Способы преобразования проекций в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Способы преобразования проекций:

Задачи, связанные с определением истинных размеров изображённых геометрических элементов, решаются способом преобразования проекций. Он основан на переходе от общих случаев к частным случаям положения этих элементов по отношению к плоскостям проекций. Такой переход можно осуществить:

1. изменением положения рассматриваемого геометрического элемента по отношению к неизменной системе плоскостей проекций;
2. переменной плоскостей проекций при неизменном положении рассматриваемого геометрического элемента в пространстве.

Способы преобразования проекций

Критерием рациональности решения графических задач является максимальная точность и наглядность, достигнутая при минимальном объеме построений.

Решение, как правило, получается наиболее простым и наглядным, если объекты проецирования занимают одно из частных положений относительно плоскостей проекций. В начертательной геометрии разработан ряд способов, позволяющих любую конкретную графическую задачу привести к частному виду и применить типовой алгоритм ее решения.

Это можно сделать двумя способами:

• изменить положение в пространстве рассматриваемого геометрического элемента путем его вращения вокруг одной или нескольких осей, оставив неизменным положение плоскостей проекций;
• ввести одну или несколько дополнительных плоскостей проекций, оставив неизменным положение геометрического элемента.

Рассмотрим оба способа на конкретных примерах.

Метод вращения

Сущность метода заключается в том, что заданный геометрический элемент вращением вокруг некоторой неподвижной примой (оси вращения) приводят в положение, удобное для решения поставленной задачи.

Ось вращения может быть выбрана произвольно, но чаще всего её располагают параллельно или перпендикулярно к плоскости проекций.

Рассмотрим случай вращения точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости 

Пусть даны (см. Рнс.6.1, а) косоугольная проекция точки А, её вторичные проекции и , косоугольная проекция прямой , перпендикулярной к плоскости и её проекция на плоскость (точка ). Будем вращать вокруг прямой точку А. При этом она будет перемещаться по окружности в плоскости, перпендикулярной к этой прямой. Радиусом данной окружности является перпендикуляр, опущенный из точки на прямую. В нашем случае точка А будет вращаться по окружности в плоскости, параллельной плоскости . Поэтому горизонтальную проекцию радиуса вращения получим, соединяя прямой точку с точкой . Проведя найдём косоугольную проекцию радиуса вращения. Пусть точка А вращением вокруг оси переместится в точку .Траектория движения в натуре - дуга окружности ( в косоугольных проекциях - часть эллипса). На плоскость траектория движения точки спроецируется без искажения, а на плоскость - в виде прямой, параллельной оси ох. Изображение горизонтальной проекции точки А переместится в точку , а изображение её фронтальной проекции - в точку  

Итак, при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости её горизонтальная проекция перемещается по окружности, а фронтальная проекция - по прямой, параллельной оси ох.

В прямоугольных проекциях (см. Рис.6.1, б) при вращении точки вокруг оси  перпендикулярной к плоскости горизонтальная проекция точки будет перемещаться по дуге окружности радиуса , а фронтальная её проекция - по прямой, параллельной оси ох.

При повороте на угол (или ) проекции и точки переместятся, соответственно, в точки

Аналогичными построениями можно показать, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости , фронтальная проекция точки будет перемещаться по дуге окружности, а её горизонтальная проекция - по прямой, параллельной оси ох.

Вращение отрезка прямой может быть выполнено в соответствии с правилами вращения точки. Пусть требуется повернуть на некоторый угол (прямую вокруг оси перпендикулярной к плоскости (см. Рис.6.2).

Переместим каждую из горизонтальных проекций точек А и В по дугам окружностей с центром в точке на заданный угол . Соединяя полученные точки и прямой, получим горизонтальную проекцию отрезка АВ, повёрнутого вокруг оси о на угол . Фронтальные проекции и  переместятся по прямым, параллельным оси ох, и займут положения и .

Отметим, что при вращении отрезка прямой вокруг оси, перпендикулярной к плоскости , горизонтальная проекция его не изменяет длины, так как. Используем это обстоятельство на практике. Пусть даны  и ось вращения перпендикулярная к плоскости (Рис.6.3). Требуется повернуть прямую АВ вокруг оси на некоторый угол .

Опустим перпендикуляр из горизонтальной проекции оси вращения на горизонтальную проекцию отрезка. Полученную точку повернём вокруг оси на угол Через точку проведём прямую, перпендикулярную к , на которой отложим отрезки и соответственно равные отрезкам и   . Получим новую горизонтальную проекцию  отрезка АВ. Фронтальная проекция строится по аналогии с предыдущим примером.

Наиболее просто вращение отрезка осуществляется вокруг оси, пересекающей этот отрезок, так как точка их пересечения остаётся неподвижной.

Определим методом вращения истинную длину отрезка прямой общего положения (Рис.6.4). Для этого следует повернуть заданный отрезок так, чтобы он расположился параллельно какой - либо плоскости координат. Проведём ось вращения перпендикулярно к плоскости через точку В отрезка. Фронтальная проекция оси изобразится в виде прямой , перпендикулярной к оси ох, а горизонтальная проекция её - точка , совпадает сточкой 

При вращении отрезка АВ точка остаётся неподвижной, а точку А переместим в положение А, когда горизонтальная проекция   будет параллельна оси ох. Новой фронтальной проекцией отрезка будет отрезок В этом положении отрезок ВА параллелен плоскости и, следовательно, проецируется на неё в истинную длину, то есть - истинная длина отрезка.

Отметим, что при определении истинной длины отрезка методом вращения одновременно определяется угол наклона этого отрезка к одной из плоскостей координат. В нашем случае угол - угол наклона отрезка АВ к плоскости . Для определения угла наклона отрезка прямой к плоскости следует его вращать вокруг оси, перпендикулярной к плоскости так, чтобы он расположился параллельно плоскости .

Для того чтобы повернуть плоскость вокруг некоторой оси, достаточно повернуть вокруг неё геометрические элементы, определяющие её положение. Пусть требуется повернуть плоскость общего положения вокруг осиперпендикулярной к плоскости на некоторый угол (Рис.6.5).

Для получения изображения горизонтального следа плоскости  повёрнутой вокруг оси , опустим перпендикуляр из горизонтальной проекции оси вращения на след  Полученную точку повернём вокруг оси на угол и, через точку проведём прямую, перпендикулярную к  Эта прямая и будет новым горизонтальным следом . В точке пересечения с осью ох найдём новую точку схода следов . Для построения нового фронтального следа необходимо найти ещё одну точку, принадлежащую этому следу. Такой точкой будет фронтальная проекция фронтального следа любой прямой, лежащей в плоскости в новом её положении. Обычно в качестве такой прямой берут горизонталь , пересекающую ось вращения. Новой горизонтальной проекцией горизонтали будет прямая  проведённая через точку параллельно следу . Новой фронтальной проекцией горизонтали будет прямая , на которой нетрудно найти точку - новый фронтальный след горизонтали. Новый фронтальный след  плоскости получим, проведя прямую через точки и .

Построение нового фронтального следа плоскости значительно упрощается, если ось вращения перпендикулярна к плоскости и лежит в плоскости .

В этом случае новый горизонтальный след  плоскости повёрнутой вокруг оси, находится так же, как и в предыдущем примере и  Второй точкой ( кроме ) для проведения нового фронтального следа плоскости будет точка  так как она не изменяет своего положения при повороте следа.

Вращение плоскости вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям координат, осуществляют при решении задач приведения плоскости общего положения в частное положение, например, перпендикулярное одной из плоскостей проекций.

