Метод свертывания электрической цепи

Метод свертывания:

Цепь со смешанным соединением включает в себя участки с последовательным и параллельным соединением потребителей, или сопротивлений (резисторов).

Расчет электрической цепи с одним источником и смешанным соединением резисторов методом свертывания проводится в следующей последовательности.

1. На схеме отмечаются все токи и узловые точки.
2. Группы резисторов с явно выраженным последовательным или параллельным соединением заменяются эквивалентными, и определяются их сопротивления (см. (3.8) и (3.12)).
3. Замена производится до получения простейшей схемы, для которой элементарно определяется общее (эквивалентное) сопротивление всей цепи.
4. По заданному напряжению источника и вычисленному общему сопротивлению всей цепи определяется ток в неразветвленной части цепи (общий ток).
5. Определяются падения напряжения на участках цепи и ток каждого резистора.

Расчет цепи методом свертывания рассмотрим на примере 4.1 (рис. 4.1).

Пример 4.1

1. При заданных сопротивлениях всех потребителей цепи и напряжении U определить токи всех потребителей.

2. Определить, как изменяются эти токи, если к потребителю с сопротивлением

Внутренним сопротивлением источника пренебрегаем.

Решение
1. В рассматриваемой цепи (рис. 4.1) определяются группы потребителей, соединенных последовательно или параллельно. Определяются эквивалентные сопротивления участков, а схема при этом «свертывается».

Очевидно, резисторы  соединены параллельно, так как напряжение на них одинаковое. Следовательно, их общее сопротивление (рис. 4.2а)

Сопротивление группы  соединено последовательно с резистором таким образом, общее сопротивление (рис. 4.26).

Сопротивление соединено параллельно с резистором (в точках В, С, следовательно, общее сопротивление (рис. 4.2в)

Сопротивление соединено последовательно с резистором  т.е. общее сопротивление   (рис. 4.2г). Это сопротивление подключено параллельно к резистору (в точках А, В), следовательно, общее сопротивление (рис. 4.2д)

Сопротивление соединено последовательно с резисторами и следовательно, общее (эквивалентное) сопротивление исследуемой цепи R определяется выражением (рис. 4.2е).

Последовательность метода свертывания рассматриваемой схемы можно проиллюстрировать схемами, изображенными на рис. 4.2.

Общий ток, который проходит по сопротивлениям и , определим, воспользовавшись законом Ома для замкнутой цепи (рис. 4.2д, е):

Ток создает на сопротивлении (в точках А, В) падение напряжения, величину которого определим по закону Ома

Это же напряжение можно определить, воспользовавшись вторым законом Кирхгофа,

Напряжение необходимо для вычисления тока (рис. 4.2г) и остальных токов:

К точкам А, В подключено общее сопротивление , следовательно, ток, который проходит по резистору , т. е. , можно определить по закону Ома (рис. 4.2в):

Этот же ток можно определить, воспользовавшись первым законом Кирхгофа,

Ток создает падение напряжения на общем сопротивлении Напряжение между точками определяем по закону Ома (рис. 4.2в):

Это же напряжение можно определить по второму закону Кирхгофа:

Напряжение необходимо определить для вычисления тока (рис. 4.26) и остальных токов по закону Ома:

К точкам С, В подключено общее сопротивление , следовательно, ток, который проходит по резистору , т. е. , можно определить по закону Ома (рис. 4.2а):

Тот же ток можно определить по первому закону Кирхгофа:

Ток создает падение напряжения UCd на общем сопротивлении

или

Токи определяются по закону Ома (рис. 4.1):

Один из этих токов можно определить по первому закону Кирхгофа:

Таким образом, определены токи всех включенных в цепь (рис. 4.1) потребителей.

2. Рассмотрим динамический режим работы электрической цепи, т. е. режим изменения токов и напряжений в цепи. В примере 4.1 эти изменения вызваны подключением лампы накаливания R₉ параллельно резистору R₈ (рис. 4.3).
Очевидно, параллельное подключение лампы накаливания к сопротивлению R₈ уменьшает сопротивление участка между точками С, D (), следовательно, уменьшается и общее сопротивление цепи R (рис. 4.2б-е).

Уменьшение общего сопротивления приведет к увеличению общего тока цепи /, т. е. токов (выражение (1)). Увеличение этих токов вызовет уменьшение напряжения U_AB (выражение (3)), а следовательно, уменьшение тока (выражение (4)). Так как ток увеличился, а ток h уменьшился, то ток h увеличится (выражение (6)). Увеличение тока приведет к уменьшению напряжения U_Cb (выражение (8)), в результате чего уменьшится ток (выражение (9)). Уменьшение тока вызовет увеличение тока (выражение (11)), что приведет к уменьшению напряжения (выражение (13)). Следовательно, уменьшаются токи (выражение (15)).

Как видно, параллельное подключение лампы к резисторам с сопротивлением шунтирует их, т. е. уменьшает напряжение U_CD на этих сопротивлениях и токи в них.

Таким образом, подключение дополнительного потребителя в цепь вызывает соответствующие изменения режима работы всех участков цепи.

Для расчета электрической цели методом свертывания могут быть заданы либо ток, протекающий через определенный резистор, либо напряжение на одном из участков.

Методика расчета параметров таких цепей приведена в примерах 4.2 и 4.3.

Пример 4.2

Для цепи (рис. 4.4) заданы:

1.Определить ЭДС источника Е.

2.Определить токи в остальных ветвях.

3.Определить мощность на каждом резисторе.

4.Составить уравнение баланса мощностей в этой цепи.

Решение

Ток проходит через источник и создает падение напряжения на его внутреннем сопротивлении и на резисторе с сопротивлением , т.е. . Тот же ток создает падение напряжения между точками А и В, т. е. . ЭДС источника складывается из этих падений напряжения, т. е. Для определения напряжения между точками А и В ( U_AB) и токов произведем «свертывание» схемы (рис. 4.4) и определим общее сопротивление Rab.

Искомые токи определим по закону Ома

где

Мощность на каждом резисторе определяется выражением

Например: и т. д.

Составляется уравнение баланса мощностей

Пример 4.3

•Для цепи (рис. 4.5) заданы: (Определить токи всех резисторов и ЭДС источника Е.

Решение

По заданному напряжению на участке АВ (UAB) определяются 

так как

Напряжение по закону Ома равно

Откуда

так как

Напряжение U_AC можно определить по второму закону Кирхгофа

Тогда токи

Ток создает падение напряжения на резисторе и на внутреннем сопротивлении источника .

Тогда ЭДС источника