Пересечение прямой линии с поверхностью с примерами

Пересечение прямой линии с поверхностью:

Для построения точки пересечения прямой с поверхностью через прямую следует провести вспомогательную плоскость и найти линию пересечения этой плоскости с поверхностью. Точка пересечения (или точка встречи заданной прямой и построенной линии или фигуры сечения) на поверхности и будет искомой точкой пересечения прямой с поверхностью. Сложность решения задачи зависит от трудоемкости нахождения линии пересечения, которая определяется следами поверхности и расположением прямой относительно как поверхности, так и плоскости проекций. Чтобы получить рациональное решение, следует пользоваться наиболее простым способом определения линии пересечения. Этого можно достичь двумя путями:

• выбором положения вспомогательной секущей плоскости;
• переводом секущей прямой в частное положение.

Вспомогательная секущая плоскость -проецирующая

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью пирамиды SABC (рис. 12.1).

Решение: для решения задачи прямую m заключают во фронтально проецирующую плоскость Σ (

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового цилиндра (рис. 12.2).

Решение: при решении задачи выделим проекции точек пересечения М и N прямой m с поверхностью цилиндра на горизонтальной проекции - точки . Так как образующие прямого кругового цилиндра являются горизонтально проецирующими прямыми, фронтальные проекции точек пересечения прямой m с поверхностью цилиндра и находят с помощью линий проекционной связи, как это показано на рисунке.

Вспомогательная секущая плоскость общего положения

Вспомогательную секущую плоскость, проводимую через прямую, при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы в результате получилось простейшее сечение. Например, при пересечении конической поверхности прямой линией такой плоскостью является плоскость, проходящая через вершину и пересекающая эту поверхность по прямым линиям (образующим).

При пересечении цилиндрической поверхности прямой линией вспомогательную плоскость целесообразно проводить через заданную прямую параллельно образующим цилиндра.  

Задание: определить точки пересечения прямой m с поверхностью прямого кругового конуса (рис. 12.3).

Решение: прямую m заключают в плоскость Р, проходящую через вершину конической поверхности S. Плоскость Р задана пересекающимися прямыми m и n, проходящими через точку А, которая выбирается произвольно на заданной прямой m.

Для определения горизонтального следа плоскости Р находят горизонтальные следы прямых m и n. Следы отмечают точками, например, , в которых горизонтальный след плоскости Р пересекает основание конической поверхности. Проекции - образующие поверхности конуса, по которым она пересекается плоскостью Р.

Точки - горизонтальные проекции искомых точек пересечения. Зная положение определяют фронтальные проекции .

Перевод прямой общего положения, пересекающей заданную поверхность в частное положение

При пересечении поверхности сферы плоскостью в сечении получается окружность, которая проецируется на плоскости проекции в виде эллипсов или прямой и эллипса (если секущая плоскость - проецирующая). В случае, когда секущая плоскость параллельна плоскости проекции, окружность проецируется на эту плоскость проекции без искажения. Поэтому для упрощения решения задачи следует произвольно расположенную прямую перевести в положение, параллельное какой-либо плоскости проекции. Тогда прямую можно заключить в плоскость, параллельную плоскости проекции.  

• Заказать чертежи

Задание: определить точки встречи прямой m, заданной отрезком АВ, с поверхностью сферы (рис. 12.4).  

Решение: при решении этой задачи переводят прямую m общего положения в положение, параллельное плоскости проекции. Для этого вводят новую систему плоскостей в которой , и переходят от системы к системе. Новую ось проекций проводят параллельно горизонтальной проекции прямой .

Далее от концов горизонтальной проекции прямой, точек и проводят линии проекционной связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них на плоскости откладывают координаты и т.е. расстояния от оси проекций х до фронтальных проекций точек . Новая проекция будет натуральной длиной отрезка прямой АВ.

Аналогично находят и центр сферы

В новой системе горизонтально проецирующая плоскость Р  пересечет поверхность сферы по окружности радиусом R, которая спроецируется на плоскость в отрезок (1-2), а на плоскость в окружность тем же радиусом R. Точки - вспомогательные проекции точек пересечения, по которым определяют проекции точек а затем .

Плоскость, касательная к поверхности

Плоскость, касательная к поверхности в заданной на поверхности точке, есть множество всех прямых — касательных, проведенных к поверхности через заданную точку.

Для задания плоскости, касательной к поверхности в заданной точке, достаточно провести через эту точку две произвольные линии, принадлежащие поверхности (желательно простые по форме) и к каждой их них построить касательные в точке пересечения этих линий. Построенные прямые (касательные) определяют касательную плоскость.  

Задание: построить плоскость Р, касательную к поверхности сферы и проходящую через точку К (рис. 12.5).  

Решение: плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания. Поэтому, проведя радиус ОК, строят плоскость, задавая ее горизонталью КВ и фронталью КС.

При этом горизонтальная проекция  перпендикулярна к , а фронтальная проекция перпендикулярна к .