Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Волновые параметры длинной линии

Содержание:

Волновые параметры длинной линии:

Полученные в предыдущей лекции уравнения передачи длинной линии (23.8) описывают комплексные амплитуды напряжения Волновые параметры длинной линии

Волновые параметры длинной линии

Тогда для мгновенных значений напряжений и токов в линии получаем:

Волновые параметры длинной линии        (24.1)

где Волновые параметры длинной линии — аргументы комплексных величин Волновые параметры длинной линии

Решения (24.1) подтверждают, что напряжения и токи в длинной.линии являются функциями как времени Волновые параметры длинной линии, так и координаты (расстояния) Волновые параметры длинной линии. Каждое из уравнений представляет собой сумму двух слагаемых, структуры которых тождественны, но отличаются только знаками перед коэффициентами затухания Волновые параметры длинной линии и фазы Волновые параметры длинной линии Сначала рассмотрим левые слагаемые уравнений (24.1)

напряжений и токов, которые назовём падающими волнами напряжения и тока (смысл такого названия будет ясен из дальнейшего):

Волновые параметры длинной линии           (24.2)

Из этих выражений следует:

  • при любом фиксированном Волновые параметры длинной линии т. е. в любом сечении линии, и напряжение Волновые параметры длинной линии и ток Волновые параметры длинной линии являются гармоническими колебаниями;
  • амплитуды колебаний убывают по мере удаления от начала к концу линии по экспоненциальному закону Волновые параметры длинной линии
  • в любом сечении линии отношение амплитуды напряжения Волновые параметры длинной линии к амплитуде тока Волновые параметры длинной линии равно модулю волнового сопротивления Волновые параметры длинной линии а разность фаз между ними равна аргументу Волновые параметры длинной линии волнового сопротивления линии;
  • колебание напряжения Волновые параметры длинной линии или тока Волновые параметры длинной линии в сечении Волновые параметры длинной линии отстаёт по фазе от колебания и Волновые параметры длинной линии или Волновые параметры длинной линии поскольку коэффициент фазы является величиной положительной: Волновые параметры длинной линии

Сказанное демонстрируется на рис. 24.1, где представлено графическое распределение мгновенных значений напряжений Волновые параметры длинной линии по линии для трёх последовательных моментов времени: Волновые параметры длинной линии Эти графики можно рассматривать как последовательные мгновенные снимки картины распределения напряжений Волновые параметры длинной линии в указанные моменты времени. Они отображают волну, распространяющуюся от начала линии к концу. Например, рассматривая графики в моменты Волновые параметры длинной линии и Волновые параметры длинной линии, замечаем, что в момент Волновые параметры длинной линии фаза напряжения в каждой точке линии изменится на величину Волновые параметры длинной линии Огибающая процесса изображена пунктиром. Аналогичная картина имеет место и для тока.

Определение:

Совокупность волн напряжения Волновые параметры длинной линии и тока Волновые параметры длинной линии называется падающей волной.

Найдём длину Волновые параметры длинной линии и скорость распространения падающей волны в линии.

Под длиной волны понимают расстояние между смежными сечениями линии, фаза колебаний волны на которых отличается на Волновые параметры длинной линии (рис. 24.1):

Волновые параметры длинной линии

откуда имеем равенство

Волновые параметры длинной линии

из которого получаем формулу для вычисления длины волны:

Волновые параметры длинной линии               (24.3)

Волновые параметры длинной линии

Определение:

Скоростью распространения, или фазовой скоростью, называют скорость Волновые параметры длинной линии с которой распространяется в линии состояние равной фазы волны; например, скорость, с которой перемещается вдоль линии нуль напряжения или тока.

Нуль напряжения достигается в точках, где функция косинуса равна нулю, поэтому условие состояния равной фазы можно записать в виде равенства:

Волновые параметры длинной линии

при этом аргумент имеет значения:

Волновые параметры длинной линии

Продифференцировав обе части полученного равенства по переменной t, найдём скорость распространения нуля

Волновые параметры длинной линии           (24.4)

т. е. скорость распространения состояния равной фазы.

Фазовая скорость показывает, какое расстояние Волновые параметры длинной линии проходит точка Волновые параметры длинной линии в единицу времени (см. рис. 24.1), и равна отношению частоты колебания к коэффициенту фазы.

