Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Содержание:

Ортогональное проецирование:

Из всех методов проецирования ортогональное нашло наиболее широкое применение в инженерной практике в силу ряда своих преимуществ.

Метод Монжа. Октанты пространства

Наиболее важным из них является возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры. При этом при получении ортогонального чертежа, обладающего полной обратимостью, необходимо иметь, как было отмечено ранее, по крайней мере, две связанные между собой ортогональные проекции оригинала. Наиболее удобной для фиксирования положения геометрического образа в пространстве и выявления его формы по ортогональным проекциям является система из трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Такой плоскостной макет представлен на рис. 29. При этом различают: Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Плоскости проекций пересекаются по трем взаимно перпендикулярным прямым, которые называются осями проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Оси проекций пересекаются в общей точке трех плоскостей проекций - точке Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

В большинстве европейских стран принята система расположения плоскостей проекций, при которой положительными направлениями осей считают: для оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - влево от точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами для оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - в сторону зрителя (вперед) от плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами для Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - вверх от плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами противоположные направления осей считают отрицательными.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Плоскости проекций делят пространство на восемь частей - октантов. Октанты условно принято нумеровать, как показано на рис. 29.

Принято, что наблюдатель всегда находится в первом октанте. Плоскости проекций считаются непрозрачными, поэтому видимы только точки (геометрические фигуры), расположенные в I октанте, а также на полуплоскостях Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Пользоваться пространственным макетом для изображения проекций оригинала неудобно ввиду его громоздкости. Поэтому его реконструируют в эпюр Монжа - чертеж, составленный из двух или трех связанных между собой ортогональных проекций геометрической фигуры.

Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами с фронтальной плоскостью проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Для совмещения плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами с Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами поворачиваем Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами на 90° вокруг оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами в направлении движения часовой стрелки (см. рис. 29).

Для совмещения Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами с Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами поворачиваем Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами вокруг оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами также на угол 90° в направлении, противоположном движению часовой стрелки. При повороте будет перемещаться и ось Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами которая распадается на две оси (Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами).

После совмещения плоскостей проекций пространственный макет примет вид, показанный на рис. 30.

Обычно не указывают обозначение полуплоскостей проекций и отрицательное направление осей. Тогда, в окончательном варианте, эпюр принимает вид, показанный на рис. 31.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Проекции точки

Точка - одно из основных базовых понятий геометрии. Для отображения этого простейшего геометрического образа на плоскости целесообразно понимать под точкой физический объект, имеющий линейные размеры. При этом условно за точку принимают шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.

Для построения эпюра точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: «Проекция точки есть точка». Пусть даны в пространстве точка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и три взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 32). В данном случае и в дальнейшем для получения эпюра будем пользоваться первым октантом системы плоскостей. Спроецируем ортогонально точку Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами на три плоскости проекций. Для этого в соответствии с правилом проецирования через точку Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проводим последовательно прямые линии, перпендикулярные к Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - проецирующие лучи. В точках пересечения этих лучей с плоскостями проекций получаем ортогональные проекции точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами. Назовем их: Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - горизонтальная проекция, Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - фронтальная проекция, Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - профильная проекция. Каждая пара из трех проецирующих лучей Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами определяет плоскость, перпендикулярную к двум плоскостям и к оси проекций. Эти плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами называемые проецирующими, пересекаются с плоскостями проекций по двум взаимно перпендикулярным прямым, имеющим общие точки на осях проекций (соответственно Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Для получения эпюра точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами преобразуем пространственный макет, изображенный на рис. 32, по схеме, предложенной выше.

На эпюре (рис. 33) проекции точки будут располагаться на прямых, перпендикулярных к осям проекций и проходящих через точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Эти прямые, являющиеся проекциями соответствующих проецирующих лучей, называют линиями проекционной связи.

Горизонтальная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и фронтальная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проекции будут располагаться на общей вертикальной линии связи, а фронтальная и профильная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами на общей горизонтальной линии. Для связи горизонтальной и профильной проекций можно воспользоваться дугой окружности, проводимой из точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами также можно на горизонтальной линии связи отложить от оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами вправо отрезок Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами равный Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Прямоугольные координаты точки

Система трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций аналогична декартовой системе координатных плоскостей. При этом оси проекций соответствуют осям координат с началом в точке Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами ось Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - оси абсцисс, ось Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - оси ординат, ось Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - оси аппликат.

