Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Функции многих переменных

Будем рассматривать несколько переменных величин: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Определение. Если каждой возможной совокупности числовых значений переменных Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения .. . соответствуют определенные значения переменного w, то w называется зависимым переменным, или функцией от независимых переменных Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, .... или функцией многих переменных. Функция многих переменных обозначается так: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Приведем примеры функций двух и трех переменных.

Пример:

Площадь Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения прямоугольного треугольника выражается через его катеты Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения формулой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения . Поэтому площадь Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения есть функция двух независимых переменных.

Пример:

По закону Ома Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, гдеФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения — ток, Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения— напряжение, a Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения—сопротивление. Значит, ток Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения есть функция двух переменных: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Сила Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения равна произведению массы на ускорение: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Здесь опять сила есть функция двух переменных: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Как известно, площадь косоугольного треугольника выражается через две его стороны и угол между ними следующим образом:

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Поэтому площадь треугольника является функцией трех независимых переменных: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Может случиться, что уравнение, которое связывает переменные величины, не разрешено относительно ни одной из них, тем не менее оно определяет функцию или функции. Например, уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения определяет функцию Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения определяет функции Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Определение. Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно этой функции, называется неявной.

Иногда удается представить неявную функцию в явном виде. Например, если дана неявная функция, определенная уравнением Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то, решая уравнение, получим две явные функции:

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Совокупность всех значений независимых переменных, для которых можно найти значения функции, называется областью существования функции. Например, если задана функция Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то область ее существования будет состоять из значений Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяющих неравенству Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Координаты в пространстве

Для того чтобы иметь возможность дать геометрическое истолкование функции двух переменных, введем в пространстве систему координат. Возьмем три взаимно перпендикулярные и пересекающиеся в одной точке прямые и на каждой из них:

  1. установим направление,
  2. выберем единицу масштаба,
  3. укажем начало отсчета.

Обычно масштаб берется одинаковый по всем трем прямым, а за начало отсчета принимается точка пересечения данных прямых.

Совокупность трех взаимно перпендикулярных пересекающихся в одной точке прямых, на которых: 1) установлено направление, 2) введен масштаб и 3) выбрано начало отсчета, называется системой координат.

Каждую из этих прямых называют осью координат, одну из них—осью абсцисс или осью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, другую—осью ординат или осью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и третью — осью аппликат или осью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Точку начала отсчета, общую для координат и обозначают буквой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Положительное направление осей указано на рис. 99.

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Пусть Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения—произвольная точка пространства. Опустим из нее перпендикуляры на оси координат и назовем проекцию точки на ось Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения буквой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, на ось Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения—буквой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и на ось Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения—буквой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (рис. 99).

Отрезки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения назовем координатными отрезками точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (ср. с гл. 1). Определение координат точки остается таким же, как и в гл. 1, только добавляется, что координата, измеряемая по оси Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, называется аппликатой. Точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, имеющая абсциссой число Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, ординатой число Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и аппликатой число Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, записывается так: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения можно получить и другим способом. Покажем это для точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (рис. 99). Спроектируем точку Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения на плоскость Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. опустим из нее перпендикуляр на эту плоскость; получим точку Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Теперь опустим перпендикуляр из Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения на осьФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Основанием перпендикуляра на ось Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения как раз и будет точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (это следует из теоремы о трех перпендикулярах). Часто при изображении точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения для наглядности, наряду с осями координат, изображают прямоугольный параллелепипед. Одна из вершин параллелепипеда находится в заданной точке Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, а противоположная—в начале координат Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения; три его ребра расположены по осям координат. На рис. 99 это параллелепипед Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Тогда становится очевидным, что Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и что Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения—диагональ параллелепипеда. Так как Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения прямоугольные, то Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решенияФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, откуда Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Таким образом, расстояние точки от начала координат равно квадратному корню из суммы квадратов ее координат.

Пример:

Найти расстояние между точками Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Обозначим проекции точек Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения на ось Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения соответственно через Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (рис. 100).

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Тогда проекцией отрезка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения будет являться отрезок Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Выразим отрезок Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения через координаты начала и конца, он равен координате конца минус координата начала, т. е. Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, а его длина равнаФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (см. гл. I). Кроме того, в силу равенства отрезков параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями, имеем: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Аналогично, проектируя точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения на ось Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим, что Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Также получаем, чтоФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Диагональ Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения прямоугольного параллелепипеда равна

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

или

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Следовательно, расстояние между двумя точками равно квадратному корню из суммы квадратов разностей соответствующих координат.

Некоторые простые уравнения

1. Уравнения координатных плоскостей. Рассмотрим, например, плоскость Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и произвольную точку Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения на ней.

