Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Пространство R" - определение и примеры решения

Содержание:

Последовательное n-кратное выполнение операции декартова произведения множества действительных чисел R на само себя формирует множество R" элементов, представляющих собой упорядоченные наборы n чисел Пространство R

Точки можно складывать и умножать на число.

Пространство R

Расстоянием между точками x и у принято называть число Пространство R

При n = 2 и n = 3 - это обычное расстояние между точками на плоскости или в пространстве.

Расстояние обладает следующими свойствами:

Пространство R

С помощью понятия расстояния р можно определить понятие сферы радиуса R с центром в точке Пространство R, как множество точек, каждая из которых находится на расстоянии R от точки Пространство R.

Шаром с радиусом R и центром в точке Пространство R называется множество точек Пространство R(Пространство R) удаленных от точки Пространство R на расстояние не превосходящее R:

Пространство R

Множество Пространство R называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором шаре. Нетрудно показать, что ограниченность множества {М} означает, что существует такое число R> 0, что величины координат любой точки Пространство Rиз {М} по абсолютной величине не превосходит R.

Пусть число Пространство R > О сколь угодно мало, тогда множество точек Пространство R, координаты которых удовлетворяют неравенству Пространство R< Пространство R, называются Пространство R- окрестностью точкиПространство R т.е. для всех точек М из Пространство R- окрестности точки Пространство R расстояние Пространство R.

Далее, используя понятие Пространство R-окрестности, можно ввести классификацию точек области D.

Точка Пространство R называется предельной или точкой сгущения области D, если в любой Пространство R-окрестности точки Пространство R найдутся точки множества D, отличные отточки Пространство R.

Точка Пространство R называется внутренней точкой множества D, если она входит в D вместе с некоторой окрестностью. Любая внутренняя точка является предельной точкой множества, однако обратное утверждение не верно. Например, множество рациональных чисел Q составлено только из предельных точек, но ни одна из них не является внутренней точкой.

Точка Пространство R называется внешней точкой множества D, если в D не входит ни сама точка Пространство R ни точки ее Пространство R-окрестности.

Точка Пространство R называется граничной точкой множества D, если любая ее Пространство R- окрестность содержит как точки, принадлежащие множеству D, так и не принадлежащие ему.

Пространство R

Точка Пространство R называется изолированной точкой множества D, если она принадлежит D, но имеет некоторую окрестность, в которой отсутствуют точки этого множества, отличные от Пространство R. Изолированными точками являются, например, целые числа.

Множество, составленное из одних внутренних точек, называется открытой областью. Множество, которое содержит все свои предельные точки, называется замкнутым. Множество, которое не содержит изолированных точек, называется совершенным.

Выполнение простейших операций над множествами, таких как объединение и пересечение, позволяет сформулировать следующие общие свойства множеств:

  1. Любое объединение бесконечного числа открытых множеств Пространство R является открытым множеством;
  2. Любое пересечение бесконечного числа замкнутых множеств Пространство Rявляется замкнутым множеством;
  3. Всякое конечное объединение замкнутых множеств является замкнутым множеством;
  4. Всякое конечное пересечение открытых множеств является открытым множеством.

Примечания:

  1. Бесконечное объединение замкнутых множеств может оказаться незамкнутым множеством;
  2. Бесконечное пересечение открытых множеств может оказаться неоткрытым множеством.

Последовательности в R" и сходимость

Аналогично последовательности чисел, можно определить последовательность точек Пространство R Рассмотрим последовательность точек пространства Пространство R:

Пространство R

Говорят, что эта последовательность сходится к точке Пространство R, если величина расстояния между точками Пространство R и Пространство R есть величина бесконечно малая и с ростом k стремится к нулю:

Пространство R

Можно дать и другое определение сходящейся последовательности.

Пусть: Пространство R - последовательность точек в Пространство R. Эта последовательность сходится к точке Пространство R, если последовательность Пространство R сходится к Пространство Rпоследовательность Пространство R сходится к Пространство R

Так же, как и в случае числовой последовательности, любая Пространство R - окрестность точки сгущения последовательности точек Пространство R в Пространство R содержит бесконечное число элементов последовательности.

