Проецирование точки в начертательной геометрии с примерами

Проецирование точки на две и три плоскости проекций:

Если  из    точки  А,  находящуюся  в  пространстве,  относительно двух плоскостей проекций

Они характеризуются координатами,  которые численно  равны  расстоянию  от точки  А  до соответствующих плоскостей проекций. Координаты обозначаются теми же буквами, что и  оси  вдоль  которых  измеряется  расстояние,  с присвоением индекса самой буквы.

Так, для точки А: 

Плоскость прямоугольника , перпендикулярна к: оси x,  а  линии пересечений  плоскостей    и  плоскости    являются  прямыми  и  ,  перпендикулярными  к  оси  х. 

Изображение  точки  и  её  проекций    на  рис.3.1  является пространственным чертежом, что не всегда удобно для практики. 

Рис. 2.4 Чтобы получить плоский чертёж, поворачивают плоскость , вокруг  оси х  и  совмещают  её  с  плоскостью    (рис.  3.1),  получая  таким образом. комплексный чертеж (эпюр Монжа) 

Проекции    и    оказываются  на  одной  линии,  которая называется линией  проекционной  связи.  Она  перпендикулярна  к оси х (рис. 3.2).  При  проецировании  точки  А  на  три  плоскости  проекций  от плоскости   она  отстоит  на  расстоянии    (рис.  3.3).  При  этом, аналогично вышесказанному: 

Для  получения  плоского  чертежа  в  этом  случае  уже  две плоскости и совмещаются с плоскостью путём поворота их соответственно вокруг осей х и z. При этом ось у как бы раздваивается (как бы разрезается вдоль), и положение плоскостей будет таким, как показано на рис. 3.3. Профильная проекция   точки  А находится на пересечении  линий  связи    и    (расстояние  ).  

Перенос точки  Ау  в  точку  (Aу)  -  понятен  из  чертежа,  а  сам  отрезок  есть не что иное, как координата YA. 

На  плоском  трёхмерном  чертеже  положительное  направление оси х совпадает с отрицательным направлением оси у, а отрицательное направление оси y - с положительным направлением оси z. 

Это  не  означает,  что  модули  этих  величин  обязательно  равны  между  собой,  т.е.     (в  частном  случае  это  равенство Ах  Ау может быть). Те же рассуждения будут справедливы и в отношении направлений осей z и y (рис. 3.4). 

Таким образом, горизонтальная и фронтальная проекции точки А  на  плоском чертеже  лежат  на  одной  линии  проекционной  связи, перпендикулярной  к  оси x,  а  фронтальная  и  профильная  проекции точки А на  линии проекционной связи, перпендикулярной к оси z. 

• Заказать чертежи

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки тому или другому октанту пространства 

Точка, например А, принадлежит: 

• I или V октанту, если её проекция (лежит под осью х, а  - над осью х; 
• II или VI октанту, если и и лежат над осью х; 
• III или VII октанту, если лежит над осью х, а - под осью х; 
• IV или VIII октанту, если и и лежат под осью х.  

Определение по плоскому чертежу принадлежности точки плоскостям проекций 

Точка А принадлежит: 

• -  горизонтальной плоскости проекций если ≡ А, а оси х и y; 
• -  фронтальной плоскости проекций , если ≡ А, а оси х и  z; 
• -  профильной плоскости проекций , если   ≡A, а оси y иоси z; 

Любая точка лежит на оси проекций, если её смежные две проекции совпадают.

Так, точка А лежит на оси х, если совпадает с ; на оси у, если совпадает с , и оси z, если совпадает с . 

Правила знаков координат проекции точки 

При построении проекции точки координата x всегда откладывается от начала координат (точка 0). 

Положительное  значение  координаты  у  будут  иметь  точки, находящихся перед  фронтальной  плоскостью  проекций  , отрицательное  - расположенная за  ней.  Координату  у  можно откладывать непосредственно от оси х, от точки пересечения осей  0 (вниз - положительное значение, вверх - отрицательное). 

Положительное  значение  координаты  z  будут  иметь  точки, расположенные выше  горизонтальной  плоскости  проекций  ,  а отрицательное  -    точки находящиеся  ниже  .   Координату  z  на чертеже также можно откладывать от оси x, от точки пересечения осей  0 (вверх - положительное значение, вниз - отрицательное). Если  рассматривать  все  восемь  октантов  пространства,  то знаки для всех трёх координат точки (х, у, z) приведены в табл. 3.1  

Таблица 3.1