Переходные процессы в колебательных контурах

Содержание:

Переходные процессы в колебательных контурах:

В современных системах телекоммуникации, построенных на принципах цифровой обработки сигналов, сообщения представляются в виде последовательностей одно- или двухполярных импульсов напряжения или тока. Формы импульсов могут быть различными. Здесь рассматриваются только прямоугольные импульсы.

Одиночный прямоугольный импульс с фиксированными длительностью

Импульсы в последовательности могут иметь как строго определённую длительность, так и переменную, обычно кратную длительности одного видеоимпульса

Однако в канал связи собственно импульсы, за редким исключением, не передаются. Они заменяются отрезками гармонического колебания (рис. 19.1, в) длительностью период гармонического колебания Т  на отрезке всегда

существенно меньше наименьшей длительности импульса такие импульсы называют радиоимпульсами, а отрезок гармонического колебания часто называют высокочастотным заполнением.

Свободные колебания в RC-цепи при воздействии видеоимпульса

Задача 19.1.

Определить закон изменения напряжения на ёмкости в RС-цепи при воздействии видеоимпульса (рис. 19.2) при нулевых начальных условиях.

Решение. Реакцию на видеоимпульс можно определить, воспользовавшись принципом суперпозиции, а именно: представить видеоимпульс

как сумму двух ступенчатых воздействий одинаковых амплитуд одно из которых задержано на (рис. 19.2, а—в):

где

Тогда в силу линейности цепи реакция на сумму воздействий будет равна сумме реакций на каждое из воздействий
(рис. 19.2, г—е):

где согласно (18.3) имеем:

а реакция запишется как сумма полученных колебаний:

            (19.1)

Полученные выражения и рисунок показывают, что за время переходного процесса, ограниченное длительностью видеоимпульса , ёмкость может не успеть зарядиться до значения Е , а по окончании воздействия видеоимпульса происходит процесс разряда ёмкости. При этом чем больше постоянная времени тем длительнее оказываются переходные процессы заряда и разряда ёмкости, т. е. тем медленнее заряжается ёмкость и тем меньшим оказывается напряжение заряда к моменту окончания воздействия видеоимпульса.

Посмотрим, к чему может привести такое явление при передаче по системе связи не одного, а последовательности импульсов
(рис. 19.3, а), что имеет место в действительности. Если очередной импульс будет передаваться прежде, чем завершится разряд ёмкости1, произойдёт перекрытие, или наложение двух переходных процессов. В результате разряд ёмкости прекратится, и её заряд начнётся не с нуля, а с некоторого напряжения, достигнутого на ёмкости к этому моменту (рис. 19.3, б), т. е. последует частичное перекрытие соседних импульсов во времени, которое приведёт к искажению передаваемых и принимаемых импульсов. Причём от импульса к импульсу искажения будут нарастать.

Искажения такого рода называются межсимвольной интерференцией. Рассмотренное перекрытие соседних импульсов является наиболее простым примером межсимвольной интерференции. Борьба с межсимвольной интерференцией является весьма сложной и актуальной задачей.

Разряд считается завершённым, если напряжение на ёмкости не превышает 0,01 амплитуды Е.

Наиболее остро эта задача стоит перед разработчиками средств современной беспроводной связи, которые весьма широко используются в офисных и домашних сетях передачи информации, в интерфейсах "ноутбук — настольный компьютер", для обеспечения беспроводного доступа в Интернет, для организации сотовой связи. Скорость передачи данных в таких сетях исчисляется в десятках и сотнях гигагерц и имеет тенденцию к дальнейшему её росту.

Для передачи последовательности импульсов с такими скоростями без искажений требуется ряд условий, которые предъявляются к конкретным системам связи и которые изучаются в других дисциплинах.

Добиться исключения межсимвольной интерференции на этапе формирования первичных импульсов и ускорить процесс разряда ёмкости можно, если потребовать, чтобы постоянная времени была не больше длительности видеоимпульса (рис. 19.3, в):

       (19.2)

Свободные колебания в параллельном контуре без потерь

Параллельные и последовательные колебательные контуры являются основой избирательных фильтров, амплитудных и фазовых корректоров и входят в состав полосовых усилителей. Свойства перечисленных устройств зависят от свойств колебательных контуров, которые изучим при различных воздействиях.

Задача 19.2.

Пусть до момента t = 0  размыкания ключа цепь находилась в режиме постоянного тока: через индуктивность протекал постоянный ток а напряжение на ёмкости равнялось нулю. Следовательно, в момент коммутации начальные условия не являются нулевыми и описываются равенствами:

Найти законы изменения тока в контуре и напряжения на контуре

Решение. Для исследования процессов, происходящих в контуре после коммутации, воспользуемся операторным методом и запишем изображение напряжения на контуре:

   (19.3)

где

Умножая числитель и знаменатель (19.3) на получаем табличную функцию

которой соответствует оригинал (см. табл. 16.1, строка № 10):

        (19.4) 

Для определения закона изменения тока в контуре воспользуемся законом Ома в операторной форме

которой соответствует оригинал (см. табл. 16.1 строка № 11):

       (19.5)

Графики временной зависимости напряжения и тока в контуре без потерь представлены на рис. 19.5.