Понятие последовательности точек Пространство R в Пространство R предполагает наличие биективного отображения между элементами множества Пространство R и множеством натуральных чисел N. Если выделить последовательность Пространство Rиз множества N у то соответствующие элементы Пространство R образуют подпоследовательность последовательности (Пространство R). Другими словами, подпоследовательность - это любая бесконечная часть последовательности.

Всякая ограниченная последовательность точек в пространстве Пространство R содержит подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке из Пространство R. Таким образом, если последовательность точек (Пространство R) ограничена, т.е. заключена внутри некоторого шара, то ввиду бесконечности этой последовательности, внутри этого шара обязательно должны найтись места сгущения этой последовательности (должны существовать подпоследовательности, сходящиеся к некоторым внутренним или граничным точкам этого шара).

Функции в R". Предел. Теорема Гейне

Если Пространство R из областиПространство R по определенному правилу или закону ставится в соответствие единственное значение величины Пространство R, то говорят, что на области Пространство R определена функция y = f(M). Координаты точки Пространство Rназываются независимыми переменными или аргументами функции, переменная у- зависимой переменной, а символ f обозначает закон соответствия.

Описание законов соответствия y = f(M) в многомерном случае имеют намного более ограниченные возможности, нежели в одномерном случае. К основным способам задания функции нескольких переменных можно отнести:

  • Формульный или аналитический;
  • Структурно-логический;
  • Геометрический.

Геометрический способ задания функции затруднен уже при n = 2, поскольку, в этом случае, график функциональной зависимости совпадает с поверхностью вида z = f(x,y), построенной в трехмерном пространстве.

Для того чтобы лучше представить себе характер изменения графика при различных значениях аргументов х и у в пространстве, задают плоские сечения поверхности плоскостями, соответствующими фиксированным значениям функции у-const. Получающиеся в каждом сечении кривые называют линиями уровня.

Уже при Пространство R наглядность в задании функциональной зависимости исчезает, и все представления такого рода относятся к рассмотрению гиперповерхностных форм.

Определение предела функции по Коши:

Пусть дана функция у = f(M), определенная на области Пространство R. Число С называется пределом у = f(M) в точке сгущения Пространство R если Пространство R такое, что Пространство R

Символически обозначение предела выглядит следующим образом:

Пространство R

Определение предела функцин по Гейне:

При любом выборе последовательности точек Пространство R, сходящейся к точке сгущения Пространство R соответствующие числовые последовательности значений функции Пространство R сходятся, причем у всех последовательностей Пространство Rдолжен быть единый предел.

Непрерывность функции в R"

Рассмотрим функцию у = f(M), определенную в области Пространство R. Предположим, что лишь одна переменная Пространство R получила приращение Пространство R а остальные переменные остались неизменными. Тогда разность:

Пространство R

называется частным приращением функции Пространство R по переменной Пространство R. Функция Пространство R называется непрерывной по переменной Пространство R если функция определена как в точке Пространство R так и в точке Пространство Rи эти точки являются точками сгущения этой функции. При этом должно выполняться условие Пространство Rт.е. бесконечно малым приращениям переменной Пространство R должны соответствовать бесконечно малые частные приращения функции Пространство R.

Если приращение получают все переменные, то соответствующее приращение функции: Пространство Rназывается полным приращением функции (или просто приращением функции).

Естественно, что во всех точках, соответствующих как частным приращениям, так и полному приращению функции, сама функция должна быть определена.

Также следует отметить, что полное приращение функции, вообще говоря, не равно сумме частных приращений:

Пространство R

Функция многих переменных, определенная в D, называется непрерывной в точке сгущения Пространство R, если:

Пространство R

Из данного определения следует, что:

  • функция должна быть определена в точке Пространство Rи эта точка должна быть предельной в области существования функции;
  • приращение Пространство R = f(M)- f(Пространство R) для любой непрерывной функции является величиной бесконечно малой: Пространство R причем это условие должно выполняться и для всех частных приращений функции f

Таким образом, для выполнения требования непрерывности функции нескольких переменных в точке необходимо, чтобы функция была непрерывна как в самой точке, так и в некоторой окрестности этой точки, причем при достаточно малых по абсолютной величине приращениях переменных Пространство R

Непрерывность на множестве

Функция у — f(M) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна во всех точках этого множества.