Рассмотрим, чему будет равен коэффициент фазы в наиболее характерной для практики области частот, когда Волновые параметры длинной линии для чего разложим коэффициент распространения Волновые параметры длинной линии на вещественную и мнимую части:


Волновые параметры длинной линии


Разложение в ряды полученных в правой части биномиальных сомножителей и удержание в разложениях лишь по два слагаемых даёт:

Волновые параметры длинной линии

Раскрывая скобки и пренебрегая в произведении величиной второго порядка малости, получаем приближённое выражение для коэффициента распространения:

Волновые параметры длинной линии                     (24.5)

В линиях с хорошим диэлектриком проводимость чрезвычайно мала, поэтому второе вещественное слагаемое в выражении (24.5) оказывается очень малым по сравнению с первым, что позволяет записать формулы для коэффициентов затухания и фазы с хорошей степенью приближения:

Волновые параметры длинной линии                     (24.6)

Тогда в указанной выше области частот фазовая скорость (24.4) согласно (24.6) оказывается равной

Волновые параметры длинной линии

Подставляя сюда формулы значений первичных параметров длинной линии L и С (табл. 23.1), получаем:

Волновые параметры длинной линии                (24.7)

где с — скорость света.

Из (24.7) ясно, что для воздушных линий Волновые параметры длинной линии поскольку в этом случае можно считать Волновые параметры длинной линии. Для коаксиального кабеля, у которого всегда Волновые параметры длинной линии, фазовая скорость меньше скорости света в вакууме (например, при типовом значении Волновые параметры длинной линии имеем Волновые параметры длинной линии с).

Интересно, что в области низких частот значение фазовой скорости убывает с уменьшением частоты. Это объясняется меньшим проявлением скин-эффекта: волна больше проникает в проводник, и колеблющиеся частицы внутри проводника возбуждают вторичные волны. Поскольку частицы обладают некоторой инерцией, образуемые ими вторичные волны запаздывают по фазе относительно вынуждающей колебания волны, поэтому происходит запаздывание фазы результирующей волны и, как следствие, уменьшение фазовой скорости.

Обратимся теперь ко вторым слагаемым уравнений (24.1), которые назовём отражёнными волнами напряжения и тока:

Волновые параметры длинной линии                 (24.8)

Проведя анализ этих слагаемых подобно тому, как это сделано для падающих волн, нетрудно убедиться, что они описывают затухающую волну такого же характера, как и падающая, но распространяющуюся в обратном направлении: от конца к началу линии.

Определение:

Волна напряжения Волновые параметры длинной линиии тока Волновые параметры длинной линии распространяющаяся от конца к началу линии, называется отражённой волной.

Соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражённых волн

Из анализа, выполненного в разд. 24.1, следует:

  • фазовая скорость отражённой волны совпадает с точностью до знака с фазовой скоростью падающей волны

Волновые параметры длинной линии

  • амплитуда напряжения (тока) отражённой волны максимальна в конце амплитуда напряжения (тока) падающей волны минимальна в конце линии;
  • напряжение Волновые параметры длинной линии (ток) в любой точке длинной линии Волновые параметры длинной линиих является суммой напряжений (токов) падающей и отражённой волн:

Волновые параметры длинной линии

Переходя к комплексным амплитудам напряжений и токов падающей и отражённой волн, входящих в уравнения передачи длинной линии (23.8), последние суммы для любого сечения линии можно записать в виде:

                                                                                   Волновые параметры длинной линии            (24.9)
Практический интерес представляют соотношения между комплексными амплитудами падающих и отражённых волн в линии, имеющей длину Волновые параметры длинной линии и нагруженной на комплексное сопротивление Волновые параметры длинной линии (рис. 24.2), когда на входе её действуют известные напряжение Волновые параметры длинной линии и ток Волновые параметры длинной линии .