Рассмотрим случай вращения плоскости, заданной плоской фигурой, например треугольником ABC (Рис.6.7). Требуется методом вращения эту плоскость фронтально - проецирующей. Вращение такой плоскости может быть осуществлено, в частности, вращением трёх вершин треугольника. Однако с целью упрощения построений ось вращения проводят через одну из вершин плоской фигуры. Угол, на который следует повернуть треугольник, определяется из условия, что любая горизонталь фронтально - проецирующей плоскости перпендикулярна к плоскости  т.е. проецируется на плоскость в точку. Проведём через вершину С  треугольника горизонталь и повернём её вокруг оси , проходящей через точку С, на такой угол, при котором её горизонтальная проекция будет перпендикулярна к оси ох. Далее вращением вокруг оси горизонтальные проекции и точек А и В на тот же угол. Это построение проще выполнить, проведя из точки С, как из центра, дуги окружностей радиусами и и сделав на этих дугах засечки из точки радиусами

Треугольник будет искомой горизонтальной проекцией треугольника после его вращения. Построив новые фронтальные проекции точек А и В в соответствии с правилами, рассмотренными ранее, получим новую фронтальную проекцию треугольника ABC в виде прямой линии .

Если необходимо сделать плоскость общего положения горизонтально-проецирующей, то следует её вращать вокруг оси, перпендикулярной к плоскости до положения, при котором фронтальный след плоскости или фронтальная проекция любой её фронтали будут перпендикулярны к оси ох .

Метод вращения позволяет сделать плоскость общего положения, параллельной плоскости координат. Это можно осуществить двумя способами:

1. последовательным вращением плоскости вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекций;
2. вращением плоскости вокруг горизонтали или фронтали.

Не рассматривая подробно первый способ, отметим лишь возможность его применения в предыдущей задаче (см. Рис.6.7), где полученную фронтально - проецирующую плоскость (треугольника ) можно повернуть ещё раз вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проходящей, например, через точку А до положения, параллельного плоскости  В этом положении треугольник спроецируется на плоскость в истинную величину

Установим, как перемещаются проекции точек при вращении вокруг произвольной горизонтали. При вращении точки вокруг горизонтали MN (см. Рис.6.8) точка В будет перемещатся по дуге окружности в плоскости, проходящей через точку В и перпендикулярной к MN, т.е. в горизонтально - проецирующей плоскости Горизонтальнай след   этой плоскости проходит через точку и перпендикулярен к горизонтальной проекции горизонтали. Радиусом вращения точки В будет перпендикуляр ВО, опущенный из точки В на MN.

Если привести радиус вращения ВО в положение, параллельное плоскости  то он спроецируется на эту плоскость отрезком  совпадающим со следом и по длине равным ВО.

Рассмотрим задачу определения истинной величины плоской фигуры вращением вокруг горизонтали. Пусть задан треугольник ABC (см. Рис.6.9) двумя проекциями или  Требуется определить его истинную величину. Осью вращения выбираем горизонталь  Для определения истинной величины треугольника следует привести его вращением вокруг горизонтали АЕ в положение, параллельное плоскости . Новой фронтальной проекцией треугольника будет прямая, совпадающая с фронтальной проекцией горизонтали (на Рис.6.9 не показана). Построим новую горизонтальную проекцию треугольника ABC. Для этого сначала найдём новую горизонтальную проекцию вершины В. Радиус вращения точки В в начальном положении треугольника проецируется на плоскость отрезком , перпендикулярным к  а на плоскость - отрезком Когда точка В расположится в плоскости, параллельной плоскости и проходящей через горизонталь АЕ, радиус спроецируется на плоскость отрезком , перпендикулярным к и равным собственной длине. Последнюю обычно определяют способом треугольника, откладывая на перпендикуляре к разность недостающих координат ( прямые, отмеченные волнистым знаком ~ ). Полученная точка будет новой искомой горизонтальной проекцией вершины В треугольника. Так как точка Е стороны ВС неподвижна, то точка найдётся в пересечении продолжения с продолжением перпендикуляра, опущенного из точки на  Новая горизонтальная проекция вершины А совпадает с точкой

Треугольник является искомой истинной величиной треугольника ABC.

Вращение вокруг фронтали по существу аналогично вращению вокруг горизонтали. При этом такую фигуру располагают в плоскости, параллельной плоскости и строят её новую фронтальную проекцию.

Метод перемены плоскостей проекций

Сущность метода заключается в том, что заданный геометрический элемент проецируется на новую плоскость проекций, обычно перпендикулярную к одной из старых плоскостей проекций. Новая плоскость проекций выбирается так, чтобы рассматриваемый элемент проецировался на неё наиболее удобно для решения поставленной задачи.  

Методом перемены плоскостей проекций в большинстве случаев решают задачи по определению расстояний между заданными геометрическими элементами и определению истинных размеров плоских фигур.

Построение проекций геометрических элементов на новой плоскости проекций начнём с примера построения проекций точки.

Пусть в косоугольных проекциях (Рис.6.10) даны плоскости и и точка А. Требуется построить проекцию точки А на новую фронтальную плоскость  перпендикулярную к плоскости Линия пересечения плоскостей  и будет новой осью проекций  Построим сначала изображение проекции точки А на плоскость для чего покажем на чертеже изображение перпендикуляра, опущенного из горизонтальной проекции на ось ох (в натуре  Точку получим в пересечении перпендикуляра, восстановленного из точки к оси  с перпендикуляром, опущенным из точки А на плоскость

Изображение проекции точки А на плоскость строится в той же последовательности. Строим изображение перпендикуляра, опущенного из горизонтальной проекции на новую ось проекций (в натуре и находим изображение искомой проекции точки на новой фронтальной плоскости , проводя

Отметим, что  т.е. при перемене плоскости ни новую фронтальную плоскость проекций, перпендикулярную к плоскости , координата проецируемой точки остаётся неизменной.

Рассмотрим решение задачи в прямоугольных проекциях. Пусть задана точка в системе плоскостей и (см. Рис.6.11). Требуется построить проекцию точки А на новую плоскость проекций, перпендикулярную к плоскости Проведём произвольную прямую и примем её за новую ось проекций  Новую плоскость проекций совместим с плоскостью чертежа вращением вокруг оси Это вращение обычно производится так, чтобы избежать наложения дополнительного изображения на основные проекции. Новую фронтальную проекцию получим, откладывая на продолжении перпендикуляра, опущенного из горизонтальной проекции на ось  отрезок

Построение проекций точек на новую плоскость проекций, перпендикулярную к плоскости  осуществляют в аналогичной последовательности.

Пусть требуется построить новую проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций перпендикулярной к плоскости (см. Рис.6.12). Проведём новую произвольную ось проекций . Из фронтальной проекции  опускаем перпендикуляр на и на его продолжении откладываем отрезок  Проекция точки А называется новой горизонтальной проекцией точки. Отметим, что при перемене плоскости на новую плоскость проекций, перпендикулярную к плоскости остаётся неизменной координата проецируемой точки.

Рассмотрим пример построения новых проекций точки при последовательной перемене двух плоскостей проекций. Пусть дана точка в системе плоскостей и (см. Рис.6. 13).

Новые проекции точки А будем строить, последовательно заменяя плоскость на плоскость а затем плоскость  на  Для этого проведём новую ось проекции и на перпендикуляре, опущенном из точки на отложим В системе координата а координата  Далее заменим плоскость  на плоскость  Проведём новую ось проекции и на перпендикуляре, опущенном из точки А на ось , отложим отрезок  Точка  новая горизонтальная проекция точки А. Таким образом, в результате последовательной перемены двух плоскостей проекций осуществлён переход от системы плоскостей и   к системе плоскостей и  в которой точка задана проекциями и

Решение задач методом перемены плоскостей проекций предусматривает, как правило, проецирование прямой на новую плоскость проекций, параллельную или перпендикулярную к ней (прямой).

Пусть требуется определить истинную длину отрезка прямой общего положения (см. Рис.6. 14).

Для этого спроецируем заданный отрезок на новую плоскость проекций, параллельную ему и перпендикулярную, например, к плоскости  Новые фронтальные проекции точек А и В находим, откладывая на перпендикулярах, опущенных из точек и на ось  отрезки

Отрезок равен истинной длине отрезка АВ, так как в системе плоскостей  Необходимо отметить, что если концы заданного отрезка (точки А и В) имеют разные по знаку координаты, то значения этих координат откладываются в противоположные стороны по отношению к новой оси проекций.

