Взаимное положение прямой и плоскости с примерами

Содержание:

Проекции прямого угла:

Величина угла между двумя пересекающимися прямыми в общем случае на проекциях искажается. В натуральную величину этот угол будет проецироваться в том случае, если плоскость угла параллельна одной из плоскостей проекций. Тогда другие проекции сторон угла совпадают и параллельны оси проекций (рисунок 2.1).

Прямой угол проецируется в натуральную величину, если одна из его сторон параллельна одной из плоскостей проекций (рисунок 2.2).

Взаимное положение примой и плоскости, двух плоскостей

Прямая относительно плоскости может занимать следующие положения: лежать в плоскости (что рассматривалось ранее); быть ей параллельна; пересекать плоскость; быть перпендикулярной плоскости (т.е. пересекать под прямым углом).

Две плоскости могут быть:

• взаимно параллельными,
• пересекающимися;
• взаимно перпендикулярными.

Перпендикулярность примой и плоскости

Условие перпендикулярности прямой и плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым лежащим в этой плоскости.

Так как прямой угол между прямыми линиями проецируется на плоскость проекций без искажения, если одна из прямых параллельна этой плоскости проекций, то пересекающимися прямыми плоскости, которые нужно взять для построения перпендикуляра, могут быть только ее горизонталь и фронталь.

Следовательно, прямая перпендикулярна плоскости, если ее фронтальная проекция перпендикулярна фронтальной проекции фронгали плоскости, а горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости.

На рисунке 2.3 через точку проведена прямая, перпендикулярная плоскости

В плоскости проведены горизонталь и фронталь, затем через проведена горизонтальная проекция перпендикуляра под прямым углом к а через точку фронтальная проекция перпендикуляра иод прямым углом к Прямые есть проекции искомого перпендикуляра р.

Перпендикулярности двух плоскостей

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них содержи! перпендикуляр к другой.

Пусть через данную прямую т необходимо провести плоскость, перпендикулярную плоскости а. заданной треугольником (рисунок 2.4).

Для решения задачи достаточно на прямой т взять произвольную точку А и провести через нее прямую р, перпендикулярную данной плоскости .

Пересекающиеся прямые m и р образуют плоскость которая содержит прямую р, перпендикулярную плоскости следовательно, плоскости (i и  взаимно перпендикулярны.

Параллельность прямой и плоскости

Условие параллельности прямой и плоскости:

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей этой плоскости.

Рассмотрим пример решения задачи на параллельности прямой и плоскости.

Задача: построить фронтальную проекцию прямой n, проходящей через точку А и параллельной 

Для решения задачи:

Проводим горизонтальную проекцию прямой в плоскости

Строим фронтальную проекцию

Через точку проводим параллельную Таким образом получим:  

Параллельность двух плоскостей

Условие параллельности двух плоскостей:

• две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Изображенные на рисунке 2.6 плоскости взаимнопараллельныe, т.к. Пересечение прямой и плоскости

Задача на нахождение точки пересечения прямой линии с плоскостью является первой основной позиционной задачей курса начертательной геометрии.

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.7):

1.    Прямую заключаем во вспомогательную плоскость (удобнее всего в проецирующую);

2.    Находим линию пересечения (1-2) вспомогательной плоскости с заданной

3.    Отмечаем точку пересечения К найденной линии пересечения (1-2) с заданной прямой

4.    Определяем видимость прямой На основании данного алгоритма определим точку пересечения прямой с плоскостью (рисунок 2.8) и с плоскостью

Пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии, поэтому для её построения достаточно найти две точки одновременно принадлежащие двум плоскостям.

Рассмотрим несколько случаев построения линии пересечения двух плоскостей.

1-й случай - пластины непрозрачные заданы с нахлёстом (рисунок 2.10).

Задача сводится к нахождению точек пересечения прямых m и n с плоскостью а. Соединив точки пересечения К и М получим линию пересечения плоскости  с плоскостью Видимость определяется по конкурирующим точкам.

2-й случай - плоскости заданы на некотором расстоянии, что не дает возможность определить линии пересечения двух плоскостей первым способом. В этом случае используется метод плоскостей-посредников.

Алгоритм решения задачи (рисунок 2.11):

1. Заданные плоскости рассекаем вспомогательной плоскостью посредником
2. Определяем линию пересечения 1-2 плоскости а с плоскостью а и линию пересечения 3-4 плоскости с плоскостью
3. Определяем точку К - точку пересечения линий 1-2 и 3-4, принадлежащую плоскостям
4. Аналогичным образом находим точку L с помощью плоскости посредника
5. Соединив две точки К и М, получим линию пересечения двух плоскостей

Видимость при этом не определяется.

3-й случай - пересекающиеся плоскости общего положения заданы следами пересекающимися в пределах чертежа (рисунок 2.12).

В данном случае в качестве плоскостей-посредников могут быть использованы плоскость проекций.  

Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

Так как секущая плоскость горизонтально-проецирующая, то фронтальную проекцию сечения можно построить, определив точку пересечения каждого ребра с плоскостью о (рисунок 2.13)

Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут принадлежать одна другой; быть параллельны или пересекаться.

