Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Содержание:

Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл

Задача о площади криволинейной трапеции. Пусть на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Наметим общий подход к решению этой задачи. Введем в рассмотрение некоторую ломаную, которая расположена достаточно близко к кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 11.2). Фигура под ломаной состоит из трапеций (прямоугольников), и ее площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения (равная сумме площадей этих трапеций) может быть вычислена с использованием известных формул планиметрии. Поскольку ломаная выбрана достаточно близко к кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения, то справедливо приближенное равенство Определённый интеграл - определение с примерами решения Это равенство оказывается тем более точным, чем ближе расположена ломаная к исходной кривой. Поэтому естественно за искомую площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения взять предел площади Определённый интеграл - определение с примерами решения под ломаной в предположении неограниченного приближения ломаной к заданной кривой.

Приведенные рассуждения носят качественный характер. Для того чтобы их можно было использовать на практике, необходимо уточнить в них то, что описывалось нестрого: процедура выбора ломаной и последующий предельный переход. В результате мы получим, в частности, понятие определенного интеграла.

Понятие интегральной суммы

Пусть на Определённый интеграл - определение с примерами решения задана функция Определённый интеграл - определение с примерами решенияРазобьем отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения элементарных отрезков точками Определённый интеграл - определение с примерами решения На каждом отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решенияразбиения выберем некоторую точку Определённый интеграл - определение с примерами решения положим Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения Сумму вида

Определённый интеграл - определение с примерами решения

будем называть интегральной суммой для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решенияОчевидно, что интегральная сумма (11.1) зависит как от способа разбиения отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решенияточками Определённый интеграл - определение с примерами решения так и от выбора точек Определённый интеграл - определение с примерами решения на каждом из отрезков разбиения Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрический смысл интегральной суммы

Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения неотрицательна на Определённый интеграл - определение с примерами решения. Отдельное слагаемое Определённый интеграл - определение с примерами решения интегральной суммы (11.1) в этом случае равно площади 5, прямоугольника со сторонами Определённый интеграл - определение с примерами решениягде Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.3, где Определённый интеграл - определение с примерами решения и т.д.). Другими словами, Определённый интеграл - определение с примерами решения — это площадь под прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Поэтому вся интегральная сумма (11.1) равна площади Определённый интеграл - определение с примерами решения под ломаной, образованной на каждом из отрезковОпределённый интеграл - определение с примерами решенияпрямой Определённый интеграл - определение с примерами решения, параллельной оси абсцисс (рис. 11.3).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Понятие определенного интеграла

Для избранного разбиения отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения на части обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения, максимальную из длин отрезковОпределённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение. Пусть предел интегральной суммы (11.1) при стремлении Определённый интеграл - определение с примерами решения, к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек Определённый интеграл - определение с примерами решения и точек Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения, обозначается Определённый интеграл - определение с примерами решения.

При этом число Определённый интеграл - определение с примерами решения называется нижним пределом, число Определённый интеграл - определение с примерами решения — его верхним пределом; функция Определённый интеграл - определение с примерами решенияподынтегральной функцией, выражение Определённый интеграл - определение с примерами решенияподынтегральным выражением, а задача о нахождении Определённый интеграл - определение с примерами решенияинтегрированием функции Определённый интеграл - определение с примерами решенияна отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

поскольку смена обозначений такого рода никак не влияет на поведение интегральной суммы (11.1).

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия: в то время как Определённый интеграл - определение с примерами решения представляет семейство функций, Определённый интеграл - определение с примерами решения есть определенное число.

Во введенном определении определенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения предполагается, что Определённый интеграл - определение с примерами решения По определению положим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Принимая во внимание (11.2), для нас отныне будет несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Полагая в (11.2) Определённый интеграл - определение с примерами решения, получаем Определённый интеграл - определение с примерами решения

илиОпределённый интеграл - определение с примерами решения т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Дополнительное подробное объяснение о определённом интеграле

Рассмотрим другой подход к определению площади криволинейной трапеции.

Пусть дана криволинейная трапеция, образованная графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 117). Разобьём отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения точками Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения равных отрезков: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения на втором — прямоугольник высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения — прямоугольник высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения В результате получим ступенчатый многоугольник, составленный из Определённый интеграл - определение с примерами решения прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно Определённый интеграл - определение с примерами решения тогда площадь всего ступенчатого многоугольника

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Суммы такого вида называют интегральными суммами функции Определённый интеграл - определение с примерами решенияПолученную интегральную сумму можно считать приближённым значением площади Определённый интеграл - определение с примерами решения криволинейной трапеции, образованной графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения При этом если Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 118). Пишут: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Не только задача о нахождении площади криволинеиной трапеции, но и много других важных прикладных задач приводят к вычислению пределов подобных интегральных сумм. Поэтому для такого понятия введено специальное название и обозначение.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

 Предел интегральной суммы Определённый интеграл - определение с примерами решения функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения если Определённый интеграл - определение с примерами решенияназывают определённым интегралом функции Определённый интеграл - определение с примерами решения от Определённый интеграл - определение с примерами решения

Его обозначают символом Определённый интеграл - определение с примерами решения (читают: интеграл от Определённый интеграл - определение с примерами решения эф от икс де икс). Здесь числа Определённый интеграл - определение с примерами решения пределы интегрирования,  Определённый интеграл - определение с примерами решениязнак интеграла, Определённый интеграл - определение с примерами решенияподинтегральная функция, Определённый интеграл - определение с примерами решения — переменная интегрирования.

Следовательно, площадь криволинейной трапеции, образованной графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения равна Определённый интеграл - определение с примерами решения т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения Как доказано в предыдущем пункте, эта площадь равна Определённый интеграл - определение с примерами решения — первообразная для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения Поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Это — формула Ньютона—Лейбница, основная формула математического анализа. Она даёт возможность решать много разных интересных и содержательных задач — абстрактных и прикладных, в частности — и очень важных. Решали такие задачи сотни математиков еще задолго до создания математического анализа. Но для каждой задачи раньше они находили отдельный оригинальный способ решения. Найдя и обосновав формулу Ньютона—Лейбница, учёные получили общий и очень эффективный способ решения таких задач. Не случайно открытие формулы Ньютона—Лейбница специалисты считают самым важным открытием XVII века.

Рационализировать вычисления определённых интегралов часто помогает такое их свойство:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Справедливость этой формулы вытекает из следующих преобразований: 

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №1

Найдите площадь фигуры, ограниченной графиками функций Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Построим графики данных функций (рис. 119). Надо найти площадь закрашенной фигуры. Она равна разности площадей фигур Определённый интеграл - определение с примерами решенияГраницы интегрирования — абсциссы точек Определённый интеграл - определение с примерами решения в которых пересекаются графики функций, т. е. значения Определённый интеграл - определение с примерами решения удовлетворяющие системе уравнений Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения Из системы получим уравнение Определённый интеграл - определение с примерами решения корни которого Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, искомая площадь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Ответ. Определённый интеграл - определение с примерами решения Кв. ед.

Пример №2

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Фигура, о которой говорится в задаче, расположена ниже оси Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 120), поэтому не соответствует определению криволинейной трапеции. Однако она симметрична относительно оси Определённый интеграл - определение с примерами решения криволинейной трапеции, образованной графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения Площади этих фигур равны, поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Ответ. Определённый интеграл - определение с примерами решения кв. ед. 

Пример №3

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Данная фигура расположена по разные стороны от оси Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 121, а). Перенесём её параллельно на 4 единицы в направлении оси Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 121, б). Образованная фигура ограничена линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения Её площадь, а следовательно, и площадь данной фигуры

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Ответ. 12 кв. ед.
Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №4

Докажите утверждение Кавальери. Если две фигуры можно разместить на плоскости так, что каждая секущая, параллельная данной прямой, пересекая одну из них, пересекает и другую по отрезку такой же длины, то площади этих фигур равны.

Решение:

Пусть фигуру Определённый интеграл - определение с примерами решения ограничивают линии Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения а фигуру Определённый интеграл - определение с примерами решения — линии Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения (puc. 122). Если каждая секущая Определённый интеграл - определение с примерами решения параллельная оси Определённый интеграл - определение с примерами решения пересекает фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения по отрезкам равной длины, то Определённый интеграл - определение с примерами решения для каждого Определённый интеграл - определение с примерами решенияТогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

т. е. площади фигур Определённый интеграл - определение с примерами решения равны.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

КАВАЛЬЕРИ Бонавентура (1598—1647)

Итальянский математик, преподаватель Болонского университета, автор «Геометрии», в которой изложен метод неделимых. По сути он умел решать задачи, которые теперь решают, вычисляя интегралы Определённый интеграл - определение с примерами решения при натуральных  Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрический смысл определенного интеграла

Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция Определённый интеграл - определение с примерами решениянеотрицательна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, гдеОпределённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения численно равен площади Определённый интеграл - определение с примерами решения под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.1). Действительно, при стремлении Определённый интеграл - определение с примерами решения, к нулю ломаная (см. рис. 11.3) неограниченно приближается к исходной кривой и площадь под ломаной переходит в площадь под кривой.

Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(Первый из интегралов — площадь квадрата со стороной единичной длины; второй — площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий — площадь четверти круга единичного радиуса; предлагаем читателю в качестве упражнения выполнить необходимые чертежи самостоятельно.)

Заметим, что равенство (11.3) согласовано с геометрическим смыслом определенного интеграла: в случае, когда отрезок интегрирования стянут в точку, фигура под кривой стягивается в отрезок, площадь которого равна нулю, поскольку это площадь прямоугольника, одна из сторон которого равна нулю.

Экономический смысл интеграла

Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Найдем объем продукции и, произведенной за промежуток времени Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отметим, что если производительность не изменяется с течением времени Определённый интеграл - определение с примерами решения— постоянная функция), то объем продукции Определённый интеграл - определение с примерами решения произведенной за некоторый промежуток времени Определённый интеграл - определение с примерами решения задается формулой Определённый интеграл - определение с примерами решения В общем случае справедливо приближенное равенство Определённый интеграл - определение с примерами решения гдеОпределённый интеграл - определение с примерами решения которое оказывается тем более точным, чем меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения

Разобьем отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на промежутки времени точками: Определённый интеграл - определение с примерами решения Для величины объема продукции Определённый интеграл - определение с примерами решения, произведенной за промежуток времени Определённый интеграл - определение с примерами решенияимеем Определённый интеграл - определение с примерами решения, гдеОпределённый интеграл - определение с примерами решенияТогда Определённый интеграл - определение с примерами решения

При стремлении Определённый интеграл - определение с примерами решения, к нулю каждое из использованных приближенных равенств становится все более точным, поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Учитывая определение определенного интеграла, окончательно получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.е. если Определённый интеграл - определение с примерами решенияпроизводительность труда в момент Определённый интеграл - определение с примерами решения есть объем выпускаемой продукции за промежуток Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Сравнение данной задачи с задачей о площади криволинейной трапеции (см. выше) показывает, что величина и объема продукции, произведенной за промежуток времени Определённый интеграл - определение с примерами решения, численно равна площади под графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения или Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Достаточное условие существования определенного интеграла (интегрируемости функции)

Теорема. Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на отрезке [Определённый интеграл - определение с примерами решения, то она интегрируема на этом отрезке.

Приведем пример нахождения определенного интеграла на основании определения.

Пример №5

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки Определённый интеграл - определение с примерами решения разбиения имеют одинаковую длину Определённый интеграл - определение с примерами решения , равную Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения— число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков Определённый интеграл - определение с примерами решения разбиения точка Определённый интеграл - определение с примерами решениясовпадает с правым концом этого отрезка, т.е. Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения (В силу интегрируемости функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек , Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы.) Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной. Установление связи между определенным и неопределенным интегралами позволило разработать эффективный метод вычисления определенного интеграла, который будет рассмотрен в § 11.4.

Свойства определенного интеграла

В данном параграфе мы будем предполагать интегрируемость всех рассматриваемых функций на выделенных отрезках интегрирования.

Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределенного.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — некоторое число.

 Пусть фиксированы разбиение отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения и выбор точек Определённый интеграл - определение с примерами решения на каждом из отрезков разбиения. Используя ассоциативный (распределительный) закон умножения чисел, имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Перейдем к пределу в левой и правой части последнего равенства при Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

По определению определенного интеграла первый из пределов равен левой части равенства (11.4), последний — правой. ■

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Нетрудно видеть, что это свойство остается справедливым для любого числа слагаемых.

Доказательство свойства 2 аналогично свойству 1.

Перейдем теперь к свойствам определенного интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределенного интеграла.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рассмотрим геометрический смысл свойства 3. Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения и функция Определённый интеграл - определение с примерами решениянеотрицательна на Определённый интеграл - определение с примерами решения. Согласно геометрическому свойству определенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения(рис. 11.4), Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения — площадь под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения (площадь всей заштрихованной фигуры на рис. 11.4). Тогда при сделанных предположениях равенство (11.6) утверждает наличие следующего (очевидного) соотношения между площадями: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения и функция Определённый интеграл - определение с примерами решения неотрицательна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Применяя равенство (11.2) ко второму интегралу из правой части (11.6), запишем этот интеграл так, чтобы верхний предел был больше нижнего (для остальных интегралов (11.6) верхний предел больше нижнего по предположению):

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда равенство (11.7) утверждает наличие следующего (очевидного) соотношения между площадями криволинейных трапеций (рис. 11.5): Определённый интеграл - определение с примерами решениягде Определённый интеграл - определение с примерами решения— площадь под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

4. Если на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решениято и

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

 Пусть фиксированы разбиение отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения и выбор точек , Определённый интеграл - определение с примерами решенияна каждом из отрезков разбиения. Тогда из неравенства Определённый интеграл - определение с примерами решения вытекает аналогичное неравенство для интегральных сумм:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Переходя к пределу при Определённый интеграл - определение с примерами решения , получим (11.8).Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следствие. Пусть на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения- некоторые числа. Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

По свойству 4 имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Остается заметить, что по свойству 1 и геометрическому смыслу определенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решенияи аналогично Определённый интеграл - определение с примерами решения

5. Теорема о среднем. Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения (где Определённый интеграл - определение с примерами решения), то найдется такое значение Определённый интеграл - определение с примерами решения что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения Определённый интеграл - определение с примерами решения верно, что от Определённый интеграл - определение с примерами решения где от и Определённый интеграл - определение с примерами решения— наименьшее и наибольшее значения функции на Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда, согласно (11.9), имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями. Поэтому, в частности, найдется такое число Определённый интеграл - определение с примерами решения что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

ПустьОпределённый интеграл - определение с примерами решенияТогда теорема о среднем утверждает: найдется такая точка Определённый интеграл - определение с примерами решения из отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения, что площадь под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения равна площади прямоугольника со сторонами Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.6 и геометрический смысл определенного интеграла). Еще одно возможное объяснение геометрического смысла теоремы о среднем см. в § 11.6.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определенный интеграл как функция верхнего предела

Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и нахождение функции от функции (см. гл. 5). В данном параграфе мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.

Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения интегрируема на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения вложенном в Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Положим по определению

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения а функция Определённый интеграл - определение с примерами решения называется интегралом с переменным верхним пределом.

Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда (см. § 11.1) значение функции Определённый интеграл - определение с примерами решения в точке Определённый интеграл - определение с примерами решения равно площади Определённый интеграл - определение с примерами решения под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.7). (В этом состоит геометрический смысл интеграла с переменным верхним пределом.)

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Последнее замечание позволяет, в частности, по-новому посмотреть на некоторые известные функции. Например, (см. § 11.4) Определённый интеграл - определение с примерами решенияпоэтому значение функции Определённый интеграл - определение с примерами решения в точке Определённый интеграл - определение с примерами решения численно равно площади Определённый интеграл - определение с примерами решения под гиперболой Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.8).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рассмотрим теперь свойства функцииОпределённый интеграл - определение с примерами решения (интеграла с переменным верхним пределом, см. (11.11)).

Теорема 1. Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то функция Определённый интеграл - определение с примерами решениятакже непрерывна на Определённый интеграл - определение с примерами решения.

 Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения таково, что Определённый интеграл - определение с примерами решения принадлежит отрезку Определённый интеграл - определение с примерами решения. Согласно (11.1) и (11.6), имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

По теореме о среднем (см. § 11.2) найдется такое значение Определённый интеграл - определение с примерами решения что Определённый интеграл - определение с примерами решения и, следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поскольку точка Определённый интеграл - определение с примерами решения, принадлежит, в частности, отрезку Определённый интеграл - определение с примерами решения, тоОпределённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения - наименьшее и наибольшее значения функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения. (При изменении Определённый интеграл - определение с примерами решения значение Определённый интеграл - определение с примерами решения возможно, меняется, но в любом случае мы имеем дело с ограниченной функцией.)

Переходя в (11.12) к пределу при Определённый интеграл - определение с примерами решения и используя теоремы о пределах, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теперь мы докажем, что производная от интеграла с переменным верхним пределом по верхнему пределу равна подынтегральной функции. Более точно справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решениянепрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда в каждой точке Определённый интеграл - определение с примерами решения отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения производная функции Определённый интеграл - определение с примерами решения по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

 Воспользуемся равенством (11.12) из доказательства теоремы 1. Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения Переходя в (11.14) к пределу при Определённый интеграл - определение с примерами решения и учитывая, что Определённый интеграл - определение с примерами решения (в силу непрерывности функции Определённый интеграл - определение с примерами решения), приходим к (11.13). ■

Рассмотрим геометрический смысл доказательства теоремы 2. ПустьОпределённый интеграл - определение с примерами решения По геометрическому смыслу интеграла с переменным верхним пределом Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения (Рис. 11.9), т.е. приращение функции Ф(х) равно приращению площади под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения при изменении абсциссы от Определённый интеграл - определение с примерами решения По теореме о среднем найдется такое значение Определённый интеграл - определение с примерами решения что площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения криволинейной трапеции будет равна площади Определённый интеграл - определение с примерами решения прямоугольника со сторонами Определённый интеграл - определение с примерами решения В результате Определённый интеграл - определение с примерами решения и приходим к (11.14). При Определённый интеграл - определение с примерами решения отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решениястягивается в точку, и Определённый интеграл - определение с примерами решенияпереходит в Определённый интеграл - определение с примерами решения, а предел левой части (11.14) равен Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следствие. Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то для этой функции существует первообразная на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Действительно, примером первообразной для Определённый интеграл - определение с примерами решения является функция Определённый интеграл - определение с примерами решения, заданная формулой (11.11).

Замечание. Четыре арифметических действия и нахождение функции от функции, примененные к элементарным функциям (конечное число раз), вновь приводят к функциям элементарным. Что же касается интеграла с переменным верхним пределом (11.11), то здесь элементарность функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, вообще говоря, не обеспечивает элементарности функции Определённый интеграл - определение с примерами решения. Например, функции Определённый интеграл - определение с примерами решения,Определённый интеграл - определение с примерами решения(и т.п. функции, связанные с неберущимися интегралами,

см. § 10.9) неэлементарны, так как они являются первообразными для функций Определённый интеграл - определение с примерами решения которые не имеют первообразных в классе элементарных функций.

Формула Ньютона-Лейбница

В этом параграфе, опираясь на свойства интеграла с переменным верхним пределом, мы получим основную формулу интегрального исчисления, традиционно связываемую с именами И. Ньютона и Г.В. Лейбница (см. (11.15)).

Теорема. Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения— любая первообразная для Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда определенный интеграл от функции Определённый интеграл - определение с примерами решенияна Определённый интеграл - определение с примерами решения равен приращению первообразной Определённый интеграл - определение с примерами решения на этом отрезке, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

 Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения — некоторая первообразная для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения. Но по теореме 2 функция Определённый интеграл - определение с примерами решения, заданная формулой (11.11), также является первообразной для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, и по теореме из § 10.1 найдется такое число Определённый интеграл - определение с примерами решения, что Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда для приращения первообразной имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(см. определение (11.11) функции Определённый интеграл - определение с примерами решения). Для завершения доказательства достаточно заметить, что согласно (11.3) Определённый интеграл - определение с примерами решения

Нахождение определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница (11.15) осуществляется в два шага: на первом шаге, используя технику нахождения неопределенного интеграла, находят некоторую первообразную Определённый интеграл - определение с примерами решения для подынтегральной функции Определённый интеграл - определение с примерами решения; на втором применяется собственно формула Ньютона—Лейбница — находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. В связи с этим введем обозначение для приращения первообразной, которое удобно использовать при записи решений. По определению положим

Следует подчеркнуть, что при применении формулы Ньютона—Лейбница можно использовать любую первообразную Определённый интеграл - определение с примерами решения для подынтегральной функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, например, имеющую наиболее простой вид при Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Пример №6

Вычислить: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

а) Произвольная первообразная для функцииОпределённый интеграл - определение с примерами решения имеет вид Определённый интеграл - определение с примерами решения Для нахождения интеграла по формуле Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную, у которой Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. замечание выше). Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

что совпадает, конечно, с результатом, полученным в примере 11.1.

б) Первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (10.9). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем Определённый интеграл - определение с примерами решения При нахождении интеграла из примера 11.2б было использовано свойство приращения первообразной Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения — некоторое число.

Заметим, что введенное ранее определение (11.2) и его следствие (11.3) согласованы с формулой Ньютона-Лейбница. Действительно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения и

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, и при применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Замена переменной и формула интегрирования по частям в определенном интеграле

При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона—Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подынтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

Теорема 1. Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения имеет непрерывную производную на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и функция Определённый интеграл - определение с примерами решениянепрерывна в каждой точке Определённый интеграл - определение с примерами решения вида Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда справедливо следующее равенство

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула (11.18) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

 Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения — некоторые первообразные для функций Определённый интеграл - определение с примерами решения. В гл.10 было доказано, что Определённый интеграл - определение с примерами решения также является первообразной для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда по следствию из теоремы Лагранжа найдется такое число Определённый интеграл - определение с примерами решения, что Определённый интеграл - определение с примерами решения Поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Но по формуле Ньютона—Лейбница Определённый интеграл - определение с примерами решения совпадает с правой частью (11.18), a Определённый интеграл - определение с примерами решения— с левой частью (11.18). 

Подобно тому, как это было в случае неопределенного интеграла, использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному (табличным). При этом в отличие от неопределенного интеграла в данном случае нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования Определённый интеграл - определение с примерами решения по новой переменной Определённый интеграл - определение с примерами решения как решение относительно переменной Определённый интеграл - определение с примерами решения уравнений Определённый интеграл - определение с примерами решения На практике, выполняя замену переменной, часто начинают с того, что указывают выражение Определённый интеграл - определение с примерами решения новой переменной через старую. В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной Определённый интеграл - определение с примерами решения упрощается:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №7

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Положим Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения Если Определённый интеграл - определение с примерами решения то Определённый интеграл - определение с примерами решения и если Определённый интеграл - определение с примерами решения Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 2. Пусть функции Определённый интеграл - определение с примерами решения имеют непрерывные производные на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула (11.19) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Поскольку Определённый интеграл - определение с примерами решения, то функция Определённый интеграл - определение с примерами решения является первообразной для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Тогда по формуле Ньютона—Лейбница и (11.5) получаем:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

что равносильно (11.19), поскольку по определению дифференциала Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №8

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

ПустьОпределённый интеграл - определение с примерами решения Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. гл. 10).

Применяя (11.19), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для нахождения полученного интеграла положим Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения и если Определённый интеграл - определение с примерами решения если Определённый интеграл - определение с примерами решения то Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решенияСледовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрические приложения определенного интеграла

Вычисление площадей плоских фигур. 1. Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения неотрицательна и непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда по геометрическому смыслу определенного интеграла (см. § 11.1) площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения(см. рис. 11.1) численно равна определенному интегралу Определённый интеграл - определение с примерами решения, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №9

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Из чертежа (см. рис. 11.10) видно, что искомая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решениякриволинейного треугольникаОпределённый интеграл - определение с примерами решенияравна разности двух площадей:

Определённый интеграл - определение с примерами решения каждая из которых находится по геометрическому смыслу определенного интеграла. Решая систему Определённый интеграл - определение с примерами решения, получаем, что точка Определённый интеграл - определение с примерами решения пересечения прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения и кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения имеет координаты Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения, Определённый интеграл - определение с примерами решения

Окончательно Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отметим, что данная задача может быть также решена другим способом. Сделаем сначала некоторые замечания общего характера. По определению определенного интеграла

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Это равенство можно понимать так, что при построении интегральной суммы разбиению подвергается отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения оси ординат. Соответственно точки Определённый интеграл - определение с примерами решения-- это ординаты, фиксированные на каждом из отрезков разбиения. Поэтому, если Определённый интеграл - определение с примерами решения то интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения численно равен площади Определённый интеграл - определение с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.11). (Другими словами, в данном случае площадь вычисляется посредством проецирования криволинейной трапеции на ось ординат.) Теперь, возвращаясь к задаче нашего примера, можем записать:

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

2. Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения неположительна и непрерывна на Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.12). Выясним, какая связь в этом случае существует между площадью Определённый интеграл - определение с примерами решения криволинейной трапеции «над кривой» Определённый интеграл - определение с примерами решения наОпределённый интеграл - определение с примерами решения и интегралом Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отражая кривую Определённый интеграл - определение с примерами решения относительно оси абсцисс, получаем кривую с уравнением Определённый интеграл - определение с примерами решения Функция Определённый интеграл - определение с примерами решения уже неотрицательна на Определённый интеграл - определение с примерами решения, а площадь под этой кривой на Определённый интеграл - определение с примерами решения из соображений симметрии равна площади Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.13). Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения неположительна на Определённый интеграл - определение с примерами решения, то площадьОпределённый интеграл - определение с примерами решениянад кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения отличается знаком от определенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №10

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Из рис.11.14 видно, что искомая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения криволинейного треугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения может рассматриваться как площадь над кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Однако указанная кривая (ломаная) не задается одним уравнением. Поэтому для нахождения Определённый интеграл - определение с примерами решения разобьем криволинейный треугольник Определённый интеграл - определение с примерами решения на части, проецируя точку Определённый интеграл - определение с примерами решения излома на ось абсцисс. Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения(см. рис.11.14). Абсциссы точек Определённый интеграл - определение с примерами решения задают пределы интегрирования. (Проверку того, что координаты точек Определённый интеграл - определение с примерами решения равны (0; 0), (1; -1) (2; 0), мы оставляем читателю в качестве упражнения.)

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Окончательно Определённый интеграл - определение с примерами решения

3. Пусть на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения задана непрерывная функция Определённый интеграл - определение с примерами решения общего вида. Предположим также, что исходный отрезок можно разбить точками на конечное число интервалов так, что на каждом из них функция Определённый интеграл - определение с примерами решения будет знакопостоянна или равна нулю. Выясним, какая в данном случае существует связь между определенным интеграломОпределённый интеграл - определение с примерами решения и площадями возникающих криволинейных трапеций. Рассмотрим, например, случай функции, изображенной на рис. 11.15. Площадь заштрихованной фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решеният.е. равна алгебраической сумме соответствующих определенных интегралов:

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сделанные замечания позволяют дать еще одну геометрическую интерпретацию теоремы о среднем (см. § 11.2). Равенство (11.10) можно переписать в виде

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.е. теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка Определённый интеграл - определение с примерами решения что после сдвига исходной кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения вдоль оси ординат на величину Определённый интеграл - определение с примерами решения для полученной кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения площади частей криволинейной трапеции,расположенных выше и ниже оси Определённый интеграл - определение с примерами решения равны (например, на рис. 11.16 Определённый интеграл - определение с примерами решения).

4. Приведем формулу, применение которой часто упрощает решение задач на вычисление площадей плоских фигур.

Теорема. Пусть на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения заданы непрерывные функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, такие, что Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения фигуры, заключенной между кривыми Определённый интеграл - определение с примерами решения, на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решениявычисляется по формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Проиллюстрируем теорему графически. Возможны несколько случаев расположения кривых на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

откуда следует формула (11.21).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

откуда следует (11.21)

Определённый интеграл - определение с примерами решения

откуда следует (11.21).

4. Общий случай (см. рис. 11.17 г) сводится к частным случаям, рассмотренным выше, если разбить отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на отдельные отрезки Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №11

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения, Определённый интеграл - определение с примерами решения(рис. 11.18).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Найдем координаты точек пересечения параболы Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения, решив систему этих уравнений: Определённый интеграл - определение с примерами решения На отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Воспользуемся формулой (11.21), полагаяОпределённый интеграл - определение с примерами решения.

