Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Абсолютная и условная сходимости:

Определение 28.1.1. Знакопеременным рядом называется ряд, членами которого являются вещественные числа произвольного знака.

Пусть

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

некоторый знакопеременный ряд. Составим ряд из модулей членов знакопеременного ряда:

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Этот полученный ряд является рядом с положительными членами и поэтому его сходимость можно изучать методами, изложенными в лекции 27. А между сходимостью ряда (28.1.1) и сходимостью ряда (28.1.2) существует известная связь, т.е. справедливо следующее.

Определение 28.1.2. Знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей его членов.

Знакопеременный ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не сходится абсолютно.

Заметим, что для условно сходящихся рядов некоторые привычные законы арифметики не имеют места.

Теорема 28.1.1. Всякий абсолютно сходящийся ряд сходится.

Доказательство. Пусть знакопеременный ряд (28.1.1) абсолютно сходится, т.е. это значит, что сходится ряд (28.1.2). В силу теоремы 27.2.2 ряд

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения полученный, умножением ряда (28.1.2) на число 2, сходится. Очевидно, что для любого n справедливо неравенство Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения Откуда, в силу I признака сравнения, следует сходимость ряда

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Вычитая из ряда (28.1.3) ряд (28.1.2), получим сходящийся ряд (28.1.1) в силу следствия из теоремы 27.2.3. Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 28.1.2. Если Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения абсолютно сходящийся ряд с суммой Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения, а сумма ряда Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решенияЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Доказательство. В силу свойства модулей, имеем Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения Перейдем в этом неравенстве к пределу при Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения. На основании свойства сходящейся последовательности2, получим, чтоЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Если n-ый остаток абсолютно сходящегося ряда (28.1.1) есть Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения, а n-ый остаток ряда (28.1.2) есть Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения тоЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения Если -элементы двух сходящихся последовательностейЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения , начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенствам Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения, то и пределы этих последовательностей удовлетворяют такому же неравенствуЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Исследовать сходимость знакопеременного ряда

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Составляем ряд из абсолютных величин членов данного ряда:

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Построенный ряд сходится, так как является геометрическим рядом, со знаменателем Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения Следовательно, данный ряд также сходится по теореме 28.1.1, (он является абсолютно сходящимся рядом в соответствии с определением 28.1.2).

Свойства условно сходящихся рядов

Теорема 28.2.1. Если знакопеременный ряд

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

сходится условно, то рядЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения составленный из положительных членов, и рядЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения , составленный из абсолютных величин отрицательных членов, расходятся.

Доказательство. Предположим сначала, что сходятся оба ряда

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения Заменим в ряду Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решениявсе отрицательные члены нулями. Получим ряд, разбавленный нулями, который сходится, т.к. сходится ряд Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения по предположению. Заменяя в ряду Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения все положительные члены нулями, а у отрицательных, изменяя знаки, получим сходящийся ряд Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения. Сумма двух построенных «разбавленных» рядов есть ряд модулей членов рядаЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения , который по теореме о сумме сходящихся рядов, должен сходиться, что противоречит условию теоремы. Это означает, что оба ряда Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения расходятся.

Пусть теперь сходится один из рядов Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения Предположим для определенности, что ряд Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения сходится, а рядЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решениярасходится. Разбавим ряд Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения нулями и вычтем полученный сходящийся ряд из ряда (28.1.1), изменив у оставшихся членов знаки.

Отбросив соответствующие нули, мы получим ряд Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения который должен сходиться по теореме о вычитании рядов, что противоречит сделанному предположению.

Таким образом, учитывая оба предположения получаем, что оба ряда Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения расходятся. Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Теорема 28.2.2. Пусть ряд (28.1.1) сходится условно. Тогда для любого числа S, можно так переставить его члены, что полученный сходящийся ряд Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения имеет сумму S.

Доказательство. Будем выписывать подряд положительные члены ряда (28.1.1), пока их сумма не превзойдет S:

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

К имеющейся сумме припишем отрицательные члены ряда (28.1.1) пока новая сумма не опустится ниже S.

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

v, +v2 +...+V* +vA+l +vk+2 +... + +vi+M +vk+,Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решенияS. Будем повторять этот процесс приписывания к сумме новых групп положительных и отрицательных членов, каждый раз минимально переходя через S. После каждого перехода частичная сумма ряда (28.1.1) будет по построению отличатся от S менее чем на абсолютную величину члена, последнего из приписанных в этом или предыдущем переходах. Но по необходимому признаку сходимости ряда эта абсолютная величина стремится к нулю. Следовательно, последовательность частичных сумм ряда (28.1.1) имеет пределом S. 

Определение знакочередующихся рядов

Определение 3.3. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если его соседние члены имеют различные знаки, т.е.

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Примерами знакочередующихся рядов могут служить геометрические прогрессии с отрицательными знаменателями.

Для знакочередующихся рядов имеется достаточно общий, чувствительный и практичный признак сходимости Лейбница.

Теорема 28.3.1. (признак Лейбница). Если абсолютные величины членов знакочередующегося ряда

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

образуют монотонно убывающую последовательность, стремящуюся к нулю

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

и

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

то ряд (28.3.1) сходится.

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы четного порядка ряда (28.3.1):

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решенияИх можно записать в виде

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

В силу условия (28.3.2) следует, что разности в круглых скобках неотрицательны и поэтому Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения, т.е. последовательность частичных сумм чётного порядка ряда (28.3.1) монотонно возрастастает. С другой стороны, частичные суммы можно записать и в виде:

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Разности в круглых скобках снова неотрицательны, т.к. выполняется (28.3.2), и Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому,Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения, т.е. последовательность частичных сумм чётного порядка ограничена сверху. Из монотонного возрастания и ограниченности сверху, следует, что последовательность четных частичных сумм сходится, т.е.

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Покажем, что и частичные суммы нечетного порядка ряда (28.3.1) стремятся к тому же пределу. Действительно, справедливо равенство Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решенияи так как согласно (28.3.3) Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения, то, вычисляя предел левой и правой частей этого равенства, получимЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения, т.е.

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Тогда из (28.3.4) и (28.3.5) следует, что Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, существует предел последовательности частичных сумм, что означает сходимость ряда (28.3.1).Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Следствие. Для знакочередующегося ряда (28.3.1), удовлетворяющего признаку сходимости Лейбница, абсолютная величина остатка ряда не превышает абсолютной величины его первого члена, т.е.Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Действительно, остаток Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения можно рассматривать как сумму ряда Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения которая, как следует из доказанной теоремы, не превышает по абсолютной величине своего первого членаЗнакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

В заключение отмстим, что в признаке Лейбница все условия существенны и поэтому подлежат проверке.

Пример:

Исследовать сходимость ряда: Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом и, как правило, он расходится. Поэтому применим к данному ряду признак Лейбница. Условия признака выполнимы: ряд знакочередующийся; члены ряда убывают по модулю:

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, данный ряд сходится, причем сходится условно, так как ряд, составленный из модулей членов, расходится.

Пример:

Исследовать сходимость ряда:

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Заданный ряд является знакочередующимся рядом. Абсолютные величины членов ряда убывают

Знакопеременные ряды - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, данный ряд расходится, так как не выполняется необходимый признак сходимости.

Из данного примера следует, что, применяя признак Лейбница, нужно проверять выполнимость всех условий.