Взаимное положение плоскостей, прямой линии и плоскости с примерами

Содержание:

Взаимное положение плоскостей:

Две плоскости могут быть: 1) параллельными; 2 ) пересекающимися.

Основным признаком параллельности плоскостей является параллельность двух пересекающихся прямых одной плоскости двум пересекающимся прямым другой плоскости. Например, плоскость, заданная пересекающимися прямыми

Такими прямыми могут служить и следы плоскостей: если два следа одной плоскости параллельны одноименным следам другой плоскости, то такие плоскости взаимно параллельны (рис.54). Исключением из этого правила являются проецирующие плоскости, т.е. плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций. На рис.55 изображены профильно-проецирующие плоскости и , горизонтальные и фронтальные следы которых параллельны между собой, а профильные - пересекаются. Следовательно, плоскости и также пересекаются. Таким образом, если хотя бы одна пара одноименных следов двух плоскостей пересекается, то эти плоскости пересекаются (рис.56 и 57).

Пример 10. Построить следы плоскости р, проходящей через данную точку К и параллельной плоскости а (рис.58).

1. Через заданную точку проводим любую прямую частного положения, например горизонталь (рис.59) искомой плоскости: фронтальная проекция горизонтали проходит через проекцию и параллельна оси ; горизонтальная проекция горизонтали проходит через и параллельна горизонтальному следу заданной плоскости.

2.    Строим проекции фронтального следа этой горизонтали: горизонтальная проекция фронтального следа (точка ) лежит в пересечении горизонтальной проекции горизонтали с осью ; фронтальная проекция фронтального следа (точка ) лежит в пересечении линии проекционной связи, проведенной из точки , и фронтальной проекции горизонтали.

3.    Через точку проводим фронтальный след плоскости  параллельно . В пересечении с осью отмечаем точку схода следов , через которую параллельно проводим след .

Линией пересечения двух плоскостей является прямая, все точки которой являются общими для обеих плоскостей. Таким образом, в общем случае для нахождения линии пересечения необходимо найти хотя бы две точки, общие для обеих плоскостей. Такими точками могут быть, например, точки пересечения одноименных следов плоскостей  и - точки и (рис.60). Через них и пройдет линия пересечения.

На эпюре проекции линии пересечения пройдут через точки пересечения одноименных следов плоскостей  и . В пересечении горизонтальных следов находим проекцию общей точки (фронтальная проекция этой точки лежит на оси ), а в пересечении фронтальных следов -точки (горизонтальная проекция также лежит на оси ). Соединив одноименные проекции и , получаем две проекции линии пересечения.

Но далеко не всегда на эпюре мы можем найти эти точки. Рассмотрим несколько примеров.

1. Пусть дана пара плоскостей, из которых одна - плоскость общего положения , а другая -горизонтальная плоскость (рис.61). Одну общую точку - точку - найти легко в пересечении фронтальных следов.

Поскольку плоскость - горизонтальная, она параллельна плоскости проекция и, следовательно, не имеет горизонтального следа. Из школьного курса геометрии известно, что две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью по параллельным прямым. Следовательно, линией пересечения плоскостей  и будет горизонталь.

2. Теперь возьмем две плоскости общего положения  и , у которых одноименные следы, например фронтальные, в пределах чертежа не пересекаются (рис.62).

Первая общая точка - точка  - находится в пересечении горизонтальных следов плоскостей  и . Для нахождения второй общей точки выбираем произвольную вспомогательную плоскость, например горизонтальную плоскость , и строим линии пересечения двух пар плоскостей: и ; и (см. п.1). Эти линии пересеклись в точке , которая является общей для всех трех плоскостей. Теперь у нас есть точки и , общие для плоскостей  и . Через эти точки можно провести линию пересечения двух этих плоскостей.

3. Если фронтальные следы двух плоскостей параллельны, то линией их пересечения будет фронталь (рис.63). В этом легко убедиться, если воспользоваться вспомогательной горизонтальной плоскостью, как в п.2.

