Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Прямая линия проецируется в виде прямой линии. В общем случае прямая линия - безгранична. Положение прямой в пространстве обычно определяется заданием двух точек. Если спроецировать эти точки на плоскость и соединить найденные проекции точек, то полученная проекция отрезка определяет проекцию всей линии, так как отрезок может быть продолжен в любую сторону на требуемое расстояние.

Общее положение прямой

Прямой общего положения называется прямая, пересекающая все плоскоcти координат.

Пусть заданы две точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Соединяя соответствующие проекции точек прямыми линиями, получим проекции прямой, заданной отрезком Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Известно, что две проекции прямой определяют её положение в пространстве. Оценив наглядность и измеримость полученного изображения, заметим:

  • -    что форма проецируемого элемента - прямая линия, так как все проекции его прямые;
  • -    размеры проекций отрезка не равны истинной длине отрезка, так как он наклонён ко всем плоскостям проекций;
  • -    положение прямой относительно плоскостей координат может быть установлено по чертежу.

Отметим следующее важное обстоятельство: если точка лежит на прямой, то её проекции расположены на соответствующих проекциях прямой (точка С на Рис.2.1).

Известно, что две прямые, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части. Следовательно, отношение отрезков прямой равно отношению проекций этих отрезков, т.е.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Частные случаи положения прямой

К частным случаям положения прямой относят прямые: параллельные одной из плоскостей координат, перпендикулярные к одной из плоскостей координат, лежащие в плоскости координат, совпадающие с осью координат.

Прямая, параллельная какой - либо плоскости координат, проецируется на эту плоскость в истинную величину. Это очевидно, так как Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (Рис.2.2, а) и, следовательно, Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - как противоположные стороны прямоугольника.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Для прямоугольных проекций прямой, параллельной плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (горизонтали) (см. Рис.2.2, б), характерно, что Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Отсюда следует: любая прямая, фронтальная проекция которой параллельна оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, параллельна плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Горизонтальная проекция горизонтали (ГПГ) -истинная длина отрезка.

Аналогично, любая прямая Прямая линия в начертательной геометрии с примерами горизонтальная проекция Прямая линия в начертательной геометрии с примерами которой параллельна оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, параллельна плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (фронталь) (Рис.2.3, а, б). Фронтальная проекция фронтали (ФПФ) - истинная длина отрезка.

Прямым, параллельным плоскостям координат, принято давать общее название линий уровня.

Прямая, перпендикулярная к какой-либо плоскости координат (проецирующая прямая), параллельна оси координат, перпендикулярной к этой плоскости. Например, прямая Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, перпендикулярная к плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами параллельна оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Горизонтальная проекция такой прямой (Рис.2.4, а, б) - точка. Фронтальная и профильная проекции прямой, перпендикулярной к плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами параллельны оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

В общем случае, если прямая перпендикулярна к плоскости координат, то на эту плоскость она проецируется в виде точки, а на две другие плоскости - в истинную длину и параллельно той оси координат, которой параллельна сама прямая.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Если прямая расположена в плоскости координат, то её проекция на эту плоскость совпадает с самой прямой, а две другие проекции совпадают с осями координат.

Если прямая совпадает с осью координат, то две её проекции совпадают с самой прямой, а на плоскость, перпендикулярную этой оси, прямая спроецируется точкой в начало координат.

Определение истинной длины отрезка прямой

Пусть отрезок прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами задан горизонтальной проекцией Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (Рис.2.5, а). Фигура Прямая линия в начертательной геометрии с примерами в натуре - прямоугольная трапеция, у которой углы Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - прямые, а отрезки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами соответственно расстояния от точек Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами до плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Эти отрезки численно равны координатам Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами точек. Отсюда следует, что для определения истинной длины отрезка по его проекции нужно построить на этой проекции прямоугольную трапецию с параллельными сторонами, соответственно равными расстояниям от точек отрезка до плоскости. Такой способ определения длины отрезка называют способом трапеции.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим пример определения истинной длины отрезка, расположенного в первом октанте. Пусть имеются проекции Прямая линия в начертательной геометрии с примерами(см. Рис.2.5,б).

Определим его истинную длину по фронтальной проекции. Для этого в точках Прямая линия в начертательной геометрии с примерами восстановим перпендикуляры к проекции Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и отложим на них отрезки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами , соответственно равные расстояниям от точек Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами до плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами т.е. координаты Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (недостающие координаты точек). Итак Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Соединяя точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами прямой, находим Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - истинную длину отрезка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Аналогичное построение можно выполнить на горизонтальной проекции отрезка. В этом случае Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Соответственно, Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - истинная длина отрезка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Построение можно упростить. Если отложить на перпендикуляре, восстановленном из точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами , отрезок Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и соединить точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерамиПрямая линия в начертательной геометрии с примерами прямой. Аналогично найдём Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Такой приём определения истинной длины отрезка называется способом треугольника.

Отметим, что в способе треугольника одновременно с истинной длиной отрезка определяется угол наклона прямой к соответствующей плоскости координат:

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами  угол наклона прямой к плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - угол наклона прямой к плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим пример определения истинной длины отрезка для случая, когда координаты концевых точек имеют разные знаки. Пусть, например, точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (Рис. 2.6, а) расположена над плоскостью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами а точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - под плоскостью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Особенностью построения в данном случае является необходимость учёта знаков недостающих координат точек, т.е. значения этих координат откладываются на перпендикулярах, восстановленных к концам проекции отрезка, в произвольные, но разные стороны (см. Рис.2.6, б). В нашем примере Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

При построении способом треугольника на перпендикуляре, восстановленном из точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами откладывается отрезок Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, равный алгебраической разности недостающих координат: Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Определение истинной длины отрезка по его вертикальной проекции аналогично рассмотренному ранее примеру.

Следы прямой линии

Следом прямой линии ни данной плоскости координат называется точка пересечения (встречи) прямой с упомянутой плоскостью.

Точка пересечения прямой с плоскостью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами называется горизонтальным следом, с плоскостью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - фронтальным (вертикальным) следом и с плоскостью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - профильным следом прямой. Следы прямой обозначаются буквами, соответственно Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Изобразим в косоугольных проекциях (Рис.2.7) произвольный отрезок Прямая линия в начертательной геометрии с примерами прямой общего положения и вторичные проекции этого отрезка. Построение проекций следов начнём с горизонтального следа. Согласно определению, искомая точка принадлежит прямой и, кроме того, расположена в плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Если точка принадлежит прямой, то её проекции лежат на соответствующих проекциях прямой. Но, с другой стороны, точка лежит в плоскости координат и, следовательно, её проекция на эту плоскость совпадает с самой точкой. Таким образом, искомое изображение горизонтального следа прямой должно быть расположено в точке пересечения изображения прямой и её горизонтальной проекции. Продолжая отрезки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами отметим точку их пересечения Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Изображение горизонтальной проекции Прямая линия в начертательной геометрии с примерами следа совпадает с изображением точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Изображение фронтальной проекции Прямая линия в начертательной геометрии с примерами горизонтального следа найдём на оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, проведя через точку Прямая линия в начертательной геометрии с примерами прямую, параллельную оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Изображение профильной проекции Прямая линия в начертательной геометрии с примерами горизонтального следа получим в точке пересечения с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами прямой, проведённой через точку Прямая линия в начертательной геометрии с примерами параллельно оси .

Точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами принадлежит также прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и её проекции должны находиться на соответствующих проекциях прямой. Следовательно, изображения фронтальной и профильной проекций горизонтального следа должны лежать на продолжении отрезков Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами(в точках пересечения Прямая линия в начертательной геометрии с примерами с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами).

Построение проекций фронтального Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и профильного Прямая линия в начертательной геометрии с примерами следов прямой осуществляется в той же последовательности.

Местоположение следов прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и их проекций на плоскостях координат представлено в таблице:

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рассмотрим построение прямоугольных проекций следов прямой общего положения, заданной проекциями отрезка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (Рис.2.8). Построение начнём с нахождения проекций горизонтального следа прямой.

Для этого следует найти сначала фронтальную или профильную проекции этого следа. Фронтальную проекцию Прямая линия в начертательной геометрии с примерами получим в точке пересечения фронтальной проекции прямой с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Горизонтальную проекцию Прямая линия в начертательной геометрии с примерами найдём в точке пересечения горизонтальной проекции прямой (продолжение отрезка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами) с перпендикуляром, восстановленным из точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами к оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Профильная проекция Прямая линия в начертательной геометрии с примерами горизонтального следа может быть получена в точке пересечения профильной проекции Прямая линия в начертательной геометрии с примерами прямой с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами или как третья проекция точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами по двум проекциям Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Отметим, что профильная проекция горизонтального следа должна находиться на горизонтальной оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Горизонтальную проекцию Прямая линия в начертательной геометрии с примерами фронтального следа прямой найдём, продолжив горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Фронтальную проекцию Прямая линия в начертательной геометрии с примерами этого следа получим в точке пересечения перпендикуляра к оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, восстановленного из точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, с продолжением фронтальной проекции прямой. Профильную проекцию Прямая линия в начертательной геометрии с примерами фронтального следа найдём, опустив перпендикуляр из точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами на ось Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами будет также в точке пересечения профильной проекции прямой с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Аналогичным построением найдём проекции профильного следа.

В заключение данного раздела отметим следующее:

  • -    прямая, параллельная одной из плоскостей координат, имеет лишь два следа;
  • -    прямая, перпендикулярная к плоскости координат, имеет лишь один след;
  • -    два следа прямой совпадают в одной точке, если прямая пересекает ось координат;
  • -    три следа прямой совпадают, если прямая проходит через начало координат.

Взаимное положение прямых линий

Возможны три случая относительного положения прямых линий. Прямые могут быть взаимно параллельны, могут пересекаться друг с другом или скрещиваться.

Если прямые параллельны, то их соответствующие проекции тоже параллельны.

Пусть даны косоугольные проекции двух взаимно параллельных прямыхПрямая линия в начертательной геометрии с примерами и  Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.2.9, а).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Чтобы через данную точку провести прямую, параллельную заданной, нужно через проекции этой точки провести прямые, параллельные соответствующим проекциям заданной прямой.

У пересекающихся прямых соответствующие проекции пересекаются и проекции точки пересечения связаны перпендикуляром к соответствующей оси координат. Пусть даны две пересекающиеся в точке Прямая линия в начертательной геометрии с примерами прямые Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (см. Рис.2.10).

Точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами принадлежит обеим прямым. Следовательно, проекции этой точки должны лежать на проекциях обеих прямых, т.е. в точках  Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами пересечения соответствующих проекций.

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки. Их проекции могут пересекаться, но точки пересечения не находятся в проекционной связи друг с другом, т. е. не лежат на перпендикуляре к соответствующей оси координат.

Изобразим прямоугольные проекции Рис.2.11) двух скрещивающихся прямых Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. В точку пересечения их горизонтальных проекций проецируются две точки: точка 1, принадлежащая прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, и точка 2, принадлежащая прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Эти точки называются конкурирующими. С их помощью определяется взаимное положение прямых относительно плоскостей проекций (видимость проекций геометрических элементов). Так, в нашем случае, приведённом на Рис.2.11, луч, проецирующий прямые на плоскость Прямая линия в начертательной геометрии с примерамивстретит раньше точку 1. Следовательно, эта часть прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами расположена выше прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. Аналогично определим, что левая часть прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами расположена дальше от плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами вместе с принадлежащей ей точкой 3, чем прямая Прямая линия в начертательной геометрии с примерами. В общем случае при определении видимости прямоугольных проекций на плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами направление проецирующего луча принимают заданным сверху вниз, на плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - снизу вверх и на плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - слева направо.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Проекции отрезка прямой линии

Как известно из элементарной геометрии, прямая линия определяется двумя точками, поэтому, чтобы построить проекции этой прямой, необходимо иметь проекции двух точек, принадлежащих этой прямой.

Прямую, не параллельную ни одной из плоскостей проекций, называют прямой общего положения.

На рис. 2.1 дано пространственное изображение и чертеж прямой АВ. Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей пространства, т е. прямая АВ не параллельна не одной из них. Значит, прямая АВ общего положения.

Задание и изображение на чертеже прямой общего положения

Прямая линия в пространстве определяется положением двух ее точек, например А и В. Значит, достаточно выполнить комплексный чертеж этих точек, а затем соединить одноименные проекции точек прямыми линиями, получим соответственно горизонтальную и фронтальную проекции прямой.

Прямая общего положения называется прямая не параллельная ни одной из плоскостей проекций. Прямая, параллельная или перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется прямой частного положения.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 2.1 - Прямая общего положения

Прямые, параллельные или перпендикулярные к плоскостям проекций, называются прямыми частного положения. Прямая, параллельная какой-либо одной плоскости проекций, называется прямой уровня. Существуют три линии уровня:

  1. горизонтальная - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций Н;
  2. фронтальная - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций V;
  3. профильная - прямая, параллельная профильной плоскости проекций W.

Прямые уровня

Прямая, параллельная одной из плоскостей проекций, называется прямой уровня.

Название зависит от того, какой плоскости она параллельна.

Различают: горизонтальную прямую уровня (горизонталь) h, фронтальную прямую уровня (фронталь) f, профильную прямую уровня (профиль) р.

Все точки прямых уровня имеют равные или высоты (горизонталь), или глубины (фронталь), или широты (профиль). Поэтому соответствующие проекции прямых параллельны проекциям определенных осей координат.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Рисунок 2.2 - Прямые уровня; а- горизонталь, б- фронталь, в- профиль Примечание: н.в. - натуральная величина прямой

Проецирующие прямые

Прямая, перпендикулярная какой-либо плоскости проекции, называется проецирующей.

Различают: горизонтально проецирующую (АВ), фронтально проецирующую (CD) и профильно проецирующую (EF) (рис. 8).

У проецирующей прямой одна проекция вырождается в точку, а две другие проекции параллельны самой прямой и совпадают с направлением линии связи.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 2.3 - Проецирующие прямые; АВ- горизонтально проецирующая CD - фронтально-проецирующая, EF-профильно-проецирующая

Следы прямой линии

Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекции называют следами. В системе трех плоскостей проекции прямая общего положения имеет три следа - горизонтальный, профильный и фронтальный и профильный; прямая, параллельная одной из плоскостей проекции - два, и прямая, перпендикулярная к плоскости проекции - один след.