Исходя из этого, положение точки в пространстве может быть определено тремя координатами: Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Координата точки - число, выражающее величину расстояния от точки до соответствующей плоскости проекций.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Анализируя эпюр (рис.34), можно отметить, что каждая из проекций точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами определяется двумя координатами этой точки: Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Из этого следует, что положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций.

Точка в октантах пространства

На рис. 29 было показано, что плоскости координат в своем пересечении образуют восемь трехгранных углов - восемь октантов.

Зная положительное и отрицательное направление осей, по координатам точки можно также определить, в каком октанте расположена точка:

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

На рис. 35,а показаны точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами расположенные в разных октантах, и их эпюры (рис. 35,б), соответствующие этому расположению.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Безосный чертеж

Большинство задач начертательной геометрии решают, не устанавливая метрической связи с плоскостями проекций. Вследствие этого построения на чертеже можно выполнять в безосной системе плоскостей проекций, т.е. без указания положения осей (рис. 36).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Имея такой чертеж, можно, при необходимости, всегда ввести оси и тем самым задать расстояние от точки до условно выбранных плоскостей Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Иными словами, для безосного чертежа (эпюра) плоскости проекций принимаются неопределенными, т.е. могут перемещаться параллельно самим себе. Механизм такого перемещения иллюстрирует рис. 37.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Перенесение оси на чертеже вверх или вниз соответствует параллельному переносу в пространстве двугранного угла Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами в новое положение Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами в направлении биссекторной плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Биссекторной называют плоскость, проходящую через ось проекций и делящую двугранный угол пополам.

На эпюре такому параллельному переносу двугранного угла соответствует перемещение начала координат - точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами по постоянной чертежа к> которая является следом биссекторной плоскости (рис. 38).

Рис. 39 демонстрирует построение на безосном чертеже профильной проекции точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами по заданным горизонтальной и фронтальной ее проекциям.

Построение выполнено с помощью постоянной чертежа Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проведенной в случайном месте чертежа под углом 45° к направлению линии связи Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
 

Конкурирующие точки

Геометрические образы могут быть взаимно расположены таким образом, что некоторые из них (или отдельные их части) будут закрыты от наблюдателя.

Построение границы видимости образов на чертеже выполняется на основании выявления и анализа конкурирующих точек.

Конкурирующими называют точки, лежащие на одном проецирующем луче.

Для определения видимости конкурирующих точек рассуждают следующим образом (рис. 40). Точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами лежат на общем горизонтально-проецирующем луче, т.е. их горизонтальные проекции совпадают. Точка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами выше точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и расположена ближе наблюдателю (г.о. всегда находится между наблюдателем и соответствующей плоскостью проекций). Следовательно, она будет видна, а точка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами закрыта ею. Из двух совпадающих проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проекцию Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами невидимой точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами заключают в скобки.

На Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проецируются разными лучами, поэтому фронтальные проекции их не совпадают. Обе точки относительно Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами видны.

На эпюре (рис. 41) вопрос видимости точек Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами относительно Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами принимая во внимание вышеуказанные рассуждения, решают по удалению их фронтальных проекций (Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами) от оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Фронтальная проекция точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами расположена от оси дальше, чем проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами следовательно, горизонтальную проекцию Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами заключаем в скобки.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Аналогично рассуждают, определяя видимость конкурирующих точек и относительно других плоскостей проекций (рис. 42).

На рис. 42 показаны фронтально-конкурирующие точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а также профильно-конкурирующие точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Проекции прямых линий

Наряду с точкой прямая линия является одним из исходных понятий в геометрии. Прямая является простейшей из линий (более подробно линии будут рассмотрены в разделе V), которой в начертательной геометрии отводится важная роль при решении инженерных задач.

