Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Базисные и свободные переменные:

Пусть задана система

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

  1. исключение из системы уравнения вида Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения
  2. умножение обеих частей одного из уравнений системы на любое действительное число Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения;
  3. перестановка местами уравнений системы;
  4. прибавление к обеим частям одного из уравнений системы соответствующих частей другого уравнения, умноженных на любое действительное число не равное нулю.

Элементарные преобразования преобразуют данную систему уравнений в эквивалентную систему, т.е. в систему, которая имеет те же решения, что и исходная.

Для решения системы т линейных уравнений с т неизвестными удобно применять метод Гаусса, называемый методом последовательного исключения неизвестных, который основан на применении элементарных преобразований системы. Рассмотрим этот метод.

Предположим, что в системе (6.1.1)Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Если это не так, то переставим уравнения системы так, чтобы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения .

На первом шаге метода Гаусса исключим неизвестное Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения из всех уравнений системы (6.1.1), начиная со второго. Для этого последовательно умножим первое уравнение системы на множители

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и вычтем последовательно преобразованные уравнения из второго, третьего, ..., последнего уравнения системы (6.1.1). В результате получим эквивалентную систему:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения (6.1.2)

в которой коэффициенты Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения вычислены по формулам:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения На втором шаге метода Гаусса исключим неизвестное Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения из всех уравнений системы (6.1.2) начиная с третьего, предполагая, что Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения (в противном случае, переставим уравнения системы (6.1.2)

чтобы это условие было выполнено). Для исключения неизвестного Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения последовательно умножим второе уравнение системы (6.1.2) на множетели Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и вычтем последовательно преобразованные уравнения из третьего, четвёртого, последнего,...,уравнения системы (6.1.2). В результате получим эквивалентную систему:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

в которой коэффициенты Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решениявычислены по формулам:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Продолжая аналогичные преобразования, систему (6.1.1) можно привести к одному из видов:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

или

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Совокупность элементарных преобразований, приводящих систему (6.1.1) к виду (6.1.4) или (6.1.5) называется прямым ходом метода Гаусса.

Отметим, что если на каком-то шаге прямого хода метода Гаусса получим уравнение вида:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то это означает, что система (6.1.1) несовместна.

Итак, предположим, что в результате прямого хода метода Гаусса мы получили систему (6.1.4), которая называется системой треугольного вида. Тогда из последнего уравнения находим значение Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения подставляем найденное значение Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения в предпоследнее уравнение системы (6.1.4) и находим значение Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения; и т.д. двигаясь снизу вверх в системе (6.1.4) находим единственные значения неизвестных Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения которые и определяют единственное решение системы (6.1.1). Построение решения системы (6.1.4) называют обратным ходом метода Гаусса.

Если же в результате прямого хода метода Гаусса мы получим систему (6.1.5), которая называется системой ступенчатого вида, то из последнего уравнения этой системы находим значение неизвсстногоМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения которое выражается через неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Найденное выражение подставляем в предпоследнее уравнение системы (6.1.5) и выражаем неизвестное Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения через неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и т.д. Двигаясь снизу вверх в системе (6.1.5) находим выражения неизвестных Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения через неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решенияПри этом неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения называются базисными неизвестными, а неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - свободными. Так как свободным неизвестным можно придавать любые значения и получать соответствующие значения базисных неизвестных, то система (6.1.5), а, следовательно, и система (6.1.1) в этом случае имеет бесконечное множество решений. Полученные выражения базисных неизвестных через свободные неизвестные называются общим решением системы уравнений (6.1.1).

Таким образом, если система (6.1.1) путём элементарных преобразований приводится к треугольному виду (6.1.4), то она имеет единственное решение, если же она приводится к системе ступенчатого вида (6.1.5), то она имеет бесконечное множество решений. При этом неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, начинающие уравнения ступенчатой системы, называются базисными, а остальные неизвестные - свободными.

Практически удобнее преобразовывать не саму систему уравнений (6.1.1), а расширенную матрицу системы, соединяя последовательно получающиеся матрицы знаком эквивалентностиМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

Формализовать метод Гаусса можно при помощи следующего алгоритма.

