Частотные характеристики линейных электрических цепей

Содержание:

Частотные характеристики линейных электрических цепей:

Задача анализа электрической цепи была сформулирована ранее как задача определения реакции цепи на заданное внешнее воздействие. Пусть для некоторой линейной электрической цепи это воздействие задано в виде токов и напряжений нескольких независимых источников тока и напряжения, а искомая реакция (отклик) цепи представляет собой совокупность токов или напряжений отдельных элементов (нагрузок). Вынесем из рассматриваемой цепи все ветви, содержащие независимые источники тока и напряжения, а также ветви, токи или напряжения которых подлежат определению. Оставшуюся часть цепи, содержащую идеализированные пассивные элементы и, возможно, управляемые источники, представим в виде многополюсника (рис. 3.1,а).

Уточним понятия входов и выходов цепи. Входными будем называть пару зажимов (полюсов), к которым подключается каждый из независимых источников, задающих внешнее воздействие на цепь. Зажимы, служащие для подключения нагрузки, т. е. ветви, ток или напряжение которой необходимо определить, назовем выходными. Пары входных и выходных зажимов образуют соответственно входы и выходы цепи, точнее, входы и выходы многополюсника, который получается из цепи при вынесении из нее источников внешнего воздействия и нагрузок. Деление зажимов на входные и выходные является в некоторой степени условным, так как одна и та же пара зажимов может одновременно быть и входной, и выходной (например, когда внешнее воздействие на цепь задается некоторым независимым источником напряжения и требуется определить ток ветви, содержащей этот источник). В связи с этим наряду с понятиями входа и выхода в теории цепей широко используется понятие стороны многополюсника.

Стороной многополюсника, или портом, называется пара зажимов, которые служат либо входом, либо выходом, либо и входом и выходом одновременно.

Из определений входных и выходных зажимов следуют важные особенности зажимов, образующих порт многополюсника:

1. ток, втекающий через один зажим порта, равен току, вытекающему через другой зажим этого же порта
2. между парами полюсов, принадлежащих к разным портам, не должно быть никаких внешних по отношению к многополюснику соединений (внутри многополюсника соединения, естественно могут быть).

Зажимы, образующие одну сторону многополюсника, будем обозначать одинаковыми цифрами (со штрихом и без штриха)

Пусть внешнее воздействие на цепь задано только на одной паре полюсов и необходимо найти реакцию цепи также только на одной паре полюсов k — k' (рис. 3.1, б): Поскольку процессы на остальных полюсах в данном случае интереса не представляют, их можно не выделять из цепи. Исследуемую цепь удобно рассматривать как двусторонний четырехполюсник. Если v = k, то исследуемая цепь становится односторонней, т. е. превращается в двухполюсник (рис. 3.1, в).

Ограничимся рассмотрением случая гармонического внешнего воздействия; при этом от исследования соотношений между мгновенными значениями реакции цепи (t) и внешнего воздействия (f) можно перейти к исследованию соотношений между их комплексными изображениями.

По определению, комплексной частотной характеристикой цепи называется отношение комплексных изображений отклика и воздействия:

Здесь — комплексные амплитуда и действующее значение реакции цепи; — комплексные амплитуда и действующее значение внешнего воздействия; k — номер выходных зажимов; v — номер входных зажимов.

Размерность комплексной частотной характеристики (КЧХ) равна отношению размерностей отклика цепи и внешнего воздействия. В зависимости от того, какие величины (токи или напряжения) рассматриваются в качестве откликов и внешних воздействий, КЧХ может иметь размерность сопротивления (внешнее воздействие — реакция цепи — ), проводимости (внешнее воздействие — реакция цепи -  или быть безразмерной (внешнее воздействие — и реакция цепи — либо внешнее воздействие — и реакция цепи —

Как и всякое комплексное число, КЧХ цепи может быть записана в показательной

или в алгебраической

форма. Представляя комплексные изображения отклика и воздействия в показательной форме

и подставляя (3.4) в выражение (3.1), определяем модуль и аргумент КЧХ:

Таким образом, модуль КЧХ равен отношению амплитуд или действующих значений отклика цепи и внешнего воздействия, а ее аргумент представляет собой разность начальных фаз отклика и внешнего воздействия.

Если КЧХ определяется выражением

следовательно, КЧХ цепи численно равна комплексной амплитуде реакции цепи на внешнее воздействие с единичной амплитудой и нулевой начальной фазой.

Зависимости модуля и аргумента комплексной частотной характеристики от частоты называются амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной (ФЧХ) характеристиками цепи. Из сравнения выражений (3.2) и (3.6) видно, что АЧХ и ФЧХ цепи характеризуют зависимости от частоты соответственно амплитуды и начальной фазы отклика цепи на внешнее воздействие с Таким образом, КЧХ сочетает в себе амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики цепи.

При графическом представлении комплексных частотных характеристик цепи обычно строят либо отдельно АЧХ и ФЧХ, либо изображают зависимости от частоты вещественной и мнимой  составляющих КЧХ, которые однозначно выражаются через и

Комплексную частотную характеристику можно изобразить и в виде одной зависимости — годографа КЧХ, построенного на комплексной плоскости. Годограф КЧХ представляет собой геометрическое место концов вектора  соответствующих изменению часто

ты от (рис. 3.2). На годографе указывают точки, соответствующие некоторым значениям частоты  и стрелкой показывают направление перемещения конца вектора при увеличении частоты. Как видно из рисунка, годограф КЧХ позволяет одновременно судить как об АЧХ и ФЧХ, так и о зависимости вещественной и мнимой составляющих КЧХ от частоты. Годограф КЧХ иногда называют амплитудно-фазовой характеристикой цепи.

Комплексные частотные характеристики цепи делятся на входные и передаточные. Когда отклик и внешнее воздействие рассматриваются (см. рис. 3.1, в), КЧХ называется входной. Если отклик и внешнее воздействие задаются на разных зажимах цепи (см. рис. 3.1, б), КЧХ называется передаточной. Различают два вида входных и четыре вида передаточных характеристик.

Если внешнее воздействие на цепь является током а реакция — напряжением to КЧХ цепи представляет собой комплексное входное сопротивление цепи относительно зажимов

К входным характеристикам цепи относится также комплексная входная проводимость

при этом внешнее воздействие — напряжение а реакция — ток

К передаточным характеристикам цепи относятся: комплексный коэффициент передачи по напряжению

комплексный коэффициент передачи по току

комплексное передаточное сопротивление

и комплексная передаточная проводимость

Очевидно, что комплексное входное сопротивление и комплексное передаточное сопротивление имеют размерность сопротивления, комплексная входная проводимость и комплексная передаточная проводимость — размерность проводимости. Комплексные коэффициенты передачи по току и напряжению являются безразмерными величинами.

В дальнейшем будет показано, что КЧХ линейных цепей не зависят от амплитуды и начальной фазы внешнего воздействия, а определяются структурой цепи и параметрами входящих в нее элементов. Знание КЧХ позволяет определить реакцию цепи на заданное гармоническое воздействие

В общем случае каждая линейная цепь характеризуется большим числом комплексных частотных характеристик, так как любая из рассмотренных разновидностей КЧХ может быть определена для различных сочетаний пар входных и выходных зажимов и при различных значениях сопротивлений нагрузки.

Комплексные частотные характеристики идеализированных двухполюсных пассивных элементов

Идеализированные двухполюсные пассивные элементы обладают только входными КЧХ. В связи с этим у них имеется только одна пара внешних выводов, нумеровать выводы в обозначениях КЧХ не будем.

Сопротивление. Комплексное входное сопротивление этого элемента определяется выражением

Модуль комплексного входного сопротивления и его аргумент не зависят от частоты:

в связи с чем АЧХ и ФЧХ комплексного входного сопротивления имеют вид прямых линий с постоянной ординатой (рис. 3.3, а, б). Зависимости от частоты вещественной и мнимой составляющих комплексного входного сопротивления

представлены на рис. 3.4. Поскольку не зависит от частоты, годограф входного сопротивления вырождается в точку на комплексной плоскости (рис. 3.5).

Индуктивность. Из выражения для комплексного входного сопротивления индуктивности можно найти модуль комплексного входного сопротивления его аргумент а также вещественную и мнимую составляющие (рис. 3.6).

Из амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик входного сопротивления индуктивности (рис. 3.7) видно, что модуль входного сопротивления индуктивности линейно возрастает с ростом частоты, а аргумент равен и не зависит от частоты. Так как комплексное

входное сопротивление индуктивности является чисто мнимой величиной, то при изменении частоты конец вектора перемещается вдоль мнимой оси (рис. 3.8).

Емкость. Комплексное входное сопротивление емкости, как известно, определяется выражением

Отсюда можно определить модуль и аргумент комплексного входного сопротивления емкости, а также его вещественную и мнимую составляющие.

Как видно из рис. 3.9, с увеличением частоты модуль входного сопротивления уменьшается и равен нулю при Аргумент комплексного входного сопротивления емкости равен -  и от частоты не зависит. Зависимости от частоты приведены на рис. 3.10, годограф изображен на рис. 3.11.

Аналогичным образом можно построить и частотные характеристики комплексной входной проводимости идеализированных пассивных элементов, причем в связи с тем, что емкость и индуктивность являются дуальными элементами, КЧХ входной проводимости индуктивности

имеют такой же вид, что и КЧХ входного сопротивления емкости (см. рис. 3.9 — 3.11), а КЧХ входной проводимости емкости — такой же вид, как и КЧХ входного сопротивления индуктивности Гем. рис. 3.6— 3.8).

Комплексные частотные характеристики цепей с одним энергоемким элементом

Рассмотрим комплексные частотные характеристики простейших цепей (рис. 3.12, а, б), являющихся двусторонними и поэтому обладающими как входными, так и передаточными характеристиками. Обобщенная комплексная схема замещения этих цепей приведена на рис. 3.12, в.

Комплексное входное сопротивление цепей со стороны зажимов 1— 1' (2 — 2') зависит от сопротивления нагрузки, подключенного к зажимам 2— 2' (1 — 1'). Наиболее интересны случаи, когда сопротивление нагрузки равно нулю (режим короткого замыкания) или когда сопротивление нагрузки бесконечно велико (режим холостого хода). При холостом ходе на зажимах 2 — 2' = 0) входное сопротивление цепей со стороны зажимов 1— 1'

при коротком замыкании 

При холостом ходе со стороны зажимов  входное сопротивление со стороны зажимов

при коротком замыкании 

Комплексный коэффициент передачи цепи по напряжению от зажимов 1 — 1' к зажимам 2— 2' зависит от сопротивления нагрузки со стороны зажимов 2 — 2'. В режиме холостого хода на зажимах 2 — 2' через сопротивления протекает один и тот же ток

Напряжение, приложенное к зажимам 1 — 1', распределяется между сопротивлениями пропорционально значениям напряжение на зажимах 2 — 2' при этом

Цепи такого типа получили название делителей напряжения. Используя выражение (3.9), найдем коэффициент передачи цепей по напряжению от зажимов 1 — 1' к зажимам 2—2' в режиме холостого хода

В режиме холостого хода на зажимах 1 — 1' коэффициент передачи рассматриваемых цепей по напряжению от зажим ов 2—2' к зажимам 1 — 1'

и не зависит от частоты внешнего воздействия. Подставляя в полученные выражения значения сопротивлений плеч делителя можно построить АЧХ и ФЧХ рассматриваемых цепей.