Непрерывные функции многих переменных обладают следующими свойствами:

Композиции h(M) функций f(M) и g(M) вида:

  1. h(M) = f(M) + g(M).
  2. h(M) = f(M)-g(M).
  3. h(M) = f(M)-g(M).
  4. Пространство Rявляются непрерывными в точке M , если f(M) и g(M) непрерывными в точке М .

По аналогии с понятием сложной функции одной переменной для функций нескольких переменных можно ввести понятие суперпозиции функций.

Если функция Пространство R определена в области Пространство R а семейство функций Пространство R определено в Пространство R и области изменения функций этого семейства Пространство R содержатся во множестве А то в В задана сложная зависимость Пространство R. Если функция Пространство R определена в области А и непрерывна в Пространство R а функции Пространство R определены в В и непрерывны в Пространство R, то при условии, что Пространство R функция Пространство Rявляется непрерывной в точке Пространство R, то есть Пространство R

Теоремы о непрерывности

Теоремы Больцано-Коши и Вейерштраccа о непрерывности могут быть сформулированы и для функций многих переменных, однако в этом случае они имеют свою специфику, обусловленную более сложной природой множеств, на которых заданы функции, а также природой самих функциональных объектов.

Предварительно желательно ввести следующие геометрические истолкования функциональных объектов в Пространство R:

  • у = f(M) определенная на области Пространство R может рассматриваться как гиперповерхность в n+ 1-мерном пространстве переменных Пространство R;
  • Пространство R- гиперкривая, которая задается как суперпозиция функции Пространство R и параметрических зависимостей Пространство R.

Если области изменения функций семейства Пространство R. содержатся во множестве D, то график гиперкривой целиком располагается на гиперповерхности у = f(M).

Первая теорема Больцано-Коши. Пусть функция у = f(M) определена и непрерывна в замкнутой и связной области Пространство R. Если в двух точках области Пространство R выполняется условие Пространство R, то на гиперкривой, соединяющей Пространство R существует точка Пространство R такая, что Пространство R.

Вторая теорема Больцано-Коши. Пусть функция у = f(M) определена и непрерывна в замкнутой и связной области Пространство R. Если в двух точках области Пространство R выполняется условие Пространство R то Пространство R удовлетворяющего условию Пространство R существует точка Пространство R такая у что f{M') = С. Т.е. на каждом отрезке функция принимает все свои промежуточные значения.

Теоремы Больцано-Коши требуют соблюдения условий связности области Пространство R. При этом сама область может быть неограниченной, в то время как теоремы Вейерштрасса требуют, чтобы область была ограниченной, но не требуют обязательности выполнения условия связности.

Первая теорема Вейерштрасса. Если функция у = f(M) определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области Пространство R, то она ограничена в этой области.

Вторая теорема Вейерштрасса. Если функция у = f(M) определена и непрерывна в ограниченной и замкнутой области Пространство R, то она имеет минимум и максимум в этой области.

Таким образом, математический инструментарий, отработанный на элементарном и наглядном объекте - функциях одной переменной, легко переносится на объекты более сложной природы - функции многих переменных.

Дифференцируемость функций в R". Частные производные

Если у функции нескольких переменных зафиксировать (т.е. приравнять постоянной величине) все переменные, кроме одной, то тогда эту функцию можно рассматривать как функцию этой переменной. Рассмотрим отношение частного приращения функции по переменной Пространство R:

Пространство Rк приращению аргумента Пространство R: . Предел этого приращения при Пространство R, если таковой существует, называется частной производной первого порядка функции f по переменной Пространство R.