Рассмотрим пример преобразования отрезка прямой общего положения в отрезок, перпендикулярный к новой плоскости проекций. Эту задачу можно решить последовательной переменой двух плоскостей проекций. Сначала заданную прямую проецируют на плоскость, параллельную этой прямой и перпендикулярную к одной из плоскостей проекций, а затем - на плоскость, перпендикулярную к прямой и к предыдущей плоскости проекций.

Пусть задан отрезок прямой общего положения (см. Рис.6.15).

Требуется сделать эту прямую перпендикулярной к новой плоскости проекций. Для этого спроецируем заданный отрезок на плоскость параллельную ему и перпендикулярную к плоскости Новой фронтальной проекцией отрезка АВ будет Далее заменим плоскость на новую , перпендикулярную к отрезку и к плоскости т.е. проведём При перемене горизонтальной плоскости проекций неизменными будут координаты у точек А и В. Новые горизонтальные проекции и расположатся на общем перпендикуляре к и на одинаковом расстоянии от

Перейдём к построению методом перемены плоскостей проекций новых проекций плоскости. Пусть дано косоугольное изображение плоскости общего положения в системе плоскостей и  (см- Рис.6.16).

Требуется построить изображение плоскости в системе плоскостей и , задав плоскость следами. Изобразим на чертеже произвольную плоскость  , перпендикулярную к плоскости . Её горизонтальный след будет новой осью проекций . След сохранится прежним. Новым фронтальным следом плоскости а будет линия пересечения плоскостей и . Изображение этого следа получим, соединяя прямой точки пересечения соответствующих следов данных плоскостей  Точка - новая точка схода следов плоскости в системе плоскостей и

Покажем построение нового фронтального следа плоскости в прямоугольных проекциях. Пусть дана плоскость в системе плоскостей   и   (см. Рис.6.17). Требуется построить следы плоскости в системе плоскостей и , где - новая плоскость проекций, перпендикулярная к плоскости . Проведём произвольную прямую, пересекающую след и ось ох, и примем её за новую ось проекций . Построим новый фронтальный след плоскости а, совместив плоскость с плоскостью чертежа вращением вокруг оси . Точку схода следов имеем в пересечении следа с осью . Вторую точку следа найдём, построив новую фронтальную проекцию точки К пересечения фронтальных следов плоскостей   и  Её горизонтальная проекция расположена в точке пересечения осей и ох, а фронтальная проекция - в пересечении перпендикуляра, восстановленного из точки к оси ох, со следом Новую фронтальную проекцию точки найдём, отложив на перпендикуляре к оси восстановленном из точки , значение координаты точки К. Прямая, проведённая из точки через точку будет новым фронтальным следом плоскости .

Методом перемены плоскостей проекций можно преобразовать плоскость общего положения в плоскость, проецирующую по отношению к новой плоскости проекций. Пусть требуется заданную плоскость общего положения сделать перпендикулярной к новой плоскости проекций (см. Рис.6.18).

Заменим плоскость плоскостью , одновременно перпендикулярной к плоскости и к плоскости . Если плоскость перпендикулярна к плоскости , то в системе плоскостей и плоскость будет фронтально - проецирующей и её горизонтальный след перпендикулярен к новой оси проекций. С учётом изложенного проведём и отметим новую точку схода следов . Второй точкой следа будет новая фронтальная проекция любой точки, лежащей в плоскости Возьмём точку   на горизонтали NA плоскости и построим новую её фронтальную проекцию и  Проведя прямую из точки  через точку  получим новый фронтальный след

Построение можно упростить, если взять точку на следе заданной плоскости. Например, для преобразования плоскости в проецирующую по отношению к плоскости (см. Рис.6.19) проводим и строим новую фронтальную проекцию точки К, взятой на следе   Прямая, проведённая из новой точки схода следов через точку  будет искомым новым фронтальным следом

Пусть требуется определить истинную величину треугольника AВС, заданного проекциями и (см. Рис.6.20). Заменим плоскость новой фронтальной плоскостью проекций , перпендикулярной к плоскости треугольника. Для этого строим произвольную горизонталь треугольника.

Горизонтальная проекция горизонтали определяет направление горизонтального следа плоскости треугольника. Проведём  и найдём новую фронтальную проекцию треугольника, построив новые фронтальные проекции его вершин.

Треугольник ABC спроецируется на плоскость в виде прямой  так как плоскость треугольника стала проецирующей.

Произведём вторую перемену плоскости проекций, заменяя плоскость  новой плоскостью , параллельной плоскости треугольника. Новой осью проекции  будет прямая, параллельная проекции треугольника.

Новые горизонтальные проекции вершин найдём на перпендикулярах, опущенных из точек на ось откладывая на них от оси  значения координат этих точек. Соединяя новые горизонтальные проекции точек прямыми линиями, получим истинную величину заданного треугольника.

Отметим, что метод перемены плоскостей проекций обеспечивает получение чёткого чертежа, так как дополнительные построения не накладываются на основные проекции.  

Основные метрические задачи

К метрическим задачам относят задачи на определение кратчайших расстояний между геометрическими элементами, определение истинных размеров углов между геометрическими элементами и определение истинных размеров геометрических элементов. Часть этих задач рассматривалась выше (определение истинной длины отрезка прямой линии, определение истинной величины плоской фигуры).

В этом разделе рассмотрим решение метрических задач с помощью метода вращения вокруг горизонтали (фронтали), а также метода перемены плоскостей проекций.

Рассмотрим следующие задачи:

• 1.    Определить кратчайшее расстояние:
• 1.1.    Между двумя точками
• 1.2.    Между точкой и прямой
• 1.3.    Между параллельными прямыми
• 1.4.    Между скрещивающимися прямыми
• 1.5.    От точки до плоскости
• 1.6.    От прямой до параллельной ей плоскости
• 1.7.    Между параллельными плоскостями
• 2.    Определить истинную величину угла:
• 2.1.    Между двумя пересекающимися прямыми
• 2.2.    Между прямой и плоскостью
• 2.3.    Между двумя плоскостями

1.1    Кратчайшее расстояние между двумя точками есть истинная длина отрезка, соединяющего эти точки (см. Рис.6.14)

1.2    Кратчайшим расстоянием отточки до прямой будет перпендикуляр, опущенный из этой точки на прямую (или её продолжение). Задача решается двумя переменами плоскостей проекций - прямую проецируют в точку (см. Рис.6.15), в ту же систему координат проецируют заданную точку и, соединяя две полученные точки, находят искомое расстояние (см. Рис.6.21)

Чтобы найти положение точки на проекции необходимо помнить, что если - истинная величина отрезка, то   всегда параллельна оси

Следует помнить, что всегда больше (частный случай - равен) любой проекции

1.3    Кратчайшее расстояние между параллельными прямыми - перпендикуляр, опущенный из любой точки одной прямой на другую (см. 1.2, Рис.6.21).  

1.4 Чтобы найти кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми, нужно двумя переменами плоскостей проекций одну из прямых спроецировать в точку, перенести в эту систему координат, вторую прямую и из полученной точки опустить перпендикуляр на проекцию прямой (см. Рис.6.22)

1.5 Кратчайшее расстояние от точки до плоскости - перпендикуляр, проведённый от этой точки к плоскости. Если плоскость проецирующая - это перпендикуляр от проекции точки к проецирующему следу плоскости (см. Рис.6.23, а). Если задана плоскость общего положения - одной переменой плоскостей проекций преобразуем её в проецирующую (см. Рис.6.18) и решаем задачу, как указано выше (см. Рис.6.23, б).  

Если плоскость задана плоской фигурой - одной переменой плоскостей проекций преобразуем её в проецирующую (см. Рис.6.20) и опускаем на эту линию перпендикуляр из проекции заданной точки.

1.6    Так как прямая параллельна плоскости, то все её точки равноудалены от плоскости. Поэтому находим кратчайшее расстояние от любой точки этой прямой до плоскости (см. 1.5, Рис.6.23).

1.7    У параллельных плоскостей соответствующие следы параллельны. Если даны две проецирующие плоскости, то кратчайшее расстояние между ними - это перпендикуляр, проведённый в любом месте к проецирующим следам этих плоскостей (см. Рис.6.24). Если заданы параллельные плоскости общего положения - преобразуем их в проецирующие.  

