Методы преобразования эпюра Монжа в начертательной геометрии с примерами

Содержание:

Методы преобразования эпюра Монжа:

Как видно из предыдущего материала, все геометрические задачи решаются проще, если объекты (или хотя бы один объект) заданы в частном положении.

Для перевода объектов из общего положения в частное с целью упрощения решения задач разработаны методы преобразования эпюра Монжа. Они делятся на два вида:

1. Геометрический объект при преобразовании остается неподвижным, а плоскости проекций меняют свое положение так, чтобы объект находился относительно них в частном положении (метод перемены или замены плоскостей проекций);
2. Плоскости проекций при преобразовании остаются неподвижными , а объект меняет свое положение так, чтобы относительно плоскостей проекций он занял частное положение (метод вращения вокруг проецирующей оси, метод совмещения, метод вращения вокруг линий уровня, метод плоско-параллельного перемещения).

Метод замены (перемены) плоскостей проекций

Смысл метода заключается в том, что в систему плоскостей проекций вводятся дополнительные плоскости проекций, по отношению к которым объект занимает частное положение (другими словами, плоскости проекций заменяются другими плоскостями). Ортогональность новых систем плоскостей проекций при этом сохраняется.

Замена плоскостей проекций осуществляется в последовательности:

Обычно производят одну или две замены плоскостей проекций.

На рисунке 6.1 в наглядной форме показана методика проведения замены плоскостей проекций. На рисунке 6.1а представлена замена одной фронтальной плоскости проекций (V —> Vi), а на рисунке 6.16 - замена двух плоскостей проекций

Из представленных наглядных изображений и эпюров вытекают следующие правила построения новых фронтальных и горизонтальных проекций точки на дополнительные плоскости проекций:

• 1)    ПРИ ЗАМЕНЕ ПЛОСКОСТИ V на . Для того, чтобы построить новую фронтальную проекцию точки на новой плоскости проекций

необходимо от новой оси по новой линии связи отложить аппликату точки из предыдущей системы плоскостей проекций.

• 2)    ПРИ ЗАМЕНЕ ПЛОСКОСТИ Н на Для того, чтобы построить новую горизонтальную проекцию точки на новой плоскости проекций необходимо от новой оси по новой линии связи отложить ординату точки из предыдущей системы плоскостей проекций.

В методе замены плоскостей проекций выделяют две основные задачи:

1. Перевод прямой общего положения в проецирующую;
2. Перевод плоскости общего положения в проецирующую.

На рисунке 6.2а показано преобразование прямой общего положения в проецирующую прямую, которое выполнено двумя заменами плоскостей проекций Первая замена осуществляется параллельно

прямой AВ, а вторая - перпендикулярно прямой АВ. Следует заметить, что при решении задачи определяется натуральная величина прямой (новая фронтальная проекция и угол наклона прямой к плоскости проекций Н (угол а°).

На рисунке 6.26 показано преобразование плоскости общего положения, заданной треугольником АВС, в проецирующую плоскость, которое выполнено одной заменой плоскостей проекций Замена осуществляется перпендикулярно горизонтали, проведенной в плоскости треугольника АВС для обеспечения перпендикулярности двух плоскостей (плоскости треугольника и новой плоскости проекций

Рассмотренные задачи положены в основу решения многих геометрических задач.

Пример: Определить расстояние между двумя параллельными прямыми АВ и CD (Рис.6.3).

Решение: Расстояние между параллельными прямыми определится, если обе прямые преобразовать в проецирующие. Тогда расстояние между двумя полученными точками будет являться искомым расстоянием. Преобразование произведем двумя заменами

Пример: Определить угол между двумя плоскостями (двугранный угол).

Решение: Двугранный угол определится, если общее ребро угла перевести в проецирующее положение (см. рисунок 6.2а). Тогда ребро "вырождается" в точку, а плоскости - в линии. Угол между линиями является искомым углом (рисунок 6.4).

Пример: Определить натуральную величину треугольника АВС.

Решение: Натуральную величину треугольника определим двумя заменами  

Сначала треугольник переведем в проецирующее положение, а затем - в параллельное. В последнем положении плоскость треугольника будет параллельна новой плоскости проекций и спроецируется на эту плоскость в натуральную величину (рисунок 6.5).

Метод вращения вокруг проецирующих осей

Метод заключается в том, что геометрический объект (прямую или плоскость) вращают вокруг проецирующей оси до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. В результате вращения геометрический объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину. На рисунке 6.6 в наглядной форме представлено вращение вокруг горизонтально-проецирующей оси (а) и вокруг фронтально-проецирующей оси (б) точки А.