Что бы найти горизонтальный след, надо продлить фронтальную проекцию а"в" (рис. 2.4) до пересечения с осью Х (точка М") и из этой точки восстановить перпендикуляр к оси X (линию связи) до пересечения с продолжением горизонтальной проекции a'b'.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 2.4 - Следы прямой линии

Точка м'- горизонтальная проекция горизонтального следа, которая совпадает с самим следом М.

Для нахождения фронтального следа необходимо продолжить горизонтальную проекцию а' в' до пересечения с осью X (точка n') и через точку n', которая является горизонтальной проекцией фронтального следа, провести перпендикуляр к оси X до пересечения с продолжением фронтальной проекцией а"в". Точка n"- фронтальная проекция фронтального следа, которая совпадает с фронтальным следом N.

Отметим, что прямая не имеет следа на плоскости проекций в том случае, если она параллельна этой плоскости.

Определение натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций

Возьмем отрезок АВ (рис. 2.5) и построим его ортогональную проекцию на горизонтальной плоскости проекций Н. В пространстве при этом образуется прямоугольный треугольник A'BB', в котором одним катетом является горизонтальная проекция этого отрезка, вторым катетом разность высот точек А и В отрезка, а гипотенузой является сам отрезок.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 2.5 - Определение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника

На чертеже прямоугольный треугольник построен на горизонтальной проекции отрезка АВ, второй катет треугольника Прямая линия в начертательной геометрии с примерами равен разности высот точек АВ, замеренную на плоскости V, гипотенуза его и будет натуральной величиной отрезка АВ. Угол между горизонтальной проекцией А'В' и гипотенузой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами треугольника Прямая линия в начертательной геометрии с примерами это угол наклона данного отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогичное построение можно сделать на фронтальной проекции отрезка, только в качестве второго катета надо взять разность глубин его концов, замеренную на плоскости Н.

Деление отрезка прямой линии

Иногда требуется разделить отрезок в данном отношении. Из свойств параллельного проецирования известно, что отношение отрезков одной и той же прямой равно отношению проекций эти отрезков.

Чтобы разделить отрезок прямой в заданном отношении, необходимо разделить в этом отношении одну из проекций этого отрезка, а затем с помощью линий связи перенести делящую точку на другие проекции.

На рис. 2.6 дан пример деления отрезка прямой линии АВ в отношение 2 : 3.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 2.6 - Деление отрезка прямой линии

Из точки А' проведен вспомогательный отрезок прямой, на котором отложено пять одинаковых частей произвольной длинны. Проведя отрезок В'5 и параллельно ему точку 2 прямую, получим точку С' причем А'К' : КБ' = 2 : 3; затем линии связи находим точку С". Точка С делит отрезок АВ в отношении 2 : 3.

Взаимное расположение двух прямых

  1. Пересекающиеся прямые. В этом случае прямые а и b имеют одну общую точку, проекции которой А' и А" расположены на одной линии связи (рис 2.7).
  2. Параллельные прямые. По свойству параллельного проецирования проекции параллельных прямых на любую плоскость параллельны, т.е. если Прямая линия в начертательной геометрии с примерами.
  3. Скрещивающиеся прямые. Если две прямые скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи: две точки А и В - горизонтально конкурирующие точки, две точки С и D - фронтально конкурирующие. Как видно из чертежа, точка А расположена над точкой В; следовательно, прямая а проходит над прямой b. Точка С расположена перед (ближе к зрителю) точкой D, следовательно, прямая b проходит в этом месте впереди прямой а.

Правило определения видимости на комплексном чертеже:

из двух горизонтально конкурирующих точек на поле Н видна та точка, которая расположена выше, а из двух фронтально конкурирующих точек на поле V видна та точка, которая расположена ближе (по отношению к наблюдателю).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 2.7 - Расположение двух прямых; а - пересекающиеся, б - параллельные, в - скрещивающиеся

Взаимное расположение точки и прямой

Из свойств параллельного проецирования (свойство принадлежности) известно, что если точка лежит на прямой, то ее проекции должны лежать на одноименных проекциях этой прямой.

Поэтому, из четырех точек А, В, С и D, приведенных на чертеже (рис. 2.8), лишь одна точка А лежит на прямой. Точка В находится над прямой, так как она расположена выше, чем горизонтально конкурирующая с ней точка прямой а (фронтальная проекция этой точки прямой а отмечена крестиком). Аналогично, точка С находится перед прямой а, точка D расположена ниже и дальше точки прямой а.

Определение взаимного положения точки и профильной прямой выполняется с помощью построения профильной проекции. На рис. 2.8 точка С расположена над и перед прямой АВ.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 2.8 - Расположение точки и прямой

Взаимно перпендикулярные прямые

Для того, чтобы прямой угол проецировался без искажения, необходимо и достаточно, чтобы одна его сторона была параллельна, а другая не перпендикулярна к плоскости проекций.

Пусть сторона АВ прямого угла ABC параллельна плоскости Н. Требуется доказать, что проекция его: угол А'В'С' равен 90.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости, так как АВ перпендикулярна двум прямым этой плоскости ВС и ВВ', проходящих через точку В. Прямая АВ и ее прекция А'В' две параллельные прямые, поэтому А'В' также перпендикулярна плоскости. Следовательно, А'В' перпендикулярна В'С'.

Две взаимно перпендикулярные прямые (рис. 2.9) (пересекающиеся или скрещивающиеся) тогда сохраняют свою перпендикулярность в горизонтальной проекции, если одна из этих прямых является горизонталью.

Две взаимно перпендикулярные прямые сохраняют свою перпендикулярность во фронтальной проекции, если одна из них является фронталыю.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рисунок 2.9 - Две взаимно перпендикулярные прямые (проецирование прямого угла)

Проецирование отрезка прямой

Для этого необходимо и достаточно спроецировать две конечные точки отрезка.
Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Положение прямой относительно плоскостей проекций

Прямая общего положения - прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая частного положения - прямая, параллельная или перпендикулярная плоскости проекций.

Положение прямой относительно плоскостей проекций
Прямая общего положения - прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций.

Прямая частного положения - прямая, параллельная или перпендикулярная плоскости проекций.

Прямые уровня

Это прямые, параллельные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в натуральную величину. Они находятся на одном уровне от соответствующей плоскости.

Горизонтальная прямая - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Профильная и фронтальные проекции // со ответственно осям X и У

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - натуральная величина (НВ) отрезка АВ
 

Фронтальная прямая - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций 

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами


Фронтальная прямая - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Профильная прямая - прямая, параллельная профильной плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Проецирующие прямые

Это прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, на которую они проецируются в точку. Они совпадают с направлением проецирования.

Проецирующие прямые одновременно параллельны двум другим плоскостям проекций.

Горизонтально-проецирующая прямая - это прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Фронтально-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Профильно-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Точка на прямой

Если точка принадлежит прямой, то её проекции лежат на одноименных проекциях этой прямой.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Следы прямой

Точка пересечения прямой с плоскостями называется следом прямой.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Чтобы построить горизонтальный след прямой необходимо:

  1. Продолжить фронтальную проекцию Прямая линия в начертательной геометрии с примерами до пересечения с осью X в точке Прямая линия в начертательной геометрии с примерами
  2. Провести через эту точку линию связи на Прямая линия в начертательной геометрии с примерами
  3. Продолжить горизонтальную проекцию Прямая линия в начертательной геометрии с примерамидо пересечения с этой линией связи в точке Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Для построения фронтального следа надо продолжить горизонтальную проекцию Прямая линия в начертательной геометрии с примерами до пересечения с осью X. Из полученной точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами провести линию связи на Прямая линия в начертательной геометрии с примерами до пересечения с продолжением Прямая линия в начертательной геометрии с примерами- фронтальный след прямой АВ.