Определим в качестве примера комплексное входное сопротивление со стороны зажимов 1 — 1' и комплексный коэффициент передачи от зажимов 1 — 1' к зажимам 2—2' в режиме холостого хода на выходе цепи, схема которой приведена на рис. 3.12, а. Подставляя в выражение (3.7) и выполняя преобразования

найдем аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ входного сопротивления:

Непосредственное использование выражений (3.13) для построения АЧХ и ФЧХ весьма неудобно, так как для каждой пары значений параметров R и L необходимо строить отдельную кривую. Построение существенно упрощается при замене абсолютных значений частоты комплексного сопротивления и полного сопротивления  относительными (нормированными) значениями

Из выражений (3.14) видно, что нормированная частота нормированное комплексное сопротивление и нормированное полное сопротивление являются безразмерными величинами. С учетом (3.14) найдем выражения для нормированных АЧХ и ФЧХ входного сопротивления рассматриваемой цепи (рис. 3.13):

Годограф нормированного комплексного сопротивления этой цепи изображен на рис. 3.14.

Аналогичный вид имеют нормированные частотные характеристики входного сопротивления цепи, схема которой изображена на рис. 3.12, б.

Анализ полученных результатов показывает, что в области сравнительно низких частот, когда полное сопротивление индуктивности мало по сравнению с R входные сопротивления цепей (см. рис. 3.12, а, б) определяются только значением R. Сопротивление индуктивности постоянному току равно нулю, поэтому на нулевой частоте входное сопротивление цепей имеет чисто резистивный характер

 С ростом частоты модуль и аргумент входного сопротивления плавно увеличиваются, причем на достаточно высоких частотах входное сопротивление цепи определяется только сопротивлением индуктивности 

Рассмотрим частотные характеристики коэффициента передачи по напряжению  цепи, схема схема которой изображена на рис. 3.12, а. Подставляя в (3.10)  получаем 

Переходя в (3.16) к показательной форме записи, находим аналитические выражения для АЧХ и ФЧХ коэффициента передачи цепи по напряжению (рис. 3.15):

Годограф комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению изображен на рис. 3.16.

На сравнительно низких частотах когда полное сопротивление индуктивности существенно меньше R, входное сопротивление цепи имеет характер, близкий к чисто резистивному, а входной ток цепи совпадает по фазе с напряжением Распределение напряжения между плечами делителя напряжения пропорционально сопротивлению этих плеч, поэтому падение напряжения на индуктивности весьма мало, т. е. модуль коэффициента передачи по напряжению близок к нулю. Напряжение на индуктивности опережает по фазе ток индуктивности , а следовательно, и входное напряжение на угол, близкий к С ростом частоты сопротивление индуктивности увеличивается и вследствие этого распределение напряжений между плечами делителя изменяется. На достаточно высоких частотах практически все входное напряжение оказывается приложенным к индуктивности, поэтому модуль коэффициента передачи по напряжению  в этом случае близок к единице, а аргумент — к нулю.

Понятие о резонансе в электрических цепях

Амплитудно-частотные характеристики пассивных линейных цепей с одним реактивным элементом имеют вид монотонно изменяющихся кривых, поэтому амплитуда отклика таких цепей также монотонно изменяется при увеличении или уменьшении частоты внешнего воздействия. Более сложный характер имеют процессы в электрических цепях, содержащих реактивные элементы различных типов. Амплитуда отклика таких цепей может резко изменяться, когда частота внешнего воздействия достигает некоторых определенных значений. Явление резкого возрастания амплитуды отклика цепи при приближении частоты внешнего воздействия к определенному значению называется резонансом. Такое определение резонанса заимствовано из механики и справедливо только для цепей с малыми потерями. Резонанс, отвечающий этому определению, условно называется амплитудным.

В теории цепей обычно используют другое определение резонанса, которое применяется как для цепей с малыми, так и для цепей с большими потерями. Под резонансом понимают такой режим работы электрической цепи, содержащей емкости и индуктивности, при котором реактивные составляющие входных сопротивления и проводимости Цепи равны нулю. Резонанс, отвечающий данному определению, условно называется фазовым. Можно показать, что резонансные частоты, соответствующие амплитудному и фазовому резонансам, совпадают только в идеализированном случае, когда потери в цепи равны нулю. В дальнейшем под термином резонанс будем понимать только фазовый резонанс, а под резонансной частотой—только частоту внешнего воздействия, соответствующую фазовому резонансу. Как следует из определения резонанса, на резонансной частоте входные сопротивление и проводимость электрической цепи имеют чисто резистивный характер, а входной ток цепи совпадает по фазе с приложенным напряжением.

Простейшей электрической цепью, в которой наблюдается явление резонанса, является одиночный колебательный контур, представляющий собой замкнутую цепь, состоящую из конденсатора и индуктивной катушки. В зависимости от способа подключения источника энергии, различают «последовательный» колебательный контур (источник энергии включен последовательно с конденсатором и индуктивной катушкой) и «параллельный» колебательный контур (источник энергии подключен параллельно реактивным элементам). Ранее, при изучении последовательной RLС-цепи, было установлено, что ее входное сопротивление может иметь чисто резистивный характер, когда мнимая составляющая входного сопротивления емкости по абсолютному значению равна мнимой составляющей входного сопротивления индуктивности В этом случае напряжение на емкости равно по амплитуде и противоположно по фазе напряжению на индуктивности а напряжение на входе цепи равно напряжению на сопротивлении и совпадает по фазе с входным током  (см. рис. 2.21, в). Такая разновидность резонанса получила название резонанса напряжений.

В параллельной RLС-цепи входная проводимость может иметь чисто резистивный характер, когда мнимые составляющие входных проводимостей емкости и индуктивности равны по абсолютному значению В этом случае ток индуктивности равен по амплитуде и противоположен по фазе току емкости а входной ток цепи равен току через сопротивление и совпадает по фазе с входным напряжением (см. рис. 2.23, в). Такая разновидность резонанса называется резонансом токов.

Последовательный колебательный контур

Последовательный колебательный контур представляет собой электрическую цепь, содержащую индуктивную катушку и конденсатор, включенные последовательно с источником энергии (рис. 3.17, а). Для анализа процессов, протекающих в контуре, необходимо перейти от его принципиальной схемы к эквивалентной путем замены каждого реального элемента его эквивалентной схемой.

Воспользуемся простейшими последовательной и параллельной схемами замещения индуктивной катушки (см. рис. 2.38, в и 2.39, в) и

конденсатора (см. рис. 2.38, б и 2.39, б), содержащими наряду с индуктивностью или емкостью только сопротивления или учитывающие все виды потерь в индуктивной катушке и конденсаторе соответственно. Соотношения между параметрами элементов таких схем приведены в табл. 2.1.

Рассмотрим векторные диаграммы, иллюстрирующие фазовые соотношения между токами и напряжениями последовательных RL- и RC-цепей, моделирующих индуктивную катушку и конденсатор (см. рис. 2.18, г, д; 2.19, г, д). Из диаграмм видно, что вследствие потерь

сдвиг фаз между током и напряжением на зажимах индуктивной катушки и конденсатора меньше . Очевидно, что чем ближе к будет сдвиг фаз между током и напряжением, тем ближе будут свойства этих реальных элементов к свойствам индуктивности и емкости. Количественно степень приближения свойств реальных элементов к свойствам идеализированных элементов оценивается их добротностью, которая определяется как модуль тангенса сдвига фаз между током и напряжением на зажимах соответствующего элемента:

Из рис. 2.18, г и 2.19, г видно, что добротность индуктивной катушки

а добротность конденсатора

Обычно в колебательных контурах радиотехнических устройств стремятся использовать элементы с высокой добротностью, причем добротность индуктивных катушек лежит в пределах от нескольких десятков до нескольких сотен, а добротность конденсаторов — от нескольких сотен до нескольких тысяч. Таким образом, между параметрами рассматриваемых элементов последовательных схем замещения выполняются соотношения

Экспериментально установлено, что достаточно широком диапазоне частот можно приближенно считать независящими от частоты.

В соответствии с формулами, приведенными в табл. 2.1, параметры параллельной схемы замещения индуктивной катушки могут быть выражены через параметры элементов последовательной схемы замещения:

С учетом соотношений (3.20) эти выражения можно упростить:

Таким образом, у индуктивных катушек с высокой добротностью значения индуктивностей параллельной и последовательной схем замещения приблизительно одинаковы и могут считаться не зависящими от частоты; значение сопротивления в параллельной схеме замещения обратно пропорционально значению сопротивления последовательной схемы замещения и сильно зависит от частоты.

Аналогичным образом найдем соотношения между параметрами элементов параллельной и последовательной схем замещения конденсатора:

Экспериментально установлено, что параметры можно приближенно считать не зависящими от частоты. Из соотношений (3.22) следует, что у конденсаторов с высокой добротностью значения емкостей в последовательной и параллельной схемах замещения приблизительно одинаковы и могут считаться не зависящими от частоты; сопротивление обратно пропорционально сопротивлению

и зависит от частоты. Между параметрами сопротивлений потерь индуктивной катушки и конденсатора как правило, выполняются соотношения

Для анализа процессов в последовательном колебательном контуре удобно воспользоваться последовательными схемами замещения индуктивной катушки, конденсатора и источника энергии. Представляя каждый из этих элементов его последовательной схемой замещения, получим эквивалентную схему последовательного колебательного контура (рис. 3.17, б). Эта схема может быть несколько упрощена, если пренебречь внутренним сопротивлением источника (далее будет рассмотрено влияние внутреннего сопротивления источника на характеристики контура) и заменить сопротивления потерь конденсатора и индуктивной катушки сопротивлением

которое считается практически не зависящим от частоты (рис. 3.17,в).

Итак, с учетом принятых допущений исследование процессов в последовательном колебательном контуре сводится к исследованию последовательной RLC-цепи, к зажимам которой подключен идеальный источник напряжения. Ток, отдаваемый этим источником, назовем током контура; напряжение, создаваемое источником на зажимах 1 — 1', — напряжением контура. Под входным сопротивлением контура будем понимать входное сопротивление последовательной RLC-цепи относительно зажимов 1 — 1' определяемое выражением (2.96).

Резонансная частота, характеристическое сопротивление и добротность контура

По определению, мнимая составляющая входного сопротивления последовательного колебательного контура

должна быть равна нулю, когда угловая частота внешнего воздействия равна резонансной частоте контура Полагая в выражении (3.26) получаем уравнение для определения резонансной частоты последовательного колебательного контура:

откуда 

На резонансной частоте полное сопротивление емкости

равно полному сопротивлению индуктивности

Величина равная полному сопротивлению емкости или индуктивности контура на резонансной частоте, получила название характеристического сопротивления контура. Подставляя в (3.29) и (3.30) выражение для резонансной частоты контура, убеждаемся, что значение  не зависит от частоты и определяется только параметрами реактивных элементов контура:

На резонансной частоте входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и равно сопротивлению потерь контура Действующее значение тока контура на резонансной частоте

где U — действующее значение напряжения на контуре. Действующие значения напряжений на реактивных элементах контура на резонансной частоте определяются произведением характеристического сопротивления на действующее значение тока:

Отношение действующего значения напряжения на реактивном элементе контура к действующему значению напряжения на контуре на резонансной частоте называется добротностью контура

Используя выражение (3.31), добротность колебательною контура Q можно выразить через параметры его элементов

Как правило, добротность колебательных контуров современной радиотехнической аппаратуры лежит в пределах от нескольких десятков до нескольких сотен, поэтому в режиме резонанса напряжение на реактивных элементах контура может во много раз превышать приложенное к контуру напряжение. Как следует из выражения (3.34) при неизменной резонансной частоте  добротность контура растет с увеличением характеристического сопротивления контура и с уменьшением сопротивления потерь.