Так как плоскость Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то перпендикуляр, опущенный из точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения на ось Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, попадает в начало координат, а это значит, что аппликата точки равна нулю. Очевидно и обратное, т. е. если аппликата точки равна нулю, то эта точка лежит в плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения характеризует плоскость Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения; оно является уравнением плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. координаты любой точки плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют уравнению Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Рассуждая аналогично, получим, что координаты любой точки, принадлежащей плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, удовлетворяют уравнению Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. это уравнение есть уравнение координатной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Также уравнениеФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения есть уравнение координатной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

2. Уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости. Если точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения лежит в плоскости, параллельной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то ее аппликата равна расстоянию точки от плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, взятому со знаком плюс, если точка лежит выше, и со знаком минус, если она лежит ниже координатной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому уравнение плоскости, параллельной координатной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, имеет вид Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, где Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения — постоянное.

Также плоскость, параллельная плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, имеет уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Плоскость, параллельная плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, имеет уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

3. Уравнения координатных осей. Ось Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения является пересечением плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, поэтому любая ее точка лежит в плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и в плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, координаты любой точки, принадлежащей оси Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, должны удовлетворять и уравнению Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и уравнению Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Эти два уравнения Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения являются уравнениями оси Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Аналогично уравнениями оси Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения будут Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения,Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Уравнениями оси Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения; будут Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Поверхности

Пусть дана функция двух независимых переменных, определенная уравнением

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Будем рассматривать переменные Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения как координаты точки. Возьмем на плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения точку Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. укажем пару чисел Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (ее координаты). В силу уравнения (1) паре чисел Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения соответствует определенное число Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому можно сказать, что уравнение (1) ставит в соответствие точке Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, лежащей на плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, точку Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, лежащую в пространстве. Меняя положение точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения на плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, будем получать различные точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Геометрическое место точек Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), называется поверхностью. Для примера возьмем формулу, выражающую расстояние между двумя точками (формула Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения из § 2):

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Предположим, что точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения неподвижна, расстояние между точками Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения постоянно и равно Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, а точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения может двигаться. Тогда геометрическое место точек Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения будет являться поверхностью шара, или, как иначе говорят, сферой. Обозначим координаты точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решениячерез Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, а координаты Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения через Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (здесь Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения являются переменными величинами). Тогда равенство Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения перепишется в виде

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

или

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Это—неявная функция. Координаты, удовлетворяющие уравнению Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, определяют точки, лежащие на сфере. Поэтому уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения называют уравнением сферы, имеющей центр в точкеФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и радиус, равный Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, уравнение (1) определяет поверхность и называется уравнением поверхности.

Для того чтобы выяснить вид поверхности, определенной уравнением (1), применяют метод сечений, с которым мы познакомимся на примерах.

Пример:

Выясним вид поверхности, заданной уравнением

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

иначе говоря, найдем геометрический смысл неявной функции, определенной уравнением (2).

Решение:

Для этого найдем сначала точки пересечения поверхности с осью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Поскольку для любой точки, лежащей на оси Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, абсцисса и ордината равны нулю, то искомая точка удовлетворяет этим условиям и уравнению (2). Подставляя в уравнение (2) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, найдем Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения есть точка пересечения поверхности, заданной уравнением (2), с осью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Чтобы найти точку пересечения поверхности с осью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, положим в уравнении (2) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Отсюда найдем Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Итак, точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения есть точка пересечения поверхности с осью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Аналогично, полагая в уравнении (2) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим, что точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения является точкой пересечения поверхности (2) с осью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (рис. 101).

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Выясним, что получится при пересечении поверхности (2) с плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Так как уравнение этой плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то, полагая в уравнении (2) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Как было показано в гл. II, всякое уравнение первой степени с двумя неизвестными определяет некоторую прямую на плоскости, поэтому уравнение (3) определяет прямую, лежащую в плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Прямая, определенная уравнением (3), проходит через точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, так как их координаты удовлетворяют уравнению (3). Проверим это для точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения:

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Полагая в уравнении (2) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, найдем пересечение поверхности с координатной плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Снова получим прямую, определяемую уравнением

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

проходящую через точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Наконец, пересекая поверхность (2) плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. полагая в уравнении (2) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Уравнение (5) определяет прямую, лежащую в плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и проходящую через точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Итак, поверхность, заданная уравнением (2), пересекается с координатными плоскостями по треугольнику Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Чтобы выяснить окончательно вид поверхности, пересечем ее плоскостью, параллельной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, которая имеет уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Полагая в уравнении (2) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Это — уравнение прямой, лежащей в плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Найдем точку пересечения прямой (6) с плоскостьюФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, для этого положим в уравнении (6) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, тогда Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения• Найденная точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, лежит и на прямой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, поскольку ее ордината Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и аппликата Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения удовлетворяют уравнению (4). Также, если в уравнении (6) положить Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то найдем точку пересечения прямой (6) с координатной плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, это будет точка £Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения лежит и на прямой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, так как ее координаты удовлетворяют уравнению (3).

