Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Содержание:

Дифференцируемость функции нескольких переменных:

Рассмотрим функцию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Определение 16.1.1. Функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называется дифференцируемой в точкеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения если ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- постоянные величины, аДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - бесконечно малые при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функции, равные нулю при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Равенство (16.1.1) называется условием дифференцирусмости функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Это условие можно записать и в следующем виде:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - бесконечно малая функция более высокого порядка малости по сравнению с Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Справедлива следующая теорема.

Теорема 16.1.1. Если функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения дифференцируема в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то в этой точке существуют частные производные по всем аргументам, причем Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определяются из условия (16.1.1) или (16.1.2) дифференцируемости функции.

Доказательство. Пусть функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения дифференцируема в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Тогда выполняется равенство (16.1.2), из которого следует, что частное приращение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в этой точке равно Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Разделив все члены этого равенства на Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и, перейдя к пределу при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, последовательно получим: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Откуда следует, что

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что условие дифференцируемости (16.1.2) можно записать в следующей форме:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Так как коэффициенты Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определяются единственным образом, то дифференцируемую функцию можно представить единственным образом в форме (16.1.1) или (16.1.2).

Кроме того, из дифференцируемое функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения следует ее непрерывность в этой точке.

Сформулируем теперь достаточные условия дифференцируемости функции.

Теорема 16.1.2. Если функцияДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения имеет частные производные по всем аргументам в некоторой окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения непрерывные в самой точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то она дифференцируема в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Доказательство. Для простоты доказательство приведем для функции z = f(x,y) двух переменных. Предположим, что функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные в рассматриваемой точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Выразим полное приращение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения через частные производные. Для этого в правой части равенства прибавим и вычтем Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Выражение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - приращение по у, aДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения приращение по х. Применяя к каждому из приращений теорему Лагранжа (применить теорему Лагранжа можем, так как частные производные непрерывны в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения), получим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Так как частные производные, по предположению, непрерывны, то

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Тогда, используя представления, для функции, имеющей предел, получим.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - бесконечно малые функции порядка малости выше по сравнению с Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, и, следовательно, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Приращение функции представлено в форме (16.1.2), значит, функция z = f(x,y) дифференцируема в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Теорема доказана.

Дифференциал функции первого и высших порядков

Главную линейную относительно приращений аргументов часть приращения функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называют полным дифференциалом dz дифференцируемой функции:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Используя (16.1.3), это равенство можно переписать в виде:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Под дифференциалом Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения независимой переменной хк будем понимать число, равное приращениюДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Тогда полный дифференциал будет определяться равенством:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Формула (16.2.1) дифференциала функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения установлена для случая, когда аргументы Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения являются независимыми переменными. Эта же формула справедлива и в том случае, когда аргументы Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения сами являются дифференцируемыми функциями некоторых новых аргументов Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, которые можно считать независимыми. Это свойство первого дифференциала называют свойством инвариантности его формы.

Для функции z = f(x,y) двух переменных дифференциал определяется по формуле:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Ясно, что если функция z = f(x,y) дифференцируема в точке, то она имеет единственный дифференциал, так как частные производные определяются однозначно.

Полный дифференциал применяется в приближенных вычислениях. Для этого формулу полного приращения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения представим в виде:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Из предыдущего ясно, что, с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, можно написать равенство:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения .

Поэтому

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

или Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Формула (16.2.3) используется в приближенных вычислениях.

Пример:

Вычислить дифференциал функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решение:

Из рассуждений, приведенных выше, следует, что для вычисления дифференциала функции z = f(x,y), нужно вычислить частные производные и подставить их в формулу (46.2.2). Вычислив частные производные:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и подставив их в формулу полного дифференциала, получим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример:

Вычислить значение выражения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решение:

Введем в рассмотрение функцию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и выделим Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Тогда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Вычислим:

а) частные производные функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

б) значения функции и частных производных в точке (2;3):Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Подставив найденные значения в формулу (16.2.3), получим: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Предположим, что величина, стоящая в правой части (16.2.2), представляет собой функцию аргументов Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, дифференцируемую в данной точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Тогда сама функцияДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения должна быть дважды дифференцируемой в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, а аргументы являлись независимыми переменными или два раза дифференцируемыми функциями некоторых независимых переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. При этих предположениях можно рассматривать дифференциал

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

который называется вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и обозначается Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Дифференциал Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения любого порядка п вводится по индукции, го есть

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

В случае, когда аргументы Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения являются независимыми переменными, для дифференциала второго порядка справедливо представление:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференциал второго порядка (16.2.4) представляет собой симметричную (так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения) квадратичную форму от переменныхДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, коэффициенты которой равны соответствующим частным производным второго порядка функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. В частности, дифференциал второго порядка функции z= f(x,y) определяется равенством:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

так как

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Если аргументы Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения раз дифференцируемой функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения являются независимыми переменными, для дифференциала n-го порядка этой функции справедливо представление:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Другой вид имеют представления для второго и последующих дифференциалов функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в случае, когда аргументы Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения являются функциями переменныхДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример:

Вычислить дифференциал второго порядка функции

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решение:

Применим формулу (16.2.5) предварительно вычислив последовательно частные производные первого и второго порядков:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Подставив значения частных производных в (16.2.5), получим искомое выражение дифференциала второго порядка заданной функции:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Геометрический смысл условия

Рассмотрим функцию двух переменных z= f(x,y) и предположим, что она дифференцируема в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Тогда (16.1.2) можно записать в виде:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где А и В - постоянные величины, равные частным производным в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- бесконечно малые при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функции, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения .

Из аналитической геометрии известно, что уравнение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определяет некоторую плоскость, проходящую через точку Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и имеющую нормальный вектор Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

С геометрической точки зрения, графиком функции z = f(x,y) является поверхность в системе прямоугольных декартовых координат (x,y,z), проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции.

Назовем плоскость, проходящую через точку Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения поверхности, касательной плоскостью в этой точке, если угол между этой плоскостью и секущей плоскостью, проходящей через точку Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и любую другую точкуДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения поверхности, стремятся к нулю, если точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения стремится к точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Очевидно, что плоскость (16.3.2) проходит через точку Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения поверхности. Так как координаты вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения секущей плоскости равны Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то угол между векторами Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определяется по формуле:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Из условия дифференцируемое™ (16.1.2) следует, что разностьДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является величиной бесконечно малой, при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Значит Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения когда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то есть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Следовательно, плоскость Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения касательная к поверхности z = f(x,y).

Таким образом, с геометрической точки зрения, дифференцируемость функции z = f(x,y) в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения означает наличие касательной плоскости (16.3.3) к поверхности функции z = f(x,y) в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (см. рис. 16.1).

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Производная по направлению

Рассмотрим функцию z=f(x,y), определенную в некоторой окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и дифференцируемую в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, и всевозможные лучи, выходящие из точки М0. Направление каждого луча задается единичным вектором Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияс направляющими косинусами, где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения углы, которые составляет вектор Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения с осями координат Ох и Оу.