Аналитически прямую в пространстве можно задать разными способами. Например, как уравнение прямой, полученной при пересечении двух плоскостей:  

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Другим, более удобным, является уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Если рассматривать прямую на плоскости, то общим уравнением ее будет Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

При построении эпюра прямой следует использовать третье свойство проецирования: «Проекция прямой есть прямая». Другими словами, для определения проекции прямой достаточно задать проекции двух не тождественных точек, принадлежащих этой прямой.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Пусть прямая Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проходит через две точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 43, а). На эпюре этой прямой (рис. 43, б) разность расстояний точек Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами прямой до горизонтальной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами определяется величиной Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами равной разности аппликат точек Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Разность расстояний точек Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами до фронтальной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами определяется разностью ординат Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами И, наконец, разность расстояний точек Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами до профильной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами определяется величиной разности абсцисс Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Прямая линия общего положения

Такая прямая занимает в системе плоскостей проекций произвольное положение (углы наклона прямой к плоскостям Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - отличные от 0 и 90°). Для этой прямой    

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

На эпюре прямой общего положения (см. рис. 43, б) нет натуральной величины отрезка и углов его наклона к плоскостям проекций.

Частные случаи расположения прямой

Прямая линия, кроме произвольного, может занимать следующие положения относительно плоскостей проекций:

  • - параллельное одной из плоскостей проекций (прямые уровня);
  • - перпендикулярное какой-нибудь плоскости проекций (проецирующие прямые).

Прямые уровня

Прямые линии, параллельные (но не перпендикулярные) плоскостям проекций, называют линиями уровня. Таких линий три:

  • - горизонталь - прямая параллельная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • - фронталь - прямая параллельная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • - профильная прямая, параллельная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Если в условии (1) будем иметь: Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами то прямая Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами преобразуется в горизонталь Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 44,а). Особенностью эпюра горизонтали (рис. 44,б) является то, что ее фронтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами параллельна оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а горизонтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами составляет с осью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами угол Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами равный углу наклона самой прямой к плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Горизонтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами отрезка прямой Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами определяет длину этого отрезка. Эта же проекция выявляет угол Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами наклона прямой к профильной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Если в условии (1) Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами то прямая Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами преобразуется во фронталь Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 45, а). На эпюре фронтали (рис. 45, б) ее горизонтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами параллельна направлению оси проекций. Фронтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами составляет с направлением оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами угол Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами равный углу наклона самой прямой к горизонтальной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а с направлением оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - угол Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамиравный углу наклона прямой к Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Фронтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами отрезка прямойОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамиопределяет длину этого отрезка (см. рис. 45, б).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Аналогично, если в условии (1) Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами то прямая Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами преобразуется в профильную прямую Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 46, а, б). Особенность проекций профильной прямой (см. рис. 46, б): отрезок прямой проецируется без искажения на профильную плоскость проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Здесь же видна натуральная величина углов его наклона Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Проекции Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами прямой располагаются на одной линии связи.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Проецирующие прямые

Прямые линии, перпендикулярные плоскостям проекций, называют проецирующими. Различают следующие проецирующие прямые:

  • - горизонтально-проецирующая, перпендикулярная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • - фронтально-проецирующая, перпендикулярная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • - профильно-проецирующая, перпендикулярная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Проецирующие прямые в то же время параллельны двум координатным плоскостям проекций.

Если в условии (1) для прямой общего положения Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами ввести Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами то она преобразуется в горизонтально-проецирующую прямую (рис. 47). Фронтальная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и профильная проекции отрезка этой прямой определяют его натуральную длину, а горизонтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами вырождается в точку. Эта прямая одновременно параллельна фронтальной и профильной плоскостям проекций.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Если в условии (1) примем Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами то прямая Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами преобразуется во фронтально-проецирующую прямую (рис. 48). Здесь горизонтальная (профильная) проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами определяет длину отрезка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами прямой Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами, а фронтальная проекция преобразуется в точку. Эта прямая параллельна одновременно горизонтальной и профильной плоскостям проекций.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

И, наконец, если в условии (1) Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами то прямая Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами преобразуется в профильно-проецирующую прямую (рис. 49). Горизонтальная и фронтальная проекции прямой параллельны оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и каждая из проекций определяет длину отрезка. На Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проекция прямой - точка. Эта прямая одновременно параллельна горизонтальной и фронтальной плоскостям проекций.

Понятие о следах прямой

Точки пересечения прямой линии с координатными плоскостями проекций называют следами прямой. Соответственно точку пересечения прямой с горизонтальной плоскостью проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами называют горизонтальным следом, а с фронтальной плоскостью проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - фронтальным следом.

