Производная сложной функции с примерами решения

Производная сложной функции

До сих пор рассматривались производные функций, аргументами которых была переменная 

Рассматривая в функции  переменную  как аргумент, можно найти и производную этой функции по . Её мы будем обозначать знаком Производные функций по  по-прежнему будем обозначать символами 

Теорема (о производной сложной функции). Пусть дана функция  Если в какой-то точке  существует производная  и в соответствующей точке  существует производная  то существует также производная  причём 

Строгое доказательство этой теоремы сложное, поэтому ограничимся только его схемой. Производная  равна пределу отношения  когда  Считая, что  умножим числитель и знаменатель этого отношения на 

Если  поскольку речь идет о функции дифференцируемой в точке  Поэтому если  то

и из равенства  следует равенство 

До сих пор речь шла о производной  в некоторой фиксированной точке Если же данная сложная функция  дифференцируема в каждой точке  некоторого промежутка, то равенство  и выполняется на всём промежутке. Итак, пользуясь этим равенством, можно находить производную данной функции и как функцию, заданную на этом промежутке.

Пример:

Найдём производную функции  Это функция   Эти функции дифференцируемы на 

Итак, 

Не обязательно, решая такие упражнения, вводить переменную  Её можно только представлять и сразу писать, например:

Производной данной функции  есть некоторая функция от того же аргумента  Её также можно дифференцировать: находить производную производной. В этом случае говорят о нахождении производной второго порядка. Производную от производной второго порядка называют производной третьего порядка.

Для примера рассмотрим функцию  Найдём производную этой функции, производные образованных функций и запишем соответствующие названия:

•  — производная первого порядка;
•  — производная второго порядка;
• — производная третьего порядка;
• 

Понятно, что все производные следующих порядков  функции  также равны нулю.

Производные второго и высших порядков используются для исследования функций различной природы.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример №539

Найдите  если:

Решение:

а) По условию  — внешняя функция, а  — внутренняя. Следовательно, аргументом внешней функции должна стать функция  то есть вместо  в выражении  следует записать  Имеем: 

б)    по условию  — внешняя функция, a g(x) = х2 + 1 — внутренняя. Следовательно, аргументом функции  должна стать функция  т. е. вместо  в выражении  следует записать  Имеем: 

Пример №540

Выведите формулу для вычисления производной функции

Решение:

Из данного равенства получаем  отсюда 

В частности, если  Следовательно, 

Пример №541

Найдите значение производной функции  в точке 

Решение:

Если 

Пример №542

Найдите: 

Решение: