Метод узловых напряжений

Содержание:

Метод узловых напряжений:

Метод узловых напряжений (узловых потенциалов) является наиболее общим. Он базируется на первом законе Кирхгофа (ЗТК) и законе Ома. В отличие от методов, рассмотренных в лекции 4, метод позволяет уменьшить число уравнений, описывающих схему, до величины, равной количеству рёбер (ветвей) дерева (2.1)

Идея метода состоит в следующем:

1. Выбирается базисный узел — один из узлов цепи, относительно которого рассчитываются напряжения во всех узлах; базисный               узел помечается цифрой 0.
2. Потенциал базисного узла принимается равным нулю.
3. Рассчитываются напряжения во всех узлах относительно базисного.
4. По закону Ома находятся токи и напряжения в соответствующих ветвях.

Напряжения в узлах цепи, отсчитанные относительно базисного, называют узловыми напряжениями.

Определение:

Метод анализа колебаний в электрических цепях, в котором неизвестными, подлежащими определению, являются узловые напряжения, называется методом узловых напряжений.

В дальнейшем будем полагать, что цепь имеет

• — задающий ток источника тока, который может быть подключён к -му узлу; этот ток считается известным и характеризует          воздействие на цепь;
• — узловое напряжение -го узла, отсчитанное относительно нулевого (базисного)узла;
• — активная проводимость, связывающая £-ый и -ый узлы;
•  — ток в ветви между -ым и -ым узлами, отсчитываемый от -го узла в направлении -го; токи, направления отсчётов                      которых ориентированы от узла, входят в уравнения со знаком "+ ";
•  - напряжение в ветви между -ым и -ым узлами.

Предварительно покажем, что при известных узловых напряжениях можно найти напряжения на всех элементах цепи, а потому и все токи. Действительно, напряжение на любой ветви определяется по второму закону Кирхгофа (ЗНК) как разность соответствующих узловых напряжений, а токи в элементах найдутся по закону Ома. Для контура, включающего элементы   (рис. 5.1), по ЗНК имеем:

откуда

Аналогично можно записать

что и требовалось показать.

Составление узловых уравнений

При составлении уравнений для, схемы рис. 5.1 будем полагать, что задающие токи и источников тока (их на схеме два) известны.

Тогда согласно первому закону Кирхгофа для узлов 1 и 2 в предположении, что в общем случае они связаны со всеми другими узлами, получим:

Выразим токи в уравнениях через узловые напряжения, как показано в разд. 5.1:

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получаем узловые уравнения:

Полученный результат позволяет сделать следующие выводы:

• в левую часть каждого из уравнений входит N слагаемых, пропорциональных искомым узловым напряжениям
• коэффициент при узловом напряжении -го узла, для которого составляется уравнение, представляет собой сумму проводимостей всех элементов, подключённых одним из своих зажимов к этому узлу; этот коэффициент входит в уравнение с положительным знаком;
• остальные слагаемые представляют собой произведение узлового напряжения на проводимость элемента, связывающего

- ый и -ый узлы; все эти слагаемые входят в уравнение с отрицательным знаком.

Аналогично записываются узловые уравнения для всех других узлов цепи, в результате чего образуется система узловых уравнений вида:

где:

— собственная проводимость -го узла цепи, являющаяся арифметической суммой проводимостей всех элементов, подключённых одним из зажимов к -му узлу;

  — взаимная проводимость -го и -го узлов цепи, являющаяся проводимостью элемента, включённого между -ым и -ым            узлами;

— задающий ток -го узла цепи, являющийся алгебраической суммой задающих токов источников тока, подключённых одним         из зажимов к -му узлу цепи; слагаемые этой суммы входят в правые части уравнений со знаком "+", если направление отсчёта           задающего тока источника ориентировано в сторону к-го узла, и со знаком в противном случае.

Систему узловых уравнений принято записывать в канонической форме, а именно:

• токи, как свободные члены, записываются в правых частях уравнений;
• неизвестные напряжения записываются в левых частях уравнений с последовательно возрастающими индексами;
• уравнения располагаются в соответствии с порядковыми номерами узлов. Такая запись применена в (5.2).

Система (5.2) является линейной неоднородной системой независимых уравнений, поэтому позволяет найти искомые узловые напряжения. Методы решения таких систем широко известны (Крамера, Гаусса, Гаусса—Жордана).

Метод узловых напряжений даёт существенное сокращение необходимого числа уравнений по сравнению с методом токов элементов. Выигрыш оказывается тем значительнее, чем больше независимых контуров имеет цепь.

Система называется неоднородной, если хотя бы один из свободных членов (в данном случае это ) не равен нулю.

Особенности составления узловых уравнений

Метод узловых напряжений можно применять и в тех случаях, когда в анализируемой цепи имеются источники напряжения. При этом:

• напряжение между любой парой узлов, к которым подключён источник напряжения, известно;
• в качестве базисного желательно выбирать узел, к которому одним из своих зажимов подключён источник напряжения — тогда   узловое напряжение, отсчитываемое между базисным узлом и вторым зажимом источника, равно ЭДС источника или    отличается от него знаком; кроме того, базисным может быть выбран узел, к которому подключено наибольшее число элементов,        если этот выбор не противоречит первой рекомендаций;
• уменьшается число независимых узловых напряжений, а потому понижается и порядок системы, т. е. число входящих в систему          независимых уравнений;
• если цепь содержит источников напряжения, имеющих один общий зажим, то число узловых уравнений, которое можно                  составить для такой цепи, равно

Пример 5.1.

Записать систему узловых уравнений для удлинителя(рис. 5.2), рассмотренного в лекции 4.

Решение. Удлинитель содержит четыре узла и один источник тока, поэтому согласно (5.3) достаточно составить всего два узловых уравнения

Положим узел 0 базисным, поскольку к нему одним из своих зажимов подключён источник напряжения. Узловое напряжение узла 1 известно и равно. ЭДС источника напряжения поэтому остаётся записать уравнения для узлов 2 и 3 по правилам, рассмотренным в разд. 5.1. Предварительно запишем собственные и взаимные проводимости узлов.

Такое обращение справедливо,-поскольку удлинители применяются для построения магазина затуханий, или аттенюатора.

Собственная проводимость второго узла

взаимные проводимости второго узла

собственная проводимость третьего узла

взаимные проводимости третьего узла

Теперь получим систему узловых уравнений, записав узловые уравнения для второго и третьего узлов:

Поскольку запишем эту систему уравнений в каноническом виде

Эта система уравнений и является окончательным результатом решения задачи, поставленной в примере.

Если содержащиеся в цепи источники напряжения не имеют общего зажима, то задачу анализа следует решать или методом узловых напряжений в сочетании с принципом наложения или путём эквивалентных преобразований перейти к другой модели цепи.

При составлении узловых уравнений для цепей, содержащих многополюсники (например, транзисторы, операционные усилители
и т. д), следует прежде всего заменить эти многополюсники их схемами замещения.

Метод узлового напряжения

Расчет сложных разветвленных электрических цепей с несколькими источниками и двумя узлам, можно осуществить методом узлового напряжения. Напряжение межи узлами и называется узловым. UAB R3 узловое напряжение цепи (рис. 4.9) Для различных ветвей (рис. 4.9) узловое напряжение UAB можно опредо лить следующим образом.

1. Поскольку для первой ветви источник работает в режиме генератор:

Величина тока определяется как

где  — проводимость

2.Для второй ветви источник работает в режиме потребителя следовательно

Тогда ток

3.Для третьей ветви

(Потенциал точки В для третьей ветви больше, чем потенций точки А, так как ток направлен из точки с большим потенциалом в точку с меньшим потенциалом)

Величину тока можно определить по закону Ома

По первому закону Кирхгофа для узловой точки А (или В):

Подставив в уравнение (4.6) значения токов из уравнений (4.3), .4) и (4.5) для рассматриваемой цепи, можно записать

Решив это уравнение относительно узлового напряжения U_AB,  можно определить его значение

Следовательно, величина узлового напряжения определяется отношением алгебраической суммы произведений ЭДС и проводимости ветвей с источниками к сумме проводимостей всех ветвей:

Для определения знака алгебраической суммы направление токов во всех ветвях выбирают одинаковым, т.е. от одного узла другому (рис. 4.9). Тогда ЭДС источника, работающего в режиме генератора, берется со знаком «плюс», а источника, работающего в режиме потребителя, со знаком «минус». Таким образом, для определения токов в сложной цепи с двумя узлами вычисляется сначала узловое напряжение по выражению 4.9), а затем значения токов по формулам (4.3), (4.4), (4.5). Узловое напряжение UAB может получиться положительным или отрицательным, как и ток в любой ветви.

Знак «минус» в вычисленном значении тока указывает, что реальное направление тока в данной ветви противоположно словно выбранному.

Пример 4.7

В ветвях схемы (рис. 4.10) требуется определить токи, если:

Решение

Узловое напряжение

где

тогда 

Токи в ветвях будут соответственно равны

Как видно из полученных результатов, направление токов противоположно выбранному. Следовательно, источник £ работает в режиме потребителя.

Пример 4.8

Два генератора (рис. 4.11), ЭДС и внутреннее сопротивление которых одинаковы: , питают потребитель (нагрузку) с сопротивлением R= 5,85 Ом.

Как изменится ток второго генератора: 1) при увеличении его ЭДС (£2) на 1 %; " 2) при увеличении узлового напряжения (U_AB) на 1 %.

Решение

Определяется узловое напряжение U_AB цепи (рис. 4.11)

где

=

Тогда ток второго генератора

При увеличении Е₂ на 1 %, его величина станет равной

тогда

При этом 

Следовательно, увеличение ЭДС генератора Е₂ на 1 % приводит увеличению тока этого генератора на 24 %.