Фиксируем некоторый луч, выходящий из точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, выберем на нем произвольную точку М(х,у) и рассмотрим вектор Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, обозначив его величину через l (см. рис. 16.2). Тогда координаты этого вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определяются его величиной l и направлением фиксированного луча, которое совпадает с направлением единичного вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

С другой стороны, координаты вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения равны разностям координат конечной и начальной точек вектора:Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Сопоставляя два соотношения для координат вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, получим равенства: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения илиДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Подставив, значения координат х и у в функцию z = f(x,y), получим, что на луче, выходящем из точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения , направление которого определяется единичным вектором Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, функция z = f(x,y) представляет собой сложную функцию одной переменной l вида Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Определение 16.4.1. Производная сложной функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения по переменной l, в точке 1 = 0, называется производной функции z = f(x,y) в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения по направлению, определяемому единичным вектором Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, и обозначаемой символом Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Так как вдоль луча Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функция z = f{x.y) является функцией одной переменной l, то производную по направлению можно рассматривать как предел отношения прирашения функции z = f(x,y) к величине l вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, когда эта величина стремиться к нулю:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Из определения 16.4.1 получим формулу для вычисления производной по направлению, определяемому вектором Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример №1

Вычислить производную функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения по направлению, определяемому вектором Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, который составляет с осью Ох угол равный 45°.

Решение:

Воспользуемся формулой (16.4.1) и вычислим частные производные заданной функции:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и их значения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Подставив эти значения в формулу (16.4.1), получим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Это означает, что заданная функция в указанном направлении является постоянной.

В практических приложениях особый интерес представляет вопрос о направлении быстрейшего возрастания функции в точке. С этой целью вводится понятие градиента дифференцируемой в данной точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функции z = f(x,y).

Определение 16.4.2. Градиентом функции z = f(x,y) в данной точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называется вектор, имеющий своим началом эту точку, координатами которого являются частные производные этой функции в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

гдеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - единичные векторы координатных осей Ох и Оу.

Воспользовавшись тем, что, скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов, выражение (16.4.1) для производной по направлению, определяемому вектором Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, можно рассматривать как скалярное произведение векторов Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Скалярное произведение двух векторов равно произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Поэтому выражение (16.4.3) можно переписать в виде:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - угол между векторамиДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Из равенства (16.4.4) следует теорема.

Теорема 16.4.1. Градиент функции z = f(x,y) в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения характеризует направление и величину максимального роста этой функции в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Действительно, производная Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения достигает максимального значения при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то есть если Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Это означает, что направление вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения совпадает с направлением вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, причем производная Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в этом направлении равна Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Очевидно, что направление противоположное градиенту, будет являться направлением быстрейшего убывания функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Пример №2

Найти направление быстрейшего возрастания функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и вычислить значение производной в этом направлении.

Решение:

Как доказано выше, направление и величину максимального роста функции определяет градиент этой функции. Поэтому вычислим частные производные этой функции: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и их значения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и подставим в выражение (16.4.2): Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Следовательно, искомое направление составляет угол Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения осью Ох. Производная по направлению, определяемая градиентом этой функции в данной точке, равна Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Выясним геометрический смысл вектора grad z. Для этого рассмотрим линии уровня функции z = f(x,y), понимая под этим термином те линии, на которых функция z = f(x,y) сохраняет постоянное значение, то есть удовлетворяет соотношению f(х,у)=с. Построим касательную к линии уровня, угловой коэффициент которой равен-Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Угловой коэффициент grad z в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения равен Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Произведение угловых коэффициентов касательной и grad z равно — 1. Следовательно, вектор grad z в каждой точке линии уровня имеет направление перпендикулярное к Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениялинии уровня.

Аналогично определяется производная по направлению и градиент для дифференцируемой в данной точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Производная по направлению, определяемому вектором Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, также равна скалярному произведению вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и grad z:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Определение экстремума функции двух переменных

Пусть функция n переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определена в некоторой окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияпространства Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Функция z = f(м) будет иметь в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения локальный максимум (минимум), если существует такая Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения-окрестность точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, что для всех точек М из этой окрестности значение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является наибольшим (наименьшим) среди всех значений Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения этой функции. Точки локального максимума или локального минимума называются точками экстремума.

Рассмотрим функцию двух переменных z = f(x, у) и определим необходимые условия экстремума. Функция z = f(x,y) достигает максимума в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, если значение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения не меньше всех смежных значений функции, то естьДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Для всех точек (х,у) из некоторой Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения-окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения достаточно близких к точке и отличных от нее.

Функция z = f(x,y) достигает минимума в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, если Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения для всех (х,y) из некоторой Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения-окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Максимум и минимум функции называются экстремумами функции.

Итак, пусть точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - является точкой локального максимума либо минимума, то есть точкой локального экстремума. Фиксируем у функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения аргумент Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то есть, положим Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Рассмотрим функцию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения одной независимой переменной X. По предположению она должна достигать локального максимума при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, и поэтому ее производная по X должна или превращаться в нуль или не существовать. Но производная функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - это частная производная по X функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и, следовательно, она должна или равняться нулю или не существовать. Аналогичным рассуждением убедимся, что и производная функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения по у должна или обращаться в нуль или не существовать при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- Итак, мы приходим к следующей теореме.

Теорема 17.1.1. Функция z = f(x,y) может достигать локального максимума либо минимума лишь при тех значениях х и у, при которых частные производные первого порядка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения иДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения обращаются в нуль либо не существуют.

Аналогичное утверждение справедливо и для функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Если функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения имеет в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения частные производные и точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является точкой локального экстремума, то все частные производные первого порядка обращаются в нуль в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Равенства (17.1.1) являются лишь необходимыми и не являются достаточными условиями локального экстремума. Например, у функции z = ху частные производныеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения обращаются в нуль в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, но экстремума в этой точке функция z = xy не имеет, так как в как угодно малой Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения-окрестности этой точки функция принимает как положительные, так и отрицательные значения.

Точки, в которых обращаются в нуль все частные производные первого порядка функции z= f(x,y), называются стационарными точками.

Отметим, что если функцияДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения дифференцируема в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и имеет в этой точке локальный экстремум, то дифференциал dz этой функции в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения равен нулю:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

при любых Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример №3

Исследовать функцию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения на экстремум.

Решение:

Функция определена при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения . Вычислим частные производные заданной функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и приравняем их к нулю. Получим систему:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Итак, точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения может быть точкой экстремума Наличие экстремума можно установить лишь с помощью достаточного условия.

Достаточное условие экстремума

При формулировке достаточного условия локального экстремума функции n переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения важную роль играет дифференциал второго порядка этой функции:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

который представляет собой квадратичную форму относительно дифференциалов аргументов Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Введем обозначение

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения(в частности,

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Тогда матрица квадратичной формы

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

может бьггь записана в виде:Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Используя критерий Сильвестра: «Для того, чтобы квадратичная форма (17.2.2) была положительно определенной (отрицательно определенной), необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы (17.2.3) были положительные, то есть чтобыДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (чтобы знаки главных миноров матрицы (17.2.3) чередовались, то есть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения можно сформулировать достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Теорема 17.2.1. Пусть функция двух переменных z = f(x,y) один раз дифференцируема в окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и два раза дифференцируема в самой точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и пусть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является стационарной точкой. Тогда, если в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения выполнено условиеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то функция z = f(x, у) имеет в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения локальный экстремум (максимум при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и минимум при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения). Если же в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то функция z = f(x, у) не имеет в этой точке локального экстремума. СлучайДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения требует дополнительного исследования.

Справедливость первой части теоремы вытекает из критерия Сильвестра, так как главные миноры матрицы (17.2.3) квадратичной формы равны

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияи еслиДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

то дифференциал второго порядка является положительно определенной квадратичной формой, а если

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то отрицательно определенной квадратичной формой.

Знак разности Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определяется дифференциалом второго порядка, что следует из формулы Тейлора:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Тогда если Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то разность Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, и тогда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, следовательно, точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является точкой минимума. Если же Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и тогда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, следовательно, точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является точкой максимума. Если же в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то дифференциал второго порядка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения представляет собой знакопеременную квадратичную форму и, следовательно, не сохраняется знак разности Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, что свидетельствует об отсутствии экстремума в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Пример №4

Исследовать функцию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения на экстремум.

Решение:

Функция определена на всей плоскости. Вычислим частные производные заданной функции: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и приравняем их к нулю: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решив систему, найдем стационарную точку М(3; -4), которая может быть точкой экстремума функции. Для определения существования экстремума функции в этой точке, вычислим частные производные второго порядка:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и подставим их значения в выражение: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функция имеет минимум.

Определение экстремума функции широко применяется в экономических исследованиях. Рассмотрим следующий пример.

Пример №5

Фирма имеет два филиала, издержки производства в которых описываются функциями Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения соответственно, где х и у- объемы производимой продукции. Общий спрос на товар фирмы определяется ценой р за единицу продукции, зависящей от объема выпускаемой продукции z = х + у и определяемой функцией z=5000 - 4р. Рассчитать оптимальный объем выпуска продукции для производителя, оптимальную цену в целом и распределение производственной про-граммы по филиалам.

Решение:

Оптимальный выпуск продукции определяется максимальной прибылью фирмы, которая равна разности дохода фирмы от реализуемой продукции по цене р и издержек, то есть функцией прибыли:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Найдем значение функции цены р из равенства

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

решив которое получим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Подставим значение цены в функцию прибыли:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Определим экстремум функции прибыли (17.2.4). Для этого вычислим частные производные первого порядка:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

приравняем их к нулю и решим систему: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Получим значения: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Характер экстремума в стационарной точке (893,6;530,l) определим, вычислив значение частных производных второго порядка:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и значение выражения:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то точка (893,6;530,l) является точкой максимума и при найденных значениях х и у функция прибыли получает наибольшее значение.

Таким образом, если фирма в первом филиале произведет примерно 894 единицы продукции, а во втором - 530 единиц, то продав ее по цене р = 1250-0,25(894 + 530) = 894 денежных единиц за единицу, она получит максимальную прибыль, равную:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Аналогичным образом формулируются достаточные условия локального экстремума функции n переменных.

Теорема 17.2.2. Пусть функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки и два раза дифференцируема в самой точкеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияявляется стационарной точкой функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Тогда, если дифференциал второго порядкаДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения представляет собой положительно определенную (отрицательно определенную) квадратичную форму от переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения имеет в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения локальный минимум (локаланый максимум)- Если же дифференциал второго порядка (17.2.1), представляет cобой знакопеременную квадратичную фор-щ'( 17.2.2), то функция z = f(м) не имеет локального экстремума точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Наибольшее и наименьшее значения функции

В предыдущих параграфах рассмотрены методы определения локального экстремума функции п переменных. Пусть требуется найти наибольшее (наименьшее) значение функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в определенной области D, то есть требуется найти точки глобального экстремума функции.

Вначале находим точки локального экстремума внутри заданной области D, методами, указанными в предыдущих параграфах. Затем находим экстремумы функции на границе области D и сравниваем ее максимумы (минимумы) внутри области со значениями на границе области. Наибольшее (наименьшее) из всех этих значений и будет наибольшим (наименьшим) значением функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияв данной области D.

Пример №6

Найти наименьшее и наибольшее значение функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияв замкнутой области, ограниченной окружностью Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решение:

Определим вначале локальные экстремумы внутри круга Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Для этого последовательно вычислим частные производные, приравняем их к нулю, найдем стационарные точки, решив соответствующую систему, и определим характер стационарных точек:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Точка А(2;3) принадлежит кругу Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения,

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениято в точке

А(2,3) функция достигает минимума, min z = f(2;3) = -3.

Найдем экстремумы на границе области, то есть на окружности Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Воспользуемся параметрическими уравнениями этой окружностиДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Подставив их в заданную функцию, получим функцию одной переменной t: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Исследуем функцию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения на экстремум:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Так как

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

то Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - точка максимума, a Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - точка минимума, причем

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Сравнивая, полученные экстремальные значения функции, замечаем, что в круге Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения наименьшее значение функции равно «-3», и достигается оно внутри круга в точке А(2;3). а наибольшее значение функции равно 37,11 и достигается оно на окружности Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точкеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Метод наименьших квадратов

Понятие об эмпирических формулах. При изучении различных процессов и явлений мы почти всегда сталкиваемся с задачей: «Функциональная зависимость между переменными величинами л: и у задана, исходя из тех или иных теоретических соображений Формула, выражающая эту зависимость, содержит постоянные величины, которые необходимо определить по результатам наблюдений.»

Отметим, что нередко при обработке результатов наблюдений (опыта) приходится встречаться и с более сложной задачей, то есть с задачей вида: «В результате наблюдений получен ряд значений переменных х и у, однако характер функциональной зависимости между ними остается неизвестным. Требуется, по наблюденным данным, найти аналитическое выражение зависимости между x и y. Такие формулы, принято называть эмпирическими формулами, то есть формулами, полученными в результате опыта (наблюдений).

Совершенно ясно, что однозначно установить функциональную зависимость между х и у по конечному числу измеренных значений было бы невозможно даже в том случае, если бы они не обладали ошибками, свойственными наблюденным величинам.

Следует поэтому отчетливо представлять, что математическая обработка результатов наблюдений не может ставить перед собой задачу разгадать истинный характер зависимости между имеющимися переменными. Речь идет лишь о том, чтобы охватить результаты опыта наиболее простой формулой, которая позволит применять методы математического анализа к дальнейшему изучению наблюденных данных.

Метод наименьших квадратов. Пусть в результате некоторого опыта мы получили числовые значения, которые дают возможность установить взаимосвязь между исследуемыми величинами в математической форме. Исходя из теоретических соображений, выберем вид этой зависимости:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Функция (17.4.1) — это функция независимой переменной х и (m + l)-ro параметра Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Эти параметры постоянны и неизвестны, так как они не поддаются непосредственным измерениям заранее. Для их определения производится ряд измерений величин х и у. Подставляя поочередно их в равенство (17.4.1), мы получаем уравнения между параметрами Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения вида:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, соответствующие друг другу измерения, а n - число измерений. Если бы значения х и у находились точно, то для отыскания m +1 параметра достаточно было бы произвести m+1 измерение. На самом же деле, значения х и у содержат ошибки и никакие m +1 измерений не позволят определить истинные значения параметров. Поэтому обычно производится большее число измерений (n > m + l), в результате чего число уравнений (17.4.2) будет больше числа неизвестных параметров. Полученная система будет, вообще говоря, несовместной, то есть точные решения каких-либо m + 1 из уравнений системы могут не удовлетворять остальным уравнениям. Наша задача состоит в том, чтобы найти такие значения неизвестных параметров, которые будут удовлетворять этим уравнениям наилучшим образом, хотя и не точно.