Определение: Частной производной функции нескольких неременных но одной из неременных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при условии у что последняя стремится к нулю:

Пространство R

Частная производная от функции многих переменных равна производной той функции одной переменной, которая получится, если все независимые переменные данной функции, кроме соответствующей одной, считать постоянными. Следовательно, частное дифференцирование не требует никаких новых правил дифференцирования, и можно пользоваться известными формулами дифференцирования функции одной переменной. Поскольку геометрическую трактовку имеют только функции двух переменных, то геометрический смысл частной производной можно установить на примере пространства Пространство R. В этом случае функция z = f(z,y) задает в пространстве поверхность.

Пространство R

Условие х = Пространство R задает плоскость, перпендикулярную оси Ох и пересекающую ее в точке Пространство R. Аналогично, условие у = Пространство R соответствует плоскости, перпендикулярной оси Оу и пересекающей ее в точке Пространство R.

Обе плоскости пересекут поверхность z = f(x,y) и вырежут на ней плоские линии Пространство R. Частная производнаяПространство R - точка с координатами Пространство R, совпадает с производной Пространство R в точкеПространство R а частная производнаяПространство R совпадает с производной f'(x0,y) в точке Пространство R. Эти производные равны тангенсам угла наклона касательных, проведенных, соответственно, к плоским линиям Пространство R =f(x,Пространство R) и Пространство R

При переходе к пространству R" геометрический смысл Пространство R не изменяется и соответствует тангенсу угла наклона касательной, проведенной к сечению гиперповерхности у = f(M) системой гиперплоскостей

Пространство R, высвобождающих только одну координату Пространство R.

Нетрудно показать, что если функции f и g имеют конечные частные производные, то конечные частные производные имеют и композиции этих функций вида Пространство R и Пространство R. При этом:

Пространство R

Дифференциал функции нескольких переменных

Функция y = f{M), определенная в области Пространство R и непрерывная в точке Пространство R, называется дифференцируемой в точке Пространство R, если полное приращение Пространство Rв некоторой окрестности точки Пространство R можно представить в виде:

Пространство R

где Пространство R - постоянные; Пространство R - бесконечно малые, стремящиеся к нулю при Пространство R Если не все значения Пространство R равны нулю, то величина Пространство R является бесконечно малой первого порядка и называется главной линейной частью приращения дифференцируемой функции или ее полным дифференциалом.

Величина Пространство Rявляется бесконечно малой более высокого порядка. Таким образом, полное приращение дифференцируемой функции можно записать в виде Пространство R

Для дифференцируемых функций предел отношения частных приращении Пространство R к приращению соответствующей переменной Пространство R имеет конечный предел при Пространство R -»0, равный Пространство R т.е. из дифференцируемости функции у = f(M) непосредственно вытекает существование конечных частных производных этой функции и их равенство коэффициентам Пространство R. главной части разложения полного приращения.

Под дифференциалом независимой переменной обычно понимают приращение этой переменной, т.е. Пространство R

Полным дифференциалом функции у = f(M) называется главная линейная часть полного приращения этой функции Пространство R

Функция, имеющая дифференциал в данной области, называется дифференцируемой в этой области. Если функция у = f(M) дифференцируема в данной области, то в этой области она непрерывна.

Теорема. Дифференциал функции равен сумме произведений частных производных этой функции на дифференциалы соответcmвующих независимых переменных.

Доказательство: Пусть функцияПространство R дифференцируема, т.е. имеет дифференциал Пространство R. Для определения коэффициентов Пространство R рассмотрим полное приращение функции Пространство R. Тогда частное приращение функции по k-й переменной можно записать как Пространство R. Отсюда следует, что Пространство R. Переходя к пределу при Пространство R это равенство можно записать в виде Пространство R Аналогичные рассуждения справедливы для каждой из n компонент. Таким образом, с учетом вышесказанного, выражение для полного дифференциала функции df(M) можно записать как:Пространство RСовокупность всех частных производных вектора можно рассматривать как координаты вектора, который называется вектором-градиентом Пространство R. При этом формула для вычисления полного дифференциала может рассматриваться как скалярное произведение вектора-градиента и вектора с координатами, равными дифференциалам независимых переменных, который называется вектором-приращением Пространство R. Скалярное произведение принимает максимальное значение при условии, что вектора - сомножители сонаправлены. Таким образом, направление вектора-градиента является направлением наиболее сильного изменения функции.