Число Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения можно менять, поэтому в результате проведенного исследования получается, что поверхность, определяемая уравнением (2), образована прямой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, скользящей по пересекающимся прямым Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Эта поверхность является плоскостью.

Итак, уравнение первой степени с тремя неизвестными в пространстве определяет плоскость.

Пример:

Найдем вид поверхности, определяемой уравнением

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Пересечем поверхность плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. положим в уравнении (7) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Получим Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения это — уравнение параболы, лежащей в координатной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (рис. 102).

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Пересекая поверхность плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. полагая в уравнении (7) Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, которое является также уравнением параболы.

Найдем пересечение исследуемой поверхности с плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. с плоскостью, параллельной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и отстоящей от нее на расстояние Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. ПолагаяФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения в уравнении (7), получим Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения или

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Это есть уравнение эллипса с полуосями Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения . Чем больше Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, тем больше и полуоси эллипса, следовательно, эллипс расширяется по мере удаления от координатной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. При Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения выражения для полуосей теряют смысл, так как корень квадратный делается мнимым. При Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения полуоси равны нулю.

Поэтому исследуемая поверхность образована эллипсами, расположенными в плоскостях, параллельных плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, и нанизанными на параболы Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Эта поверхность называется эллиптическим параболоидом.

Пример:

Исследуем вид поверхности, заданной уравнением

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Решение:

Найдем пересечение с плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения уравнение которой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (рис. 103). Уравнение (8) после подстановки в него Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения примет вид

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Эта кривая была исследована она лежит в плоскости, параллельной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и отстоящей от нее на расстояние 1.

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Пересекая поверхность (8) плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, уравнение которой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим уравнение кривой того же типа, что и (9):

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Ищем пересечение исследуемой поверхности с плоскостью, параллельной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и отстоящей от нее на расстояние Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения; уравнение этой плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Подставляя Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения в уравнение (8), получаем

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Прологарифмируем обе части последнего равенства и преобразуем; будем иметь:

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Это—уравнение окружности радиуса Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, центр которой находится в точке (1, 1, Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения). Чтобы радиус являлся действительным числом, под знаком квадратного корня должно стоять положительное число. А так как логарифмы положительны для чисел, больших единицы, то должно быть Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения или Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Это значит, что рассматриваемая поверхность пересекается с плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения только в том случае, если Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Если Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то радиус обращается в нуль, т. е. окружность вырождается в точку. Итак, поверхность, определяемая уравнением (8), образована из окружностей (И), нанизанных на кривые (9) и (10). Окружности, образующие поверхность, увеличиваются по мере уменьшения Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. по мере приближения к координатной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Линии уровня

Определение: Линией уровня называется геометрическое место точек, расположенных на поверхности и имеющих одну и ту же определенную аппликату.

Например, если дана поверхность Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения то, взявФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения определяет плоскость, параллельную плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и отстоящую от нее на расстояние, равное единице. Уравнение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения определяет окружность, лежащую в плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Поэтому для рассматриваемой поверхности линией уровня, соответствующей уровню Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения (аппликате Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения), является окружность (рис. 104).

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Ясно, что проекция линии уровня на плоскость Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения есть та же самая линия, только перенесенная параллельно самой себе в плоскость Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Ее также называют линией уровня. В некоторых случаях линии уровня называют горизонталями.

Часто прибегают к следующему приему изображения поверхностей: берут совокупность плоскостей, параллельных плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние. Находят пересечение каждой плоскости с поверхностью, т. е. линии уровня, изображают полученные линии на плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и таким образом получают карту поверхности (вернее, план поверхности). На этом плане по расположению горизонталей можно судить о рельефе поверхности.

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 105 изображены три поверхности и под каждой из них нарисован ее план. Хотя число горизонталей (линий уровня) одно и то же для всех трех поверхностей, но расположение горизонталей различное. Можно заметить, что там, где поверхность круче, горизонтали расположены ближе друг к другу, или, как говорят, горизонтали расположены гуще.

Частные производные

В главе VIII было показано, как с помощью производной исследовать функцию. Для исследования функций многих переменных вводится понятие частной производной.

Определение: Частной производной от функции Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения по переменному Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения называется производная, вычисленная в предположении, что все независимые переменные, кроме Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, сохраняют постоянное значение.

Частная производная по Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения обозначается Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, или Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, или Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Аналогично определяют и частные производные по другим независимым переменным: Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения обозначают частную производную по Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения—частную производную по Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Пример:

Вычислим частные производные по всем независимым переменным от функции Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Будем считать сначала Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения переменным, а Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения постоянным. Тогда, используя правила вычисления производных (см. гл. VII, § 4), получим

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Аналогично

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Пример:

Найдем частные производные функции Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения:

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Определение: Частным приращением функции Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения по Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения называется приращение функции, вычисленное в предположении, что все независимые переменные, кроме Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, сохраняют постоянные значения.