2.1 Для нахождения истинной величины угла между пересекающимися прямыми АВ и ВС применим метод вращения вокруг горизонтали (см. Рис.6.25). Проводим  - ФПГ находим ГПГ. При вращении  вокруг горизонтали точки 1 и С - неподвижны. Точкам В перемещается в пространстве по окружности, горизонтальная проекция которой - прямая (ГПГ). Откладывая от оси вращения истинную величину радиуса вращения (см. Рис.6. 9), получим истинную величину  т. е. истинную величину угла между прямыми АВ и ВС.

2.2 Прямая, не параллельная плоскости, составляет с ней некоторый угол . Для нахождения этого угла воспользуемся следующим рассуждением. Рассматривая прямоугольный треугольник (Рис.6.26, а), нетрудно убедиться, что угол между прямой АВ и плоскостью  Если нужно найти угол между плоскостью и прямой , то мы сначала найдём угол - между прямой АВ и перпендикуляром к плоскости опущенным из произвольной точки прямой АВ.

Пусть задана плоскость и прямая  Из точки В опустим перпендикуляр к плоскости Точка  выбрана произвольно. Вращением вокруг горизонтали находим истинную величину дополнительного угла (см. Рис.6.25). Находим (см. Рис.6.26, б).

2.3 Две пересекающиеся плоскости образуют в пространстве четыре угла, два из них (противоположные) - острые, два - тупые ( частный случай - все углы прямые). Углом между плоскостями в начертательной геометрии принято считать острый угол.

Если из произвольной точки А в пространстве (Рис.6.27, а) опустить на пересекающиеся плоскости и перпендикуляры АК и AL, то угол между плоскостями будет равен

Воспользуемся этим рассуждением для нахождения угла между плоскостями и (Рис.6.27, б). Из произвольной точки опускаем перпендикуляры к плоскостям и (точки К и L взяты произвольно). Проведя и (ГПГ) находим истинную величину дополнительного угла  (см. Рис.6.25). Находим (см. Рис.6.27, б). Если найденный дополнительный угол  - острый, то он и будет углом между пересекающимися плоскостями.

Методы преобразования проекций

Метод замены плоскостей проекций

Суть метода заключается в замене одной плоскости проекции на другую. При этом сам объект четко зафиксирован в пространстве. При такой замене величина координаты любой точки на вводимой плоскости будет такой же, как координаты той же точки на заменяемой плоскости.  

Индексы при обозначении плоскости меняются с заменой самой плоскости проекций (четный индекс - на ближайшую четную цифру, нечетный индекс - на ближайшую нечетную).

На комплексном чертеже преобразование выглядит следующим образом: например, если заменить фронтальную плоскость проекций на новую плоскость (рис. 9.1, а), то последняя должна быть перпендикулярна к плоскости а расстояние от проекции точки  до оси будет равно расстоянию от проекции точки до оси . Новая ось проекции проводится так, как этого требует решение задачи. В рассматриваемом случае она проведена произвольно.

При замене горизонтальной плоскости на новую плоскость (рис. 9.1, б) сохраняется неизменная координата Δу.

При решении конкретной задачи таких замен может быть выполнено последовательно несколько (как правило, не более двух).

Главные условия этих действий — сохранение ортогонального проецирования в новой системе плоскостей проекций и величин соответствующих координат. Линии проекционной связи всегда должны быть перпендикулярны к оси координат, как в первоначальной, так и в новой системе плоскостей проекций.  

Задание: Дана прямая общего положения АВ (рис. 9.2). Необходимо преобразовать чертеж таким образом, чтобы прямая стала проецирующей, т.е спроецировалась на одну из плоскостей проекции в точку.  

Решение: Преобразование выполняется в два этапа.

На первом этапе новую плоскость, например (), вводят взамен фронтальной плоскости , параллельно прямой АВ. Новую ось проекций  проводят параллельно горизонтальной проекции прямой (). Далее проводят от горизонтальной проекции линии связи, перпендикулярные к новой оси проекций, и на них откладывают координаты z, т.е. расстояние от оси проекций до фронтальных проекций точек. Новая проекция будет определять натуральную длину отрезка АВ. Одновременно определяется угол наклона прямой к плоскости проекций, в рассматриваемом примере к горизонтальной плоскости – угол α.

Аналогично определяется угол наклона прямой АВ к плоскости и обозначается угол - β.

На втором этапе в системе плоскостей / плоскость проекций  заменяют на . При этом ось проводят перпендикулярно к проекции . В новой системе плоскостей проекций / прямая заняла проецирующее положение, т.е. она стала перпендикулярна к плоскости , и на нее прямая спроецировалась в точку, а проекции концов отрезка АВ совпали ().

Способ применяется для определения расстояния между параллельными и скрещивающимися прямыми, величины двугранного угла, натуральной величины плоской фигуры.

В том случае, если прямые являются прямыми уровня, т.е. прямые параллельны одной из плоскостей проекций, первый этап решения опускается и преобразование начинается со второго этапа.

Метод вращение вокруг проецирующей оси

Этот метод заключается в том, что любая точка вращается вокруг какой-либо оси, перпендикулярной к одной из плоскостей проекции. При этом точка в пространстве движется по траектории - окружности, которая лежит в плоскости, перпендикулярной к оси вращения. Система плоскостей проекций остается неизменной.

Например, при вращении точки А вокруг оси i (рис. 9.3), перпендикулярной к , она движется по траектории, которая проецируется на плоскость в виде окружности (точки и т.д.), а на плоскость - в виде горизонтальной линии. Все фронтальные проекции точки А (и т.д.) находятся на фронтальном следе горизонтальной плоскости. Точка горизонтальная проекция оси i, а прямая — ее фронтальная проекция. Если вращать точку А вокруг оси i, перпендикулярной к фронтальной плоскости проекций (рис. 9.4), то фронтальные проекции и т.д. точки А будут лежать на окружности,  

Траектория перемещения точки А плоскость которой перпендикулярна к оси i и горизонтальной плоскости проекции. При этом горизонтальные проекции и т.д. точки А будут расположены на прямой линии параллельной оси х и проходящей через горизонтальную проекцию точки

Метод плоскопараллельного перемещения

Применение метода вращения вокруг проецирующей оси при преобразовании нередко приводит к наложению на исходную новых проекций. При этом чтение чертежа представляет определенные сложности. Избавиться от указанного недостатка позволяет метод плоскопараллельного перемещения.

Суть метода заключается в том, что все точки фигуры перемещаются в пространстве параллельно некоторой плоскости проекций. Это означает, что каждая точка объекта перемещается в плоскости уровня.

Например, прямая общего положения АВ, заданная своими проекциями (рис. 9.5), перемещается таким образом, чтобы горизонтальная проекция стала параллельной оси х.

Траектория перемещения точки А

При этом фронтальная проекция прямой перемещаются параллельно оси х (фронтальные проекции концов отрезка займут новое положение ) . При перемещении длина горизонтальной проекции отрезка АВ остается постоянной, а величина фронтальной проекции станет равной натуральной величиной отрезка. При этом угол α - угол наклона прямой АВ к горизонтальной плоскости проекции .

При перемещении прямой АВ во фронтальной плоскости уровня можно достичь положения прямой, перпендикулярного плоскости . Этот метод применяется для определения натуральной величины отрезка, его угла наклона к плоскостям проекций, расстояния между параллельными прямыми и натуральной величины плоской фигуры.

Метод вращения вокруг линии уровня (частный случай метода вращения)

Суть метода заключается в том, что осью вращения выбирается одна из линий уровня - горизонталь или фронталь. Таким образом, плоскость как бы поворачивается вокруг некоторой оси, принадлежащей этой плоскости, до положения, параллельного одной из плоскостей проекций. Например, повернем плоский угол, образованный пересекающимися прямыми а и b (рис. 9.6).

Для решения поставленной задачи проводят в плоскости угла линию уровня (в данном случае горизонталь h) и используют ее как ось вращения, вокруг которой будут вращаться прямые а и b и вершина К. Все точки вращаются в плоскостях, перпендикулярных к горизонтали, при этом положение точек 1 и 2 остается неизменным, а точка К вращается вокруг горизонтали. Из горизонтальной проекции точки К проводят линию, перпендикулярную к оси вращения .