Добротность колебательного контура может быть выражена через добротности его элементов Действительно, рассматривая величину

и учитывая, что сопротивление потерь контура равно сумме сопротивлений потерь индуктивной катушки и конденсатора в последовательных схемах замещения, находим

Сравнивая полученное выражение с соотношениями (3.18), (3.19), устанавливаем, что величины  и  равны добротностям индуктивной катушки и конденсатора на резонансной частоте:

Подставляя (3.36) в (3.35), получаем простое выражение, связывающее добротность контура с добротностями элементов контура на резонансной частоте:

Анализ выражения (3.37) показывает, что добротность контура не может превышать добротности его элементов на резонансной частоте. Как правило, поэтому добротность контура в основном определяется добротностью индуктивной катушки на резонансной частоте. Величина d, обратная добротности контура, называется его затуханием.

Энергетические процессы в последовательном колебательном контуре

Пусть последовательный колебательный контур настроен на частоту источника энергии, т. е. параметры реактивных элементов контура выбраны таким образом, что резонансная частота совпадает с частотой внешнего воздействия Определим мгновенные значения энергии, запасаемой реактивными элементами контура, и энергию, потребляемую им от источника.

Как было установлено ранее, на резонансной частоте напряжение и ток контура совпадают по фазе (рис. 3.18, а): а их действующие значения связаны между собой соотношением (3.32). Мгновенное значение энергии, запасаемой в индуктивности, определяется током индуктивности

а мгновенное значение энергии, запасаемой в емкости, — напряжением на емкости (рис. 3.18, б)

Подставляя (3.38), (3.39) в выражения (1.25) и (1.18), получаем

Зависимости мгновенных значений энергии, запасаемой в реактивных элементах контура, от времени приведены на рис. 3.18, в. Как видно из временных диаграмм и выражений (3.40), энергия, запасаемая в емкости и индуктивности, имеет две составляющие: постоянную  и переменную, изменяющуюся во времени по гармоническому закону с частотой Переменные составляющие энергий емкости и индуктивности находятся в противофазе так, что максимальным значениям энергии, запасаемой в емкости, соответствуют нулевые значения энергии, запасенной в индуктивности, и наоборот. Несмотря на то что являются функциями времени, суммарная энергия, запасенная в реактивных элементах цепи, постоянна:

Емкость и индуктивность контура при резонансе непрерывно обмениваются энергией. Обмен энергией происходит без участия источника энергии: сдвиг фаз между током и напряжением в этом режиме равен нулю, поэтому реактивная мощность,отдаваемая источником, также равна нулю, и обмена энергией между контуром и источником не происходит.

Найдем энергию, потребляемую контуром от источника за промежуток времени, равный периоду внешнего гармонического воздействия Т:

Из выражения (3.42) видно, что энергия, потребляемая контуром от источника, равна энергии, необратимо теряемой в сопротивлении потерь контура R. В идеальном случае, при отсутствии потерь в контуре (R=0), энергия, потребляемая контуром от источника, равна нулю. Колебательный процесс в таком контуре будет продолжаться неограниченно долго и при отключении контура от источника (при закорачивании зажимов ). Таким образом, колебательный процесс в контуре без потерь должен иметь незатухающий характер. На практике при отключении контура от источника колебательный процесс в нем затухает, так как при каждом цикле колебаний часть электрической энергии, запасенной в контуре, необратимо преобразуется в другие виды энергии. Если контур с потерями подключить к источнику энергии, то амплитуда колебаний в установившемся режиме будет неизменной, так как потери энергии в контуре будут компенсироваться поступлением энергии от источника, и суммарная энергия, связанная с контуром, будет сохранять неизменное значение.

Найдем отношение энергии, запасаемой в реактивных элементах контура, к энергии, потребляемой контуром от источника за период Т:

Принимая во внимание, что при резонансе период внешнего гармонического воздействия

получаем 

откуда 

Таким образом, добротность последовательного контура равна отношению энергии, запасаемой в контуре, к энергии, потребляемой им за период колебаний, умноженному на Выражение (3.43) носит общий характер и может применяться для оценки добротности колебательных систем самых различных типов (в том числе и неэлектрических).

Входные характеристики последовательного колебательного контура

При рассмотрении комплексных частотных характеристик последовательный колебательный контур удобно представлять в виде многополюсника с тремя парами выводов (рис. 3.19, а, б). Внешнее воздействие на контур обычно задают в виде напряжения приложенного к зажимам 1 — 1', в качестве отклика цепи рассматривают входной ток цепи напряжение на емкости или напряжение на индуктивности Таким образом, последовательный колебательный контур обладает как входными, так и передаточными характеристиками.

В качестве входной характеристики контура будем рассматривать его комплексную входную проводимость в режиме холостого хода на зажимах 2—2’ и 3—3':

в качестве передаточных — комплексный коэффициент передачи по напряжению для случаев, когда напряжение снимается с емкости:

или с индуктивности 

Рассмотрим амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики входной проводимости последовательного колебательного контура:

Представляя в показательной форме

найдем аналитические выражения для АЧХ (рис. 3.20, а) и ФЧХ (рис. 3.20, б) входной проводимости:

Для удобства приведем также амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики входного сопротивления контура (рис. 3.21), построенные в соответствии с выражениями:

Если контур настроен на частоту источника, то мнимые составляющие входного сопротивления емкости  и индуктивности взаимно компенсируются, входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и минимально по модулю, а полная входная проводимость достигает максимального значения и равна 1/R. Векторные диаграммы, соответствующие этому случаю, изображены на рис. 2.20, е. Всякое отклонение частоты внешнего воздействия от резонансной приводит к нарушению баланса между мнимыми составляющими входного сопротивления емкости и индуктивности, что в свою очередь вызывает увеличение модуля входного сопротивления  уменьшение модуля входной проводимости  и отклонение аргумента входной проводимости  от нулевого значения. Из рис. 3.20 видно, что чем выше добротность контура Q, тем более заметно выражен максимум на резонансной частоте и более резко изменяется вблизи

При частоте внешнего воздействия ниже резонансной мнимая составляющая входного сопротивления емкости по абсолютному значению превышает мнимую составляющую входного сопротивления индуктивности и входное сопротивление контура имеет резистивно-емкостный характер В пределе, при = 0, входное сопротивление контура будет иметь чисто емкостной характер полное сопротивление контура бесконечно велико, а модуль входной проводимости равен нулю. Векторные диаграммы для приведены на рис. 2.20, г.

На частоте выше резонансной мнимая составляющая входного сопротивления емкости по абсолютному значению меньше, чем мнимая составляющая входного сопротивления индуктивности входное сопротивление контура имеет резистивно-индуктивный характер С увеличением частоты аргумент входного сопротивления контура будет стремиться к (аргумент входной проводимости будет стремиться к — модуль входного сопротивления контура неограниченно возрастать, а модуль входной проводимости — стремиться к нулю.

Комплексные частотные характеристики входной проводимости приведенные на рис. 3.20, имеют чисто качественный характер и неудобны для практического использования, так как содержат большое число параметров, причем для каждого сочетания R, Q и  необходимо строить отдельные кривые. Поэтому на практике обычно применяют нормированные входные характеристики, которые позволяют в обобщенной форме построить кривые для всех возможных сочетаний значений параметров. В качестве аргумента нормированных характеристик удобно использовать так называемую обобщенную расстройку которая определяется выражением

На резонансной частоте = 0, на частотах ниже резонансной причем нулевому значению  соответствует  На частотах выше резонансной  а при  значение обобщенной расстройки также равно бесконечности. В ряде случаев в качестве аргумента нормированных частотных характеристик удобно использовать абсолютную расстройку   относительную расстройку  или нормированную частоту 

Комплексная входная проводимость  и ее модуль  обычно нормируется по значению, которое они принимают на резонансной частоте 

С использованием (3.52), (3.53) выражения (3.47), (3.49) (3.50) преобразуются к виду

 

Нормированные амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики входной проводимости последовательного колебательного контура приведены на рис. 3.22 и 3.23 (в последнем случае комплексные частотные характеристики цепи называют обобщенными). Годограф нормированной комплексной входной проводимости последовательного колебательного контура имеет вид окружности (рис. 3.24).

Используя входные характеристики, найдем зависимость входного контура от частоты. Пусть к зажимам 1—1' контура (см. рис. 3.17, в) подключен идеальный источник напряжения частота которого может изменяться в широких пределах, а действующее значение Е и начальная фаза — постоянны. Комплексный ток контура определяется произведением комплексной входной проводимости контура на комплексное действующее значение э. д. с.:

Из выражения (3.55) находим действующее значение входного тока контура и его начальную фазу как функции круговой частоты

 

Нормируя ток ( по его максимальному значению которое достигается, когда и переходя от круговой частоты к обобщенной расстройке  окончательно получаем

Таким образом, зависимость нормированного входного тока контура от частоты совпадает с нормированной амплитудно-частотной характеристикой входной проводимости контура, а зависимость начальной фазы  от частоты совпадает с нормированной фазо-частотной характеристикой контура, смещенной на 

Передаточные характеристики последовательного колебательного контура

Найдем коэффициент передачи контура по напряжению для случая, когда напряжение снимают с емкости (см. рис. 3.19). При холостом ходе на зажимах 2—2' и 3 — 3' через все элементы контура протекает один и тот же ток — комплексная входная проводимость контура, определяемая выражениями (3.47) и (3.48). Выходное напряжение контура

Поставляя (3.57) в (3.45), находим выражение для коэффициента передачи контура по напряжению

Умножая числитель и знаменатель (3.58) на  и используя соотношения (3.34), (3.53), преобразуем (3.58) к виду 

откуда можно определить модуль (рис. 3.25, а) и аргумент (рис. 3.25, б) комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению:

Здесь — нормированные АЧХ и ФЧХ входной проводимости последовательного колебательного контура, определяемые выражениями (3.54).