Алгоритм решения системы m линейных уравнений с n неизвестными методом Гаусса

1. Составьте расширенную матрицу коэффициентов системы уравнений так, чтобы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения было не равно нулю:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

2. Выполните первый шаг метода Гаусса: в первом столбце начиная со второй строки, запишите нули, а все другие элементы вычислите по формуле

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Матрица после первого шага примет вид

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

3. Выполните второй шаг метода Гаусса, предполагая, что Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения : во втором столбце начиная с третьей строки, запишите нули, а все другие элементы вычислите по формуле

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

После второго шага матрица примет вид Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

4. Продолжая аналогичные преобразования, придёте к одному из двух случаев:

а) либо в ходе преобразований получим уравнение вида Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

тогда данная система несовместна;

б) либо придём к матрице вида:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

где Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Возможное уменьшение числа строк Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

связано с тем, что в процессе преобразований матрицы исключаются строки, состоящие из нулей.

5. Использовав конечную матрицу, составьте систему, при этом возможны два случая:

5.1. r=n:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Система имеет единственное,решение Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, которое находим из системы обратным ходом метода Гаусса. Из последнего уравнения находите Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Из предпоследнего уравнения находите Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения затем из третьего от конца - Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и т.д., двигаясь снизу вверх, найдём все неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

5.2. Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Тогда r неизвестных будут базисными, а остальные (n-r) - свободными. Из последнего уравнения выражаете неизвестное Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решениячерез Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Из предпоследнего уравнения находите Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и т.д.

Система имеет в этом случае бесконечное множество решений.

Приведенный алгоритм можно несколько видоизменить и получить алгоритм полного исключения, состоящий в выполнении следующих шагов. На первом шаге:

  1. составляется расширенная матрица;
  2. выбирается разрешающий элемент расширенной матрицы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения (если Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, строки матрицы можно переставить так, чтобы выполнялось условие Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения);
  3. элементы разрешающей строки (строки, содержащей разрешающий элемент) оставляем без изменения; элементы разрешающего столбца (столбца, содержащего разрешающий элемент), кроме разрешающего элемента, заменяем нулями;
  4. все другие элементы вычисляем по правилу прямоугольника: преобразуемый элемент равен разности произведений элементов главной диагонали (главную диагональ образует разрешающий элемент и преобразуемый) и побочной диагонали (побочную диагональ образуют элементы, стоящие в разрешающей строке и разрешающем столбце): Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - разрешающий элемент (см. схему).

Последующие шаги выполняем по правилам:

1) выбирается разрешающий элемент Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения (диагональный элемент матрицы);

2) элементы разрешающей строки оставляем без изменения;

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

3) все элементы разрешающего столбца, кроме разрешающего элемента, заменяем нулями; • •

4) все другие элементы матрицы пересчитываем по правилу прямоугольника.

На последнем шаге делим элементы строк на диагональные элементы матрицы, записанные слева от вертикальной черты, и получаем решение системы.

Пример:

Решить систему уравнений:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим расширенную матрицу системы, и применим алгоритм полного исключения, обозначая разрешающий элемент символом Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Из последней матрицы находим следующее решение системы

уравнении: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Ответ: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решить систему уравнений:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим расширенную матрицу системы, и применим алгоритм полного исключения, обозначая разрешающий элемент символом Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решенияМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Система привелась к ступенчатому виду (трапециевидной форме):

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

в которой неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - базисные, а Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - свободные. Из второго уравнения системы (6.1.6) находим выражение Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения через Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Из первого уравнений найдём выражение Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения через Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения . Система имеет бесконечное множество решений. Общее решение системы имеет вид:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

в котором Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения принимают любые значения из множества действительных чисел.

Если в общем решении положить Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то получим решение Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, которое называется частным решением заданной системы.

Ответ: система имеет бесконечное множество решений, общее решение которой записывается в виде: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Решить систему уравнений:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим расширенную матрицу системы, и применим алгоритм полного исключения, обозначая разрешающий элемент символомМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения В последней матрице мы получили четвёртую строку, которая равносильна уравнению Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Это означает, что заданная система не имеет решений.

Ответ: система несовместна.

Замечание 1. Если дана система уравнений (6.1.1), в которой число уравнений m равно числу неизвестных n (m=n) и определитель этой системы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения не равен нулю Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, где определитель Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения получен из определи-теля Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения заменой j-ro столбца столбцом свободных членов.

Если же такую систему (m-n) записать в матричной форме AX=F, то её решение можно найти по формуле Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и оно является единственным.