  • М - горизонтальный след прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами
  • N - фронтальный след прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Дан отрезок общего положения. Найти горизонтальный и фронтальный следы.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Взаимное положение прямых

1 .Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. ( Если одноименные проекции прямых общего положения параллельны на двух плоскостях проекций, то эти прямые параллельны).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

2. Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а точка их пересечения лежит на одной линии связи.

Справедливо и обратное, кроме профильных прямых.
Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

3. Если прямые не параллельны и не пересекаются, то они называются скрещивающимися.
Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Проецирование прямого угла

Прямой угол проецируется прямым, если одна из его сторон параллельна одной из плоскостей проекций, т.е. является фронтальной или горизонтальной прямой. (Прямой угол проецируется прямым па ту плоскость проекции, кото рои параллельна одна из его сторон, т. е. является фронтальной или горизонтальной прямой).
Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Определение натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника

Натуральная величина отрезка АВ определяется как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов является проекция отрезка, а вторым - разница расстояний концов другой проекции до оси X Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Угол между прямой линией и плоскостью проекций определяется как угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Что такое прямая линия

Прямая линия в системе плоскостей проекций занимает определенное положение. Прямая может располагаться относительно плоскостей проекций произвольно или занимать некоторое частное положение - быть параллельной, перпендикулярной или принадлежать какой-либо плоскости проекций.

Способы задания прямой

  • Двумя точками.
  • Точкой и направлением.
  • Линией пересечения двух плоскостей.
  • Своими проекциями.

Классификация прямых

В зависимости от положения прямых относительно плоскостей проекций различают прямые общего положения и прямые частного положения.

Прямые общего положения

Прямая общего положения - прямая, наклоненная под произвольными углами ко всем трем плоскостям проекций (рис. 4.1, 4.2).


Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.1. Прямая общего положения:
a(AB) - прямая общего положения;
a1(A1B1) - горизонтальная проекция прямой a(AB);
a2(A2B2) - фронтальная проекция прямой a(AB)

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.2. Комплексный чертеж прямой общего положения:
а - двухкартинный комплексный чертеж; б - безосный комплексный чертеж

Прямые частного положения

Среди прямых частного положения различают линии уровня и проецирующие прямые. 

Линии уровня

Прямые линии, параллельные какой-либо плоскости проекций, называются линиями уровня.

Горизонталь h - прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций h || П1 (рис. 4.3).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.3. Горизонталь: 

a –  наглядное изображение;  б – комплексный чертеж 

Поскольку высоты всех точек горизонтали равны между собой: h2Прямая линия в начертательной геометрии с примерамиA1A 2 илиh2|| П1

Любой отрезок горизонтали проецируется на П1 в натуральную величину:
[A1B1 ] = [AB ].

Угол наклона h к Π2 также проецируется на П1 в натуральную величину:
Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Фронталь Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами|| П2 (рис. 4.4).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.4.  Фронталь:
a - наглядное изображение;
б - комплексный чертеж

Поскольку глубина всех точек фронтали одинакова:Прямая линия в начертательной геометрии с примерами1Прямая линия в начертательной геометрии с примерамиC1C2

Отрезки фронтали и угол наклона к П1 проецируются на П1 в натуральную величину:[C2D2] =[CD]; Zβ1=Zβ=Прямая линия в начертательной геометрии с примерами, П1.

Профильная прямая р - прямая, параллельная профильной плоскости проекций p|| П3 (рис. 4.5).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Поскольку широта всех точек профильной прямой одинакова: р2 Прямая линия в начертательной геометрии с примерами E2E1.
Отрезки профильной прямой и углы наклона к П1 и П2 проецируются на П3 в натуральную величину: [E3F3] =[EF];Прямая линия в начертательной геометрии с примерами.

Проецирующие прямые

Прямая линия, перпендикулярная одной из плоскостей проекций или параллельная направлению проецирования, называется проецирующей.

Горизонтально-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций a 1Прямая линия в начертательной геометрии с примерами П1(рис. 4.6).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.6. Горизонтально-проецирующая прямая:
a - наглядное изображение;
б - комплексный чертеж

Фронтально-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций b Прямая линия в начертательной геометрии с примерамиП2(рис. 4.7).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.7. Фронтально-проецирующая прямая:
a - наглядное изображение;
б - комплексный чертеж

Профильно-проецирующая прямая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций c Прямая линия в начертательной геометрии с примерами П3(рис. 4.8).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.8. Профильно-проецирующая прямая:
a - наглядное изображение;
б - комплексный чертеж

Взаимное положение прямых линий

Прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися или скрещивающимися.

Если прямые параллельны (рис. 4.9), то их одноименные проекции параллельны: a || b Прямая линия в начертательной геометрии с примерами1|| b1) и (a2|| b2).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.9. Параллельные прямые a и b:
a - наглядное изображение; б - комплексный чертеж

Пересекающиеся прямые имеют общую точку (рис. 4.10), то есть точки пересечения их одноименных проекций лежат на общей линии связи:
c × d = K Прямая линия в начертательной геометрии с примерамиc1 × d1 = K1 ;
c 2 × d2 = K2 и K 1 K 2 Прямая линия в начертательной геометрии с примерами х12.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.10. Пересекающиеся прямые c иd:
a - наглядное изображение; б - комплексный чертеж

Прямые, не имеющие общей точки и не параллельные между собой, являются скрещивающимися (рис. 4.11, 4.12).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.11. Скрещивающиеся прямые m и n

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.12. Проекции скрещивающихся прямых:
a - скрещивающиеся прямые иn;
б - скрещивающиеся прямые l u j

Проекции прямых пересекаются l1×j1=E1 и 12×j2=K2, но E1K2 не является общей линией связи (см. рис. 4.12,б).

Если пересекающиеся и параллельные прямые лежат в одной плоскости, то скрещивающиеся прямые лежат в двух параллельных плоскостях.

Принадлежность точки прямой линии

Точка принадлежит прямой, если ее проекции принадлежат соответствующим (одноименным) проекциям прямой (рис. 4.13).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.13. Принадлежность точки прямой линии:
K ∈ a Прямая линия в начертательной геометрии с примерамиK 1 ∈ a1 и K2 ∈ a2;
[K1K2 ]Прямая линия в начертательной геометрии с примерамих12

Определение натуральной величины отрезка. Способ треугольника

Отрезок [AB] - отрезок прямой общего положения. Ни одна из проекций отрезка не равна его натуральной величине.

На рис. 4.14 A1ABB1 - прямоугольная трапеция, наклонной стороной которой является отрезок [AB], высотой - его горизонтальная проекция [A1B1], основаниями - горизонтально-проецирующие прямые (AA1) и (BB1).