Используя аналогичный подход, находим модуль (рис. 3.25, а) и аргумент (рис. 3.25, б) комплексного коэффициента передачи цепи по напряжению

для случая, когда напряжение снимают с индуктивности,

Как следует из определения добротности, на резонансной частоте действующее значение напряжения на емкости равно действующему значению напряжения на индуктивности и в Q раз превышает напряжение на входе контура, поэтому   При = 0 сопротивление емкости бесконечно велико, напряжение на емкости напряжение на индуктивности равно нулю. Поэтому На высоких частотах сопротивление индуктивности бесконечно велико, поэтому напряжение оказывается практически полностью приложенным к индуктивности, а напряжение на емкости равно нулю. Таким образом,

Максимум зависимости соответствует частоте, несколько более низкой, а максимум — частоте, несколько более высокой, чем резонансная. Однако эти смещения максимумов относительно резонансной частоты очень малы и на практике ими всегда можно пренебречь. Действительно, исследуя кривые и на экстремум, легко установить, что функция имеет максимум на частоте

а функция — на частоте

Подставляя (3.61) и (3.62) соответственно в выражения (3.59) и (3.60), находим, что максимальные значения обеих функций одинаковы:

Рассматривая выражения (3.61)—(3.63), нетрудно прийти к заключению, что при отличие не превышает  поэтому во всех практически важных случаях можно считать, что  имеют максимум на резонансной частоте, причем 

На рис. 3.25, а, который носит чисто качественный характер, смещение кривых относительно друг друга преувеличено с тем, чтобы показать, что максимумы кривых находятся на разных частотах. В действительности в узком диапазоне частот, близких к резонансной, когда можно положить  эти_зависимости почти совпадают друг с другом и с зависимостью 

Если к входу последовательного колебательного контура подключить источник напряжения частота которого изменяется в широких пределах, а действующее значение э. д. с. и начальная фаза сохраняют неизменное значение, то зависимость нормированного выходного напряжения  от частоты будет совпадать с нормированной АЧХ входной проводимости контура:

Напомним, что такой же вид имеет зависимость нормированного входного тока контура  от частоты (3.56).

Таким образом, нормированную входную проводимость контура можно рассматривать как нормированную реакцию последовательного колебательного контура на воздействие в виде источника э. д. с. с изменяющейся частотой и неизменной амплитудой в режиме холостого хода на зажимах 2—2' и 3—3'.

Избирательные свойства последовательного колебательного контура

Важнейшая особенность последовательного колебательного контура заключается в том, что амплитуда реакции контура на гармоническое воздействие существенно зависит от частоты. На резонансной частоте и в узком диапазоне частот около нее амплитуда отклика достигает наибольшего значения; на частотах, значительно отличающихся от резонансной, амплитуда отклика во много раз меньше максимального значения. Если на вход такого контура подать сумму гармонических колебаний различных частот, имеющих одинаковую амплитуду, то на выходе можно обнаружить, что амплитуда колебаний, частота которых близка к резонансной, значительно превышает амплитуду колебаний, частота которых отличается от резонансной. Контур как бы «пропускает» колебания одних частот и «не пропускает» колебания других частот. Способность электрической цепи выделять колебания отдельных частот из суммы колебаний различных частот называется избирательностью.

В идеальном случае отклик избирательной цепи должен иметь постоянное значение в пределах определенного диапазона частот, называемого полосой пропускания цепи, и быть равным нулю за пределами этого диапазона. Нормированная АЧХ идеальной избирательной цепи должна иметь прямоугольную ферму (рис. 3.26, кривая I). АЧХ реальных избирательных цепей, в том числе и АЧХ последовательного колебательного контура, отличаются от характеристик идеальной избирательной цепи (рис. 3.26, кривая II) отсутствием резкой границы между диапазонами пропускаемых и задерживаемых (подавляемых) частот. Очевидно, избирательные свойства реальных цепей будут тем выше, чем ближе к прямоугольной будет форма их нормированной АЧХ.

Полоса пропускания реальных избирательных устройств условно определяется как диапазон частот, в пределах которого амплитуда отклика цепи не падает ниже уровня = 0,707 от максимального значения. На частотах, соответствующих границам полосы пропускания, амплитуда отклика составляет от максимального значения, а потребляемая цепью активная мощности в 2 раза меньше максимальной.

Избирательные свойства последовательного колебательного контура определяются формой нормированной АЧХ входной проводимости контура  На резонансной частоте нормированная входная проводимость контура равна единице. Определим значения обобщенной расстройки и угловой частоты соответствующие границам полосы пропускания контура. Полагая в выражении (3.54) получим откуда

Меньшее значение обобщенной расстройки соответствует нижней границе полосы пропускания, большее — верхней. Из выражений (3.54) следует, что на границах полосы пропускания аргумент входной проводимости контура равен (см. рис. 3.23, б), а реактивная составляющая входного сопротивления равна по абсолютному значению сопротивлению потерь контура R.

Полагая в выражении (3.52) запишем систему уравнений для определения нижней  и верхней граничных частот:

Решая (3.64), найдем

где — затухание контура.

Ширина полосы пропускания пропорциональна резонансной частоте контура

а относительная ширина полосы пропускания

равна его затуханию.

Таким образом, избирательные свойства последовательного колебательного контура зависят от его добротности: чем выше добротность контура, тем меньше ширина полосы пропускания (см. рис. 3.22, а).

В связи с тем что — это нормированный отклик цепи в режиме холостого хода на зажимах 2—2' и 3—3' на внешнее гармоническое воздействие, задаваемое источником напряжения, подключенным к зажимам 1—1', из выражений (3.65)—(3.67) можно определить избирательность колебательного контура только в случае, когда внутреннее сопротивление источника энергии равно нулю, а входное сопротивление нагрузки, подключенной к зажимам 2—2' или 3—3', бесконечно велико. Рассмотрим влияние внутреннего сопротивления источника энергии и сопротивления нагрузки на избирательные свойства последовательного колебательного контура.

Пусть контур питается от источника энергии с конечным внутренним сопротивлением (рис. 3.27, а). Очевидно, что включенные последовательно сопротивления  и R можно заменить сопротивлением При этом рассматриваемая схема преобразуется в схему, приведенную на рис. 3.17, в, и может быть описана соотношениями, полученными на основании анализа этой схемы при замене R на 

 В частности, добротность такого контура определяется выражением

где — добротность контура без учета сопротивления источника.

Ширина полосы пропускания контура с учетом внутреннего сопротивления источника энергии может быть найдена из выражения (3.66) при замене

Как видно из выражений (3.68), (3.69), наличие внутреннего сопротивления источника энергии уменьшает эквивалентную добротность контура и снижает его избирательность. Поэтому с целью повышения избирательных свойств контура желательно, чтобы источник энергии, к которому, подключен контур, имел как можно меньшее внутреннее сопротивление, т. е. по свойствам приближался к идеальному источнику напряжения.

Пусть к зажимам 2-2' или 3-3' последовательного колебательного контура подключено сопротивление нагрузки (рис. 3.17, б, в) так, что ток не равен нулю. Очевидно, что сопротивление нагрузки, подключенное параллельно емкости или индуктивности влияет на работу контура таким же образом, как сопротивления  и входящие в параллельные схемы замещения конденсатора и индуктивной катушки. Ранее отмечалось, что параллельные схемы замещения элементов могут быть заменены последовательными причем при высокой добротности элементов  а сопротивления  обратно пропорциональны сопротивлениям Таким образом, сопротивление нагрузки подключенное параллельно емкости, и подключенное параллельно индуктивности, могут быть заменены последовательно включенными сопротивлениями

Сопротивления учитывающие влияние нагрузки на работу контура, назовем внесенными в контур сопротивлениями нагрузки. Если то на частотах, близких к резонансной внесенные в контур сопротивления нагрузок

Влияние на параметры контура аналогично влиянию внутреннего сопротивления источника т. е. с увеличением снижается эквивалентная добротность контура и ухудшается его избирательность. Используя (3.70), найдем выражения для эквивалентной добротности контура и ширины полосы пропускания:

Из выражений (3.71) следует, что для увеличения эквивалентной добротности контура и улучшения его избирательности необходимо, чтобы сопротивление нагрузки контура было бы как можно большим, т. е. чтобы на зажимах 2—2' и 3—3' был обеспечен режим работы, близкий к режиму холостого хода.

Параллельный колебательный контур

Виды параллельных колебательных контуров:

Параллельным колебательным контуром называется электрическая цепь, в которой индуктивные катушки и конденсаторы размещены в двух ветвях, подключенных параллельно источнику энергии. Принципиальные электрические схемы параллельных колебательных контуров различных видов приведены на рис. 3.28.

В простейшем случае параллельный колебательный контур содержит индуктивную катушку в одной из параллельных ветвей, а конденсатор — в другой (рис. 3.28, а). Такой контур называется параллельным колебательным контуром 1-го (основного) вида. Параллельный колебательный контур 2-го (с неполным включением индуктивности) вида содержит в одной ветви индуктивную катушку  а в другой ветви конденсатор С и индуктивную катушку (рис. 3.28, в).

Рассмотрим контур 1-го вида. В соответствии с основным метолом теории цепей реальные элементы заменим упрощенными моделирующими цепями а принципиальную электрическую схему контура его эквивалентной схемой. Используя параллельные схемы замещения

источника энергии, индуктивной катушки и конденсатора получим один из вариантов эквивалентной схемы контура (рис 3 29 а) Ограничим рассмотрение случаем, когда элементы контура имеют высокую добротность, при этом зависимостью от частоты можно пренебречь и в соответствии с (3.21), (3.22) считать, что параметры реактивных элементов параллельной и последовательной схем замещения индуктивной катушки и конденсатора одинаковы:

Заменяя сопротивления потерь одним элементом

и пренебрегая внутренней проводимостью источника энергии, преобразуем рассмотренную схему в простейшую схему замещения (рис. 3.29, б).

Если каждый из пассивных элементов контура заменить последовательной схемой замещения, то при тех же допущениях получим несколько более сложную эквивалентную схему контура 1-го вида (рис. 3.30, а). В теории цепей в зависимости от характера решаемой задачи нашли применение оба варианта схем замещения.

Параллельный колебательный контур основного вида

Ранее было установлено, что идеализированные цепи, схемы которых приведены на рис. 3.29, б и 3.17, в, являются дуальными, поэтому при рассмотрении процессов в параллельном колебательном контуре основного типа с помощью простейшей схемы замещения, изображенной на рис. 3.29, б, можно воспользоваться всеми выражениями полученными для последовательного колебательного контура, произведя в них взаимные замены токов и напряжений, сопротивлений и проводимостей, емкостей и индуктивностей. Действительно, выражения для комплексной входной проводимости параллельной RLС-цепи (2.100) и комплексного входного сопротивления последовательной RLС-цепи (2.96) имеют одинаковую структуру и могут быть получены одно из другого путем упомянутых ранее замен. На резонансной частоте мнимая составляющая входной проводимости параллельной RLC-цепи должна быть равна нулю:

Решая уравнение (3.74), находим, что резонансная частота параллельного колебательного контура совпадает с резонансной частотой последовательного контура  составленного из тех же элементов:

На резонансной частоте полные проводимости емкости

и индуктивности

равны характеристической проводимости параллельного колебательного контура которая является величиной, обратной характеристическому сопротивлению контура (выражения для характеристических сопротивлений параллельного и последовательного колебательных контуров совпадают). Как видно из векторных диаграмм параллельной RLС-цепи (см. рис. 2.23, в) при действующее значение тока емкости равно действующему значению тока индуктивности: а входной ток контура (ток неразветвленной части параллельной RLС-цепи) равен току проводимости G:

Отношение действующего значения тока реактивного элемента к входному току параллельного колебательного контура на резонансной частоте называется добротностью параллельного колебательного контура:

Выражение (3.75) имеет такую же структуру, как и выражение (3.33), и может быть получено из него заменой сопротивления потерь R и характеристического сопротивления   последовательного контура на проводимость потерь G и характеристическую проводимость о параллельного контура.