На рис. 50 прямая Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами пересекает горизонтальную плоскость проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами в точке Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а фронтальную плоскость Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами в точке Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Точка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами имеет аппликату Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами т.е. след Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами совпадает с Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами лежит на оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Точка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами прямой имеет ординату Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами след Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами совпадает с Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами a Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами лежит на оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Построение следов на эпюре показано на рис. 51.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Чтобы найти горизонтальный след Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами необходимо найти сначала его фронтальную проекцию Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами как точку пересечения фронтальной проекции прямой Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами с осью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Горизонтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами совпадает с горизонтальным следом Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и лежит на продолжении Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Чтобы найти фронтальный след Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами необходимо найти сначала его горизонтальную проекцию Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами как точку пересечения Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами с осью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Фронтальная проекция следа Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами будет лежать на продолжении Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и совпадает с фронтальным следом Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Если прямая параллельна плоскости проекций, то следом ее на этой плоскости является несобственная точка.

Натуральная длина отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций

На эпюре натуральная длина отрезка прямой и углы его наклона видны только в случае его частного расположения относительно плоскостей проекций.

Если же прямая занимает общее положение относительно плоскостей проекций, то для нахождения натуральной величины отрезка этой прямой и углов его наклона к плоскостям проекций можно использовать соответствующее свойство ортогонального проецирования (свойство 12).

Используя это свойство, на плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 52), можно построить прямоугольный треугольник, один катет которого - проекция отрезка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами на плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а другой - разность расстояний концов отрезка от плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Гипотенуза такого треугольника Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами будет равна натуральной величине отрезка. Из рис. 52 видно также, что угол Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами равен углу Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и будет определять угол наклона прямой к плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Аналогичные построения можно выполнить на эпюре прямой (рис.53).

Принимаем плоскость Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами за Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (горизонтальную плоскость проекций). На горизонтальной проекции прямой, как на катете, строим прямоугольный треугольник. Второй катет этого треугольника равен разности расстояний концов отрезка от Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами В результате получаем прямоугольный треугольник Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами гипотенуза которого равна натуральной величине отрезка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а угол Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами есть угол наклона отрезка к горизонтальной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Аналогичные построения можно выполнить, принимая плоскость Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами за фронтальную плоскость проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 54).

Такой прием нахождения натуральной величины отрезка прямой общего положения и углов его наклона к плоскостям проекций называют способом прямоугольного треугольника.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Взаимное расположение двух прямых

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельны друг другу или скрещиваться.

Пересекающиеся прямые. Прямые линии, имеющие общую точку, называются пересекающимися.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Если прямые пересекаются в пространстве, то их одноименные проекции также пересекаются, и проекции точки пересечения лежат на одной линии связи. Для подтверждения пересечения прямых на чертеже бывает достаточно двух проекций (рис. 55). Однако, если хотя бы одна из прямых является линией уровня, то одной из двух проекций должна быть проекция на ту плоскость, которой параллельна эта линия уровня (рис. 56).

Параллельные прямые. Прямые линии, пересекающиеся в несобственной точке, называются параллельными.

Если две прямые параллельны в пространстве, то их одноименные проекции тоже параллельны. Для подтверждения параллельности прямых Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами достаточно параллельности двух одноименных проекций (рис. 57). Исключение составляют некоторые прямые частного положения. Например, для подтверждения параллельности профильных прямых необходимо проверить параллельность всех трех одноименных проекций прямых. Так, показанные на рис. 58 профильные прямые Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами после построения профильной проекции оказываются не параллельными друг другу.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Скрещивающиеся прямые. Прямые, не пересекающиеся и не параллельные между собой, называются скрещивающимися. На рис. 59 показана пространственная модель таких прямых.

Если прямые скрещиваются в пространстве, то на эпюре их одноименные проекции могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи (не являются проекциями одной точки) (рис. 60). Так, точка пересечения фронтальных проекций скрещивающихся прямых Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами является фронтальной проекцией двух точек Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами принадлежащих соответственно прямым Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Эти точки не совпадают, так как имеют разные ординаты.

Аналогично, точка пересечения горизонтальных проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамии Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами является горизонтальной проекцией двух точек Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами имеющих разные аппликаты.