2. При увеличении узлового напряжения на 1% его величины станет равной

При этом Таким образом, ток второго генератора при увеличении узлового напряжения на 1 % уменьшится на 23,4 %.

Знак «минус» означает уменьшение, а не увеличение тока .

Определение метода узловых напряжений

Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании первого закона Кирхгофа определяются потенциалы в узлах электрической цепи относительно некоторого базисного узла. Эти разности потенциалов называются узловыми напряжениями, причем положительное направление их указывается стрелкой от рассматриваемого узла к базисному.

Напряжение на какой-либо ветви равно, очевидно, разности узловых напряжений концов данной ветви; произведение же этого напряжения на комплексную проводимость данной ветви равно току в этой ветви. Таким образом, зная узловые напряжения в электрической цепи, можно найти токи в ветвях.

Если принять потенциал базисного узла равным нулю, то напряжения между остальными узлами и базисным узлом будут равны также потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод называется также методом узловых потенциалов.

На рис. 7-7 в виде примера изображена электрическая схема с двумя источниками тока, имеющая три узла: 1, 2 и 3. Выберем в данной схеме в качестве базиса узел 3 и

обозначим узловые напряжения точек 1 и 2 через Согласно принятым на рис. 7-7 обозначениям комплексные проводимости ветвей равны соответственно:

Для заданной электрической цепи с тремя узлами могут быть записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а именно: для узла 1

для узла 2

Величина представляющая собой сумму комплексных проводимостей ветвей, сходящихся в узле 1, называется собственной проводимостью узла 1 величина равная комплексной проводимости ветви между узлами 1 и 2, входящая в уравнения со знаком минус, называется об-, щей проводимостью между узлами 1 и 2.

Если заданы токи источников тока и комплексные проводимости ветвей, то узловые напряжения находятся совместным решением уравнений.

В общем случае если электрическая схема содержит q узлов, то на основании первого закона Кирхгофа получается система из q — 1 уравнений (узел q принят за базисный):

Здесь ток источника тока, подходящий к узлу, берется со знаком плюс, а отходящий от узла — со знаком минус; — собственная проводимость всех ветвей, сходящихся в данном узле — общая проводимость между узламп входящая со знаком минус при выбранном направлении всех узловых напряжений к базису, независимо от того, является ли данная электрическая цепь планарной или непланарной.

Решив систему уравнений (7-5) при помощи определителей получим формулу для узлового напряжения относительно базиса:

где — определитель системы

— алгебраическое дополнение элемента данного определителя.

Первый индекс i алгебраического дополнения, обозначающий номер строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует номеру узла, заданный ток источника тока которого умножается на данное алгебраическое дополнение. Второй индекс обозначающий номер столбца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует номеру узла, для которого вычисляется узловое напряжение.

Уравнения (7-5), выражающие первый закон Кирхгофа, записаны в предположении, что в качестве источников электрической энергии служат источники тока. При наличии в электрической схеме источников э. д. с. последние должны быть заменены эквивалентными источниками тока.

Если в схеме имеются ветви, содержащие только э. д, с. (проводимости таких ветвей бесконечно велики), то эти ветви следует рассматривать как источники неизвестных токов, которые затем исключаются при сложении соответствующих уравнений. Дополнительными связями между неизвестными узловыми напряжениями будут являться известные напряжения между узлами, равные заданным э. д. с. 

Определитель снабжен индексом у, так как его элементами являются комплексные проводимости.

При наличии только одной ветви с э. д. с. и бесконечной проводимостью целесообразно принять за базисный узел один из узлов, к которому примыкает данная ветвь; тогда напряжение другого узла становится известным и число неизвестных сокращается на одно.

Метод узловых напряжений имеет преимущество перед методом контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных по второму закону Кирхгофа. Если заданная электрическая схема имеет q узлов и р ветвей, то в соответствии со сказанным выше, метод узловых напряжений представляет преимущество при q — 1 < р — q + 1. или, что то же, при 2 (q — 1) < р.

Здесь имеется в виду общий случай, когда число уравнений не сокращается за счет известных контурных токов
или узловых напряжении.

Пример 7-3. 

Пользуясь методом узловых напряжений определить ток в диагонали мостовой схемы (см. рис. 7-6).

В результате замены заданного источника э. д. с. .эквивалентным источником тока получается схема (рис. 7-8), содержащая четыре узла. Для этой схемы по первому закону Кирхгофа записывают 4—1 = 3 уравнения (по числу независимых узлов). Если выбрать в данной схеме в качестве базиса узел 4 и направить узловые напряжения к базису, то уравнения примут вид:

для узла 1

для узла 2

для узла 3

Решение полученной системы уравнений относительно даст

где

Умножив найденное узловое напряжение на проводимость диагональной ветви мостовой схемы и изменив знак в соответствии с выбранным ранее направлением тока (см. рис. 7,-3), найдем искомый ток: