконечно малых
 

Пример №128

Вычислить несобственный интеграл

Решение. Подынтегральная функция четная, следовательно

т.е. несобственный интеграл сходится.
 

Пример №129

Вычислить несобственный интеграл

Решение.

Интеграл сходится.
 

Несобственные интегралы 2-го рода (интегралы от неограниченных функций)

Пусть функция f(х) определена и непрерывна при а при х=b имеет бесконечный разрыв или не определена . Если существует конечный предел то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают Итак, по определению,

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл  сходится. Если же указанный интеграл не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл расходится.

Геометрически несобственный интеграл второго рода (при разрыве в точке х = b) можно представить как площадь бесконечно высокой криволинейной трапеции.

Аналогично, если функция терпит бесконечный разрыв в точке х = а, то полагают

Если функция терпит разрыв во внутренней точке с отрезка  то несобственный интеграл определяется как

 

Признаки сходимости несобственных интегралов второго рода

1.    Если на промежутке функции  непрерывны

при х = b терпят бесконечный разрыв, то из сходимости  интеграла вытекает сходимость интеграла а если расходится интеграл  то расходится и интеграл 

2.    Если функции на промежутке непрерывны, при

х = b терпят бесконечный разрыв и существует предел   то интегралы одновременно сходятся или одновременно расходятся.

Определение и решение определенного интеграла

Определение 1. Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [a,b]. Разобьем [a,b] на n частичных отрезков точками  и обозначим это разбиение .

Пусть  - длина k – ого частичного отрезка

Число - диаметр разбиения. Выбираем на каждом отрезке 
точку  и составим сумму 
 называется n – й интегральной суммой Римана.
Функция y=f(x) называется интегрируемой по Риману, если
 такого, что Δ<δ и ∀
набора точек  (2)

При этом   называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] и обозначается
Таким образом (3)
Будем считать, что
 

Пример:

Пример:

Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке[a,b], 
[ ] ( ) 0, , f x x a b ≥ ∀ ∈ . Рассмотрим фигуру Φ на плоскости: - криволинейную трапецию:

Рис.1

Пусть S Φ - ее площадь. Из (1) следует, что равна площади ступенчатой фигуры, составленной из прямоугольников с основаниями и высотами

Рис.2. Интегральная сумма 

Тогда
 

Теорема 1. (необходимое условие интегрируемости функции).
Пусть y=f(x) - интегрируема на отрезке [a,b], тогда f(x) - ограничена на [a,b].
 

Доказательство. Предположим, что y=f(x) - неограничена на [a,b]. Пусть
 Из (2) следует, что ∃δ = δ(ε), такое что  (4)  для любой у которой Δ < δ, то есть эти интегральные суммы  - ограничены. Причем неравенство (4) выполнено при любом выборе точек  из соответствующих отрезков. Пусть
- один из таких наборов точек. Так как f (x) - неограничена на [a,b] , то она неограниченна по крайней мере на одном из частичных отрезков.

Пусть,
например, это будет отрезок  Рассмотрим наборы
,  тогда, так как фиксированы, то, начиная с какого-то номера M = m, суммы (1) будут выходить
за пределы промежутка (4). Противоречие.
 

Замечание. Условие теоремы 1 необходимо, но не достаточно для интегрируемости функции.

Пример:

Рассмотрим функцию Дирихле
  на отрезке [a,b] .
Тогда  - иррациональные, и
- рациональные. Поэтому  - не существует и функция D (x) - неинтегрируема.
 

Определение 2. Пусть функция y=f(x) определена на отрезке [ab] и ограничена на этом отрезке. Пусть - разбиение отрезка [ab].
Пусть

называются нижней и верхней суммой Дарбу для функции y=f(x).

Рис.3.Нижняя сумма Дарбу 

Рис.4.Верхняя сумма Дарбу 

Суммы Дарбу являются функциями, определенными на множестве всех
разбиений τ отрезка [ab].

Свойства сумм Дарбу

1. 
2. Если измельчить разбиение  добавляя новые точки, то 
3. Если  - два произвольных разбиения отрезка [a,b ] , то
4. Для того, чтобы ограниченная на отрезке [a,b] функция y=f(x) была интегрируема, необходимо и достаточно, чтобы  (6)и при выполнении (6): - любая последовательность интегральных сумм, у которой Δ → 0.

Рис.5. 

Пример №130

Доказать, что функция интегрируема на отрезке [2,3 ] и найти 
 

Решение. Разобьем отрезок [2, 3] на n равных отрезков точками:

Воспользуемся формулой: Тогда

Пусть  ε > 0, тогда если  то соотношение (6) выполняется,
поэтому y=f(x) интегрируема.

 

Теорема 2. а ) Пусть функция y=f(x) - непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда y=f(x) - интегрируема на этом отрезке.
б) Пусть функция y=f(x) - кусочно-непрерывна на отрезке [a,b] (имеет на отрезке конечное число точек разрыва 1- ого рода). Тогда y=f(x) - интегрируема на этом отрезке. При этом не зависит от значений функции в точках разрыва.
в) Пусть y=f(x) - монотонна на отрезке [a,b], тогда y=f(x) - интегрируема на этом отрезке.