Если провести прямую (AB0) || (A1B1), то от трапеции A1ABB1 отсекается прямоугольный треугольник ABB0 с гипотенузой [AB], один катет которого [AB0 ] = [A1B1 ], другой - [BB0 ] равен разности высот точек A и B.
Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.14. Определение натуральной величины отрезка способом треугольника

На комплексном чертеже (рис. 4.15,а) прямоугольный треугольник строится непосредственно при горизонтальной проекции отрезка: ΔA1B1B' = ΔABB0 . Одним катетом прямоугольного треугольника является горизонтальная проекция [A1B1 ], вторым - разность высот точек A и B (отрезок [BB0 ] = [B1B']), гипотенуза [ A1B'] и будет равна натуральной величине отрезка [AB ].

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Рис. 4.15. Определение натуральной величины отрезка:
а - на горизонтальной проекции;
б - на фронтальной проекции

Аналогичные построения возможны и на фронтальной проекции (рис. 4.15,б), тогда одним катетом прямоугольного треугольника является фронтальная проекция[A2B2], а вторым - разность глубин точек A и B (отрезок [A2A']=[A1A0]), гипотенуза [ B2A']будет равна натуральной величине отрезка [AB ].

Таким образом, можно сформулировать общее правило:
 

Натуральная величина отрезка прямой определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, одним катетом которого является одна из проекций отрезка, а вторым - разность расстояний концов другой проекции отрезка относительно друг друга.

Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций

Относительно плоскостей проекций H, V и W прямые линии могут занимать различные положения и имеют соответствующие наименования, а на чертежах проекции этих прямых занимают относительно осей проекций x, y и z характерные положения. Следовательно, по чертежу прямой линии можно мысленно представить ее пространственное положение относительно плоскостей проекций, т. е. научиться «читать» чертеж прямой.

Прямые общего положения – не параллельны (и соответственно не перпендикулярны) плоскостям проекций H, V и W. Следовательно, на чертеже проекции прямых общего положения не параллельны (и не перпендикулярны) осям проекций x, y и z. Отсюда проекции прямых общего положения искажают их натуральную величину.

На рис. 2.1 изображены проекции прямой общего положения АВ, фронтальная A"B" и горизонтальная A'B' проекции которой расположены произвольно относительно оси проекций x, но не параллельны и не перпендикулярны оси x – это характерный признак прямой общего положения на чертеже! Профильная проекция A"'B"' прямой общего положения также должна быть не параллельна и не перпендикулярна осям проекций z и y, что и показывает построение.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Точка на прямой. Теорема о принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то на чертеже одноименные проекции точки лежат на одноименных проекциях прямой.

На рис. 1.4 показано построение проекций точки С, принадлежащей прямой АВ.

Прямые особого (частного) положения

Прямые уровня – прямые, параллельные одной плоскости проекций:

  • – фронтальные прямые – параллельные плоскости проекций V;
  • – горизонтальные прямые – параллельные плоскости проекций H;
  • – профильные прямые – параллельные плоскости проекций W.

На рис. 2.2 изображены проекции фронтальной прямой АВ и принадлежащей ей точки С. Запомните характерные признаки расположения проекций фронтальной прямой на чертеже:

  • – горизонтальная проекция A'B' параллельна оси проекций x;
  • – фронтальная проекция A"B" расположена к оси проекций x под углом φH, который определяет ее наклон к плоскости проекций H; фронтальная проекция A"B" определяет также натуральную величину этой прямой;
  • – профильная проекция A"'B"' по построению располагается параллельно оси проекций z. 

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.3 изображены проекции горизонтальной прямой CD и принадлежащей ей точки Е. Запомните характерные признаки расположения проекций горизонтальной прямой на чертеже:

  • – фронтальная проекция C"D" параллельна оси проекций x;
  • – горизонтальная проекция C'D' расположена к оси проекций x под углом φV, который определяет ее наклон к плоскости проекций V; горизонтальная проекция C'D' определяет также натуральную величину этой прямой;
  • – профильная проекция C"'D"' по построению располагается горизонтально (//y). 

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.4 изображены проекции профильной прямой EF и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки расположения проекций профильной прямой на чертеже:

  • – фронтальная проекция E"F" перпендикулярна оси проекций x (параллельна оси проекций z);
  • – горизонтальная проекция E'F' перпендикулярна оси проекций x;
  • – профильная проекция E"'F"' по построению расположена под углом φV к плоскости проекций V и под углом φH к плоскости проекций H; профильная проекция E'"F'" определяет также натуральную величину этой прямой. 

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Деление отрезка в заданном отношении

На рис. 2.4 показано построение горизонтальной проекции N' точки N, принадлежащей профильной прямой EF. Построение основано на одном из свойств параллельного проецирования: отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций.

Пусть точка N делит отрезок EF в каком-то отношении. Следовательно, проекции отрезка делятся в том же отношении. Если, например, дана фронтальная проекция N" точки N, принадлежащей отрезку EF, то для построения горизонтальной проекции N' на горизонтальной проекции E'F' отрезка нужно выполнить следующие графические действия:

  • – провести произвольную прямую m из любой вершины горизонтальной проекции E'F';
  • – отложить на этой прямой два отрезка: отрезок E'Fo, равный по величине фронтальной проекции E"F", и отрезок E'No, равный по величине E"N";
  • – соединить прямой точки Fo и F' на горизонтальной проекции;
  • – из построенной точки No провести прямую, параллельную прямой FoF', – точка N' и будет искомой.

Прямые проецирующие – перпендикулярные одной плоскости проекций (параллельные двум плоскостям проекций):

  • фронтально-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости проекций V (параллельные плоскостям проекций H и W);
  • горизонтально-проецирующие – перпендикулярные плоскости проекций H (параллельные плоскостям проекций V и W);
  • профильно-проецирующие прямые – перпендикулярные плоскости проекций W (параллельные плоскостям проекций H и V).

!!! Поскольку положение проецирующих прямых совпадает по направлению с проецирующим лучом к одной из плоскостей проекций, то одна из проекций прямых проецируется (вырождается) в точку. Говорят, что проецирующие прямые обладают «собирательным» свойством, так как их вырожденные проекции-точки «собирают», то есть представляют собой проекции всех точек, лежащих на этих прямых.

На рис. 2.5 изображены проекции фронтально-проецирующей прямой CD и принадлежащей ей точки N. Запомните характерные признаки расположения проекций фронтально-проецирующей прямой на чертеже:

  • – фронтальная проекция CD(C"D") представляет собой точку, т. е. фронтальные проекции точек C, D и N совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций V;
  • – горизонтальная проекция C'D' расположена перпендикулярно оси проекций x и определяет натуральную величину прямой;
  • – профильная проекция C"'D"' по построению располагается  перпендикулярно оси проекций z и также определяет натуральную величину прямой.

!!! Конкурирующие точки – точки, лежащие на одном проецирующем луче, называются конкурирующими.

