Отображение пространственных объектов на плоскость с примерами

Содержание:

Используются общепринятые обозначения геометрических элементов пространства: точки обозначены прописными буквами латинского алфавита (A, B, C…) или арабскими цифрами (1, 2, 3…); прямые, кривые линии — строчными буквами латинского алфавита

Отображение пространственных объектов на плоскость

Начертательная геометрия изучает методы отображения объектов трехмерного пространства на плоскость и способы графических решений позиционных и метрических задач, связанных с этими объектами, по их плоским отображениям (моделям).

Простейшим объектом (элементом) пространства является точка. Точки могут быть собственными и несобственными (бесконечно удаленными). На модели стрелкой будем обозначать направление на несобственную точку. Все остальные геометрические объекты (линия, плоскость, поверхность…) можно представить как множество точек. Для моделирования объектов трехмерного пространства будем использовать операцию проецирования.

Операция проецирования

Выберем в пространстве точку — центр проецирования и плоскость — плоскость проекций Центр и плоскость проекций представляют собой аппарат проецирования.

Для построения проекции произвольной точки А исходного пространства выполним следующие операции:

• 1). Через центр и точку А проведем прямую a;
• 2). Отметим точку пересечения прямой a с плоскостью

Полученная точка называется проекцией точки A на плоскостьиз центра Аналогично строятся проекции других точек пространства.

Прямая линия — a, проходящая через центр называется проецирующей прямой и на плоскости проекций отображается (проецируется) точкой.

В зависимости от положения центра проецирование может быть центральным или параллельным. Когда является собственной точкой пространства, получаем аппарат центрального проецирования (см. рис. 1.). При центральном проецировании проекцией несобственной точки в общем случае является собственная точка Удалив центр проецирования в бесконечность, получим аппарат параллельного проецирования (рис. 2). При параллельном проецировании проекцией несобственной точки всегда будет несобственная точка

Если направление параллельного проецирования составляет с плоскостью угол то получаем аппарат косоугольного проецирования.

В частном случае параллельного проецирования, когда угол т. е. проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, получаем аппарат прямоугольного (ортогонального) проецирования.

Свойства параллельного проецирования:

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекцией прямой является прямая линия. Проекция проецирующей прямой вырождается в точку.
3. Инцидентность (взаимопринадлежность) точек и линий сохраняется. Из этого свойства вытекает следствие: проекции пересекающихся между собой линий пересекаются в точке, которая является проекцией точки пересечения этих линий.
4. Проекции параллельных прямых параллельны между собой.
5. Отношение длин проекций двух параллельных отрезков равно отношению длин проецируемых отрезков.
6. Параллельная проекция фигуры, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна (равна) самой фигуре.
7. При параллельном ортогональном проецировании прямой угол проецируется прямым на плоскости проекций, если одна из его сторон является линией уровня, а другая не перпендикулярна этой плоскости.

Рассмотренные модели, полученные методом центрального или параллельного проецирования, являются необратимыми. Множеству точек, расположенных на проецирующей прямой a, на плоскости проекций соответствует одна точка — Из этого следует, что одной и той же проекции объекта на картине будет соответствовать в пространстве множество объектов. Для получения обратимой модели, по которой можно восстановить форму, размеры и положение объекта в пространстве, используют метод двух изображений.

Метод Монжа

Французский математик Гаспар Монж (1746–1818) предложил получать отображения предметов пространства, используя прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости.

На рис. 3, а изображены две взаимно перпендикулярные плоскости —

Плоскость называется фронтальной плоскостью проекций, а — горизонтальной плоскостью проекций. Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций.

Проецирование на плоскости из соответствующих центров и — ортогональное. Для перехода к плоской модели эпюру Монжа будем поворачивать плоскость вокруг оси до совмещения с плоскостью

Моделирование точки на эпюре Монжа

Модель точки А на эпюре Монжа представляет собой пару точек и расположенных на одной линии связи, перпендикулярной оси (рис. 3, б). Рассмотрим возможные положения проекций точек на эпюре Монжа относительно оси x12 в зависимости от их положения в исходном пространстве относительно плоскостей проекций На рис. 4 показано расположение точек А, В, С, D соответственно в I, II, III и IV четвертях пространства, а на эпюре Монжа (рис. 5, а) даны возможные варианты расположения их проекций относительно оси

Все точки биссекторной плоскости II и IV четверти моделируются тождественно совпавшими проекциями (рис. 5, б). Эта плоскость называется тождественной плоскостью.

• Чертежи на заказ

Моделирование декартовой пространственной системы координат на эпюре Монжа

Для определения местоположения точки в пространстве будем использовать прямоугольную декартову систему координат (xyz), которая представляет собой три взаимно перпендикулярные оси. На рис. 6 стрелками показано положительное направление осей координат. Оси координат образуют следующие координатные плоскости:

• (xOz) — фронтальная координатная плоскость;
• (xOy) — горизонтальная координатная плоскость;
• (yOz) — профильная координатная плоскость.

В этой системе точка A задается координатами Координаты точки могут быть как положительными, так и отрицательными.

Для моделирования системы координат на эпюре Монжа выполним следующие операции:

• совместим координатную плоскость (xOz) с фронтальной плоскостью проекций а координатную плоскость (xOy) с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 7);
• осуществим переход к одной плоскости — эпюру Монжа.

На рис. 8 отображены проекции осей координат x, y, z, а также проекции точки А.

Очевидно, что фронтальная проекция точки А будет определяться координатами а горизонтальная проекция — координатами

Положительные значения будут отмечаться от точки влево, вниз и вверх на проекциях соответственно, отрицательные же значения — от точки вправо, вверх и вниз на проекциях соответственно.

На рис. 9 представлены проекции точек А, В, С, D с координатами: А(30, 40, 30); В(60, -40, 20); С(40, -20, -20); D(10, 10, -30).

Как известно, две проекции точки вполне определяют ее положение в пространстве. Однако при решении задач начертательной геометрии, а также при построении технических чертежей объектов часто используют профильную плоскость Проецирование на плоскость , так же как и на плоскости ортогональное.

При моделировании прямоугольной системы координат будем совмещать плоскость с координатной плоскостью (yOz) (рис. 10), тогда профильная проекция точки А определится координатами При переходе к плоской модели будем поворачивать плоскость вокруг оси до совмещения с плоскостью

Так как координата будет общей для проекций и а координата — для проекций , то положение проекции на плоской модели можно определить следующим образом:

через точку провести прямую (линию связи) перпендикулярно прямой (рис. 11); на линии связи от прямой отложить расстояние, равное по значению координате или, другими словами, измерить расстояние от проекции до оси и отложить это значение по линии связи от оси