Волновые параметры длинной линии

Волновое сопротивление

Прежде всего отметим, что при любом jc, т. е. в любой точке линии согласно (24.9) справедливы равенства:

Волновые параметры длинной линии       (24.10)

которое говорит о том, что в любом сечении линии .отношение комплексных амплитуд напряжения и тока падающей (отражённой) волны равно волновому сопротивлению линии Волновые параметры длинной линии

Свойства волнового сопротивления можно определить из выражений (24.10) и (23.6):

Волновые параметры длинной линии

из которых следует:

модуль волнового сопротивления Волновые параметры длинной линии представляет собой отношение амплитуды напряжения к амплитуде тока падающей (отражённой) волны;

фаза (угол) Волновые параметры длинной линии волнового сопротивления представляет собой разность между фазами напряжения и тока падающей (отражённой) волны;

на частоте Волновые параметры длинной линии фаза Волновые параметры длинной линии а само волновое сопротивление чисто активно

Волновые параметры длинной линии

при стремлении частоты  к бесконечности Волновые параметры длинной линии  фаза Волновые параметры длинной линии и волновое сопротивление как и в предыдущем случае чисто активно 

Волновые параметры длинной линии

модуль волнового сопротивления Волновые параметры длинной линии| с увеличением частоты уменьшается, поскольку для реальных линий Волновые параметры длинной линии (рис. 24.3, а);

изменение фазы от нулевого значения при Волновые параметры длинной линии до нулевого значения приВолновые параметры длинной линии говорит о том, что на одной из частот фаза будет минимальна (рис. 24.3, б), поскольку на всех частотах она является отрицательной.

Волновые параметры длинной линии

Коэффициент отражения

Что касается соотношения между комплексными амплитудами напряжения (тока) падающей и отражённой волн, то оно оказывается различным в различных сечениях линии. Установить эти соотношения можно из системы (23.8), положив Волновые параметры длинной линии при условии, что напряжение Волновые параметры длинной линии и ток Волновые параметры длинной линии в конце линии известны. При этих условиях из (23.7) находятся два уравнения относительно комплексных амплитуд напряжения Волновые параметры длинной линии тока Волновые параметры длинной линии:

Волновые параметры длинной линии           (24.11)

Из системы (24.11) согласно правилу Крамера получаем значения постоянных Волновые параметры длинной линии и Волновые параметры длинной линии

Волновые параметры длинной линии

 Подстановка найденных значений Волновые параметры длинной линииi и Волновые параметры длинной линии в (24.9) приводит к частному решению:

Волновые параметры длинной линии            (24.12)

Система уравнений (24.12) позволяет записать отношение комплексных амплитуд напряжений и токов отражённой и падающей волн в сечении линии, расположенном на расстоянии Волновые параметры длинной линии от её начала:

Волновые параметры длинной линии         (24.13)

Но при выбранных направлениях отсчётов (рис. 24.2) напряжения Волновые параметры длинной линии и токаВолновые параметры длинной линии имеет место равенство  Волновые параметры длинной линии поэтому из (24.13) окончательно получаем:


Волновые параметры длинной линии         (24.14)

Определение:

Отношение

Волновые параметры длинной линии          (24.15)

комплексной амплитуды напряжения отражённой волны к комплексной амплитуде напряжения падающей волны называется коэффициентом отражения.

Анализ соотношений (24.14) и (24.15) приводит к следующим выводам:

1.    Коэффициент отражения является комплексной величиной и полностью зависит от волнового сопротивления линии Волновые параметры длинной линии и сопротивления нагрузки Волновые параметры длинной линии.

2.    Коэффициент отражения по току отличается от коэффициента отражения по напряжению только знаком.

3.    При Волновые параметры длинной линии коэффициент отражения равен нулю р = 0, поэтому отражённая волна отсутствует. Линия, сопротивление нагрузки которой равно её волновому сопротивлению, называется нагруженной согласованно, а сопротивление нагрузки — согласованным сопротивлением. Любая другая нагрузка приводит к появлению в линии отражённой волны.