На рис. 2.5 точки C, D и N на прямой CD являются конкурирующими и по их расположению на прямой относительно плоскости V (по координатам y) можно определить на горизонтальной проекции порядок их «видимости»: ближе к наблюдателю и дальше от плоскости V (с наибольшей координатой y) находится точка D, затем точка N и точка C.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.6 изображены проекции горизонтально-проецирующей прямой AB и принадлежащей ей точки C. Запомните характерные признаки расположения проекций горизонтально-проецирующей прямой на чертеже:

– горизонтальная проекция AB(A'B') представляет собой точку, т. е. горизонтальные проекции точек A, B и C совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций H;

– фронтальная проекция A"B" расположена перпендикулярно оси x и определяет натуральную величину прямой;

– профильная проекция A"'B"' по построению располагается параллельно оси z и также определяет натуральную величину прямой.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.7 изображены проекции профильно-проецирующей прямой EF и принадлежащей ей точки M. Запомните характерные признаки расположения проекций профильно-проецирующей прямой на чертеже:

  • – профильная проекция EF(E"'F"') представляет собой точку, т. е. профильные проекции точек E, F и M совпадают как лежащие на одном проецирующем луче к плоскости проекций W;
  • – фронтальная проекция E"F" расположена параллельно оси x и определяет натуральную величину прямой;
  • – горизонтальная проекция E'F' по построению также располагается параллельно оси x и также определяет натуральную величину прямой. 

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Определение по чертежу натуральной величины отрезка прямой общего положения способом прямоугольного треугольника и углов ее наклона к плоскостям проекций H и V.

Натуральной величиной заданного на чертеже отрезка прямой общего положения является гипотенуза построенного прямоугольного треугольника, одним катетом которого может быть горизонтальная (или фронтальная) проекция отрезка, а вторым катетом этого треугольника будет разница координат ∆z (или ∆y) конечных точек этого отрезка относительно оси проекций x.

На рис. 2.8 показано построение натуральной величины заданного отрезка AB способом прямоугольного треугольника относительно фронтальной и горизонтальной его проекций, для чего выполнен следующий графический алгоритм (графические действия):

  • 1-е действие. Провести перпендикулярную линию m к фронтальной проекции AB(A"B") отрезка. 
  • 2-е действие. На этой прямой линии отложить отрезок A"Ao, равный разнице координат ∆y конечных точек А(А') и В(B') отрезка относительно оси проекций x.
  • 3-е действие. Достроить гипотенузу AоB" треугольника, которая определяет искомую натуральную величину отрезка АВ.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Аналогичные построения выполнены относительно горизонтальной проекции отрезка A'B' – гипотенуза А'Bо также определяет натуральную величину заданного отрезка.

В построенных прямоугольных треугольниках углы между проекциями отрезка и гипотенузой определяют углы наклона прямой к плоскостям проекций H и V:

  • – угол φV между фронтальной проекцией A"B" отрезка и гипотенузой AoB" определяет наклон отрезка к плоскости проекций V;
  • – угол φH между горизонтальной проекцией A'B' отрезка и гипотенузой A'Bо определяет наклон отрезка к плоскости проекций H.

!!! В задачах по начертательной геометрии часто требуется построить на прямой общего положения, не имеющей второй конечной точки, проекции отрезка какой-либо заданной величины.

На рис. 2.9 показано построение на прямой n с одной конечной точкой A проекций отрезка AB заданной величины 25 мм, для чего выполнен следующий графический алгоритм (графические действия):

  • 1-е действие. Ограничить прямую n произвольным отрезком АК(А'K', A"K").
  • 2-е действие. Построить натуральную величину произвольного отрезка АК способом прямоугольного треугольника относительно, например, фронтальной проекции A"K" – это гипотенуза – A"Kо (см. рис. 2.9).
  • 3-е действие. На построенной натуральной величине A"Ko (гипотенузе) от точки A" отложить отрезок равный 25 мм и построить точку Bо.
  • 4-е действие. Из построенной точки Bо провести перпендикуляр на проекцию n" заданной прямой n и получить точку B", т. е. построить фронтальную проекцию А"В" отрезка АВ заданной величины 25 мм; по линии связи определить горизонтальную проекцию B' точки B, т. е. построить горизонтальную проекцию А'В' отрезка АВ заданной величины 25 мм.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Понятие о следах прямой

Следами прямой называются точки ее пересечения с плоскостями проекций.

На рис. 2.10 показано построение на чертеже фронтального и горизонтального следов прямой АВ и определено прохождение прямой по октантам пространства: из IV через I во II.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Взаимное положение двух прямых

Две прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекаться или скрещиваться. Запомните характерные признаки расположения на чертеже проекций двух различно расположенных прямых.

Параллельные прямые. Если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны.

На рис. 2.11 изображены параллельные прямые AB и CD. На чертеже фронтальные и горизонтальные проекции прямых параллельны: A"B"//C"D" и A'B'//C'D'.

Пересекающиеся прямые. Если прямые в пространстве пересекаются, то на чертеже проекции точки пересечения прямых лежат на одной линии связи.

На рис. 2.12 изображены проекции пересекающихся прямых EF и KN. Проекции точки их пересечения M(M",M') лежат на пересечении одноименных проекций прямых и на одной линии связи. 

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Скрещивающиеся прямые

Если две прямые не параллельны и не пересекаются, то они в пространстве скрещиваются. На чертеже их проекции могут накладываться, образуя конкурирующие точки, лежащие на одном проецирующем луче.

На рис. 2.13 изображены проекции двух скрещивающихся прямых АВ и CD. Их одноименные проекции накладываются и образуют четыре конкурирующие точки (2 пары):

  • – конкурирующие точки 1 и 2 лежат на одном проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций H, но принадлежат разным прямым: точка 1 принадлежит прямой AB, а точка 2 – прямой CD; горизонтальные проекции точек 1 и 2 совпадают;
  • – конкурирующие точки 3 и 4 лежат на проецирующем луче, перпендикулярном плоскости проекций V, но принадлежат разным прямым: точка 3 принадлежит прямой CD, а точка 4 – прямой AB; фронтальные проекции точек 3 и 4 совпадают.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

!!! Конкурирующие точки, как было сказано выше, позволяют наблюдателю определить по чертежу относительное расположение прямых по их удаленности от плоскостей проекций H и V:

  • – по конкурирующим точкам 1 и 2 при взгляде на них сверху вниз на плоскость H (по стрелке) видно, что точка 1 расположена выше точки 2 (координата z1 больше координаты z2), т. е. на горизонтальной проекции прямая АВ расположена над прямой CD;
  • – по конкурирующим точкам 3 и 4 при взгляде на них снизу вверх на плоскость V (по стрелке) видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю (координата y3 больше координаты y4), т. е. на фронтальной проекции прямая CD расположена перед прямой АВ.

Теорема о проекции прямого угла. Частное положение прямых – перпендикулярные прямые

Пересекающиеся прямые в пространстве могут быть расположены под прямым углом, т. е. взаимно перпендикулярно. Прямой угол между перпендикулярными прямыми может проецироваться на чертеж в натуральную величину при определенном условии.

Теорема о проекции прямого угла:

  • – если одна сторона прямого угла параллельна какой-либо плоскости проекций, а вторая сторона ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется в натуральную величину, т. е. прямым (90°).

На рис. 2.14 дано изображение, поясняющее теорему о проекции прямого угла. Две перпендикулярные прямые AB и AC, образующие плоскость β, проецируются на некоторую плоскость проекций H. Прямая AС по условию параллельна этой плоскости проекций. Доказательство теоремы основано на известной из геометрии теореме о трех перпендикулярах (обратная теорема): прямая n, проведенная в плоскости H перпендикулярно наклонной прямой АВ (nПрямая линия в начертательной геометрии с примерамиAB; n // A'C'), перпендикулярна и ее проекции; следовательно, угол B'A'C' – прямой.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

!!! Для решения многих задач начертательной геометрии требуется по условию строить проекции прямого угла.