Заметим, что выражение (19.3) является изображением решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка, которое описывает процесс свободных колебаний в контуре:

Его характеристическое уравнение

совпадает с характеристическим уравнением выражения (19.3) и имеет пару комплексно сопряжённых мнимых корней

располагающихся на мнимой оси р-плоскости симметрично относительно начала координат (рис. 19.6).

Анализ полученных решений приводит к следующим выводам:

1.  свободные колебания тока в контуре без потерь и напряжения на его элементах являются отрезками незатухающих гармонических колебаний;
2. круговая частота колебаний .называемая частотой колебаний контура, определяется только параметрами контура L и С и не зависит от начальных условий;
3. начальные условия определяют амплитуды колебаний тока и напряжения
4. отношение амплитуд колебаний напряжения и тока в контуре равно его волновому, или характеристическому сопротивлению и не зависит от начальных условий;
5. начальные фазы колебаний тока и напряжения различны и в общем случае зависят от начальных условий.

Свободные колебания в последовательном RLC-контуре

Незатухающий характер колебаний в рассмотренном идеальном LC-контуре объясняется отсутствием потерь (т. е. активной проводимости G); в этом случае свободные колебания представляют собой периодический процесс перехода энергии из одного вида в другой: из магнитной в электрическую и обратно. Любой реальный контур содержит не идеальные конденсаторы и катушки индуктивности, что приводит к потерям энергии за счёт её рассеяния (см.разд. 3.3). Наличием потерь обусловлен затухающий характер свободных колебаний, что показывается ниже на примере последовательного колебательного RLС-контура, т. е. контура с потерями, что отражается введением резистивного элемента.

Задача 19.3.

Пусть в момент коммутации t(0) к последовательной RL-цепи (рис. 19.7, а) подключена заряженная ёмкость Найти закон изменения тока i(t) в последовательном колебательном RLС-контуре.

Решение. До коммутации напряжение на ёмкости было равно Е, а ток в индуктивности равнялся нулю. По закону коммутации в образовавшемся RLC-контуре имеем:

Воспользуемся операторной схемой замещения анализируемого контура, для чего, как и в задаче 18.1, представим операторную схему замещения заряженной ёмкости в виде последовательно соединённых источника напряжения и незаряженной емкости С.

Согласно закону Ома в операторной форме (рис. 19.7, б) изображение реакции (тока) имеет вид:

    (19.6)
где:

    коэффициент затухания контура;

круговая частота собственных колебаний контура без потерь.

Для оценки характера свободных колебаний обратимся к характеристическому уравнению рассматриваемой цепи, которое получается приравниванием знаменателя (19.6) нулю:

         (19.7)

и изучим корни этого уравнения

       (19.8)

которые являются полюсами функции (19.6).

Поскольку коэффициенты характеристического уравнения вещественны (вследствие вещественности значений параметров R, L и С), его корни (полюсы функции (19.6)) согласно основной теореме алгебры могут быть либо вещественными, либо составлять комплексно-сопряжённую пару.

Рассмотрим три возможных случая:

1. Корни (полюсы) комплексно-сопряжённые:

где

      (19.9)

Расположение таких корней на р-плоскости показано на рис. 19.8, а. Такие корни могут быть лишь при условии выполнения неравенства

или, что то же самое, при

Исходя из таблицы соответствий (см. табл. 16.1, строка № 12)

согласно (19.6) получаем формулу для тока в контуре:

        (19.10)

Из последнего выражения видно, что амплитуда колебаний является функцией времени и убывает по экспоненциальному
закону Такой режим свободных колебаний называется режимом затухающих гармонических колебаний (рис. 19.9, а). Скорость убывания амплитуды колебаний зависит от величины коэффициента затухания 5, характеризующего потери в контуре.

Частота

        (19.11)

называется частотой собственных затухающих колебаний контура. Она меньше частоты собственных незатухающих колебаний и зависит от значений всех элементов контура, а не только от значений реактивных элементов.

Период затухающих колебаний равен

           (19.12)

Назовём добротностью контура отношение сопротивления элемента индуктивности к сопротивлению резистивного элемента

тогда коэффициент затухания примет вид:

  

откуда следует, что колебания в контуре убывают тем медленнее, чем выше добротность контура.

Поскольку частота собственных затухающих колебаний контура (19.9), выраженная через добротность, записывается в виде:

то колебательному режиму в контуре соответствуют значения добротности причём чем больше добротность, тем ближе друг к другу частоты а при имеет место

Как говорилось ранее (см. задачу 19.1), процесс свободных колебаний считается оконченным, если амплитуда колебаний становится равной от первоначального значения. Следовательно, длительность свободных колебаний в контуре согласно (19.10) может быть принятой в пределах:

2. Корни характеристического уравнения вещественные кратные.

