Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Содержание:

Понятие производной является одним из основных понятий дифференциального исчисления, производная используется при исследовании процессов, в том числе и экономических, описываемых функциями. При исследовании приращеиия зависимой величины Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Некоторые задачи, приводящие к понятию производной:

Построение касательной к графику функции

Рассмотрим функцию f, определенную на промежутке X со значениями у = f(x). Графиком функции y = f(x) в системе координат XOY является непрерывная кривая L. Пусть Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения -внутренняя точка промежутка X, Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - значение функции f в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Возьмем на кривой L некоторую фиксированную точку Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Если точка Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения тоже принадлежит кривой, то прямая Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияназывается секущей. Если перемещать Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения вдоль кривой L так, чтобы Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, стремилась к совпадению с Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то секущая также будет менять свое положение в зависимости от положения Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Предельное положение секущей (если оно существует) при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения->Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называется касательной к кривой L в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения.

Угловой коэффициент секущей tga равен:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Величину Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называют приращением аргумента x. Величину Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называют приращением функции в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, которое вызвано приращением аргумента. Поскольку точка Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения фиксирована, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения является функцией от Ах, следовательно, и tga зависит только от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения.

Так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, равносильно Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения—>0, то угловой коэффициент касательной можно получить предельным переходом при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения -> 0 (если этот предел существует), т.е.:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Предел относительного приращения Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называется производной функции y = f(x). Производную функции в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения обозначают одним из символов: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и др.

Значение производной непрерывной функции в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения равно тангенсу угла наклона касательной к графику этой функции в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения.

Экономический смысл производной

Отношение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения представляет собой среднюю скорость изменения функции f на промежутке с концами Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Величина Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - это мгновенная скорость изменения функции f в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Например, если у = f(x) - перемещение точки по оси Ох за время х, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - скорость движения точки. Если функция у = f{x) описывает количество продукции, производимой предприятием за время л-, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - это средняя производительность за промежуток времени [Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения- это производительность в момент времени x. Если функция у = f(x) описывает закон изменения капитала в зависимости от времени, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - скорость накопления капитала.

Эластичность функции

Если функция y = f(x) получает приращение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения при приращении аргумента на Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияназывается относительным приращением функции, а Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения- относительным приращением аргумента.

Эластичностью функции называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента, если приращение аргумента стремится к нулю, т.е.:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Эластичность функции дает приближенный процентный прирост функции при приращении аргумента на 1%.

Дифференцируемость функции

Eсли для точки Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения существует число А такое, что приращение функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения представимо в виде Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то говорят, что функция у = f(х) дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Число А является производной функции f в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Таким образом, дифференцируемость функции в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения означает, что в этой точке существует производная функции.

Итак, если f дифференцируема в точке х, то: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Величину Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называют дифференциалом функции в точке Л' и обозначают обычно символами: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и др.

Если функция у = f(x) дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то эта функция непрерывна в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Обратное утверждение неверно.

Правила дифференцирования

Будем считать, что функции u, v, w дифференцируемы, т.е. имеют производные Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Тогда:

  1. Функция u + v дифференцируема и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  2. Если с - постоянная, то функция си дифференцируема и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  3. Из 1 и 2 следует, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  4. Функция uv дифференцируема и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  5. Из 4 следует, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  6. Если Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения определена и дифференцируема, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения.

Таблица производных

Основные элементарные функции дифференцируемы всюду, где они определены. Производные этих функций могут быть вычислены по определению, т.е. по формуле:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

и с помощью правил дифференцирования.

Полученные значения производных основных элементарных функций приведем в таблице.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Использование таблицы производных и правил дифференцирования позволяет вычислять производные арифметических комбинаций основных элементарных функций.

Производная сложной функции

Пусть у = f(x) и x = Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения(t). Тогда можно определить сложную функцию у = f((Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения(t)). Если функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, а функция f дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то сложная функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, и ее производная может быть вычислена по правилу цепочки:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Или более кратко Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Правило можно записать также в виде: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Вычислить у'.

Обозначим Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Тогда .у = Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Вычислить у'.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Вычислить у'.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Производная обратной функции

Пусть функция у = f(х) задана на множестве X, a У - множество ее значений. Тогда каждомуДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения ставится в соответствие единственное значение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. С другой стороны, каждому Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения будет соответствовать одно или несколько значений Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения.

В случае, когда отображение у = f(x) является биективным, т.е. каждому значению у е У соответствует только одно значение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, для которого f(x) = у, на множестве У можно определить функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, множеством значений которой является X, которая будет называться обратной по отношению к функции f(x) = у. Функции f и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называются взаимообратными.

