Операторные передаточные функции

Содержание:

Операторные передаточные функции:

Практический смысл и назначение операторного метода в теории электрических цепей состоит, прежде всего, в представлении соотношения вход/выход в операторной форме, что даёт возможность существенно упростить процедуры анализа и синтеза электрических цепей и обеспечить связь между временным и частотным описаниями как колебаний, действующих в цепи, так и самой цепи.

Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме

Покажем, что решение задач анализа колебаний в электрической цепи существенно упрощается при использовании операторного метода.

Законы Кирхгофа в операторной форме

Пусть токи

       (17.1)

что говорит о формальной справедливости законов Кирхгофа для токов и напряжений, выраженных в операторной форме.

Операторные сопротивления и проводимости элементов электрических цепей

Убедимся в справедливости закона Ома для L-изображений колебаний на зажимах элементов R, L, С при нулевых начальных условиях (см.разд. 15.2) и найдём операторные изображения активного сопротивления, реактивного сопротивления индуктивности и ёмкости, а также их операторные проводимости

Для элемента активного сопротивления

откуда

        (17.2)

т. е. операторное активное сопротивление равно самому активному сопротивлению, поэтому операторная активная проводимость равна самой активной проводимости

       (17.3)

Для элемента индуктивности

правило дифференцирования даёт:

откуда операторные сопротивление и проводимость индуктивности равны:

      (17.4)

       (17.5)

Для элемента ёмкости

правило интегрирования даёт:

откуда операторные сопротивление и проводимость ёмкости равны:

        (17.6)

        (17.7)

Заметим, что поскольку оператор р  согласно (16.2) определён как комплексное переменное

операторные сопротивления и проводимости элементов L и С получаются заменой оператора на оператор р при

Операторные сопротивление и проводимость последовательного и параллельного двухполюсников

Закон Ома при нулевых начальных условиях формально верен и для сложных двухполюсников, если в числе их элементов не содержатся независимые источники.

Определение:

Операторным сопротивлением (проводимостью ) двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе (операторного входного тока к операторному току на выходе (операторному напряжению на выходе)

(соответственно при нулевых начальных условиях.

Пример 17.1.

Найти операторное сопротивление двухполюсника (рис. 17.1), состоящего из последовательно соединённых элементов R, L, С при нулевых начальных условиях.

Решение. Напряжение на зажимах двухполюсника при нулевых начальных условиях равно

Применим к полученному уравнению преобразование Лапласа:

откуда следует, что при последовательном соединении элементов их операторные сопротивления складываются, как и для комплексных сопротивлений, но оператор заменяется на оператор р (см. разд. 17.1.2):

            (17.8)

Пример 17.2.

Найти операторную проводимость двухполюсника (рис. 17.2), состоящего из параллельно соединённых элементов R, L, С при нулевых начальных условиях.

Решение. Для тока согласно первому закону Кирхгофа имеем:

поэтому операторную проводимость заданного двухполюсника можно записать сразу:

        (17.9)

В силу дуальности последовательного и параллельного контуров выражение (17.9) можно было записать сразу на основании формулы (17.8).

Выражения (17.8) и (17.9) представляют собой входные операторные функции цепи. Они дают основания определению операторного сопротивления и проводимости двухполюсника общего вида.

Операторные сопротивление и проводимость двухполюсника общего вида

Закон Ома, при нулевых начальных условиях, формально можно применить и для сколь угодно сложных двухполюсников. Ранее
(см. лекцию 5) было установлено, что если на входе двухполюсника действует источник напряжения с ЭДС то для контура (например, первого), замыкающегося через этот источник, по формуле Крамера можно записать:

Переходя к L-изображениям напряжений, токов и сопротивлений элементов цепи, получим представление двухполюсника в операторной форме (рис. 17.3), что позволяет записать L-изображение входного тока:

Теперь согласно определению операторной проводимости и операторного сопротивления имеем:

                                                                                                        (17.10)

      (17.11)

При этом нужно помнить, что определители и алгебраические дополнения в таких формулах записываются с учётом свойств преобразования Лапласа, как это сделано в примерах 17.1 и 17.2.

Определение операторной передаточной функции. Связь с импульсной и переходной характеристиками

В лекции 15 было показано, что во временной области соотношение вход/выход линейной электрической цепи при произвольном воздействии описывается уравнением свёртки:

где h(t) — импульсная характеристика, x(t) — воздействие, y(t) — реакция. При этом воздействие и реакция могут быть напряжениями или токами.