Абсциссы точек Определённый интеграл - определение с примерами решения пересечения наших линий зададут пределы интегрирования:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вычисление объемов тел вращения

Пусть на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения задана непрерывная знакопостоянная функция Определённый интеграл - определение с примерами решения. Необходимо найти объем Определённый интеграл - определение с примерами решения тела, образованного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения, Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 11.19).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для решения задачи применим тот же подход, который был использован выше для нахождения площади криволинейной трапеции. Разобьем отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на элементарные отрезки точками:Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения и на каждом из отрезков разбиения Определённый интеграл - определение с примерами решения некоторым образом выберем точку Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда некоторое приближение для искомого объема даст следующая сумма .

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения слагаемое которой (Определённый интеграл - определение с примерами решения) — это объем цилиндра с высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения и радиусом основания Определённый интеграл - определение с примерами решения (см', рис.11.19). Очевидно, что приближение для, искомого объема Определённый интеграл - определение с примерами решения будет тем лучше, чем меньше длина отрезков разбиения Определённый интеграл - определение с примерами решения поэтому за искомый объем Определённый интеграл - определение с примерами решения естественно взять следующий предел

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — максимальная из длин отрезков разбития. Но выражение, стоящее в правой части (11.23), Не что иное, Как предел интегральной суммы для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, поэтому (см. определение определенного интеграла и формулу (11.4)) окончательно получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №12

Вычислить объем тела, полученного от вращения фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения вокруг оси Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

По формуле (11.24) искомый объем (рис. 11.20).

Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Формально заменяя в формуле (11.24) переменную Определённый интеграл - определение с примерами решения получаем формулу для вычисления объема Определённый интеграл - определение с примерами решения тела, полученного от вращения криволинейной трапеции вокруг оси ординат:

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

(на рис. 11.21 вращаемая криволинейная трапеция заштрихована).

Пример №13

Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат плоской фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Проецируя вращаемую фигуру на ось ординат (рис. 11.22), убеждаемся, что искомый Определённый интеграл - определение с примерами решения равен разности двух объемов: объема Определённый интеграл - определение с примерами решения, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения и объема Определённый интеграл - определение с примерами решения, для которого вращаемая фигура ограничена линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения (С учетом предстоящего применения формулы (11.25) уравнения кривых записаны в виде Определённый интеграл - определение с примерами решения, предполагающем переменную Определённый интеграл - определение с примерами решения независимой.) Применяя (11.25), получаем:

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Окончательно Определённый интеграл - определение с примерами решения

Несобственные интегралы

В предыдущих параграфах мы рассматривали интегралы от функций, интегрируемых (и, следовательно, ограниченных) на конечных отрезках интегрирования. На практике возникает необходимость обобщения этих понятий на случаи, когда либо один из концов (или оба) отрезка интегрирования удален в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения определена и интегрируема на произвольном отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решеният.е. функция Определённый интеграл - определение с примерами решения определена для произвольного Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение: Несобственным интегралом Определённый интеграл - определение с примерами решения от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на полуинтервале Определённый интеграл - определение с примерами решения называется предел функции Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения, стремящемся к Определённый интеграл - определение с примерами решения, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если предел, стоящий в правой части равенства (11.26), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае — расходящимся.

По аналогии с теорией числовых рядов (см. гл. 13) при работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

  • а) исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
  • б) вычисление значения интеграла в случае, если последний сходится.

В некоторых случаях решения этих двух задач удается объединить.

Использование несобственных интегралов позволяет придать смысл такому понятию, как площадь полубесконечной (бесконечной) фигуры (см. примеры ниже).

Пример №14

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

По определению

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона—Лейбница: Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1. Аналогично, используя формулу Ньютона—Лейбница, можно убедиться, что Определённый интеграл - определение с примерами решения является сходящимся к Определённый интеграл - определение с примерами решения если Определённый интеграл - определение с примерами решения, и расходящимся, если Определённый интеграл - определение с примерами решения. Геометрический смысл этого результата состоит в том, что среди всех кривых вида Определённый интеграл - определение с примерами решения гипербола Определённый интеграл - определение с примерами решения является своеобразным «порогом»: те кривые данного вида, которые на Определённый интеграл - определение с примерами решения лежат ниже нее, ограничивают полубесконечную фигуру конечной площади; если же кривая лежит выше или

совпадает с гиперболой Определённый интеграл - определение с примерами решения, то соответствующая фигура имеет бесконечную площадь (см. рис. 11.23).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

По аналогии с (11.26) определяется несобственный интеграл на полуинтервале Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение сходимости интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения аналогично приведенному выше.

Введем понятие несобственного интеграла на интервале Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения Пусть для некоторого числа Определённый интеграл - определение с примерами решения несобственные интегралы

Определённый интеграл - определение с примерами решения сходятся. Тогда положим, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

при этом интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения называется сходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть (11.28), расходится, то несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения называется расходящимся. (Можно доказать, что введенное определение не зависит от выбора числа Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Пример №15

ВычислитьОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Исследуем на сходимость интегралы Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения (В формуле (11.28) мы полагаем Определённый интеграл - определение с примерами решения)

Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но

Определённый интеграл - определение с примерами решения т.е. Определённый интеграл - определение с примерами решения расходится и следовательно, расходится несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения, называемый интегралом Эйлера—Пуассона.

Доказано, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

другими словами, площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения (получившей название кривой Гаусса) на интервале Определённый интеграл - определение с примерами решения равна 1 (рис. 11.24).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Несобственные интегралы от неограниченных функций. Начнем с рассмотрения важного частного случая: пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна, но не ограничена на полуинтервале Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение: Несобственным интегралом Определённый интеграл - определение с примерами решения oт функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на полуинтервале Определённый интеграл - определение с примерами решения называется предел Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если предел, стоящий в правой части равенства (11.30), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывной, но неограниченной на Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №16

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

По определению Определённый интеграл - определение с примерами решения

По формуле Ньютона—Лейбница

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.е. полубесконечная фигура, ограниченная осями координат, кривойОпределённый интеграл - определение с примерами решения и прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения, имеет конечную площадь, равную Определённый интеграл - определение с примерами решения. (см. рис. 11.25).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание. Если функцияОпределённый интеграл - определение с примерами решения не ограничена при Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения, то интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решениятакже называется несобственным. В этом случае интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения

считается сходящимся, если сходятся два несобственных интеграла в правой части равенства. В противном случае Определённый интеграл - определение с примерами решения называется расходящимся. Например, Определённый интеграл - определение с примерами решения является расходящимся, так как расходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства (предлагаем убедиться в этом читателю самостоятельно).

Приближенное вычисление определенных интегралов

Важным средством вычисления определенных интегралов является формула Ньютона—Лейбница. Однако ее применение на практике связано с существенными трудностями, возникающими при нахождении первообразной в случае усложнения подынтегральной функции. Поэтому в приложениях используют так называемые численные методы, позволяющие найти приближенное значение искомого интеграла с требуемой точностью. Этот подход оказывается еще более предпочтительным в связи с возрастающими возможностями современной вычислительной техники, Реализующей алгоритмы с необходимой скоростью.

В данном параграфе мы рассмотрим одну из приближенных формул вычисления определенного интеграла — формулу трапеций.

Пусть на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения задана непрерывная функция Определённый интеграл - определение с примерами решения. Предположим дополнительно, что Определённый интеграл - определение с примерами решения. ТогдаОпределённый интеграл - определение с примерами решения численно равен площади под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Мы получим приближенное значение искомого интеграла, если вместо площади под кривой возьмем площадь под ломаной, расположенной достаточно близко к исходной кривой. Для построения этой ломаной поступим следующим образом: разобьем отрезок интегрирования на Определённый интеграл - определение с примерами решения равных частей длиной Определённый интеграл - определение с примерами решенияи на каждом из отрезков разбиения Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения, заменим участок кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения хордой, стягивающей концевые точки (рис. 11.26).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения — площади трапеций (площади под хордами на каждом из отрезков разбиения), на рис. 11.26 эти трапеции заштрихованы. Но

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вынося множитель Определённый интеграл - определение с примерами решения заметим, что все слагаемые данной суммы, отличные от Определённый интеграл - определение с примерами решения, встречаются в ней дважды. Приводя подобные члены и учитывая, чтоОпределённый интеграл - определение с примерами решения,окончательно получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения Формула (11.32) носит название формулы трапеций. Она получена нами в предположении неотрицательности функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, но можно доказать, что этот результат остается справедливым также и в общем случае.

Рассмотрим теперь вопрос об оценке погрешности от применения формулы трапеций (существенно, что без рассмотрения этого вопроса формула (11.32) будет носить лишь качественный характер).

Обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения выражение, стоящее в правой части формулы (11.32). Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

— абсолютная погрешность от применения формулы трапеций (11.32). Обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения максимальное значение модуля второй производной Определённый интеграл - определение с примерами решенияподынтегральной функции Определённый интеграл - определение с примерами решенияна Определённый интеграл - определение с примерами решения, т.е. Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказано, что абсолютная погрешность Определённый интеграл - определение с примерами решения от применения формулы трапеций

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №17

Вычислить по формуле трапеций при Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения Оценить погрешность.

Решение:

Поскольку число Определённый интеграл - определение с примерами решения отрезков разбиения равно 5, то длина Определённый интеграл - определение с примерами решения отрезков разбиения равна Определённый интеграл - определение с примерами решения и так как Определённый интеграл - определение с примерами решения имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения;Определённый интеграл - определение с примерами решения

Подынтегральная функция Определённый интеграл - определение с примерами решения, поэтому согласно (11.32) получаем Определённый интеграл - определение с примерами решения

Перейдем теперь к оценке погрешности. Определённый интеграл - определение с примерами решения Эта функция монотонно убывает на Определённый интеграл - определение с примерами решения, поэтому достигает своего максимального значения в левой концевой точке этого отрезка (т.е. при Определённый интеграл - определение с примерами решения). Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решенияи согласно (11.33) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Заметим, что по формуле Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и поэтому найденное значение 0,4059 нашего интеграла является также приближением (с указанной точностью) для числа Определённый интеграл - определение с примерами решения. Таким образом, формула трапеций может оказаться также удобным средством вычисления значений некоторых функций.

Определенный интеграла в экономике

Выше мы отмечали экономический смысл определенного интеграла, выражающего объем произведенной продукции при известной функции производительности труда.

Рассмотрим другие примеры использования интеграла в экономике.

Если в функции Кобба—Дугласа (см. гл. 15) считать, что затраты труда есть линейная зависимость от времени, а затраты капитала неизменны, то она примет вид Определённый интеграл - определение с примерами решения . Тогда объем выпускаемой продукции за Определённый интеграл - определение с примерами решения лет составит:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №18

Найти объем продукции, произведенной за 4 года, если функция Кобба—Дугласа имеет вид Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

По формуле (11.34) объем Определённый интеграл - определение с примерами решения произведенной продукции равен

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Используем метод интегрирования по Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Исследуя кривую Лоренца — зависимость процента доходов от процента имеющего их населения (кривую Определённый интеграл - определение с примерами решения, рис. 11.27), мы можем оценить степень неравенства в распределении доходов населения. При равномерном распределении доходов кривая Лоренца вырождается в прямую — биссектрису Определённый интеграл - определение с примерами решения, поэтому площадь фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения между биссектрисой Определённый интеграл - определение с примерами решения и кривой Лоренца, отнесенная к площади треугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения(коэффициент Джини), характеризует степень неравенства в распределении доходов населения.

Пример №19

По данным исследований в распределении доходов в одной из стран кривая Лоренца Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 11.27) может быть описана уравнением Определённый интеграл - определение с примерами решения , где Определённый интеграл - определение с примерами решения — доля населения, Определённый интеграл - определение с примерами решения — доля доходов населения. Вычислить коэффициент Джини.

Решение. Очевидно, коэффициент Джини (см. рис. 11.27) Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому Определённый интеграл - определение с примерами решения

С помощью замены, например, Определённый интеграл - определение с примерами решения можно вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Итак, коэффициент Джини Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Достаточно высокое значение Определённый интеграл - определение с примерами решения показывает существенно неравномерное распределение доходов среди населения в рассматриваемой стране.

Определение начальной суммы по ее конечной величине, полученной через время Определённый интеграл - определение с примерами решения (лет) при годовом проценте (процентной ставке) Определённый интеграл - определение с примерами решения, называется дисконтированием. Задачи такого рода встречаются при ,определении экономической эффективности капитальных вложений.

Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения — конечная сумма, полученная за Определённый интеграл - определение с примерами решения лет, и Определённый интеграл - определение с примерами решения — дисконтируемая (начальная) сумма, которую в финансовом анализе называют' также современной суммой. Если проценты простые, то Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения — удельная процентная ставка. Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения В случае сложных процентов Определённый интеграл - определение с примерами решения и потому Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Пусть поступающий ежегодно доход изменяется во времени и описывается функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения и при удельной норме процента, равной Определённый интеграл - определение с примерами решения процент начисляется непрерывно. Можно показать, что в этом случае дисконтированный доход Определённый интеграл - определение с примерами решения за время Определённый интеграл - определение с примерами решения вычисляется по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №20

Определить дисконтированный доход за три года при процентной ставке 8%, если первоначальные (базовые) капиталовложения составили 10 млн руб. и намечается ежегодно увеличивать капиталовложения на 1 млн руб.

Решение:

Очевидно, что капиталовложения задаются функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда по формуле (11.35) дисконтированная сумма капиталовложений Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя (аналогично примеру 11.14), получим Определённый интеграл - определение с примерами решения млрд руб. Это означает, что для получения одинаковой наращенной суммы через три года ежегодные капиталовложения от 10 до 13 млн руб. равносильны одновременным первоначальным вложениям 30,5 млн руб. при той же, начисляемой непрерывно, процентной ставке.

Пусть известна функция Определённый интеграл - определение с примерами решения, описывающая изменение затрат времени Определённый интеграл - определение с примерами решения на изготовление изделия в зависимости от степени освоения производства, где Определённый интеграл - определение с примерами решения — порядковый номер изделия в партии. Тогда среднее время Определённый интеграл - определение с примерами решения, затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от Определённый интеграл - определение с примерами решения изделий, вычисляется по теореме о среднем (11.10):

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Что касается функции изменения затрат времени на изготовление изделий Определённый интеграл - определение с примерами решения, то часто она имеет вид

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — затраты времени на первое изделие, Определённый интеграл - определение с примерами решения— показатель производственного процесса.

Пример №21

Найти среднее время, затраченное на освоение одного изделия в период освоения отОпределённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения изделий, полагая в формуле (11.37) Определённый интеграл - определение с примерами решения (мин), Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Используя формулу (11.36), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №22

Вычислить: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

а) Воспользуемся заменой переменной: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения Если Определённый интеграл - определение с примерами решения то Определённый интеграл - определение с примерами решения.Выполняя замену, получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отметим, что полагая Определённый интеграл - определение с примерами решенияможно также считать, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

При этом все условия теоремы 1 из § 11.5 выполнены и, поскольку в этом случае Определённый интеграл - определение с примерами решенияполучаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

б) Положим Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения и если Определённый интеграл - определение с примерами решения то Определённый интеграл - определение с примерами решенияи если Определённый интеграл - определение с примерами решения Выполняя замену, получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения в) Полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения, получаем, что Определённый интеграл - определение с примерами решения если (одна из возможностей)Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №23

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой интегрирования по частям (11.19): положим Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №24

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (рис. 11.28).

Решение:

Координаты точек пересечения кривых Определённый интеграл - определение с примерами решения найдем из системы их уравнений: Определённый интеграл - определение с примерами решения Проецируя фигуру на ось абсцисс (см. пример 11.7), видим, что искомая площадь — это площадь фигуры, заключенной между кривыми; при этом на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения Применяя (11.21), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №25

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

Определённый интеграл - определение с примерами решения и расположенной в первой четверти (рис. 11.29)

Решение:

Решая соответствующие системы уравнений, получаем, что точками пересечения заданных линий являются Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 11.29). Проецируя точки Определённый интеграл - определение с примерами решения на ось абсцисс (см. замечание в примере 11.7), видим, что искомая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения равна разности между площадью прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения и суммой площадей двух криволинейных трапецийОпределённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения. Вычислим: Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения Итак,Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №26

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Для нахождения искомой площади (рис. 11.30) используем проецирование фигуры на ось ординат и соответственно интегрирование по переменной Определённый интеграл - определение с примерами решения. Записывая уравнение Определённый интеграл - определение с примерами решения в виде Определённый интеграл - определение с примерами решенияполучаем Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения Мы предлагаем читателю в качестве упражнения самостоятельно найти также данную площадь, используя проецирование на ось абсцисс.

Пример №27

Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Выделим на чертеже вращаемую фигуру (рис. 11.31, криволинейный треугольник ABC). Заметим, что точно такое же тело вращения получится, если вокруг оси абсцисс вращать криволинейный треугольник Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда искомый объем равен разности двух объемов: Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения — объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейного треугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения аналогично Определённый интеграл - определение с примерами решения— объем тела, полученного от вращения треугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения Записывая уравнения ограничивающих линий в виде Определённый интеграл - определение с примерами решения и используя (11.24), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №28

Найти объем тела, полученного от вращения вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Из чертежа (рис. 11.32) видно, что искомый объем Определённый интеграл - определение с примерами решения равен разности двух объемов: Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения — объемы тел, полученных от вращения вокруг оси ординат плоских фигур Определённый интеграл - определение с примерами решения соответственно. Для нахождения указанных объемов используем формулу (11.25). При этом нам потребуются уравнения кривых Определённый интеграл - определение с примерами решения в виде Определённый интеграл - определение с примерами решенияЗаписывая уравнение параболы, заданной по условию в виде Определённый интеграл - определение с примерами решениярешим это квадратное уравнение относительно переменной Определённый интеграл - определение с примерами решения, считая переменную Определённый интеграл - определение с примерами решения параметром: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения— уравнение кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения — уравнение кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения Используя (11.25), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определенные интегралы в высшей математике

Интегральные суммы:

Пусть функция f(x) задана на сегменте [a,b], а<Ь. Обозначим символом T разбиение сегмента [a,b] при помощи некоторых несовпадающих друг с другом точек Определённый интеграл - определение с примерами решения на n частичных сегментов Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения. Точки Определённый интеграл - определение с примерами решения будем называть точками разбиения Т. Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения произвольная точка частичного сегмента а Определённый интеграл - определение с примерами решения - разность Определённый интеграл - определение с примерами решения— которую мы в дальнейшем будем называть длиной частичного сегмента Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение:

ЧислоОпределённый интеграл - определение с примерами решения где: Определённый интеграл - определение с примерами решенияназывается интегральной суммой (или суммой Рима на) функции f(x), соответствующей разбиению Т сегмента [a,b] и данному выбору промежуточных точек Определённый интеграл - определение с примерами решения на частичных сегментах Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрический смысл интегральной суммы - площадь ступенчатой фигуры.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Введем обозначение Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение:

Число I называется пределом интегральных сумм Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения если для любого положительного Определённый интеграл - определение с примерами решения можно указать такое число Определённый интеграл - определение с примерами решения что для любого разбиения Т сегмента [а,b], для которого максимальная длина Определённый интеграл - определение с примерами решения частичных сегментов меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения, независимо от выбора точек Определённый интеграл - определение с примерами решения на сегментах Определённый интеграл - определение с примерами решениявыполняется неравенство Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение:

Функция f(x) называется интегрируемой (по Риману) на сегменте [а,b], если существует конечный предел I интегральных сумм этой функции при Определённый интеграл - определение с примерами решения. Указанный предел I называется определенным интегралом функции но сегменту [а,b] и обозначается следующим образом:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Числа а и b называются, соответственно, верхним и нижним пределом интегрирования, а отрезок [а,b] - интервалом интегрирования.

В случае Определённый интеграл - определение с примерами решения определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, границами которой являются: ось Ох линии х = а и х = Ь, а также график функции у = f(x).

Обозначим через м, и ш. соответственно точную верхнюю и точную нижнюю грани этой функции на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение:

Суммы:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

называют соответственно верхней и нижней суммами Дарбу функции f(x) для данного разбиения Т сегмента [а,b].

Очевидно, что любая интегральная сумма Определённый интеграл - определение с примерами решения данного разбиения T сегмента [а,b] заключена между верхней и нижней суммой S и s этого разбиения.

Свойства верхних и нижних сумм:

  1. Для любого фиксированного разбиения Т и для любого Определённый интеграл - определение с примерами решения промежуточные точки Определённый интеграл - определение с примерами решения на сегментах Определённый интеграл - определение с примерами решенияможно выбрать так, что интегральная сумма Определённый интеграл - определение с примерами решения будет удовлетворять неравенствам Определённый интеграл - определение с примерами решения. Точки Определённый интеграл - определение с примерами решения на сегментах Определённый интеграл - определение с примерами решения можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма Определённый интеграл - определение с примерами решения будет удовлетворять неравенствам Определённый интеграл - определение с примерами решения
  2. Если разбиение Т' сегмента [а,Ь] получено путем добавления новых точек к точкам разбиения Т этого сегмента, то для верхних и нижних сумм этих разбиений выполнены неравенства Определённый интеграл - определение с примерами решения
  3. Пусть Т' и Т" - любые два разбиения сегмента [а,Ь]. Тогда если s', S' и s*, S" - соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т' и T", тоОпределённый интеграл - определение с примерами решения
  4. Множество {S} верхних сумм данной функции f{x) для всевозможных разбиений сегмента ограничено снизу. Множество s нижних сумм ограничено сверху. Обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения точную нижнюю грань множества {S} верхних сумм, а через Определённый интеграл - определение с примерами решения - точную верхнюю грань множества нижних сумм {s} . Определение: Числа Определённый интеграл - определение с примерами решения называются соответственно верхним и нижним интегралами Дарбу от функции f(x).
  5. Пусть разбиение Т' сегмента Определённый интеграл - определение с примерами решенияполучено из разбиения Т добавлением к последнему новых точек, и пусть, если Определённый интеграл - определение с примерами решения ,S' и s,S . соответственно нижние и верхние суммы разбиений Т' и T. Тогда для разностей S-S' и s-s' может быть получена оценка, зависящая от максимальной длины Определённый интеграл - определение с примерами решения частичных сегментов разбиения Т, числа Р добавленных точек и точных верхней и нижней граней М и m функции на сегменте Именно Определённый интеграл - определение с примерами решения
  6. Лемма Дарбу: Верхний и нижний интеграл Дарбу Определённый интеграл - определение с примерами решения -от функции f(x) по сегменту Определённый интеграл - определение с примерами решенияявляются соответственно пределами верхних и нижних сумм при Определённый интеграл - определение с примерами решения и, следовательно, Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Необходимое и достаточное условие интегрируемости

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте [а,b] функция f(x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого Определённый интеграл - определение с примерами решения нашлось такое разбиение Т сегмента [а,b], для которого Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение: Число Определённый интеграл - определение с примерами решения называется колебанием функции f(x) на сегменте

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения. Далее запишем S-s в следующей форме:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема: Для того, чтобы ограниченная на сегменте [а,b] функция f{x) была интегрируемой на этом сегменте, необходимо и достаточно, чтобы для любого Определённый интеграл - определение с примерами решения нашлось такое разбиение Т сегмента [а,b], для которого Определённый интеграл - определение с примерами решения

Другими словами, необходимым и достаточным условием интегрируемости функции на промежутке [а,b) является выполнение условия Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Равномерно непрерывные функции

Определение: Функция f(x) называется равномерно непрерывной на множестве {x}, если для любого числа Определённый интеграл - определение с примерами решения можно указать такое Определённый интеграл - определение с примерами решения, что для любых двух точек х' и х" множества {x}, удовлетворяющих уравнению Определённый интеграл - определение с примерами решениявыполняется неравенствоОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема (теорема Кантора о равномерной непрерывности): Функция f(x), определенная и непрерывная на сегменте [а,b] равномерно непрерывна на этом сегменте.

Следствие: Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [аb]. Тогда для любого числа Определённый интеграл - определение с примерами решения можно указать такое Определённый интеграл - определение с примерами решения, что на каждом принадлежащем сегменту [а,b] частичном сегменте [c,d], длина d-с которого меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения, колебание Определённый интеграл - определение с примерами решения функции f(х) меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Интегрируемость непрерывных, разрывных и монотонных функций

Теорема: Непрерывная на сегменте [а,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Если функция f(x) определена и ограничена на сегменте [а,b], и если для любого числа Определённый интеграл - определение с примерами решения можно указать конечное число интервалов, покрывающих все точки разрыва этой функции и имеющих общую длину меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения, то f(x) интегрируема на сегменте [а,b].

Следствие: Ограниченная на сегменте [а,b] функция f(x), имеющая лишь конечное число точек разрыва первого рода, интегрируема на этом сегменте. В частности, кусочно-непрерывная на данном сегменте функция интегрируема на этом сегменте.

Теорема: Монотонная на сегменте [а,b] функция f(x) интегрируема на этом сегменте.

Основные свойства определенного интеграла

  1. Будем считать, что определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (по определению):Определённый интеграл - определение с примерами решения
  2. Будем считать, что при перемене мест верхнего и нижнего пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  3. Пусть функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [a,b), тогда функции Определённый интеграл - определение с примерами решения также интегрируемы на этом сегменте, причем:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  4. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то функция cf(x) (c =const) интегрируема на этом сегменте, причем:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  5. Если функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], то эта функция интегрируема на любом сегменте [c,d], содержащемся в сегменте [a,b].
  6. Пусть функция f(x) интегрируема на сегментах [а,с] и [с,b]. Тогда эта функция интегрируема на сегменте [a.ft], причем:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Оценки интегралов. Формулы среднего значения

  1. Пусть интегрируемая на сегменте [a, b] функция f(x) неотрицательна на этом сегменте. Тогда:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  2. Если функция f(x) интегрируемая на сегменте [a,b] и Определённый интеграл - определение с примерами решения, то:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  3. Если функция f(x) непрерывна, неотрицательна и не равна тождественно нулю на сегменте [а,b], то:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  4. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на сегменте [а,b] и Определённый интеграл - определение с примерами решения всюду на этом сегменте, то:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  5. Если функция f(x) интегрируемая на сегменте [а,b], то и функция Определённый интеграл - определение с примерами решения также интегрируема на этом сегменте, причем:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  6. Пусть функции f(x) и интегрируемы на сегменте (а.b) и Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда, если M и m - точные грани f(x) на сегменте [а.b), то:Определённый интеграл - определение с примерами решения
  7. Пусть функция f(x) интегрируема на сегменте [a,b], и пусть M и m - точные грани f(x) на сегменте (а,b]. Тогда найдется такое число Определённый интеграл - определение с примерами решения, удовлетворяющее неравенствам Определённый интеграл - определение с примерами решения, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Основные правила интегрирования

Теорема: Любая непрерывная на интервале (а,b) функция f(x) имеет на этом интервале первообразную. Одной из первообразных является функция:

Определённый интеграл - определение с примерами решения, где с - любая фиксированная точка интервала (а,b)

Так как две первообразные данной функции f(x) отличаются на постоянную, то согласно теореме, любая первообразная F(х) непрерывной на сегменте [а,b] функции f(x) имеет вид:

Определённый интеграл - определение с примерами решениягде С - некоторая постоянная.

Полагая в последней формуле сначала х = а, затем х = b; и используя первое свойства определенного интеграла, получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Из этих равенств вытекает соотношение:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

которое называется основной формулой интегрального исчисления или формулой Ньютона - Лейбница.

Пусть выполнены следующие условия:

  1. Функция f(х) непрерывна на отрезке [а,b];
  2. Отрезок [а,b] является множеством значений некоторой функции x = g(t), определенной на отрезкеОпределённый интеграл - определение с примерами решения и имеющей на этом отрезке непрерывную производную;
  3. Определённый интеграл - определение с примерами решения

При этих условиях справедлива формула:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Указанная формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле.

Пусть функции u(x) и v(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b]. Тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям для определенных интегралов:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решениято эту формулу можно записать следующим образом:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Площадь плоской фигуры

Определение: Плоская фигура Q - часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой L, при этом кривая L называется границей фигуры Q.