Так как уравнения (17.4.2) удовлетворяются не точно, то будем иметь:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения — отклонения измеренных значений yj от вычисленных по формуле (17.4.1). В методе наименьших квадратов утверждается, что наилучшими значениями параметров будут такие, при которых сумма квадратов отклонений Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, будет наименьшей, то есть

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Замечание. Мы не рассматриваем сумму самих отклонений (невязок), так как сумма Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения может быть очень малой и тогда, когда отдельные отклонения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения очень велики, но имеют разные знаки и взаимно компенсируют друг друга.

Из минимума суммы квадратов отклонений автоматически вытекает, что все невязки е, в своей совокупности должны быть минимальными.

Рассматривая теперь правую часть выражения (17.4.4) как некоторую функцию независимых переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, применим необходимые условия экстремумов для нахождения минимума этой функции. Для этого вычислим частные производные по этим переменным Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и приравняем их к нулю. Получим в точности m +1 уравнение с m +1 неизвестными. Составление и решение этой системы особенно просто в том случае, когда функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения линейна относительно параметров, то есть если она имеет вид:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Тогда дифференцируя сумму квадратов отклонений

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

по Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и приравнивая к нулю частные производные, получим: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Или после преобразования будем иметь линейную неоднородную систему:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

которую решаем любым известным нам способом.

Применим теперь общие выводы в некоторых конкретных случаях.

а) Выравнивание по прямой. Пусть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - последовательность значений независимой переменной, а Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- последовательность соответствующих значений зависимой переменной, полученных из опыта. Требуется подобрать прямую, которая наилучшим образом отображала бы зависимость между х и у, то есть, чтобы отклонения фактических значений функции от подобранной прямой были бы минимальными.

Для решения этой задачи применим метод наименьших квадратов. В этом случае функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения зависит от двух параметров, которые обозначим а и b, и имеет вид: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения.

Отклонения от фактических значений функции составляют: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Согласно метода наименьших квадратов, искомыми параметрами а и b будут те, для которых

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Необходимое условие существования минимума состоит в том, чтобы

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Вычислив частные производные и приравняв их нулю, получим два уравнения для определения а и b:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Раскрывая скобки и производя суммирование, получаем систему линейных уравнений: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

решая которую находим значения а и b: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Значения а и b, найденные по формулам (17.4.5), определяют прямую наилучшим образом, в смысле метода наименьших квадратов, описывающую изучаемую зависимость.

Пример:

В течение четырех последовательных лет переменные х и у принимали значения, указанные в таблице 17.1. Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Найти прямую, выражающую зависимость величины у от величины х.

Решение:

Для определения эмпирической прямой у = ах + b, составим систему (17.4.5).Так как

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

то система (17.4.5) будет иметь вид: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решив систему, находим: b = 2, а = 0,3.

Тогда искомая прямая, имеет вид: y = 0,Зх + 2.

б) Выравнивание но параболе. ПустьДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- последовательность значений независимой переменной, а Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения последовательность соответствующих значений зависимой переменной.

Предположим, что точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения расположены вдоль некоторой параболы. Применим метод наименьших квадратов для определения параметров квадратичной функции, то есть параболы второго порядка: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

соответствующей наблюденной экспериментальной зависимости, таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических данных от действительных значений функции была минимальной, то есть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - наблюденные значения, а Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - значения функции в точках Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Необходимые условия существования минимума функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияопределяют систему уравнений:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

которую можно преобразовать к виду:Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решая эту систему одним из известных методов, вычисляем неизвестные коэффициенты a, b и с.

в) Выравнивание с помощью гиперболы. Пусть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения -последовательность значений независимой переменной, а Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - последовательность соответствующих значений зависимой переменной. Предположим, что эмпирические данныеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения описываются гиперболой

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Эта гипербола подобрана наилучшим образом, в смысле способа наименьших квадратов, если функция

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

достигает минимума. Необходимые условия минимума функции F определяют систему:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решая эту систему, находим значения неизвестных параметров а и b.

Зависимость между удельными затратами и объемом производства можно описать гиперболой. Действительно, если переменные издержки составляют а, а постоянные издержки b, то полные затраты определяются уравнением К(х) = ах + b, где х - объем (производства) выпуска продукции. Тогда удельные затраты равны отношению полных затрат к объему производства, т. е.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и, следовательно:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Применяя метод наименьших квадратов, мы можем определить а и b, если за у принять удельные затраты.

г) Выравнивание по показательной функции. Пусть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - последовательность значений независимой переменной, аДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- последовательность соответствующих значений зависимой переменной. Предположим, что точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения расположены вдоль показательной кривой

вида Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Найдем параметры а и b, используя метод наименьших квадратов, то есть найдем такую кривую Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, которая бы наилучшим образом отражала зависимость между переменными х и у.

Представим уравнение показательной кривой Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в виде

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, или, вводя обозначения logа=А, logb = B,

получим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Отсюда следует, что функция у, представленная на графике в системе прямоугольных координат, где ось ординат разделена по логарифмической шкале, а ось абсцисс - по обычной шкале, определяет прямую с угловым коэффициентом В и расстоянием по оси Оу, равным А.

Согласно методу наименьших квадратов, найдем минимум

функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения .Применяя необходимые условия

существования минимума, получим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

или, раскрывая скобки и производя суммирование, будем иметь систему:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решая, полученную систему (17.4.8), известными методами, найдем параметры А и В. Потенцируя равенства log а = А и log b = B, находим а и Ь, которые определяют показательную кривую Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, наилучшим образом описывающую изучаемую зависимость.

Необходимые условия условного экстремума

В предыдущем параграфе мы рассмотрели локальный экстремум функции, аргументы которой не связаны никакими дополнительными условиями. Вместе с тем в приложениях математики (в экономических исследованиях) часто встречается задача об отыскании экстремума функции, аргументы которой удовлетворяют дополнительным условиям связи.

Приведем пример задачи об отыскании условного экстремума:

«Пусть требуется найти экстремум функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияпри условии, что аргументы этой функции удовлетворяют условию связи Зх + у —2 = 0.»

Таким образом, экстремумы функции ищутся не на всей плоскости Оху , а лишь на прямой Зх + у - 2 = 0. Для решения поставленной задачи подставим значение у (определяемое из условия связи Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, в функцию z:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Получили функцию аргумента х и свели поставленную задачу к отысканию безусловного экстремума функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то функцияДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения имеет минимум в точке х = 0,6, равный Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения . Таким образом, функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения с условием связи Зх + у - 2 = 0 имеет условный минимум Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке (0,6;0,2). Отметим, что безусловный минимум функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения достигается в точке (0;0) и равен z = 0. Это значит, что минимум функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения на всей плоскости не совпадает с ее минимумом на прямой Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Рассмотрим общую постановку задачи об отыскании условного экстремума.

Пусть требуется найти экстремум функции двух переменных

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

при условии, что аргументы х и у удовлетворяют уравнению:

F(x,y) = a. (17.5.2)

Определение 17.5.1. Функция z = f(x,y) при условии F(x,y) = а имеет условный максимум (минимум) в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, координаты которой удовлетворяют условиям связи И7.5.2), если существует такая окрестность Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, что для всех точекДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, координаты которых удовлетворяют условиям связи (17.5.2).