Из выражения (3.75) видно, что с увеличением проводимости потерь добротность параллельного колебательного контура падает. Таким же образом на добротность контура влияют внутренняя проводимость источника энергии и проводимость нагрузки подключенная к зажимам контура (рис. 3.31). Добротность параллельного колебательного контура с учетом внутренней проводимости источника и проводимости нагрузки определяется выражением

где Q — добротность параллельного контура без учета Таким образом, для повышения эквивалентной добротности параллельного колебательного контура желательно, чтобы проводимости источника энергии и нагрузки были бы близки к нулю, т. е. чтобы свойства источника энергии, к которому подключен контур, приближались к свойствам идеального источника тока, а сопротивление нагрузки контура было бы бесконечно большим.

При исследовании комплексных частотных характеристик параллельного контура внешнее воздействие на контур обычно задают в виде тока идеального источника тока, подключенного к зажимам а в качестве реакции контура рассматривают напряжение на этих же зажимах (см. рис. 3.29, б). В ряде случаев в качестве реакции контура рассматривают ток емкости или ток индуктивности Следовательно, параллельному колебательному контуру, подобно последовательному, можно привести в соответствие как входные, так и передаточные характеристики.

К входным характеристикам параллельного колебательного контура относится его комплексное входное сопротивление в режиме холостого хода = 0)

Выражения для нормированного модуля и аргумента комплексного входного сопротивления параллельного колебательного контура

полностью совпадают с выражениями (3.54) для нормированного модуля и аргумента комплексной входной проводимости последовательного колебательного контура. Следовательно, нормированные АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного колебательного контура совпадают с соответствующими характеристиками входной проводимости последовательного колебательного контура (см. рис. 3.22, 3.23).

На частоте резонанса токов входное сопротивление параллельного колебательного контура имеет чисто резистивный характер = 0), а модуль входного сопротивления достигает максимального значения:

На частотах ниже резонансной входное сопротивление контура имеет резистивно-индуктивный характер а на частотах выше резонансной — резистивно-емкостной

Можно показать, что выражения для коэффициентов передачи параллельного колебательного контура по току совпадают с выражениями для коэффициентов передачи последовательного контура по напряжению

и иллюстрируются теми же кривыми (см. рис. 3.25, а).

О передаточных характеристиках параллельного колебательного контура можно сказать все то, что ранее говорилось о передаточных характеристиках последовательного колебательного контура. В частности, при высокой добротности контура на частотах, близких к резонансной,

В связи с тем что нормированные входные и передаточные характеристики последовательного и параллельного колебательных контуров совпадают, избирательные свойства этих контуров одинаковы. Ширина полосы пропускания параллельного колебательного контура, если пренебречь внутренней проводимостью источника и проводимостью нагрузки, определяется выражением (3.66). Если необходимо учесть влияние проводимости нагрузки и внутренней проводимости источника энергии на избирательные свойства контура, то вместо Q в выражение (3.66) подставляют эквивалентную добротность рассчитываемую с помощью выражения (3.76).

Таким образом, применение простейшей схемы замещения параллельного колебательного контура позволяет существенно упростить процесс рассмотрения свойств параллельного колебательного контура путем использования соответствующих выражений, полученных при исследовании последовательного колебательного контура. Однако непосредственное использование этих выражений на практике, в частности выражений (3.75), (3.76) и (3.79), в значительной степени затруднено в связи с тем, что в них входит проводимость потерь контура G, которая зависит от частоты.

При практическом использовании более удобными являются выражения для сопротивления на резонансной частоте и для добротности параллельного колебательного контура, полученные с помощью эквивалентной схемы контура, в которой катушка индуктивности и конденсатор представлены их последовательными схемами замещения.

Найдем комплексное входное сопротивление параллельного колебательного контура, используя эквивалентную схему, приведенную на рис. 3.30, а:

Ограничимся, как и ранее, случаем, когда элементы контура имеют высокую добротность а частота внешнего воздействия ненамного отличается от резонансной. Тогда выражение (3.80) можно преобразовать:

Здесь соответственно характеристическое сопротивление и сопротивление потерь последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов, что и рассматриваемый параллельный колебательный контур. С учетом соотношений (3.24) можно считать, что R практически равно и не зависит от частоты. Таким образом, эквивалентная схема, приведенная на рис. 3.30, а, в большинстве важных для практического использования случаев может быть заменена более простой схемой (см. рис. 3.30, б), в которую входят те же элементы, что и в эквивалентную схему последовательного колебательного контура, параметры которых можно считать не зависящими от частоты.

На резонансной частоте мнимая составляющая комплексного входного сопротивления контура должна быть равна нулю, что возможно только тогда, когда мнимая составляющая знаменателя выражения (3.81) равна нулю:

Из выражения (3.82) следует, что условие резонанса токов в параллельном колебательном контуре, при высокой добротности элементов, имеет такой же вид, как условие резонанса напряжений в последовательном колебательном контуре (3.27), и, следовательно, частота резонанса токов совпадает с резонансной частотой последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов: 

Если элементы контура имеют невысокую добротность, для определения частоты резонанса токов необходимо приравнять нулю мнимую составляющую входного сопротивления контура, определяемую из выражения (3.80). При этом частота резонанса токов будет несколько отличаться от резонансной частоты последовательного контура:

однако при этим различием можно пренебречь.

Как отмечалось ранее, характеристическое сопротивление параллельного колебательного контура, равное абсолютному значению мнимых составляющих сопротивлений ветвей контура на резонансной частоте, определяется тем же выражением, что и характеристическое сопротивление последовательного контура:

Входное сопротивление параллельного колебательного контура на резонансной частоте (резонансное сопротивление контура) имеет чисто резистивный характер и, как следует из (3.81), определяется выражением

следовательно, ток i и напряжение и на зажимах (см. рис. 3.30, б) на резонансной частоте совпадают по фазе, а их действующие значения связаны между собой соотношением

Действующие значения токов ветвей контура на резонансной частоте одинаковы

Используя выражение (3.85), найдем добротность параллельного колебательного контура:

Таким образом, добротность параллельного колебательного контура основного вида совпадает с добротностью последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов.

Аналогичный результат может быть получен и из соотношения (3.43), пригодного для определения добротности любых колебательных систем.

Используя выражения (3.84), (3.86), представим комплексное сопротивление параллельного колебательного контура в следующей форме:

Из сравнения выражений (3.54), (3.77), (3.78), (3.87) следует, что как при использовании параллельных схем замещения элементов (см. рис. 3.29), так и при использовании последовательных схем замещения (см. рис. 3.30) зависимость комплексного входного сопротивления параллельного колебательного контура от частоты определяется обобщенными АЧХ и ФЧХ входной проводимости последовательного колебательного контура  составленного из тех же элементов, что и рассматриваемый параллельный контур.

Применение последовательных схем замещения элементов позволяет получать более удобные выражения для добротности и резонансного сопротивления параллельного колебательного контура, не содержащие частотно-зависимых членов.

Параллельный колебательный контур второго вида

Конструктивной особенностью колебательного контура этого вида является наличие в нем индуктивной катушки с отводом или со скользящим контактом, разделяющим катушку на две секции (рис. 3.32); секция с индуктивностью образует одну ветвь колебательного контура (см. рис. 3.28, б), а секция с индуктивностью и конденсатор С — другую (для упрощения анализа пренебрегаем взаимной индуктивностью между секциями катушки). Таким образом, индуктивная катушка не полностью входит в первую ветвь контура. При перемещении скользящего контакта вдоль катушки или при изменении места расположения отвода изменяется коэффициент включения индуктивности, определяющий, какая часть суммарной индуктивности катушки включена в первую ветвь:

Коэффициент включения индуктивности может изменяться в пределах от нуля (на рисунке при крайнем нижнем положении подвижного контакта) до единицы (при крайнем верхнем положении). В последнем случае рассматриваемый колебательный контур вырождается в параллельный колебательный контур основного вида.

В связи с тем что одна из ветвей параллельного колебательного контура с неполным включением индуктивности представляет собой последовательное включение конденсатора С и индуктивной катушки в контуре этого вида наряду с резонансом токов имеет место резонанс напряжений. Очевидно, что частота резонанса напряжений должна быть выше, чем частота резонанса токов так как для выполнения условия резонанса токов необходимо, чтобы сопротивление ветви, содержащей  и С, носило емкостной характер, что, как известно, имеет место только на частотах ниже частоты резонанса напряжений.

Рассмотрим особенности частотных характеристик параллельного колебательного контура с неполным включением индуктивности и влияние коэффициента включения индуктивности на параметры контура. Для анализа используем эквивалентную схему контура, в которой индуктивные катушки и конденсатор представлены их последовательными схемами замещения (рис. 3.33). Сопротивления представляют собой соответственно сопротивление потерь индуктивной катушки а также суммарное сопротивление потерь индуктивной катушки  и конденсатора С.

Комплексное входное сопротивление рассматриваемого контура в точках определяется выражением

Когда элементы контура обладают высокой добротностью, а частота внешнего воздействия близка к частоте резонанса токов, выражение (3.89) можно привести к более простому виду:

На частоте резонанса токов мнимая составляющая   должна равняться нулю, что возможно только при выполнении условия

или

Решая уравнение (3.91), находим выражение для частоты резонанса токов:

Таким образом, частота резонанса токов параллельного колебательного контура 2-го вида не зависит от коэффициента включения индуктивности и совпадает с резонансной частотой последовательного колебательного контура, построенного из тех же элементов, что и рассматриваемый колебательный контур.

В то время как частота резонанса токов зависит от суммарной индуктивности контура частота резонанса напряжений определяется только индуктивностью второй ветви и, следовательно, зависит от коэффициента включения индуктивности:

С уменьшением коэффициента включения индуктивности частота уменьшается, оставаясь большей, чем

Подставляя (3.92) в (3.90), найдем сопротивление рассматриваемого контура на частоте резонанса токов:

Здесь — суммарное сопротивление потерь и характеристическое сопротивление рассматриваемого контура, равные соответственно сопротивлению потерь и характеристическому сопротивлению последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов; — резонансное сопротивление параллельного контура основного вида. Таким образом, резонансное сопротивление контура с неполным включением индуктивности меньше, чем резонансное сопротивление контура основного типа причем при

Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики параллельного колебательного контура рассматриваемого типа приведены на рис. 3.34. На частотах ниже входное сопротивление контура определяется в основном сопротивлением ветви 1 и имеет резистивноиндуктивный характер. На частоте резонанса токов сопротивление контура достигает максимального значения и имеет чисто резистивный характер. На частотах выше сопротивление контура определяется в основном параметрами ветви 2, причем при  сопротивление контура имеет резистивно-емкостной характер, а на частотах выше частоты резонанса напряжений — резистивноиндуктивный. На частоте резонанса напряжений входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и достигает минимального значения, определяемого сопротивлением потерь второй ветви.