Определение: Мы будем говорить, что многоугольник вписан в фигуру Q, если каждая точка этого многоугольника принадлежит фигуре о или ее границе.

Определение: Если все точки плоской фигуры и ее границы принадлежат некоторому многоугольнику, то мы будем говорить, что указанный многоугольник описан вокруг фигуры

Замечание: Площадь любого вписанного в фигуру Q многоугольника не больше площади любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника.

Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения - числовое множество площадей вписанных в плоскую фигуру Q многоугольников, а Определённый интеграл - определение с примерами решения - числовое множество площадей описанных вокруг плоской фигуры Q многоугольников. Очевидно, что множество Определённый интеграл - определение с примерами решения ограничено сверху (площадью любого описанного вокруг фигуры Q многоугольника), а множество {S.,} ограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения точную верхнюю грань множества Определённый интеграл - определение с примерами решения, через Определённый интеграл - определение с примерами решения точную нижнюю грань множества Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Числа Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения называются соответственно нижней площадью и верхней площадью фигуры Q

Замечание: Нижняя площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения фигуры Q не больше верхней площади Определённый интеграл - определение с примерами решения т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Определение. Плоская фигура Q называется квадрируемой, если верхняя площадь этой фигуры совпадает с ее нижней площадью. При этом число Q называется площадью фигуры о.

Теорема: Для того чтобы плоская фигура Q была квади-рируемой, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа Определённый интеграл - определение с примерами решения можно было указать такой описанный вокруг фигуры Q многоугольник и такой вписанный в фигуру Q многоугольник, что разность Определённый интеграл - определение с примерами решения площадей которых была бы меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной на сегменте [а,b] непрерывной и неотрицательной функции f(x), ординатами, проведенными в точках а и b, и отрезком оси Ох между точками a и b.

Теорема: Криволинейная трапеция представляет собой квадрируемую фигуру, площадь Р которой может быть вычислена по формуле: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Объемы тел вращения

Пусть Е - некоторое конечное тело. Рассмотрим всевозможные многогранники, вписанные в тело Е, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела Е.

Пусть {V,} - числовое множество объемов вписанных в тело E a Определённый интеграл - определение с примерами решения - числовое множество объемов описанных вокруг Е многогранников. Множество {V,} ограничено сверху (объемом любого описанного многогранника), а множество Определённый интеграл - определение с примерами решенияограничено снизу (например, числом нуль).

Обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения точную верхнюю грань множества {V,}, а через Определённый интеграл - определение с примерами решения точную нижнюю грань множества Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Числа Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения называются соответственно нижним объемом и верхним объемом тела Е.

Замечание: Нижний объем Определённый интеграл - определение с примерами решениятела Е не больше верхнего объема Определённый интеграл - определение с примерами решения этого тела, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Определение: Тело Е называется кубируемым, если верхний объем Определённый интеграл - определение с примерами решения этот тела совпадает с нижним объемом Определённый интеграл - определение с примерами решения. При этом число Определённый интеграл - определение с примерами решения называется объемом тела Е.

Теорема: Для того чтобы тело Е было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа с можно было указать такой описанный вокруг тела Е многогранник и такой вписанные в тело Е многогранник, разность Определённый интеграл - определение с примерами решения объемов которых была бы меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Теорема: Пусть функция у = f(х) непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда тело Е> образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапецииу ограниченной графиком функции f(x), ординатами в точках а и b, и отрезком оси Ох между точками а и b, кубируемо и его объем V может быть найден по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Несобственные интегралы

При рассмотрении задачи интегрирования непрерывных и кусочно-непрерывных функций предполагалось, что эти подынтегральные функции являются ограниченными на отрезке интегрирования [a,b] а сам отрезок является конечным. Постановка задачи интегрирования возможна, когда одно из этих условий или оба они нарушены. В этом случае интегралы называются несобственными, а задача интегрирования формулируется несколько иначе. Рассмотрим оба случая:

  • Подынтегральная функция неограниченна;
  • Промежуток интегрирования бесконечен.

Интегрирование неограниченных функций

Предположим, что функция f(x) определена и непрерывна на промежутке [а,b) и стремится к бесконечности при х—>b. Точку х = b называют особой, если функция f(x) не ограничена в любой окрестности этой точки, но ограничена на любом отрезке, заключенном в промежутке [а,b).

Определение: Пусть функция y = f(x) неограничена на отрезке однако ограничена на любом меньшем отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда, если существует конечный предел Определённый интеграл - определение с примерами решения то его принимают за несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения от неограниченной функции f(x), т.е.: Определённый интеграл - определение с примерами решенияа интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Если особой точкой является точка х = а, то несобственный интеграл определяется аналогично: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если единственной особой точкой является внутренняя точка х = с, принадлежащая интервалу (a,b), то полагают, что:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

при условии, что оба несобственных интеграла справа сходятся. Интегрирование по бесконечному промежутку Определение: Пусть функция у = f(x) интегрируема на каждом отрезке [а,b), т.е. существует определенный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда за несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения принимают предел Определённый интеграл - определение с примерами решения. Если этот предел существуem и конечен, то интеграл называется сходящимся. Если этого предела не существует, или он бесконечен, то интеграл называется расходящимся.

Аналогично можно определить несобственный интеграл с бесконечным нижним пределом: Определённый интеграл - определение с примерами решения

При рассмотрении интеграла с бесконечными верхним и нижним пределами Определённый интеграл - определение с примерами решениявыбирается произвольная промежуточная точка с и используется свойство аддитивности:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если оба справа сходятся, то говорят, что существует и несобственный

интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решенияНетрудно показать, что выбор точки с не влияет на конечный результат.

Следует отмстить важное свойство несобственных интегралов, отличающее их от определенных интегралов.

Известно, что для определенных интегралов справедливо утверждение: если существует Определённый интеграл - определение с примерами решения, то существует и интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

В случае несобственных интегралов имеет место следующее утверждение: из сходимости несобственного интеграла от Определённый интеграл - определение с примерами решения следует сходимость несобственного интеграла от f(x). В этом случае говорят об абсолютной сходимости Определённый интеграл - определение с примерами решения. В то же время, сходимость Определённый интеграл - определение с примерами решения не означает сходимостиОпределённый интеграл - определение с примерами решения. В этом случае Определённый интеграл - определение с примерами решения называется условно сходящимся

Приближенное вычисление определенных интегралов

Задача вычисления определенного интеграла не всегда может быть сведена к первообразной, поэтому разработаны численные методы, которые позволяют найти значение интеграла с достаточно высокой точностью. Суть этих методов - в замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом. При этом возникает альтернативный выбор: осуществить замену подынтегральной функции одним интерполяционным многочленом высокой степени, описывающим изменение функции на всем интервале интегрирования [а,b].

Формула прямоугольников

Вычисление интеграла методом прямоугольников заключается в определении суммы площадей элементарных прямоугольников, на которые делится площадь под кривой при делении интервала интегрирования [а,b] на n участков. При этом точность вычисления будет тем больше, чем больше n, однако при этом требуемое время вычисления также увеличится.

Если за высоту прямоугольника принимается левая ордината участка, то метод вычисления называется методом левых прямоугольников, а если правая - правых.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Метод прямоугольников можно пояснить наглядно. Формула вычисления интеграла методом левых прямоугольников имеют вид:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Аналогично для правых прямоугольников: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Начальные значения х равны:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула трапеций

В методе трапеций выполняется линейное интерполирование функции у = f(x). На каждом интервале разбиения участок кривой у = f(x) заменяется хордой, стягивающей концевые точки, а интеграл функции на участке разбиения - площадью трапеции: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Рассмотрим на плоскости график функции Определённый интеграл - определение с примерами решенияБудем считать, что график функции представляет собой непрерывную кривую, лежащую целиком над осью Определённый интеграл - определение с примерами решеният. е. считаем, что все ординаты этого графика положительны. Определим площадь плоской фигуры, обозначаемую Определённый интеграл - определение с примерами решения и называемую криволинейной трапецией, ограниченную осьюОпределённый интеграл - определение с примерами решения кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения двумя прямымиОпределённый интеграл - определение с примерами решения перпендикулярными к оси абсцисс. Для этого разобьем промежуток Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения частей точками Определённый интеграл - определение с примерами решениятак, что:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рассматриваемая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения разобьется наОпределённый интеграл - определение с примерами решения вертикальных полос, причем Определённый интеграл - определение с примерами решения -ая полоса имеет основание длины, равноеОпределённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 19.1).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

ПоложимОпределённый интеграл - определение с примерами решения Число Определённый интеграл - определение с примерами решения называют диаметром разбиения. Обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решениясоответственно наименьшее и наибольшее значения функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда площадь полоски не меньше площади вписанного прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения и не больше площади описанного прямоугольника

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения(см. рис. 19.1).

Такое неравенство имеет место для каждой полоски. Поэтому вся рассматриваемая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения будет не превосходить суммы площадей больших прямоугольников (описанных прямоугольников) и будет не меньше суммы площадей меньших прямоугольников (вписанных прямоугольников), т. е.:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Суммы Определённый интеграл - определение с примерами решения называются соответственно последовательностями нижних и верхних сумм.

Будем теперь увеличивать до бесконечности число точек разбиения, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решенияи если при этом Определённый интеграл - определение с примерами решения то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

а поскольку

Определённый интеграл - определение с примерами решения

то по теореме о «зажатой последовательности» получим, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Это означает, что предел последовательностей нижних или верхних сумм есть площадь рассматриваемой фигуры. Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 19.1.1. Если функция у = f{x) непрерывна на отрезке , то существует предел последовательности нижних и верхних сумм.

Этот предел называют определенным интегралом. Итак, мы рассмотрели задачу, которая приводит к понятию определенного интеграла.

Сформулируем далее определение определенного интеграла безотносительно к площади криволинейной трапеции.

Определенный интеграл и его существование

Пусть отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения разбит на п частей, т.е. отрезокОпределённый интеграл - определение с примерами решения представляется объединением отрезков Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 19.2). В каждом из этих отрезков возьмем по точке, которые обозначим Определённый интеграл - определение с примерами решения • таких, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В каждой из этих точек вычислим значения функций Определённый интеграл - определение с примерами решения и составим сумму:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

которая называется интегральной суммой для функции f(х) на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так как для произвольного Определённый интеграл - определение с примерами решения выполняются неравенства

Определённый интеграл - определение с примерами решения и так как Определённый интеграл - определение с примерами решения то

Определённый интеграл - определение с примерами решениядля любых Определённый интеграл - определение с примерами решения .Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрический смысл последнего неравенства при Определённый интеграл - определение с примерами решения состоит в том, что фигура, площадь которой равна Определённый интеграл - определение с примерами решения ограничена ломаной, заключенной между "вписанной" и "описанной" ломаной. Ясно, что сумма Определённый интеграл - определение с примерами решения зависит от способа разбиения отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезки Определённый интеграл - определение с примерами решения и от выбора точек Определённый интеграл - определение с примерами решения внутри получающихся отрезков. Рассмотрим различные разбиения отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения на элементарные отрезки и для каждого разбиения составим интегральную сумму:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если при увеличении разбиений Определённый интеграл - определение с примерами решения, то так как Определённый интеграл - определение с примерами решения и эти суммы стремятся к некоторому пределу, то и суммаОпределённый интеграл - определение с примерами решениятакже стремится к этому пределу в силу неравенства (19.2.1) и теоремы о "зажатой последовательности", т.е. справедливо следующее определение.

Определение 19.2.1. Если при любых разбиениях отрезкаОпределённый интеграл - определение с примерами решения таких, что Определённый интеграл - определение с примерами решения и при любом выборе точек на отрезках , Определённый интеграл - определение с примерами решенияинтегральная сумма Определённый интеграл - определение с примерами решения стремится к одному и тому же пределу S. то этот предел называют определенным интегралом от функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначают символом:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Итак, по определению

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Числа а и b называются нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения - отрезком интегрирования.

Определение 19.2.2. Если для функции f(x) предел (19.2.3) существует, то функцию называют интегрируемой на отрезкеОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Так как последовательности нижних и верхних сумм являются частными случаями интегральной суммы Определённый интеграл - определение с примерами решения и если f(x) интегрируема на Определённый интеграл - определение с примерами решения то нижняя и верхняя интегральные суммы стремятся к тому же пределу S:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Из выше сказанного следует, что если построить график подынтегральной функции у =f(х) , то в случае Определённый интеграл - определение с примерами решения, интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения будет численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной указанной кривой у= f(x) , прямыми х = а, х = b и осью Ох (см. рис. 19.3).

Поэтому, если требуется вычислить площадь криволинейной трапеции, то ее вычисляют с помощью интеграла:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сформулируем далее очень важную теорему существования определенного интеграла.

Теорема 19.2.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, ти она интегрируема на этом отрезке.

В теореме 19.2.1 приводятся достаточные условия интегрируемости функций. Монотонная на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения функция, также интегрируема на этом отрезке.

Заметим, что и среди разрывных функций есть интегрируемые функции. Кроме того, определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования, а зависит только от вида функции f(х) и пределов интегрирования а и b. При замене местами пределов интегрирования выполняется равенство:Определённый интеграл - определение с примерами решения так как при введении понятия определенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения мы предполагали, что а Определённый интеграл - определение с примерами решения b. Если же а = b, то полагаем по определению Определённый интеграл - определение с примерами решения для любой функции Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема 19.2.2. Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения интегрируема ни отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то она ограничена на этом отрезке.

В теореме 19.2.2 приводятся необходимые условия интегрируемости функций.

Из определения определенного интеграла следует правило для вычисления любых определенных интегралов, а именно: необходимо составить интегральную сумму и вычислить ее предел. Ясно, что это очень громоздкий путь. Поэтому естественно возникает задача о нахождении практически удобного метода вычисления определенных интегралов. Такой метод был найден Ньютоном и Лейбницем.

Основные свойства определенного интеграла

Рассмотрим основные свойства определенного интеграла, оценку интеграла, теорему о среднем.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. Воспользовавшись определением определенного интеграла, последовательно получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

2. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. В силу определения 19.2.1 и свойства пределов функции, последовательно получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Заметим, что свойства 1 и 2 справедливы не только для а Определённый интеграл - определение с примерами решенияb, но и для bОпределённый интеграл - определение с примерами решения а.

Следствие. Определенный интеграл от линейной комбинации функций равен линейной комбинации интегралов слагаемых:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

3. Если на отрезке [a, b], где а Определённый интеграл - определение с примерами решения b, функцииОпределённый интеграл - определение с примерами решения удовлетворяют условию Определённый интеграл - определение с примерами решения, то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. Согласно свойству 2 разность интегралов равна интегралу разности функций, который в свою очередь равен пределу интегральной суммы:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В силу условий теоремы каждая разность неотрицательна:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, каждое слагаемое суммы неотрицательно, значит, неотрицательна вся сумма и неотрицателен ее предел, т.е. определенный интеграл:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решениячто и требовалось доказать.

Если Определённый интеграл - определение с примерами решения, то неравенство (19.3.1) наглядно иллюстрируется геометрически. Визуально (см. рис. 19.4) легко определить, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

4. Если m и М - наименьшее и наибольшее значения функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решениято справедливо неравенство:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. Из условия теоремы следует, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда, в силу свойства 3, такому же неравенству удовлетворяют и интегралы: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поскольку

Определённый интеграл - определение с примерами решения

то получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если f(x) > 0, то это свойство легко иллюстрируется геометрически: площадь кривой трапеции содержится между площадями прямоугольников Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 19.5).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

5. (теорема о среднем) Если функция f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то на этом отрезке найдется такая точкаОпределённый интеграл - определение с примерами решения, что справедливо равенство:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Эту формулу называют формулой среднего значения.

Доказательство. Пусть для определенности а Определённый интеграл - определение с примерами решения b. Так как f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то она достигает наибольшего М и наименьшего m значений на этом отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда, в силу свойства 4, получим: Определённый интеграл - определение с примерами решенияРазделив члены неравенства на b-а, b-а> 0. преобразуем его к виду: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сравним последнее неравенсгво с неравенством m Определённый интеграл - определение с примерами решения f(x)Определённый интеграл - определение с примерами решенияM. Так как непрерывная функция f(x) принимает все промежуточные значения, то существует такая точка Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения откуда следует, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

6. Если функция f(х) интегрируема на отрезках Определённый интеграл - определение с примерами решения то функция f(x) интегрируема и на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения причем справедливо равенство:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. Предположим сначала, что а Определённый интеграл - определение с примерами решениясОпределённый интеграл - определение с примерами решенияb и составим интегральную сумму для функции f(x) на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения на элементарные отрезки, то мы будем разбивать отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения таким образом, чтобы точка с была одной из точек деления. Далее, представим интегральную сумму в виде двух интегральных сумм, одна из которых соответствует отрезку [а,с], а другая отрезку Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Переходя в последнем равенстве к пределу при Определённый интеграл - определение с примерами решения получаем равенство (19.3.2) в силу определения 19.2.1 и свойства 2.

Пусть теперь aОпределённый интеграл - определение с примерами решенияbОпределённый интеграл - определение с примерами решенияc. Тогда на основании доказанного, можно записать:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

ИЛИ

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поменяем пределы интегрирования во втором интеграле. В результате изменится знак перед интегралом:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Аналогично рассуждая, можно доказать это свойство и при любом другом расположении точек а, b и с .Определённый интеграл - определение с примерами решения

Применение определенного интеграла в экономических исследованиях

В экономике определенный интеграл может быть использован для вычисления разных величин. Покажем это на примерах.

Пример №29

Известно, что производительность труда в течение времени (рабочего дня) изменяется. Предположим, что известна функция ДО, характеризующая изменение производительности труда, где t - отрезок времени, отсчитываемого от начала рабочего дня. a f(t) производительность труда в данный момент. Определим объем продукции, произведенный рабочим за пятый час рабочего ДНЯ.

Решение:

Объем произведенной продукции можно рассматривать как сумму объемов продукции, произведенных на бесконечно малых отрезках Определённый интеграл - определение с примерами решения на которые поделен отрезок [4;5].

Предположим, что па каждом из таких бесконечно малых отрезках Определённый интеграл - определение с примерами решения функция Определённый интеграл - определение с примерами решения не изменяется, где Определённый интеграл - определение с примерами решенияи, следовательно, объем произведенной продукции за время Определённый интеграл - определение с примерами решенияесть произведение производительности трудаОпределённый интеграл - определение с примерами решения и времениОпределённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда, объем продукции, произведенной за пятый час рабочего дня, приближенно равен сумме Определённый интеграл - определение с примерами решения. Присвоенная сумма является интегральной суммой и ее предел равен определенному интегралу:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №30

Пусть планируемый годовой доход D(t) есть функция времени t. Предположим, также, что удельная норма процента равна i (удельная норма процента - это отношение процента к величине денежных средств или процент приносимый 1 рублем) и проценты начисляются непрерывно. Определим дисконтированный объем дохода полученного за Т лет.

Решение:

Для вычисления этой величины, разделим отрезок

Определённый интеграл - определение с примерами решения времени в Т лет на n равных отрезковОпределённый интеграл - определение с примерами решения длиною Определённый интеграл - определение с примерами решения

На весьма малом отрезке времени Att доход можно считать неизменным и, следовательно, равным Определённый интеграл - определение с примерами решения При непрерывном начислении процентов дисконтированный доход на временном отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения определяется произведением:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сумма произведенийОпределённый интеграл - определение с примерами решения

определяющей приближенно годовой доход, является итегральной суммой, а ее предел равен определенному интегралу:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, на отрезке времени [0,T] дисконтированный доход определяется при помощи определенного интеграла: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Эта формула позволяет определить величину начального дохода S, если планируемый ежегодный доход в течении Т должен составить величину равную D(t).

Дисконтирование - это определение начальной суммы на основе ее конечной величины.

Пример №31

Суммарный фонд потребления за плановый период [0;T] также можно определить при помощи определенного интеграла:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где С(t) - функция потребления, характеризующая непроизводственное потребление, непроизводственное накопление, прирост материальных оборотных средств, государственных материальных резервов, потери.

Пример №32

Величину начального вклада Р, если регулярные выплаты по этому вкладу планируются в размере S ежегодно в течение Т лет, можно определить при помощи определенного интеграла:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где r - непрерывная процентная ставка.

Из приведенных примеров следует, что в экономических моделях, где производится непрерывное изменение экономических показателей и определяется суммарное значение этих показателей можно воспользоваться определенным интегралом.

Непрерывность интеграла по верхнему пределу

Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда она интегрируема и на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решеният. е. для любогоОпределённый интеграл - определение с примерами решения имеет смысл интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения, значение которого зависит от х. Следовательно, этот интеграл является функцией верхнего предела интегрирования x::

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Функция F(x), определенная на отрезке [a, b], называется интегралом с переменным верхним пределом. Для нее справедлива следующая теорема.

Теорема 19.5.1. Если функция f(х) интегрируема на отрезке

Определённый интеграл - определение с примерами решения, то функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на этом отрезке.

Доказательство. Выберем точку хе Определённый интеграл - определение с примерами решения и зададим такое приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения , чтобы Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда из (19.5.1) и свойства 6 определенных интегралов следует, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда приращение Определённый интеграл - определение с примерами решенияфункции F(x) можно представить через интеграл:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрически приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения, для случая когда b. на отрезке [а.Ь] - это площадь криволинейной трапеции ABCD (см. рис. 4.1).

Так как функция f(х) интегрируема наОпределённый интеграл - определение с примерами решения то в силу теоремы 19.2.2, она ограничена на этом отрезке, т. е. существует такое

число М> О, чтоОпределённый интеграл - определение с примерами решения , для любых Определённый интеграл - определение с примерами решения. Применяя это неравенство для оценки приращенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения получим Определённый интеграл - определение с примерами решения

откуда следует,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Переходя к пределу в этом неравенстве при Определённый интеграл - определение с примерами решения стремящемся к нулю, будем иметь:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.е. Определённый интеграл - определение с примерами решения, а это означает непрерывность функции F(x) в каждой точке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Дифференцируемость интеграла по верхнему пределу

Пусть определена функцияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема 19.6.1. (теорема Барроу). Производная интеграла с переменным верхним пределом от непрерывной функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной на верхнем пределе:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. Воспользуемся определением производной функции и покажем, что Определённый интеграл - определение с примерами решения для любой точки Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения .Для этого представим приращение Определённый интеграл - определение с примерами решениясилу (19.5.2)) в виде:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Воспользовавшись свойством 5 (функция f(x) непрерывна наОпределённый интеграл - определение с примерами решения получим Определённый интеграл - определение с примерами решения

т. к. на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения функция f(x) непрерывна иОпределённый интеграл - определение с примерами решения.

Поэтому, Определённый интеграл - определение с примерами решения откуда вытекает утверждение теоремы, так как Определённый интеграл - определение с примерами решения - любая точка отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения и при Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следствие 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то на этом отрезке она имеет первообразную.

Действительно, согласно теореме 19.6.1 такой первообразной является, например, функция:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следствие 2. Производная интеграла с переменным нижним пределом от непрерывной функции по переменному нижнему пределу равна подынтегральной функции со знаком минус, вычисленной на нижнем пределе:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Действительно, так как Определённый интеграл - определение с примерами решения, то получаем: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 19.7.1. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения а функция Ф(х) является какой-либо ее первообразной на этом отрезке. Тогда определенный интеграл равен разности значений этой первообразной на верхнем и нижнем пределах интегрирования:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. Так как функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решениято в силу следствия 1 из теоремы 19.6.1, функция

Определённый интеграл - определение с примерами решенияявляется первообразной для функции f(x) на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Следовательно, функция f(х) имеет две первообразные Определённый интеграл - определение с примерами решения. Известно, что две первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину F(x) - Ф(х) = С, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Подставив значение функции F(x), получим равенство:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если в равенстве (19.7.2) положить х = а, то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Откуда находим, Ф(а) = -С, или С = -Ф(а). Подставив значение С в равенство (19.7.2), будем иметь:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пологая, в последней формуле, Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим утверждение теоремы:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для краткости записи часто употребляют обозначение:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так как Ф(х) - первообразная функция, то, воспользовавшись определением неопределенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения, формулу (19.7.1) можно переписать в виде:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Полученная формула устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами от непрерывной функции f(х).

Формулы (19.7.1) и (19.7.3) называют формулами Ньютона-Лейбница.

Пример:

Вычислить интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл, применяя формулу Нью-тона-Лейбница: Определённый интеграл - определение с примерами решения

При вычислении определенных интегралов в примерах 19.7.1 и 19.7.2, мы находили первообразные и рассматривали разности значений этих первообразных на верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Методы вычисления определенного интеграла. Приложения определенного интеграла

Замена переменной под знаком определенного интеграла:

Формула Ньютона-Лейбница позволяет перенести на определенные интегралы от непрерывных функций многие свойства неопределенных интегралов, т. е. справедлива теорема.

Теорема 20.1.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, а функция Определённый интеграл - определение с примерами решения определена и непрерывна вместе со своей производной Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, причем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

тогда справедлива формула:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

называемая формулой замены переменной под знаком определенного интеграла.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что функция f(x) определена на области значений функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, (см. рис. 20.1).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому, имеет смысл сложная функция Определённый интеграл - определение с примерами решения Кроме того, в силу непрерывности функций Определённый интеграл - определение с примерами решения существуют оба интеграла в формуле (20.1.1).

Пусть Ф(х) - какая-либо первообразная функции f(х), тогда имеет смысл сложная функция Определённый интеграл - определение с примерами решения, производная которой, по правилу дифференцирования сложной функции, равна:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решенияпри Определённый интеграл - определение с примерами решения, то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

а это означает, что функция Определённый интеграл - определение с примерами решения является на отрезкеОпределённый интеграл - определение с примерами решенияпервообразной для фушеции Определённый интеграл - определение с примерами решения • Тогда по формуле Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл - определение с примерами решения

или Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения. Из этих равенств и следует формула (20.1.1), которую можно записать в виде:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример:

Вычислить интеграл:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

применяя правило замены переменной.

Решение:

Для того чтобы определить первообразную подынтегральной функции воспользуемся правилом замены переменной под знаком определенного интеграла, положив Определённый интеграл - определение с примерами решения и вычислив новые пределы интегрирования. Затем применим формулу Ньютона-Лейбница. Все вычисления удобно записать между вертикальными линиями:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрирование по частям

Теорема 20.2.1. Если функции Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывные вместе со своими производными на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то справедлива формула интегрирования по частям:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

или

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. По правилу дифференцирования произведения имеем Определённый интеграл - определение с примерами решенияи так как функцииОпределённый интеграл - определение с примерами решенияи их производные непрерывны, то существуют интегралы в равенстве:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

а функция Определённый интеграл - определение с примерами решения является первообразной для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда согласно формуле Ньютона-Лейбница

Определённый интеграл - определение с примерами решения

получим формулу:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

которую удобно записывать в виде:Определённый интеграл - определение с примерами решения

или

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №33

Вычислить интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Применим формулу интегрирования по частям (20.2.1), положив Определённый интеграл - определение с примерами решения Получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема 20.2.1. легко обобщается на функции кусочно-непрерывно дифференцируемые.

Определение 20.2.1. Функция f(x) называется кусочно-непрерывно дифференцируемой на отрезке, если ее производная кусочно-непрерывна на этом отрезке.

Теорема 20.2.2. Пусть функции u(х) и v(x) непрерывны и ку-сочно-непрерывно дифференцируемы на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда для них справедлива формула (24.2.2) интегрирования по частям.

Доказательство этой теоремы опирается на непрерывность функций и определение 20.2.1.

Заметим, что для вычисления определенных интегралов можно применять все способы вычисления неопределенных интегралов, которые рассмотрены на предыдущей лекции, так как справедлива формула (19.7.3).

Приближенное вычисление определенных интегралов

Если первообразная подынтегральной функции не выражается в элементарных функциях и если нахождение первообразной сопряжено с громоздкими выкладками, то определенные интегралы вычисляются приближенно, без использования формулы Ньютона-Лейбница.

Рассмотрим простейшие численные методы вычисления определенных интегралов.