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых являются конкурирующими. Их видимость на эпюре определяют, как и видимость любых конкурирующих точек, по величине удаления от плоскости, на которой их проекции совпадают. Невидимые точки условно заключают в скобки.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Проекции плоскости

Наряду с точкой и прямой, плоскость также относится к основным базовым понятиям в начертательной геометрии.

Плоскость является простейшей поверхностью. Между декартовыми координатами принадлежащих ей точек существует зависимость, аналитически выраженная в форме многочлена первой степени:

 Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

т.е. плоскость - поверхность первого порядка.

Кинематическое образование плоскости, как простейшей поверхности, может быть представлено (рис. 61) перемещением прямой Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (образующей) параллельно направлению Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами по неподвижной прямой Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (направляющей).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Положение плоскости в пространстве однозначно определяется тремя различными точками Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами не принадлежащими одной прямой. Поэтому для задания плоскости на чертеже достаточно указать проекции:

  • - трех различных точек, не принадлежащих одной прямой (рис.62,а);
  • - прямой и точки вне ее (рис. 62, б);
  • - двух прямых, пересекающихся в собственной (рис. 62, в) или в несобственной (рис. 62, г) точке;
  • - отсека плоской фигуры (рис. 62, д).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

В некоторых случаях бывает целесообразным задавать плоскость прямыми, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такой вариант задания плоскости называют заданием плоскости следами.

На рис. 63 показаны плоскость Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и ее следы на плоскостях проекций. При этом различают:

  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - горизонтальный след плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - фронтальный след плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - профильный след плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами в которых пересекаются два следа, называют точками схода следов. Точки схода следов всегда располагаются на осях проекций. На рис. 64 представлен эпюр плоскости, заданной следами.

Всегда можно перейти от одного вида задания плоскости к любому другому. Например, на рис. 65 показано, как от задания плоскости двумя пересекающимися прямыми Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами можно перейти к заданию ее следами Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Для этого достаточно найти горизонтальные следы Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами двух заданных прямых, а также фронтальные следы этих прямых Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Соединив проекции Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а также Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами получим соответственно горизонтальный Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и фронтальный Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами следы плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Плоскость общего положения

На приведенных выше примерах заданная плоскость занимает произвольное положение по отношению к плоскостям проекций (углы наклона этой плоскости к плоскостям проекций отличны от 0° к 90°). Такая плоскость называется плоскостью общего положения.

На эпюре такой плоскости не сохраняются метрические характеристики плоской фигуры и не видны углы наклона ее к плоскостям проекций.

Частные случаи расположения плоскости

Кроме рассмотренного общего случая плоскость по отношению к плоскостям проекций может занимать следующие положения:

  • - перпендикулярное одной из плоскостей проекций (проецирующие плоскости);
  • - параллельное одной плоскости проекций (плоскости уровня).

Проецирующие плоскости

Плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называют проецирующими. При этом различают три типа проецирующих плоскостей:

  • - горизонтально-проецирующую, перпендикулярную Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 66, а);
  • - фронтально-проецирующую, перпендикулярную Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 67, а);
  • - профильно-проецирующую, перпендикулярную Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 68, а).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Характерной особенностью проецирующих плоскостей является то, что сами плоскости и любые геометрические фигуры, лежащие в них, проецируются на плоскости проекций, им перпендикулярные, в виде прямых линий. Такое свойство проекций проецирующих плоскостей называется собирательным.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Например, на рис. 66, 6 горизонтально-проецирующая плоскость, заданная двумя следами - горизонтальным Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и фронтальным Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами может быть задана только одним следом - Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Именно этот след несет всю информацию о заданной плоскости.

Проецирующие плоскости на эпюре удобнее задавать следами. При этом след (проекция), обладающий собирательным свойством, несет информацию об углах наклона проецирующей плоскости к неперпендикулярным ей плоскостям проекций (рис. 66, б - 68, б). Два других ее следа перпендикулярны той же плоскости проекций, какой перпендикулярна сама плоскость. Эти два следа не играют важной роли в определении плоскости, поэтому на безосном чертеже проецирующие плоскости обычно задают одним следом - линией пересечения только с той плоскостью, которой они перпендикулярны.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Плоскости уровня

Плоскости, параллельные какой-либо плоскости проекций, называют плоскостями уровня. Различают три типа таких плоскостей:

  • - горизонтальная плоскость уровня, параллельная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 69);
  • - фронтальная плоскость уровня, параллельная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис. 70);
  • - профильная плоскость уровня, параллельная Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рис.71).

