Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Классический метод расчета переходных процессов

Содержание:

Классический метод расчета переходных процессов:

В работе электрических цепей различают два режима процессов: переходный и установившийся.

Переходной процесс

Переходным процессом в электрической цепи называют электромагнитный процесс, возникающий в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому. Этот процесс возникает в электрических цепях при подключении к ним или отключении от них источников электрической энергии, а также при скачкообразном изменении схемы цепи или параметров входящих в нее элементов. Установившимся называют такой режим, при котором токи, напряжения и ЭДС в цепи являются постоянными функциями времени [I4].

В цепях, не содержащих энергоемких элементов (индуктивностей и емкостей), новый установившийся режим наступает непосредственно за моментом коммутации. Поэтому можно считать, что в таких цепях переходные процессы отсутствуют.

В цепях с энергоемкими элементами переходные процессы продолжаются некоторое время, так как энергии электрических полей конденсаторов Классический метод расчета переходных процессов

При анализе переходных процессов в электрических цепях классическим методом составляется система уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Эти уравнения составляются непосредственно по законам Кирхгофа или с помощью других методов расчет цепей, например метода контурных токов или метода узловых потенциалов. При этом используются соотношения между токами и напряжениями в элементах цепи

Классический метод расчета переходных процессов

В полученной таким образом системе уравнений выбирается основная переменная, и исключением других переменных из системы уравнений получают одно уравнение, содержащее только основную переменную. В общем случае для линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами, содержащих элементы Классический метод расчета переходных процессов это уравнение является интегро-дифференциальным. Путем повторного дифференцирования этого уравнения можно получить линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами, имеющее в общем случае вид

Классический метод расчета переходных процессов

где Классический метод расчета переходных процессов — постоянные коэффициенты, зависящие от схемы цепи и параметров ее элементов; Классический метод расчета переходных процессов — выходная величина (ток или напряжение); Классический метод расчета переходных процессов — внешнее воздействие на цепь (источник ЭДС или тока).

Порядок высшей производной дифференциального уравнения определяет порядок цепи. Так, например, если этот порядок будет первым, то и цепь называют цепью первого порядка и т. д.

Решение уравнения (6.2) ищется в виде

Классический метод расчета переходных процессов

где Классический метод расчета переходных процессов — свободная составляющая, являющаяся общим решением однородного дифференциального уравнения

Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов— вынужденная составляющая, являющаяся частным решением уравнения (6.2).

Свободная составляющая Классический метод расчета переходных процессов — это свободные электрические токи или напряжения, которые равны разности переходных и установившихся токов или напряжений. Они характеризуют процесс рассеивания или накапливания энергии энергоемкими элементами L и С.

Вынужденная составляющая Классический метод расчета переходных процессов характеризует процесс, возникающий в цепи под влиянием внешнего воздействия Классический метод расчета переходных процессов после окончания переходного процесса. Это установившиеся, т.е. постоянные или периодические, токи и напряжения, которые устанавливаются в электрической цепи после окончания переходных процессов при воздействии на цепь постоянных или периодических ЭДС или токов.

Решение однородного дифференциального уравнения имеет вид

Классический метод расчета переходных процессов

где Классический метод расчета переходных процессов — корни характеристического уравнения

Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов — постоянная интегрирования.

Корни характеристического уравнения Классический метод расчета переходных процессов у пассивных электрических цепей всегда либо вещественные отрицательные, либо комплексные сопряженные с отрицательной вещественной частью. Характер корней уравнения определяет вид свободной составляющей (табл. 6.1).

Особенностью метода является необходимость определения постоянных интегрирования и корней характеристического уравнения.
Классический метод расчета переходных процессов

Число постоянных интегрирования и корней характеристического уравнения зависит от порядка цепи. Постоянные интегрирования находят из начальных условий искомой функции и ее производных.

Законы коммутации

Классический метод расчета переходных процессов

Начальные условия — значения токов и напряжений при t = 0.

Независимые начальные условия - это величины, которые согласно законам коммутации не изменяются скачком. Они определяются из расчета установившегося режима до коммутации:

Классический метод расчета переходных процессов

Зависимые начальные условия — это значения токов и напряжений в момент коммутации Классический метод расчета переходных процессов которые изменяются скачком. Они определяются по схеме, образованной после коммутации, по законам Кирхгофа с учетом законов коммутации.