По аналогии можно доказать, что если у пересекающихся плоскостей параллельны горизонтальные следы, то линией их пересечения будет горизонталь (рис.64).

Прямая, пересекающая плоскость

Прямая, пересекающая плоскость, имеет с ней одну общую точку, называемую точкой встречи прямой с плоскостью.

Рассмотрим задачу о нахождении точки встречи прямой линии с плоскостью в общем виде. Пусть нам дана плоскость и прямая , ее пересекающая (рис.65). Проводим через прямую любую плоскость, например плоскость . Далее строим линию пересечения плоскостей  и  -прямую . Все точки этой прямой являются общими для обеих плоскостей. Следовательно, и точка , лежащая на прямой , принадлежит обеим плоскостям. Точка будет искомой точкой встречи прямой с плоскостью .

Рассмотрим порядок нахождения точки встречи прямой с плоскостью на эпюре (рис.66):

1. через заданную прямую проводим любую вспомогательную плоскость (удобнее, если это будет плоскость частного положения - например, фронтально-проецирующая плоскость );
2. находим линию пересечения плоскостей  и - прямую ;
3. горизонтальная проекция искомой точки встречи лежит в пересечении горизонтальных проекций прямой  и линии пересечения ;
4. в пересечении линии проекционной связи, проведенной из , и фронтальной проекции прямой получаем точку .

Определение взаимной видимости геометрических элементов

Взаимная видимость геометрических элементов определяет позиционное отношение одной геометрической фигуры (прямой, плоскости и т.д.) по отношению к другой в определенном направлении. Обычно это направление перпендикулярно плоскости проекций.

Взаимная видимость на эпюре определяется с помощью конкурирующих точек, которые выбирают на той плоскости проекций, в направлении на которую определяют взаимную видимость. Взаимная видимость в направлении на каждую из плоскостей проекций определяется отдельно.

 См. раздел 2.5 «Взаимное положение двух прямых».

Рассмотрим определение взаимной видимости прямой и плоскости, заданной треугольником (рис.67). Будем считать треугольник непрозрачным. Прежде всего находим точку встречи прямой с плоскостью треугольника. Через прямую проводим вспомогательную плоскость и строим линию пересечения плоскости и плоскости треугольника -прямую . Находим искомую точку . Затем последовательно определяем взаимную видимость в направлении на плоскости проекций и .

Для определения видимости в направлении на плоскость , выбираем конкурирующие точки, например и . Эти точки принадлежат разным геометрическим фигурам , но они расположены на одной проецирующей прямой, перпендикулярной плоскости поэтому на эту плоскость они проецируются в одну точку. Находим фронтальную проекцию  точки (проекция  уже была найдена при предыдущих построениях).

Из двух точек видимой будет та, фронтальная проекция которой расположена дальше от оси проекций. В нашем примере - это точка . Следовательно, на горизонтальной проекции видимой будет прямая , принадлежащая плоскости треугольника, а отрезок прямой -«невидимым». В точке прямая пересекает плоскость и отрезок  становится видимым.

Для определения взаимной видимости в направлении на выбираем на ней проекции конкурирующих точек. Пусть это будут точки и . Находим их горизонтальные проекции и определяем по ним взаимную видимость точек. Дальше от оси будет точка , принадлежащая . Следовательно отрезок - «невидим».

• Заказать чертежи

Проецирование плоских фигур. Пересечение плоских фигур

Плоской называют такую фигуру, все точки которой лежат в одной плоскости и ограничены линиями, составляющими контур этой фигуры. Простейшей плоской фигурой является многоугольник.

Для однозначного определения положения многоугольника в пространстве необходимо убедиться, чтобы все его точки находятся в одной плоскости.

Например, четырехугольник может быть задан двумя проекциями трех его вершин и лишь одной проекцией четвертой вершины (рис.68, а). Недостающая проекция вершины лежит на пересечении линии проекционной связи, проведенной из имеющейся проекции вершины многогранника, и проекции диагонали, проходящей, в свою очередь, через точку пересечения диагоналей (рис.68, б).