Формула трапеций

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то он равен площади соответствующей криволинейной трапеции, которую можно приближенно заменить суммой площадей вписанных в нее трапеций. Для этого разделим отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на n равных элементарных отрезков:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

длиной Определённый интеграл - определение с примерами решенияТогда Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения Так как площадь каждой вписанной трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту, то:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, мы получим приближенную формулу трапеций:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Погрешность, при вычислении определенных интегралов по формуле трапеций, оценивается по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения - остаточный член приближенной формулы (20.3.1), Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула парабол (Симпсона)

Если отрезокОпределённый интеграл - определение с примерами решенияразделить на четное число Определённый интеграл - определение с примерами решения равных элементарных отрезков, длина каждого из которых равна:Определённый интеграл - определение с примерами решения

то площадь криволинейной трапеции можно приближенно заменить суммой площадей соответствующих параболических трапеций, ограниченных дугой параболы, проходящей через три точки. Так как площадь одной параболической трапеции, ограниченной параболой

Определённый интеграл - определение с примерами решения, осью Ох и прямыми x = -h, х = h, определяется

по формуле:Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения то получим приближенную формулу парабол (Симпсона):

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Погрешность, при использовании формулы Симпсона (20.3.2), можно оценить по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения' где Определённый интеграл - определение с примерами решения - остаточный член формулы (20.3.2), Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если требуется вычислить определенный интеграл с заданной точностью Определённый интеграл - определение с примерами решения, то для обеспечения необходимой точности подбираем число n точек деления отрезка на элементарные отрезки, решая неравенство: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отметим в заключение, что применение численных методов вычисления определенных интегралов удобно осуществлять на персональных компьютерах.

Вычисление площадей плоских фигур

В этом пункте получим формулу для вычисления площади плоской фигуры, под которой будем понимать произвольное ограниченное множество точек плоскости.

Для введения понятия площади плоской фигуры, воспользуемся понятием площади многоугольной фигуры. Под многоугольной фигурой на плоскости будем понимать множество, составленное

конечного числа лежащих на этой плоскости ограниченных многоугольников. При этом площадь многоугольной фигуры является неотрицательным числом, удовлетворяющим трем свойствам:

  • - адитивности: Определённый интеграл - определение с примерами решения
  • - инвариантности:Определённый интеграл - определение с примерами решенияесли Определённый интеграл - определение с примерами решения равны между собой,
  • - монотонности: если Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения - две многоугольные фигуры, а Определённый интеграл - определение с примерами решениясимволическое обозначение площади многоугольной фигуры Р

Рассмотрим всевозможные многоугольные фигуры Р, целиком содержащиеся в плоской фигуре F .(вписанные) и многоугольные фигуры Q, целиком содержащие фигуру F (описанные).

Будем говорить, что плоская фигура F имеет площадь (называется квадрируемой), если числовые множестваОпределённый интеграл - определение с примерами решения площадей всех вписанных (описанных) многоугольных фигур P{Q) ограничены сверху (снизу) и имеют точную верхнюю грань Определённый интеграл - определение с примерами решения, (точную нижнюю грань)

Определённый интеграл - определение с примерами решения которые равны друг другу:

Определённый интеграл - определение с примерами решения. При этом числоОпределённый интеграл - определение с примерами решенияназывается площадью фигуры F.

1. Сначала определим формулу для вычисления площади криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком заданной функции у = f(х), непрерывной и неотрицательной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, перпендикулярными к оси Ох прямыми х = а и х =b, и отрезком оси Ох между точками а и b:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема 20.4.1. Если функция f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то площадь S криволинейной трапеции Определённый интеграл - определение с примерами решениявыражается определенным интегралом:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

2. Пусть теперь функция f(x) непрерывна и неположительная на отрезке Положим, в этом случае, что множество Определённый интеграл - определение с примерами решения и рассмотрим множество Определённый интеграл - определение с примерами решения , симметричное с множеством G относительно оси Ох (см. рис. 20.2).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Ясно, что Определённый интеграл - определение с примерами решения и поэтому можно, вычислив площадь множества Определённый интеграл - определение с примерами решения , получить площадь G. Воспользовавшись формулой (20.4.1), найдем площадь G :

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поскольку функция Определённый интеграл - определение с примерами решениянеотрицательна на Определённый интеграл - определение с примерами решения и так как Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, значение интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения дает значение площади криволинейной трапеции с точностью до знака.

Площадь криволинейной трапеции cCDd (см. рис. 20.3), ограниченной справа графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, снизу- прямой У = с, сверху - прямой у = d , слева осью Оу, вычисляется по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если же функция f(x) меняет знак на отрезке [a.b] в конечном числе точек, то значение интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения дает алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, в которой каждая площадь, расположенная за осью Ох. входит со знаком «-».

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так, сумма заштрихованных на рис. 20.4 площадей равна:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если же криволинейная трапеция ограничена и снизу и сверху кривыми, уравнения которых Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения, то рассматривая ее как разность площадей двух фигур AEFD и ABCD (рис. 20.5, а), получим, что площадь названой трапеции вычисляется по формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Площадь криволинейной трапеции Определённый интеграл - определение с примерами решения(рис. 20.5, б) вычисляется по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Перейдем теперь к рассмотрению площади криволинейного сектора.

Пусть дан сектор АОВ, ограниченный кривой АВ и двумя радиус-векторами АО и ОВ (каждый из которых может свестись и к точке) (см. рис. 20.6). Рис. 20.6

Определённый интеграл - определение с примерами решения

При этом кривая АВ задается полярным уровнемОпределённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения- неотрицательная непрерывная в промежуткеОпределённый интеграл - определение с примерами решения функция. Вычислим площадь сектора АОВ. Для этого разобьем угол АОВ радиус-векторами соответствующим углам

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если ввести наименьшее Определённый интеграл - определение с примерами решения и наибольшее Определённый интеграл - определение с примерами решения из значений функцииОпределённый интеграл - определение с примерами решения для каждого частичного отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решениято, круговые секторы, описанные этими радиусами, будут соответственно входящими и выходящими для фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 20.6). Составим отдельно из входящих секторов и из выходящих две фигуры, площади которых будут вычисляться по формулам:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Ясно, что Определённый интеграл - определение с примерами решения и при стремлении к нулю наибольшей из

разностей Определённый интеграл - определение с примерами решения, обе они имеют пределом интеграл, Определённый интеграл - определение с примерами решения, когорый численно равен площади фигуры АОВ, т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула (20.4.5) применяется для вычисления площадей в полярных координатах.

В более общем случае, плоскую фигуру разбивают на части, площади которых вычисляются по приведенным формулам (20.4.1) - (20.4.4) или определяются непосредственно.

Пример №34

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной параболой Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямой у = х.

Решение:

Построим плоскую фигуру на плоскости (см. рис. 20.7). Нам нужно найти площадь заштрихованной фигуры, которую можно рассматривать как частный случай фигуры BCFE (см. рис.20.5 (а)). Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому применим формулу (20.4.3) в которойОпределённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где 0 и 1 абсциссы точек пересечения кривых Определённый интеграл - определение с примерами решения которые находим, решив систему уравнении:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №35

Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой Определённый интеграл - определение с примерами решения(см. рис. 20.8).

Решение:

Площадь вычислим, применяя формулу (20.4.5), учитывая, что Определённый интеграл - определение с примерами решения:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Объем тел вращения

Введем сначала понятие объема.

Пусть дано тело V произвольной формы, т. е. ограниченная замкнутая область в трехмерном пространстве, и пусть фаницей тела служит замкнутая поверхность. Рассмотрим многогранники {X} объема X, целиком содержащиеся в нашем теле, и многогранники {Y объема Y , содержащие в себе это тело. Существует всегда точная верхняя граница Определённый интеграл - определение с примерами решения для X и точная нижняя граница Определённый интеграл - определение с примерами решения для Y, причем Определённый интеграл - определение с примерами решенияЕсли обе границы Определённый интеграл - определение с примерами решения совпадают, то их общее значение V называют объемом тела (V). В этом случае тело (V) называют кубируемым.

Выведем формулу для вычисления объемов тел вращения. Пусть функция f(х) непрерывна и неотрицательна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Вращая криволинейную трапецию

Определённый интеграл - определение с примерами решения вокруг оси Ох, получим некоторое тело (см. рис. 20.9(a)), объем которого и вычислим. Произведем разбиение отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решенияна n частейОпределённый интеграл - определение с примерами решения тогда тело, ограниченное плоскостями Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 20.9, а), можно считать цилиндром и его объем Определённый интеграл - определение с примерами решения приближенно равен объему цилиндра высотою Определённый интеграл - определение с примерами решения и радиусом Определённый интеграл - определение с примерами решения, и, следовательно, сумма Определённый интеграл - определение с примерами решения приближенно выражает объем тела Определённый интеграл - определение с примерами решения, и предел этой суммы равен объему тела V: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Итак, мы получили формулу для вычисления объема тел вращения:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Проводя аналогичные рассуждения, можно показать, что объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции cCDd (рис. 20.9, б), где CD - дуга кривой Определённый интеграл - определение с примерами решениясОпределённый интеграл - определение с примерами решенияуОпределённый интеграл - определение с примерами решенияd, определяется формулой:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №36

Найти объем V шара радиуса r.

Решение:

Рассматривая этот шар как результат вращения полу-

окружности Определённый интеграл - определение с примерами решениявокруг оси Ох, и применяя

формулу (20.5.1), получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Длина дуги плоской кривой

Пусть задана дуга АВ некоторой кривой у = f(x) (см. рис. 20.10). Впишем в нес ломаную линию, и будем увеличивать число сторон (звеньев) этой ломаной так, чтобы наибольшая из длин сторон стремилась к нулю. Если при этом периметр ломаной будет стремиться к определенному пределу, не зависящему от длины звеньев ломаной, то дуга называется спрямляемой, а указанный предел называется длиной этой дуги.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пусть кривая, на которой выделена дуга АВ, задана уравнением у = f(x), причем точкам А и В соответствуют значения х=а и х = b, а Определённый интеграл - определение с примерами решения b . Если функция f(x) имеет непрерывную производную на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то дуга спрямляема и ее длина выражается определенным интегралом.

Впишем ломанную линию в дугу АВ, вершины которой соответствуют точкам деления отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения на элементарные отрезки: Определённый интеграл - определение с примерами решения, при этом Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения. Воспользовавшись формулой для вычисления длины отрезка, получим формулу для вычисления периметра вписанной ломаной линии:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так как функция f(х) непрерывно дифференцируема на огрез-кс Определённый интеграл - определение с примерами решения, то в силу теоремы Лагранжа: Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения, формула для вычисления периметра ломаной линии принимает вид:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения . Предел периметра вписанной ломаной линии, при условии, что максимальная длина звена ломаной стремится к нулю, имеет предел, равный определенному интегралу:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, длина L, дуги АВ кривой у = f(x) выражается

формулой:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если кривая, на которой выделяется дуга АВ, задана параметрически

Определённый интеграл - определение с примерами решения

причем точкам А и В соответствуют значения Определённый интеграл - определение с примерами решения, то длина L дуги АВ будет выражаться формулой:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если кривая задана в полярных координатах уравнениемОпределённый интеграл - определение с примерами решения, то длина дуги АВ, где точками А и В соответствуют значения Определённый интеграл - определение с примерами решения, вычисляется по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формулы (20.6.1) - (20.6.3) остаются справедливыми и в случае замкнутой кривой.

Пример №37

Вычислить длину дуги полукубической параболы Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 20.11), заключенной между точками (0;0) и Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Функция Определённый интеграл - определение с примерами решения определена и непрерывно дифференцируема, Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поскольку Определённый интеграл - определение с примерами решения , при Определённый интеграл - определение с примерами решения то в силу формулы (20.6.1), получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №38

Вычислить длину дуги астроиды (см. рис. 20.12): Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Поскольку Определённый интеграл - определение с примерами решения, то, воспользовавшись формулой (20.6.2), найдем длину дуги астроиды:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №39

Найти длину дуги кардиоиды Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 20.13), Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Поскольку Определённый интеграл - определение с примерами решенияи

Определённый интеграл - определение с примерами решения то, в силу формулы (20.6.3), получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определенный интеграл в математическом анализе

Отвлекаясь от геометрического смысла предыдущего параграфа, можно изложить его содержание следующим образом.

На отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения задана функция Определённый интеграл - определение с примерами решения. Разбиваем этот отрезок на части точками

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и составляем суммы Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, из которых первая Определённый интеграл - определение с примерами решения строится при помощи наименьших ординат, взятых на каждом из мелких отрезков, a Определённый интеграл - определение с примерами решения—при помощи наибольших ординат. Сумму Определённый интеграл - определение с примерами решения будем называть нижней суммой, а сумму Определённый интеграл - определение с примерами решения — верхней суммой. Составим еще одну сумму:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения—любое число, взятое на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения; такую сумму будем называть интегральной суммой. Таким образом, и нижняя и верхняя суммы являются частными случаями интегральных сумм.

Когда мы будем говорить об «измельчении разбиения», то будем подразумевать под этим следующее: отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения разбиваем точками Определённый интеграл - определение с примерами решения на более мелкие отрезки, при этом длину наибольшего из них будем стремить к нулю. Тогда каждый из полученных отрезков по длине будет стремиться к нулю, а число отрезков будет возрастать.

Определение: Определенным интегралом от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения называется предел интегральных сумм при условии измельчения разбиения. Записывается определенный интеграл так:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения. Условие «при измельчении разбиения» будем всегда подразумевать, не отражая его в записи.

Число Определённый интеграл - определение с примерами решения называется нижним пределом интегрирования, число Определённый интеграл - определение с примерами решения—верхним пределом интегрирования, функция Определённый интеграл - определение с примерами решения — подынтегральной функцией. Запись Определённый интеграл - определение с примерами решения читается так: определенный интеграл от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Можно было бы доказать, что для непрерывной функции, заданной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, пределы верхней, нижней и любой интегральной суммы существуют и равны между собой.

Применяя данное определение к примеру предыдущего параграфа, можем сказать, что площадь криволинейной трапеции, рассмотренной там, равна Определённый интеграл - определение с примерами решения. Таким образом,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

И вообще, площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Определённый интеграл - определение с примерами решения, прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения. кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения, равна Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Вычисление определенного интеграла при помощи первообразной функции

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Определённый интеграл - определение с примерами решения, кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения, прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, параллельными оси Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 82). Если мы будем изменять Определённый интеграл - определение с примерами решения, т. е. двигать правую сторону Определённый интеграл - определение с примерами решения данной трапеции, то площадь будет изменяться. Поэтому можно сказать, что рассматриваемая площадь зависит от положения стороны Определённый интеграл - определение с примерами решения, а это положение определяется числом х, следовательно, площадь есть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Обозначим указанную площадь через Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда пл.Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Было показано, что площадь выражается определенным интегралом, поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Нам известно, что дифференциал площади криволинейной трапеции равен Определённый интеграл - определение с примерами решения. Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Значит, площадь криволинейной трапеции является одной из первообразных от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, ограничивающей эту трапецию. Обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения любую первообразную от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если сделать верхний предел интегрирования равным Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 82), т. е. правую сторону совместить с левой, то площадь станет равной нулю. Это значит, что Определённый интеграл - определение с примерами решения. Находим отсюда, что Определённый интеграл - определение с примерами решения. Подставляя полученное значение Определённый интеграл - определение с примерами решения в равенство Определённый интеграл - определение с примерами решения, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

или

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В частности,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, получается правило вычисления определенного интеграла.

Чтобы вычислить определенный, интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения, нужно:

  1. найти одну из первообразных Определённый интеграл - определение с примерами решения от подынтегральной функцииОпределённый интеграл - определение с примерами решения;
  2. вычислить значение функции Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения;
  3. вычислить значение функции Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения;
  4. из первого результата вычесть второй: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №40

Вычислим интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Пример №41

Определённый интеграл - определение с примерами решения. Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения, то Определённый интеграл - определение с примерами решения. Следовательно, Определённый интеграл - определение с примерами решения; Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поэтому Определённый интеграл - определение с примерами решения. При вычислении определенного интеграла используют знак подстановки Определённый интеграл - определение с примерами решения, именно, если Определённый интеграл - определение с примерами решения есть первообразная от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойства определенного интеграла

Определенный интеграл вычисляется при помощи неопределенного (т. е. при помощи первообразной функции), поэтому свойства неопределенного интеграла, переносятся и на определенный интеграл.

Имеем:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формулы (I)—(III) применяются без особых затруднений, замена же переменного (IV) требует некоторых объяснений, которые будут даны на примерах. Формула (V) выражает свойство определенного интеграла, ясное из его геометрического смысла. В самом деле, интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения есть площадь криволинейной трапеции Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 83), а интегралы Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения выражают площадиОпределённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, отсюда и видна справедливость формулы (V). Эта формула называется формулой разбиения отрезка интегрирования.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Приведем примеры.

Пример №42

Определённый интеграл - определение с примерами решения. Обозначим для краткости этот интеграл через Определённый интеграл - определение с примерами решения. Применяя (II) и используя результат, полученный в пр. 4 из § 2 гл. X, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №43

Определённый интеграл - определение с примерами решения. Делаем ту же замену переменного, и используя полученный там результат, получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Здесь мы переходили от переменного Определённый интеграл - определение с примерами решения к переменному Определённый интеграл - определение с примерами решения (при вычислении первообразной) и затем делали обратный переход от Определённый интеграл - определение с примерами решения к Определённый интеграл - определение с примерами решения. При вычислении мы этого перехода не делаем, так как этот пример был разобран ранее.

Можно сделать вычисления иначе, именно сделав подстановку Определённый интеграл - определение с примерами решения• Пересчитаем пределы интегрирования. Если Определённый интеграл - определение с примерами решения, то в силу Определённый интеграл - определение с примерами решения, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения, откуда Определённый интеграл - определение с примерами решения. Если Определённый интеграл - определение с примерами решения, то в силу Определённый интеграл - определение с примерами решения имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения, откудаОпределённый интеграл - определение с примерами решения. Итак, при изменении Определённый интеграл - определение с примерами решения от 0 до Определённый интеграл - определение с примерами решения переменное Определённый интеграл - определение с примерами решения меняется от 0 до Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Принимая во внимание все сказанное, можем написать

Определённый интеграл - определение с примерами решения

При таком вычислении нами был осуществлен переход от Определённый интеграл - определение с примерами решения к Определённый интеграл - определение с примерами решения, а обратного перехода от Определённый интеграл - определение с примерами решения к Определённый интеграл - определение с примерами решения нам делать не пришлось. В этом и есть преимущество такого порядка вычислений.

В формуле (IV) числа Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения— значения переменного Определённый интеграл - определение с примерами решения, соответствующие значениям Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения переменного Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Пример №44

Вычислим интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

Сделаем замену переменного, положив Определённый интеграл - определение с примерами решения. Отсюда получаем: при Определённый интеграл - определение с примерами решения, а при Определённый интеграл - определение с примерами решения. Дифференцируя Определённый интеграл - определение с примерами решения, имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения и, следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Задачи на применение определенного интеграла

Начнем эту главу с напоминания понятий дифференциала, приращения и бесконечно малых. Для этого рассмотрим пример.

Пример №45

Конус имеетесь, расположенную по оси Определённый интеграл - определение с примерами решения. Его высота , угол при вершине Определённый интеграл - определение с примерами решения, радиус основания Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 84, а).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Очевидно, что объем конуса есть функция независимого переменного Определённый интеграл - определение с примерами решения. Если дадим Определённый интеграл - определение с примерами решения приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения, то объем Определённый интеграл - определение с примерами решения получит приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения, изображенное на рис. 84, Определённый интеграл - определение с примерами решения и отдельно на рис. 84, Определённый интеграл - определение с примерами решения. Построим цилиндр, имеющий высоту Определённый интеграл - определение с примерами решения и радиус основания Определённый интеграл - определение с примерами решения. Этот цилиндр изображен на рис. 84, Определённый интеграл - определение с примерами решения и отдельно на рис. 84, Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Построим еще один цилиндр, имеющий высоту Определённый интеграл - определение с примерами решения, но с радиусом основания, равным Определённый интеграл - определение с примерами решения. Этот цилиндр указан на рис. 84, Определённый интеграл - определение с примерами решения. Объем первого цилиндра назовем Определённый интеграл - определение с примерами решения а второго Определённый интеграл - определение с примерами решения. Из чертежей ясно, что Определённый интеграл - определение с примерами решения, меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения, а Определённый интеграл - определение с примерами решения меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения. Таким образом, объем приращения Определённый интеграл - определение с примерами решения отличается от объема Определённый интеграл - определение с примерами решения меньше чем на объем цилиндрической трубки (рис. 84, Определённый интеграл - определение с примерами решения). Объем цилиндрической трубки Определённый интеграл - определение с примерами решения с точностью до бесконечно малых высшего порядка равен (см. пр. 2 из § 5 гл. IX)

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Применительно к обозначениям рассматриваемого примера, в котором Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения. НоОпределённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 84, Определённый интеграл - определение с примерами решения), значит, Определённый интеграл - определение с примерами решеният. е. объем цилиндрической трубки есть бесконечно малая величина высшего порядка относительно Определённый интеграл - определение с примерами решения. Значит, объем цилиндра Определённый интеграл - определение с примерами решения отличается от приращения Определённый интеграл - определение с примерами решения на величину высшего порядка малости относительно Определённый интеграл - определение с примерами решения. Таким образом, мы показали, что Определённый интеграл - определение с примерами решения, есть дифференциал объема конуса: Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Рассуждениями, аналогичными проведенным, мы будем постоянно пользоваться в этой главе.

Площадь криволинейной трапеции

Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Определённый интеграл - определение с примерами решения, кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения и двумя прямыми: Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 85).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Возьмем произвольное значение Определённый интеграл - определение с примерами решения (только не Определённый интеграл - определение с примерами решения и не Определённый интеграл - определение с примерами решения). Дадим ему приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, осью Определённый интеграл - определение с примерами решения и дугой Определённый интеграл - определение с примерами решения, принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения на криволинейный треугольник Определённый интеграл - определение с примерами решения, а площадь последнего меньше площади прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения со сторонами Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения и площадью, равной Определённый интеграл - определение с примерами решения.

С уменьшением стороны Определённый интеграл - определение с примерами решения сторона Определённый интеграл - определение с примерами решения также уменьшается и одновременно с Определённый интеграл - определение с примерами решения стремится к нулю. Поэтому площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения является бесконечно малой второго порядка. Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения, равная Определённый интеграл - определение с примерами решения, есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное Определённый интеграл - определение с примерами решения меняется от Определённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения, поэтому искомая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения будет равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №46

Вычислим площадь, ограниченную параболой Определённый интеграл - определение с примерами решения, прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и осью Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 86).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Здесь Определённый интеграл - определение с примерами решения, пределы интегрирования Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №47

Вычислим площадь, ограниченную синусоидой Определённый интеграл - определение с примерами решения, осью Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 87).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Применяя формулу (I), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №48

Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды Определённый интеграл - определение с примерами решения, заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Определённый интеграл - определение с примерами решения (например, между началом координат и точкой с абсциссой Определённый интеграл - определение с примерами решения). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Действительно, наше предположение оказалось справедливым.

Пример №49

Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и осью Определённый интеграл - определение с примерами решения на одном периоде (рис. 88).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Предварительные рассуждения позволяют предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Этот результат требует разъяснений.

Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой Определённый интеграл - определение с примерами решения и осью Определённый интеграл - определение с примерами решения в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения. Применяя формулу (I), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V, то получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Определённый интеграл - определение с примерами решения, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной.

В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном при мере будет таким: искомая площадь равна Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Пример №50

Вычислим площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения, указанную на рис. 89.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Эта площадь ограничена осью Определённый интеграл - определение с примерами решения, параболой Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямой Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения. Искомая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения состоит из двух частей: Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения. Так как точка Определённый интеграл - определение с примерами решения является точкой пересечения параболы и прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(нам нужно найти только абсциссу точки Определённый интеграл - определение с примерами решения). Решая систему, находим Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. Определённый интеграл - определение с примерами решения, а затем пл.Определённый интеграл - определение с примерами решения:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, искомая площадь равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №51

Вычислим площадь, ограниченную параболой Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 90).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Искомая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения. Она частично расположена над осью Определённый интеграл - определение с примерами решения, частично—под ней. Поэтому вычисления нельзя провести сразу.

Рассмотрим вместо площади Определённый интеграл - определение с примерами решения две площади: Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения. Каждая из них не является криволинейной трапецией (см. гл. IX, § 4), а при помощи определенного интеграла можно вычислять площади только криволинейных трапеций. Следовательно, надо поступить иначе. Представим площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения так:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теперь все четыре части являются криволинейными трапециями (две из них, Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, просто треугольники). Вычислим площадь каждой из них, для этого нам потребуются точки Определённый интеграл - определение с примерами решения. Получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому пл. Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Объем тела вращения

Рассмотрим поверхность Определённый интеграл - определение с примерами решения, образованную вращением дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения кривойОпределённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 91).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пусть объем Определённый интеграл - определение с примерами решения ограничен поверхностью Определённый интеграл - определение с примерами решения и двумя плоскостями, каждая из которых перпендикулярна оси Определённый интеграл - определение с примерами решения. Одна из них отстоит от начала координат на расстояние Определённый интеграл - определение с примерами решения, вторая — на расстояние Определённый интеграл - определение с примерами решения. Таким образом, внутри объема Определённый интеграл - определение с примерами решения абсцисса меняется от Определённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения. Проведем плоскость, перпендикулярную оси Определённый интеграл - определение с примерами решения и отстоящую от начала координат на расстояние Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения. Объем, отсекаемый этой плоскостью от тела Определённый интеграл - определение с примерами решения, является функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения. Обозначим его Определённый интеграл - определение с примерами решения. Дадим Определённый интеграл - определение с примерами решения приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения получит приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения, указанное на рис. 91 (рекомендуется одновременно рассматривать и рис. 84).