Пример расчета начальных условий

Независимые начальные условия (рис. 6.1) определяют по второму закону коммутации, используя соотношение (6.2)

Классический метод расчета переходных процессов

Зависимые начальные условия находят для после коммутационной схемы (рис. 6.2), записав уравнения в соответствии с законами Кирхгофа с учетом того, что Классический метод расчета переходных процессов известно, т. е.:

Классический метод расчета переходных процессов

Выразим из первого уравнения системы уравнений (6.10) Классический метод расчета переходных процессов и подставим во второе уравнение.

Тогда

Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов

В матричной форме система уравнений (6.11) принимает вид:

Классический метод расчета переходных процессов
Решении системы уравнений (6.12), согласно формулам Крамера имеют вид:

Классический метод расчета переходных процессов

где
Классический метод расчета переходных процессов
 

Определение корней характеристического уравнения

Определение корней по однородному уравнению:

Записывают неоднородное дифференциальное уравнение относительно тока Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов

Преобразуя однородное уравнение, получают характеристическое
Классический метод расчета переходных процессов
откуда корень характеристического уравнения

Классический метод расчета переходных процессов

Определение корней по входному комплексному сопротивлению после коммутационной схемы

Запишем выражение для входною комплексного сопротивления, приравняем его к нулю (для схемы с источником ЭДС) или комплексную проводимость (для схемы с источником тока)  заменив Классический метод расчета переходных процессов на Классический метод расчета переходных процессов из уравнения Классический метод расчета переходных процессов определяют Классический метод расчета переходных процессов

Переходя от исследуемой схемы (рис. 6.3, a) к комплексной схеме замещения {рис. 6.3, б), определяют

Классический метод расчета переходных процессов

Заменив Классический метод расчета переходных процессов на Классический метод расчета переходных процессов и приравняв Классический метод расчета переходных процессов к нулю, получим

Классический метод расчета переходных процессов

откуда корень полученного уравнения

Классический метод расчета переходных процессов

Определение корней по постоянной времени цепи

Известно [4, 14], что Классический метод расчета переходных процессов где Классический метод расчета переходных процессов— постоянная времени цепи.

Для цепи с одним индуктивным элементом постоянная времени Классический метод расчета переходных процессов, а с емкостным —Классический метод расчета переходных процессов

Для определения Классический метод расчета переходных процессов необходимо закоротить входной источник ЭДС или разорвать ветвь с источником тока в после коммутационной схеме (см. рис. 6.3, а) и определить общее сопротивление цепи относительно зажимов peактивного элемента (рис. 6.4):

Классический метод расчета переходных процессов   Классический метод расчета переходных процессов  

Для последовательного колебательного контура

Классический метод расчета переходных процессов

Определение корней по определителю матрицы комплексных контурных сопротивлений (узловых проводимостей)

Определитель матрицы комплексных контурных сопротивлений (узловых проводимостей) приравнивают к нулю и, заменив Классический метод расчета переходных процессов рассчитывают корни уравнений Классический метод расчета переходных процессов (см. рис. 6.3, б):

Классический метод расчета переходных процессов

Порядок расчета переходных процессов. Составляют дифференциальные уравнения для послекоммутационной схемы относительно величин, которые согласно законам коммутации не изменяются скачком. Решение уравнений представляют в виде суммы вынужденной Классический метод расчета переходных процессов и свободной Классический метод расчета переходных процессовсоставляющих:

Классический метод расчета переходных процессов

Определяют вынужденную составляющую тока (напряжения), используя методы расчета цепи в установившемся режиме, т.е. в цепи после окончания переходного процесса Классический метод расчета переходных процессов

Определяют свободную составляющую.

Вычисляют постоянные интегрирования.

Рассчитывают корни характеристического уравнения р„.

Записывают решение, строят графики.

Проверяют решение, изображают схему при Классический метод расчета переходных процессов

Качественный анализ переходных процессов

В цепях с одним реактивным элементом можно провести качественный анализ переходных процессов без составления и решения дифференциальных уравнений, применив законы Кирхгофа и учитывая законы коммутации. Для этого используют два положения:

  1. в цепях 1-го порядка свободная составляющая затухает но экспоненциальному закону Классический метод расчета переходных процессов ;
  2. закон изменения вынужденной составляющей определяется характером воздействующих на цепь напряжений.

Порядок расчета переходных процессов в цепях первого порядка:

  • определяют значения переходных токов и напряжений для Классический метод расчета переходных процессов
  • определяют значения переходных токов и напряжений для Классический метод расчета переходных процессов
  • определяют постоянную времени цепи Классический метод расчета переходных процессов
  • строят графики токов и напряжений;
  • записывают по графикам аналитическое выражение для переходных токов и напряжений.