Характерной особенностью таких плоскостей является то, что плоские фигуры, расположенные в них, проецируются без искажения на ту плоскость проекций, которой плоскости уровня параллельны. Две другие проекции (следы) плоскости уровня - прямые, параллельные соответствующим осям проекций. На безосном чертеже обычно задают плоскости уровня одним (любым) следом.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Изображение точки, примой, плоскости и простейших геометрических поверхностей в ортогональных проекциях

Предмет, задачи и метод начертательной геометрии:

Начертательная геометрия это наука изучающая методы изображения реальных пространственных объектив - зданий, сооружений, деталей машин - состоящих из совокупности точек, линий, поверхностей и методы решения геометрических задач но данным изображениям. Вместе с этим решается и очень существенная задача - развитие пространственного воображения.

Метод начертательной геометрии - метод проекций. Так как любой предмет можно рассматривать как совокупность множества точек, то сущность метода проецирования рассмотрим на примере точки.

Прямоугольные проекции и координаты точек. Эпюр (чертеж) Г.Монжа.  Изображение проекций точек при различном их положении в пространстве

Для построения проекции точки, зададим плоскость Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - плоскость проекций и точку А - оригинал (любая точка пространства). Проведем через точку А проецирующий луч Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами до пересечения с плоскостью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами в точке Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Точка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и является проекцией точки А на плоскостьОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рисунок 1.1). Если проецирующий луч Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамиперпендикулярен плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами то проецирование называется прямоугольным, а точка Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примераминазывается прямоугольной или

ортогональной проекцией точки А.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

На рисунке 1.1 видно, что одна проекция точки не определяет ее положения в пространстве, так как в точку Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проецируются все точки проецирующего луча Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Для того чтобы положение точки в пространстве было определено, возьмем три взаимно перпендикулярные плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рисунок 1.2).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - горизонтальная плоскость проекции;
  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - фронтальная плоскость проекций;
  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами- профильная плоскость проекций.

Плоскости проекций пересекаясь дают оси проекций - Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Спроецируем ортогонально точку А на эти плоскости проекций. Получим соответственно:

  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - горизонтальная проекция точки А;
  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - фронтальная проекция точки А;
  • Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - профильная проекция точки А.

В трехмерном пространстве положение точки определяется тремя (декартовыми) координатами А Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Совместив декартовую систему координат с осями проекций, получим начало координат - точку О. Ось ОХ совместим с осьюОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Горизонтальная плоскость проекции Я/ совместится с координатной плоскостью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Тогда точка А и ее проекции определяться координатами:

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

По чертежу видно, что две проекции точки полностью определяют положение точки в пространстве, так как содержат все три координаты.

Для перехода от пространственного чертежа к плоскому, плоскостьОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами повернем вокруг оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами до совмещения с плоскостью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами. При этом звенья ломаной Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамиобразуют прямую Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами перпендикулярную оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Линия Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примераминазывается линией связи проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Плоский чертеж состоящий из горизонтальной Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и фронтальной Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проекций точки А, расположенных на линии

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

связи Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами перпендикулярной оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами называется эпюром (ортогональным чертежом) и носит имя основателя начертательной геометрии ГОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Иногда возникает необходимость по двум проекциям построить третью. На рисунке 1.4 показано построение профильной проекции Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамипо двум заданным горизонтальной Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и фронтальной Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами с помощью постоянной линии чертежаОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

ПлоскостиОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами делят все пространство на четыре четверти, отмеченные на рисунке 1.5 римскими цифрами Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Точки могут находиться в любой четверти, лежать на плоскостях проекций или на осях. Необходимо освоить две задачи.

Первая - по паре проекций точек находящихся на плоскостях проекций определить положение точки в пространстве.

Вторая - но положению точки в пространстве изобразить ее парой проекций.

На рисунке 1.5 точка А находится в I четверти. Все ее координаты имеют положительное значение - фронтальная проекция находится над осью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамигоризонтальная - под осью. .Монжа (рисунок 1.3).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Точка В, находится во II четверти. Ее координата Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами - отрицательна - обе проекции находится над осью.

У точки С, находящейся в III четверти отрицательными будут координаты Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Фронтальная проекция находится под осью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами горизонтальная - над осью.

У точки D, находящейся в IV четверти, отрицательная координата Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами- обе проекции находится под осью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

У точки E, находящейся на плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами координата Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами= 0, откуда следует, что ее горизонтальная проекция Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами лежит на оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (если точка лежит на какой-то плоскости проекций, то одна из ее проекций обязательно лежит на оси).

Точка К лежит на оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами координаты Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами равны нулю, а проекции Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамисовпадают Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами  

Изображение примой линии в ортогональных проекциях. Прямые общего и частного положении. Следы примой. Взаимное положение точки и примой

Положение прямой линии в пространстве определяется двумя ее точками. А из свойств параллельного проецирования известно, что проекции прямых являются прямыми линиями. Поэтому, для построения прямой (m) достаточно построить проекции двух её точек (А и В) и одноименные проекции точек соединить прямыми (рисунок 1.6). Отсюда можно сделать вывод если точка лежит на примой, то ее проекции лежат на соответствующих проекциях примой. Если эта точка делит отрезок АВ в каком либо отношении, то в том же отношении проекции точки делят проекции отрезка.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется примой общего положении. На чертеже ни одна из проекций такой прямой не параллельна оси (рисунок 1.6). Длина ортогональной проекции отрезка прямой общего положения всегда меньше длины самого отрезка.

Прямые частного положения

Прямые параллельные или перпендикулярные плоскостям проекций называются прямыми частного положения

Различают два вида прямых частного положения:

  • -прямые уровня - прямые параллельные плоскостям проекций; проецирующие -прямые - прямые перпендикулярные плоскостям проекций.

Прямые уровня (рисунок 1.7).

  • а)    Горизонтальная прямая - прямая параллельная горизонтальной плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • б)    Фронтальная прямая - прямая параллельная фронтальной плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • в)    Профильная прямая - прямая параллельная профильной плоскостиОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

На плоскость проекций, которой прямая уровня параллельна, она проецируется в натуральную величину. Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

  • а)    горизонтально-проецирующая прямая - прямая перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • б)    фронтально-проецирующая прямая - прямая перпендикулярная фронтальной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • в)    профильно-мроецирующая прямая - прямая перпендикулярная профильной плоскости проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Следы примой

Следами прямой АВ называются точки пересечения ее с плоскостями проекций (рисунок 1.9). Точка H - горизонтальный след прямой АВ. Точка F - фронтальный след прямой АВ.

Так как следы прямой это точки лежащие на плоскостях проекций, то одна из проекций следа находится на оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамиПоэтому для определения на эпюре горизонтального следа прямой (рисунок 1.10) необходимо продолжить фронтальную проекцию прямой до пересечения с осью Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и отметить точку Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Из этой точки провести линию проекционной связи до пересечения с горизонтальной проекцией прямой. Получим точку Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамиопределяют горизонтальный след прямой. Аналогично определяется фронтальный след прямой Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Взаимное положение прямых. Понятие конкурирующих точек

Две прямые линии в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися. Их положение в пространстве устанавливается взаимным расположением одноименных проекций.

Если в пространстве две прямые параллельны, то их одноименные проекции также параллельны (рисунок 1.11а).

Параллельность профильных прямых не всегда очевидна. Хотя их горизонтальные и фронтальные проекции параллельны, сами прямые могут быть не параллельны. Для определения их взаимного положения можно построить профильную проекцию, (рисунок 1.116). Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Перeсекающиеси прямые - это прямые, имеющие общую точку, следовательно, если прямые в пространстве пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций лежат на одной линии проекционной связи (рисунок 1.12).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Скрещивающиеся прямые не имеют общей точки, поэтому точки пересечения их одноименных проекций не лежат на одной линии проекционной связи (рисунок 1.13).

Пары точек, у которых какие-либо одноименные проекции совпали, т.е. они лежат на одном проецирующем луче, называются конкурирующими (одна из них «закрывает» другую). Точки М и N - горизонтально-конкурирующие, точки К и L - фронтально-конкурирующие. Из двух конкурирующих точек видна та, у которой больше одна из координат (две другие совпадают).

Например, координата Z у точки М больше, чем у точки N , следовательно, прямая а в этом месте расположена выше прямой в и будет видима при взгляде сверху, т.е. на горизонтальной проекции. Аналогично, у точки L координата Y больше, чем у точки K, следовательно, в этом месте прямая а расположена ближе к зрителю и будет видима на фронтальной проекции. Определение видимости конкурирующих точек позволит нам в дальнейшем определять видимость прямой относительно плоскости.  