На рис. 2.15, а, б показано построение на чертеже недостающей фронтальной проекции прямого угла KMN.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.15, а изображено графическое условие задачи: дана горизонтальная проекция K'M'N' прямого угла и фронтальная проекции M"N" одной стороны этого угла.

На рис. 2.15, б показано решение задачи: так как одна сторона MN прямого угла по условию является фронтальной прямой, т. е. параллельна фронтальной плоскости проекций V, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость V заданный прямой угол KMN должен проецироваться прямым; следовательно, фронтальную проекцию K"M" стороны KM прямого угла проводим перпендикулярно заданной фронтальной проекции стороны MN(M"N").

На рис. 2.16, а, б показано построение на чертеже недостающей горизонтальной проекции прямого угла ECD. 

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.16, а изображено графическое условие задачи: дана фронтальная проекция E"C"D" прямого угла и горизонтальная проекция C'D' одной стороны этого угла.

На рис. 2.16, б показано решение задачи: так как одна сторона CD прямого угла по условию является горизонтальной прямой, т. е. параллельна горизонтальной плоскости проекций H, то по теореме о проекции прямого угла на плоскость H заданный прямой угол ECD должен проецироваться прямым; следовательно, горизонтальную проекцию E'C' стороны угла EC проводим перпендикулярно заданной горизонтальной проекции стороны CD(C'D'). 

Структуризация материала второй лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 2.17 (лист 1). На последующих листах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 2.18–2.20).

Проекции прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций. Взаимное положение прямых. Способ прямоугольного треугольника. Теорема о проекции прямого угла

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямые обозначают на чертеже строчными буквами латинского алфавита: а, в, m, n и т.д. Отрезки прямых обозначаются прописными буквами: АВ, MN и т.д.

  • Знак пареллельности прямых: АВ // MN.
  • Знак пересечения прямых: АВ ∩ MN.
  • Знак скрещивающихся прямых: АВ Прямая линия в начертательной геометрии с примерами MN.

Прямая общего положения

Прямая общего положения и её проекции

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Следы прямой

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Деление отрезка в заданном отношении (например, 1:3)

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Теорема о принадлежности точки прямой: если точка принадлежит прямой, то на чертеже одноимённые проекции точки лежат на одноимённых проекциях прямой (см. рис. 2.1а, б; 2.4б).

Определение натуральной величины отрезка способом прямоугольного треугольника на чертеже

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямые частного положения

Горизонтальная прямая уровня: //H

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

 Фронтальная прямая уровня: //V

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Профильная прямая уровня: //W

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Горизонтально-проецирующая прямая: Прямая линия в начертательной геометрии с примерамиH

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Фронтально-проецирующая прямая: Прямая линия в начертательной геометрии с примерами V

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Профильно-проецирующая прямая: Прямая линия в начертательной геометрии с примерами W

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Взаимное расположение прямых

Параллельные прямые

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Пересекающиеся прямые

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Скрещивающиеся прямые

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Теорема о проекции прямого угла

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Теорема о проекции прямого угла: если одна сторона прямого угла пареллельна плоскости проекций (а вторая не параллельна и не перпендикулярна этой плоскости), то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется в виде прямого угла.

Знак перпендикулярности элементов: Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Задание прямой

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя точками или точкой и направлением. Поэтому на эпюре прямую можно задать проекциями ее отрезка (рис. 2.1), проекциями некоторой произвольной части прямой, не указывая концевых точек этой части (рис. 2.2), или указывая одну точку этой прямой (рис. 2.3).
Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая общего положения

Прямая общего положения не параллельна и не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций.

На эпюре проекции прямой общего положения составляют с осями проекций произвольные углы, поэтому величина каждой проекции меньше истинной величины самой прямой (см. рис. 2.1).

Прямые частного положения

Прямые, параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций, называют прямыми частного положения.

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций, а с двумя другими плоскостями образующая произвольные углы, называется прямой уровня. Различают три линии уровня:

  1. прямую, параллельную горизонтальной плоскости проекций; называют горизонтальной или горизонталью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами
  2. прямую, параллельную фронтальной плоскости проекций; называют фронтальной или фронталью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами
  3. прямую, параллельную профильной плоскости проекций; называют профильной Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Каждая линия уровня будет проецироваться в натуральную величину на ту плоскость проекций, которой она параллельна, углы наклона Прямая линия в начертательной геометрии с примерами которые эта прямая образует с двумя другими плоскостями проекций, также будут проецироваться на эту плоскость без искажения (рис. 2.4 - 2.6).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.4 видно, что все точки горизонтальной прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами удалены на одинаковые расстояния от плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами поэтому фронтальная проекция любой горизонтали параллельна оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами а профильная проекция параллельна оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Величины фронтальной и профильной проекций будут меньше натуральной величины самой прямой.

Эти отличительные особенности характерны и для фронтальной и профильной прямых.

Прямые уровня могут принадлежать плоскостям проекций. Такие прямые называют нулевой горизонталью и нулевой фронталью (рис. 2.7).

Прямые, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, а двум другим параллельные, называются проецирующими:

  1. горизонтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций (рис. 2.8);
  2. фронтально-проецирующая - прямая, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций (рис. 2.9);
  3. профильно-проецирующая - прямая, перпендикулярная профильной плоскости проекций (рис. 2.10).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.8 - 2.10 видно, что проекции прямых, перпендикулярных плоскостям проекций, на этих плоскостях представляют собой точки, а на тех плоскостях, которым прямые параллельны, проекции прямых будут перпендикулярны осям и равны по величине самим прямым.

Принадлежность точки прямой. Деление отрезка прямой линии в данном отношении

Если точка лежит на прямой, то ее проекции будут лежать на одноименных проекциях этой прямой.

На рис. 2.11 изображена прямая и три точки: Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами принадлежит прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - не принадлежат, т.к. Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.12 показано построение точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами принадлежащей профильной прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами если известна фронтальная проекция точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Для построения неизвестной горизонтальной проекции используется профильная проекция Прямая линия в начертательной геометрии с примерами отрезка прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Чтобы разделить отрезок прямой в данном отношении, достаточно разделить в этом отношении одну из проекции заданного отрезка, а потом с помощью линии связи перенести делящую точку на другие проекции отрезка.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

На рис. 2.13 точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами делит отрезок Прямая линия в начертательной геометрии с примерами в отношении Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Для этого из точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами проведена вспомогательная прямая, на которой отложено 5 равных отрезков произвольной длины.

Если необходимо разделить отрезок профильной прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами точкой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами заданной фронтальной проекцией Прямая линия в начертательной геометрии с примерами то выполняют следующие построения: из точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами проводят произвольную вспомогательную прямую, откладывают на ней Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Соединяют точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и параллельно прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами через точку 1 проводят прямую до пересечения с Прямая линия в начертательной геометрии с примерами в точке Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Это и будет недостающая проекция точки Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (рис. 2.14).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Определение длины отрезка прямой общего положения и углов наклона прямой к плоскостям проекций

Для определения натуральной величины отрезка прямой общего положения необходимо построить на чертеже прямоугольный треугольник, одним катетом которого является проекция отрезка на какую-либо плоскость проекций, а величина другого катета равна разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций, на которой взяли первый катет. Натуральная величина отрезка прямой будет равна гипотенузе этого треугольника. Угол между катетом-проекцией и гипотенузой равен углу наклона отрезка к этой плоскости проекций.