Покажем, что добротность параллельного колебательного контура с неполным включением индуктивности не зависит от коэффициента включения и равна добротности последовательного колебательного контура, составленного из тех же элементов. Пусть контур настроен на частоту источника сигнала, а напряжение и ток на входе контура определяются соотношениями

Токи ветвей контура i и на резонансной частоте имеют одинаковые действующие значения

и отличаются по фазе на угол а напряжение на емкости отстает по фазе от тока второй ветви на угол

-

и энергию, потребляемую контуром за период Т:

Подставляя (3.95) и (3.96) в (3.43), получим выражение для добротности параллельного колебательного контура с неполным включением индуктивности:

которое совпадает с выражением для добротности параллельного контура основного типа и соответственно с выражением для добротности последовательного колебательного контура, построенного из тех же элементов. Далее, используя (3.93), (3.94) и (3.97), найдем, что на резонансной частоте действующие значения токов ветвей контур; превышают действующее значение входного тока контура в раз

Итак, важнейшие параметры параллельного колебательного контура 2-го вида (частота резонанса токов, характеристическое сопротивление и добротность) не зависят от коэффициента включения индуктивности В то же время резонансное сопротивление контура является функцией

Указанная особенность параллельного колебательного контура широко используется на практике при согласовании его с источником энергии. Согласование осуществляют путем надлежащего выбора значения коэффициента включения, причем при изменении настройка контура и ширина его полосы пропускания, определяемая эффективной добротностью, не изменяются.

Наличие ярко выраженного минимума в АЧХ контура с неполным включением индуктивности может быть использовано для подавления колебаний, частота которых близка к рассматриваемого контура.

Параллельный колебательный контур третьего вида

Колебательный контур этого типа по своим свойствам в значительной степени подобен параллельному колебательному контуру второго вида. Используя эквивалентную схему контура, приведенную на рис. 3.35, нетрудно показать, что частота резонанса токов характеристическое сопротивление р и добротность Q параллельного колебательного контура с неполным включением емкости совпадают с резонансной частотой, характеристическим сопротивлением и добротностью последовательного колебательного контура, построенного из тех же элементов и, следовательно, обладающего теми же суммарной емкостью и суммарным сопротивлением

Частота резонанса напряжений

рассматриваемого контура определяется параметрами элементов второй ветви

и зависит от коэффициента включения емкости

Резонансное сопротивление контура с неполным включением емкости так же, как и резонансное сопротивление контура с неполным включением индуктивности, пропорционально квадрату коэффициента включения

Здесь — резонансное сопротивление параллельного контура основного вида, обладающего той же индуктивностью L, суммарной емкостью С и суммарными сопротивлением R, что и рассматриваемый контур АЧХ и ФЧХ входного сопротивления параллельного колебательного контура с неполным включением емкости приведены на рис. 3.36. На частотах ниже входное сопротивление обеих ветвей контура имеет резистивно-емкостной характер; на частоте резонанса напряжений входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и достигает минимального значения, определяемого в основном сопротивлением потерь второй ветви; на частотах входное сопротивление контура имеет резистивно-индуктивный характер; при входное сопротивление контура имеет чисто резистивный характер и его модуль достигает максимального значения на частотах выше частоты резонанса токов входное сопротивление контура определяется в основном параметрами первой ветви и имеет резистивно-емкостной характер.

Связанные колебательные контуры

Общие представления о связанных контурах:

Два контура-электрической цепи называются связанными, если возбуждение колебаний в одном из них приводит к возникновению колебаний в другом. Каждый из связанных контуров может быть либо колебательным (если он содержит индуктивные катушки и конденсаторы), либо апериодическим (если он содержит реактивные элементы только одного типа). Наибольший практический интерес представляют связанные колебательные контуры, так как их избирательные свойства лучше, чем избирательные свойства одиночных колебательных контуров.

В зависимости от типа элемента, через который осуществляется взаимодействие между контурами, различают контуры с трансформаторной, индуктивной, емкостной и комбинированной (индуктивно-емкостной) связями. По способу включения элемента связи связанные контуры подразделяются на контуры с внешней связью и контуры с внутренней связью. Принципиальные электрические схемы связанных колебательных контуров некоторых типов приведены на рис. 3.37.

Внешнее воздействие на связанные колебательные контуры обычно задается в виде напряжения источника энергии Г, включенного в один из контуров, называемый первичным. В качестве реакции связанных контуров на внешнее действие рассматривают ток или напряжение одного из элементов другого контура, называемого вторичным.

Каждому типу связанных колебательных контуров можно поставить в соответствие так называемый четырехполюсник связи (рис. 3.38), который получается из исходных контуров при их размыкании и устранении из контуров всех элементов, имеющих другой характер по сравнению с элементом связи.

Назовем коэффициентом передачи из первичного контура во вторичный комплексный коэффициент передачи соответствующего четырехполюсника связи по напряжению от зажимов 1—1' к зажимам 2—2' (при холостом ходе на зажимах 2—2')

а коэффициентом передачи из вторичного контура в первичный — комплексный коэффициент передачи четырехполюсника связи по напряжению от зажимов 2 --2' к зажимам 1—1' (при холостом ходе на зажимах 1—1')

Можно убедиться, что коэффициенты передачи связанных контуров, схемы которых приведены на рис. 3.37, а—д, а соответствующие четырехполюсники связи — на рис. 3.38, а—д, являются действительными числами и не зависят от частоты.

Среднее геометрическое из коэффициентов передачи называется коэффициентом связи между контурами

Коэффициент связи не зависит от частоты и используется для количественной оценки степени связи между контурами.

Для контуров с трансформаторной связью (см. рис. 3.37, а) при определении коэффициентов передачи можно воспользоваться компонентным уравнением связанных индуктивностей (2.165)

Подставляя (3.99) в (3.98), можно установить, что коэффициент связи между контурами с трансформаторной связью равен коэффициенту связи между входящими в эти контуры индуктивностями:

Анализируя четырехполюсники связи, найдем выражения для коэффициентов связи между контурами с внутренней индуктивной (автотрансформаторной) связью (см. рис. 3.37, б)

с внешней индуктивной связью (см. рис. 3.37, в)

с внутренней емкостной связью (см. рис. 3.37, г)

и с внешней емкостной связью

Из выражений (3.100)—(3.104) видно, что значение коэффициента связи между контурами не может превышать единицы, причем с увеличением параметра элемента связи происходит увеличение между контурами с трансформаторной, автотрансформаторной и внешней емкостной связями и уменьшение коэффициента связи между контурами с внешней индуктивной и внутренней емкостной связями.

Схемы замещения связанных контуров

Для изучения процессов в связанных контурах различных типов воспользуемся их обобщенной комплексной схемой замещения (рис. 3.39), на которой — компексное сопротивление элементов, входящих только во вторичный контур; — комплексное сопротивление связи. Соответствие между элементами обобщенной схемы замещения и элементами контуров с внутренней индуктивной и внутренней емкостной связями устанавливается из сравнения рис. 3.39 с рис. 3.37, б, г; сопротивление  включает в себя внутреннее сопротивление источника энергии Г, а также комплексные сопротивления индуктивной катушки  и конденсатора сопротивление равно сумме комплексных сопротивлений индуктивной катушки и конденсатора а сопротивление представляет собой комплексное сопротивление элемента связи индуктивной катушки или конденсатора Чтобы обобщенную схему замещения можно было применять для анализа контуров с внешней индуктивной или емкостной связями, эти контуры должны быть (с помощью преобразования треугольник—звезда) заменены эквивалентными контурами с внутренней индуктивной или емкостной связями. Контуры с трансформаторной связью также можно преобразовать в эквивалентные им контуры с. внутренней индуктивной связью, используя рассмотренную ранее схему замещения связанных индуктивностей (см. рис. 2.49. в).

Воспользуемся обобщенной схемой замещения (рис. 3.39) для определения токов первичного и вторичного контуров. Уравнения баланса токов и напряжений рассматриваемой цепи имеют вид

Исключая из уравнений (3.105) ток сопротивления связи преобразуем их к более удобному виду

где — соответственно собственные сопротивления первичного и вторичного контуров, равные сумме всех сопротивлений, входящих в каждый из контуров. Решая уравнения (3.106) относительно токов первичного и вторичного контуров, получаем

Рассмотрим более подробно структуру полученных выражений. Величина, стоящая в знаменателе выражения (3.107), имеет физический смысл входного сопротивления системы связанных контуров относительно точек Эта величина отличаеся от собственного сопротивления первичного контура на некоторую добавку — учитывающую влияние вторичного контура на процессы, протекающие в первичном. Нетрудно убедиться, что при размыкании вторичного контура — будет равно нулю и ток первичного контура будет равен Аналогичным образом, величина — стоящая в знаменателе выражения (3.108), отражает влияние первичного контура на процессы, протекающие во вторичном контуре. Величины

получили название вносимых сопротивлений.

Влияние первичного контура на процессы во вторичном контуре отражается не только введением в него некоторого дополнительного сопротивления По аналогии с величиной, стоящей в числителе выражения (3.107), числитель выражения (3.108) может рассматривать как э. д. с. некоторого источника

внесенного во вторичный контур под влиянием первичного. Напряжение вносимого источника численно равно пряжению на сопротивлении связи при разомкнутом вторичном контуре.

С учетом (3.109), (3.110) выражения для токов могут быт записаны в единообразной форме

им можно поставить в соответствие эквивалентные схемы первичного и вторичного контуров, изображенные на рис. 3.40.

Представляя собственные сопротивления контуров в алгебраической форме

и полагая, что комплексное сопротивление связи имеет чисто реактивный характер

 преобразуем выражения (3.109) к виду

откуда 

Из выражений (3.115) видно, что вещественные составляющие вносимых сопротивлений всегда положительны, а знаки реактивных составляющих вносимых сопротивлений противоположны знакам реактивных составляющих собственных сопротивлений вторичного и первичного контуров Если, например, при каком-то значении частоты внешнего воздействия собственное сопротивление первичного контура имеет резистивно-емкостной характер, то на этой же частоте сопротивление, вносимое во вторичный контур будет иметь резистивно-индуктивный характер.

Используя (3.112)—(3.114), выразим токи первичного и вторичного контуров через вещественные и мнимые составляющие сопротивлений элементов обобщенной схемы замещения связанных контуров:

Настройка связанных контуров

Настройка системы связанных колебательных контуров заключается в выборе таких значений параметров элементов контуров, при которых ток вторичного контура достигает максимального значения при заданных частоте и действующем значении напряжения источника энергии. Настройку связанных контуров можно осуществлять как за счет изменения параметров реактивных элементов, входящих в один или в разные контуры, так и за счет совместного изменения параметров реактивных элементов контуров и параметров элементов связи. Рассмотрим основные способы настройки связанных контуров.

Настройку на первый частный резонанс осуществляют путем изменения параметров реактивных элементов, входящих только в первичный контур. Параметры элементов, входящих только во вторичный контур, и параметры элементов связи при настройке на первый частный резонанс не изменяются. Значение индуктивности или емкости выбирают таким образом, чтобы сумма реактивной составляющей собственного сопротивления первичного контура и реактивной составляющей сопротивления, вносимого в первый контур была равна нулю:

Этот способ настройки соответствует настройке на резонансную частоту контура, эквивалентного первичному (рис. 3.40, а). Входное сопротивление такого контура относительно зажимов, к которым подключен источник энергии, имеет чисто резистивный характер, а действующее значение тока первичного контура — максимально:

Как видно из выражения (3.108), ток вторичного контура прямо пропорционален току первичного контура, поэтому максимуму тока соответствует максимум тока

При настройке на второй частный резонанс максимальное значение тока вторичного контура получают путем изменения параметров реактивных элементов, входящих только во вторичный контур. Значение индуктивности или емкости выбирают таким образом, чтобы обеспечить равенство нулю суммы реактивных составляющих собственного и вносимого сопротивлений вторичного контура:

что соответствует настройке на частоту источника контура, эквивалентного вторичному. Действующее значение тока вторичного контура в этом случае

Настройку связанных контуров на первый или второй частные резонансы обычно выполняют только в тех случаях, когда конструкция устройства позволяет производить изменение параметров реактивных элементов только одного из контуров. Если можно изменять параметры реактивных элеменов, входящих в разные контуры, при фиксированном значении сопротивления связи, то производят настройку контуров на индивидуальный резонанс. Параметры реактивных элементов в этом случае выбирают так, чтобы обеспечить равенство нулю мнимой составляющей собственного сопротивления каждого из контуров при разомкнутом другом контуре:

Из выражений (3.115) видно, что выполнение условия (3,120) обеспечивает равенство нулю мнимых составляющих сопротивлений, вносимых в каждый из контуров:

Таким образом, при настройке связанных колебательных контуров на идеальный резонанс одновременно выполняются условия настройки контуров на первый и второй частные резонансы (3.118), (3.119).