Замечание 2. Используя метод Гаусса, тем самым и алгоритм полного исключения, можно находить обратную матрицу. Для этого составляется расширенная матрица, в которой слева от вертикальной черты записана матрица А, а справа - единичная матрица. Реализовав алгоритм полного исключения, справа от вертикальной черты получаем обратную матрицу, а слева - единичную.

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Так как

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

то обратная матрицаМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения существует. Составим расширенную мат-рицу и применим алгоритм полного исключения:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

тогда

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Покажем, что Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

ответ Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Исследование совместности и определённости системы. Теорема Кронекера-Капелли

Рассмотрим систему (6.1.1) m линейных уравнений с n неизвестными при любых m и n (случай m=n не исключается). Вопрос о совместности системы решается следующим критерием.

Теорема 6.2.1. (критерий Кронкера-Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений(6.1.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы А системы был равен рангу расширенной матрицы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

Доказательство и Необходимость:

Предположим, что система (6.1.1) совместна и Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - какое-либо её решение (возможно единственное). По определению решения системы получаем:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Из этих равенств следует, что последний столбец матрицыМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то есть система вектор-столбцов матрицы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения линейно зависима (свойство 3 п.2.5) и значит последний столбец матрицы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения не изменяет ранга матрицы А, т.е.

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

Достаточность. Пусть Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Рассмотрим r базисных

столбцов матрицы А, которые одновременно будут базисными столбцами и матрицы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. В этом случае последний столбец матрицы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, то есть

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

где Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - коэффициенты линейных комбинаций. А это означает, что Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения- решение системы (6.1.1), следовательно,

эта система совместна.

Совместная система линейных уравнений (6.1.1) может быть либо определенной, либо неопределенной.

Следующая теорема даст критерий определенности.

Теорема 6.2.2. Совместная система линейных уравнений имеет единственное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А системы равен числу п ее неизвестных.

Таким образом, если число уравнений m системы (6.1.1) меньше числа ее неизвестных n и система совместна, то ранг матрицы системы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Значит система неопределенная.

В случае Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения по теореме 6.2.2 получаем, что система имеет единственное решение. Так как Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то определительМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и квадратная матрица А имеет обратную x матрицу Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и её решение можно найти по формуле: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, где Х- столбец неизвестных, F— столбец свободных членов, или по формулам Крамера.

Следует отметить, что, решая систему (6.1.1) методом Гаусса, мы определяем и совместность, и определённость системы.

Пример:

Исследовать на совместность и определённость следующую систему линейных уравнений:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим расширенную матрицу заданной системы. Определяя её ранг, находим тем самым и ранг матрицы системы. Для нахождения ранга матрицы применим алгоритм метода Гаусса. Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Из последней матрицы следует, что ранг расширенной матрицы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решенияне может быть больше ранга матрицы А системы. Так как

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то заданная система совместная и неопределённая.

Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений (6.1.1) называется однородной, если все свободные члены Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения равны нулю, то есть система имеет следующий вид:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Эта система всегда совместна, так как очевидно, что она имеет нулевое решение

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Для однородной системы важно установить, имеет ли она ненулевые решения. Этот факт устанавливается следующей теоремой.

Теорема 6.3.1. Для того, чтобы однородная система имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г матрицы А системы был меньше числа неизвестных n (rМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решенияn). 

Доказательство. Необходимость. Пусть система (6.3.1) имеет ненулевое решение. Тогда она неопределённая, т.к. имеет еще и нулевое решение. В силу теоремы 6.2.2 ранг матрицы неопределённой системы не может равняться n потому что при r(А)=n система определённая. Следовательно, Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и так как он не может быль больше n то Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

Достаточность. Если Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то в силу теоремы 6.2.2 система (6.3.1) имеет бесчисленное множество решений. А так как только одно решение является нулевым, то все остальные решения ненулевые. Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Следствие 1. Если число неизвестных в однородной системе больше числа уравнений, то однородная система имеет ненулевые решения.

Доказательство. Действительно, ранг матрицы системы (6.3.1) не может превышать m. Но так как по условиюМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то и Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, в силу теоремы 6.3.1 система имеет ненулевые решения.

Следствие 2. Для того, чтобы однородная система с квадрат-ной матрицей имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы её определитель Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения равнялся нулю.

Доказательство. Рассмотрим однородную систему с квадратной матрицей:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения (6.3.2)

Если определитель матрицы системы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то ранг матрицы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, тогда в силу теоремы 6.3.1 система (6.3.2) имеет ненулевое решение, так как условие Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения является необходимым и достаточным условием для существования ненулевого решения. Заметим, что если определитель матрицы системы (6.3.2) не равен нулю, то Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения в силу теоремы 6.3.1 она имеет только нулевое решение.

