Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Содержание:

В пересечении поверхности плоскостью образуется линия называемая сечением. Сечением многогранника является многоугольник. Для его построения необходимо определить точку пересечения каждого ребра с плоскостью и соединить полученные точки с учетом видимости. Фактически решение такой задачи рассматривалось в лекции 2 (рисунок 2.13).

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

В данной лекции рассмотрим построение линии сечения пирамиды плоскостью Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Так как плоскость б фронтально-проецирующая, фронтальная проекция сечения совпадает с плоскостью Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами. Точки 1,2,3 - точки пересечения боковых ребер пирамиды с плоскостью Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами. Поэтому достаточно построить горизонтальные проекции этих точек. Точки Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами находятся по вертикальным линиям связи на ребрах Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами Так как ребро SB профильное, для нахождения точки Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами через проекциюПересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами проведем прямую Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами, лежащую на грани ASB и параллельную АВ. Построив, горизонтальную проекцию определим положение проекции Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамиСоединив, полученные точки, получим треугольник. Треугольник видимый, т.к. все грани пирамиды видимые.

Пересечение кривых поверхностей плоскостью. Конические сечения

В зависимости от положения секущей плоскости, различают следующие виды конических сечений (рисунок 8.2):

  • I - окружность - секущая плоскость перпендикулярна оси.
  • II - треугольник - секущая плоскость проходит через вершину конуса.
  • III    - эллипс - секущая плоскость пересекает все образующие конуса Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами
  • IV    - парабола - секущая плоскость параллельна образующей конуса Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами
  • V    - гипербола - секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (а > Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Построение линии сечения конуса по окружности и треугольнику не вызывает затруднений. Для окружности - замеряем радиус, для треугольника - находим точки пересечения с основанием. Построения показаны на рисунок 8. 2.

Для построения сечений конуса по эллипсу, параболе, гиперболе, необходимо определить несколько точек, принадлежащих линии сечения. Для нахождения этих точек используется метод плоскостей посредников.

Алгоритм решения задачи состоит в следующем:

  • а)    проводят плоскости посредники;
  • б)    строят линии пересечения посредников с данной поверхностью и с плоскостью;
  • в)    определяют точки пересечения между собой полученных линий;
  • г)    соединяют полученные точки с учетом видимости.

Для примера рассмотрим построение конуса по эллипсу (рисунок 8.3). Т.к. плоскость Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамифронтально-проецирующая, необходимо построить горизонтальную проекцию сечения. В первую очередь строятся опорные точки сечения, в данном случае высшая и низшая точка сечения, лежащая на контурных образующих (1 и 2). 1,2 - большая ось эллипса. Чтобы сечение получилось правильным, необходимо найти положение малой оси 3,4. Для нахождения горизонтальной проекции Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамичерез фронтальные проекции точек проводим вспомогательную горизонтальную плоскость посредник, которая рассекает конус по окружности. Таким же образом строим промежуточные точки 5,6,7,8. Полученные точки соединяем плавной кривой линией.

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Аналогично строятся линии пересечения других поверхностей плоскостями. Гораздо проще строить сечения поверхностей, проецирующими плоскостями, поэтому, если задана плоскость общего положения, имеет смысл выполнить замену плоскостей проекций, перпендикулярно заданной плоскости, а затем уже строить сечение.  

Пересечение примой линии с поверхностью

Для определения точек пересечения прямой линии с поверхностью применяется метод вспомогательных секущих плоскостей (рисунок 8.4)

Алгоритм решения задачи следующий:

  1. Через прямую Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамипроводим вспомогательную секущую плоскость Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами
  2. Строим линию пересечения m плоскости 6 с заданной поверхностью Ф.
  3. Определяем точки пересечения К и М прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами с построенной линией пересечения т. Это и будут искомые точки пересечения прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами с поверхностью.
  4. Определяем видимость прямой. Нужно подчеркнуть, что вспомогательная плоскость выбирается такой, чтобы сечение поверхности было простейшим.

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Рассмотрим несколько примеров на определение точек пересечения прямой с поверхностью.

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Примеры построении пересечение примой с различными поверхностями

Пример 1. Построить точки пересечения прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамис поверхностью наклонной трехгранной призмы (рисунок 8.5).

Последовательность решения следующая:

  1. Через прямуюПересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами проводим вспомогательную фронтально-проецирующую плоскостьПересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами
  2. Строим линию пересечения плоскости Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами и призмы. Сечением является треугольник 1, 2, 3.
  3. Определяем точки пересечения прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами с треугольником сечения (точки L и М).
  4. Определяем видимость прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Пример: Поострить точки пересечения прямойПересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами с поверхностью наклонного цилиндра (рисунок 8.6).

Ход решения:

  1. Через прямую Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами проводим вспомогательную плоскость Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами параллельную образующим цилиндра. Плоскость а - общего положения, где m параллельна образующим цилиндра.
  2. Строим линию пересечения плоскости а с поверхностью цилиндра. Плоскость параллельная образующим цилиндра рассечет цилиндр но параллелограмму. Для его построения определяем линию пересечения 1,2 плоскости а с плоскостью основания цилиндра. Из точек пересечения линии 1,2 с окружностью основания проводим образующие цилиндра.
  3. Определяем точки пересечения Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамипрямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамис линией сечения. Фронтальные проекции точек   определяем но линиям связи.
  4. Устанавливаем видимость прямой.

Пример:  Построить точки пересечения прямой с поверхностью конуса (рисунок 8.7)

Ход решения.

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

  1. Через прямую Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами проводим плоскость Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами общего положения проходящую через вершину конуса. Такая плоскость пересекает конус но треугольнику.
  2. Строим линию сечения конуса плоскостью а. Для этого определяем линию пересечения плоскости а с плоскостью основания конуса (точки 1 и 2, соответственно точки пересечения прямых Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамии m c плоскостью основания). Горизонтальная проекция линии пересечения 1,2 пересекает окружность основания. Полученные точки соединяем с вершиной конуса.
  3. Определяем точкиПересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами пересечения прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами с полученным сечением. Фронтальные проекции определяем по линиям связи.

Пример:  Построить точки пересечения прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами с поверхностью сферы (рисунок 8.8)

Последовательность решения:

  1. Через прямую Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерамипроводим горизонтально-проецирующую плоскость Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами
  2. Для построения линия пересечения сферы плоскостью а выполняем замену фронтальной плоскости проекций Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами параллельную плоскости Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами Строим окружность радиуса R (фигура сечения) и новую проекцию прямойПересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами
  3. Определяем точки пересечения Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами и окружности сечения. Далее, используя линии проекционной связи строим проекции точек Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами
  4. Определяем видимость прямой Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами

Пересечения поверхностей с прямой и плоскостью с примерами