Пересечение плоскостей. Линия пересечения двух плоскостей -прямая. Положение прямой в пространстве определяют две точки. Чтобы найти линию пересечения плоскостей, достаточно знать две точки, принадлежащие двум плоскостям одновременно.

Пересечение плоскости общего положения с плоскостью частного положения

На рис. 27 показано построение линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости Р  с плоскостью треугольника AВС.
Так как линия пересечения двух плоскостей принадлежит фронтально-проецирующей плоскости Р, то ее фронтальная проекция совпадает с фронтальным следом плоскости Р. Горизонтальная проекция искомой линии пройдет через точки и расположенные на горизонтальных проекциях AВ  и АС соответствующих сторон треугольника (рис. 27).

Пересечение двух плоскостей общего положения

Задача.   Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения 

Алгоритм решения задачи (рис. 28)

1. Вводим вспомогательную секущую плоскость Q  общего положения  
2. Находим линии пересечения вспомогательной плоскости Q с двумя заданными Р  и Т: 
3. Определяем точку пересечения построенных линий:  Точка М  принадлежит  одновременно плоскостям  Р  и Т, следовательно, она принадлежит линии их пересечения.
4. Для нахождения второй общей точки вводим еще одну секущую плоскость и повторяем построения (п.2, п.З). Решение этой задачи на эпюре показано на рис. 29:

Согласно алгоритму решения задачи проводим вспомогательные секущие плоскости частного положения - их фронтальные следы). Вспомогательные плоскости пересекают заданные плоскости по линиям А-1, 2-3 и 4-5, 6-7. В пересечении этих линий будут точки  принадлежащие линии пересечения двух плоскостей. На рис. 30, а плоскости общего положения Р и Q заданы следами. Линия их пересечения MN пройдет через точки пересечения одноименных следов плоскостей. В точке N  пересекаются фронтальные следы плоскостей, в точке М -горизонтальные. Проекциями линии пересечения будут прямые и  На рис. 30,6 показано построение линии пересечения плоскостей на эпюре.

Плоскости параллельны

Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости.

Изображенные на рис. 31 плоскости и   параллельны, т.к.  

Плоскости общего положения также параллельны, если два любых одноименных следа параллельны между собой.

Изображенные на рис. 32 плоскости Р и Q параллельны, т.к.

Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая может лежать в плоскости, пересекать плоскость и быть параллельной плоскости.

Пересечение прямой линии с плоскостью частного положения

Если заданная плоскость перпендикулярна к какой-либо плоскости проекций (рис.33, а), то она проецируется на эту плоскость проекций в виде прямой линии, на которой обязательно будут находиться соответствующие проекции всех точек, принадлежащих данной плоскости, в том числе и проекции точки пересечения какой-то прямой с заданной плоскостью (точка встречи прямой с плоскостью). Поэтому точка встречи прямой с плоскостью частного положения находится па эпюре без дополнительных построений (рис. 33,6).

На рис. 34 точка встречи прямой EF с горизонтально-проецирующей плоскостью, заданной треугольником ABC, является точкой пересечения горизонтальных проекций  и прямой и  треугольника. Фронтальная проекция  точки пересечения лежит на линии проекционной связи, проведенной из точки до пересечения с фронтальной проекций прямой EF.  Принято считать, что всякая плоскость (в том числе и плоскость проекций) непрозрачна. Поэтому часть прямой, которая находится за плоскостью, является невидимой и показана на эпюрах (рис. 33,6; 34) штриховой линией.

• Заказать чертежи

Определение видимости на эпюрах

Вопрос о видимости линий или поверхностей всегда может быть сведен к вопросу о видимости точек. Если несколько точек находятся на общей для них линии связи, то видимой будет только одна из них — наиболее удаленная от той плоскости проекций, по отношению к которой определяется видимость.

Точки, расположенные на одной линии связи, называются конкурирующими. Точки А, В и С, D — конкурирующие (рис. 35).

Относительно плоскости проекций видимой будет точка А; относительно плоскости проекций видимой будет точка D,  т. е. относительно плоскости видимой будет та точка, фронтальная проекция которой находится дальше от оси а относительно плоскости видимой будет та точка, горизонтальная проекция которой находится дальше от оси Аналогично: относительно плоскости видимой будет та точка, горизонтальная проекция которой будет находиться дальше от оси

Пересечение прямой линии с плоскостью общего положения

Точку пересечения прямой линии АВ  с плоскостью общего положения Р (рис. 36) находят следующим образом:

• а)    через заданную прямую АВ  проводим некоторую вспомогательную плоскость Q, обычно плоскость частного положения;
• б)    строим линию пересечения 1-2 заданной плоскости Р  и вспомогательной Q;
• в)    находим положение точки пересечения данной прямой АВ  и линии пересечения 1-2 плоскостей (точки К).
• г)    определяем видимость прямой АВ  по отношению к плоскости Р.