Из приведенных схем видно, что если точка вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси, то её горизонтальная проекция перемещается по дуге окружности, а фронтальная - по прямой линии, параллельной оси ОХ. При вращении вокруг фронтально-проецирующей оси наблюдается обратная картина.

Пример: Определить угол наклона прямой к плоскости проекций Н и натуральную величину прямой.

Решение: НВ прямой и угол определится, если прямую вращать вокруг горизонтально-проецирующей оси до параллельности плоскости проекций V. Ось проведем, например, через точку В (рисунок 6.7).

Вращение вокруг линий уровня (горизонтали или фронтали)

Метод вращения вокруг горизонтали или фронтали заключается в том, что объект, например, плоскую фигуру вращают вокруг горизонтали или фронтали, проведенной в плоскости, до положения параллельности какой-либо плоскости проекций. После окончания вращения объект проецируется на плоскость проекций в натуральную величину (рисунок 6.8).

Главным вопросом метода вращения вокруг линий уровня является вопрос о параметрах вращения. Параметры вращения - это аппарат для решения задач с использованием этого метода.

Параметрами вращения являются (рисунок 6.9):

1. Объект вращения. Под объектом вращения следует понимать точку на геометрическом теле. Поэтому в каждой задаче важно определить точки, которые будут вращаться и конечное положение которых надо определить, чтобы получить решение;
2. Ось вращения (выбирается произвольно, если не задана);
3. Плоскость вращения объекта. Она проводится перпендикулярно оси вращения;
4. Центр вращения объекта. Это точка пересечения оси с плоскостью вращения;
5. Радиус вращения объекта. Это расстояние между точкой и центром вращения.
6. Новое положение объекта вращения (выбирается такое, чтобы геометрический объект занял частное положение).

Конечное положение объекта вращения (на рисунке 6.8, например, точка D) определится, когда радиус вращения (отрезок AD) станет проецироваться на плоскость проекции в натуральную величину.

Пример: Определить натуральную величину треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали (рисунок 6.10).

Решение: План решения задачи и его реализация:

1)    В плоскости треугольника проводим горизонталь h;

2)    Определяем объекты вращения - точки В и С. Точка А не может являться объектом вращения, так как она находится на оси и не будет перемещается в плоскости вращения;

3)    Проводим плоскости вращения точек В и С перпендикулярно

4)    Начинаем вращать точку, например. В;

5)    В месте пересечения плоскости вращения точки В с осью вращения находим центр вращения О

6)    Строим проекции радиуса вращения точки В (отрезок ОВ);

7)    Находим НВ радиуса вращения ОВ и откладываем его на плоскости вращения точки В отточки

8)    Получаем окончательное положение точки после вращения (точка

9)    Положение точки С можно найти таким же способом или другим способом, соединив точки до пересечения с плоскостью вращения точки С. Получим точку

10)    Полученные точки соединяем. Треугольник - искомый.

Ранее рассматривался вопрос об определении углов между прямой и плоскостью и между двумя плоскостями (см. раздел "Метрические задачи") с помощью дополнительных углов. Было показано, что натуральную величину дополнительных углов наиболее целесообразно определять методами преобразования, например, методом вращения вокруг горизонтали или фронтали. Рассмотрим пример задачи на определение угла между двумя плоскостями.  

Пример: Определить угол между плоскостью треугольника АВС и плоскостью а, заданной следами.  

Решение: План решения и его реализация:

1. В растворе двугранного угла возьмем любую точку К;
2. Из точки К опустим перпендикуляры на обе плоскости (см. тему "Перпендикуляр к плоскости");
3. Между двумя перпендикулярами получаем дополнительный угол
4. Определяем натуральную величину дополнительного угла методом вращения вокруг горизонтали h (см. тему "Вращение вокруг линий уровня");
5. Достраиваем полученную натуральную величину дополнительного угла до 180 градусов и получаем искомый угол (рисунок 6.11).

• Заказать чертежи

Метод совмещения

Метод совмещения представляет из себя частный случай вращения вокруг линии уровня. За ось вращения в этом случае принимают один из следов плоскости. Сущность метода заключается в том, что плоскость вместе с объектом, находящимся в ней, вращают до совмещения с плоскостью проекций.