Подставляя (3.120), (3.121) в выражение (3.117), найдем действующее значение тока вторичного контура при настройке на индивидуальный резонанс:

Настройка связянных контуров на первый и второй частные или на индивидуальный резонансы позволяет получить максимальное значение тока вторичного контура, соответствующее некоторому заданному значению сопротивления связи, однако не позволяет достигнуть наибольшего возможного (максимум максиморум) значения тока .

Если настройка связанных контуров на первый или второй частные резонансы сопровождается последующим выбором оптимального сопротивления связи, то говорят о настройке контуров на сложный резонанс. Определим оптимальное сопротивление связи при сложном резонансе резонансе соответствующее случаю, когда связанные контуры предварительно настроены на первый частный резонанс. Приравнивая к нулю первую производную по тока вторичного контура, настроенного на первый частный резонанс, получаем

откуда 

Решая уравнение (3.123), находим оптимальное сопротивление связи

и соответствующее ему действующее значение тока вторичного контура

Если связанные контуры были предварительно Настроены на второй частный резонанс, то оптимальное сопротивление связи и действующее значение тока вторичного контура при настройке на сложный резонанс определяются выражениями:

Итак, наибольшее возможное значение тока вторичного контура при настройке на сложный резонанс не зависит от того, какой из контуров был предварительно настроен на частный резонанс.

Наибольший практический интерес представляет настройка связанных колебательных контуров на полный резонанс, которая выполняется в два этапа: на первом этапе связанные контуры настраивают на индивидуальный резонанс, а затем выбирают оптимальное сопротивление связи между ними. Анализируя выражение (3.122), найдем и действующее значение тока вторичного контура, соответствующие настройке контура на полный резонанс:

Из выражений (3.124)—(3.129) следует, что как при настройке на сложный резонанс, так и при настройке на полный резонанс во вторичном контуре достигается одно и то же значение тока однако в последнем случае это имеет место при меньшем значении сопротивления связи.

Зависимость тока вторичного контура от абсолютного значения сопротивления связи при настройке на полный или сложный резонансы иллюстрируется кривыми, приведенными на рис. 3.41, в. Как следует из выражений (3.110), (3.115), с ростом сопротивления связи э. д. с., вносимая во вторичный контур, возрастает по линейному закону (рис. 3.41, а), а вещественная составляющая вносимого во вторичный контур сопротивления — по квадратичному (рис. 3.41,6). При сопротивлении связи, меньшем оптимального, суммарное сопротивление вторичного контура  определяется в основном собственным сопротивлением вторичного контура поэтому с ростом сопротивления связи происходит увеличение тока вторичного контура (рис. 3.41, в). При сопротивлении связи, большем оптимального, суммарное сопротивление вторичного контура определяется в основном сопротивлением, вносимым во вторичный контур которое с увеличением растет быстрее, чем вносимая в контур э. д. с. Вследствие этого при сопротивлении связи, большем дальнейший рост приводит к уменьшению тока вторичного контура.

Найдем значение коэффициента связи между контурами соответствующее настройке контуров на полный резонанс. Анализ выражений (3.101) и (3.103) показывает, что для контуров с. внутренней емкостной и индуктивной связями коэффициент связи между контурами равен отношению сопротивления связи к среднему геометрическому реактивных сопротивлений того же типа обоих контуров. Если связанные контуры настроены на индивидуальный резонанс, то с учетом (3.120) сопротивление емкостных элементов каждого из них равно по абсолютному значению сопротивлению индуктивных элементов и приблизительно равно характеристическому сопротивлению контура. Таким образом, для контуров с внутренней емкостной и индуктивной связями можно записать

Выражение (3.130) можно использовать и при расчетах связанных контуров других типов, предварительно преобразовав их в эквивалентные контуры с внутренней связью. При настройке связанных контуров на полный резонанс (3.130) принимает вид 

Если первичный и вторичный контуры имеют одинаковую добротность то оптимальный коэффициент связи между контурами, соответствующий настройке на полный резонанс, равен затуханию контура d:

Величина

получила название параметра связи. Как видно из выражения (3.131), при настройке связанных контуров на полный резонанс А = 1.

Частотные характеристики связанных контуров

Рассмотрим зависимость тока вторичного контура от частоты для случая, когда параметры обоих контуров одинаковы:

Собственные сопротивления первичного и вторичного контуров в этом случае могут быть представлены в следующей форме:

где — обобщенная расстройка.

Подставляя (3.113), (3.133) в (3.108), найдем выражения для комплексного действующего значения

и действующего значения

тока вторичного контура. Принимая во внимание, что  есть наибольшее возможное значение тока вторичного контура

a с учетом соотношений (3.130) и (3.132) приблизительно равно параметру связи

выражение (3.134) можно записать в более компактной форме

Очевидно, что экстремумы функции совпадают с экстремумами знаменателя выражения (3.135). Приравнивая нулю первую производную знаменателя по  получим или

Уравнение (3.136) имеет три решения:

Первое из них соответствует случаю, когда   Второе и третье решения имеют физический смысл только при  т. е. когда параметр связи не меньше некоторого критического значения

Таким образом, при больших значениях параметра связи функция имеет три экстремума, а при малых значениях параметра связи — один. При все три решения уравнения (3.136) совпадают и функция имеет один экстремум. Отметим, что критическое значение параметра связи соответствует оптимальной связи между контурами при настройке на полный резонанс.

Зависимость нормированного тока вторичного контура

от обобщенной расстройки показана на рис. 3.42.

При слабой связи между контурами частотные характеристики имеют вид «одногорбых» кривых, причем максимальное значение тока вторичного контура, достигаемое на резонансной частоте меньше, чем С увеличением параметра связи вплоть до значения тока в максимуме увеличиваются, а кривые остаются «одногорбыми». При    А= ток вторичного контура на резонансной частоте равен При дальнейшем увеличении связи между контурами ток вторичного контура на резонансной частоте начнет уменьшаться и частотные характеристики приобретут вид «двугорбых» кривых. Максимальное значение тока достигается на частотах связи, соответствующих обобщенным расстройкам  Физически существование максимумов тока на частотах связи объясняется тем, что на них реактивная составляющая собственного сопротивления каждого из контуров компенсируется реактивной составляющей вносимого сопротивления. С увеличением параметра связи А при сильной связи между контурами максимальное значение тока вторичного контура, достигаемое на частотах связи, остается равным расстояние между максимумами увеличивается, а значение тока на резонансной частоте в соответствии с кривой, изображенной на рис. 3.41, в, уменьшается. При А > 2,41 значение на резонансной частоте упадет ниже при этом полоса пропускания связанных контуров распадется на два участка.

По сравнению с одиночными колебательными контурами связанные контуры обладают существенно лучшими избирательными свойствами, форма их нормированных АЧХ намного ближе к прямоугольной и имеет большую крутизну склонов на границах полосы пропускания.

Дополнительное удобство состоит в возможности плавно изменять ширину полосы пропускания за счет изменения коэффициента связи между контурами. Это обусловило широкое применение связанных контуров в различных радиотехнических устройствах.

Временные и частотные характеристики линейных электрических цепей

Свойства электрических цепей удобно изучать по их реакции на воздействия, изменение которых во времени описывается простейшими законами. Как показано далее, кроме упрощения собственно анализа, по реакции на эти воздействия оказывается возможным найти реакцию цепи на произвольное воздействие.

Определение:

Простейшие воздействия, реакция на которые полностью характеризуют все свойства цепи, называются типовыми, или испытательными воздействиями.

В теории электрических цепей в качестве типовых используются прямоугольные однополярные импульсные воздействия и отрезок гармонического колебания.

Определение:

Однополярным прямоугольным импульсом напряжения или тока называется такое однополярное воздействие, значение которого на некотором конечном интервале времени неизменно и вне этого интервала равно нулю.

Единичный скачок (ступенчатое воздействие)

Единичный скачок ( ступенчатое воздействие, или перепад ) определяется функцией Хэвисайда (15.1). Единичный скачок, как и всякое иное воздействие, может появиться на входе цепи как в момент принятый за начало отсчёта времени, так и спустя некоторое время относительно начала отсчёта. В первом случае говорят, что скачок (воздействие) является незадержанным (рис. 15.1, а), а во втором — задержанным на (рис. 15.1, б).

Хэвисайд О. (1850—1925) — английский физик.

        (15.1)

 

В соответствии с определением (15.1) произведение любой ограниченной во времени функции на функцию Хэвисайда представляет собой саму функцию при и равно нулю при

         (15.2)

По этой причине функцию Хэвисайда используют для аналитического представления внешних воздействий, значения которых равны нулю до коммутации (момента подключения) и скачкообразно изменяются в момент коммутации.

Реализация скачка (перепада) напряжения и тока изображена на рис. 15.2: замыкание ключа соответствует коммутации источника напряжения (рис. 15.2, а), а размыкание ключа — коммутации источника тока (рис. 15.2, в) с электрической цепью. Схемные изображения источников ступенчатых воздействий напряжения и тока показаны на рис. 15.2, б  и г соответственно, где напряжение источника напряжения и ток источника тока могут быть представлены через функцию Хэвисайда соответственно.

Единичный импульс (-функция, функция Дирака)

Пусть на цепь в момент воздействует прямоугольный импульс высоты X и длительностью (рис. 15.3, а). Такой импульс называется видеоимпульсом. Его можно представить в виде разности двух одинаковых по высоте скачков, один из которых задержан (сдвинут) на (рис. 15.3,6) и причём

Рассмотрим видеоимпульс длительность которого и высота (рис. 15.4, а). Ясно, что площадь такого импульса равна 1 и не зависит от его длительности, поскольку уменьшение длительности импульса приводит к увеличению его высоты.

Определение:

Импульс бесконечно малой длительности и бесконечно большой высоты площадь которого равна единице, называется единичным импульсом.

Единичный импульс (рис. 15.4,6) определяется функцией которая называется -функцией, или функцией Дирака:

       (15.3)

а её задержанный вариант имеет вид:

      (15.4)

Задержанная на -функция показана на рис. 15.4, в.

Из определения -функции следуют её свойства:

при всех значениях не равных она равна нулю;

при принимает бесконечно большое значение;

Поль Адриен Морис Дирак (1902—1984) — английский физик, Нобелевский лауреат по физике, 1933 г. (совместно с Э. Шредингером).