Пример:

Решить систему однородных линейных уравнений:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим матицу системы и применим алгоритм полного исключения:Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Из последней матрицы следует, что Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и система имеет бесчисленное множество решений.

Используя последнюю матрицу, последовательно находим общее решение: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Неизвестные Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения- базисные, Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения- свободная неизвестная, Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

Фундаментальная система решений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений

Рассмотрим систему однородных линейных уравнений

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения (6.4.1)

Любое решение

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

системы m линейных однородных уравнений с n неизвестными можно рассматривать как вектор-строкуМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения или как вектор-столбец Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения . Поэтому имеют смысл такие понятия, как сумма двух решений, произведение решения на число, линейная комбинация решений, линейная зависимость или независимость системы решений. Непосредственной подстановкой в систему (6.4.1) можно показать, что:

1) сумма двух решений также является решением системы, т.е.

еслиМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - решения системы

(6.4.1), то и Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - решение системы (6.4.1);

2) произведение решенийМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решенияна любое число Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения есть решение системы, т.е. Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - решение системы.

Из приведенных свойств следует, что

3) линейная комбинация решений системы (6.4.1) является решением этой системы.

В частности, если однородная система (6.4.1) имеет хотя бы одно ненулевое решение, то из него умножением на произвольные числа, можно получить бесконечное множество решений.

Определение 6.4.1. Фундаментальной системой решений для системы однородных линейных уравнений (6.4.1) называется линейно независимая система решений, через которую линейно выражается любое решение системы (6.4.1).

Заметим, что если ранг матрицы системы (6.4.1) равен числу неизвестных n (r(А)=n), то эта система не имеет фундаментальной системы решений, так как единственным решением будет нулевое решение, составляющее линейно зависимую систему. Существование и число фундаментальных решений определяется следующей теоремой.

Теорема 6.4.1. Если ранг матрицы однородной системы уравнений (6.4.1) меньше числа неизвестных (r(А)Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решенияn), то система (6.4.1) имеет бесконечное множество фундаментальных систем решений, причём каждая из них состоит из n-r решений и любые n-r линейно независимые решения составляют фундаментальную систему.

Сформулируем алгоритм построения фундаментальной системы решений:

  1. Выбираем любой определитель Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения порядка n-r, отличный от нуля, в частности, определитель порядка n-r, у которого элементы главной диагонали равны единице, а остальные - нули.
  2. Свободным неизвестным придаём поочерёдно значения, равные элементам первой, второй и т.д. строк определителяМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, и каждый раз из общего решения находим соответствующие значения базисных неизвестных.
  3. Из полученных n-r решений составляют фундаментальную систему решений.

Меняя произвольно определитель Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, можно получать всевозможные фундаментальные системы решений.

Пример:

Найти общее решение и фундаментальную систему решений для однородной системы уравнений:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим матрицу системы и применим алгоритм полного исключения.

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Для последней матрицы составляем систему:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения,

, из которой находим общее решение:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

в котором Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения — базисные неизвестные, а Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения- свободные неизвестные.

Построим фундаментальную систему решений. Для этого выбираем определительМетод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и свободным неизвестным придаём поочерёдно значения, равные элементам первой, а затем второй строк, т.е. положим вначале Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и получим из общего решения Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения; затем полагаем Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, из общего решения находим: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

Таким образом, построенные два решения (1; -1; 1; 0) и (-6; 4; 0; 1) составляют фундаментальную систему решений.

Если ранг матрицы системы однородных линейных уравнений (6.4.1) на единицу меньше числа неизвестных: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения то Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, и значит, фундаментальная система состоит из одного решения. Следовательно, любое ненулевое решение образует фундаментальную систему. В этом случае любые два решения различаются между собой лишь числовыми множителями.

Рассмотрим теперь неоднородную систему m линейных уравнений с n неизвестными (6.1.1). Если в системе (6.1.1) положить Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то полученная однородная система называется приведенной для системы (6.1.1).

Решения системы (6.1.1) и её приведенной системы удовлетворяют свойствам:

  1. Сумма и разность любого решения системы (6.1.1) и любого решения её приведенной системы является решением неоднородной системы.
  2. Все решения неоднородной системы можно получить, прибавляя к одному (любому) её решению поочерёдно все решения её приведенной системы.