Необходимые условия дифференцируемости. Достаточные условия

Наличие конечной производной является необходимым и достаточным условием для дифференцируемости функции одной переменной. Для функции нескольких переменных существование конечных частных производных по всем независимым переменным, т.е. существование вектора-градиента Пространство R в точке Пространство R -необходимое условие дифференцируемости функции. Однако это условие не является достаточным для дифференцируемости функции многих переменных.

Достаточное условие дифференцируемости.

Теорема. Для того чтобы у = f(М), определенная в области D и непрерывная в точке Пространство R была дифференцируема в этой точке, достаточно, чтобы эта функция имела непрерывные частные производные Пространство R в некоторой окрестности Пространство R, и эти частные производные были непрерывны в точке Пространство R.

Следствием теоремы является существование в некоторой окрестности точки Пространство R ограниченного вектора-градиента Пространство R непрерывного в Пространство R.

Дифференцирование функции, заданной неявно и композиции функций

Функция п переменных y = f(M) называется заданной неявно, если она задана уравнением Пространство R, не разрешенным относительно у. В этом случае частные производные функции у = f(M) находятся в результате дифференцирования функции F по свободным переменным Пространство R и по зависимой переменной у.

В случае, если у - функция одной переменной Пространство R заданная уравнением Пространство R

В двумерном случае, если у - функция двух переменных Пространство R и Пространство R, заданная уравнением Пространство R

В общем случае, если у - функция n переменных, заданная уравнением Пространство Rто частные производные находятся по формулам:

Пространство R

Если в В задана сложная зависимость Пространство R т.е. функция Пространство R определена в области Пространство R а семейство функций Пространство R определены в Пространство R и области изменения функций этого семейства Пространство Rсодержатся во множестве А, то если функция Пространство Rопределена в области А и непрерывна в Пространство R, а семейство функций Пространство R определены в В, непрерывны в Пространство Rи имеет в этой точке непрерывные первые производные, а также при условии, что функции:

Пространство R являются непрерывными в точке Пространство R и имеют в этой точке непрерывные первые производные, то Пространство R.

Тогда при дифференциальном анализе функциональной зависимости Пространство Rсправедливы следующие соотношения:

Пространство R

Если сложная функция имеет в точке Пространство R непрерывные первые производные, то она является дифференцируемой в этой точке, и ее полный дифференциал первого порядка обладает свойством инвариантности и имеет вид:

Пространство R

Различие между полными дифференциалами простой и сложной функций состоит в том, что для простой функции приращение независимой переменной равно ее дифференциалу, а для сложных функций это равенство не выполняется.

Полные дифференциалы и частные производные высших порядков. Признак полного дифференциала

Частными производными функции y = f(M) в том случае, если они существуют не в одной точке, а на некотором множестве А, являются функции, определенные на этом множестве. Эти функции могут быть непрерывными и в некоторых случаях также могут иметь частные производные в различных точках области определения.

Частные производные от этих функций Пространство R называются частными производными второго порядка или вторыми частными производными.

Частные производные второго порядка разбиваются на две группы:

  • вторые частные производные от f по переменной Пространство RПространство R
  • смешанные частные производные от f по переменным Пространство R

При последующем дифференцировании можно определить частные производные третьего порядка и т.д. Аналогичными рассуждениями определяются и записываются частные производные высших порядков.

Теорема. Если все входящие в вычисления частные производные, рассматриваемые как функции своих независимых переменных, непрерывны, то результат частного дифференцирования не зависит от последовательности дифференцирования.

Часто возникает потребность решения обратной задачи, которая состоит в определении того, является ли полным дифференциалом dy функции y = f(M) выражение вида Пространство R, где Пространство R - непрерывные функции с непрерывными производными первого порядка.

Необходимое условие полного дифференциала можно сформулировать в виде теоремы, которую примем без доказательства.