4.    Отношение амплитуд отражённой и падающей волн (см. (24.14) и (24.15))

Волновые параметры длинной линии

убывает с удалением от конца линии к её началу
 

5.    В режиме короткого замыкания, когда Волновые параметры длинной линии коэффициент отражения по напряжению р = -1, а коэффициент отражения по току
р = 1. Это означает, что напряжения отражённой и падающей волн в конце линии находятся в противофазе:

Волновые параметры длинной линии

а результирующее напряжение равно нулю

Волновые параметры длинной линии

при этом токи падающей и отражённой волн оказываются в фазе

Волновые параметры длинной линии

и результирующий ток равен удвоенному току падающей волны

Волновые параметры длинной линии

6.    В режиме холостого хода, когда Волновые параметры длинной линии коэффициент отражения по напряжению р = 1, поэтому имеет место ситуация, противоположная относительно вывода, указанного в п. 5: напряжения отражённой и падающей волн в конце линии находятся в фазе:

Волновые параметры длинной линии

и результирующее напряжение равно удвоенному напряжению падающей волны

Волновые параметры длинной линии

а ток равен нулю

Волновые параметры длинной линии

Уравнения передачи согласованно нагруженной длинной линии

Ранее (см. разд. 23.3) были получены уравнения передачи длинной линии (23.8), которые представляют собой общее решение телеграфных уравнений и описывают закон распределения напряжений и токов по всей линии. Для решения же большинства практических задач достаточно знать соотношения лишь между напряжениями и токами на внешних зажимах линии и вовсе не интересоваться законом распределения напряжений и токов по длине линии. Иначе говоря, на практике вполне достаточно рассматривать линию как согласованно нагруженный четырёхполюсник, полностью описываемый соответствующими уравнениями передачи.

Поставим задачу найти уравнения передачи согласованно нагруженной линии, которые связывают комплексные амплитуды напряжений и токов на её внешних зажимах.

Воспользуемся уравнениями (24.12) для комплексных амплитуд напряжений и токов падающей и отражённой волн и подставим их в систему (24.9):

Волновые параметры длинной линии                             (24.16)


Если в систему (24.9) подставить выражения (24.14), получим


Волновые параметры длинной линии                         (24.17)

Системы (24.16) и (24.17) представляют собой системы уравнений передачи длинной линии. Обычно комплексные амплитуды напряжения и тока на входных зажимах линии (х = 0) обозначают через Волновые параметры длинной линии (см. рис. 24.2); при таких обозначениях из системы (24.16) получаем наиболее удобную форму записи уравнений передачи линии:


Волновые параметры длинной линии         (24.18)


В большинстве случаев уравнения (24.8) записывают в более компактном виде:

Волновые параметры длинной линии         (24.19)

где
 Волновые параметры длинной линии  —   гиперболический косинус

 Волновые параметры длинной линии    —    гиперболический синус.
 

Для режима согласованной нагрузки, когда Волновые параметры длинной линии и Волновые параметры длинной линии т. е. когда отсутствует отражённая волна, из (24.18) получаем уравнения передачи согласованно нагруженной линии:

Волновые параметры длинной линии      (24.20)

Именно в такой режим и стремятся поставить линию связи, поскольку отражённые волны вызывают ряд нежелательных явлений, о чём речь пойдёт далее.

Постоянная передачи и частотные характеристики длинной линии

Постоянная передачи длинной линии:

Определение

Безразмерная комплексная величина, равная произведению коэффициента распространения Волновые параметры длинной линии на длину линии Волновые параметры длинной линии

Волновые параметры длинной линии   (24.21)

называется постоянной передачи линии.

Вещественная часть постоянной передачи Волновые параметры длинной линии называется собственным, волновым или характеристическим затуханием линии, а мнимая часть Волновые параметры длинной линиисобственной, волновой или характеристической фазой.

Постоянная передачи и входящие в неё параметры характеризуют линию как таковую и не зависят от свойств генератора и нагрузки, между которыми линия может быть включена.

Поскольку режим согласованной нагрузки для линии является типовым, найдём указанные ранее параметры только для этого режима.

В таком случае постоянную передачи можно получить, прологарифмировав уравнения (24.20):

Волновые параметры длинной линии       (24.22)

Подставляя отношения комплексных амплитуд

Волновые параметры длинной линии

под знак логарифма, получаем:

Волновые параметры длинной линии

на основании чего можно записать два равноправных выражения для коэффициента распространения

Волновые параметры длинной линии

откуда имеем:

собственное затухание линии

Волновые параметры длинной линии      (24.3)

    и её собственную фазу

Волновые параметры длинной линии       (24.24)

Из выражений (24.23) и (24.24) следует, что для согласованно нагруженной линии:

    собственное затухание линии Волновые параметры длинной линии [Нп] равно натуральному логарифму отношения амплитуд или действующих значений напряжений (токов) на входе и выходе; оно равно также половине натурального логарифма отношения полных мощностей на входе и выходе;

    собственная фаза линии равна разности начальных фаз колебаний напряжений (токов) на входе и выходе.