Отрезок - горизонтальная проекция радиуса вращения точки К. Находят натуральную величину этого радиуса (например способом прямоугольного треугольника).

На продолжении проекции прямой откладывают натуральную величину радиуса и получают положение т. К после поворота (). Соединив точки с точкой , получают натуральную величину угла при вершине К. Этим методом находится натуральная величина любой плоской фигуры, занимающей общее положение в пространстве.

Метод совмещения плоскостей

Этот метод является частным случаем способа вращения вокруг линии уровня. В качестве оси вращения выбирается какой-либо след плоскости в которой лежит та или иная фигура. При этом каждая точка, принадлежащая рассматриваемой фигуре, при вращении перемещается в плоскости, перпендикулярной к следу той плоскости, в которой она лежит. Например, плоскость P, заданную своими следами и , необходимо совместить с горизонтальной плоскостью проекций (рис. 9.7).

Для решения поставленной задачи берут на фронтальном следе  плоскости P произвольную проекцию точки A и находят ее горизонтальную проекцию , которая лежит на оси х. Из проекции  точки А проводят луч, перпендикулярный к горизонтальному следу плоскости (любая точка при вращении должна перемещаться в плоскости, перпендикулярной к оси поворота). На нем находят совмещенное положение точки A — точку , как точку пересечения луча с дугой окружности радиусом (R вращения - радиус поворота проекции точки А). Точка принадлежит одновременно и плоскости и новому (совмещенному) положению плоскости P. Через точку проводят новый фронтальный след плоскости P. Следы и характеризуют новое (совмещенное) положение плоскости P.

Примеры решения задач

Ниже приведены решения одной и той же задачи вышеописанными методами.  

Задание: определить натуральную величину треугольника ABC (рис. 9.8), а также угол наклона плоскости треугольника к плоскости .

 

Решение методом замены плоскостей проекций (рис. 9.9).

Плоскость треугольника спроецируется в натуральную величину в том случае, если она будет параллельна одной из плоскостей проекций. Одним преобразованием задачу решить невозможно. Она решается в два этапа: при первой замене плоскостей проекций получают плоскость треугольника ABC, перпендикулярную к новой плоскости проекций, при второй замене - получают плоскость треугольника, параллельную новой плоскости проекций.  

Первый этап. Одним из условий перпендикулярности двух плоскостей является наличие прямой, принадлежащей одной из плоскостей, перпендикулярной к другой плоскости. Используя этот признак, проводят через точку А в плоскости треугольника горизонталь (h). Затем на произвольном расстоянии от горизонтальной проекции треугольника проводят ось новой системы плоскостей проекций перпендикулярно к горизонтальной проекции горизонтали. В новой системе треугольник ABC стал перпендикулярен к новой плоскости проекций .

На линиях проекционной связи в новой системе откладывают координаты z точек А, В, С с фронтальной проекции исходной системы плоскостей .

При соединении новых проекций получают прямую линию, в которую спроецировался треугольник ABC. На этом этапе определяется угол наклона плоскости треугольника к горизонтальной плоскости проекции – угол α . На чертеже это угол между осью и проекцией  

Второй этап. Выбираем новую плоскость проекции , параллельную плоскости треугольника, т.е. новую ось проводят параллельно на произвольном расстоянии. Получают новую систему . Полученный треугольник и есть искомая натуральная величина треугольника ABC.  

2) Решение методом вращения вокруг проецирующей оси (рис. 9.10).

Задача решается в два этапа. На первом этапе выполняют вращение так, чтобы плоскость треугольника ABC преобразовалась в проецирующую плоскость, т.е. стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят горизонталь h () через точку А. (построение начинают с фронтальной проекции , она проходит через проекцию точки и проекцию точки при этом параллельна оси х). Далее находят горизонтальную проекцию горизонтали h (через проекции и ). Через точку А проводят ось i - ось вращения треугольника так, чтобы она была перпендикулярна к . На фронтальной проекции через вершины и проводят следы горизонтальных плоскостей уровня Δ и Σ в которых при вращении будут перемещаться точки А и В.

Вершина С принадлежит плоскости поэтому ее плоскостью вращения будет плоскость проекций . На горизонтальной проекции, взяв за центр вращения проекцию  поворачивают горизонталь А так, чтобы на плоскость она спроецировалась в точку. На чертеже это выразится тем, что займет новое положение - перпендикулярно к оси х.

При этом на фронтальной проекции остается неизменной, находясь на следе плоскости и ее обозначим .

На горизонтальной проекции поворачиваем оставшиеся вершины В и С вокруг оси i так, чтобы На фронтальной проекции вершина В перемещается по следу плоскости , а вершина С - по оси х. Соединив новые положения проекций всех вершин треугольника ABC, получают проекцию , сливающуюся в линию. Плоскость треугольника ABC заняла проецирующее положение. На данном этапе, при необходимости, находят угол наклона плоскости треугольника ABC к – угол α .

На втором этапе проводят ось j через вершину С так, чтобы ось была фронтально проецирующая. При этом , а горизонтальная проекция пройдет через проекцию . Вокруг оси поворачивают треугольник так, чтобы он стал параллелен горизонтальной плоскости проекций. В данной задаче вращают точки , вокруг  до совмещения с осью х, при этом проекции будут перемещаться параллельно оси х и займут новое положение , и вершина С останется на месте. Соединив точки между собой, получают новое положение плоскости (оно соответствует натуральной величине треугольника ABC).  

• Заказать чертежи

3) Решение методом плоскопараллельного перемещения (рис. 9.11).

Задача решается в два этапа. На первом этапе преобразуют чертеж так, чтобы плоскость треугольника ABC стала перпендикулярна к одной из плоскостей проекций. Для этого проводят в плоскости треугольника горизонталь h (фронтальная проекция ,). Каждую вершину треугольника заключают в свою плоскость уровня, параллельную плоскости . В рассматриваемом примере вершина С принадлежит плоскости проекций , А принадлежит плоскости Σ, В — плоскости Δ.

Плоскость треугольника перемещается в пространстве до тех пор, пока горизонталь треугольника не станет перпендикулярна к фронтальной плоскости проекций .

Для этого на свободном поле чертежа вычерчивают горизонтальную проекцию треугольника с условием, чтобы , а значит . При этом вершины треугольника, перемещаясь каждая в своей плоскости, займут новое положение – (фронтальная проекция заменится ). Соединив эти точки, получают новое положение треугольника ABC, спроецированного в линию, т.е. перпендикулярного к плоскости .

На втором этапе, чтобы получить натуральную величину треугольника ABC, его плоскость поворачивают до тех пор, пока она не будет параллельна одной из плоскостей проекций. В рассматриваемом решении фронтальную проекцию треугольник располагают на произвольном расстоянии от оси х параллельно плоскости . При этом вершины А, В и С треугольника заключают в горизонтально проецирующие плоскости θ, Т, Р. По следам этих плоскостей будут перемещаться горизонтальные проекции вершин .

От нового положения фронтальной проекции проводят линии проекционной связи до пресечения с соответствующими следами плоскостей, в которых они перемещаются (), и получая проекции точек .

Соединив эти проекции, получают треугольник ABC в натуральную величину.

4) Решение методом вращения вокруг линии уровня (рис.9.12)

Для решения задачи этим способом необходимо повернуть плоскость треугольника вокруг линии уровня, в данном случае вокруг горизонтали, до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекции. Через точку А в плоскости треугольника ABC проводят горизонталь h, фронтальная проекция которой будет параллельна оси х. Отмечают точку и находят ее горизонтальную проекцию . Прямая является горизонтальной проекцией горизонтали h. Вокруг горизонтали будут вращаться точки В и С.

Определяют натуральную величину радиуса вращения точки С. Для определения натуральной величины радиуса вращения используют любой метод (в данном случае способ прямоугольного треугольника) строят прямоугольный треугольник, в котором - один из катетов. Второй катет - разность координат Δz отрезка , взятого с фронтальной проекции. В построенном треугольнике гипотенуза - натуральная величина радиуса вращения.