Геометрическая задача на условный экстремум может быть истолкована следующим образом. Дана поверхность Q с уравнением Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и линия L на этой поверхности, являющаяся линией пересечения поверхности Q с цилиндрической поверхностью F(x,y) = a. (рис. 17.1)

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

У точек линии L надо найти экстремальную аппликату. Точки поверхности Q, не принадлежащие линии L, не рассматриваются. На рис. 17.1 точка Р имеет максимальную в этом смысле аппликату. Спроектировав линию L на плоскость хОу, получим кривую l с уравнением F(x,y) = a. Точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения линии I (проекция точки Р-поверхности Q) называется точкой условного экстремума (в данном случае точкой условного максимума) функции z = f(x,y). а аппликата Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения точки Р - условным экстремумом (максимумом).

Дня нахождения условного экстремума функции z = f(x,y) при наличии связи F(x,y)= а, предположим, что F дифференцируема в окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, непрерывна в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и производная Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. Тогда существует окрестность точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, в которой определена единственная функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, дифференцируемая в этой окрестности. Подставляя найденную функцию в (17.5.1), сведем вопрос о существовании условного экстремума в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияу функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при наличии связи (17.5.2) к вопросу о существовании безусловного экстремума в точке х0 у сложной функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Установим теперь необходимые условия существования условного экстремума в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения таким образом, чтобы не решать уравнения связи. Итак, пусть функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения дифференцируема в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и имеет в этой точке условный экстремум при наличии связи (17.5.2) или (что то же самое) функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (17.5.3) имеет в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения безусловный экстремум. Необходимым условием безусловного экстремума функции (17.5.3) в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является равенство нулю производной этой функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Так как функция Ф сложная неявно заданная функция, то, применяя правило дифференцирования неявно заданной функции, получим: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения(17.5.4) Подставив в (17.5.2) решение этого уравнения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияполучим тождество. Тогда, дифференцируя это тождество, получим:Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (17.5.5) Умножим, далее, равенство (17.5.5) на произвольный (и пока неизвестный) постоянный множительДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и сложим с (17.5.4). В результате получим следующее равенство:Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (17.5.6)

Пусть

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Тогда равенство (17.5.6) можно записать в виде:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Выберем Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениятаким, чтобы выполнялось равенство:

-Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Так как функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения сложная функция, то, применив правило дифференцирования сложной функции, получим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (17.5.8)

Так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, то из (17.5.8) можно найти Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Тогда из (17.5.7) следует:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения или

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (17.5.9)

Присоединив к (17.5.8) и (17.5.9) условие связи (17.5.2), мы получим систему:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

для определения координат точек возможного условного экстремума и Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Практически поступают следующим образом составляют функцию Лагранжа

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения находят точки возможного безусловного экстремума; для исключения множителя Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения привлекают условие связи (17.5.2).

Достаточное условие условного экстремума

Рассмотрим далее достаточное условие условного экстремума функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияв точкеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Мы должны определить знак разности Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при всех Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и удовлетворяющих уравнению связи Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Из уравнения связи непосредственно следует, что вместо разности Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения можно рассматривать разность Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениясоставленную для функции Лагранжа и исследовать ее знак. Разлагая эту функцию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения по формуле Тейлора в окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияс остаточным членом в форме Пеано при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения получим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Так как Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- стационарная точка, то дифференциал первого порядка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и знак разности определяется знаком второго дифференциала Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения При этом, в точкеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения будет минимум, если при наличии связи Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениядифференциал второго порядка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и максимум, если Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Дифференциал второго порядкаДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения возможного экстремума можно вычислять, гак как если бы переменные Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения были бы независимыми, то есть по формуле: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (17.6.1)

Однако при проведении вычислений, следует в формулу (17.6.1) подставить вместо дифференциалаДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения его значение, определяемое из равенства:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то есть

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и изучить вопрос о знакоопределенности Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияв данной точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения. После подстановки значения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияв (17.6.1), получим* Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Откуда следует, что знак Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определяется знаком выражения: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения ЕслиДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениято Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения что означает, что в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения условный минимум, если же Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениято Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениятогда в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияусловный максимум.

Выражение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияможно записать в матричном виде:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Все элементы матриц вычисляются в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения для заданного Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример №7

В данный полукруг радиуса R вписать прямоугольник наибольшей площади.

Решение:

Площадь прямоугольника со сторонами х и у (см. рис. 17.2.) выражается формулой:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

рис.17.2.

Координаты Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияудовлетворяют уравнению Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияНайдем максимум функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при условииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Составляем функцию Лагранжа:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Вычисляем частные производные первого порядка функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияприравниваем их к нулю и, присоединив уравнение связи, получим систему для нахождения точек возможного условного экстремума:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (17.6.2)

Из системы (17.6.2) находим:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то есть

Мы получили единственный ответ, и так как наибольшее значение должно существовать, то ему должны соответствовать найденные значения переменных: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Подставляя эти значения в формулу, получаем: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример №8

Некоторый цех завода выпускает два вида изделий, причем изделие каждого вида обрабатывается на двух разных станках А и В. Каждая единица первого изделия требует 3-х часов обработки на станке А и 2-х часов - на станке В. Для второго изделия время обработки соответственно 2 и 3 часа. Станок А можно использовать не более 8 часов, станок В - не более 7 часов. Прибыль, получаемая от продажи каждого вида изделия, равна 20 денежных единиц. Составить план работы цеха, обеспечивающий получение максимальной прибыли.

Решение:

Обозначим через Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениярезерв времени работы станков А и В, а через Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения количество изделий первого и второго вида, который должен выпустить цех. Тогда, для составления плана, обеспечивающего максимальную прибыль, нужно найти максимум функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при ограничениях:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Составляем функцию Лагранжа:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Вычисляем частные производные, приравниваем их к нулю и составляем систему:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Находим решение системы:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Подставив найденные значения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в функцию Лагранжа, получим функцию:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

которая достигает максимума, когда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениядостигают минимума, то есть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Подставив значения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияв решение системы, найдем:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример №9

Имеется два технологических процесса производства некоторого продукта. Обозначим черезДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияколичество продукта, произведенного соответственно первым и вторым способом. Издержки производства при каждом технологическом процессе производства выражаются функциями:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

За некоторое время нужно произвести 100 единиц продукта, то есть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения распределив их так, чтобы минимизировать общие издержки.

Решение:

Составим функцию, характеризующую издержки производства:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

При этом количества продукта удовлетворяю! равенству Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияИтак, задача сводится к нахождению минимума функции, описывающей издержки производства при условии, что объемы продукта связаны условием. Это значит, что нужно найти условный минимум функции двух переменных. Для этого составим функцию Лагранжа:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Вычислим частные производные и приравняем их к нулю:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решив систему (17.6.3), находим Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Вычисляем частные производные второго порядка функции Лагранжа:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

и дифференциал второго порядка при выполнении условий связи, то есть когда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Имеем: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и, значит, при выполнении условий связиДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения При Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияфункция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения имеет условный минимум.

Таким образом, если 52 единицы продукта произвести первым технологическим способом, а 48 единиц продукта вторым технологическим способом, то общие издержки производства 100 единиц продукта будут минимальными.

Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных

Ранее мы изучали функции одной независимой переменной. Однако многим явлениям, в том числе экономическим, присуща многофакторная зависимость. Исследование таких зависимостей привело к необходимости расширения известного понятия функциональной зависимости и введению понятия функции нескольких переменных.

Будем рассматривать функции двух переменных, т.к. все важнейшие факты теории функций нескольких переменных наблюдаются уже на функциях двух переменных. Эти факты обобщаются на случай большего числа переменных. Кроме того, для функций двух переменных можно дать наглядную геометрическую интерпретацию.

Определение. Пусть дано множество D упорядоченных пар чисел Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Если каждой паре (х,.у) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин х и у, принадлежащих множеству D, соответствует определенное значение величины Z, то говорят, что Z есть функция двух переменных хиу, определенная на множестве D .

Символическое обозначение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения или Z = f(x,y). При этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), a Z - зависимой переменной (функцией).

Определение. Совокупность пар (х,y) значений х и у, при которых определяется функция Z = f(х,у) называется областью определения или областью существования этой функции. Множество значений, принимаемых Z в области определения, называется областью изменения этой функции, обозначается Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияили Е.

Пара (х,у) определяет точку M(х,у) в области существования, т.е. область определения - часть плоскости Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Область определения функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в простейших случаях представляет собой:

  • либо часть плоскости, ограниченную замкнутой кривой, причем точки этой кривой (границы области) могут принадлежать или не принадлежать области определения,
  • либо всю плоскость,
  • либо, наконец, совокупность нескольких частей плоскости Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Геометрически изображением функции Z = f(х,у) в системе координат Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияявляется некоторая поверхность.

Примеры:

1.    Примером функции двух переменных может служить формула площади прямоугольника S со сторонами, длины которых равны х и у: S = ху. Областью определения этой функции является множество Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

2.    Область определения функции Z = 2x-y является вся плоскость.

3.    Область определения функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - точки правее (выше) прямой

у=-х.

4.    Для функции, описывающей площадь треугольника S = xy/2, область определения х>0 и у>0. Заметим, что естественной областью определения является вся плоскость.

5.    Функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения имеет областью определения круг Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и

изображается верхней полусферой с центром в точке O(0,0,0) и радиусом R = 1 (Рисунок 8.1).

Аналогично определяется функция любого конечного числа независимых переменных и Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

6. Объём параллелепипеда V = xyz .

В области D существует множество точек, в которых функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения принимает одинаковые значения. Если Z = C = const, тогда уравнение f(х,у) = С определяет линию в плоскости Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения во всех точках которой Z = С. Такая линия называется линией уровня.

Если задана функция трех переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определяет поверхность уровня, во всех точках которой Z = С.

Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе области, называются внутренними точками области.

Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой.

Область с присоединенной к ней границей называется замкнутой, обозначается Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения примером замкнутой области является круг с окружностью.

Область называется ограниченной, если существует такое постоянное С, что расстояние любой точки М области от начала координат O меньше С.

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: табличным, аналитическим (с помощью формулы), графическим (например, полусфера - для функции двух аргументов, см. Рисунок 12).

Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывности, аналогично функции одной переменной.

Предел и непрерывность

Введем понятие окрестности точки. Множество всех точек М(х,у) плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенству Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияназывается Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - окрестностью точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Другими словами Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - окрестность точки - это все внутренние точки круга с центром Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и радиусом Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (Рисунок 8.2).

Пусть функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения определена в некоторой окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениякроме, быть может, самой этой точки.
 

Определение. Число А называется пределом функции z = f(x,y) при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения(или, что то же самое, приДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения если для любого сколь угодно малого положительного числа Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения существует Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения такое, что для всех Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и удовлетворяющих неравенствуДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения выполняется неравенство Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Записывают это так:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Геометрический смысл предела функции двух переменных состоит в следующем.

Каково бы ни было число Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения найдется Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- окрестность точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения что во всех ее точках М(х,у), отличных от Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения аппликаты соответствующих точек поверхности z = f(x,y) отличаются от числа А по модулю меньше, чем на Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Вычисление пределов функций двух переменных оказывается существенно более трудной задачей по сравнению со случаем одной переменной. Причина заключается в том, что из определения предела следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому М стремится к Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (число таких направлений бесконечно! Для функции одной переменной Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения по двум направлениям - справа и слева!). На плоскости - таких направлений - бесконечное множество, и пределы функции по разным направлениям могут не совпадать.

Определение. Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения если она:

а)    определена в этой точке и некоторой ее окрестности;

б)    имеет предел Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

в)    этот предел равен значению функции z = f(x,y) в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения т.е.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Определение. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в области.

Частные и полное приращение функции нескольких переменных

Пусть дана функция двух переменных z = f(x,у). Полагая у = const, дадим независимой переменной х приращение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения тогда z получит приращение, которое называют частным приращением z по х и обозначают Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Аналогично, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Наконец, сообщив аргументу х приращение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения а аргументу у - приращение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения получим для z приращение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения которое называется полным приращением функции z и определяется формулой

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Заметим, что в общем случае Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример:

Пусть z = ху.

Тогда приращения этой функции будут иметь вид Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
При Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Аналогичным образом определяются частные и полные приращения функции любого количества переменных.

Рассмотрим примеры использования функции нескольких переменных в экономике.

Пример:

Пусть предметами потребления будут два товара: А и В, с соответствующими ценами Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Если цены на другие товары постоянны, а доходы потребителей и структура потребностей на изменяются, то спрос и предложение каждого из товаров зависит от их цен.

Запишем несколько функций:

1)    Спрос на товар A: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

2)    Спрос на товар В: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

3) Предложение товара А: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

4)    Предложение товара В: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Частные производные

Определение. Частной производной по х от функции z = f(x,y) называется предел отношения частного приращения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения по х к приращению Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при стремлении Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения к нулю. Частная производная обозначается одним из символов
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Таким образом, по определению

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Аналогично определяется частная производная по у.

Заметив, что Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения вычисляется при неизменном у, мы можем определить правило нахождения частной производной:

частная производная по одной переменной вычисляется в предположении, что остальные переменные являются величинами постоянными.

Полный дифференциал функции нескольких переменных

Полным приращением функции z =f(х,у)в точке M(х,у) называют разность

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения 

где Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения - произвольные приращения аргументов.

Функцию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называют дифференцируемой в точке (х,у), если в этой точке полное приращение можно представить в виде

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Полным дифференциалом функции z = f(x,y) называют главную часть

полного приращения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения линейную относительно приращений аргументов Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения т.е.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пусть

1)    z = х, найдем: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

2)    z = у, найдем: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями.

Поэтому полный дифференциал функции z = f(х, у) определяется по формуле

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных.

Из этого следует, что (при достаточно малом Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения для дифференцируемой функции z = f(x,y) справедливы приближенные равенства

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

т.е. полное приращение функции приближенно равно ее полному дифференциалу.

Функция f(x,y) называется дифференцируемой в точке (х,у), если она имеет в этой точке полный дифференциал.

Пример №10

Вычислить приближенно Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения исходя из значения функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при x = 1,у = 4 и заменяя ее приращение дифференциалом.

Решение. Искомое число есть наращенное значение функции z при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Найдем приращение функции:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Итак, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
 

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Пусть имеется функция двух переменных Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Частными производными второго порядка функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Частные производные Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения вообще говоря, являются функциями переменных х и у. Поэтому от них можно снова находить частные производные. Следовательно, можно получить четыре частных производных второго порядка:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по х, так и по у. Получим восемь частных производных третьего порядка, и т.д..
 

Пример №11

Вычислить четвертую производнуюДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияесли Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Последовательно дифференцируя заданную функция, получаем
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Возникает естественный вопрос - зависит ли результат дифференцирования от порядка (последовательности) дифференцирования?

Теорема. Если функция z = f(x,y) и её частные производные Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияопределены и непрерывны в точке М(х,у) и в некоторой её окрестности, то в этой точке смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой:
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Теорема имеет место и для функции любого числа переменных.

Дифференциалом второго порядка функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называют
дифференциал от ее полного дифференциала, т.е. Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Аналогично определяются дифференциалы третьего Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и высших порядков:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Если х и у-независимые переменные и функция z = f(x,y) имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы второго и третьего порядков вычисляются по формулам

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Вообще, имеет место символическая формула, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
которая формально раскрывается по биномиальному закону.
 

Дифференцирование сложной функции

а)    Пусть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

- дифференцируемы. Тогда производная сложной функцииДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения  вычисляется по формуле:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

б)    Предположим, что в уравнении Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения являются функциями независимых переменных х и у: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения В этом случае z есть сложная функция от аргументов х и у.

Предположим, что функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения имеют непрерывные частные производные по всем своим аргументам, и поставим задачу:

вычислить Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дадим аргументу х приращение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения сохраняя значение у неизменным. Тогда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения получат приращения, соответственно получит приращение и функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Разделим всё на Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Переходя к пределу при Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения получим

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Следовательно, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Аналогично получим Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
 

Дифференцирование неявных функций

Функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называется неявной, если она задается уравнением F(x,y,z)=0, неразрешенным относительно z.

Найдем частные производные Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения неявной функции z, заданной уравнением F(x,y,z) = 0. Для этого подставим в уравнение вместо z

функцию f(х,у), получим тождество Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Частные производные по х и по у функции, тождественно равной нулю, также равны нулю:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения, (у - считаем постоянным),
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (х - считаем постоянным),

Откуда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример №12

Найти частные производные функции z, заданной уравнением

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решение: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

По формуле производной неявной функции имеем:
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Производная в заданном направлении

Пусть функция z = f(x,y) определена в некоторой окрестности точки М(х,у), L - некоторое направление, задаваемое единичным вектором

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- косинусы углов, образуемых вектором Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения с осями координат и называемые направляющими косинусами.

При перемещении в данном направлении L точки М(х,у) в точку Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения  функция  z  получит приращениеДифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называемое приращением функции z в данном направлении L (рисунок 8.3).

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Если Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то, очевидно, что Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения следовательно, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
 

Определение. Производной Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения по направлению L функции двух переменных z=f(х,у) называется предел отношения приращения функции в этом направлении к величине перемещения Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при стремлении последней к
нулю, т.е.
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Производная Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения характеризует скорость изменения функции в направлении L.

Очевидно, что рассмотренные ранее частные производные Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияпредставляют производные по направлениям, параллельным соответственно осям Ох и Оу.

Нетрудно показать, что

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
 

Градиент функции

Определение. Градиентом Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функции z = f(x,y) называется вектор с началом в точке М(х,у), координатами которого являются частные производные функции z = f(x,y).
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Рассмотрим скалярное произведение векторов Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и единичного вектора Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Получим

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Сравнивая равенства (8.2) и (8.3), получим, что Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения т.е. производная по направлению есть скалярное произведение градиента Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и единичного вектора, задающего направление L.

Известно, что скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в данной точке характеризует направление максимальной скорости изменения функции в этой точке.

Производная Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в направлении градиента имеет наибольшее значение, которое определяется по формуле

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Теорема. Пусть задана дифференцируемая функция z = f(x,y) и пусть в точке, величина градиента отлична от нуля. Тогда градиент перпендикулярен линии уровня, проходящей через данную точку.
 

Экстремумы функций нескольких переменных

Будем рассматривать функцию двух переменных. Как и в случае одной переменной, функция z = f(x,y) имеет узловые, определяющие структуру графика, точки. В первую очередь это точки экстремума.

Определение. Точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называется точкой максимума (минимума) функции z = f(x,у), если существует такая окрестность, что для всех точек Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения из этой окрестности, удовлетворяющих условию Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения достаточно малое положительное число, выполняется    неравенство: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Максимум или минимум функции называется ее экстремумом. Точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в которой функция имеет экстремум, называется точкой экстремума.

На рисунке 8.4: точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения — есть точка минимума, а точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения —точка максимума.

Следует обратить внимание на локальный характер экстремума (максимума и минимума) функции, так как речь идет о максимальном и минимальном значении лишь в достаточно малой окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Теорема (необходимый признак существования экстремума).

Если Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения есть точка экстремума функции z = f(x,y), то ее частные производные первого порядка в этой точке равны нулю, т.е.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

в предположении, что указанные частные производные существуют в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Этот признак — необходимый, т.е. функция может иметь экстремум также в тех точках, где хотя бы одна из частных производных не существует. Точки, в которых первые частные производные обращаются в ноль, или не существуют, называются критическими (стационарными) точками этой функции.

Например, у функции z = xy первые частные производные обращаются в нуль в точке (0;0), однако экстремума у этой функции в этой точке нет.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

На рисунке 8.5 изображена так называемая седловая точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Частные производные Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения равны нулю, но, очевидно, никакого экстремума в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения нет. Такие седловые точки являются

двумерными аналогами точек перегиба функций одной переменной. Задача заключается в том, чтобы отделить их от точек экстремума. Иными, словами, требуется знать достаточное условие экстремума.

Теорема (достаточное условие экстремума функции двух переменных).

Пусть функция z = f(x,y):

а) определена в некоторой окрестности критической точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в которой ее частные производные первого порядка равны нулю, т.е.Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Возможны следующие случаи:

1. Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения имеет экстремум, причем, если А<0 — максимум; если А>0 — минимум.

2. Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в окрестности точки Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функция Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения экстремума не имеет, но может быть минимакс (форма «седла», рисунок 17).

3. Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения требуется дополнительное исследование.

Пример №13

Найти экстремумы функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решение. Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Приравнивая первые частные
производные нулю, найдем стационарные точки:
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Найдем частные производные второго порядка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример №14

Пусть производится два вида товаров, обозначим их количества через х и у. Пусть цены на эти товары Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения а функция затрат Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Найти максимум прибыли.

Для решения задачи выразим функцию прибыли /Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Условия локального экстремума приводят к решению системы двух алгебраических уравнений:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Решение системы дает точку (2,4).

Определим вид экстремума, для этого найдем значения вторых производных функции прибыли:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Поскольку Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (2,4) = 28.
 

Наибольшее и наименьшее значение функции в замкнутой области

Пусть функция z = f(x,y) непрерывна в замкнутой ограниченной области и дифференцируема внутри этой области. Тогда она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо внутри области, либо на её границе. Если наибольшее или наименьшее значение функция принимает во внутренних точках области, то, очевидно, что эти точки являются точками экстремума функции.

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных:

  1. найти все критические точки функции, принадлежащие замкнутой области и вычислить значения функции в этих точках;
  2. найти наибольшее и наименьшее значения функции на границах области;
  3. сравнить все найденные значения функции, выбрать из них наибольшее и наименьшее.

Замечание. Иногда границу области удобно разбить на части, каждая из которых задается своим уравнением.

Пример №15

Найти наибольшее и наименьшее значения функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Решение.