Пошаговые построения по определению точки пересечения прямой АВ с плоскостью треугольника CDE  на эпюре приведены на рис. 37 (а-в).

Видимость прямой АВ относительно плоскости Р (рис. 37,г) определяем с помощью двух пар конкурирующих точек и Рассматривая пару точек 1  и  1' , конкурирующих относительно горизонтальной плоскости проекций, видим, что точка выше. Точка следовательно, прямая АВ  расположена выше плоскости, поэтому относительно плоскости часть прямой видима, а ее часть закрыта плоскостью.

Аналогично, используя конкурирующие точки и определяем видимость прямой АВ  и плоскости по отношению к фронтальной плоскости проекций.

Задачи, на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение прямой с плоскостью.

Одна из изображенных на рис. 38 плоскостей задана треугольником AВС, а вторая — двумя параллельными прямыми с  и  f.

Линия пересечения этих плоскостей (линия MN) определена при помощи построения точек встречи прямых с  и  f  с плоскостью треугольника. Для этого через прямую с проведена фронтально - проецирующая плоскость S. Прямая  1-2 — линия пересечения плоскости треугольника  с вспомогательной фронтально-проектирующей плоскостью S. Точка М — точка встречи прямой с   с плоскостью треугольника AВС.

Точка N  найдена аналогично. Прямая MN — искомая. Видимость на рис. 86 определена из условия, что заданные плоскости ограничены треугольником и двумя параллельными прямыми, определяющими их.

Прямая параллельна плоскости

Если прямая линия параллельна какой-либо прямой, находящейся в плоскости, то она параллельна этой плоскости. Следовательно, для построения прямой, параллельной заданной плоскости, надо взять в этой плоскости какую - либо прямую и построить ей параллельную.

На рис. 39 через точку С проведена прямая d, параллельная плоскости Р, заданной пересекающимися прямыми т и п.

Прямая d параллельна прямой  n, принадлежащей плоскости следовательно, прямая d параллельна этой плоскости:

Прямая перпендикулярна плоскости

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Чтобы построить перпендикуляр из точки D на плоскость треугольника AВС (рис.40) необходимо предварительно построить
горизонталь и фронталь плоскости Горизонтальная проекция перпендикуляра пройдет через точку перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали а фронтальная проекция — перпендикулярно к фронтальной   проекции фронтали

Если же плоскость задана следами, то, учитывая, что фронтальная проекция любой фронтали в этой плоскости всегда параллельна фронтальному следу плоскости, а горизонтальная проекция любой горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости, легко видеть (рис. 41), что проекции перпендикуляра к плоскости должны быть перпендикулярны соответствующим следам плоскости.

Плоскости перпендикулярны

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если одна из них проходит через перпендикуляр к другой. На рис. 42 через прямую АВ  проведена плоскость, перпендикулярная плоскости треугольника CDE. Для этого из точки В прямой АВ восстановлен перпендикуляр ВК к плоскости треугольника — фронталь и горизонталь плоскости треугольника CDЕ ). Плоскость, определяемая пересекающимися прямыми АВ и ВК— искомая.

Если возникает необходимость в построении взаимно перпендикулярных прямых общего положения, необходимо построить плоскость, перпендикулярную заданной прямой, и взять в ней любую прямую.

Задача.

Через точку М  провести прямую, перпендикулярную прямой

Для построения взаимно перпендикулярных прямых (рис. 43), одна из которых задана, а вторая (чтобы задача имела единственное решение) должна проходить через какую-либо определенную точку М, надо выполнить следующее:

• а)  через заданную точку M проводим плоскость  перпендикулярную заданной прямой
• б)  находим точку пересечения заданной прямой с построенной плоскостью Q — точку К (для этого прямую заключаем    во вспомогательную фронтально -проецирующую плоскость Р);
• в)   соединяем заданную точку М  с найденной точкой К прямой линией. Эта линия МК и будет искомой.

 

Задача:

Определить расстояние от точки до плоскости, заданной треугольником ABC (рис.44)

Расстояние от точки до плоскости определяется длиной перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость. Поэтому решение этой задачи выполняем в следующей последовательности:

1. Из точки D опускаем перпендикуляр на плоскость треугольника AВС  (рис.44, а), для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь и фронталь затем из точки опускаем перпендикуляр на - получаем фронтальную проекцию перпендикуляра; а из точки -на - получаем горизонтальную проекцию перпендикуляра к плоскости

2.    Находим точку пересечения перпендикуляра с плоскостью  заключаем перпендикуляр во вспомогательную секущую плоскость Р; строим линию пересечения плоскости с плоскостью Р; определяем искомую точку К в пересечении перпендикуляра и построенной линии пересечения 3-4 (рис. 44,6).

3.    Методом прямоугольного треугольника    определяем натуральную величину отрезка DK, для чего в плоскости (рис. 44,в) строим прямоугольный треугольник один катет которого является горизонтальной проекций перпендикуляра, а второй равен разности высот точек D и К. Гипотенуза  построенного треугольника определяет искомое расстояние от точки D до плоскости треугольника ABC.