Наглядное изображение    способа    совмещения вокруг

горизонтального следа представлено на рисунке 6.12. Исходное положение плоскостей проекций и плоскости дано на рисунке 6.12а. После поворота плоскости проекций Н и плоскости а образуется единая плоская система, в которой заданная плоскость вместе с треугольником, принадлежащим этой плоскости, совмещена с плоскостью Н (рисунок 6.12а). Для метода совмещения характерны все    параметры вращения,    которые рассматривались выше.

Главным вопросом метода совмещения является построение совмещенного следа , то есть следа, который вращается вместе с плоскостью и совмещается с плоскостью проекций. Его построение можно произвести двумя способами (рисунок 6.126). В первом способе построение ведется аналогично методу вращения вокруг горизонтали. Второй способ является прикладным, и он менее трудоемок по сравнению с первым.

Пример: Найти натуральную величину треугольника AВС, принадлежащего плоскости а.

Решение: С помощью точки А, принадлежащей фронтальному следу, найдем совмещенный фронтальный след (вторым способом).

Точка С треугольника находится на горизонтальном следе плоскости и поэтому не будет вращаться (горизонтальный след плоскости - ось вращения). Через точку В треугольника проведем горизонталь h и точку с помощью дуги окружности переместим на совмещенный след (точка . Через точкупроведем горизонталь в совмещенном положении , а через точку проведем плоскость вращения. На пересечении и плоскости вращения точки В найдем точку . Соединив точки и найдем НВ треугольника (рисунок 6.13).

Пример: Методом совмещения построить наклонное сечение детали.

Решение: Секущая плоскость А-А в данном случае является фронтально проецирующей. Совмещение осуществлялось вращением вокруг горизонтального следа, который перпендикулярен горизонтальной оси проекций (рисунок 6.14).

Метод плоско-параллельного перемещения

Плоско-параллельное перемещение - это вид механического движения объекта, когда каждая его точка перемещается в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекций, в результате чего объект перемещается на новое место и ему придаётся новое положение (рисунок 6.15).

Различают плоско-параллельное перемещение относительно плоскости Н - ППП(Н) и относительно плоскости V - ППП(У).

При плоско-параллельном перемещении объекта относительно плоскости Н горизонтальная проекция объекта изменяет свое положение, не изменяя своей формы и размеров. Фронтальная проекция объекта при этом изменяется по форме и размерам, а каждая точка объекта перемещается по прямым линиям, параллельным оси ОХ. ППП(Н) показано на рисунке 6.16а. Обратная картина наблюдается при ППП(V) -рисунок 6.166.

Оба вида плоско-параллельного перемещения, представленные на рисунке, применяются при решении типовых задач на определение натуральной величины плоских фигур.

Для решения задачи по определению натуральной величины отрезка прямой общего положения необходимо сделать одно перемещение и разместить одну из проекций так, чтобы она стала параллельна оси ОХ.

Для решения задачи на определение натуральной величины плоскости совершают два плоско-параллельных перемещения: сначала относительно одной плоскости проекций, а затем относительно другой.

Целью первого перемещения является перевод плоскости из общего положения в проецирующее. Плоскость станет проецирующей, если будет содержать прямую, перпендикулярную плоскости проекций. В качестве такой прямой используют горизонталь или фронталь. При первом перемещении проекция натуральной величины горизонтали или фронтали плоскости должна принять положение, перпендикулярное оси ОХ. Целью второго перемещения является перевод плоскости из проецирующего положения в положение, параллельное плоскости проекции. После этого плоскость проецируется в натуральную величину.

Пример: Методом плоско-параллельного перемещения определить центр окружности, описанной вокруг треугольника AВС.

Решение: Для того, чтобы найти центр описанной окружности треугольника, необходимо определить его натуральную величину. На основании вышерассмотренного материала совершим два плоскопараллельного перемещения: ППП(Н) и ППП(V) (рисунок 6.17).

Для преобразования плоскости треугольника во фронтально-проецирующую плоскость проведем в треугольнике горизонталь h и расположим её при первом ППП перпендикулярно оси ОХ. На ней построим треугольник равный исходному треугольнику (известным методом с помощью циркуля). Полученную на фронтальной проекции линию плоско-параллельно перемещаем относительно V до положения, параллельного оси ОХ. На новой горизонтальной проекции треугольника получаем его натуральную величину. С помощью срединных перпендикуляров получаем центр описанной окружности и возвращаем его на исходные проекции с помощью вспомогательной прямой В-2, проведенной в плоскости треугольника.