Например, если дана функция Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то ее частное приращение по Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения найдем так: дадим Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения приращение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, оставляя без изменения другое переменное Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получим Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, вычитая первоначальное значение функции, будем иметь

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Это и есть частное приращение по Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Аналогично определяются и другие частные приращения.

Из определения частной производной вытекает, что частная производная по Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения есть предел отношения частного приращения функции по Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения к приращению Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения при условии, что приращение Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения стремится к нулю, т. е.

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Выясним геометрический смысл частной производной для функции двух независимых переменных (рис. 106).

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

На рисунке 106 изображена поверхность, заданная уравнением Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. На поверхности отмечена точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, и через нее проведена плоскость Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, параллельная координатной плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Все точки, лежащие в плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, имеют одну и ту же ординату, т. е. в ней у постоянен.

В сечении поверхности плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, получается кривая линия, которую обозначим буквой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Формула Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения для этой кривой определяет тангенс угла, образованного касательной и прямой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Иначе можно сказать, что Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения есть тангенс угла между плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и касательной, проведенной к кривой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Также, если проведем через точку Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения плоскость Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, параллельную плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то получим кривуюФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, лежащую в плоскостиФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Частная производная Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения будет давать тангенс угла между плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и касательной, проведенной к кривой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Покажем применение частных производных. Для этого предварительно дадим некоторые определения.

Значение функции Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения при Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, т. е. Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, называется максимальным, если оно больше всех значений функции при Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, мало отличающихся соответственно от Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Иначе говоря, можно найти кусок плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, содержащий точку Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения внутри себя и такой, что в любой его внутренней точке, кроме Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, функция будет иметь значение, меньше чемФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Минимальное значение функции определяется сходным образом: Значение функции называется минимальным при Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, если оно меньше всех ее значений при Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, мало отличающихся соответственно от Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Например, функция Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения имеет минимум, равный 0, так как при Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения функция равна 0, а при любых других значениях Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения она положительна, т. е. больше нуля.

Геометрически ясно, что максимальное значение функции определяет точку, находящуюся выше соседних, минимальное же значение определяет точку, находящуюся ниже соседних.

Если употребить географические термины, то максимальные значения функции определяют горные вершины, а минимальные— низины. Также геометрически ясно, что касательная в вершине, проведенная к любой кривой, лежащей на поверхности и проходящей через вершину, параллельна плоскости Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Значит, частные производные Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения в вершине (и в низине) равны нулю. Однако может случиться, что частные производные равны нулю в некоторой точке, но в ней нет ни максимума, ни минимума. Такие точки называются седловинами. Например, поверхность, изображенная на рис. 107, в начале координат имеет седловину. В самом деле, в сечении с плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения получается кривая, имеющая в начале координат минимум, а в сечении с плоскостью Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения получается кривая, имеющая в начале координат максимум. Обе частные производные Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения равны нулю, но для поверхности нет ни максимума, минимума.

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Когда мы уверены в существовании максимума или минимума, то их можно найти при помощи частных производных.

Пример:

Найти точку параболоида Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения наиболее близкую к точке Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.

Решение:

Прежде всего посмотрим, не лежит ли точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения на параболоиде. Если лежит, то она и будет искомой. Если же нет, то расстояние от точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения до любой точки параболоида всегда будет больше нуля.

Подставим координаты Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения в уравнение параболоида, получимФункции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Значит, точка Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения не лежит на параболоиде. Рассмотрим теперь произвольную точку параболоида, для нее Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения произвольны, a Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения находится из уравнения Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, координаты произвольной точки Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения параболоида будут Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Напишем формулу, выражающую расстояние между точками Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения):

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Это расстояние (эта функция), как мы только что убедились, никогда не равно нулю, но оно может быть сколь угодно большим. Если частные производные обращаются в какой-то одной точке в нуль, то в этой точке возможно существование минимума. Если расстояние минимальное, то и его квадрат также будет иметь минимальное значение. Поэтому вместо расстояния Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения будем рассматривать его квадрат, который обозначим буквой Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Таким образом, получилась следующая задача: найти минимум функции

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Вычислим частные производные:

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Приравниваем их нулю:

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Решим полученную систему уравнений

Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения

Из второго уравнения или Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, или Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Если Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то из первого уравнения получаем, что Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, откуда Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Если же Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, то Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения и Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения; подставляя в первое уравнение, получаем —16 = 0, т. е. эти значения ему не удовлетворяют. Таким образом, решением системы являются только Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения. Следовательно, точка параболоида, ближайшая к точке Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения, найдена, это Функции многих переменных - определение и вычисление с примерами решения.