Пусть функция у = f(x) удовлетворяет условиям существования обратной функции и в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения имеет конечную производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Тогда обратная функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияв точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения также имеет конечную производную, равную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциал

Дифференцируемость функции у = f(x) в точке х означает, что ее приращение представимо в виде:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Величина Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения при малых Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения мала по сравнению с величиной Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Поэтому Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения представляет собой главную часть приращения Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, называемую дифференциалом функции в точке x. Дифференциал функции у = f(x) обозначают обычно символами: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и др.

Если x - независимая переменная, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и поэтому Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Вычисление дифференциалов проводят по правилам 1 - 6 дифференцирования с заменой символа ' (штрих) на символ d. Например:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Таким образом, приращение функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке x = 1 при малых значениях Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения приблизительно в пять раз больше, чем Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, а приращение функции в точке х = 2 приблизительно в 14 раз больше, чем Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения.

Приближенные вычисления

Тот факт, что дифференциал функции является главной частью приращения функции, используют при различных приближенных вычислениях. При этом заменяют приращения функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения ее приближенным значением Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Таким образом: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример:

Вычислить Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Рассмотрим функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения. Заметим, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Возьмем Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения = -1. Тогда по формуле (2):

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Свойства дифференцируемых функций

Теорема Ферма. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке а у т.е. существует Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, и всюду в некоторой окрестности этой точки f(x)< f(a) (f(x)>f(a)), т.е. f(a) является наибольшим (наименьшим) значением функции в этой окрестности, то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Теорема Ролля. Если функция у = f(х) непрерывна на отрезке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, дифференцируема на интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и f(b) = f(a), то в некоторой точке интервала Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения ее производная равна нулю.

Геометрический смысл теоремы Ролля заключается в том, что в Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения найдется точка, в которой касательная к кривой будет горизонтальна.

Теорема Лагранжа. Если функция у = f(x) непрерывна на отрезке [a,b], дифференцируема на интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то найдется точка Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения для которой f(b) - f (а) = f' (c)(b - а).

Следствие. Теорема Лагранжа является обобщением теоремы Ролля для случая f{b) = f(a). Тогда f' (c) = 0.

Теорема Koши. Если функции f(x) и g(x) определены и непрерывны на отрезке [a>b], дифференцируемы на интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и при этомДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то найдется точка Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения для которой Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Правила Лопиталя

Пусть f(х) и g(x) - функции, определенные и дифференцируемые в окрестности точки а, где а - конечное число или Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения (если Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то под окрестностью точки а понимаем какой-нибудь лучДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения если Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то окрестность - луч (Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения)). В самой точке а функции могут быть не определены. Пусть Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения.

I правило. Если:

1.Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

2. Существует конечный или бесконечный предел

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

II правило. Если:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

2. Существует конечный или бесконечный предел

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Правила Лопиталя позволяют раскрывать неопределенности вида Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияОднако, они могут быть использованы и при раскрытии неопределенностей других видов: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Для этого исследуемое выражение

преобразуют так, чтобы получилась неопределенность вида Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Примеры:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Вычислим: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Производные высших порядков

Если функция f(x), определенная в А, имеет производную во всех точках А, то эту производную можно рассматривать как новую функцию g(x) = f'(x), Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения.

К этой функции применимы все предельные законы, в том числе и дифференцирование.

Если g(x), определенная в А, имеет конечную производную g'(x) в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения, то значение этой производной является второй производной функции f(x).

Аналогично вычисляются производные более высоких порядков.

Дифференциальное исчисление функции одной переменной

К понятию производной приводит экономическая задача о производительности труда.

Пусть функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения выражает количество произведенной продукции u за время t и необходимо найти производительность труда в момент Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

За период времени от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения до количество продукции изменится от значения Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения до значения Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения тогда средняя производительность труда за этот период времени Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Очевидно, что производительность труда в момент Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения можно определить как предельное значение средней производительности за период времени от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т.е.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Замечание. Вычислять значение производной и, вообще, дифференцировать функцию можно только на участках её непрерывности. В таком случае говорят о дифференцируемости функции.
 

Определение производной

Допустим, что определена функция у = f(x). Возьмем определенное значение независимой переменной х, значение функции в этой точке у = f(x). При значении аргумента Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения получаем Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Приращению независимой переменной Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решениясоответствует, таким образом, приращение зависимой переменной:
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента и найдем предел этого отношения при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Если этот предел существует, то его называют производной данной функции
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
Определение. Производной данной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения по аргументу х
называется предел отношения приращения функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения к приращению аргумента Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения когда последнее произвольным образом стремится к нулю.