Теорема. Для того, чтобы дифференциальное выражение Пространство R являлось в области Пространство R полным дифференциалом функции у = f(M), определенной и дифференцируемой в этой области, необходимо, чтобы в этой области тождеcтвенно было выполнено условие Пространство R для любой пары независимых переменных Пространство R.

Задача вычисления полного дифференциала второго порядка функции у = f(M) может быть решена следующим образом.

Если выражение полного дифференциала Пространство R также является дифференцируемым, то вторым полным дифференциалом (или полным дифференциалом второго порядка) можно считать выражение, полученное в результате применения операции дифференцирования к первому полному дифференциалу, т.е. Пространство R Аналитическое выражение для второго полного дифференциала имеет вид:

Пространство R

С учетом того, что смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, формулу можно сгруппировать и представить виде квадратичной формы:

Пространство R

Матрица квадратичной формы А равна:

Пространство R

Пусть задана суперпозиция функцийПространство R определенной в А и

Пространство R, определенных в В. При этом Пространство R. Тогда, если f и Пространство R имеют непрерывные частные производные до второго порядка в точках Пространство R, то существует второй полный дифференциал Пространство R сложной функции следующего вида:

Пространство R

Как видно, второй полный дифференциал не обладает свойством инвариантности формы. В выражение второго дифференциала сложной функции входят слагаемые вида Пространство R, которые отсутствуют в формуле второго дифференциала простой функции.

Построение частных производных функции у = f(M) более высоких порядков можно продолжать, выполняя последовательное дифференцирование этой функции:

Пространство R , где индексы Пространство Rпринимают значения от 1 до n, т.е. производная порядка m рассматривается, как частная производная первого порядка от производной порядка m -1. Аналогично можно ввести и понятие полного дифференциала порядка m функции y = f(M) как полного дифференциала первого порядка от дифференциала порядка Пространство R

В случае простой функции двух переменных формула для вычисления полного дифференциала порядка n функции Пространство R имеет вид Пространство R

Применение оператора дифференцирования позволяет получить компактную и легко запоминающуюся форму записи для вычисления полного дифференциала порядка n функции у = f(М), аналогичную формуле бинома Ньютона. В двумерном случае она имеет вид: Пространство R

Формула Тейлора

Используя формулы частных производных высших порядков, а также выражения для полных дифференциалов высшего порядка, можно построить многочлены Тейлора для функции многих переменных, обладающей непрерывными частными производными до m-го порядка включительно в некоторой окрестности радиуса R с центром в точке Пространство R. Этот многочлен аналогичен многочлену Тейлора для функции одной переменной, записанному в дифференциальной форме:

Пространство R

Тогда многочлен Тейлора для функции n переменных можно записать в виде:

Пространство R где используются полные дифференциалы соответствующих порядков с частными производными, значения которых определены для точки Пространство R.

Если функция у = f(M) удовлетворяет условиям непрерывной дифференцируемости до (m + 1)-го порядка, то се абсолютное и относительное приращения Пространство R соответственно, могут быть представлены следующими формулами:

Пространство R

Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия. Исследование стационарных точек

Пусть функция у = f(М) определена и непрерывна в области А. Локальным максимумом этой функции называется внутренняя точка Пространство R у которой существует такая ненулевая Пространство R-окрестность Пространство R для каждой точки из которой выполняется условие: Пространство R.

Пространство R

Если каждой точки М из ненулевой Пространство R— окрестности точки Пространство R выполняется условие Пространство R, то точка Пространство R называется локальным минимумом функции у = f(M).

Пространство R Рис. 4.2.