Собственное затухание линии часто оценивается в децибелах:

Волновые параметры длинной линии         (24.25)

В этом случае нетрудно переформулировать зависимость собственного затухания, выраженного в децибелах, через десятичные логарифмы отношений амплитуд напряжений (токов) или полных мощностей.

Пример 24.1.

Оценим потери мощности телевизионного сигнала при распространении его в фидере' от системы антенн до усилителя головной станции и в коаксиальном кабеле сети кабельного телевидения на отрезках магистральной линии между магистральными усилителями (рис. 24.4).



Волновые параметры длинной линии

Решение. Затухание фидера зависит от его конструкции, длины Волновые параметры длинной линии и коэффициента затухания Волновые параметры длинной линии который измеряется на средней частоте частотного диапазона фидера. Обычный фидерный тракт имеет длину 50—150 м. Типовым кабелем, используемом при конструировании фидерных трактов, является кабель РК-75-24-51, имеющий полосу пропускания 50—600 МГц и коэффициент затухания Волновые параметры длинной линии = 0,002 дБ/м на частоте 300 МГц. Тогда при средней длине фидера Волновые параметры длинной линии = 100 его собственное затухание (24.25) оказывается равным

Волновые параметры длинной линии

а отношение мощности сигнала на выходе фидера Волновые параметры длинной линиик мощности сигнала на входе фидера Волновые параметры длинной линии составляет

Волновые параметры длинной линии

 т. е. потери мощности в фидере невелики.

 Фидер — линия для передачи электрических колебаний высокой частоты от радиопередатчика к антенне и от антенны к радиоприёмнику.

В то же время типовой магистральный коаксиальный кабель QR 540 JCA имеет полосу пропускания 5—1000 МГц и коэффициент затухания Волновые параметры длинной линии = 0,0354 дБ/м на частоте 300 МГц.

Расстояние Волновые параметры длинной линии между смежными усилителями магистрали обычно составляет до Волновые параметры длинной линии = 2 км. Следовательно, собственное затухание отрезка магистрального кабеля равно

Волновые параметры длинной линии

Последнее означает, что полная мощность на входе последующего усилителя Волновые параметры длинной линии меньше полной мощности Волновые параметры длинной линии которая отдаётся в линию предшествующим усилителем, в десятки миллионов раз, поскольку согласно (24.25)

Волновые параметры длинной линии

Частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) согласованно нагруженной длинной линии

Исходя из уравнений передачи согласованно нагруженной линии (24.20) запишем её комплексную частотную характеристику через постоянную передачи линии:

Волновые параметры длинной линии        (24.26)

Отсюда нетрудно получить постоянную передачи через КЧХ линии:

Волновые параметры длинной линии        (24.27)

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики определяются из (24.26): 

Волновые параметры длинной линии       (24.28)

Для несогласованной нагруженной линии КЧХ можно найти из её уравнений передачи (24.18), подставив в них равенства:

Волновые параметры длинной линии

где Волновые параметры длинной линии и Волновые параметры длинной линии — комплексная амплитуда ЭДС и комплексное внутреннее сопротивление генератора, подключённого к линии.

Входное сопротивление длинной линии

Определение:

Входным сопротивлением линии Волновые параметры длинной линии называется отношение комплексной амплитуды напряжения Волновые параметры длинной линии к комплексной амплитуде тока Волновые параметры длинной линии, действующих на входе линии.