Операция нахождения производной от функции f(х) называется дифференцированием этой функции.

Наряду с обозначением f'(х) употребляются и другие обозначения,
например

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
Значение производной при х = а обозначается Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Схема вычисления производной

Производная от данной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения может быть найдена по следующей
схеме:

  1. Дать аргументу х приращение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и вычислить значение функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  2. Определить приращение функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  3. Найти отношение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  4. Найти предел данного отношения при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения (если этот предел существует)Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Зависимость между непрерывностью функции и дифференцируемостью

Теорема. Если функция у = f(х) дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то она в этой
точке непрерывна.

Доказательство: по условию функция у = f(x) дифференцируема в точке
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т.е. существует конечный предел Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - постоянная  величина, не зависящая от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами функций можно записать

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - бесконечно малая величина при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
При Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения на основании свойств бесконечно малых устанавливаем, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и, следовательно, по определению функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения является непрерывной.

Обратная теорема, вообще говоря, неверна, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно дифференцируема в этой точке. Например, функция у = |х| непрерывна в точке х = 0, но она не дифференцируема в этой точке.

Геометрический смысл производной

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Из рисунка 3.1 видно, что производная Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения от функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения вычисленная при заданном значении х, равна тангенсу угла, образованного    положительным направлением оси Ох и касательной, проведенной к графику этой функции в точке с абсциссой х.

С другой стороны, тангенс этого угла не что иное, как угловой коэффициент прямой линии (в данном случае касательной к графику)

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Итак, если функция дифференцируема в данной точке, то геометрический смысл производной следующий: производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой у = f(х) в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т.е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Вычисленное в какой-либо точке значение производной характеризует скорость функции в этой точке.

Свойства производной

1.    Производная постоянной равна нулю Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Доказательство. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

2.    Производная аргумента равна единице Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Доказательство. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

3.    Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - дифференцируемые функции.

4.    Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

5.    Производная частного двух дифференцируемых функций находится по формуле

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения при условии, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
 

Производная сложной и обратной функции

Пусть переменнаяДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т.е. задана сложная функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Теорема. Если Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х, т.е.
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Теорема. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции, т.е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
 

Производные основных элементарных функций

1.    Производная от степенной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения при вещественном n равна произведению показателя степени на степенную функцию, у которой показатель на единицу меньше, Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Найдем производную от функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Найдем производную от функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Подобным образом могут быть найдены и прочие производные степенной функции. В итоге получим

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

2.    Производная показательной функции

а) Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Прологарифмируем обе части по основанию е, получим Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференцируя обе части по переменной и учитывая, что In у - сложная
функция, получим Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т.е.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
и
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

б) Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и по правилу дифференцирования сложной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Итак,
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Таблица основных производных

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
 

Пример:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференцирование неявной функции

Пусть значения двух переменных х и у связаны между собой некоторым уравнением, которое символически обозначается так: F(x,y) = 0.

Термины «явная функция» и «неявная функция» характеризуют не природу функции, а способы её задания. Каждая явная функция у= f(x) может быть представлена и как неявная у - f(х) = 0.

Если неявная функция задана уравнением F(x,y) = 0, то для нахождения производной от у по х нет необходимости разрешать уравнение относительно у. Достаточно продифференцировать это уравнение по х, а полученное уравнение по возможности разрешить относительно производной.

Заметим, что во многих случаях величина производной будет являться функцией не только х, но и у.

Пример:

Функция задана в виде Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференцируем данную функцию почленно

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Оставим данное выражение, не разрешая его относительно производной. Кстати, разрешение результатов дифференцирования относительно производной удается далеко не всегда.

Пример:

Функция задана в виде Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференцируем данную функцию почленно Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Разрешая полученное выражение относительно производной, получим уеху Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
 

Производные высших порядков

Ранее мы находили выражения для производных от различных функций. При этом производные являлись также некоторыми функциями того же аргумента. Следовательно, процесс дифференцирования может быть повторен.

Производные высших порядков являются результатом последовательного дифференцирования функции.

Назовем функцию нулевой производной, а производную данной функции назовем первой производной, производную от первой производной назовем второй производной, и так далее.

N-ой производной назовем производную (если она существует) от (N-1)
производной.

Обозначения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения(читается так: «дэ два игрек по дэ икс дважды»);
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения (читается так: «дэ семь игрек по дэ икс семь раз»);

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения (читается так: «дэ эн игрек по дэ икс эн раз»).

Принято при обозначении первых трех производных использовать штрихи, а далее цифры в круглых скобках.

Пример №1

Найти третью производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

РешениеДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

/' = 40л-’-з-Л;

Пример №2

Найти пятую производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения есть производительность труда в момент времени Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Производная функции в точке

Пусть функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения определена в некоторой окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Определение 5.1. Если предел отношения приращения функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения к соответствующему приращению аргумента Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения существует и конечен, то он называется производной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т. е.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

иначе

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Обозначения: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Нахождение производной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называется дифференцированием этой функции.

Геометрический смысл производной функции в точке

Пусть Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - непрерывная функция, определенная в некоторой окрестности точки Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Рассмотрим две точки графика этой функции: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияПрямая Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - секущая Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения (рис. 5.1). Обозначим:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Найдем угловой коэффициент этой прямой. Из Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения  (5.1)
Из (5.1) следует, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения зависит только от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

При перемещении точки Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения к точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения по графику непрерывной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения секущая Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения будет стремиться к некоторому предельному положению: касательной к графику функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения можно получить предельным переходом из (5.1):

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Уравнение касательной, как известно, определяется формулой

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Вывод. Производная функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Физический смысл производной функции

Пусть точка Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения движется прямолинейно и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - путь, проходимый ею за время Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Тогда отношение пути Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения ко времени Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения есть средняя скорость движения точки за это время

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения(5.2)

Если существует предел (5.2) при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то он называется мгновенной скоростью движения точки в момент Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Вывод. Мгновенная скорость есть производная пройденного пути Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения по времени Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в данный момент Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Непрерывность функции, имеющей производную

При определении понятия производной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения предполагалось, что функция определена в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения а также и в некоторой достаточно малой ее окрестности, и существует

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Исследуем вопрос о непрерывности функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Теорема 5.1. Если функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения определена на множестве Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияимеет конечную производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения непрерывна в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Доказательство.

По условию

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

По определению предела имеем

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - БМФ при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Тогда Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения откуда видно, что при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения непрерывна в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Замечание 5.1. Обратное утверждение неверно: из непрерывности функции в точке не следует существование производной в этой точке.

Определение 5.2. Односторонними производными функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называются Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения если они существуют.

ОбозначениеДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Очевидно, что если в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения существует производная, то существуют и односторонние производные и они равны между собой.

Пример №3

Показать, что функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения непрерывная в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения не имеет производной в этой точке.

Решение.

Покажем отсутствие производной в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения для функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Для этого найдем односторонние производные данной функции в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Вывод. Так как односторонние производные функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решениясуществуют, но не равны между собой, то функция не имеет производной в этой точке.

Таблица производных

Постоянная функция:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Степенная функция:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

в частности

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Показательная функция:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

в частности,

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Логарифмическая функция:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

в частности,

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Тригонометрические функции:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Обратные тригонометрические функции:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Гиперболические функции:

  • -  синус гиперболический Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  • -  косинус гиперболический Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  • -  тангенс гиперболический Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
  • -  котангенс гиперболический Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Правила дифференцирования

Функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения имеющая производную в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называется дифференцируемой в этой точке.

Функция, дифференцируемая во всех точках множества Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называется дифференцируемой на этом множестве, обозначается

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Вычисление производной алгебраической суммы, произведения и частного функций

Теорема 5.2. Если функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения дифференцируемы в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
также дифференцируемы в этой причем:
Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения      (5.3)
(5.3) - основные формулы дифференцирования
.

Доказательство. Докажем первые три формулы.

1. Рассмотрим функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Тогда Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

2. Рассмотрим функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Тогда

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Случай Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения доказывается аналогично.

3. Рассмотрим функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Тогда

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Рассмотрим последний член в правой части формулы: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - дифференцируемая функция, то она непрерывна. Следовательно, Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения 

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения так как Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - дифференцируемая функция.

Таким образом, рассматриваемый член равен нулю, и окончательно получаем: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример №4

Найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

ОтветДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример №5

Найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример №6

Найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

ОтветДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример №7

Найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Производная сложной функции

Теорема 5.3. Если функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения а функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то сложная функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решениядифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения    (5.4)

Доказательство.

Так как функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения дифференцируема в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то приращение этой функции в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения может быть записано в виде

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения    (5.5)

где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Разделим равенство (5.5) на Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения получим

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения    (5.6)

Равенство (5.6) справедливо для любых достаточно малых Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Возьмем Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения равным приращению функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения соответствующему приращению Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения аргумента Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и устремим в этом равенстве Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения к нулю. Так как по условию функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения имеет в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения производную, то она непрерывна в этой точке. Следовательно, согласно определению непрерывности, Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Но тогда и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения также стремится к нулю, т. е. имеем

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения   (5.7)

В силу соотношения (5.7) существует предел правой части равенства (5.6) при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения равный Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Значит, существует предел при Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и левой части равенства (5.6), который, по определению производной, равен производной сложной функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Тем самым доказана дифференцируемость сложной функции и установлена формула (5.4). 

Замечание 5.2. Формула (5.4) может быть усложнена. Например, если Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и все три функции имеют производные в соответствующих точках, то

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения    (5-8)

Пример №8

Найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Данную функцию можно представить в виде Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Тогда, по формуле (5.4), получаем

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Заменяя на Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения окончательно получим Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример №9

Найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Данную функцию можно представить в виде Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияа Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияИспользуя формулу (5.8), получаем

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Производная обратной функции

Пусть Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения- взаимно обратные функции.

Теорема 5.4. Если функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения строго монотонна на интервале Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и имеет отличную от нуля производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в произвольной точке этого интервала, то обратная ей функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения также имеет производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в соответствующей точке, определяемую равенством Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения или Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Доказательство.

Рассмотрим обратную функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Придадим аргументу Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения приращение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияЕму соответствует приращение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения обратной функции, причем Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в силу строгой монотонности функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Поэтому можно записать

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения     (5.9)

Если Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то в силу непрерывности обратной функции приращение Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияТак как Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то из (5.9) следуют равенства Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т. е. Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Правило дифференцирования обратной функции записывают следующим образом:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример №10

Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения для функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Обратная функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения имеет производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Следовательно, Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример №11

Пользуясь правилом дифференцирования обратной функции, найти производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения для функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Обратная функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения имеет производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Следовательно,Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Производная функции, заданной неявно

В ряде задач приходится сталкиваться с ситуацией, когда переменная Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения являющаяся по смыслу функцией от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения задается уравнением Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения В этом случае говорят, что Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения как функция аргумента Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения задана неявно. Заметим, что не всякую неявно заданную функцию можно представить явно.

Пример №12

Равенство Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения определяет две функции

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Равенство Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения нельзя разрешить относительно Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Чтобы найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения заданной неявно уравнением Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения нужно продифференцировать тождество Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения как сложную функцию и затем выразить Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения через Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения из полученного уравнения.

Пример №13

Найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения если Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Производная функции, заданной параметрически

Пусть зависимость между аргументом Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и функцией Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения задана параметрически в виде двух уравнений

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения   (5.10)

где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - параметр.

Найдем производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения считая, что функции (5.10) имеют производные и что функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения имеет обратную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения По правилу дифференцирования обратной функции

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения    (5.11)

Функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения определяемую параметрическими уравнениями (5.10), можно рассматривать как сложную функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

По правилу дифференцирования сложной функции имеем

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

С учетом равенства (5.11) получаем Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения т. е.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения    (5-12)

Формула (5.12) позволяет находить производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения от функции заданной параметрически, не находя зависимость Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в явном виде.

Пример №14

Пусть Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Найти Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения 

Решение.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

поэтому Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Если непосредственно найти зависимость Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то получим

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Логарифмическая производная

Пусть необходимо найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Прологарифмируем обе части равенства Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения получимДифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Продифференцируем

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

и преобразуем

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения
Таким образом, Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Пример №15

Найти производную функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Решение.

Логарифмируем исходную функцию

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

дифференцируем полученное равенство:

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

откуда выражаем Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Ответ: Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Производные высших порядков

Пусть функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения определена на множестве Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и имеет производную в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и некоторой ее окрестности. Тогда производная функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения есть функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Если функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения имеет производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то функцию Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называют производной второго порядка функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и обозначают Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Вторая производная функции Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения может существовать в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и некоторой ее окрестности. Тогда, если существует производная второй производной, то ее называют производной третьего порядка и обозначают Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Продолжив аналогичные рассуждения, получим, что если функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияимеет в точке Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения и некоторой ее окрестности все производные до Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияго порядка включительно, то производная от Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

будет представлять собой производную Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решенияго порядка. Если при этом Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - непрерывная функция на множестве Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения называется Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения раз непрерывно дифференцируемой функцией или функцией класса Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Функция, имеющая производную любого порядка, называется бесконечно дифференцируемой.

Пример №16

Функция Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения - бесконечно дифференцируемая функция на множестве Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения

Если Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения то

Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения    (5.13)

где Дифференциальное исчисление функций одной переменной с примерами решения Формула (5.13) называется формулой Лейбница.