Для описания соотношения вход/выход в операторной форме воспользуемся L-изображением свёртки

        (17.12)

откуда получаем соотношения вход/выход в операторной форме

               (17.3)

которое называют передаточной функцией.

Определение:

Передаточной функцией линейной электрической цепи называется отношение L-изображения реакции к L-изображению воздействия при нулевых начальных условиях.

Выражение (17.13) говорит о том, что передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики, т. е. импульсная характеристика является обратным преобразованием Лапласа передаточной функции:

      (17.14)

       (17.15)

Именно этими зависимостями объясняется содержащееся в определении передаточной функции требование нулевых начальных условий.

Связь между передаточной функцией и переходной характеристикой можно установить, если воспользоваться интегралом Дюамеля (15.20а) при нулевых начальных условиях:

когда Здесь, как и в случае импульсной характеристики, имеет место свёртка двух функций, которой в операторной области соответствует произведение L-изображений свёртываемых функций:

Первый сомножитель правой части полученного уравнения содержит L-изображение производной, поэтому окончательно можно записать:

             (7.16)

и

         (7.17)

что полностью соответствует связи импульсной и переходной характеристик (15.16).

Обратим внимание на то, что передаточная функция может быть получена из комплексных частотных характеристик формальным образом, а именно — простой заменой в КЧХ оператора на и наоборот: КЧХ может быть получена из передаточной функции заменой оператора на

В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия, а какая в качестве реакции цепи, различают четыре вида передаточных функций:

операторное передаточное сопротивление

       (17.18)

операторную передаточную проводимость

        (17.19)

передаточную функцию по току

      (17.20)

передаточную функцию по напряжению

       (7.21)

Последние две функции иногда называют операторными передаточными коэффициентами по току и по напряжению соответственно.

По любой из передаточных функций (17.18)—(17.21) нетрудно найти L-изображение реакции цепи, а затем и саму реакцию на заданное воздействие, поскольку любая передаточная функция Н(р) согласно (17.12) может рассматриваться как связующий коэффициент между L-изображения ми воздействия Х(р) и реакции Y(p).

Пример 17.3.

Записать передаточную функцию для последовательного колебательного контура (рис. 17.1, б) относительно напряжения на индуктивности.

Решение. По определению передаточной функции для индуктивности имеем

Но операторное напряжение на индуктивности равно:

поэтому

Подставляя сюда операторное сопротивление (17.8), получаем искомую передаточную функцию:

                (17.22)

Аналогично можно получить и другие передаточные функции для последовательной, параллельной или более сложной цепи. В последнем случае потребуется составить систему уравнений для L-изображений колебаний, воспользовавшись методом контурных токов или узловых напряжений.

Понятие о нулях и полюсах передаточной функции. Устойчивость передаточной функции

Задача 17.1.

Получить и исследовать общее выражение для передаточной функции цепи, когда воздействие представляет собой ЭДС источника напряжения, а реакцией является ток в выделенной ветви анализируемой цепи (рис. 17.4).

Решение. Выберем независимые контуры в цепи так, чтобы через источник напряжения замыкался ток только одного входного контура, а через интересующую нас ветвь — ток только одного выходного контура. На рис. 17.4 они обозначены индексами 1 и 2 соответственно.

Теперь, как и в задаче 5.2, необходимо положить При этих условия соответствующие операторные напряжения также оказываются равными нулю. Тогда операторный ток выходного контура получает вид:

откуда по определению передаточной функции имеем операторную передаточную проводимость

                                                                                                               (17.23)

где — определитель системы операторных уравнений

a — операторный минор этого определителя относительно первой строки и второго столбца:

Заметим, что определитель и все его миноры представляют собой рациональные функции оператора р, все коэффициенты которых являются вещественными числами. Это объясняется тем, что при раскрытии определителя над его элементами совершаются только операции умножения, сложения и вычитания, а сами элементы представляют собой простейшие рациональные 

функции с вещественными коэффициентами вида (17.11). Раскрывая определитель и минор и подставляя результаты в (17.23), получаем:

        (17.24)

Полиномы числителя и знаменателя как и всякий полином, согласно основной теореме алгебры, могут быть представлены через их нули и соответственно следующим образом:

          (17.25)

и

        (17.26)

Отсюда передаточная функция (17.24) приобретает вид:

          (П27)

  —постоянный множитель;

  — являются нулями числителя (корнями уравнения  )  и называются нулями передаточной функции;

   — называется характеристическим полиномом;

  — являются нулями характеристического полинома (корнями уравнения ) и называются полюсами передаточной                          функции.