Это приращение заключено между двумя цилиндрами: первый из них имеет высоту Определённый интеграл - определение с примерами решения и радиус основания Определённый интеграл - определение с примерами решения, а второй—ту же высоту и радиус Определённый интеграл - определение с примерами решения. Объем первого Определённый интеграл - определение с примерами решения, второго Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поэтому объем цилиндрической трубки, заключенной между этими цилиндрами, равен Определённый интеграл - определение с примерами решения . Следовательно, приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения отличается от объема меньшего цилиндра не больше чем на Определённый интеграл - определение с примерами решения. Но это есть бесконечно малая высшего порядка относительно Определённый интеграл - определение с примерами решения, так как Определённый интеграл - определение с примерами решения одновременно с Определённый интеграл - определение с примерами решения, поэтому дифференциал объема равен объему меньшего цилиндра Определённый интеграл - определение с примерами решения. Интегрируя, получим искомый объем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №52

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси Определённый интеграл - определение с примерами решения криволинейной трапеции, ограниченной параболой Определённый интеграл - определение с примерами решения, осью Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 92).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Применяя формулу (II), в которой положимОпределённый интеграл - определение с примерами решения, Определённый интеграл - определение с примерами решения, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №53

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси Определённый интеграл - определение с примерами решения фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

В этом случае искомый объем следует разбить на две части. Первая получается вращением фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения, а вторая — фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №54

Вычислим объем, полученный вращением вокруг оси Определённый интеграл - определение с примерами решения фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения. Эта фигура ограничена осьюОпределённый интеграл - определение с примерами решения, дугой синусоидыОпределённый интеграл - определение с примерами решения и дугой косинусоиды Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 93).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Так как точка Определённый интеграл - определение с примерами решения пересечения синусоиды и косинусоиды имеет абсциссу, равную Определённый интеграл - определение с примерами решения, то внутри рассматриваемого объема х меняется от 0 до Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Искомый объем сразу вычислить нельзя. Его получим, вычитая из объема, полученного вращением косинусоиды, объем, полученный вращением синусоиды; поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Объем тела, у которого известны площади поперечных сечений

Рассмотрим тело, расположенное так, как указано на рис. 94. Обозначим объем этого тела через Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Назовем поперечным сечением этого тела фигуру, полученную при пересечении его плоскостью, перпендикулярной оси Определённый интеграл - определение с примерами решения. Обозначим площадь сечения Определённый интеграл - определение с примерами решения. Предположим,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

что площадь каждого поперечного сечения Определённый интеграл - определение с примерами решения известна. При этих условиях определим объем тела. Для этого возьмем два поперечных сечения на расстоянии Определённый интеграл - определение с примерами решения друг от друга. Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет своим основанием левое поперечное сечение, второй — правое; высоты обоих цилиндров одинаковы Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Объем куска тела, расположенного между указанными поперечными сечениями, есть приращение объема Определённый интеграл - определение с примерами решения. Обозначим его Определённый интеграл - определение с примерами решения. Это приращение больше объема первого цилиндра и меньше объема второго. Рассуждая, можем сказать, что дифференциал Определённый интеграл - определение с примерами решения равен объему первого цилиндра, т. е. равен произведению площади основания Определённый интеграл - определение с примерами решения на высоту Определённый интеграл - определение с примерами решения, так что Определённый интеграл - определение с примерами решения. Интегрируя в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №55

Дан цилиндр, высота которого равна Определённый интеграл - определение с примерами решения, а радиус основания Определённый интеграл - определение с примерами решения. ПлоскостьОпределённый интеграл - определение с примерами решения, проведенная через диаметр основания, пересекает этот цилиндр (рис. 95). Определим объем меньшей части, отсекаемой плоскостью, т. е. объем части Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Нарисуем отдельно отрезанный кусок (рис. 95, б). На этом рисунке Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Примем за ось Определённый интеграл - определение с примерами решения прямую, перпендикулярную диаметру и лежащую в плоскости основания цилиндра. Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения. Проведем поперечное сечение Определённый интеграл - определение с примерами решения', это—прямоугольник (рис. 95, в). Его площадь равна Определённый интеграл - определение с примерами решения. Выразим ее через Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Из прямоугольного треугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения найдем Определённый интеграл - определение с примерами решения:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Из подобных треугольников Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения находим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

откуда Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поэтому площадь поперечного сечения Определённый интеграл - определение с примерами решения . Применяя формулу (III), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для вычисления этого интеграла сделаем подстановку

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда получаем Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения. При Определённый интеграл - определение с примерами решения новое переменное Определённый интеграл - определение с примерами решения равно Определённый интеграл - определение с примерами решения, при Определённый интеграл - определение с примерами решения оно равно 0. Сделав замену переменного в Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вычисление давления жидкости

Давление жидкости на погруженную в нее горизонтальную пластинку равно весу столба этой жидкости, имеющего основанием пластинку, а высотой — расстояние пластинки от свободной поверхности жидкости. Обозначим давление буквой Определённый интеграл - определение с примерами решения, удельный вес жидкости Определённый интеграл - определение с примерами решения, площадь пластинки Определённый интеграл - определение с примерами решения, а расстояние от свободной поверхности жидкости до пластинки Определённый интеграл - определение с примерами решения; тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В формулировке этого закона существенно, что пластинка горизонтальна. Поверхность жидкости предполагается также горизонтальной плоскостью. Расстояние между параллельными плоскостями точно определено. Если же пластинка расположена не горизонтально, то надо говорить о расстоянии между двумя непараллельными плоскостями; но что это значит?

Укажем, как решается задача в случае пластинки, расположенной вертикально.

Пример №56

Пусть в жидкость, удельный вес которой равен у, опущена пластинка, имеющая форму круга радиуса Определённый интеграл - определение с примерами решения и расположенная вертикально (рис. 96). Круг касается поверхности жидкости. Определить давление жидкости на эту пластинку (точнее, на одну ее сторону).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Примем за ось Определённый интеграл - определение с примерами решения вертикальную прямую, проходящую через центр пластинки, а за ось Определённый интеграл - определение с примерами решения—горизонтальную прямую, проходящую через эту же точку. (Здесь мы принимаем Определённый интеграл - определение с примерами решения за независимое переменное, а Определённый интеграл - определение с примерами решения—за функцию.) Уравнение контура пластинки запишется в виде

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В силу симметрии будем рассматривать только правую половину пластинки. Вырежем из нее горизонтальную полоску Определённый интеграл - определение с примерами решения ширины Определённый интеграл - определение с примерами решения, нижняя сторона которой отстоит от начала координат на расстояние Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 96, а). Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения. Дополним ее до прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения и вместо полоски Определённый интеграл - определение с примерами решения будем рассматривать этот прямоугольник. Повернем Определённый интеграл - определение с примерами решения вокруг Определённый интеграл - определение с примерами решения, придав ему горизонтальное положение. Теперь можно применить закон, указанный в начале этого параграфа. Возьмем столб жидкости, имеющий основанием прямоугольник Определённый интеграл - определение с примерами решения (в горизонтальном положении), а высотой — расстояние Определённый интеграл - определение с примерами решения до поверхности жидкости. Объем столба равен Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения, а вес Определённый интеграл - определение с примерами решения. Эту величину назовем элементарным давлением и обозначим черезОпределённый интеграл - определение с примерами решения. Итак,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим искомое давление:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пределы интегрирования показывают наименьшее и наибольшее значения у в пределах пластинки. Под знаком интеграла стоят две переменные величины: Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения. Исключим Определённый интеграл - определение с примерами решения, выразив его через Определённый интеграл - определение с примерами решения из уравнения Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Преобразуем интеграл:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Применяя результаты, полученные в пр. 2 и 3 из § 3 гл. X, будем иметь:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому окончательно Определённый интеграл - определение с примерами решения Итак, давление жидкости на половину пластинки (правую) равно Определённый интеграл - определение с примерами решения. Давление на всю пластинку равно Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Вычисление работы силы

Если постоянная сила Определённый интеграл - определение с примерами решения направлена по оси Определённый интеграл - определение с примерами решения и ее точка приложения Определённый интеграл - определение с примерами решения перемещается также вдоль оси Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения, то работа силы на этом участке вычисляется по формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если же сила меняет величину, хотя и остается направленной по оси, то формулу Определённый интеграл - определение с примерами решения уже применить нельзя.

Пример №57

Сила Определённый интеграл - определение с примерами решения направлена по оси Определённый интеграл - определение с примерами решения и ее величина зависит от абсциссы Определённый интеграл - определение с примерами решения точки Определённый интеграл - определение с примерами решения приложения силы, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения. Точка Определённый интеграл - определение с примерами решения перемещается вдоль отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения, расположенного на оси Определённый интеграл - определение с примерами решения. Вычислить работу силы Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

К решению этой задачи нужно применить определенный интеграл, как предел интегральных сумм (см. гл. XI, § 2). Для этого разобьем отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на мелкие части при помощи точек Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения(рис. 97).

Будем считать, что сила Определённый интеграл - определение с примерами решения сохраняет на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то значение, которое она имела в его левом конце, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда работу на отрезкеОпределённый интеграл - определение с примерами решения можно вычислить по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения, она равна Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поступая аналогично на каждом отрезке, получим результаты, сведенные в таблицу:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Складывая работы, вычисленные на отдельных отрезках, получим приближенное значение искомой работы:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Это интегральная сумма. Если начнем измельчать разбиение, то пределом интегральной суммы будет являться интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, работа Определённый интеграл - определение с примерами решения силы Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения выражается определенным интегралом

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Заметим, что все рассуждения проводились в предположении, что сила Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывно меняется с изменением Определённый интеграл - определение с примерами решения и что она зависит только от Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №58

Вычислим работу силы Определённый интеграл - определение с примерами решения, если Определённый интеграл - определение с примерами решения зависит только от Определённый интеграл - определение с примерами решения, причем Определённый интеграл - определение с примерами решения. Работу вычислим на отрезке, имеющем концами точки Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения. Используя формулу (IV), получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №59

Вычислим работу силы на отрезке от 2 до 5, если сила Определённый интеграл - определение с примерами решения определена уравнением Определённый интеграл - определение с примерами решения. Применяя формулу (IV), получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №60

Вычислим работу силы, указанной в предыдущем примере, на отрезке от Определённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения. Применяя формулу (IV), получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание. Работа может быть положительной и отрицательной, а также и равной нулю, как это видно из приведенных примеров. Знак работы зависит от того, совпадают ли по знаку перемещение и направление силы.

Длина дуги

Рассмотрим кривую, заданную уравнением

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и на ней отметим точку Определённый интеграл - определение с примерами решения, абсциссу которой обозначим Определённый интеграл - определение с примерами решения, а ординату Определённый интеграл - определение с примерами решения. В силу уравнения Определённый интеграл - определение с примерами решения. Длину дуги, расположенной на кривой (1), будем отсчитывать от точки Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если дуга идет в сторону возрастания абсциссы Определённый интеграл - определение с примерами решения, то будем считать ее положительной, если в другую сторону, то— отрицательной. На рис. 98, Определённый интеграл - определение с примерами решения дуга Определённый интеграл - определение с примерами решения положительна, дуга Определённый интеграл - определение с примерами решения отрицательна. Условимся считать точку Определённый интеграл - определение с примерами решения неподвижной, а точку Определённый интеграл - определение с примерами решения будем двигать по кривой, тогда для нее Определённый интеграл - определение с примерами решения. Таким образом, длина дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения является функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения; обозначим ее Определённый интеграл - определение с примерами решения. Дадим Определённый интеграл - определение с примерами решения приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда вместо точки Определённый интеграл - определение с примерами решения получим новую точку Определённый интеграл - определение с примерами решения. Координаты этой точки будут Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения. Дуга Определённый интеграл - определение с примерами решенияполучает приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения. Это значит, что функция Определённый интеграл - определение с примерами решения получит приращение: Определённый интеграл - определение с примерами решения Делая ошибку в бесконечно малых высшего порядка, можно считать, что Определённый интеграл - определение с примерами решения и что дуга Определённый интеграл - определение с примерами решения, является почти отрезком прямой (рис. 98, б). Применяя теорему Пифагора, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Выражение Определённый интеграл - определение с примерами решения называется дифференциалом дуги и обозначается Определённый интеграл - определение с примерами решения, так что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Дифференциал дуги можно выразить через производную, а именно:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для того чтобы вычислить длину дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения, где точка Определённый интеграл - определение с примерами решения имеет абсциссу Определённый интеграл - определение с примерами решения, а ординату Определённый интеграл - определение с примерами решения, надо проинтегрировать дифференциал дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения. Интегрируя, получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №61

Вычислим длину дуги окружности, заданной уравнением Определённый интеграл - определение с примерами решения, лежащей в первом координатном угле.

Решение:

Из уравнения окружности Определённый интеграл - определение с примерами решения находим производную Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для вычисления этого интеграла делаем замену переменного интегрирования Определённый интеграл - определение с примерами решения. Отсюда приОпределённый интеграл - определение с примерами решения переменноеОпределённый интеграл - определение с примерами решения, а при Определённый интеграл - определение с примерами решения переменное Определённый интеграл - определение с примерами решения. Дифференцируя, имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

что, конечно, совпадает с известным результатом.

Приближенное вычисление определенных интегралов

Вычисления при помощи интегральных сумм

Очень часто при решении задач физического и технического содержания получаются определенные интегралы, которые нельзя вычислить при помощи первообразных функций (так как первообразные неизвестны) или это вычисление приводится к очень сложным и длительным выкладкам. В этих случаях решают задачи приближенно, заменяя вычисление интеграла вычислением интегральной суммы. Для вычисления интегральной суммы надо уметь только вычислять значения подынтегральной функции, а если они уже известны, то для дальнейших вычислений требуются только арифметические действия.

Приведем пример вычисления интеграла при помощи интегральных сумм.

Пример №62

Вычислим интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

Для этого разобьем промежуток интегрирования на десять частей точками: 0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Вычислим значения подынтегральной функции для этих значений независимого переменного. Эти значения можно найти в «Пятизначных математических таблицах» Сегала и Семендяева или в «Справочнике по высшей математике» Бронштейна и Семендяева. Если же этих таблиц нет, то можно воспользоваться логарифмическими таблицами. Имея таблицы логарифмов, будем поступать следующим образом: сначала прологарифмируем выражение Определённый интеграл - определение с примерами решения и, зная, что Определённый интеграл - определение с примерами решения, найдем логарифмы нужных чисел, а затем и сами числа. Результаты сведены в таблицу:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Воспользуемся формулой (1) из § 1 гл. XI. В нашем случае все разности Определённый интеграл - определение с примерами решения равны 0,1; поэтому, вынося их за скобку, получим внутри скобок сумму всех значений функции. Эта сумма равна 7,77817. Умножим ее на 0,1, получим 0,777817. Таким образом, интеграл приближенно вычислен:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Нами вычислен приближенно определенный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения, но неизвестно, с какой степенью точности проведено это вычисление. Для того чтобы иметь представление о точности получаемого результата, поступают следующим образом: проделывают аналогичные вычисления, только разбивают отрезок интегрирования на большее число частей (обычно это число удваивают). В нашем примере разобьем на двадцать частей. Конечно, при этом получится другой результат, но некоторые цифры сохраняются и в новом результате. По числу сохранившихся цифр и будем судить о точности вычисления. Проделав это, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Конечно, эти вычисления не позволяют найти точность вычисления, но все-таки вселяют некоторую уверенность в нервом десятичном знаке. В следующем параграфе будет изложен другой метод, который при том же объеме работы, вообще говоря, дает более точный результат.

Формула Симпсона

Помимо приближенного вычисления интегралов при помощи интегральных сумм, существуют различные формулы, выражающие приближенно определенный интеграл. Выведем одну из них, так называемую «формулу Симпсона». Для ее вывода решим предварительно две задачи.

Пример №63

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной параболой Определённый интеграл - определение с примерами решения, прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и осью абсцисс.

Решение:

Как было показано раньше, площадь криволинейной трапеции выражается определенным интегралом. В рассматриваемом случае этот интеграл запишется следующим образом:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вычислим интеграл и произведем возможные упрощения:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Итак, искомая площадь выражается формулой

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №64

Написать уравнение параболы, проходящей через точки Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, где числа Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения произвольны, a Определённый интеграл - определение с примерами решения — любое положительное число. Кроме того, вычислить площадь криволинейной трапеции, граниченной этой параболой, осью абсцисс, прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

Уравнение искомой параболы можно записать в виде

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поскольку по условию точка Определённый интеграл - определение с примерами решения должна лежать на параболе, то ее координаты удовлетворяют уравнению (2), т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Также условия того, что точки Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения лежат на параболе, запишутся следующим образом:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В уравнениях (2'), (2"), (2'") неизвестными являются Определённый интеграл - определение с примерами решения, Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения; мы найдем их, решая систему уравнений (2'), (2"), (2”'). Из уравнения (2") находим, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Подставляя найденное значение в уравнения (2') и (2'"), будем иметь:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сложим почленно эти уравнения и найдем Определённый интеграл - определение с примерами решения:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

а затем вычтем из второго первое и найдем Определённый интеграл - определение с примерами решения:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Итак, коэффициенты уравнения (1) определены формулами (3), (4) и (5), т. е. уравнение искомой параболы напишется так:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для вычисления площади применим результат задачи 1, подставив в формулу (1) значения Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения из формул (3) и (4); будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сделаем возможные упрощения:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Искомая площадь выражается формулой

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Эту формулу можно прочесть так: площадь, ограниченная параболой, двумя ординатами Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения и отрезком оси абсцисс, длиной Определённый интеграл - определение с примерами решения, равна одной трети произведения двух множителей. Первый множитель является суммой крайних ординат Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения и учетверенной средней ординаты Определённый интеграл - определение с примерами решения второй множитель равен половине отрезка оси абсцисс, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Пример №65

Вычислить площадь, ограниченную параболой Определённый интеграл - определение с примерами решения, прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения и отрезком оси абсцисс Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Решение:

Найдем крайние ординаты: Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения. Отрезок оси абсцисс равен Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения. Средняя ордината соответствует средней точке отрезка, т. е. абсциссе Определённый интеграл - определение с примерами решения, поэтому средняя ордината Определённый интеграл - определение с примерами решения. Употребляя формулу (6), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Применим полученные результаты к приближенному вычислению определенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения. Этот интеграл можно рассматривать как площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения, прямымиОпределённый интеграл - определение с примерами решения, Определённый интеграл - определение с примерами решения и осью абсцисс. Поэтому приближенное вычисление интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения равносильно приближенному вычислению площади указанной трапеции.

Обозначим площадь трапеции через Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Разобьем отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения равных частей; длина каждой части будет равна Определённый интеграл - определение с примерами решения. Эти мелкие части (отрезки) имеют концы в точках с абсциссами Определённый интеграл - определение с примерами решения, Определённый интеграл - определение с примерами решения, Определённый интеграл - определение с примерами решения. Через эти точки проведем ординаты точек кривойОпределённый интеграл - определение с примерами решения и обозначим их Определённый интеграл - определение с примерами решения а их концы—буквами Определённый интеграл - определение с примерами решения. Точки Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения разобьем на тройки:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Через точки, принадлежащие одной тройке, проведем дугу параболы, получим: первая дуга Определённый интеграл - определение с примерами решения, вторая дуга Определённый интеграл - определение с примерами решения, .... последняя дуга Определённый интеграл - определение с примерами решения. Рассмотрим, наконец, «двойные полоски». Первая из них ограничена дугой параболы , ординатами Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения и отрезком Определённый интеграл - определение с примерами решения оси абсцисс; вторая ограничена дугой Определённый интеграл - определение с примерами решения, ординатами Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения и отрезком оси абсцисс Определённый интеграл - определение с примерами решения, ..., последняя двойная полоска ограничена дугой Определённый интеграл - определение с примерами решения, ординатами Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения и отрезком Определённый интеграл - определение с примерами решения оси абсцисс.

Обозначим двойные полоски Определённый интеграл - определение с примерами решения. При мелком разбиении, т. е. при маленьких Определённый интеграл - определение с примерами решения, сумма площадей двойных полосок Определённый интеграл - определение с примерами решения будет достаточно мало отличаться от площади Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Площади двойных полосок можно вычислять по формуле (6). Получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, сумма площадей всех двойных полосок выражается так:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

или

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Объединим все у с нечетными номерами и все Определённый интеграл - определение с примерами решения с четными номерами, кроме Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения. Заметим при этом, что, кроме Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения каждый Определённый интеграл - определение с примерами решения с четным номером встречается два раза.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

При малом Определённый интеграл - определение с примерами решения приближенно имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения. Поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

или, поскольку Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Эта формула называется формулой Симпсона.

Пример №66

Вычислим вновь интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения, который был приближенно вычислен.

Решение:

Разобьем промежуток интегрирования на двадцать частей. Напоминаем, что для метода Симпсона требуется обязательно четное число частей. Выпишем значения подынтегральной функции, располагая их определенным образом в таблице:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, при помощи формулы Симпсона получено приближенное значение

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В этом результате первые три десятичных знака верны (это можно установить, сравнивая полученное число с числом, полученным путем деления на все большее число промежутков, или оценивая ошибку, что хотя трудно, но возможно).

Если сравнивать с результатом, полученным в § 1 (при делении на двадцать частей), то видно преимущество формулы Симпсона; при одинаковом объеме работы эта формула дала три верных десятичных знака, в то время как в § 1 был получен только один верный знак.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1. Пусть на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения задана непрерывная функция Определённый интеграл - определение с примерами решения график которой лежит выше оси абсцисс. Необходимо вычислить площадь криволинейной трапеции ABCD, ограниченной слева прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения справа - прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения снизу - прямой у = 0, а сверху - кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения Из школьного курса математики известно: если на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения функция f(x) = const, то площадь пря- моугольника (см. рис. а)) определяется по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения (Рис. 5а):

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рис. 5. Вычисление площади криволинейной трапеции.

Если на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения функция Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. рис. 5б)), для вычисления площади криволинейной трапеции ABCD посту пим следующим образом:

  • сегмент Определённый интеграл - определение с примерами решения произвольными точками разобьем на n частей, т.е.Определённый интеграл - определение с примерами решения
  • внутри каждого элементарного сегмента Определённый интеграл - определение с примерами решения возьмем произвольную точку Определённый интеграл - определение с примерами решения и вычислим значение функции Определённый интеграл - определение с примерами решения в этой точке;
  • вычислим площадь элементарного прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения
  • просуммируем площади элементарных прямоугольников, получим приближенное значение площади криволинейной трапецииОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Определение: Сумма Определённый интеграл - определение с примерами решения называется интегральной суммой.

  • обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения наибольшую длину элементарного сегмента и устремим количество точек разбиения к бесконечности, а величину Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда получим точное значение площади криволинейной трапецииОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №67

Пусть материальная точка движется со скоростью Определённый интеграл - определение с примерами решения Требуется вычислить путь, пройденный точкой за время от Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Проводя рассуждения, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Обобщая рассмотренные задачи, приходим к понятию определенного интеграла.

Определение: Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения Произведем следующие действия:

  • сегмент Определённый интеграл - определение с примерами решения произвольными точками разобьем на n частей, т.е.Определённый интеграл - определение с примерами решения
  • длину каждой части обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения;
  • внутри каждого элементарного сегмента Определённый интеграл - определение с примерами решения возьмем произвольную точку Определённый интеграл - определение с примерами решения и вычислим значение функции Определённый интеграл - определение с примерами решения в этой точке;
  • вычислим произведения Определённый интеграл - определение с примерами решения
  • просуммируем все произведения предыдущего пункта, получимОпределённый интеграл - определение с примерами решения;
  • обозначим через Определённый интеграл - определение с примерами решения наибольшую длину элементарного сегмента и устремим количество точек разбиения к бесконечности, а величину Определённый интеграл - определение с примерами решения, тогда получим Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если полученный предел существует, то он называется определенным интегралом от функции Определённый интеграл - определение с примерами решения в пределах от а до b, т.е. Определённый интеграл - определение с примерами решения где число Определённый интеграл - определение с примерами решения называется нижним, а число Определённый интеграл - определение с примерами решения - верхним пределами интегрирования.

Замечание: В отличие от неопределенного интеграла, который является функцией, определенный интеграл дает число.

Определение: Функция Определённый интеграл - определение с примерами решения называется интегрируемой на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения если существует предел интегральной суммы.

Замечание: Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения то на этом сегменте она интегрируема.

С геометрической точки зрения определенный интеграл дает площадь криволинейной трапеции, а с физической точки зрения - путь, пройденный материальной точкой заданный промежуток времени.

Давайте изучим свойства определенного интеграла:

1. Определенный интеграл от линейной комбинации функций равен той же линейной комбинации определенных интегралов от этих функций

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Из этого свойства вытекают следующие частные случаи:

а) определенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) определенных интегралов от этих функций:

Определённый интеграл - определение с примерами решения б) постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения.

2. При перестановке пределов интегрирования местами определенный интеграл изменяет свой знак на противоположный

Определённый интеграл - определение с примерами решения.

3. Если пределы интегрирования равны между собой, то определенный интеграл равен нулю Определённый интеграл - определение с примерами решения.

4. Определённый интеграл - определение с примерами решения.

5. Если на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения функция Определённый интеграл - определение с примерами решения, то Определённый интеграл - определение с примерами решения.

6. (аддитивность определенного интеграла) Если точка Определённый интеграл - определение с примерами решения, то Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрический смысл свойства (Рис. 6): Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рис. 6. Иллюстрация свойства аддитивности определенного интеграла.

Замечание: Свойство аддитивности определенного интеграла справедливо и тогда, когда точка с лежит вне интервала Определённый интеграл - определение с примерами решения Пусть, например, Определённый интеграл - определение с примерами решения тогда можно записать, что Определённый интеграл - определение с примерами решения Используя свойство 2. для вычитаемого определенного интеграла, получим формулу свойства 6.

7. Значение определенного интеграла не зависит от того, какой буквой обозначается переменная интегрирования в определенном интеграле Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Неравенства для определенных интегралов

Теорема: Если непрерывные на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения функции Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения удовлетворяют неравенству Определённый интеграл - определение с примерами решения, то Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание: Данная теорема применяется для сравнения определенных интегралов без их непосредственного вычисления.

Доказательство: Введем в рассмотрение новую функцию Определённый интеграл - определение с примерами решения Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения то по свойству 5. для определенного интеграла

Определённый интеграл - определение с примерами решения Отсюда следует доказываемое неравенство.

Пример №68

Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения заданы на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения Доказать, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Построим графики данных функций на сегменте [0; 1] (Рис. 7): Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рис. 7. Сравнение определенных интегралов.

Из рисунка видно, что Определённый интеграл - определение с примерами решения Отсюда, по теореме имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема: Если Определённый интеграл - определение с примерами решения - наименьшее, а Определённый интеграл - определение с примерами решения - наибольшее значения непрерывной на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, то Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание: Данная теорема применяется для оценки определенного интеграла без его непосредственного вычисления.

Доказательство: Так как функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения и достигает своих наименьшего Определённый интеграл - определение с примерами решения и наибольшего Определённый интеграл - определение с примерами решения значений либо на концах заданного сегмента, либо внутри этого отрезка, то все ее значения для данного интервала удовлетворяют двойному неравенству Определённый интеграл - определение с примерами решения следовательно, по теореме для определенных интегралов будет выполняться неравенства Определённый интеграл - определение с примерами решения или с учетом следствия из свойства 1. для определеного интеграла имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения Используя свойство 4. для определенного интеграла получаем Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема: (о среднем интегральном значении подынтегральной функции) Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения, то существует такая точка

Определённый интеграл - определение с примерами решения, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство: Так как функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения и достигает своих наименьшего Определённый интеграл - определение с примерами решения и наибольшего Определённый интеграл - определение с примерами решения значений, то из неравенств теоремы следует, что Определённый интеграл - определение с примерами решения С другой стороны, по свойству для непрерывных функций существует хотя бы одна точка се Определённый интеграл - определение с примерами решения такая, что Определённый интеграл - определение с примерами решения Сравнивая полученные неравенства получаем, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение: Величина Определённый интеграл - определение с примерами решения называется средним интегральным значением функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения

Методы вычисления определенного интеграла

Вычисление определенного интеграла на основе его определения

В качестве вычисления определенного интеграла согласно его определения рассмотрим вычисление интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения Разобьем исходный интервал на n элементарных интервалов с одинаковой длиной Определённый интеграл - определение с примерами решения На каждом i-ом элементарном отрезке выберем произвольную точку Определённый интеграл - определение с примерами решения следующим образом: Определённый интеграл - определение с примерами решения Вычислим интегральную сумму Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Перейдем к пределу, устремив п к бесконечности (при этом Определённый интеграл - определение с примерами решения), получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования

Определенный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения зависит как от подынтегральной функции Определённый интеграл - определение с примерами решениятак и пределов интегрирования а и b.

Определение: Если верхний предел интегрирования в определенном интеграле (b = х) является переменной величиной, то интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения называется определенным интегралом с переменным верхним пределом интегрирования.

Теорема: (теорема Барроу) Производная от определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования равна значению подынтегральной функции на верхнем пределе интегрирования, Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство: Рассмотрим значение определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования в приращенной точке, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, приращение определенного интеграла с переменным верхним пределом интегрирования будет равно Определённый интеграл - определение с примерами решения Согласно теореме можно записать, что Определённый интеграл - определение с примерами решения Таким образом, получаем, что Определённый интеграл - определение с примерами решения Переходя в этом равенстве к пределу при Определённый интеграл - определение с примерами решения находим, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №69

Найти производную от интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

По теореме Барроу имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула Ньютона-Лейбница

В силу того, что по теореме Барроу Определённый интеграл - определение с примерами решения то величина Определённый интеграл - определение с примерами решения является первообразной для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения является другой первообразной для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения то в соответствии с теоремой, они связаны соотношением Определённый интеграл - определение с примерами решения

При х = а имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения Откуда находим, что C=-F(d). При х = b с учетом полученного выражения для постоянной интегрирования находим формулу Ньютона-Лейбница: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание: Согласно формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл ровен разности между значением первообразной на верхнем пределе интегрирования и значением первообразной на нижнем пределе интегрирования.

Пример №70

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Найдем первообразную для подынтегральной функции и воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница Определённый интеграл - определение с примерами решения

Метод замены переменной интегрирования

Теорема: Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения и пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения, причем первая производная этой функции Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения, а значения этой функции на концах сегмента Определённый интеграл - определение с примерами решения равны Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, соответственно. Тогда Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство: Вычислим левую и правую части данного равенства с использованием формулы Ньютона-Лейбница:

  • левая часть Определённый интеграл - определение с примерами решения
  • правая часть Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание: Отметим, что при использовании метода замены переменной интегрирования в определенном интеграле, надо обязательно пересчитывать пределы интегрирования.