Точки локального минимума или максимума называются точками локального экстремума. Для этих точек характерно знакопостоянство величины абсолютного приращенияПространство R в пределах ненулевой Пространство R- окрестности. Для определения необходимого и достаточного признаков экстремальности функции предположим, что функция в области А не имеет точек разрыва и обладает дифференцируемостью до второго порядка. Как было указано выше, разложение абсолютного приращения Пространство R имеет вид:

Пространство R

Главный член разложения полного приращения является знакопеременным, так как линейно зависит от приращений Пространство R. Поэтому в точке Пространство R у функции у = f(M) не может наблюдаться экстремума, если вектор-градиент этой функции точке Пространство R будет отличен от нулевого вектора, т.е. хотя бы одна из частных производных не будет равна нулю. Таким образом, необходимым условием существования локального экстремума функции y = f(M) является условие df(Пространство R) = 0 или

Пространство R

Точки, в которых первые частные производные функции у = f(M) равны нулю или не существуют, называются критическими для данной функции. Критические точки, в которых первые частные производные функции у=f(M) существуют, называются стационарными. Функция многих переменных может достигать своего локального экстремума только в своей критической точке.

При обосновании достаточного условия существования экстремума введем дополнительное требование к функции y = f(M): эта функция должна иметь непрерывные производные второго порядка в ненулевой Пространство R- окрестности точки Пространство R. Тогда условием наличия локального экстремума в критической точке Пространство R или условием знакопостоянства абсолютного приращения Пространство R в этой точке будет требование знакопостоянства второго слагаемого в разложении Пространство R, т.е. Пространство R Влияние третьего и последующих членов разложения в этом случае будет пренебрежимо малым. Если формулу для вычисления Пространство R сгруппировать и представить в виде квадратичной формы:

Пространство Rто требование знакопостоянства Пространство R сводится к требованию знакоопределенности матрицы квадратичной формы А в критической точке Пространство R. В этом случае, если матрица квадратичной формы является положительно определенной, то в точке Пространство R функция имеет локальный минимум, а если матрица А отрицательно определена - то локальный максимум.

Условие знакопостоянства полного относительного приращения Пространство R выполняется в точках локальной выпуклости, определение которых можно дать по аналогии с функциями одной переменной.

Точка Пространство R называется точкой локальной выпуклости функции у = f(M), непрерывной и дифференцируемой в области M, если она является внутренней точкой этой области и в некоторой ненулевой Пространство R-окрестности точки Пространство R выполняется условие: Пространство Rполное относительное приращение Пространство R знакопостоянно.

Если Пространство R точка Пространство R называется точкой выпуклости вниз.

Если Пространство R точка Пространство R называется точкой выпуклости вверх.

Если условие локальной выпуклости вверх или вниз выполняется во всех точках области Пространство R то функция называется однообразно выпуклой на области А .

Достаточным условием существования локальной выпуклости функции нескольких переменных у = f(M) в точке Пространство R является знакопостоянство полного дифференциала второго порядка этой функции. Это несложно показать, воспользовавшись формулой разложения:

Пространство R

и проведя рассуждения аналогичные доказательству достаточного условия существования локального экстремума. Таким образом, знакопостоянство полного относительного приращения функции y = f(M) в некоторой ненулевой Пространство R-окрестности точки Пространство R определяется знакопостоянством полного второго дифференциала функции y = f(M) в точке Пространство R.

Если Пространство R, то функция имеет в точке Пространство R локальную выпуклость вниз. Если Пространство R, то функция имеет в точке Пространство R локальную выпуклость вверх. Достаточное условие существования локального экстремума в критической точке М0 кроме необходимого признака df(Пространство R) = 0 включает в свой состав требование наличия локальной выпуклости в этой точке.

Условный экстремум функций нескольких переменных. Глобальный экстремум

Задача отыскания экстремума в случае функции многих переменных может быть поставлена как задача об условном экстремуме функции y = f(M) с ограничениями вида g,(M) = 0, Пространство R которые называются уравнениями связи,. Разумеется, функции Пространство R должны быть определены, непрерывны и непрерывно дифференцируемы в области Пространство R. Таким образом, ведется поиск экстремума не на всей области определения, а лишь на множестве точек, удовлетворяющих уравнениям связи. Такой экстремум называется условным.

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим, требуется найти экстремум функции u = f(x>y) при условии, что F(xy) = 0. Для этого из уравнения F(x,y) = 0 выражают одну из переменных через другую, например,Пространство R Подставив это выражение в f(x,y), получают Пространство R- функцию одной переменной, которую исследуют на обычный экстремум. Однако, в большинстве более сложных случаев решить этим способом задачу отыскания экстремума не удается.