Названия корней уравнения нулями и корней уравнения полюсами связаны с тем, что при передаточная функция обращается в нуль, а при — в бесконечность. Поскольку коэффициенты передаточной функции вещественны, то нули и полюсы могут быть или вещественными или составлять комплексно-сопряжённые пары:

Нули и полюсы наглядно отображаются на комплексной p -плоскости (рис. 17.5) значками ( ° ) и ( * ) соответственно.

На рис. 17.5 показаны:

• вещественный положительный нуль и отрицательный полюс у которых частота
• пара комплексно-сопряжённых нулей и и пара комплексно-сопряжённых полюсов              

и у которых вещественные части отрицательны, а знаки соответствующих частот противоположны.

Отображение нулей и полюсов на p-плоскости называют картой нулей и полюсов. Различают левую и правую р-полуплоскости.

Карта нулей и полюсов позволяет оценить ряд свойств электрической цепи и, в частности, определить её устойчивость с точки зрения устойчивости передаточной функции.

Утверждение:

цепь является строго устойчивой тогда и только тогда, когда её передаточная функция имеет, полюсы только в левой р-полуплоскости, исключая мнимую ось.

Доказательство. Напомним, что цепь называется строго устойчивой, если при нулевых начальных условиях ограниченное по величине воздействие

вызывает ограниченную по величине реакцию

Но реакцию y(t)  при нулевых условиях можно найти с помощью уравнения свёртки

Отсюда при заданных ограничениях имеем соотношение

из которого следует, что для получения равномерно ограниченной для всех t реакции, т. е. для обеспечения строгой устойчивости цепи должно выполняться условие абсолютной сходимости интеграла от импульсной характеристики:

      (17.28)

Найдём расположение полюсов, которое соответствует полученному условию. Для этого представим импульсную характеристику h(t)  цепи как обратное L-изображение передаточной функции (17.15) путём разложения последней на сумму простых дробей (16.28):

     (17.29)

Подставим в интеграл (17.28) правую сумму (17.29)

              (17.30)

и проведём ряд несложных преобразований.

Поскольку модуль суммы не превосходит суммы модулей, справедливо следующее неравенство:
                                                                                     

которое проинтегрируем:

В правой части полученного неравенства поменяем местами знаки суммирования и интегрирования и оставим только знак равенства:

Рассмотрим интеграл в правой части равенства, содержащий модуль экспоненты, при

Здесь, во-первых,

во-вторых, первая экспонента под интегралом всегда неотрицательна, поэтому знак модуля можно опустить:

Остаётся исследовать сходимость интеграла при положительном и отрицательном показателе

Сходимость интеграла при означает, что для устойчивости передаточной функции (а потому и цепи), все полюсы должны иметь отрицательные действительные части т. е. лежать в левой р-полуплоскости, что и требовалось доказать.

Связь передаточной функции с частотными и временными характеристиками цепи

Как было показано в лекции 10, для определения частотных характеристик АЧХ и ФЧХ цепи необходимо знать комплексную частотную характеристику Получить КЧХ из передаточной функции несложно: необходимо лишь в (17.10) заменить оператор на поскольку частотные характеристики являются непрерывными функциями только частоты:

         (17.31)

Отсюда имеем:

        (17.32)

где

           (17.33)

Эквивалентное выражение для КЧХ получается из (17.31), если воспользоваться комплексными функциями числителя и знаменателя:

          (17.34)

где

      (17.35)

           (17.36)

Вследствие того, что функция

является иррациональной, обычно при анализе и синтезе цепей используют квадрат АЧХ:

        (17.37)

Перечислим основные свойства передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей.

1. Передаточная функция является L-изображением импульсной характеристики.
2. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами.
3. Полюсы устойчивой передаточной функции лежат в левой р-полуплоскости.
4. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей; приневыполнении этого свойства АЧХ на бесконечно больших частотах должна принимать бесконечно большое значение, поскольку числитель в этом случае растёт быстрее знаменателя.
5. Частотные характеристики цепи вычисляются по передаточной функции при подстановке
6. Квадрат АЧХ является чётной рациональной функцией переменной с вещественными коэффициентами:
7. По передаточной функции можно изобразить схему цепи

Обобщённая схема связи передаточной функции с характеристиками и свойствами цепи представлена на рис. 17.6.