Пример №71

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Воспользуемся методом замены переменной интегрирования в определенном интеграле, получим Определённый интеграл - определение с примерами решения

(пересчитаем пределы интегрирования по формуле замены Определённый интеграл - определение с примерами решения

получим Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание: При использовании метода замены переменной интегрирования в определенном интеграле после нахождения первообразной с новой переменной интегрирования не надо возвращаться к старой переменной интегрирования, а надо воспользоваться формулой Ныотона-Лейбница.

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле основан на формуле: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание: При использовании метода интегрирования по частям в определенном интеграле к проинтегрированной части применяется формула Ньютона-Лейбница.

Пример №72

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решенияК интегралам такого вида применяется метод интегрирования по частям.

Решение:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определенный интеграл от четной и нечетной функций по симметричному интервалу интегрирования

Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения является нечетной функцией, т.е. Определённый интеграл - определение с примерами решения тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вывод. Определенный интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу интегрирования равен нулю.

Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения является четной функцией, т.е. Определённый интеграл - определение с примерами решения тогдаОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вывод. Определенный интеграл от четной функции по симметричному интервалу интегрирования равен удвоенному значению определенного интеграла по половине симметричного интервала интегрирования.

Пример №73

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

В силу того, что подынтегральная функция является четной, тоОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №74

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Так как подынтегральная функция нечетная, то Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

1. Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения и принимает на этом отрезке только неотрицательные значения Определённый интеграл - определение с примерами решения тогда согласно геометрическому смыслу определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b будет равен площади криволинейной трапеции Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №75

Вычислить площадь плоской фигуры, которая ограничена линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Первая линия у = 0 определяет прямую, которая является осью абсцисс, а вторая линия Определённый интеграл - определение с примерами решения определяет параболу с ветвями, направленными вниз, и поднятую вверх по оси ординат на 4 единицы. Парабола пересекает ось абсцисс в точках Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рис. 8. Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения Следовательно, Определённый интеграл - определение с примерами решения(подынтегральная функция четная, а пределы интегрирования симметричные, поэтому)Определённый интеграл - определение с примерами решения Отсюда площадь плоской фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения

2. Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения и принимает на этом отрезке только неположительные значения (Определённый интеграл - определение с примерами решения), тогда площадь плоской фигуры может быть вычислена по одной из формул:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для практических расчетов предпочтительной является последняя формула.

3. Пусть функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения и меняет на этом отрезке свой знак в точке Определённый интеграл - определение с примерами решения например, с “+” на "-", тогда площадь плоской фигуры определяется формулой Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №76

Вычислить площадь плоской фигуры, которая ограничена линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Заданные линии определяют полуволну косинусоиды, которая изменяет свой знак с “+” на "-" в точке Определённый интеграл - определение с примерами решения (Рис. 9): Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рис. 9. Площадь плоской фигуры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения Следовательно, площадь такой плоской фигу ры будет равна:Определённый интеграл - определение с примерами решения

4. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на сегменте Определённый интеграл - определение с примерами решения и на этом отрезке удовлетворяют неравенству Определённый интеграл - определение с примерами решения (Рис. 10), тогда площадь кривая ин ейной трапеции можно вычислить по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рис. 10. Площадь плоской фигу ры, ограниченной линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №77

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями у=х и Определённый интеграл - определение с примерами решения (см. Рис. 7).

Решение:

Если построить графики указанных линий, то роль функции Определённый интеграл - определение с примерами решения играет функция Определённый интеграл - определение с примерами решения а в качестве функции g(x) выступает функция у = х, следовательно, Определённый интеграл - определение с примерами решения

5. Если непрерывная кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана в параметрическом виде Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения то площадь трапеции вычисляется по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №78

Вычислить площадь под одной аркой циклоидыОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Циклоида - это кривая, которую описывает точка на ободе колеса при его полном повороте, следовательно, для одной арки циклоиды параметр Определённый интеграл - определение с примерами решения

По приведенной формуле площадь под аркой циклоиды равна:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

6. Если непрерывная кривая, ограничивающая криволинейную трапецию, задана в полярной системе координат Определённый интеграл - определение с примерами решения и фигура ограничена лучами Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения то площадь плоской фигуры вычисляется согласно формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №79

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной одним витком спирали Архимеда.

Решение:

Спираль Архимеда описывается уравнением Определённый интеграл - определение с примерами решения Для одного витка спирали Архимеда угол Определённый интеграл - определение с примерами решения Используя вышеприведенную формулу, получаем Определённый интеграл - определение с примерами решения Найти площадь плоской фигуры, ограниченной указанными линиями. Выполнить чертеж (для построения графиков см. окончание Первого семестра).

Вычисление объема и площади поверхности тела

1. (объем любого тела с известным законом изменения площади поперечного сечения). Пусть дано некоторое тело, для которого известен закон изменения площади поперечного сечения, например, вдоль оси абсцисс, т.е.Определённый интеграл - определение с примерами решения(Рис. 11). Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рис. 11. Объем тела с заданным законом изменения площади поперечного сечения.

Тогда объем такого тела вычисляется по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №80

Вычислить объем эллипсоида Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Если зафиксировать абсциссу, т.е. положить Определённый интеграл - определение с примерами решения то получим Определённый интеграл - определение с примерами решения

Разделив это равенство на Определённый интеграл - определение с примерами решения найдем, что в плоскости Определённый интеграл - определение с примерами решения эллипс описывается уравнением Определённый интеграл - определение с примерами решения с полуосями Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вычислим площадь этого эллипса (Рис. 12): Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рис. 12. Отыскание закона изменения площади поперечного сечения эллипсоида.

Так как эллипс симметричен относительно координатных осей, то достаточно вычислить площадь его четвертой части (см. Рис. 12) и увеличить полученную площадь в 4 раза, т.е. Определённый интеграл - определение с примерами решения (произведем замену переменной интегрирования) =Определённый интеграл - определение с примерами решения(пересчитаем пределы интегрирования по формуле замены) Определённый интеграл - определение с примерами решения Следовательно, площадь поперечного сечения в направлении оси абсцисс с учетом выражений для полуосей Определённый интеграл - определение с примерами решения определяется формулой

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, объем эллипсоида будет равен Определённый интеграл - определение с примерами решения

2. (объем тела вращения)

Определение: Если тело получается путем ротации линии Определённый интеграл - определение с примерами решения вокруг оси Ох (Оу), то оно называется телом вращения.

Площадь поперечного сечения такого тела описывается формулой Определённый интеграл - определение с примерами решения (или Определённый интеграл - определение с примерами решения), следовательно, объем тела вращения вычисляется по фор- муле: Определённый интеграл - определение с примерами решения- при вращении вокруг оси абсцисс. Определённый интеграл - определение с примерами решения- при вращении вокруг оси ординат.

Пример №81

Вычислить объем тела вращения, если оно получено путем ротации линии Определённый интеграл - определение с примерами решения (Рис. 8) вокруг оси абсцисс при Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Согласно приведенной формуле: Определённый интеграл - определение с примерами решения

3. (площадь поверхности тела вращения) Площадь поверхности тела вращения вычисляется по формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения- при вращении вокруг оси абсцисс; Определённый интеграл - определение с примерами решения- при вращении вокруг оси ординат.

Пример №82

Вычислить площадь поверхности тела вращения шара радиуса R .

Решение:

Шар получается путем вращения линии вокруг оси абсцисс при Определённый интеграл - определение с примерами решения Первая производная от указанной функции Определённый интеграл - определение с примерами решения

cледовательно, Определённый интеграл - определение с примерами решения

Длина дуги

1. Если линия определяется явной функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения то длина дуги при Определённый интеграл - определение с примерами решения вычисляется по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения

2. Если линия задана параметрически Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения то длина дуги вычисляется по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения

3. Если линия задана в полярной системе координат Определённый интеграл - определение с примерами решения и дуга ограничена лучами Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения то то длина дуги вычисляется по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №83

Вычислить длину дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Вычислим первую производную от заданной функции Определённый интеграл - определение с примерами решения Таким образом,Определённый интеграл - определение с примерами решения Следовательно, длина дуги

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Понятие об определенном интеграле

Пусть f(x) — функция, непрерывная на данном отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, где а < b или а > 6, и F(x) — некоторая ее первообразная, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение: Под определенным интегралом

Определённый интеграл - определение с примерами решения

от данной непрерывной функции f(x) на данном отрезке [а, Ь] понимается соответствующее приращение ее первообразной, т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(формула Ньютона—Лейбница).

Кроме того, считаем для любой функции f(x), имеющей смысл в точке а,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(а — любое). Таким образом, формула (2) справедлива также при а = b.

В выражении (1) числа а и b называются пределами интегрирования, соответственно — нижним и верхним, [а, b] — промежутком интегрирования, a f(x) — подынтегральной функцией. Формулу (2) можно выразить в виде правила: определенный интеграл равен разности значений первообразной подынтегральной функции для верхнего и нижнего пределов интегрирования.

Введя обозначение для разности

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где вертикальная черта носит название вставки, формулу (2) можно записать еще так:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

причем следует помнить, что при расшифровке вставки сначала подставляется верхний предел интегрирования, а затем нижний.

Пример №84

Найти интеграл от х2 в пределах от 2 до 4.

Решение:

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения есть первообразная для х2, то согласно формуле (3) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения Заметим, что тот же результат мы получили бы, если бы использовали другую первообразную для х2, например Определённый интеграл - определение с примерами решения и т. д.

Это явление носит общий характер.

Теорема: Определенный интеграл от непрерывной функции не зависит от выбора первообразной для подынтегральной функции.

Доказательство: Пусть и Fx(x) — две различные первообразные непрерывной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения подынтегральной функции f(x) интеграла (1). В силу основной теоремы для неопределенного интеграла имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где С — некоторая постоянная величина. Отсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

что и требовалось доказать.

Следствие.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где под Определённый интеграл - определение с примерами решения понимается одна из первообразных для функции f(x).

Формула (4) устанавливает связь между определенным и соответствующим неопределенным интегралами. Отметим формальную разницу между ними: определенный интеграл представляет собой число, а неопределенный — функцию.

Согласно теореме Коши, всякая непрерывная на отрезке функция имеет первообразную. Отсюда вытекает теорема.

Теорема: Для всякой функции, непрерывной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, существует соответствующий определенный интеграл,

Замечание. Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя равенство (5) в пределах от а до Определённый интеграл - определение с примерами решения, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Последняя формула часто применяется на практике.

Учение о неопределенном и определенном интегралах и их приложениях составляет предмет интегрального исчисления.

Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Рассмотрим интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения (во избежание путаницы переменная интегрирования обозначена другой буквой).

Если F (х) — первообразная функции f(x), т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

то согласно формуле Ньютона—Лейбница имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения

является первообразной для подынтегральной функции f(x). Отметим, что из формулы (2) следует, что Определённый интеграл - определение с примерами решения, т. е. Ф(х) есть та первообразная для функции f(x), которая обращается в нуль при х = а.

Пример:

Имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рассмотрим теперь определенный интеграл с переменным нижним пределом

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения

На основании формулы Ньютона—Лейбница имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, производная определенного интеграла с переменным нижним пределом по этому пределу равна значению подынтегральной функции для этого предела, взятому с обратным знаком.

Замечание. Если функция f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то на основании связи неопределенного интеграла с первообразной будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

при Определённый интеграл - определение с примерами решения где С — произвольная постоянная.

Геометрический смысл определенного интеграла

Рассмотрим площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения переменной криволинейной трапеции (рис. 130), ограниченной сверху непрерывной кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения, снизу осью OX(Y = 0), слева неподвижной вертикалью X = а, а справа подвижной вертикалью Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Наглядно можно вообразить себе, что вдоль оси ОХ происходит наводнение и вертикальный фронт воды передвигается слева направо.

Пусть х получает приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения (для определенности положим, что Определённый интеграл - определение с примерами решения). Тогда площадь изменится на величину Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 130), представляющую собой площадь полоски, ограниченной дугой Определённый интеграл - определение с примерами решения кривой, осью ОХ и двумя вертикалями X = х и X = х + Определённый интеграл - определение с примерами решения. Положим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сравнивая площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения с площадями прямоугольников с общим основанием Определённый интеграл - определение с примерами решения и высотами Определённый интеграл - определение с примерами решения и М, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пусть теперь Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда в силу непрерывности функции Определённый интеграл - определение с примерами решения имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда на основании теоремы о пределе промежуточной переменной получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Аналогично, при Определённый интеграл - определение с примерами решения будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, существует предел

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, производная площади переменной криволинейной трапеции для любого значения аргумента X = х равна ее концевой ординате у = f(x) (теорема Ньютона—Лейбница).

Из формулы (4) получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пусть S — полная площадь криволинейной трапеции (рис. 130), ограниченная кривой Y = Определённый интеграл - определение с примерами решения, осью ОХ и двумя вертикалями X = а и X = Ь. Интегрируя равенство (5) в пределах от а до b и учитывая, что S(a) = 0, на основании формулы (6) из будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, определенный интеграл (6) от непрерывной неотрицательной функции при Определённый интеграл - определение с примерами решения равен площади соответствующей криволинейной трапеции1) (геометрический смысл определенного интеграла).

Пример №85

Найти площадь S одной полуволны синусоиды у = sin х Определённый интеграл - определение с примерами решения(рис.131).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

На основании геометрического смысла определенного интеграла имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №86

Выяснить геометрический смысл интеграла

Определённый интеграл - определение с примерами решения и, пользуясь этим, найти его значение.

Решение:

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения есть уравнение верхней полуокружности Определённый интеграл - определение с примерами решения, то интеграл I представляет собой площадь полукруга радиуса 1 (рис. 132).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому Определённый интеграл - определение с примерами решения; этот результат можно получить также непосредственным вычислением интеграла (7).

Физический смысл определенного интеграла

Пример:

Зная скорость v = v(t) прямолинейного движения точки, найти пройденный ею путь за промежуток времени Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Предполагая, что траекторией точки является ось Ох (рис. 133) и х = x(t) есть уравнение движения, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя равенство (2) в пределах от 0 до Т, получим путь, пройденный точкой за время t:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Точнее, формула (3) дает приращение абсциссы движущейся точки, т. е. перемещение точки за время Т. Пройденный путь получится в том случае, когда скорость u(f) сохраняет постоянный знак, т. е. точка движется в одном и том же направлении.

Замечание. Из (3) получаем уравнение движения точки

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример:

На какую высоту за 10 с поднимется ракета, брошенная вертикально вверх, если ее скорость (км/с) меняется по закону .

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Чему равна средняя скорость полета ракеты за этот промежуток времени?

Решение:

Путь, пройденный ракетой за 10 с, равен

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому соответствующая средняя скорость ракеты равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Основные свойства определенного интеграла

При выводе основных свойств определенного интеграла мы будем исходить из формулы Ньютона—Лейбница:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для лучшей обозримости свойства определенного интеграла разобьем на группы.

Общие свойства:

I. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где х, t — любые буквы.

Это свойство непосредственно вытекает из формулы (1).

II.Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю (на основании сделанного соглашения).

Заметим, что это определение соответствует и формуле Ньютона—Лейбница:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

III.При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет свой знак на обратный.

В самом деле, переставляя пределы интегрирования, в силу формулы (1) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойство аддитивности

IV.Если промежуток интегрирования Определённый интеграл - определение с примерами решения разбит на конечное число частичных промежутков, то определенный интеграл, взятый по промежутку Определённый интеграл - определение с примерами решения, равен сумме определенных интегралов, взятых по всем его частичным промежуткам.

Действительно, пусть, например, Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда, полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения, имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание. Формула (3) остается верной, если с лежит вне отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения и подынтегральная функция f(x) непрерывна на отрезках Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Свойства линейности

V.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла.

Действительно, пусть F (х) — первообразная для f(x) на Определённый интеграл - определение с примерами решения и А — постоянная величина, тогда AF(x) есть первообразная для Af(x), так как

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

VI.Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа непрерывных функций равен такой же алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций.

Действительно, рассмотрим, например, алгебраическую сумму

Определённый интеграл - определение с примерами решения

трех непрерывных функций f(x)y g(x), h(x), и пусть F(x), G(x), Н(х) — их первообразные, т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда F(x) + G(x) - H(x) является первообразной для суммы (4), так как

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойства монотонности

VII.Если подынтегральная функция определенного интеграла непрерывна и неотрицательна, а верхний предел интегрирования больше нижнего или равен ему, то определенный интеграл также неотрицателен.

В самом деле, пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения. Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения, то первообразная F(x) есть возрастающая функция (точнее, неубывающая функция). В таком случае при Определённый интеграл - определение с примерами решения имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения

VIII. Неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать почленно при условии, что верхний предел интегрирования больше нижнего.

Действительно, пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения, где f(x) и g(x) непрерывны на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Так как g(x) - f(x) Определённый интеграл - определение с примерами решения 0, то при Определённый интеграл - определение с примерами решения в силу свойств VI и VII имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

отсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание. Пусть f(x) — знакопеременная непрерывная функция на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения. Например (рис. 134), Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения.

В силу свойства аддитивности IV, учитывая геометрический смысл интеграла, имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — площади соответствующих криволинейных трапеций.

Таким образом, определенный интеграл, в общем случае, при Определённый интеграл - определение с примерами решения представляет собой алгебраическую сумму площадей соответствующих криволинейных трапеций, где площади трапеций, расположенных выше оси Ох, берутся со знаком плюс, а площади трапеций, расположенных ниже оси Ох, — со знаком минус.

Если Определённый интеграл - определение с примерами решения, то все обстоит наоборот.

Заметим, что площадь заштрихованной на рис. 134 фигуры выражается интегралом

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема о среднем

Теорема: Определенный интеграл от непрерывной функции равен произведению длины промежутка интегрирования на значение подынтегральной функции при некотором промежуточном значении аргумента

Доказательство: В самом деле, в силу формулы Ньютона— Лейбница имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения где F(x) = f(x). Применяя к разности первообразных теорему о конечном приращении функции, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где a < с

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где a < с

Замечание. Формуле (2) при Определённый интеграл - определение с примерами решения можно дать простую геометрическую иллюстрацию. В самом деле, левая часть ее представляет собой площадь криволинейной трапеции АаbВ, где АВ имеет уравнение у = f(x) и а и b — абсциссы точек А и В. Правая же часть этой формулы выражает площадь прямоугольника с основанием b - а и высотой сС, равной Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 135).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, формула (2) геометрически означает, что можно всегда подобрать на дуге АВ такую точку С с абсциссой с, заключенной между а и Ь, что площадь соответствующего прямоугольника aDEb с высотой сС будет в точности равна площади криволинейной трапеции аАВЬ.

Итак, площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией, равновелика площади прямоугольника с тем же «основанием» и высотой, равной некоторой средней ординате линии.

Число f(c) = Определённый интеграл - определение с примерами решения носит название среднего значения функции f(x) на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Из формулы (2) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №87

Сила переменного тока равна Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения — максимальное значение силы тока, Т — период, t — время.

Найти среднее значение квадрата силы тока за период Т.

Решение:

На основании формулы (3) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где черта обозначает операцию усреднения. Так как sin2a=Определённый интеграл - определение с примерами решения, то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Корень квадратный из среднего значения квадрата силы тока носит название эффективной силы тока, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения . На основании формулы (4) получаем важный для электротехники результат:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следствие. Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения, то при а < b из формулы (2) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №88

Оценить интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения, то на основании формулы (6) имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения. Приближенно можно положить

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Точное значение интеграла есть Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения — непрерывно дифференцируемые1) функции на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя это равенство в пределах от а до b и учитывая, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

находим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда получаем формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для краткости употребляется обозначение

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №89

Найти Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим du = dx, Определённый интеграл - определение с примерами решения = sin x. Применяя формулу (1), будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замена переменной в определенном интеграле

Пусть дан определенный интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где f(x) — непрерывная функция на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и пусть по каким-то соображениям нам желательно ввести новую переменную t9 связанную с прежней\х соотношением

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — непрерывно дифференцируемая функция на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Если при этом: 1) при изменении t от Определённый интеграл - определение с примерами решения переменная х меняется от Определённый интеграл - определение с примерами решения т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и 2) сложная функция Определённый интеграл - определение с примерами решения определена и непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то справедлива формула

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для доказательства рассмотрим сложную функцию

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где — первообразная для функции f(x), т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

следовательно, функция Определённый интеграл - определение с примерами решения является первообразной для

функции Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда на основании формулы Ньютона—Лейбница, учитывая равенства (3), будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

что и требовалось доказать.

Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к прежней переменной, достаточно лишь ввести новые пределы интегрирования по формулам (3).

Пример №90

Вычислить

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Естественно положить

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если значения Определённый интеграл - определение с примерами решения не выходят из отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения, то условие 2) излишне.

отсюда Определённый интеграл - определение с примерами решения. Новые пределы интегрирования определяются из формулы (6); полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения, будем иметь Определённый интеграл - определение с примерами решения и, полагая X = 3, получим t = 2. Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и пусть для определенности f(x) > 0 на Определённый интеграл - определение с примерами решения, где а < Ь. Тогда ее определенный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения геометрически представляет собой площадь S криволинейной трапеции аАВЬ, ограниченной данной кривой у = f(x), осью Ох (у = 0) и двумя вертикалями х = а и х = b (рис. 136).

Еще свыше 2000 лет тому назад греческие математики для приближенного вычисления площади S употребляли следующий прием: разобьем фигуру S на весьма большое число вертикальных полосок, ограниченных перпендикулярами к оси Ох, проведенными в точках

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Каждую из этих полосок приближенно можно считать за прямоугольник с основанием Определённый интеграл - определение с примерами решения и некоторой промежуточной высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда площадь одного такого прямоугольника, очевидно, равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и, следовательно, площадь ступенчатой фигуры, состоящей из п таких прямоугольников, будет

Определённый интеграл - определение с примерами решения

или, короче,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где буква Определённый интеграл - определение с примерами решения обозначает знак суммирования (сложения) и под этим знаком выписан общий (типичный) член слагаемых; при этом указано, сколько слагаемых и какие именно входят в состав суммы.

Сумма (2) или (2') называется интегральной суммой для функции f(x). Так как при Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения наши полоски в пределе обращаются в ординаты графика функции Определённый интеграл - определение с примерами решения, то естественно ожидать, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Действительно, справедлива следующая теорема:

Теорема: Если функция fix) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то предел ее интегральной суммы Sn при Определённый интеграл - определение с примерами решения равен соответствующему определенному интегралу этой функции, т. е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения Понятие интегральной суммы (2') естественно обобщается на случай знакопеременной функции.

В этом смысле знак интеграла представляет собой стилизованную букву S (знак суммы), а обозначение всего определенного интеграла является сокращенной записью суммы бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых вида Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения (с нашей точки зрения, Предел такой суммы).

Доказательство: Пусть

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Положим Определённый интеграл - определение с примерами решения. в силу свойства аддитивности имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда, применяя теорему о среднем, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рассмотрим интегральную сумму

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Из формул (5) и (6) получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если Определённый интеграл - определение с примерами решения — произвольное положительное число, то при достаточно малом Определённый интеграл - определение с примерами решения, в силу непрерывности функции f(x), обеспечены неравенства

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому из (9) и (8) получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где (b - а) — длина отрезка [а, Ь].

Для любой непрерывной на отрезке функции доказано свойство ее равномерной непрерывности на рассматриваемом отрезке.

Из неравенства (10), ввиду произвольности числа 8, вытекает, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

т. е. справедливо равенство (3).

Замечание. Если Определённый интеграл - определение с примерами решения на Определённый интеграл - определение с примерами решения, то под площадью криволинейной трапеции аАВЬ по определению мы будем понимать число

Определённый интеграл - определение с примерами решения

предполагая, что этот предел существует.

Следствие. Если функция f(x) Определённый интеграл - определение с примерами решения 0 непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то криволинейная трапеция Определённый интеграл - определение с примерами решения имеет конечную площадь, т. е. является квадрируемой фигурой.

Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов

Определенный интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения

от заданной непрерывной функции у = f(x) точно вычисляется далеко не всегда. Однако, пользуясь его геометрическим смыслом, можно дать ряд приближенных формул, с помощью которых этот интеграл находится с любой степенью точности. Мы здесь рассмотрим простейшую из них, так называемую формулу трапеций.

Как известно, интеграл (1) представляет собой площадь (с учетом знака — см. замечание на с. 263) криволинейной трапеции, ограниченной линией у = f(x), осью Ох и двумя ординатами х = а и х = Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 137).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Разобьем отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на п равных частей длины Определённый интеграл - определение с примерами решения (шаг разбиения).

Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения — абсциссы точек деления,

Определённый интеграл - определение с примерами решения— соответствующие ординаты кривой. Имеем расчетные формулы

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения. В результате построения наша криволинейная трапеция разбилась на ряд вертикальных полосок одной и той же ширины Определённый интеграл - определение с примерами решения, каждую из которых приближенно примем за трапецию. Суммируя площади этих трапеций, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

((формула трапеций). Формулу (2) можно коротко записать в виде

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения = 1/2 при i = 0 и i = Определённый интеграл - определение с примерами решения; Определённый интеграл - определение с примерами решения = 1 при i = 1, 2, ..., Определённый интеграл - определение с примерами решения - 1.

Погрешность

Определённый интеграл - определение с примерами решения

называется остаточным членом формулы трапеций (3). Доказано, что если функция у = f(x) имеет непрерывную вторую производную f"(x) на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения, то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №91

Приближенно вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Разобьем промежуток интегрирования [0, 1] на 10 частей (Определённый интеграл - определение с примерами решения = 10); следовательно, шаг h = 0,1. Абсциссы точек деления Определённый интеграл - определение с примерами решения и соответствующие им ординаты Определённый интеграл - определение с примерами решения, вычисленные с помощью таблицы квадратных корней, приведены в таблице, причем ординаты Определённый интеграл - определение с примерами решения для удобства умножены на множитель Определённый интеграл - определение с примерами решения такой, что Определённый интеграл - определение с примерами решения при i = 0 и i = 10 (отмечены звездочкой) и Определённый интеграл - определение с примерами решения = 1 при i = 1, 2, ..., 9.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

По формуле (3) имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения Точное значение интеграла равно Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула Симпсона

Более точную формулу мы получим, если профиль криволинейной полоски будем считать параболическим.

Рассмотрим вертикальную полоску (рис. 138), ограниченную непрерывной кривой у = f(x), осью Ох (у = 0) и двумя вертикалями х = -h и х = h.

Если h мало, то кривую у — f(x) приближенно можно заменить параболой

Определённый интеграл - определение с примерами решения

проходящей через точки Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда

Определённый интеграл - определение с примерами решения приближенно будет равен

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Полагая в формуле (1) последовательно Определённый интеграл - определение с примерами решения получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

ОтсюдаОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Подставляя эти значения в формулу (2), будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(формула Симпсона).

Пример №92

Пользуясь формулой Симпсона, найти

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения, имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения. Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(точное значение Определённый интеграл - определение с примерами решения = 2).

Используя параллельный перенос системы координат, формулу Симпсона можно писать в виде

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где h = Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание. Для увеличения точности вычисления определенного интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения промежуток интегрирования Определённый интеграл - определение с примерами решения разбивают на Определённый интеграл - определение с примерами решения частичных промежутков, где Определённый интеграл - определение с примерами решения — достаточно большое натуральное число, и к каждому из них применяют формулу Симпсона (5'), полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения. В силу свойства аддитивности данный определенный интеграл будет приближенно представлять сумму полученных так результатов (параболическая формула).

Несобственные интегралы

При определении интеграла

Определённый интеграл - определение с примерами решения

предполагалось, что: 1) промежуток интегрирования Определённый интеграл - определение с примерами решения конечен и 2) подынтегральная функция /(х) определена и непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Такой определенный интеграл называется собственным (слово «собственный» обычно опускается). Если нарушается по меньшей мере одно из двух условий: 1) или 2), то символ (1) будем называть несобственным определенным интегралом.

Выясним смысл этого нового понятия для двух простейших случаев.