На продолжении перпендикуляра  откладывают и получают новое положение вершины С после вращения —. Проекция вершины получается пересечением луча и перпендикуляра к горизонтальной проекции проведенного через проекцию точки .

Треугольник есть искомая натуральная величина треугольника ABC.  

5) Решение методом совмещения (рис. 9.13).

Для решения задачи методом совмещения необходимо построить следы плоскости Σ, которой принадлежит треугольник ABC. Для этого проводят в плоскости треугольника ABC фронталь f и находят горизонтальный след этой фронтали – . По условию задачи вершина С треугольника принадлежит горизонтальной плоскости проекций . Тогда горизонтальный след плоскости Σ проводят через проекции и . Соединив эти две точки и продлив отрезок до пересечения с осью х, находят точку схода следов Σх . Учитывая, что все фронтали плоскости параллельны ее фронтальному следу, АВС фронтальный след плоскости Σ проводят через точку Σх параллельно проекции фронтали .

Для нахождения натуральной величины треугольника ABC необходимо построить совмещенное положение плоскости Σ с горизонтальной плоскостью проекций . Для этого через вершину А проводят горизонталь . На фронтальном следе фиксируют точку . Ее горизонтальная проекция -точка . Точка 2 вращается в плоскости, перпендикулярной к горизонтальному следу плоскости Σ.

Поэтому, чтобы построить точку 2 в совмещенном положении , проводят из перпендикуляр к горизонтальному следу Σ, а из центра Σх дугу окружности радиусом Σх до пересечения с направлением перпендикуляра. Соединив Σх с , получают совмещенное положение фронтального следа - Далее через точку проводят горизонталь  в совмещенном положении. На этой горизонтали находят точку , проведя перпендикуляр из точки к горизонтальному следу .

По такой же схеме строят совмещенное положение точки .Совмещенное положение точки С совпадает с ее горизонтальной проекцией т.е. ≡. Соединив построенные точки, получают треугольник - это и есть натуральная величина треугольника ABC.

Способ вращения

Способ вращения базируется на нескольких основных положениях. При вращении вокруг некоторой неподвижной прямой (оси вращения):

1. каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной оси вращения;
2. каждая точка вращаемой фигуры перемещается по окружности, центр которой (центр вращения) находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения;
3. радиус вращения равен кратчайшему расстоянию от вращаемой точки до оси вращения;
4. точки, расположенные на оси вращения, своего положения в пространстве не изменяют.

Ось вращения может быть задана или выбрана. В последнем случае выгодно использовать в качестве оси вращения прямые частного положения, перпендикулярные или параллельные плоскостям проекций.

Проекции, полученные после преобразования, условимся обозначать чертой над обозначением геометрического объекта, например: горизонтальная проекция  точки после первого преобразования , после второго преобразования -  горизонтальный след плоскости после первого преобразования , после второго преобразования - и т.д.

Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций

Повернем точку вокруг оси , перпендикулярной плоскости , на некоторый угол (рис.75). Траектория перемещения точки в этом случае - окружность, лежащая в плоскости . Плоскость  перпендикулярна оси и, значит, параллельна плоскости . Траектория вращения точки на плоскость проецируется без искажения.

Горизонтальная проекция этой траектории лежит на горизонтальном следе плоскости вращения , параллельной оси . Точка является центром вращения точки , а отрезок - радиусом вращения точки .

Теперь рассмотрим вращение некоторой точки вокруг оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций (рис.76). На горизонтальную плоскость проекций ось вращения спроецировалась в точку, а на фронтальную - в прямую, перпендикулярную оси .

При вращении точки вокруг оси ее горизонтальная проекция вращается по дуге окружности, а фронтальная - перемещается по прямой, совпадающей с фронтальным следом плоскости вращения .

Таким образом, при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной одной из плоскостей проекций, проекция точки на эту плоскость перемещается по дуге окружности радиусом, равным радиусу вращения. Проекция этой точки на другую плоскость проекций перемещается по прямой, перпендикулярной оси вращения.

Для вращения отрезка вокруг оси, перпендикулярной плоскости на некоторый угол (рис.77) нужно повернуть на этот угол любые две его точки (например, концы отрезка -точки и ).

Горизонтальные проекции этих точек при этом перемещаются в горизонтальных плоскостях и по дугам окружностей на один и тот же угол . Фронтальные проекции точек и перемещаются по прямым, параллельным оси , являющимся фронтальными следами плоскостей вращения - и . Точки и - центры вращения этих точек.

Таким образом, при вращении отрезка прямой вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций, длина проекции отрезка прямой на эту плоскость не изменяется.

Вращение прямой значительно упрощается, если ось проходит через одну из точек вращаемой прямой, так как при этом достаточно повернуть лишь одну точку, принадлежащую прямой. На рис.78 ось вращения проведена перпендикулярно плоскости через точку (положение этой точки при преобразовании изменяться не будет).

Затем отрезок  повернут вокруг оси в положение, параллельное плоскости . При этом горизонтальная проекция отрезка вращается до положения , параллельного оси . Тогда на фронтальную плоскость проекций этот отрезок спроецируется в натуральную величину, а угол между ее фронтальной проекцией и осью будет равен углу наклона этой прямой к плоскости .

Аналогично, вращением вокруг оси, перпендикулярной плоскости , может быть найдена истинная величина отрезка и угол его наклона к плоскости .

Вращение плоскости сводится к вращению вокруг заданной оси принадлежащих ей геометрических элементов (точек, прямых линий и пр.).

При вращении плоскости, заданной следами, обычно поворачивают один из ее следов и горизонталь (или фронталь) плоскости. Например, для поворота плоскости вокруг оси на некоторый угол на горизонтальном следе выбрана некоторая точка , ближайшая к оси вращения (рис.79). Точка повернута на угол и через новое положение точки перпендикулярно проведен след .

Затем в плоскости проведена горизонталь, пересекающая ось вращения. В новом положении горизонтальная проекция горизонтали также будет проходить через ось вращения параллельно . Фронтальный след  проведен через точку схода следов и .

Пример 12. Определить угол наклона плоскости общего положения , заданной следами, к горизонтальной плоскости проекций (рис.80).

Плоскость преобразуем во фронтально-проецирующую плоскость путем ее вращения вокруг оси , расположенной в плоскости перпендикулярно оси . Ось проведена через произвольную точку фронтального следа . След построен аналогично, но так, чтобы в новом положении он был перпендикулярен оси . Новое положение фронтального следа  пройдет через проекцию и новое положение точки схода следов .

Таким образом, - искомый угол наклона плоскости к горизонтальной плоскости проекций.

Пример 13. Определить истинную величину треугольника (рис.81).

Для определения истинной величины треугольника поворачиваем его дважды: сначала в положение, перпендикулярное плоскости , а затем в положение, параллельное плоскости . Тогда в итоге на горизонтальную плоскость проекций треугольник спроецируется без искажения.

1.    Задаем ось вращения и проводим в плоскости треугольника горизонталь . Если повернуть треугольник вокруг оси в положение, перпендикулярное фронтальной плоскости проекций , то его горизонталь примет положение, перпендикулярное оси .

Точка , лежащая на оси вращения , своего положения не изменит. Взаимное положение проекций вершин треугольника на горизонтальной плоскости проекций при этом не изменится.

Положение точек и определяем следующим путем: из проводим дуги окружностей радиусами  и и на этих дугах делаем засечки из точки радиусами соответственно и .

2.    На фронтальной плоскости проекций проекции вершин треугольника и будут находиться на пересечении фронтальных следов плоскостей вращения и  и линий проекционных связей, проведенных из и . На плоскости проекция треугольника преобразовалась в отрезок прямой линии.

3. Затем через проводим вторую ось вращения , но уже перпендикулярно фронтальной плоскости проекций . Если треугольник повернуть в положение, параллельное плоскости , то проекция окажется параллельной оси (положение точки , лежащей на оси вращения , остается неизменным). Горизонтальные проекции и находятся в пересечении плоскостей вращения  и  с линиями проекционных связей, проведенными соответственно из и . Треугольник будет истинной величиной треугольника

Плоскопараллельное перемещение

Плоскопараллельное перемещение представляет собой частный случай способа вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций или , при котором на чертеже не изображается ось вращения и не устанавливается радиус вращения. Это делается для того, чтобы избежать наложения исходных и дополнительных проекций.

Новые проекции допускается перемещать на свободное поле чертежа. При этом одна из исходных проекций рассматриваемой геометрической фигуры перемещается в требуемое положение, не изменяя своего вида и размера.

Сущность способа разберем на примере определения истинной величины отрезка прямой общего положения (рис.82). Прямую  переместим в плоскости вращения так, что ее горизонтальная проекция оказалась параллельной оси . Тогда сама прямая будет параллельна плоскости  и ее фронтальная проекция будет истинной величиной заданного отрезка.

Пример 14. Методом плоскопараллельного перемещения определить истинную величину треугольника (рис.83).

Так же, как и в примере 13, задача решается в два приема.

Сначала плоскость треугольника преобразуем в положение, перпендикулярное фронтальной плоскости проекций, и она станет фронтально-проецирующей. В этом положении горизонтальная проекция горизонтали плоскости треугольника примет положение, перпендикулярное оси , а на фронтальную плоскость проекций треугольник спроецируется в виде отрезка прямой . Горизонтальные проекции и равны, а место расположения проекции треугольника  - произвольное.

Затем плоскость треугольника поворачиваем в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций (в нашем случае ). Горизонтальная проекция треугольника будет его истинной величиной.

Вращение вокруг оси, параллельной плоскости проекций

Рассмотрим вращение точки вокруг горизонтали (рис.84). Точка будет вращаться в плоскости , перпендикулярной оси вращения и, следовательно, являющейся горизонтально-проецирующей. Повернем точку так, чтобы отрезок , равный радиусу вращения , занял положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций. Тогда на эту плоскость отрезок спроецируется без искажения.

Изобразим вращение точки на эпюре (рис.84). Радиус вращения точки как на горизонтальную (отрезок ), так и на фронтальную (отрезок ) плоскости проекций проецируется с искажением. Определим истинную величину радиуса вращения методом прямоугольного треугольника, одним катетом которого является проекция , а вторым - разность координат по оси . Гипотенуза построенного прямоугольного треугольника -истинная величина радиуса вращения точки .

Новое положение точки  должно находиться на следе на расстоянии от проекции центра вращения  . Как правило, этот отрезок переносят на след при помощи дуги окружности с центром в точке .

Рассмотрим треугольник  (рис.84). При его вращении вокруг горизонтали  в положение он окажется параллельным плоскости . Следовательно, его проекция будет его истинной величиной. И на эпюре треугольник выражает истинную величину треугольника .

Таким образом, любую плоскую фигуру можно повернуть вокруг горизонтали в положение, параллельное горизонтальной плоскости проекций, и получить ее истинную величину.

Рассмотрим определение истинной величины треугольника (рис.85). В качестве оси вращения выберем любую горизонталь плоскости треугольника , например проходящую через вершину .

При решении задачи будем руководствоваться основными положениями способа вращения:

• точки  и , расположенные на оси вращения, своего положения в пространстве не изменяют;
• вершины и перемещаются в плоскостях и , перпендикулярных оси вращения и являющихся в нашем примере горизонтально-проецирующими (следовательно, следы плоскостей вращения и перпендикулярны горизонтальной проекции оси вращения ).

Поскольку ось вращения параллельна горизонтальной плоскости проекций, новые положения точек и будут находиться на следах соответственно и .

Точки и - центры вращения вершин треугольника  и -лежат в пересечении горизонтальных следов плоскостей вращения с осью вращения.

Радиусы вращения вершин и проецируются на плоскости проекций и с искажением. Для построения нового положения точки  (точки ) достаточно методом прямоугольного треугольника найти истинную величину радиуса вращения , и отложить его на горизонтальном следе плоскости вращения . По построению проекция находится в пересечении прямой и следа .

Фигура - истинная величина заданного треугольника.

Аналогично рассмотренному примеру можно найти истинную величину любой плоской фигуры вращением вокруг фронтали.

Пример 15. Определить истинную величину угла между двумя пересекающимися плоскостями, одна из которых задана следами ( и ), а другая - треугольником  (рис.86).

Угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами, опущенными из произвольной точки пространства на данные плоскости.

1. Строим проекции перпендикуляров из произвольно выбранной точки . Для плоскости проекции перпендикуляров будут перпендикулярны одноименным следам плоскости .

Для плоскости, заданной треугольником , предварительно строим проекции горизонтали и фронтали плоскости треугольника. Горизонтальную проекцию перпендикуляра проводим перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали плоскости треугольника ; фронтальную проекцию перпендикуляра - перпендикулярно фронтальной проекции фронтали плоскости треугольника .

2.    Угол между перпендикулярами спроецирован на горизонтальную и фронтальную плоскости проекций с искажением. Для определения истинной величины угла поворачиваем его вокруг фронтали  до положения, параллельного плоскости . Через точку проводим плоскость вращения .

Определяем центр вращения точки .

3.    Методом прямоугольного треугольника определяем истинную величину радиуса вращения точки и откладываем эту величину на следе плоскости вращения . Угол является истинной величиной искомого угла (считается, что угол между двумя плоскостями должен быть меньше , поэтому, если , то он и является искомым углом между двумя плоскостями; если , то искомый угол равен ).

Вращение плоскости вокруг одного из ее следов (способ совмещения)

Этот способ является частным случаем способа вращения вокруг оси, параллельной плоскости проекций, при котором осью вращения является один из следов плоскости. Цель вращения - совместить заданную плоскость и расположенные в ней геометрические элементы с соответствующей плоскостью проекций. Тем самым можно определить истинные размеры и форму этих элементов. При помощи способа совмещения можно решать и обратные задачи: строить проекции геометрических фигур, лежащих в заданной плоскости, по их истинным размерам и соответствующей точке привязки на плоскости.

Для совмещения плоскости общего положения с плоскостью проекций достаточно совместить с ней одну точку. На рис.87 плоскость совмещена с горизонтальной плоскостью проекций.

Положение горизонтального следа , являющегося осью вращения, и точки схода следов не изменится. Для определения совмещенного с горизонтальной плоскостью проекций положения фронтального следа  выберем на нем произвольную точку . Эта точка в процессе вращения будет перемещаться в плоскости , перпендикулярной оси вращения - следу . В пересечении следов  и  найдем точку - горизонтальную проекцию центра вращения точки . Истинную величину радиуса вращения этой точки определяем методом прямоугольного треугольника и откладываем ее на следе . Через точку и точку схода следов проводим совмещенный с горизонтальной плоскостью проекций фронтальный след плоскости .

Точка , через которую пройдет след , может быть найдена также и другим способом - на пересечении дуги радиуса с горизонтальным следом .

Совмещаем произвольную точку плоскости с горизонтальной плоскостью проекций (рис.88). Через точку проводим горизонталь . Определяем совмещенное с горизонтальной плоскостью проекций положение фронтального следа плоскости . Горизонталь в совмещенном положении будет также параллельна горизонтальному следу плоскости . В свою очередь, проекция совмещенного положения точки (точка ) находится в пересечении горизонтали со следом плоскости вращения .

Рассмотрим пример использования способа совмещения при определении истинной величины плоской фигуры, лежащей в плоскости общего положения (рис.89). Аналогично ранее рассмотренным примерам построим совмещенное с горизонтальной плоскостью проекций положение фронтального следа плоскости . Затем проводим горизонтали, проходящие через вершины треугольника, сначала - в пространстве, а затем - в совмещенном с плоскостью положении (горизонтальные проекции горизонталей будут параллельны горизонтальному следу ).

Вершины треугольника , и находим на пересечении горизонтальных следов плоскостей вращения ,  и проходящих через точки , и и перпендикулярных горизонтальному следу , с соответствующими горизонталями.

Треугольник есть истинная величина заданного треугольника.