На рис. 2.15 показано проецирование отрезка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами на горизонтальную плоскость Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Через точку Прямая линия в начертательной геометрии с примерами проведена прямая Прямая линия в начертательной геометрии с примерами параллельная горизонтальной проекции отрезка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами В полученном прямоугольном треугольнике Прямая линия в начертательной геометрии с примерами катет Прямая линия в начертательной геометрии с примерами равен проекции Прямая линия в начертательной геометрии с примерами равен разности расстояний концов отрезка от плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Гипотенуза этого треугольника равна длине отрезка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Угол Прямая линия в начертательной геометрии с примерами в треугольнике Прямая линия в начертательной геометрии с примерами является углом наклона отрезка прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами к плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Для определения угла наклона отрезка прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами на фронтальной плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами строят прямоугольный треугольник аналогичным путем: через точку Прямая линия в начертательной геометрии с примерами проводят прямую Прямая линия в начертательной геометрии с примерами параллельную Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Катет Прямая линия в начертательной геометрии с примерамиПрямая линия в начертательной геометрии с примерами а второй катет Прямая линия в начертательной геометрии с примерами равен Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - разности расстояний точек Прямая линия в начертательной геометрии с примерами от плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (рис. 2.16).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Угол Прямая линия в начертательной геометрии с примерами в этом же треугольнике Прямая линия в начертательной геометрии с примерами является углом наклона прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами к плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Следы прямой линии

Прямая общего положения пересекает все плоскости проекций. Точки пересечения прямой линии с плоскостями проекций называют следами прямой. Точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - горизонтальный след прямой, точка Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - фронтальный. Горизонтальная проекция Прямая линия в начертательной геометрии с примерами горизонтального следа прямой совпадает с самим следом - точкой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами а фронтальная проекция этого следа Прямая линия в начертательной геометрии с примерами лежит на оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (рис. 2.17). Фронтальная проекция Прямая линия в начертательной геометрии с примерами фронтального следа прямой совпадает с точкой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами а горизонтальная проекция Прямая линия в начертательной геометрии с примерами лежит на оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Для построения горизонтального следа Прямая линия в начертательной геометрии с примерами прямой необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и в этой точке восстановить перпендикуляр до пересечения с горизонтальной проекцией прямой.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Для построения фронтального следа прямой продолжаем горизонтальную проекцию прямой до пересечения с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и восстанавливаем перпендикуляр к оси до пересечения с фронтальной проекцией прямой. С помощью этих правил на рис. 2.18 и рис. 2.19 построены следы прямых Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Так как следы прямых - точки, в которых прямая переходит из одной четверти в другую, то они позволяют определить видимость этой прямой. Та часть прямой, которая расположена в пределах первого октанта, будет видимой. Проекции видимой части прямой изображаются сплошными линиями, а невидимой - штриховыми.

На рис. 2.20 показано построение следов прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами в системе трех плоскостей проекций.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Построение горизонтального и фронтального следов выполняют по правилам, указанным выше, профильный след Прямая линия в начертательной геометрии с примерами находят как точку пересечения прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами с профильной плоскостью проекций. Профильная проекция профильного следа прямой совпадает с самим следом, горизонтальная проекция этого следа Прямая линия в начертательной геометрии с примерами лежит на оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами фронтальная проекция Прямая линия в начертательной геометрии с примерами лежит на оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Чтобы построить профильный след прямой, продолжают фронтальную проекцию прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами до пересечения с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Отмечают точку Прямая линия в начертательной геометрии с примерами и из этой точки проводят перпендикуляр к оси Прямая линия в начертательной геометрии с примерами до пересечения с профильной проекцией прямой. Эта точка и будет искомым следом Прямая линия в начертательной геометрии с примерами с которым совпадает Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Горизонтальная проекция Прямая линия в начертательной геометрии с примерами определяется как пересечение горизонтальной проекции прямой с осью Прямая линия в начертательной геометрии с примерами (рис. 2.21).

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Взаимное положение прямых

Прямые в пространстве могут занимать различное взаимное положение. Они могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися.

Если прямые в пространстве пересекаются, то на эпюре их одноименные проекции пересекаются, и точки пересечения проекций этих прямых лежат на одной линии связи (рис. 2.22).
Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Если прямые в пространстве параллельны, то на эпюре их одноименные проекции параллельны. На рис. 2.23 изображены прямые общего положения Прямая линия в начертательной геометрии с примерами их горизонтальные и фронтальные проекции параллельны между собой. Можно утверждать, что и в пространстве эти прямые параллельны. Но для профильных прямых этого условия недостаточно. Для определения их взаимного положения необходимо построить профильные проекции прямых. На рис. 2.24 горизонтальные и фронтальные проекции прямых Прямая линия в начертательной геометрии с примерами параллельны, но эти прямые не параллельны, что следует из взаимного положения их профильных проекций.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Если прямые в пространстве не пересекаются и не параллельны между собой, то такие прямые называются скрещивающимися. На эпюре точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи. Эти точки не являются общими для прямых (рис. 2.25). Точка пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых является на эпюре проекцией двух конкурирующих точек, принадлежащих заданным прямым.

Конкурирующие точки - это точки, лежащие на одном перпендикуляре к плоскости проекций. На эпюре (см. рис. 2.25) горизонтальные проекции конкурирующих точек Прямая линия в начертательной геометрии с примерами совпадают, но точка 1 принадлежит прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами а точка 2 - прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Из чертежа видно, что расстояния от плоскости Прямая линия в начертательной геометрии с примерами до точек 1 и 2 различны. Фронтальная проекция перпендикуляра, обозначенная стрелкой, позволяет определить, какая из точек расположена ниже. В данном примере точка 2, лежащая на прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами расположена ниже, чем точка 1, лежащая на прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Следовательно, прямая Прямая линия в начертательной геометрии с примерами проходит под прямой Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Точке пересечения фронтальных проекций соответствуют точки 3 и 4, расположенные на прямых Прямая линия в начертательной геометрии с примерами Горизонтальная проекция перпендикуляра, отмеченная стрелкой, позволяет определить, какая из этих точек ближе к наблюдателю. Из чертежа видно, что точка 3 расположена ближе к наблюдателю, чем точка 4. Поэтому прямая Прямая линия в начертательной геометрии с примерами проходит перед Прямая линия в начертательной геометрии с примерами

Проекции плоских углов

Плоский угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если его стороны параллельны этой плоскости проекций.

Для того чтобы прямой угол проецировался на плоскость в натуральную величину, необходимо и достаточно, чтобы одна из его сторон была параллельна, а другая не перпендикулярна плоскости проекций. Изображенный на рис. 2.26 угол Прямая линия в начертательной геометрии с примерами - прямой, одна его сторона Прямая линия в начертательной геометрии с примерами параллельна плоскости проекций Прямая линия в начертательной геометрии с примерами поэтому на эту плоскость он спроецировался в виде прямого угла, т.е. в натуральную величину.

Прямая линия в начертательной геометрии с примерами