Из этих свойств следует теорема.

Теорема 6.4.2. Общее решение неоднородной системы (6.1.1.) определяется суммой любого частного решения этой системы и общего решения её приведенной системы.

Пример:

Найти общее решение системы:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составим расширенную матрицу (A|F) заданной системы и применим алгоритм полного исключения:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения,

Преобразованной матрице соответствует система уравнений:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

из которой находим общее решение системы:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

, где Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения — базисные неизвестные, а Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения- свободные неизвестные.

Покажем, что это общее решение определяется суммой любого частного решения заданной системы и общего решения приведенной системы.

Подставляя вместо свободных неизвестных Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения в общее решение системы нули, получаем частное решение исходной системы: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

Очевидно, что общее решение приведенной системы имеет вид:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Суммируя частное решение заданной системы и общее решение приведенной системы, получим общее решение (6.4.2) исходной системы.

Отметим, что общее решение системы (6.1.1) можно представить в векторном виде:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

где Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения- • некоторое решение (вектор-строка) системы (6.1.1);

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - фундаментальная система решений системы (6.4.1);

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - любые действительные числа.

Формула (6.4.4) называется общим решением системы (6.1.1) в векторной форме.

Запишем общее решение системы примера 6.4.1 в векторной форме. Для этого определим фундаментальную систему решений приведенной системы. Возьмём определитель Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и придадим поочерёдно свободным неизвестным значения, равные элементам строк. Пусть Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения тогда из общего решения (6.4.3) приведенной системы находим Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения; если же Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, то Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, фундаментальную систему решений образуют решения: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения. Тогда общее решение заданной системы в векторной форме имеет вид: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения, где Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения - частное решение заданной системы; Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения.

Определение метода Гаусса

Исторически первым, наиболее распространенным методом решения систем линейных уравнений является метод Гаусса, или метод последовательного исключения неизвестных. Сущность этого метода состоит в том, что посредством последовательных исключений неизвестных данная система превращается в ступенчатую (в частности, треугольную) систему, равносильную данной. При практическом решении системы линейных уравнений методом Гаусса удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу этой системы, выполняя элементарные преобразования над ее строками. Последовательно получающиеся в ходе преобразования матрицы обычно соединяют знаком эквивалентности.

Пример:

Решить систему уравнений методом Гаусса:

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Выпишем расширенную матрицу данной системы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения и произведем следующие элементарные преобразования над ее строками:

а) из ее второй и третьей строк вычтем первую, умноженную соответственно на 3 и 2: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

б) третью строку умножим на (-5) и прибавим к ней вторую: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

В результате всех этих преобразований данная система приводится к треугольному виду: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Из последнего уравнения находим Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения Подставляя это значение во второе уравнение, имеем Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения Далее из первого уравнения получим Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Вычисление метода Гаусса

Этот метод основан на следующей теореме.

Теорема:

Элементарные преобразования не изменяют ранга матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относят:

  1. перестановку двух параллельных рядов;
  2. умножение какого-нибудь ряда на число, отличное от нуля;
  3. прибавление к какому-либо ряду матрицы другого, параллельного ему ряда, умноженного на произвольное число.

Путем элементарных преобразований исходную матрицу можно привести к трапециевидной форме

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

где все диагональные элементы Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения отличны от нуля. Тогда ранг полученной матрицы равен рангу исходной матрицы и равен k.

Пример:

Найти ранг матрицы

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

1) методом окаймляющих миноров;

2 ) методом Гаусса.

Указать один из базисных миноров.

Решение:

1. Найдем ранг матрицы методом окаймляющих миноров. Выберем минор второго порядка, отличный от нуля. Например,

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения Существуют два минора третьего порядка, окаймляющих минор Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения Т.к. миноры третьего порядка равны нулю, ранг матрицы равен двум. Базисным минором является, например, минор Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

2. Найдем ранг матрицы методом Гаусса. Производя последовательно элементарные преобразования, получим: Метод Гаусса - определение и вычисление с примерами решения

  1. переставили первую и третью строки;
  2. первую строку умножили на 2 и прибавили ко второй, первую строку умножили на 8 и прибавили к третьей;
  3. вторую строку умножили на -3 и прибавили к третьей.

Последняя матрица имеет трапециевидную форму и ее ранг равен двум. Следовательно, ранг исходной матрицы также равен двум.