Метод перемены плоскостей проекций

Суть данного метода заключается в том, что положение проецируемых геометрических элементов в пространстве остается неизменным, а в существующую систему плоскостей проекций вводится одна (или несколько) плоскостей проекций, по отношению к которой тот или иной геометрический элемент будет занимать какое-либо частное положение. Новые проекции точек при введении дополнительных плоскостей проекций обозначают римскими цифрами: например, - проекция точки на дополнительной плоскости ; - проекция точки на дополнительной плоскости и т.д.

Пусть задана точка с проекциями и  в системе плоскостей проекций и (рис.90). Строим проекции этой точки в новой системе , где новая плоскость проекций также перпендикулярна плоскости . Опустив из точки перпендикуляр на плоскость , получаем новую проекцию точки (точку ). Отметим, что расстояние от точки до плоскости в старой и в новой системах одинаковы, т.е. .

Для получения эпюра (рис.90) плоскость вращением вокруг оси проекций совмещаем с плоскостью , а затем - с плоскостью чертежа. Оси проекций на эпюре принято дополнительно отмечать в виде дроби, числитель и знаменатель которой - плоскости проекций, пересекающихся по этой оси. Считается, что дробная черта лежит на самой оси, причем обозначения плоскостей ставят со стороны «видимых» проекций (например, ось обозначают ).

Для построения проекции на эпюре достаточно из проекции провести перпендикуляр к новой оси и от точки отложить расстояние, равное координате точки .

Дополнительная плоскость проекций может быть выбрана и перпендикулярной плоскости (рис.91) Тогда плоскость вращением вокруг новой оси проекций , совмещаем с , которую и принимаем за плоскость чертежа. При этом расстояния от точки до плоскости в предыдущей и в новой системе плоскостей проекций одинаковы, т.е. .

При помощи метода перемены плоскостей проекций значительно упрощается решение задач, связанных с определением расстояний и углов между геометрическим объектами.

Примеры решения задач методом перемены плоскостей проекций

Пример 16. Определить истинную величину отрезка прямой и угол наклона этой прямой к плоскости (рис.92).

Для определения истинной величины отрезка необходимо ввести плоскость проекций , перпендикулярную одной из имеющихся плоскостей проекций, например плоскости  и параллельную заданной прямой:

Выполняем переход от системы плоскостей к системе . На эпюре новая ось проекций будет параллельна горизонтальной проекции отрезка . Вычерчиваем эту ось в любом месте чертежа с условием

Для построения проекций точек и на плоскости из их горизонтальных проекций проводим линии проекционных связей перпендикулярно оси , на которых откладываем координаты соответствующих точек:

Истинной величиной отрезка будет отрезок , а углом наклона прямой к плоскости - угол  между новой проекцией отрезка и осью .

Пример 17. Определить истинную величину отрезка прямой и угол наклона этой прямой к плоскости проекций (рис.93).

Вводим новую плоскость проекций из условия

Строим новую ось

и новые проекции точек и  на плоскости . Для этого по линии проекционных связей, проведенных из фронтальных проекций и перпендикулярно оси , откладываем координаты у соответствующих точек.

Истинной величиной отрезка будет отрезок , а углом наклона к плоскости - угол .

Пример 18. Определить угол наклона плоскости к плоскости проекций (рис.94).

Для определения угла наклона плоскости к плоскости необходимо перейти к такой системе проекций, в которой эта плоскость стала бы проецирующей по отношению к вновь вводимой плоскости проекций.

Введем плоскость проекций из условия

Если плоскость является проецирующей по отношению к новой плоскости проекций , то на эпюре горизонтальный след должен быть перпендикулярен новой оси проекций (ось  строим в любом месте чертежа, так, чтобы она оказалась перпендикулярной следу ). В пересечении и оси получаем точку схода следов .

Для построения второго следа плоскости в системе проекций выбираем произвольную точку , лежащую на фронтальном следе плоскости , и строим ее проекцию в системе .

Через точку схода следов  и  проводим новый фронтальный след плоскости . Угол наклона  плоскости к плоскости равняется углу между и новой осью проекций .

Пример 19. Определить истинную величину расстояния от точки  до плоскости, заданной треугольником (рис.95).

В плоскости треугольника строим горизонталь . Переходим от системы проекций к системе таким образом, чтобы горизонталь стала перпендикулярна плоскости проекций .

Тогда и плоскость треугольника будет перпендикулярна вводимой плоскости .

Поскольку плоскость треугольника перпендикулярна , он спроецируется на эту плоскость в виде отрезка прямой линии . Построив проекцию точки на плоскости и опустив из нее перпендикуляр к прямой , получим отрезок , равный искомому расстоянию.

Пример 20. Определить расстояние от точки до прямой (рис.96).

Вводим дополнительную плоскость проекций  перпендикулярно так, чтобы она была параллельна прямой :

Проводим новую ось параллельно горизонтальной проекции и строим проекции точки и прямой на плоскости .

После этого вводим вторую дополнительную плоскость проекций :

На эпюре новая ось перпендикулярна . Прямая спроецируется на плоскости в точку . Поэтому расстояние от проекции до проекции и будет расстоянием между точкой и прямой

Пример 21. Определить кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми  и (рис.97).

Вводим первую дополнительную плоскость проекций таким образом, чтобы эта плоскость была перпендикулярна одной из имеющихся плоскостей проекций и параллельна одной из заданных прямых, например:

На эпюре вычерчиваем новую ось проекций параллельно фронтальной проекции прямой :

Строим проекции заданных прямых на плоскости .

Вводим вторую дополнительную плоскость проекций таким образом, чтобы вводимая плоскость была перпендикулярной плоскости и прямой :

На эпюре строим новую ось перпендикулярно проекции :

Строим проекции прямых и на плоскости ). При этом прямая  спроецируется в точку . Перпендикуляр, опущенный из этой точки на отрезок , и будет истинной величиной расстояния между скрещивающимися прямыми и .

Полученное решение можно дополнить построением проекций перпендикуляра на плоскостях ,  и . Построения проекций точки  выполняются обратным ходом:

Чтобы построить проекцию точки на плоскости надо из опустить перпендикуляр к и далее .

Пример 22. Определить истинную величину треугольника (рис.98).

Сначала так же, как в примере 19, переходим от системы к системе таким образом, чтобы плоскость треугольника стала перпендикулярна вводимой плоскости . Вводим дополнительную плоскость проекций по следующей схеме:

Для этого в плоскости треугольника проводим горизонталь и строим новую ось проекций так, чтобы она оказалась перпендикулярной горизонтальной проекции горизонтали:

Поскольку плоскость треугольника перпендикулярна , он спроецируется на эту плоскость в виде отрезка прямой линии .

Теперь вводим вторую дополнительную плоскость проекций , перпендикулярную плоскости и параллельную плоскости треугольника :

Ось проекций проводим параллельно . Строим проекции вершин треугольника на плоскости . Поскольку плоскость проекций параллельна плоскости треугольника, на нее треугольник спроецируется без искажения. Треугольник - истинная величина заданного треугольника.

Пример 23. Определить угол между двумя пересекающимися плоскостями  и (рис.99).

Угол между пересекающимися плоскостями может быть построен в плоскости, перпендикулярной линии пересечения этих плоскостей. Следовательно, в первую очередь необходимо построить на эпюре проекции линии пересечения плоскостей и . В нашем случае это прямая .

После этого вводим первую дополнительную плоскость проекций таким образом, чтобы она была параллельна линии пересечения:

На эпюре новая ось будет параллельна горизонтальной проекции линии пересечения:

Далее строим проекции линии пересечения на плоскости . Поскольку линия пересечения плоскостей и   параллельна плоскости проекций , следы этих плоскостей на данной плоскости проекций будут параллельны ей:

Далее вводим вторую дополнительную плоскость проекций - плоскость  таким образом, чтобы линия пересечения плоскостей оказалась перпендикулярной вновь вводимой плоскости:

На эпюре строим ось :

В пересечении следов и с осью получаем точки схода следов соответственно  и . Строим проекцию линии пересечения на плоскости . Новые следы и плоскостей и пройдут через точки схода следов   и и точку .

В результате проведенных построений плоскости и стали перпендикулярны плоскости проекций , и угол между следами и   и есть искомый угол между плоскостями.