Формулу входного сопротивления для линии с произвольной нагрузкой можно получить из уравнений (24.17), если положить расстояние  Волновые параметры длинной линии и разделить первое уравнение на второе:

Волновые параметры длинной линии      (24'29)

Анализ формулы (24.29) показывает:

    при согласованной нагрузке входное сопротивление равно волновому, поскольку в данном случае Волновые параметры длинной линии (24.15);

    если постоянная передачи линии стремится к бесконечности Волновые параметры длинной линии то входное и волновое сопротивления весьма близки по величине Волновые параметры длинной линии считают, что Волновые параметры длинной линии не зависит от нагрузки при собственном затухании линии Волновые параметры длинной линии Нп;

    в режиме КЗ Волновые параметры длинной линии получаем

Волновые параметры длинной линии         (24.30)

Волновые параметры длинной линии

в режиме XX Волновые параметры длинной линии имеем

Волновые параметры длинной линии          (24.31)

Вывод:

волновое сопротивление линии представляет собой предел, к которому стремится входное сопротивление при безграничном увеличении длины линии:

Волновые параметры длинной линии

Волновые параметры длинной линии

Этот факт объясняется тем, что при большом затухании линии значительная часть мощности, подводимой к её входу, рассеивается в самой линии и лишь небольшой остаток мощности поступает в нагрузку (см. пример 24.1). По этой причине энергетические соотношения на входе линии пренебрежимо мало зависят от энергетических соотношений на её выходе и, в частности, от сопротивления нагрузки линии.

С увеличением длины линии увеличивается и её затухание, а потому уменьшается амплитуда отражённой волны на входе линии, что, в свою очередь, приводит к уменьшению отклонения входного сопротивления линии от её волнового сопротивления как по модулю, так и по фазе. В пределе входное сопротивление линии стремится к волновому сопротивлению. На рис. 24.5, а показаны зависимости модулей входных сопротивлений в режимах XX и КЗ. Колебательный характер волнового сопротивления при несогласованной нагрузке объясняется наличием падающих и отражённых волн.

Входное сопротивление зависит не только от длины линии, но и от частоты (рис. 24.5, б). С ростом частоты увеличиваются как собственное затухание Волновые параметры длинной линии так и собственная фаза Волновые параметры длинной линии линии. Это приводит к весьма сложному волнообразному характеру изменения входного сопротивления линии относительно её волнового сопротивления.

Допустимые отклонения входного сопротивления линии от её волнового сопротивления строго нормированы, и при эксплуатации длинных линий необходимо придерживаться указываемых для линии обычно весьма жёстких норм.

Определение параметров линии методом холостого хода и короткого замыкания

Определение первичных и вторичных параметров линии наиболее просто осуществлять с помощью измерений входного сопротивления линии при двух граничных сопротивлениях нагрузки: холостом ходе и коротком замыкании.

Из уравнений (24.19) в режимах Волновые параметры длинной линии имеем

Волновые параметры длинной линии

Совместное решение этих уравнений позволяет найти значения волновых параметров линии: волнового сопротивления и постоянной передачи.

Волновое сопротивление

Волновые параметры длинной линии      (24.32)

равно среднему геометрическому из входных сопротивлений короткозамкнутой и разомкнутой линии. Это выражение можно рассматривать как ещё одно определение волнового сопротивления длинной линии.

Гиперболический тангенс постоянной передачи Волновые параметры длинной линии

Волновые параметры длинной линии      (24.33)

равен среднему геометрическому из сопротивления Волновые параметры длинной линии короткозамкнутой линии и проводимости Волновые параметры длинной линии— разомкнутой линии. Найдём из (24.33) постоянную передачи Волновые параметры длинной линии и коэффициент распространения Волновые параметры длинной линии Поскольку

Волновые параметры длинной линии

то

Волновые параметры длинной линии

Логарифмируя обе части последнего равенства, получаем постоянную передачи:
 

Волновые параметры длинной линии

Волновые параметры длинной линии          (24.34)

откуда легко находятся коэффициенты затухания и фазы:


Волновые параметры длинной линии

Коэффициент Волновые параметры длинной линии равен целому числу волн, укладывающихся по длине линии.

Во всех формулах необходимо брать только арифметические корни.

Зная волновые параметры линии, нетрудно вычислить её первичные параметры путём приравнивания вещественных и мнимых частей равенств:

Волновые параметры длинной линии

Замечание:

Метод холостого хода и короткого замыкания целесообразно применять в том случае, когда затухание линии не превышает
1 Нп (8,69 дБ), что характерно для большинства длинных линий.