Найдем частные производные первого порядка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Приравняем их нулю Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Получаем критическую точку Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Окружность Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияпричем Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Задача свелась к нахождению наибольшего и наименьшего значений
функции одной переменной Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения на отрезке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Получаем Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения на концах отрезка:
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
 

Условный экстремум

Рассмотрим задачу, специфическую для функций нескольких переменных, когда ее экстремум ищется не на всей области определения, а на множестве, удовлетворяющем некоторому условию.

Пусть рассматривается функция z = f(x,y), аргументы х и у которой удовлетворяют условию g(x,y) = С, называемому уравнением связи.

Определение. Точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения называется точкой условного максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для всех точек (х,у) из этой окрестности удовлетворяющих условию g(x,y) = C, выполняется
неравенство

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

На рис. 18 изображена точка условного максимума Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Очевидно, что она не является точкой безусловного экстремума функции z = f(x,y) (на рис. 8.6 это точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума функции двух переменных является сведение задачи к отысканию экстремума функции одной переменной. Допустим уравнение связи g(x,y) = C удалось разрешить относительно одной из переменных, например, выразить t через х: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияПодставив полученное выражение в функцию двух переменных, получим Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения т.е. функцию одной переменной. Ее экстремум и будет условным экстремумом функции z = f(х,у).

Пример №16

Найти точки максимума и минимума функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при условии Зх+2у =11.

Решение. Выразим из уравнения Зх +2у = 11 переменную у через переменную х и подставим полученное выражение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в функцию z.
Получим Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Эта функция имеет  единственный минимум Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Соответствующее значение функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Таким образом, (3; 1) — точка условного экстремума (минимума).

В рассмотренном примере уравнение связи g(x,y) = C оказалось линейным, поэтому его легко удалось разрешить относительно одной из переменных. Однако в более сложных случаях сделать это не удается.
 

Метод множителей Лагранжа

Для отыскания условного экстремума часто используется метод множителей Лагранжа.

Рассмотрим функцию трех переменных

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Эта функция называется функцией Лагранжа, а Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решениянеопределенным множителем Лагранжа.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Теорема. Если точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является точкой условного экстремума функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при условии Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то существует значение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения такое,
что точка Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения является точкой экстремума функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Таким образом, для нахождения условного экстремума функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при условии g(x,y) = C требуется найти решение системы

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Последнее из этих уравнений совпадает с уравнением связи.
Первые два уравнения системы можно переписать в виде
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

т.е. в точке условного экстремума градиенты функций f(x,y) и g(x,y) коллинеарные.

На рисунке 8.7 показан геометрический смысл условий Лагранжа. Линия Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения пунктирная, линии уровня Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения функции z = f(x,y)
сплошные.

Пример №17

Найти точки экстремума функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения при условии Зх + 2у = 11, используя метод множителей Лагранжа.
Решение. Составим функцию Лагранжа Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Приравнивая нулю ее частные производные, получим систему уравнений
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Ее единственное решение Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Таким образом, точкой условного экстремума может быть только точка (3;1). Нетрудно убедиться в том, что в этой точке функция z = f(x,y) имеет условный минимум.

В случае если число переменных более двух, может рассматриваться и несколько уравнений связи. Соответственно в этом случае будет и несколько множителей Лагранжа.

Мы не рассматриваем здесь достаточные условия условного экстремума. Отметим только, что во многих задачах критическая точка функции Лагранжа оказывается единственной и соответствует не только локальному, но и глобальному условному минимуму или максимуму.
 

Метод наименьших квадратов

Пусть Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения  - последовательность значений независимой

переменной, а Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения последовательность соответствующих значений зависимой переменной.

Требуется подобрать прямую, которая «наилучшим» образом изображала бы зависимость между х и у. Это означает, что отклонения фактических значений функций от «подобранной» прямой должны быть минимальными. Пусть

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

есть уравнение этой прямой. Имеем Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Отклонения от фактических значений функции составляют:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Эти отклонения могут быть положительными или отрицательными; Поэтому прямая подбирается так, чтобы сумма квадратов отклонений

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения была наименьшей.

Следовательно, нужно определить а и b так, чтобы f достигала минимума. Необходимое условие существования минимума состоит в том, чтобы

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Имеем:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

следовательно, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Вычислим Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Откуда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Откуда Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Так мы получаем два уравнения с двумя неизвестными а и b; Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
Решение этих двух уравнений дает значения а и b, которые определяют прямую, наилучшим образом отражающую ход изменений функции.

Пример №18

В течении 4-х последних лет переменные х и у принимали следующие значения:Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Найти уравнение прямой линии, выражающее зависимость величины у от величины х.

Имеем:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Следовательно, необходимое условие существования минимума суммы квадратов отклонений есть

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

откуда

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Следовательно, искомая прямая есть
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

y = a + bx = 2 + 0,3x.

Для сравнения, на рисунке 8.8 изображены точки с координатами, равными значениям х и y пo данным таблицы, а также прямая линия Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияпостроенная с помощью метода наименьших квадратов.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения
 

Понятие двойного интеграла

Пусть функция f(x,y) определена в ограниченной замкнутой области D плоскости Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения Разобьем область D произвольным образом на п элементарных областей, имеющих площади Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и диаметры Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения (диаметром области называют наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области). Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и умножим значение функции в точке Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения на площадь этой области.

Интегральной суммой для функции f(х,у) по области D называют сумму вида

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Если при стремлении наибольшего диаметра к нулю, т.е. при max Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решенияинтегральная сумма имеет определенный конечный предел

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения не зависящий от способа разбиения области D на элементарные области и от выбора точек Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в пределах каждой из них, то этот предел называют двойным интегралом от функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в области D и обозначают следующим образом:

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где: D - область интегрирования, Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения- элемент площади.

Геометрический смысл двойного интеграла

Если Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в области D, то двойной интеграл Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения равен объему D цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью, 

сбоку цилиндрической поверхностью с образующими параллельными оси Oz и снизу областью D плоскости Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Основные свойства двойного интеграла

Пусть функции Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения интегрируемы в области D.

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

3)    Если область интегрирования D разбита на две области Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения и в каждой из этих областей функция f(x,y) интегрируема, то

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

4)    Оценка двойного интеграла. Если Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения то

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

где S — площадь области D, а m и М — соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x,y) в области D .
 

Вычисление двойного интеграла

При вычислении двойного интеграла его сводят к повторному, т.е. дважды применяют процесс обычного интегрирования.

Различают два основных вида области интегрирования.

1.  Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми

х = а и х = b (а каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке (рисунок 8.9).

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Для такой области двойной интеграл вычисляют по формуле

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Причем сначала вычисляют внутренний интеграл Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения в котором х считают постоянным.

2.    Область интегрирования D ограничена снизу и сверху прямыми у = с и y = d (с каждая из которых пересекается

горизонтальной прямой только в одной точке (рисунок 8.10).

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Для такой области двойной интеграл вычисляют по формуле

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Причем сначала вычисляют внутренний интеграл

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

в котором у считают постоянным.
Правые части указанных формул называют двукратными (или повторными) интегралами.

В общем случае область интегрирования с помощью разбиения на части сводят к основным областям.

Пример №19

Вычислить двойные интегралы по указанным областям:
 Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения где область D - прямоугольник Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решение: Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Пример №20

 Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Решение:
Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения

Дифференцируемость функции нескольких переменных с примерами решения