I.Пусть функция f(x) непрерывна при Определённый интеграл - определение с примерами решения. Тогда по определению полагают

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если предел (2) существует, то несобственный интеграл с бесконечным пределом интегрирования, стоящий в левой части равенства (2), называется сходящимся и его значение определяется формулой (2); в противном случае равенство (2) теряет смысл, несобственный интеграл, стоящий слева, называется расходящимся и ему не приписывается никакого числового значения.

Геометрически для неотрицательной на Определённый интеграл - определение с примерами решения функции f(x) несобственный интеграл (2) представляет собой площадь криволинейной фигуры, ограниченной данной линией у = f(x), осью Ох и вертикалью х = а (рис. 139).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пусть F(x) — первообразная функция для подынтегральной функции f(x). На основании формулы (2) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если ввести условное обозначение

Определённый интеграл - определение с примерами решения

то получим для сходящегося несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом интегрирования обобщенную формулу Ньютона—Лейбница:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №93

Определённый интеграл - определение с примерами решения

II.Пусть функция f(x) непрерывна при Определённый интеграл - определение с примерами решения и имеет точку разрыва при х = Ь. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции определяется формулой

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или не существует предел правой части равенства (4).

Если существует функция F(x)f непрерывная на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и такая, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(обобщенная первообразная), то для несобственного интеграла (4) справедлива обобщенная формула Ньютона—Лейбница:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №94

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Площадь в прямоугольных координатах

Пример:

Найти площадь S криволинейной трапеции Определённый интеграл - определение с примерами решения, ограниченной данной непрерывной линией Определённый интеграл - определение с примерами решения, отрезком Определённый интеграл - определение с примерами решения оси Ох и двумя вертикалями х = а и х = Ь, если f(x) > О при Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 140).

На основании геометрического смысла определенного интеграла имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения- данная функция.

Замечание. Формулу (1) можно обосновать иначе. Будем рассматривать площадь S как переменную величину, образованную перемещением текущей ординаты хМ = у из начального положения аА в заключительное положение bВ. Давая текущей абсциссе х приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения получим приращение площади Определённый интеграл - определение с примерами решения, представляющее собой площадь вертикальной плоскости хММ'х', заключенной между ординатами в точках Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 140). Дифференциал площади dS есть главная линейная часть приращения Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения и, очевидно, равен площади прямоугольника с основанием dx и высотой у поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Можно строго доказать, что для непрерывной функции у = Определённый интеграл - определение с примерами решения площадь прямоугольника у dx отличается от площади полоски Определённый интеграл - определение с примерами решения на величину высшего порядка малости относительно dx. (элемент площади в прямоугольных координатах). Интегрируя равенство (2) в пределах от х = а до х = b, будем иметь формулу (1):

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Здесь на частном примере показано применение так называемого метода дифференциала, сущность которого заключается в том, что сначала из элементарных соображений составляется дифференциал искомой величины, а затем после интегрирования в соответствующих пределах находится значение самой искомой величины. Более подробно этот метод развит в теории дифференциальных уравнений (гл. XXII).

В следующих параграфах на конкретных примерах мы ознакомимся с двумя основными методами в теории определенного интеграла: 1) методом интегральных сумм и 2) методом дифференциала.

Пример №95

Найти площадь S области, ограниченной эллипсом

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Ввиду симметрии можно ограничиться вычислением 1/4 площади S (рис. 141).

Из уравнения эллипса для I квадранта имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения. Отсюда по формуле (1) получаемОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Применим тригонометрическую подстановку х = a sin t, dx = a cos t dt. Новые пределы интегрирования t = а и t = Определённый интеграл - определение с примерами решения определяются из уравнений 0 = a sin t, а = a sin t. Можно положить а = 0 и Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В частности, полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения получим площадь круга Определённый интеграл - определение с примерами решения с радиусом а.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Замечание. В более сложных случаях фигуру стараются представить в виде суммы или разности криволинейных трапеций.

Пример №96

Найти площадь области, ограниченной двумя непрерывными линиями

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и двумя вертикалями х = а и х = b (рис. 142).

Будем предполагать, что Определённый интеграл - определение с примерами решения — неотрицательные функции на Определённый интеграл - определение с примерами решения. Этого всегда можно добиться путем параллельного переноса оси Ох.

Искомую площадь S можно рассматривать как разность двух криволинейных трапеций, ограниченных данными линиями. Поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и, следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — данные функции. Заметим, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

представляет собой «толщину» площади S в точке х.

Пример №97

Определить площадь S, ограниченную параболой у =Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямой Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 143).

Решение:

Решая совместно систему уравнений параболы и прямой

Определённый интеграл - определение с примерами решения находим абсциссы точек пересечения: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения, на основании формулы (3) получимОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Формула (1) дает возможность вычислять также площади простых фигур, уравнение контура которых задано параметрически.

Пример №98

Найти площадь S, ограниченную первой аркой циклоиды

Определённый интеграл - определение с примерами решения и осью Ох.

Решение:

Имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Произведем в этом интеграле замену переменных, приняв за независимую переменную параметр t. Из уравнений (4) получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

причем имеем t = 0 при х = 0 и t = Определённый интеграл - определение с примерами решения при х = Определённый интеграл - определение с примерами решения. Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, получаем теорему Галилея: площадь, ограниченная аркой циклоиды и ее хордой, равна утроенной площади производящего круга.

Площадь в полярных координатах

Пример:

Найти площадь S сектора ОАВ, ограниченного данной непрерывной линией

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и двумя лучами Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения — полярные координаты (рис. 144).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для решения задачи используем метод дифференциала.

Представим себе, что площадь S возникла в результате перемещения переменного полярного радиуса р = Определённый интеграл - определение с примерами решения при ф, меняющемся от Определённый интеграл - определение с примерами решения до Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 144). Если текущий полярный угол ф получит приращение Определённый интеграл - определение с примерами решения, то приращение площади Определённый интеграл - определение с примерами решения. Дифференциал dS представляет собой главную линейную часть приращения Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решения и равен площади кругового сектора OMN радиуса р с центральным углом Определённый интеграл - определение с примерами решения; поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

(элемент площади в полярных координатах). Интегрируя равенство (1) в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения получим искомую площадь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — данная функция.

Пример №99

Найти площадь, ограниченную кардиоидой

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Составляем таблицу значений:Определённый интеграл - определение с примерами решения

Построив точки кардиоиды по значениям Определённый интеграл - определение с примерами решения из нашей таблицы, можно составить приближенное представление о форме этой кривой (рис. 145).

Действительно, по аналогии с физическим смыслом дифференциала, дифференциал площади dS равен фиктивному приращению площади 5 при повороте на угол Определённый интеграл - определение с примерами решения полярного радиуса р при условии, что последний сохраняет постоянную величину. Отсюда ясно, что dS есть площадь кругового сектора радиуса р с центральным углом Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Так как кардиоида, очевидно, симметрична относительно полярной оси, то достаточно определить верхнюю половину площади, а затем ее удвоить. Обозначая всю площадь, ограниченную кардиоидой, через S, будем иметьОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Или, так как

Определённый интеграл - определение с примерами решения

окончательно получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Длина дуги в прямоугольных координатах

Определение: Под длиной дуги АВ понимается предел, /с которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной возрастает неограниченно, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.

Назовем кривую гладкой, если эта кривая непрерывна и в каждой точке имеет касательную, непрерывно меняющую свое положение от точки к точке. Очевидно, кривая будет гладкой, если уравнение ее может быть записано в виде

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где функция f(x) непрерывна и имеет непрерывную производную f'{x) на данном отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Теорема: Всякая гладкая кривая (1) имеет определенную конечную длину дуги.

Доказательство: Впишем в данную гладкую кривую (1) ломаную линию Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 146), где Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения Проецируя звенья Определённый интеграл - определение с примерами решения ломаной на ось Ох, получим разбиение отрезка [a, b] на систему отрезков Ах,. Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения — приращение данной функции у = f(x) на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 146). По теореме Пифагора имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Применяя теорему Лагранжа о конечном приращении функции, получим Определённый интеграл - определение с примерами решения, где Определённый интеграл - определение с примерами решения — некоторая промежуточная точка отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения Отсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и, следовательно, длина всей ломаной Определённый интеграл - определение с примерами решения (т. е. ее периметр) равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Чтобы найти длину Определённый интеграл - определение с примерами решения кривой (1), нужно в последнем выражении перейти к пределу, предполагая, что Определённый интеграл - определение с примерами решения. Таким образом,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрически Определённый интеграл - определение с примерами решения есть та точка отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения в которой касательная к графику функции у = f(x) параллельна его хорде Определённый интеграл - определение с примерами решения.

Мы получили предел интегральной суммы для непрерывной функции

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Поэтому Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где у' = f'(x).

Дифференциал дуги в прямоугольных координатах. Пусть одна точка А(а, h) кривой фиксирована, а другая М(х, у) — переменная (рис. 147). В таком случае длина дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения = AM есть некоторая функция от переменной х. Согласно формуле (2) мы имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда, используя теорему о производной определенного интеграла с переменным верхним пределом, получим Определённый интеграл - определение с примерами решения

следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Это и есть формула дифференциала дуги в прямоугольных координатах.

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения , то

Определённый интеграл - определение с примерами решения Любопытно отметить, что последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника МТР (рис. 147).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №100

Вычислим длину дуги отрезка цепной линии. Так называется линия, форму которой принимает тяжелая нить, закрепленная в двух точках.

Уравнение этой линии в надлежащим образом выбранной системе координат таково:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где а — некоторое положительное число (параметр цепной линии). Уравнение (4) проще записать так:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где ch — гиперболический косинус.

Точка А (0, а), являющаяся наиболее низкой точкой кривой (4) (рис. 148), называется вершиной цепной линии.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вычислим длину дуги АВ цепной линии, предполагая, что абсцисса точки В равна 6, а ордината ее равна Определённый интеграл - определение с примерами решения. Дифференцируя уравнение (4')» будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Далее выводим Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда согласно формуле (2) получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула для длины дуги АВ принимает более простой вид, если правую часть ее выразить через ординату h точки В. В самом деле, очевидно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В силу тождества Определённый интеграл - определение с примерами решения имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

т. е. дуга АВ равна катету ОС прямоугольного треугольника ОАС (рис. 148), гипотенуза которого АС = h и другой катет OA = a.

Замечание. Пусть требуется найти длину дуги L кривой, заданной параметрически:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — непрерывно дифференцируемые функции на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. Можно доказать, что формула (3) для дифференциала дуги dl будет справедлива и в этом случае. Так как Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения, то имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя последнее выражение в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения получим длину дуги

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №101

Найти длину дуги окружности

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Здесь Определённый интеграл - определение с примерами решения поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и, следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №102

Найти длину дуги астроиды

Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 149).

Решение:

Уравнение астроиды можно записать в виде

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Естественно ввести параметр t, полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда получаем параметрические уравнения астроиды

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Ввиду симметрии кривой (6) достаточно найти 1/4 длины дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения соответствующую изменению параметра t от Определённый интеграл - определение с примерами решения. Имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда находим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя это выражение в пределах от t = 0 до t = Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, вся длина дуги астроиды равна Определённый интеграл - определение с примерами решения

Длина дуги в полярных координатах

Выведем сначала дифференциал dl дуги в полярных координатах. На основании формулы (3) из имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где x и у — прямоугольные декартовы координаты точки дуги.

Как известно, формулы перехода от полярных координат р и ф к прямоугольным х и у следующие:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Возведя в квадрат, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Складывая эти равенства почленно, будем иметь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Последнюю формулу можно представить в таком виде;

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №103

Найти длину дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывно дифференцируемой кривой

Определённый интеграл - определение с примерами решения

между точками Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения — полярные координаты (рис. 150). Интегрируя равенство (1) в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим длину дуги в полярных координатах

Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения — заданная функция, Определённый интеграл - определение с примерами решения — ее производная.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №104

Вычислим полную длину дуги кардиоиды (см. рис. 145)

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения Поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

и, следовательно, Определённый интеграл - определение с примерами решения Обозначая длину дуги верхней части кардиоиды через Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда для длины дуги Определённый интеграл - определение с примерами решения всей кардиоиды, ввиду симметрии верхней и нижней частей ее, находим Определённый интеграл - определение с примерами решения = 8а.

Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям

Пример:

Зная закон изменения площади поперечного сечения тела, найти объем V этого тела (рис. 151,).

Пусть Ох — некоторое выбранное направление, а S = S(х) — площадь поперечного сечения плоскостью, перпендикулярной оси Ох в точке с абсциссой х. Функцию S(x) будем предполагать известной и непрерывно меняющейся при изменении х. Кроме того, будем предполагать, что, в некотором смысле, контур сечения изменяется также непрерывно.

Проецируя тело на ось Ох, получим некоторый отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения, дающий линейный размер тела в направлении оси Ох.

Разделим отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения на большое число мелких частей Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси Ох. В результате наше тело разобьется на п слоев, каждый из которых приближенно может быть принят за цилиндр. Так как объем i-го слоя приближенно равен Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения — некоторая точка отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 151), то для объема тела V получаем выражение

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если Определённый интеграл - определение с примерами решения, причем Определённый интеграл - определение с примерами решения, то приближенное равенство (1) становится все более точным и в пределе мы получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сумма (1) представляет собой интегральную сумму для непрерывной функции S(x), и ее предел есть соответствующий определенный интеграл. Поэтому

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №105

Найти объем V пирамиды с площадью основания В и высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 152).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

За ось Ох примем прямую, проходящую через вершину О пирамиды перпендикулярно основанию ее и направленную от вершины к основанию.

Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения — площадь сечения пирамиды плоскостью, находящейся на расстоянии х от вершины. Так как площади параллельных сечений

пирамиды относятся как квадраты расстояний их от вершины, т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения, то Определённый интеграл - определение с примерами решения Из формулы (2) предыдущего параграфа получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

что согласуется с известной формулой геометрии.

Пример:

Пусть (рис. 153) Определённый интеграл - определение с примерами решения — площади нижнего и верхнего сечений «бочкообразного» тела, a S0 — площадь его среднего сечения. Тогда, применяя формулу Симпсона к интегралу (2), получаем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — высота тела (кубатурная формула Симпсона).

Объем тела вращения

Пример:

Найти объем тела Vx, образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВОпределённый интеграл - определение с примерами решения, ограниченной данной непрерывной линией

Определённый интеграл - определение с примерами решения

отрезком Определённый интеграл - определение с примерами решения оси Ох и двумя вертикалями х = а и х = Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 154).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Эта задача представляет частный случай задачи, рассмотренной в предыдущем параграфе.

Здесь площадь переменного поперечного сечения S = S(x), соответствующего абсциссе х, есть площадь круга радиуса уу поэтому S(x) = Определённый интеграл - определение с примерами решения. Отсюда на основании формулы (2) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где у = f(x) — данная функция.

Формулу (1) можно также получить непосредственно методом дифференциала. Элемент объема Определённый интеграл - определение с примерами решения очевидно, представляет собой цилиндр с основанием S и высотой dx. Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда, интегрируя в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим формулу (1).

Замечание. Пусть криволинейная трапеция cCDd, ограниченная однозначной непрерывной линией х = g(y), отрезком Определённый интеграл - определение с примерами решения оси Оу и двумя параллелями у = с и у = d, вращается вокруг оси Оy (рис. 155). Тогда объем тела вращения Vy, по аналогии с формулой (1), равен

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения — данная функция.

Пример №106

Определить объем тела, ограниченного поверхностью, полученной от вращения эллипса.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

вокруг большой оси а (ось Ох) (рис. 156).

Решение:

Так как эллипс (3) симметричен относительно осей координат, то достаточно найти объем, образованный вращением вокруг оси ОХ площади ОАВ, равной одной четверти площади эллипса (рис. 156), и полученный результат удвоить.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Иными словами, dVx есть главная линейная часть приращения переменного объема Vx при перемещении сечения S (х) на бесконечно малую величину dx.

Обозначим объем тела вращения через Vx; тогда на основании формулы (1) имеем

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где 0 и а — абсциссы точек В и А. Из уравнения эллипса находим Определённый интеграл - определение с примерами решенияОтсюда

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, окончательно имеемОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Аналогично, при вращении эллипса (3) вокруг малой оси b объем соответствующего тела вращения равен

Полагая Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим объем шара радиуса а:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Работа переменной силы

Пример:

Найти работу А непрерывной переменной силы приложенной к материальной точке М, при перемещении последней вдоль оси Ох из положения х = а в положение х = b, предполагая, что направление силы совпадает с направлением перемещения.

Пусть точка М переместилась из положения х в положение х + dx (рис. 157). На бесконечно малом промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

длины dx силу F(x) приближенно можно считать постоянной. Поэтому элементарная работа силы равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрируя выражение (1) в пределах от Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим всю работу

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №107

Какую работу нужно затратить, чтобы растянуть пружину на 5 см, если сила 100 Н растягивает пружину на 1 см?

Решение:

Согласно закону Гука, упругая сила F, действующая на пружину, возрастает пропорционально растяжению х пружины, т. е.

F = kx.

Здесь перемещение х выражено в метрах, а сила F — в ньютонах. Для определения коэффициента пропорциональности k согласно условию задачи полагаем F - 100 Н при х = 0,01 м. Отсюда 100 = k • 0,01, т. е. k = 10000 и, следовательно, F = 10000 х. Искомая работа на основании формулы (2) равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Физические приложения определенного интеграла

Для иллюстрации основных методов в теории определенного интеграла: 1) метода дифференциала и 2) метода интегральных сумм — рассмотрим несколько примеров.

Пример:

Концентрация вещества (г/м3) в воде меняется по закону Определённый интеграл - определение с примерами решения (х — глубина слоя).

Сколько вещества Q содержится в вертикальном столбе воды, площадь поперечного сечения которого равна S = 1 м2, а глубина меняется от 0 до 200 м?

Рассмотрим бесконечно тонкий слой столба воды с сечением S толщины dx, находящийся на глубине х (рис. 158).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Количество вещества, содержащегося в этом слое, равно

Интегрируя это выражение в пределах от 0 до 200, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №108

Найти, с какой силой однородный стержень Определённый интеграл - определение с примерами решения1 линейной плотности Определённый интеграл - определение с примерами решения притягивает материальную точку Р(а) (а > 1) массы Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 159).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Согласно закону Ньютона, бесконечно малый элемент стержня Определённый интеграл - определение с примерами решения массы Определённый интеграл - определение с примерами решения dx притягивает материальную точку Р с силой

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где k — коэффициент пропорциональности (гравитационная постоянная). Так как эти силы притяжения действуют в одном и том же направлении, то их можно алгебраически складывать, а следовательно, и интегрировать (так как интеграл — предел алгебраической суммы). Получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №109

Определить силу давления воды на вертикальный круг радиуса R, центр которого погружен в воду на глубину Н Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

В качестве оси Ох возьмем вертикальную прямую с началом координат О, совпадающим с центром круга (рис. 160). Данный круг разобьем на п узеньких горизонтальных полосок толщины соответственно Определённый интеграл - определение с примерами решения. Рассмотрим i-ю полоску АА'В'В, удаленную от центра круга на величину Определённый интеграл - определение с примерами решения и имеющую толщину Определённый интеграл - определение с примерами решения (рис. 160). Если Определённый интеграл - определение с примерами решения — малая величина, то эту полоску приближенно можно принять за прямоугольник, и поэтому ее площадь

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Считая, что уровень погружения этой полоски равен Определённый интеграл - определение с примерами решения согласно закону Паскаля получим силу давления воды на эту полоску

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где р — плотность воды. Суммируя эти выражения, получим приближенное значение силу давления Р воды на всю пластинку

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формула (4) тем точнее, чем меньше Определённый интеграл - определение с примерами решения В пределе при Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения, получим точную формулу для силы давления воды:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сумма (4) является интегральной для функции

Определённый интеграл - определение с примерами решения

поэтому ее предел есть соответствующий определенный интеграл. Следовательно, из (5) находим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определенный интеграл и площадь

Площадь, ограниченная графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения приблизительно находится как сумма площадей прямоугольников шириной Определённый интеграл - определение с примерами решения высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример:

Площадь, ограниченная кривой на рисунке, приблизительно равна площади 4 прямоугольников, полученных при делении данного отрезка на Определённый интеграл - определение с примерами решения равные части.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Геометрически эта сумма равна площади ступенчатой фигуры на рисунке и называется интегральной суммой функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Если увеличить количество точек деления, то можно записать:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Это можно коротко записать при помощи знака Определённый интеграл - определение с примерами решения "сигма".

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для непрерывной функции Определённый интеграл - определение с примерами решениядля достаточно больших значений Определённый интеграл - определение с примерами решения (т. е. при достаточно малых значениях Определённый интеграл - определение с примерами решения сумма площадей построенных прямоугольников и является интересующей нас площадью, "можно сказать, что они равны", т. е. при Определённый интеграл - определение с примерами решения получим Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отметим, что в интегральной сумме вместо значений Определённый интеграл - определение с примерами решения можно взять значение Определённый интеграл - определение с примерами решения в произвольной точке Определённый интеграл - определение с примерами решения интервала Определённый интеграл - определение с примерами решения

Справочный материал по определенному интегралу

Можно показать, что для непрерывной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения функции Определённый интеграл - определение с примерами решенияпри Определённый интеграл - определение с примерами решения последовательность интегральных сумм Определённый интеграл - определение с примерами решения стремится к определенному числу. Это число называется определенным интегралом функции Определённый интеграл - определение с примерами решенияна отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и записывается как Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Числа Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения являются пределами интегрирования, Определённый интеграл - определение с примерами решения- нижний предел, Определённый интеграл - определение с примерами решения- верхний предел, Определённый интеграл - определение с примерами решениязнак интеграла. Определённый интеграл - определение с примерами решения - подынтегральная функция, переменная Определённый интеграл - определение с примерами решения - переменная интегрирования.

Таким образом, при Определённый интеграл - определение с примерами решения площадь фигуры, ограниченной графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения выражается формулой Определённый интеграл - определение с примерами решения

При нахождении площади, ограниченной кривой обратите внимание на следующее:

  1. Схематично изобразите график функции.
  2. Заданный отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения делится на Определённый интеграл - определение с примерами решения отрезков, каждый из которых имеет длину Определённый интеграл - определение с примерами решения
  3. При вычислении определитесь в выборе значения Определённый интеграл - определение с примерами решения в левом или правом конце отрезков, полученных при делении.
  4. Вычисления можно проводить для прямоугольников, не превышающих кривой или превышающих кривой.

Пример:

Найдите, приблизительно, площадь криволинейной трапеции, находящейся под графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решенияразделив его на 5 равных частей.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: на рисунке представлен график данной функции, построенный при помощи графкалькулятора.

В рассматриваемом случае Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения Для Определённый интеграл - определение с примерами решения выберем значение в точке левого конца полученных отрезков. Сумма площадей 5 прямоугольников, шириной 3 ед. и высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения приблизительно равна значению площади криволинейной трапеции:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример:

Поезд с 07:00 до 09:00 двигался со скоростью 90 км/час. а) Выразите путь поезда в виде определенного интеграла; b) Найдите значение определенного интеграла, вычислив соответствующую площадь.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: а) Значение пути, которое требуется найти, численно равно закрашенной на рисунке площади.

Эта площадь выражается интегралом Определённый интеграл - определение с примерами решения

b) Значение пути, проделанного поездом на заданном временном промежутке равна площади прямоугольника, ограниченного графиком постоянной функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке [7; 9]. Так как высота данного прямоугольника 90, а ширина Определённый интеграл - определение с примерами решения то площадь равна: Определённый интеграл - определение с примерами решения т. е. Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример:

Вычислите интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение. Значение заданного определенного интеграла равно числовому значению площади ограниченной графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Данная фигура имеет форму трапеции и ее площадь можно вычислить при помощи геометрических формул.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определенный интеграл и формула Ньютона-Лейбница

Практическое занятие:

1) Постройте в тетради график функции Определённый интеграл - определение с примерами решения и выразите закрашенную площадь на рисунке в виде функции, зависящей от Определённый интеграл - определение с примерами решения

2) Покажите, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если для непрерывной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения неотрицательной функции Определённый интеграл - определение с примерами решения площадь полученной фигуры будет Определённый интеграл - определение с примерами решения то Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для нахождения производной функции Определённый интеграл - определение с примерами решения используем определение производной.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если Определённый интеграл - определение с примерами решения есть площадь под графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения построенном на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения соответствует площади под графиком той же функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

При стремлении Определённый интеграл - определение с примерами решения к нулю площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения стремится к площади

прямоугольника, шириной Определённый интеграл - определение с примерами решения и высотой Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения Отсюда, Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Эта запись показывает, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Значит, если Определённый интеграл - определение с примерами решения одна из первообразных функции Определённый интеграл - определение с примерами решения то Определённый интеграл - определение с примерами решения

По графику также видно, что площадь на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения равна площади на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения минус площадь на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Т. е., площадь на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример:

Найдите площадь, ограниченную графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения

на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: Мы уже знаем, что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Значит, Определённый интеграл - определение с примерами решения Найдем общий вид первообразных для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Постоянная Определённый интеграл - определение с примерами решения не влияет на разность значений функции. Тогда искомая площадь равна:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сравнивая формулы Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения площади, ограниченной

кривой, получаем следующий результат: для неотрицательной непрерывной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения функции Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Полученная формула верна для любой непрерывной функции.

Основная теорема интегрального исчисления

Если функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и функция Определённый интеграл - определение с примерами решения одна из первообразных функции Определённый интеграл - определение с примерами решения то справедливо следующее равенство

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Эта формула называется формулой Ньютона - Лейбница.

Эта формула также записывается как Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, определенный интеграл произвольной функции на отрезке равен приращению первообразной на данном отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения. В частном случае, если верхняя и нижняя границы определенного интеграла совпадают, то значение определенного интеграла равно нулю:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для вычисления определенного интеграла: Определённый интеграл - определение с примерами решения

  1. Для функции Определённый интеграл - определение с примерами решения находится какая-либо первообразная Определённый интеграл - определение с примерами решения
  2. Вычисляются значения Определённый интеграл - определение с примерами решения в точках Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения
  3. Находится разность Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №110

По рисунку найдите площадь, ограниченную графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №111

Вычислите определенный интеграл.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №112

Объясните ситуацию, соответствующую определенному интегралу.

Функция Определённый интеграл - определение с примерами решения выражает численность (в миллионах) населения через Определённый интеграл - определение с примерами решения лет. Какую информацию выражает значение интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: Определённый интеграл - определение с примерами решения Данный интеграл показывает, что численность

населения за 8 лет выросла 2 млн. человек

Прикладные задании

Работа переменной силы. Работа, совершаемая на нуги Определённый интеграл - определение с примерами решения постоянной силой Определённый интеграл - определение с примерами решениянаправленной вдоль прямой, вычисляется но формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения Если принять, что переменная сила остается постоянной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и обозначить ее через Определённый интеграл - определение с примерами решения то получим, что на отрезке длиной Определённый интеграл - определение с примерами решения работа будет равна Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тогда на пути (отрезке) Определённый интеграл - определение с примерами решения работа силы Определённый интеграл - определение с примерами решения вычисляется по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №113

По закону Гука сила, расстягивающая пружину на Определённый интеграл - определение с примерами решения см, вычисляется по формуле Определённый интеграл - определение с примерами решения Здесь к коэффициент пропорциональности. При растяжении пружины на 5 см, сила эластичности равна Определённый интеграл - определение с примерами решения Какую работу надо совершить для растяжения пружины на 5 см?

Решение: По условию Определённый интеграл - определение с примерами решения Таким образом, Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойства определенного интеграла

Отметим следующие свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Значение определенного интеграла не зависит от переменной интегрирования.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойство 2. Для любого числа Определённый интеграл - определение с примерами решения справедливо равенство

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойство 3. Если функции Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывны на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то

справедливо равенство

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойство 4. Для Определённый интеграл - определение с примерами решения и непрерывной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения функции Определённый интеграл - определение с примерами решениясправедливо равенство

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

площадь ограниченная функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения на интервале Определённый интеграл - определение с примерами решения равна сумме площадей

Определённый интеграл - определение с примерами решения Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример: Вычислите определенный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так как Определённый интеграл - определение с примерами решения то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойство 5. Если в определенном интеграле поменять местами пределы интегрирования, знак интеграла меняется на противоположный.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

На самом деле, Определённый интеграл - определение с примерами решения

До настоящего момента говоря о площади, которую ограничивает график функции, мы имели ввиду, что функция принимает неотрицательные значения. Что же будет, если площадь, ограниченная графиком функции, будет находится как ниже, так и выше оси Определённый интеграл - определение с примерами решения Сможем ли мы найти эту площадь при помощи определенного интеграла? В этом случае надо использовать свойство, представленное выше.