Пример №131

Найти интеграл рассматривая его как предел интегральных сумм.
 

Решение.

Разобьем отрезок [ 1, 3] на n отрезков так, чтобы точки образовывали геометрическую прогрессию:

Вспомним свойства определенного интеграла:

1. 

2. Пусть функции - интегрируемы на тогда  - также интегрируема на и 
Доказательство. По формуле (1):

3. Аддитивность интеграла. Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке и a  (8)
Верно и наоборот.
 

Доказательство. Так как y=f(x) - интегрируема на , то она ограничена на ( теорема 1) и, следовательно, ограничена на отрезке [a c ] и [c b ].
Пусть ε >0 и  разбиение такое , что (см. формулу (6)). В разбиение  можно добавить точку c, если ее там нет, при этом полученное разбиение также будет удовлетворять неравенству (6). Тогда
, поэтому и
ограничение разбиения  будут удовлетворять неравенству (6)
и, следовательно (см. соотношение (6)) , y=f(x) будет интегрируема на [a c] и [c b]. Будем измельчать разбиение  так, чтобы Δ → 0:

4. Пусть y=f(x) - интегрируема на [a b] , и , тогда 
Доказательство.

5. Пусть - интегрируемы на [a b] и удовлетворяют неравенству 
Доказательство. 

6. Пусть y=f(x) - интегрируема на [a b] тогда - также интегрируема на [a b] и 
Доказательство следует из неравенства 

7. Пусть y=f(x) - интегрируема на [a b], 
(9)
Доказательство. ⇒ по свойству 5:

8. Пусть y=f(x) - непрерывна на [a b], тогда ∃ точка c ∈ [a b] такая, что
 (10)
Доказательство. Так как y=f(x) - непрерывна, то она достигает на [a b] своей точной верхней М и нижней m граней (теорема 1 §11). Тогда из формулы (9) следует, что  Так как f (x) - непрерывна, то из т.2 § 11 следует, ∃ c ∈ [a b] такая, что  что и требовалось доказать.
 

Замечание. Число f (c) называется интегральным средним значением функции y=f(x) на отрезке [a b]. Если , то согласно примеру 2  равен площади S Φ фигуры
 

Из формулы (10) следует, что эта площадь равна площади прямоугольника
высотой f (c) с основанием [a b]:

Формула Ньютона –Лейбница

Теорема 1. Пусть функция y=f(x) - непрерывна на отрезке [a b]. Тогда функция
(1)
является первообразной для функции y=f(x) на отрезке [a b], то есть 
 

Доказательство. Пусть

что и требовалось доказать.
 

Замечание. Аналогично можно доказать, что для функции верна формула:
 

Теорема 2. (основная теорема интегрального исчисления).
Пусть функция y=f(x) - непрерывна на отрезке [a b].  Φ(x) - ее первообразная на [a b]. Тогда (2)  формула Ньютона-Лейбница.
 

Доказательство. Рассмотрим функцию По теореме  F (x) - первообразная для f(x). По теореме 1 § 18: , то есть  В частности при то есть: 
 что и требовалось доказать.

Пример №132

Найти площадь фигуры Φ, ограниченной линиями 

Рис.1. График функции 

Если функция y=f(x) - кусочно-непрерывна на [ab], то формула (2) – также верна в случае, когда Φ(x) - непрерывна на [ab].

Пример №133

Функция - первообразная для f (x) при 
И, если  - непрерывна и 
Если же разрывна в точке , и формула (2) не выполняется.
 

Замечание. Если y=f(x) - кусочно-непрерывна на [ab] , то при вычислении
проще разбить отрезок [ab] на отрезки непрерывности y=f(x) и применить формулу (2) на каждом из отрезков, используя свойство аддитивности интеграла.
Например, для y=f(x) из примера 2:

Пример №134

 

Пример №135

Вычислить Подинтегральная функция имеет на промежутке [0; 2] точку разрыва первого рода: .поэтому:

Пример №136

Вычислить 
- первообразная для  на любом отрезке не содержащем точек .
имеет разрыв в точке  и не является первообразной для
f (x) на этом промежутке.

Для вычисления интеграла разобьем отрезок [0; π] на отрезки  и  и доопределим функцию Φ(x) в точке  до непрерывной на первом и втором интервале: 
Тогда

Искомый интеграл можно также вычислить , найдя первообразную F (x) для f (x) на всем промежутке [0; π] :

(см. графики Φ(x) и F (x).

И тогда 

Замена переменной, интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 1. Пусть функция f (x) - непрерывна на промежутке [a b] и функция  - непрерывно-дифференцируема на промежутке [α β], тогда  (1) формула замены переменной.
Доказательство. Пусть y =F(x) - первообразная для f (x) на промежутке [a b], тогда (см. теорему 1 § 19) - первообразная для  на промежутке [α β],что и требовалось доказать.

Пример №137

 

Теорема 2. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) непрерывно-дифференцируемы на промежутке [a b] , тогда  (2) формула интегрирования по частям.
Доказательство. (см. § 6). Поэтому  но  (см. формулу(3) § 18) и теорема доказана.

 

Пример №138