Для отыскания условного экстремума в общем случае применяется метод множителей Лагранжа. Для этого вводится вспомогательная функция Лагранжа:

Пространство R

Эта функция зависит от Пространство R и значений множителей Лагранжа Пространство R

Теорема. Если точка Пространство R является точкой условного экстремума функции у = f(M) при условиях Пространство R, Пространство Rто существует такое Пространство R что точка Пространство R является точкой экстремума функции Пространство R

В качестве необходимых условий существования экстремума формируется система уравнений, решения которой и требуется найти:

Пространство R

Решения системы уравнений образуют множество критических точек с переменными Пространство R .В каждой указанной точке должно выполняться условие Пространство R или Пространство R.

На практике в большинстве случаев ставится задача исследования функции у = f(M), определенной на множестве точек, удовлетворяющих системе ограничений. Такое множество точек образует область, границами которой являются уравнения связиПространство R.

Наибольшее или наименьшее значение функции в данной области называется абсолютным или глобальным экстремумом функции (соответственно абсолютным максимумом или абсолютным минимумом) в этой области.

Согласно теореме Вейерштрасса функция непрерывная в ограниченной и замкнутой области, достигает в этой области своего наибольшего и своего наименьшего значений.

Теорема. Абсолютный (глобальный) экстремум функции в данной области достигается либо в критической точке функции, принадлежащей этой области, либо в граничной точке области.

Mетод наименьших квадратов

При определении вида эмпирической функции у = f(x) обычно предполагается, что это наиболее гладкая кривая, согласованная с экспериментальными данными. Кроме того, для выбора этой функции привлекаются дополнительные соображения, как правило, не математического характера (теоретические модели, опыт предшествующих исследований, и т.п.).

Эта задача может быть решена в ходе регрессионного анализа, который изучается в курсе теории вероятностей, но решить ее можно и математическими методами. Согласно наиболее распространенному и теоретически обоснованному методу наименьших квадратов в качестве неизвестных параметров функции у = f(x) выбираются такие значения, которые соответствуют минимальному значению суммы квадратов отклонений эмпирических значений Пространство R от значений функции Пространство Rвычисленных Пространство R

Пространство R

Разность Пространство R называется невязкой. В качестве критерия согласия или величины отклонения можно было взять обычную сумму невязок или их абсолютных величин, но делать это нецелесообразно, поскольку в первом случае сумма невязок может быть малой или, даже, равняться нулю при значительном разбросе экспериментальных данных из-за того, что положительные отклонения будут скомпенсированы отрицательными. Сумма абсолютных величин невязок лишена этого недостатка, но она имеет другой - она не является дифференцируемой, что существенно затрудняет решение задачи.

В ходе решения задачи отыскания оптимальных параметров аппроксимационной функции у = f(х) возникает необходимость поиска экстремума функции нескольких переменных, поэтому прежде чем решать эту задачу для конкретных эмпирических функций, необходимо рассмотреть свойства функций нескольких переменных.

Предположим, что функция y = f(x) - линейная, т.е. Пространство RЕсли это выражение приближенно описывает зависимость между х и у, то сумма квадратов невязок должна быть минимальной, т.е. значения параметров Пространство R должны соответствовать минимуму величины:

Пространство R

Это функция двух переменных Пространство R она непрерывна, дифференцируема, неотрицательна и ограничена снизу. Для того чтобы найти ее наименьшее значение, необходимо ее частные производные приравнять к нулю:

Пространство R

Таким образом, для нахождения параметров Пространство R необходимо решить систему уравнений:

Пространство R

Эта линейная система уравнений имеет единственное решение, поскольку ее определитель:

Пространство R не равен нулю.

Вторые производные функции S равны:

Пространство R

Главные миноры матрицы квадратичной формы положительны, т.е.Пространство RПространство R

Таким образом, значения Пространство R, найденные при решении системы уравнений, соответствуют минимуму функции S.

Поскольку система невырождена, то решение можно найти по правилу Крамера:

Пространство R