Линия пересечения двух плоских фигур, как и линия пересечения двух плоскостей, определяется двумя точками, общими для этих фигур. Такие точки могут быть найдены как точки пересечения сторон одной фигуры с плоскостью другой.

На рис.69 найдена линия пересечения треугольников и . Для этого выполнены следующие построения.

Сначала найдена точка пересечения стороны треугольника с плоскостью треугольника . Затем аналогично построена точка пересечения другой стороны, например стороны , с плоскостью треугольника .

Для построения точки через сторону проведена вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  и построена прямая пересечения вспомогательной плоскости и треугольника . На пересечении горизонтальных проекций и определена горизонтальная проекция  точки встречи. Ее фронтальная проекция построена на фронтальной проекции .

Для построения точки через сторону проведена горизонтально-проецирующая плоскость . Затем построена прямая пересечения плоскости и треугольника и на пересечении с найдена фронтальная проекция . Точка построена на горизонтальной проекции .

Зная две точки, общие для заданных плоскостей, проводим через них линию пересечения с проекциями и .

Определяем видимость плоскостей друг относительно друга с помощью конкурирующих точек, например, точек и - на горизонтальной плоскости проекций и точек и - на фронтальной плоскости проекций .

Прямая, перпендикулярная плоскости

Предположим, что дана некоторая плоскость и прямая - перпендикуляр к этой плоскости, причем точка , лежащая в плоскости , является основанием перпендикуляра (рис.70). Если прямая - перпендикуляр, то она перпендикулярна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Через точку проводим горизонталь . Угол - прямой. По теореме о том, что прямой угол проецируется на плоскость проекций без искажения, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций, угол - тоже прямой.

Таким образом, горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали и горизонтальному следу плоскости. Аналогично можно доказать, что фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали и фронтальному следу плоскости.

Пример:

Из точки  опустить перпендикуляр к плоскости, заданной следами (рис.71), и к плоскости, заданной треугольником (рис.72).

1. Из точки проводим перпендикуляр к плоскости , заданной следами: горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальному следу плоскости ; фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальному следу плоскости .
2. Из точки проводим перпендикуляр к плоскости, заданной треугольником . Строим горизонталь и фронталь заданной плоскости. Из точки проводим перпендикуляр к заданной плоскости: горизонтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали ; фронтальная проекция перпендикуляра перпендикулярна фронтальной проекции фронтали .

Взаимно перпендикулярные плоскости

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Рассмотрим построение плоскости , перпендикулярной плоскости и проходящей через прямую (рис.73). Из любой точки прямой , например из точки , проводим перпендикуляр к заданной плоскости . Строим проекции следов прямой и перпендикуляра .

Через горизонтальные проекции горизонтальных следов и проводим горизонтальный след плоскости ; через фронтальные проекции фронтальных следов и - ее фронтальный след. Проверяем правильность построений: следы и пересекаются в точке схода следов , на оси .

Таким образом, плоскость перпендикулярна плоскости , так как проходит через прямую , перпендикулярную плоскости . Следует обратить внимание на то, что одноименные следы плоскостей и не перпендикулярны друг другу.

Действительно, одноименные следы двух взаимно перпендикулярных плоскостей общего положения не перпендикулярны друг другу. Наоборот, если одноименные следы двух плоскостей общего положения взаимно перпендикулярны, то сами плоскости не перпендикулярны между собой.

Если одна из рассматриваемых плоскостей является плоскостью частного положения, то существует несколько очевидных случаев, когда перпендикулярность следов может служить признаком перпендикулярности самих плоскостей. Например, перпендикулярность горизонтальных следов плоскости общего положения а и горизонтально-проецирующей плоскости соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей (рис.74). Это нетрудно доказать, выбрав в плоскости прямую , перпендикулярную плоскости .

По аналогии с рассмотренным примером перпендикулярность фронтальных следов фронтально-проецирующей плоскости и плоскости общего положения также соответствует взаимной перпендикулярности этих плоскостей.