Входные и взаимные проводимости

Входные и взаимные проводимости:

Пусть дана некоторая электрическая цепь, содержащая единственный источник ЭДС в

Рис. 3.4. Схема пассивного четырехполюсника

Определим й и й токи. Используя уравнение (3.12), запишем выражение для то и го токов:

Если  то  т.е., токи й и й  ветвей численно равны своим проводимостям.  - входная проводимость ой ветви.  взаимная проводимость ой и ой ветвей. Рассмотрим пример определения входных и взаимных проводимостей (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Схема замещения пассивного четырехполюсника 

Представим пассивный четырехполюсник в виде схемы рис. 3.5 и составим для нее уравнения по методу контурных токов.

Тогда входная проводимость первой ветви будет:

а взаимная проводимость первой и второй ветвей:

Свойство взаимности

Рассмотрим еще одно важное свойство, имеющее место в линейных электрических цепях. Оно базируется на понятиях входных и взаимных проводимостей.

Используя понятие взаимных проводимостей, можно выразить токи в первой и второй схемах рис. 3.6 следующим образом:

Докажем, что взаимные проводимости и равны. Пусть для некоторой многоконтурной схемы составлена система уравнений по методу контурных токов, и её главный определитель имеет вид:

Этот определитель всегда симметричен относительно главной диагонали, проходящей через элементы т.к. любой элемент (сопротивления, расположенные на границе ого и ого контуров). У такого определителя строка  не отличается от столбца и поэтому алгебраические дополнения, полученные вычеркиванием ой строки и ого столбца и наоборот, равны. Следовательно,

Пусть  и 

Свойство взаимности: если ЭДС ой ветви вызывает в ой ветви ток то, будучи перенесенным в ю ветвь, этот же источник вызовет ток той же амплитуды и фазы в ой ветви.

Цепи, обладающие такими свойствами, носят название обратимых цепей. Все линейные цепи обратимы.

Входные и передаточные проводимости и сопротивления

В электротехнике, радиотехнике и теории автоматического регулирования широко используются понятия о входных и передаточных функциях.

Условимся называть источник э. д. с. независимым или автономным (самостоятельным), если э. д. с. источника не зависит от напряжений и токов в цепи.

Пусть в какую-либо ветвь контура электрической цепи включен независимый источник э. д. с. (рис. 7-11, а), причем данная ветвь не является общей, а принадлежит

только контуру i. Если вся остальная часть электрической цепи не содержит независимых источников электрической энергии, то в соответствии с формулой (7-4) заданная э. д. с. вызовет в данном контуре i и в каком-либо другом контуре k токи

и

Отношение контурного тока к э. д. с., действующей в том же контуре, при отсутствии независимых источников во всех остальных контурах называется входной проводимостью электрической цепи:

В свою очередь отношение контурного тока к э. д. с., действующей в другом контуре, при отсутствии независимых источников во всех остальных контурах называется передаточной (или взаимной) проводимостью контуров:

Элементами определителя системы и алгебраических дополнений в выражениях (7-9) и (7-10) служат собственные и общие сопротивления контуров заданной электрической цепи. Определитель имеет размерность сопротивления в степени n, где n — порядок определителя (равный числу независимых контуров данной цепи); алгебраические дополнения имеют размерность сопротивления в степени n — 1. В результате деления алгебраического дополнения на определитель системы получается величина, имеющая размерность проводимости.

На основании (7-9) и (7-10) заключаем, что входная и передаточная проводимости численно равны токам в контурах i и k, когда в контуре i действует э. д. с., равная 1 В.

С учетом обозначений (7-9) и (7-10) выражения для токов (7-4) принимают вид:

Аналогичные рассуждения могут быть проведены и в отношении узлов i и к электрической цепи в предположении, что к узлу i подключен независимый источник тока, а вся остальная часть цепи не содержит независимых источников (рис. 7-11, 6). В соответствии с (7-6) заданный ток обусловит появление узловых напряжений для узлов i и к:

и

Отношение напряжения в узле к току, заданному в том же узле, при отсутствии в схеме других независимых источников называется входным сопротивлением электрической цепи:

соответственно отношение напряжения в узле к току, заданному в другом узле, при отсутствии в схеме других источников называется передаточным (или взаимным) сопротивлением узлов:

Элементами определителя системы и алгебраических дополнений в (7-14) и (7-15) служат собственные и общие проводимости узлов заданной электрической цепи. 

Источник тока называется независимым, или автономным, если ток источника не зависит от напряжений и токов в цепи.

Определитель имеет размерность проводимости в степени m, где m— порядок определителя (на единицу меньший числа узлов в заданной схеме); алгебраические дополнения и имеют размерность проводимости в степени m— i. В результате деления алгебраического дополнения на определитель системы получается величина, имеющая размерность сопротивления.

На основании (7-14) и (7-15) заключаем, что входное и передаточное сопротивления узлов численно равны напряжениям в узлах i и k (относительно базисного узла), когда в узле i задан ток, равный 1 А.

С учетом обозначений (7-14) и (7-15) выражения для напряжений (7-6) принимают вид:

Следует иметь в виду, что входным сопротивлением может также называться величина, обратная выражению (7-9), а входной проводимостью — величина, обратная выражению (7-14).

Очевидно, что для одной и той же пары выводов электрической цепи, не содержащей источников, величины и определяемые, из (7-9) и (7-14), взаимно обратны, т. е.

Отношение двух контурных токоввызываемых в контурах k и k + 1 источником э. д. с. , включенным в контур i (рис. 7-12, а), определяется на основании (7-10), отношением соответствующих передаточных проводимостей, а именно:

Аналогично отношение двух узловых напряжений и обусловливаемых в узлах k и k + 1 источником тока заданным в узле i (рис. 7-12, б), определяется на основании (7-15) отношением соответствующих передаточных сопротивлений: