Взаимное расположение точки, прямых и плоскостей с примерами

Содержание:

Взаимное расположение точки и прямой:

Возможны два варианта расположения точки относительно прямой:

• - точка принадлежит прямой (рис. 3.1 а), тогда ее проекции на КЧ лежат на одноименных проекциях прямой.
• - точка не принадлежит прямой (рис. 3.1 б), если хотя бы одна из проекций точки не принадлежит проекции прямой

Взаимное расположение прямых

Прямые в пространстве могут занимать друг к другу одно из трех положений:

• - быть параллельными;
• - пересекаться;
• - скрещиваться.

Параллельными называются прямые, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Пересекающимися называются прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку.

У пересекающихся прямых на КЧ одноименные проекции пересекаются в проекциях точки А. Причем фронтальная  и горизонтальная  проекции этой точки должны находиться на одной линии связи.

Рис. 3.3

Скрещивающимися называются прямые, лежащие в параллельных плоскостях и не имеющие общих точек.

Рис. 3.4

Если прямые скрещивающиеся, то на КЧ их одноименные проекции могут пересекаться, но точки пересечений одноименных проекций не будут лежать на одной линии связи.

На рис. 3.4 точка С принадлежит прямой b, а точка D на прямой  а. Эти точки находятся на одинаковом расстоянии от фронтальной плоскости проекций.

Плоскость. Способы ее задания, положение относительно плоскостей проекций

Положение плоскости в пространстве может быть однозначно определено:

• - тремя точками, не лежащими на одной прямой;
• - прямой и точкой, не лежащей на этой прямой;
• - двумя параллельными прямыми;
• - двумя пересекающимися прямыми;
• - плоской фигурой;
• - следом плоскости.

Всегда от одного способа задания плоскостей можно перейти к другому.

След плоскости – это линия пересечения заданной плоскости с одной из плоскостей проекций.

Соответственно различают горизонтальный, фронтальный и профильный следы плоскости.

Плоскостью общего положения называется плоскость не параллельная и не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций.

Плоскостями частного положения относительно плоскостей проекций называются плоскости параллельные или перпендикулярные им.

Плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций называется проецирующей плоскостью.

Существует три вида проецирующих плоскостей: горизонтально- проецирующая, фронтально-проецирующая и профильно-проецирующая плоскости. Такие плоскости вырождаются в прямую линию (след плоскости) на ту плоскость проекций, к которой они перпендикулярны.

1. Горизонтально-проецирующая плоскость  - плоскость перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций.

2. Фронтально-проецирующая плоскость – плоскость перпендикулярная фронтальной плоскости проекций.

3. Профильно-проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная профильной плоскости проекций.

Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, называется плоскостью уровня.

Существует три вида плоскостей уровня: горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости уровня.

1. Горизонтальная плоскость – плоскость, параллельная горизонтальной плоскости проекций.

2. Фронтальная плоскость  - плоскость, параллельная фронтальной плоскости проекций.

3. Профильная плоскость – плоскость, параллельная профильной плоскости проекций.

Принадлежность прямой и точки плоскости

Возможны два случая расположения точки относительно плоскости: точка     может принадлежать плоскости  или не принадлежать ей (рис. 3.12).  

Точка принадлежит плоскости, если принадлежит прямой, лежащей в этой плоскости.  

Прямая принадлежит плоскости, если имеет с ней две общие точки или имеет с ней одну общую точку и параллельна другой прямой, лежащей в этой плоскости.

На рис. 3.12 изображена плоскость  и точки D и Е. Точка D принадлежит плоскости, т. к. принадлежит прямой  имеющей с этой плоскостью две общие точки – 1 и А. Точка Е не принадлежит плоскости, т.к. через нее нельзя провести прямую, лежащую в данной плоскости. На рис. 3.13. показана плоскость  и прямая t, лежащая в этой плоскости, т.к. имеет с ней общую точку 1 и параллельна прямой..

Взаимное расположение прямой и плоскости

Для прямой и плоскости возможны три случая их взаимного расположения:

• - прямая линия может принадлежать плоскости;
• - быть параллельна плоскости;
• - пересекаться с ней.

Параллельность прямой и плоскости

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой, принадлежащей этой плоскости.

Этот признак параллельности прямой и плоскости хорошо известен из курса стереометрии.

Взаимное расположение плоскостей

Плоскости по отношению друг к другу могут занимать два положения: быть параллельными или пересекаться.

Плоскости параллельны, если пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости

Если две плоскости не параллельны, то они обязательно пересекаются и результатом их пересечения является прямая.

Для построения линии пересечения плоскостей необходимо найти две точки, одновременно принадлежащие этим плоскостям, или одну общую точку, если известно направление линии пересечения.

Направление линии пересечения известно в том случае, если:

1. пересекающиеся плоскости содержат взаимно-параллельные прямые (линия пересечения плоскостей параллельна этим прямым);
2. две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости (линия пересечения перпендикулярна этой плоскости).

Общая точка для двух пересекающихся плоскостей в общем случае определяется с помощью вспомогательной плоскости частного положения, также пересекающей заданные плоскости по прямой (рис. 3.12).

Рассмотрим сначала частные случаи пересечение двух плоскостей:  

1. Пересекаются плоскость общего положения  горизонтально- проецирующая плоскость  заданная следом.

Этот случай является основой для решения задач на пересечение плоскостей. Т.к. одна из заданных плоскостей проецирующая, то все геометрические элементы, включая и линию пересечения плоскостей   спроецируются на след этой плоскости. Т.е. горизонтальная проекция линии пересечения определяется исходя из принадлежности ее проецирующей плоскости  а фронтальная проекция - по принадлежности второй заданной плоскости.

2. Пересекаются плоскости общего положения заданные следами.

В этом случае следы плоскости пересекаются в пределах чертежа, следовательно, линия пересечения этих плоскостей строится по двум точкам, являющимся следами линии пересечения, которые находятся в точках пересечения одноименных следов плоскостей.

Рассмотрим общий случай пересечения плоскостей:

3. Пересекаются плоскости общего положения.

• Заказать чертежи

Определение видимости на КЧ

Для улучшения наглядности изображений, заданных на КЧ, принято видимые для наблюдателя линии показывать сплошными, а невидимые штриховыми линиями. При этом предполагается, что:

1. плоскости и поверхности непрозрачны;
2. луч зрения от наблюдателя всегда попадает перпендикулярно к той плоскости проекций, относительно которой определяется видимость.

Даны две пары точек:

• - точки А и В, находящиеся на одном проецирующем луче, направленном перпендикулярно горизонтальной плоскости проекций
•  - точки С и D, через которые проходит проецирующий луч, перпендикулярный фронтальной плоскости проекций 

Необходимо определить видимость точек относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Если на КЧ какие-либо две проекции точек совпадают, то для наблюдателя будет видима та точка, проекция которой на КЧ находится дальше от оси проекций.

Точки А и В, С и D называются точками, конкурирующими в видимости, а сам метод определения видимости – метод конкурирующих точек.

Конкурирующими в видимости точками называются точки, лежащие на одном проецирующем луче, но принадлежащие разным геометрическим объектам.

Пересечение прямой с плоскостью

Прямая называется пересекающей плоскость, если она имеет с ней только одну общую точку. Рассмотрим различные случаи пересечения прямой и плоскости,

Частные случаи:

1. Прямая – проецирующая, плоскость – частного положения.

На КЧ необходимо построить проекции точки пересечения прямой с плоскостью и определить видимость этой прямой относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. Точка К должна одновременно принадлежать и прямой, и плоскости.

• 1) Горизонтальную проекцию точки пересечения находим из условия принадлежности ее прямой  Так как все точки, лежащие на горизонтально- проецирующей прямой совпадает с ее следом:
• 2) Определение фронтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки К плоскости

. 2. Прямая - общего положения, плоскость – проецирующая.

В данном случае фронтальная проекция точки пересечения лежит на следе плоскости

Построение недостающей горизонтальной проекции точки пересечения сводится к задаче на принадлежность точки прямой:

Общий случай:

Пересечение прямой  общего положения с плоскостью общего положения (первая основная позиционная задача).

В общем случае задача на пересечение прямой с плоскостью решается с помощью вспомогательной секущей плоскости, на которую накладывается ряд условий:

1. она должна быть плоскостью частного положения;
2. должна проходить через заданную прямую.

Порядок нахождения точки пересечения прямой с плоскостью:

1. Через прямую  проводится вспомогательная плоскость частного положения 
2. Определяется линия пересечения вспомогательной плоскости с заданной 
3. На пересечении линии пересечения плоскостей  с заданной прямой находится точка К, являющаяся искомой точкой.