Площадь расположена выше оси Определённый интеграл - определение с примерами решения!

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если при условии Определённый интеграл - определение с примерами решения на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения функция Определённый интеграл - определение с примерами решения то график функции Определённый интеграл - определение с примерами решения расположен выше оси Определённый интеграл - определение с примерами решения и значение интеграла положительно.

Определённый интеграл - определение с примерами решения Площадь расположена ниже оси Определённый интеграл - определение с примерами решения!

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если при условии Определённый интеграл - определение с примерами решения на промежуткеОпределённый интеграл - определение с примерами решения функция Определённый интеграл - определение с примерами решения то график функции Определённый интеграл - определение с примерами решения расположен ниже оси Определённый интеграл - определение с примерами решения и значение интеграла отрицательно.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Понятно, что числовое значение площади не может быть отрицательным, поэтому при нахождении этого интеграла берется его абсолютное значение.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Площадь функции Определённый интеграл - определение с примерами решения ограниченной на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения состоит из двух частей -площади Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и площади Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

На отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

На отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

Общая площадь: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример: Найдите площадь закрашенной части.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: Зная, что на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения а на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения имеем:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Свойство 5. Если на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения функция Определённый интеграл - определение с примерами решения то справедливо следующее равенство:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Площадь фигуры, ограниченной кривыми

Пусть требуется найти площадь фигуры, ограниченной графиками функций Определённый интеграл - определение с примерами решенияи Определённый интеграл - определение с примерами решения Площадь требуемой фигуры Определённый интеграл - определение с примерами решения на рисунке можно найти, вычитая из площади Определённый интеграл - определение с примерами решения площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения Каждую площадь можно вычислить как определенный интеграл на заданном промежутке.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Эти суждения можно обобщить следующим образом. Так как функции Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывны на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения и на этом отрезке выполняется условие Определённый интеграл - определение с примерами решения (т. е. график функции Определённый интеграл - определение с примерами решения расположен выше графика функции Определённый интеграл - определение с примерами решения то площадь ограниченная графиками функций Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения можно выразить следующим выражением: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Графики функций не имеют общих точек.

Пример №114

Найдите площадь, ограниченную графиками функций Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Графики функций пересекаются в двух точках.

Пример №115

Найдите площадь, ограниченную графиками функций Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения графиков функций

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Полученные значения Определённый интеграл - определение с примерами решения являются границами определенного интеграла.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Функции имеют более двух точек пересечения

Пример №116

Найдите площадь, заключенную между графиками функций Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: Найдем абсциссы точек пересечения графиков.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Значит, графики пересекаются в точках с абсциссами Определённый интеграл - определение с примерами решения По графикам функций также видно, что площадь, которую мы должны найти, состоит из площади, ограниченной графиками на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения и на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения На промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения выполняется условие Определённый интеграл - определение с примерами решения на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения выполняется условие Определённый интеграл - определение с примерами решения (разность функций учитываются при записи интеграла).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №117

Члены школьного клуба юных конструкторов работают над созданием нового двигателя для автомобиля, который будет меньше засорять окружающую среду. Для нового мотора изменение количества частиц (млрд), загрязняющих атмосферу, в Определённый интеграл - определение с примерами решенияый год можно выразить следующим образом: Определённый интеграл - определение с примерами решения Количество загрязняющих частиц, выбрасываемых старым мотором имеет вид: Определённый интеграл - определение с примерами решения

a) В какой год они будут выбрасывать в атмосферу одинаковое количество частиц?

b) Какова разница между количеством вредных частиц, выброшенных в атмосферу, за этот период?

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: а) при Определённый интеграл - определение с примерами решения удовлетворяющего условию Определённый интеграл - определение с примерами решения количество вредных частиц будет одинаково.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Значение Определённый интеграл - определение с примерами решения не соответствует смыслу задачи. На 3-ий год новый мотор будет давать такое же количество вредных частиц, как и старый.

b) Разность количества вредных частиц равна разности площадей на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения (млрд. частиц)

Определенный интеграл и объем фигур вращении

Как известно, площадь является числовой мерой фигур на плоскости. Объем является числовой мерой пространственных тел. Для вычисления объемов ряда пространственных фигур были найдены геометрические формулы.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Например, нам известны формулы для вычисления объемов прямоугольного параллелепипеда Определённый интеграл - определение с примерами решения пирамиды Определённый интеграл - определение с примерами решения цилиндра Определённый интеграл - определение с примерами решения а также шара Определённый интеграл - определение с примерами решения и конуса Определённый интеграл - определение с примерами решения

Формулы для нахождения объемов можно доказать как геометрически, гак и при помощи интеграла.

Существуют различные способы нахождения объемов фигур. Один из них - способ расслойки (сложение сечений). С этим способом мы познакомились на примере принципа Кавальери. При помощи этого способа можно найти как объем фигуры, сечения которых не изменяются, как, например, цилиндра, так и объемы фигур с изменяющимися сечениями, например, пирамиды.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Объем фигуры можно найти, найдя сумму объемов каждого слоя. Пусть Определённый интеграл - определение с примерами решения - площадь сечения, проходящего через точку Определённый интеграл - определение с примерами решения Значит, если фигура состоит из Определённый интеграл - определение с примерами решения сечений и высота каждого сечения равна Определённый интеграл - определение с примерами решения то зная, что Определённый интеграл - определение с примерами решения площадь основания, объем фигуры можно выразить как сумму объемов расслоек Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

По определению интеграла объем пространственных фигур можно найти по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Для нахождения объема фигур при помощи метода расслойки, надо:

  • 1. Изобразить соответствующий рисунок и определить форму поперечного сечения (слоя).
  • 2. Записать площадь поперечного сечения как функцию от определенной переменной.
  • 3. Для данной функции, на заданном отрезке, записать и вычислить определенный интеграл.

Пример №118

Методом расслойки определите формулу объема правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна Определённый интеграл - определение с примерами решения а высота Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

1) Любое сечение, параллельное основанию данной пирамиды, является квадратом.

2) Обозначим площадь сечения, проходящего на расстоянии Определённый интеграл - определение с примерами решения от вершины через

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Из подобия полученных пирамид получим:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Отсюда: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Объем пирамиды:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Фигуры вращения, поперечным сечением которых является круг, и их объемы.

Фигура на рисунке получена вращением плоскости, ограниченной функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения вокруг оси Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Рассмотрим другой пример, где нужно найти объем фигуры вращения.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Тело вращения на рисунке получено вращением вокруг оси Определённый интеграл - определение с примерами решения части плоскости, ограниченной графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Объем фигуры можно, приблизительно, найти как сумму объемов бесконечно маленьких цилиндров, если разделить отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решенияна одинаковые но длине отрезки Определённый интеграл - определение с примерами решения Объем каждого маленького цилиндра, полученного вращением фигуры, можно выразить как Определённый интеграл - определение с примерами решения и поэтому объем тела вращения находится по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №119

Найдите объем фигуры, полученной вращением плоской части, ограниченной графиком функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения вокруг оси Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: объем искомой фигуры, согласно формуле объемов фигур вращения, находится так:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №120

Найдите объем конуса, радиус которого равен Определённый интеграл - определение с примерами решения а высота равна Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение: гак как Определённый интеграл - определение с примерами решения то

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Объем конуса: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определенный интеграл и его приложения

К понятию определенного интеграла приводят самые разнообразные задачи, такие как определение площади плоской фигуры, отыскание работы переменной силы, отыскание пути по заданной переменной скорости и многие, многие другие задачи.

Понятие определенного интеграла, геометрический и экономический смысл определенного интеграла.

Пусть функция у = f(х) - непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения Фигура Определённый интеграл - определение с примерами решенияограниченная графиком функции у = f(x), прямыми

Определённый интеграл - определение с примерами решения называется криволинейной трапецией (рисунок 1). Найдем площадь этой трапеции.

Выполним следующие действия:

1.    Разобьем отрезок Определённый интеграл - определение с примерами решения следующими точками: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения на n частичных  отрезковОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

2.    В каждом частичном отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения выберем произвольную точку Определённый интеграл - определение с примерами решения и вычислим значение функции в ней, т.е. величину Определённый интеграл - определение с примерами решения

3.    Умножим найденное значение функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на длину Определённый интеграл - определение с примерами решениясоответствующего частичного отрезка:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

4.    Составим    сумму    всех    таких    произведений:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Сумма вида (7.1) называется интегральной суммой функции у = f(х) на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения где Определённый интеграл - определение с примерами решения - длина соответствующего частичного отрезка.

Площадь Определённый интеграл - определение с примерами решения приблизительно равна площади криволинейной трапеции Определённый интеграл - определение с примерами решения

5. Найдем предел интегральной суммы (7.1), когда количество отрезков разбиения Определённый интеграл - определение с примерами решения следовательно, длина наибольшего из элементарных отрезков Определённый интеграл - определение с примерами решения стремится к нулю.

Определение. Если существует предел интегральных сумм (7.1), когда количество отрезков разбиения Определённый интеграл - определение с примерами решения и длина наибольшего из элементарных отрезков Определённый интеграл - определение с примерами решения стремится к нулю; и если при этом интегральная сумма Определённый интеграл - определение с примерами решения имеет предел S который не зависит от способа разбиения отрезка Определённый интеграл - определение с примерами решения на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то число S называется определенным интегралом.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где:

а и b - числа, соответственно нижний и верхний пределы интегрирования,

f(х) - подынтегральная функцией,

Определённый интеграл - определение с примерами решения -подынтегральное выражение,

х - переменная интегрирования,

Определённый интеграл - определение с примерами решения -область (отрезок) интегрирования.

Геометрический смысл определенного интеграла (рисунок 7.1).

Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции Определённый интеграл - определение с примерами решенияограниченной графиком функции у = f(х), прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и осью 0х.

Определённый интеграл - определение с примерами решения
 

Теорема существования

Теорема Коши. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то определенный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения существует.

Функция у = f(х), для которой существует определенный интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения называется интегрируемой на этом отрезке.

Формула Ньютона - Лейбница

Теорема. Интеграл от дифференциала функции F(x) равен приращению

функции F(x) на промежутке интегрирования

Определённый интеграл - определение с примерами решения
или:

если F(x) есть какая-либо первообразная подынтегральной функции f(х), то

Определённый интеграл - определение с примерами решения
Формула (7.2) называется формулой Ньютона-Лейбница, служит для вычисления определенного интеграла, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл.
Определённый интеграл - определение с примерами решения
т.е. определенный интеграл равен разности значений неопределенного

интеграла при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Правило: чтобы вычислить определенный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения надо найти неопределенный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения подставить в полученное выражение
вместо х вначале верхний предел, затем нижний, и вычесть вторую величину из первой.

Замечание. Постоянное слагаемое С неопределенного интеграла можно не выписывать, т.к. оно уничтожается при вычитании.
 

Пример 1. Определённый интеграл - определение с примерами решения
 

Пример 2. Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример 3. Определённый интеграл - определение с примерами решения
 

Напомню свойства определенного интеграла:

1.    При перестановке пределов интегрирования знак интеграла меняется на противоположный

Определённый интеграл - определение с примерами решения

2.    Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

3.    Если функция у = f(х) интегрируема на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

4.    Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых

Определённый интеграл - определение с примерами решения

5.    Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла

Определённый интеграл - определение с примерами решения где с - постоянная.

6.    «Теорема о среднем». Если функция непрерывна на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения то существует точка Определённый интеграл - определение с примерами решения такая, что Определённый интеграл - определение с примерами решения
Геометрический смысл данного свойства: значение определенного интеграла равно, при некотором Определённый интеграл - определение с примерами решения площади прямоугольника с высотой f(с) и основанием b-а.

Число Определённый интеграл - определение с примерами решения
называется средним значением функции f(х) на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

7.    Неравенство между непрерывными функциями на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решенияможно интегрировать. Так, если Определённый интеграл - определение с примерами решения при Определённый интеграл - определение с примерами решениято Определённый интеграл - определение с примерами решения

8. Оценка определенного интеграла. Если m - наименьшее, а М -наибольшее значения функции Определённый интеграл - определение с примерами решения на интервале Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство: т.к. для любого Определённый интеграл - определение с примерами решения имеет место неравенствоОпределённый интеграл - определение с примерами решения то согласно свойству 7:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Применяя к крайним интегралам свойство 6, получим

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если f(х)- неотрицательная функция, то свойство 8 иллюстрируется геометрически: площадь криволинейной трапеции (Рисунок 7.2) заключена между площадями прямоугольников, основание которых есть Определённый интеграл - определение с примерами решения а высоты соответственно равны m и М .

9. Производная определенного интеграла по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции, в которой переменная интегрирования заменена этим пределом, т.е.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Доказательство. По формуле Ньютона-Лейбница
Определённый интеграл - определение с примерами решения
Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Это означает, что определенный интеграл с переменным верхним пределом есть первообразная подынтегральной функции.

Интегрирование методом замены переменной

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где Определённый интеграл - определение с примерами решения - функция, непрерывная вместе со своей производной, Определённый интеграл - определение с примерами решения на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения - функция, непрерывная на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №121

Вычислить Определённый интеграл - определение с примерами решения

Введем новую переменную t Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определим для нее пределы интегрирования Определённый интеграл - определение с примерами решения
Подставляя, получим: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интегрирование по частям определенного интеграла

Определённый интеграл - определение с примерами решения
где Определённый интеграл - определение с примерами решения - непрерывно дифференцируемые функции на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №122


Определённый интеграл - определение с примерами решения
 

Площадь плоской фигуры в декартовой системе координат

1. Площадь криволинейной трапеции, расположенной выше оси абсцисс (рисунок 7.3), где Определённый интеграл - определение с примерами решения - уравнение линии, ограничивающей трапецию, равна определенному интегралу:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где пределы интегрирования а и b - абсциссы начала и конца линии.Определённый интеграл - определение с примерами решения

2. Если криволинейная трапеция расположена «ниже» оси Ох (рисунок 7.4) Определённый интеграл - определение с примерами решения то ее площадь определяется:
Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

3. Площадь фигуры, ограниченной кривыми Определённый интеграл - определение с примерами решения прямыми Определённый интеграл - определение с примерами решения можно найти по формуле:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

4. Если плоская фигура имеет «сложную форму», то прямыми, параллельными оси Оу, ее следует разбить на части так, чтобы можно было бы применить уже известные формулы.

5. Если криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически Определённый интеграл - определение с примерами решения прямыми х = а и х = b и осью Ох, то ее площадь находится по формуле
Определённый интеграл - определение с примерами решения
где Определённый интеграл - определение с примерами решения находятся из равенств Определённый интеграл - определение с примерами решения
 

Площадь плоской фигуры в полярной системе координат

Если линия, ограничивающая фигуру, задана уравнением в полярной системе координат, то в качестве основной фигуры принимается криволинейный сектор - фигура, ограниченная линией Определённый интеграл - определение с примерами решения и двумя лучами Определённый интеграл - определение с примерами решения

Площадь равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вычисление длины дуги плоской кривой

1. Если кривая у = f(х) на отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения - гладкая (т.е. производная Определённый интеграл - определение с примерами решениянепрерывна), то длина соответствующей дуги этой кривой находится по формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения

2. При параметрическом задании кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения

(Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывно дифференцируемые функции) длина дуги кривой, соответствующая монотонному изменению параметра t от Определённый интеграл - определение с примерами решения вычисляется по формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если гладкая кривая задана в полярных координатах уравнением Определённый интеграл - определение с примерами решения то длина дуги равна

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №123

Найти длину дуги кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения

Дифференцируя уравнение кривой, найдем Определённый интеграл - определение с примерами решения
Таким образом, Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №124

Найти длину дуги кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение. Найдем производные по параметру Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения Следовательно,

Определённый интеграл - определение с примерами решения
 

Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

Если площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси Ох, может быть выражена как функция от х, т. е. в виде Определённый интеграл - определение с примерами решения то объем части тела, заключенной между перпендикулярными оси 0х плоскостями х = а и х = b, находится по формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вычисление объема тела вращения

Если криволинейная трапеция, ограниченная непрерывной знакопостоянной функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения прямыми: у = 0, х = а и х = b, вращается вокруг оси 0х, то в результате образуется «тело вращения» (рисунок 7.5), объем которого можно вычислить. На каждом частичном отрезке Определённый интеграл - определение с примерами решения выберем произвольную точку Определённый интеграл - определение с примерами решения и вычислим значение функции в ней, т.е. величину Определённый интеграл - определение с примерами решения
Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если фигура, ограниченная кривыми Определённый интеграл - определение с примерами решения и Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямыми х = а и х = b, вращается вокруг оси Ох, то объем тела вращения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Пример №125

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х фигуры (Рисунок 7.6), ограниченной кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения и прямой х = 2.
Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение

Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения
 

Использование понятия определенного интеграла в экономике

Рассмотрим приложения определенного интеграла для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике.

Введем несколько экономических понятий и обозначений.

Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решения

Спрос на данный товар (D-demand) -сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и объемом его покупки. Спрос на отдельный товар графически изображается в виде кривой с отрицательным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой Р (price) единицы этого товара и количеством товара Q (quantity), которое потребители готовы купить при каждой заданной цене. Отрицательный наклон кривой спроса имеет очевидное объяснение: чем дороже товар, тем меньше количество товара, которое покупатели готовы купить, и наоборот.

Аналогично определяется и другое ключевое понятие экономической теории - предложение (S-supply) товара: сложившаяся на определенный момент времени зависимость между ценой товара и количеством товара, предлагаемого к продаже. Предложение отдельного товара изображается графически в виде кривой с положительным наклоном, отражающей взаимосвязь между ценой единицы этого товара Р и количеством товара Q, которое потребители готовы продать при каждой цене. Отметим, что экономисты сочли удобным изображать аргумент (цену) по оси ординат, а зависимую переменную (количество товара) по оси абсцисс. Поэтому графики функций спроса и предложения выглядят следующим образом (Рисунок 7.7).

Введем еще одно понятие - рыночное равновесие (equilibrium). Состояние равновесия характеризуют такие цена и количество, при которых объем спроса совпадает с величиной предложения, а графически рыночное равновесие изображается точкой пересечения кривых спроса и предложения (Рисунок 7.8), Определённый интеграл - определение с примерами решения-точка равновесия.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В дальнейшем для удобства анализа мы будем рассматривать не зависимость Определённый интеграл - определение с примерами решения а обратные функции спроса и предложения, характеризующие зависимость Определённый интеграл - определение с примерами решения тогда аргумент и значение функции графически будут изображаться привычным для нас образом.

Перейдем к рассмотрению приложений интегрального анализа для определения потребительского излишка.

Для этого изобразим на графике обратную функцию спроса Определённый интеграл - определение с примерами решения Допустим, чтоОпределённый интеграл - определение с примерами решения (см. Рисунок 7.9)

Определённый интеграл - определение с примерами решения

 

Если покупатель приобретает товар в количестве Определённый интеграл - определение с примерами решения по равновесной цене Определённый интеграл - определение с примерами решения то

очевидно, что общие расходы на покупку такого товара составят Определённый интеграл - определение с примерами решения что равно площади заштрихованной фигуры А . Но предположим теперь, что товар в количестве Определённый интеграл - определение с примерами решения продается продавцами не сразу, а поступает на рынок небольшими партиями Определённый интеграл - определение с примерами решения Именно такое допущение вместе с предположением о непрерывности функции спроса и предложения является основным при выводе формулы для расчета потребительского излишка. Отметим, что данное допущение вполне оправдано, потому что такая схема реализации товара довольно распространена на практике и вытекает из цели продавца поддерживать цену на товар как можно выше.

Тогда получим, что сначала предлагается товар в количестве Определённый интеграл - определение с примерами решения (Рисунок 7.10), который продается по цене Определённый интеграл - определение с примерами решения Так как по предположению величина Определённый интеграл - определение с примерами решения мала, то можно считать, что вся первая партия товара реализуется по цене Определённый интеграл - определение с примерами решения при этом затраты покупателя на покупку такого количества товара составят Определённый интеграл - определение с примерами решения что соответствует площади заштрихованного прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения (Рисунок 7.10).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Далее на рынок поступает вторая партия товара в том же количестве, которая продается по цене Определённый интеграл - определение с примерами решения общее количество реализованной продукции, а затраты покупателя на покупку второй партии составят Определённый интеграл - определение с примерами решения что соответствует площади прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения

Продолжим процесс до тех пор, пока не дойдем до равновесного количества товара Определённый интеграл - определение с примерами решения Тогда становится ясно, какой должна быть величина Определённый интеграл - определение с примерами решения для того, чтобы процесс продажи товара закончился в точке Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

В результате получим, что цена n-й партии товара Определённый интеграл - определение с примерами решения а затраты потребителей на покупку этой последней партии товара составят Определённый интеграл - определение с примерами решения или площадь прямоугольника Определённый интеграл - определение с примерами решения

Таким образом, мы получим, что суммарные затраты потребителей при покупке товара мелкими партиями Определённый интеграл - определение с примерами решения равны

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Так как величина Определённый интеграл - определение с примерами решения очень мала, а функция Определённый интеграл - определение с примерами решения непрерывна, то заключаем, что Определённый интеграл - определение с примерами решения приблизительно равна площади фигуры В (Рисунок 7.11), которая, как известно, при малых приращениях аргумента Определённый интеграл - определение с примерами решения равна определенному интегралу от обратной функции спроса при изменении аргумента от 0 до Определённый интеграл - определение с примерами решения т. е. в итоге получим, что

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Вспомнив, что каждая точка на кривой спроса Определённый интеграл - определение с примерами решения
показывает, какую сумму потребитель готов заплатить за покупку дополнительной единицы продукта, получим, что площадь фигуры В соответствует общей денежной сумме, которую потребитель готов потратить на покупку Определённый интеграл - определение с примерами решения единиц товара. Разность между площадью фигуры В и площадью прямоугольника А есть потребительский излишек при покупке данного товара - превышение общей стоимости, которую потребитель готов уплатить за все единицы товара, над его реальными расходами на их приобретение (площадь заштрихованной фигуры на рисунке 7.12).

Таким образом, потребительский излишек можно посчитать по следующей формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения
Рассмотрим задачи на определение излишка потребителя.

Задача №1. Известно, что спрос на некоторый товар задается

функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения где q - количество товара (в шт.), р - цена единицы товара (в руб.), а равновесие на рынке данного товара достигается при Определённый интеграл - определение с примерами решенияОпределённый интеграл - определение с примерами решенияОпределите величину потребительского излишка (Рисунок 7.12).

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение.

Определённый интеграл - определение с примерами решения
Ответ: 2 2/3 (руб.).
 

Задача № 2. Известно, что спрос на некоторый товар описывается функцией Определённый интеграл - определение с примерами решения а предложение данного товара характеризуется функцией q = 500р. Найдите величину излишка потребителя при покупке данного товара.

Решение. Для расчета излишка потребителя сначала определим параметры рыночного равновесия Определённый интеграл - определение с примерами решения Для этого решим систему уравнений
Определённый интеграл - определение с примерами решения
Таким образом, Определённый интеграл - определение с примерами решения 

Запишем формулу для вычисления потребительского излишка, где f(q) - функция, обратная функции Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Ответ: 1000

Несобственные интегралы

Ранее мы рассматривали интегралы от функций, интегрируемых на конечных отрезках интегрирования, т.е. ограниченных. На практике возникает необходимость обобщения этих понятий на случаи, когда либо один из концов или оба отрезка интегрирования удалены в бесконечность, либо функция не ограничена на отрезке интегрирования. Такие интегралы называются несобственными.
 

Несобственные интегралы 1-го рода (интегралы с бесконечными пределами интегрирования)

Пусть функция f(х) определена и непрерывна при всех значениях х таких,
что Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определение. Если существует конечный предел

Определённый интеграл - определение с примерами решения
то этот предел называют несобственным интегралом от функции f(х) на интервале Определённый интеграл - определение с примерами решенияи обозначают: Определённый интеграл - определение с примерами решения

Следовательно, по определению имеем:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если существует конечный предел в правой части равенства (7.3), то в этом случае говорят, что несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения сходится.

Если же указанный предел не существует, то говорят, что интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решениярасходится.

При работе с несобственными интегралами обычно выделяют следующие две задачи:

  • а)    исследование вопроса о сходимости заданного несобственного интеграла;
  • б)    вычисление значения интеграла, если несобственный интеграл сходится.

Геометрический смысл несобственных интегралов

Если интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения- определяет площадь области, ограниченной кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения осью абсцисс и ординатами Определённый интеграл - определение с примерами решения то несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения выражает площадь неограниченной (бесконечной) трапеции, заключенной между линиями Определённый интеграл - определение с примерами решения и осью абсцисс.

Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов:
Определённый интеграл - определение с примерами решения
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами определяется по формуле

Определённый интеграл - определение с примерами решения

где с - произвольное число.

В случае (7.5) интеграл слева сходится лишь тогда, когда сходятся оба интеграла справа.

Пример:

Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.к. предел существует, то интеграл сходится.
 

Пример:

Определённый интеграл - определение с примерами решения интеграл
расходится.
 

Пример:

Определённый интеграл - определение с примерами решения интеграл расходится, t.k. при Определённый интеграл - определение с примерами решения предел Определённый интеграл - определение с примерами решения не существует.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл

Определённый интеграл - определение с примерами решения называемый интегралом Эйлера-Пуассона. Доказано,Определённый интеграл - определение с примерами решения Другими словами, площадь S под кривой Определённый интеграл - определение с примерами решения (получившей название кривой Гаусса) на интервале Определённый интеграл - определение с примерами решения равна 1.

Признаки сходимости несобственных интегралов

Теорема 1 (признак сравнения). Если на промежутке Определённый интеграл - определение с примерами решения

непрерывные функции Определённый интеграл - определение с примерами решения удовлетворяют условию Определённый интеграл - определение с примерами решения то из сходимости интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения следует сходимость интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения

а из расходимости интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения следует расходимость интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения
 

Пример №126

Исследовать на сходимость интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения
Решение. При Определённый интеграл - определение с примерами решения имеем Определённый интеграл - определение с примерами решения Но интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения сходится, (см. пример 9). Следовательно, интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения также сходится, его значение меньше 1.

Теорема 2. Если существует предел Определённый интеграл - определение с примерами решения

Определённый интеграл - определение с примерами решения то интегралы Определённый интеграл - определение с примерами решения одновременно оба сходятся или оба расходятся (т.е. ведут себя одинаково в смысле сходимости).

Пример №127

Исследовать сходимость интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение. Подынтегральная функция положительна в промежутке интегрирования. Для определения сходимости интеграла воспользуемся теоремой 2 и найдем предел отношений функций исходного интеграла и функции Определённый интеграл - определение с примерами решения сходящегося интеграла Определённый интеграл - определение с примерами решения : Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.к. предел существует, то интеграл  Определённый интеграл - определение с примерами решения сходится. (Числитель дроби преобразован по теореме об эквивалентных бесконечно малых Определённый интеграл - определение с примерами решения
 

Пример №128

Вычислить несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение. Подынтегральная функция четная, следовательно

Определённый интеграл - определение с примерами решения

т.е. несобственный интеграл сходится.
 

Пример №129

Вычислить несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения

Решение.

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения сходится.
 

Несобственные интегралы 2-го рода (интегралы от неограниченных функций)

Пусть функция f(х) определена и непрерывна при Определённый интеграл - определение с примерами решения а при х=b имеет бесконечный разрыв или не определена . Если существует конечный предел Определённый интеграл - определение с примерами решения то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают Определённый интеграл - определение с примерами решения Итак, по определению,

Определённый интеграл - определение с примерами решения

Если предел в правой части существует, то несобственный интеграл Определённый интеграл - определение с примерами решения сходится. Если же указанный интеграл не существует или бесконечен, то говорят, что интеграл