Задание плоскости в ортогональных проекциях. Следы плоскости

Положение плоскости в пространстве определяется тремя не лежащими на одной прямой точками, прямой и не лежащей на ней точкой, двумя параллельными или пересекающимися прямыми, плоской фигурой. Примеры задания плоскости даны на рисунке 1.14.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Все изображенные на рисунке 1.14 плоскости являются плоскостями общего положения. Плоскостью общего положения называется плоскость не перпендикулярная ни одной из плоскостей проекций. Плоскость также можно задать следами. Следами плоскости называются линии пересечения плоскости с плоскостями проекций (рисунок 1.15).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Т.к следы плоскости - прямые линии, то для их построения достаточно найти две точки принадлежащие им. Пели прямые лежат в плоскости, то их следы лежат на следах плоскости. Следовательно для построения следов плоскости достаточно построить следы двух прямых лежащих в этой плоскости (рисунок 1.15). Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Фронтальным следом плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами. называется линия ее пересечения с фронтальной плоскостью проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Обозначается фронтальный след буквойОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Фронтальная проекция этого следаОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами совпадает с самим следом, а горизонтальнаяОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами лежит на оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Горизонтальный след плоскости - линия пересечения с горизонтальной плоскостью проекций Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Аналогично горизонтальный след плоскостиОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамисовпадает со своей горизонтальной проекцией Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами а его фронтальная проекция лежит на осиОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Они имеют общую точку на оси х - точку схода следов.

Прямые и точки в плоскости

Точка лежит в плоскости, если она лежит на прямой принадлежащей этой плоскости.

Прямая принадлежит плоскости, если две её точки принадлежат этой плоскости.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

На рисунке 1.17а. фронтальная проекция точки К выбрана произвольно в плоскости а Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Для построения горизонтальной проекции через Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамипроведена произвольная прямая проходящая через точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамипринадлежащие плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами. Построив горизонтальные проекции точки Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами проведем горизонтальную проекцию прямой принадлежащей плоскостиОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами и по линии связи найдем на ней горизонтальную проекцию Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами Аналогично построена точка К принадлежащая плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рисунок 1.176) и плоскости Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рисунок 1.17в).  

Главные линии плоскости

Главными линиями плоскости называются ее горизонтали, фронтали и линии наибольшего ската.

Горизонтали плоскости - это прямые, принадлежащие плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций -Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Все горизонтали плоскости параллельны между собой и параллельны горизонтальному следу плоскости. Фронтальные проекции горизонталей параллельны оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рисунок 1.18).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Фронтали плоскости - это прямые, принадлежащие плоскости и параллельны фронтальной плоскости проекций -Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерамиВсе фронтали плоскости параллельны между собой и параллельны фронтальному следу плоскости. Горизонтальные проекции фронталей параллельны оси Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами (рисунок 1.19).

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Плоскости частного положения

Плоскости как и прямые относительно плоскостей проекций могут занимать частное положение. Плоскости, перпендикулярные или параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями частного положения.

Плоскости, перпендикулярные одной из плоскостей проекций, называются проецирующими (рисунок 1.20). Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

  • а)    горизонтально проецирующая плоскость Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • б)    фронтально проецирующая плоскостьОртогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами
  • в)    профильно проецирующая плоскость Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

Плоскости, параллельные одной из плоскостей проекций, называются плоскостями уровня (рисунок 1.21). Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

  • а)    горизонтальная плоскость уровня Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами заданная треугольником АВС;
  • б)    фронтальная плоскость уровня Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами заданная пересекающимися прямыми mn;
  • в)    профильная плоскость уровня y, заданная треугольником KLM.  

Изображение простейших геометрических поверхностей

Многогранники представляют собой совокупность отрезков прямых и плоских фигур. На рисунке 1.22 изображены:

  • а)    трехгранная прямая призма.
  • б)    трехгранная пирамида.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами

На рисунке 1.23 изображены простейшие кривые поверхности:

  • а)    прямой круговой цилиндр.
  • б)    прямой круговой конус.

Ортогональное проецирование: точка, прямая, плоскость с примерами