Примеры решения типовых задач

Пример 6.5.1.

Накопительная емкость импульсного модулятора передающего устройства РЛС (рис. 6.5) после включения разряжается через разрядное сопротивление. Определить время, через которое напряжение на емкости уменьшится до уровня Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов

Решение

Составляют дифференциальное уравнение для послекоммутационной схемы относительно напряжения Классический метод расчета переходных процессов
Классический метод расчета переходных процессов

где Классический метод расчета переходных процессов

Решением дифференциального уравнения служит напряжение на емкости в переходном и установившемся режимах и имеет вид

Классический метод расчета переходных процессов

Вынужденная составляющая напряжения (в послекоммутационной схеме при Классический метод расчета переходных процессов)

Классический метод расчета переходных процессов

Свободная составляющая напряжения 

Классический метод расчета переходных процессов

Рассчитывают постоянную интегрирования А из начальных условий |при /(0+)].

Классический метод расчета переходных процессов

откуда

Классический метод расчета переходных процессов

Определяют постоянную времени, используя соотношение 

Классический метод расчета переходных процессов

Находят напряжение в переходном режиме

Классический метод расчета переходных процессов

Вычисляют время разряда накопительной емкости из уравнений

Классический метод расчета переходных процессов

После логарифмирования получаем:

Классический метод расчета переходных процессов

Строят, например, в среде Mathcad, графики изменения напряжения на емкости в переходном режиме (рис. 6.6).
Классический метод расчета переходных процессов

Определяют длительность переходного процесса

Классический метод расчета переходных процессов

Вывод. Для регулирования длительности переходного процесса необходимо изменять в цепи постоянную времени Классический метод расчета переходных процессов Это достигается путем выбора параметров R и С. За время Классический метод расчета переходных процессов свободная составляющая уменьшается в е = 2,718 раз.

Пример 6.5.2.

Обмотка электромагнитного реле подключается к источнику постоянной ЭДС Классический метод расчета переходных процессов последовательно с добавочным сопротивлением Классический метод расчета переходных процессов (рис. 6.7).

Классический метод расчета переходных процессов

Найти время, через которое срабатывает реле, если ток срабатывания Классический метод расчета переходных процессов Параметры обмотки реле: Классический метод расчета переходных процессов

Решение

Составляют дифференциальное уравнение для послекоммутационной схемы относительно тока

Классический метод расчета переходных процессов

Решив полученное дифференциальное уравнение, получают ток переходного процесса Классический метод расчета переходных процессов

Определяют вынужденную составляющую тока (в послекоммутационной схеме при Классический метод расчета переходных процессов)

Классический метод расчета переходных процессов

Определяет свободную составляющую тока

Классический метод расчета переходных процессов

Определяют постоянную интегрирования А из начальных условий. Независимые начальные условия находят по первому закону коммутации

Классический метод расчета переходных процессов

откуда Классический метод расчета переходных процессов

Определяют постоянную времени электрической цепи

Классический метод расчета переходных процессов

Определяют ток в переходном режиме

Классический метод расчета переходных процессов

Определяют время срабатывания реле из уравнения

Классический метод расчета переходных процессов

в результате следующих преобразований которого

Классический метод расчета переходных процессов

получаем Классический метод расчета переходных процессов

В среде Mathcad график функции i(t) имеет вид, приведенный на рис. 6.8.

Выводы. 1. Подбирая различное по значению добавочное сопротивление Классический метод расчета переходных процессовможно управлять временем срабатывания реле.

2.Приведенный порядок расчета можно применить в интегрирующих и дифференцирующих цепях, используемых для коррекции динамических свойств систем автоматического управления.

Классический метод расчета переходных процессов

Пример 6.5.3.

Параллельный колебательный контур (рис. 6.9) подключается к источнику ЭДС Классический метод расчета переходных процессов

Определить закон изменения напряжении Классический метод расчета переходных процессов для трех случаев: 

Классический метод расчета переходных процессов  Классический метод расчета переходных процессов

Решение

Определяют напряжение на конденсаторе в переходном режиме как сумму вынужденной и свободной составляющей

Классический метод расчета переходных процессов

Определяют вынужденную составляющую напряжения Классический метод расчета переходных процессов

При установившемся режиме Классический метод расчета переходных процессов конденсатор шунтирован катушкой индуктивности накоротко.