Если два корня (полюса) равны друг другу то такие корни называются кратными. В данном случае кратные вещественные корни (полюсы) являются отрицательными и равны

Расположение кратных вещественных корней на р-плоскости показано на рис. 19.8, б. Такие корни согласно (19.8) возможны только при равенстве

т.е. когда 

Это — предельный случай колебательного режима, когда частота собственных затухающих колебаний равна нулю:

чему соответствует бесконечно большой период колебаний Ток в этом случае имеет вид

Такой режим свободных колебаний (рис. 19.9, б) называют критическим.

3. Корни вещественные и различные.

Вещественные различные корни можно представить выражением

при условии вещественности

т. е. при   В свою очередь, это означает, что корни являются отрицательными. Расположение корней и показано на
рис. 19.8, в. Следовательно, первичные параметры контура должны удовлетворять неравенству:

Найдём ток в контуре, для чего преобразуем выражение (19.6)

 Представим дробь в виде суммы простых дробей

и определим неизвестные коэффициенты разложения и

Для равенства левой и правой дробей необходимо, чтобы их числители были равными, поэтому записываем систему уравнений:

из которой нетрудно получить значения искомых коэффициентов:

Подставим найденные коэффициенты разложения в формулу операторного тока: 

Для получения формулы протекающего в контуре токавоспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа и таблицей соответствий (см. табл. 16.1, строка № 7):

откуда следует, что ток в цепи представляет собой алгебраическую сумму двух экспоненциальных функций, абсолютные значения которых убывают во времени, поскольку корни отрицательны:

Этот режим (рис. 19.9, в) называется апериодическим.
 

Колебания в последовательном RLC-контуре при воздействии в виде отрезка гармонического колебания

Задача 19.4.

Пусть при нулевых начальных условиях на последовательный RLC-контур, имеющий резонансную частоту действует отрезок гармонического колебания с той же частотой

Найти закон изменения тока в контуре.

Решение. Запишем ток в операторной форме согласно закону Ома:

и подставим сюда изображение воздействия

и операторное сопротивление контура

  

где

    — коэффициент затухания контура,

— резонансная частота.

В результате получаем сложную функцию

         (9.13)

не имеющую табличного соответствия. Для определения оригинала представим (19.13) в виде суммы простых дробей:

         (19.14)

Коэффициенты А, В, С, D определим методом неопределённых коэффициентов, как это было сделано в разд. 19.3.3, для чего приведём дроби (19.14) к общему знаменателю и приравняем числители новой дроби числителю (19.13). После этих несложных преобразований получаем равенство

которое, как нетрудно видеть, справедливо при следующих соотношениях между коэффициентами:

Решение этой системы линейных уравнений даёт:

Подставляя коэффициенты в (19.14), имеем:
 

Оригиналы для дробей, стоящих в скобках, известны (см. табл. 16.1), и можно сразу записать выражение для тока:

         (19.15)

где

— частота собственных затухающих колебаний контура с потерями.

Выражение для тока (19.15) существенно упрощается, если учесть, что на практике применяются контуры высокой добротности  для которых

При этих условиях выражение для тока принимает вид:

       (19.16)

Функция (19.16) описывает колебание (рис. 19.10), которое отличается от гармонического воздействия тем, что его амплитуда возрастает по экспоненциальному закону, стремясь к значению

которое принято называть установившимся.

Из (19.16) следует, что нарастание амплитуды тока происходит тем быстрее, чем больше коэффициент затухания контура 5. Напомним, что процесс установления колебаний в контуре происходит за время

Найдём связь между длительностью переходного процесса и шириной полосы пропускания контура, для чего подставим в формулу для значение

откуда полагают, что

                                                                                                                         (19.17)

Выводы:

•  чем выше добротность контура, т. е. чем уже его полоса пропускания, тем больше длительность переходного процесса, а это, в свою очередь, приводит к большим искажениям формы передаваемого сигнала;
• произведение полосы пропускания контура на длительность переходного процесса в контуре согласно (19.17) приближённо равно единице ; это справедливо и для более сложных избирательных цепей.

Прохождение радиоимпульса через колебательный контур

Пусть на контур воздействует радиоимпульс длительности и частотой, равной резонансной частоте контура (рис. 19.11, а):

Реакцию контура на радиоимпульс можно найти на основании принципа суперпозиции с учётом полученного в разд. 19.4
решения (19.16).

В зависимости от полосы пропускания контура, т. е. от величины коэффициента затухания контура , возможны три типичных случая (рис. 19.11):

1. Длительность радиоимпульса меньше времени установления колебаний: т.е. полоса пропускания контура достаточно узкая (рис. 19.11,6); импульс значительно искажается, поскольку к моменту окончания воздействия колебания в контуре не являются установившимися.
2. Длительность радиоимпульса равна времени установления колебаний — полоса пропускания контура оптимальная (рис. 19.11, в) выполняется соотношение (19.17). В этом случае колебания в контуре могут считаться установившимися к моменту окончания воздействия. Такое же время потребуется на затухание колебаний в контуре до величины, равной от установившегося значения. Следовательно, через время с момента начала воздействия контур будет готов к приёму очередного радиоимпульса.
3. Длительность радиоимпульса больше времени установления колебаний: в этом случае установление колебаний и затухание происходят быстрее (рис. 19.11, г), поэтому очередной радиоимпульс может быть подан на колебательный контур через время