Определяют корни характеристического уравнения Классический метод расчета переходных процессов Для этого находят входное сопротивление цепи и приравнивают к нулю (см. разд. 6.4.2)

Классический метод расчета переходных процессов

откуда

Классический метод расчета переходных процессов

Для трех заданных значений параметров определяют вид корней:

Классический метод расчета переходных процессов

а после вычислений получаем Классический метод расчета переходных процессов

Корни действительные и различные, поэтому свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид

Классический метод расчета переходных процессов

2)    Классический метод расчета переходных процессовКлассический метод расчета переходных процессов

Корни действительные, равные, следовательно,

Классический метод расчета переходных процессов

3)Классический метод расчета переходных процессовКлассический метод расчета переходных процессов

Корни комплексные, сопряженные, тогда

Классический метод расчета переходных процессов

Определяют постоянные интегрирования Классический метод расчета переходных процессов из начальных условий:

Классический метод расчета переходных процессов

Решают уравнения, составленные по законам Кирхгофа для Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов

Далее находят Классический метод расчета переходных процессов из выражений для Классический метод расчета переходных процессов и Классический метод расчета переходных процессов Для момента времени Классический метод расчета переходных процессов

Рассчитаем Классический метод расчета переходных процессов для трех случаев корней:

1) корни действительные и различные (рис. 6.10): Классический метод расчета переходных процессовКлассический метод расчета переходных процессов тогда

Классический метод расчета переходных процессов

При t = (0+)

Классический метод расчета переходных процессов

отсюда

Классический метод расчета переходных процессов

Графики напряжения Классический метод расчета переходных процессов и его составляющих выполнены в среде Mathcad и показаны на рис. 6.10;

Классический метод расчета переходных процессов

2) корни действительные и равные (рис. 6.11): Классический метод расчета переходных процессов Классический метод расчета переходных процессов тогда

Классический метод расчета переходных процессов

При t = (0+)

Классический метод расчета переходных процессов

отсюда

Классический метод расчета переходных процессов

тогда

Классический метод расчета переходных процессов.

Компьютерный график напряжения Классический метод расчета переходных процессов приведен на рис. 6.11;

Классический метод расчета переходных процессов

3) корни комплексные, сопряженные (рис. 6.12): Классический метод расчета переходных процессовтогда

Классический метод расчета переходных процессов

 При t=(0+) 

Классический метод расчета переходных процессов

отсюда

Классический метод расчета переходных процессов 

тогда   Классический метод расчета переходных процессов

Компьютерный график напряжения Классический метод расчета переходных процессов приведен на рис. 6.12.

Классический метод расчета переходных процессов

Выводы

1. Напряжение Классический метод расчета переходных процессов при колебательном режиме, если Классический метод расчета переходных процессов представляет собой затухающее колебание. Уменьшение R приводит к увеличению времени

Классический метод расчета переходных процессов

2. Переходной процесс в параллельном колебательном контуре при R < 2р используют в автоколебательных системах, где контур является нагрузочной цепью.

Пример 6.5.4. Интегрирующая цепь (рис. 6.13) с параметрами Классический метод расчета переходных процессов Классический метод расчета переходных процессов подключается к сопротивлению Классический метод расчета переходных процессов

Произвести качественный анализ изменении напряжения на конденсаторе и токов в ветвях в переходном режиме.

Решение

Определяют значение переходных токов и напряжений для Классический метод расчета переходных процессов Из эквивалентной схемы для Классический метод расчета переходных процессов приведенной на рис. 6.14, находят Классический метод расчета переходных процессов

Эквивалентная схема для Классический метод расчета переходных процессов прицелена на рис. 6.15.

Классический метод расчета переходных процессов

Для этой схемы составляют систему уравнений по законам Кирхгофа:
Классический метод расчета переходных процессов

Определяют значение переходных токов и напряжений для Классический метод расчета переходных процессов Эквивалентная схема для Классический метод расчета переходных процессов приведена на рис. 6.16.

Классический метод расчета переходных процессов           Классический метод расчета переходных процессов

Определяют Классический метод расчета переходных процессов используя соотношение (6.21)

Классический метод расчета переходных процессов

Записывают аналитические выражения для переходных токов и напряжений:

Классический метод расчета переходных процессов
Строят графики напряжений и токов, например, в среде Mathcad (рис. 6.17, 6.18).

Классический метод расчета переходных процессов

Классический метод расчета переходных процессов

Цепи в виде резисторно-конденсаторного делителя нашли широкое применение и импульсных устройствах РЭТ.