интеграл от -функции равен единице:

         (15.5)

для любой непрерывной на всей оси функции имеет место равенство

       (15.6)

Важно:

свойство, отображаемое равенством (15.6), называется фильтрующим (избирательным, селективным) свойством -функции, смысл которого заключается в том, что -функция ставит в соответствие каждой функции число т. е. выбирает то значение функции , которое приходится на момент (рис. 15.5).

Генерирование единичного импульса согласно его определению неосуществимо, однако его моделью могут служить очень короткие однополярные импульсы, создаваемые источниками импульсного напряжения или тока, схемные изображения которых показаны на рис. 15.6.

Связь между единичным скачком и единичным импульсом

Во многих приложениях появляется необходимость перехода от единичного скачка к единичному импульсу и наоборот. Установим связь между этими воздействиями, помня, что они представляются функциями Хэвисайда и Дирака.

Представим единичный импульс в виде предельного перехода разности  двух единичных скачков высотой  сдвинутых относительно друг друга на время (рис. 15.7):

      (15.7)

т. е. единичный импульс (-функция) равен производной единичного скачка (функции Хэвисайда). Отсюда ясно, что единичный скачок равен интегралу от -функции:

    (15.7а)

Отрезок гармонического колебания

Отрезок гармонического колебания (рис. 15.8) определяется функцией вида

           (15.8)

Важно:

воздействия в виде отрезков гармонического колебания не являются периодическими, поскольку вблизи точки разрыва условие периодичности

не выполняется.

Описание процессов с помощью интегро-дифференциальных уравнений

В предыдущих лекциях рассматривались принципы анализа электрических цепей при воздействии постоянных или гармонических токов и напряжений. Если воздействие произвольное, то найти реакцию цепи с применением, например, метода комплексных амплитуд, невозможно. В таком случае необходимо использовать временное описание цепи в виде интегро-дифференциальных уравнений с учётом определения мгновенных токов и напряжений на реактивных элементах. Рассмотрим два примера.

Пример 15.1.

Найти ток в последовательном колебательном контуре (рис. 15.9, а) при произвольном воздействии

Решение. Согласно второму закону Кирхгофа для последовательного колебательного контура справедливо следующее равенство:

где напряжения на элементах цепи являются функциями времени Выразив напряжения на элементах через ток в цепиполучим неоднородное линейное интегро-дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами:

        (15.9) 

Чтобы освободиться от интеграла, продифференцируем уравнение (15.9). Тогда получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка

        (15.10)

которое необходимо решить относительно тока

Пример 15.2.

Найти напряжение на параллельном колебательном контуре (рис. 15.9, б) при произвольном воздействии

Решение. Согласно первому закону Кирхгофа для параллельного колебательного контура справедливо следующее равенство:

       (15.11)

Освободимся от интеграла в (15.11) путём его дифференцирования. Тогда, как и в примере 15.1, получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно напряжения

       (15.12)

Видно, что уравнения (15.10) и (15.12) имеют одинаковый вид и дуальны, что является следствием дуальности последовательного и параллельного контуров. Решения этих уравнений определяют законы изменения тока и напряжения в последовательном и параллельном контурах соответственно.

Если отвлечься от физической сущности входящих в уравнения (15.10) и (15.12) коэффициентов и переменных, эти уравнения можно записать в обобщённом виде

       (15.13)

— воздействие;

   — искомый ток или напряжение;

   — коэффициенты, соответствующие значениям реактивных и активных элементов.

Из математического анализа известно, что любое дифференциальное уравнение имеет бесконечное число решений. Для получения единственного решения согласно теореме существования и единственности необходимо задать начальные условия, т. е. начальные значения переменной и всех её производных. Физически это означает характеристику состояния электрической цепи на момент подачи воздействия  а именно — значения токов и напряжений, действующих в цепи. (Состоянием цепи или системы называют множество свойств и функций системы в данный момент времени.) Чаще всего при анализе процессов в электрических цепях используют нулевые начальные состояния цепи (системы) в момент или нулевые начальные условия.

Определение:

Нулевыми начальными условиями называется такое состояние электрической цепи в момент при котором значения всех напряжений на ёмкостях и токов в индуктивностях равны нулю:

Смысл нулевых начальных условий состоит в том, что цепь к моменту приложения воздействия, т. е. к моменту коммутации, находится в состоянии покоя. Отсюда следует признак нулевых начальных условий:

нулевому воздействию соответствует нулевая реакция.

Импульсная характеристика и интеграл свёртки

Определение:

Импульсной характеристикой цепи называется реакция цепи на единичный импульс (-функцию) при нулевых начальных условиях (рис. 15.10, а).

Импульсная характеристика является основной характеристикой линейной электрической цепи, поскольку её знание позволяет определить реакцию цепи на произвольное воздействие (рис. 15.10, б).

Получим формулу для вычисления реакции цепи по её импульсной характеристике, для чего воспользуемся свойствами инвариантности во времени (стационарности), однородности и аддитивности (наложения) линейных систем (см. лекцию 1). При выводе формулы будем последовательно (с помощью знака ) записывать соответствия между воздействием и реакцией:

    по определению реакция на -функцию является импульсной характеристикой

   согласно свойству инвариантности во времени (стационарности) линейных систем воздействию, задержанному на время                  соответствует реакция, задержанная на это же время

   по свойству однородности линейных систем умножению воздействия на величину x(t) соответствует реакция, умноженная на ту         же величину

    на основании свойства аддитивности (наложения) линейных систем интегралу от воздействия соответствует интеграл от                      реакции (заметим, что собственно интегрирование обладает свойством аддитивности)

    в полученном соответствии слева согласно свойству фильтрации 5-функции имеем воздействие в момент

а справа имеем реакцию в момент t

    

наконец, для физически реализуемых систем время воздействия, а потому и время реакции, ограничено отрезком поэтому окончательно получаем:

      (15.14)

Можно показать, что справедливо равенство:

      (15.14 а)

Выражения (15.14) называются уравнениями свёртки, или просто свёрткой, а интеграл, стоящий справа, — интегралом свёртки. Для свёртки двух функций и принята следующая краткая запись:

      (15.15)

Переходная характеристика и интеграл Дюамеля

Определение:

Переходной характеристикой цепи  называется реакция цепи на единичный скачок (функцию Хэвисайда) при нулевых начальных условиях (рис. 15.11, а).

Переходная характеристика, как и импульсная характеристика, позволяет определить реакцию цепи на произвольное воздействие (рис. 15.11,6). Кроме того, знание переходной характеристики позволяет изучить процессы, происходящие в цепи при переходе цепи из одного установившегося режима к другому, и определить длительность такого процесса, который называется переходным процессом, а сопутствующие ему токи и напряжения на отдельных участках цепи — переходными напряжениями и токами. Причина этого явления заключается в том, что накопление энергии электрического (в ёмкостях) и магнитного (в индуктивностях) полей не может происходить мгновенно. Необходимая длительность переходного процесса определяется назначением цепи, хотя обычно стремятся к достижению минимально возможной длительности.

Чтобы получить формулу для вычисления реакции цепи по её переходной характеристике, предварительно выразим переходную характеристику через импульсную характеристику для чего воспользуемся формулой свёртки (15.14, а), когда известна импульсная характеристика а воздействием является единичный скачок При этих условиях получаем формулу для переходной характеристики

     (15.16)

откуда

      (15.17)

Полученная связь справедлива при нулевых начальных условиях, когда (рис. 15.12, а). При ненулевых начальных условиях (рис. 15.12,6), когда переходную характеристику можно представить в виде суммы:

        (15.18)

где

Тогда для импульсной характеристики согласно (15.8) и (15.17) получим:
 

        (15.19)

Подставив импульсную характеристику (15.19) в (15.14, а), получаем реакцию цепи на воздействие

Рассмотрим первый интеграл полученного выражения. Он содержит константу которую можно вынести за знак интеграла. Оставшийся интеграл будет равен   поскольку только при

поэтому окончательно имеем:

      (15.20)

Можно получить другую форму интеграла (15.20):

      (15.20a)

Интегралы (15.20) называются интегралами Дюамеля, которые позволяют вычислить реакцию цепи по переходной характеристике как при нулевых, так и при ненулевых условиях.

Выводы:

•     свойства электрической цепи определяются по её реакции на типовые (испытательные) воздействия;
•     процессы в электрических цепях описываются с помощью интегро-дифференциальных уравнений, переменными в которых                  выступают напряжения и токи;
•    импульсная характеристика является основной характеристикой линейной электрической цепи;
•     переходная характеристика связана с импульсной характеристикой интегральным соотношением;
•     реакцию цепи на произвольное воздействие можно определить или с помощью интеграла свёртки, если известна                          импульсная характеристика цепи или с помощью интеграла Дюамеля, если известна переходная характеристика ;
•     вычисление реакции цепи по известной переходной характеристике можно осуществить как при нулевых, так и при ненулевых           начальных условиях.

Описание линейных электрических цепей в операторной р - области

Преобразование Лапласа и его свойства:

Классический метод анализа колебаний в электрических цепях, основанный на применении комплексных амплитуд, эффективен при невысоком порядке сложности цепи, а воздействие является либо гармонической функцией времени, либо постоянно. Если же воздействие произвольно, то задача анализа сводится к решению неоднородной системы обыкновенных линейных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений при известных начальных условиях. Это решение само по себе является далеко не простой процедурой.

Значительно облегчает задачу анализа процессов в электрических цепях операторный метод, основанный на применении преобразования Лапласа. Операторный метод переводит решение из области функций действительного переменного t (т. е. из временной области) в область комплексного переменного р (т. е. в операторную область), в результате чего система дифференциальных уравнений сводится к системе алгебраических уравнений, решать которые значительно легче. Преобразование Лапласа подобно методу комплексных амплитуд, когда операции над функциями времени замещаются операциями над их изображениями, или символами.

Определение преобразования Лапласа

Пусть функция — кусочно-непрерывная однозначная функция времени которая тождественно равна нулю при отрицательных значениях

      (16.1)

и, кроме того, имеем комплексную переменную

       (16.2)

называемую оператором. (В математической литературе для обозначения оператора вместо р  применяется буква s ).

При этих условиях вводится пара взаимно однозначных преобразований:

      (16.3)

      (16.4)

из которых первое называют преобразованием Лапласа   F(p) функции а второе — обратным преобразованием Лапласа.

Преобразуемая функция называется оригиналом, а функция — её изображением. Преобразование (16.3) ставит в соответствие оригиналу его изображение . С представлением о преобразовании связано понятие об отображении, в связи с чем также говорят, что функция времени отображается в комплексную плоскость оператора

Преобразования (16.3) и (16.4) кратко записывают с помощью следующей символики:

0 — оператор прямого преобразования Лапласа, или L-преобразование;

— оператор обратного преобразования Лапласа, или обратное -преобразование;

О знак —символ однозначного взаимного соответствия, или отображения, этот символ показывает, что каждому оригиналу соответствует одно-единственное изображение

Заметим, что преобразование Лапласа существует, во-первых, только для функций удовлетворяющих указанным ранее требованиям, и, во-вторых, для таких значений когда при интеграл (16.3) сходится абсолютно:

В ряде справочников приводятся таблицы преобразования Лапласа—Карсона, которое отличается от преобразования Лапласа только наличием множителя

Однако на практике нет необходимости заботиться о выполнении указанных ограничений, поскольку используемые в теории цепей функции всегда преобразуемы по Лапласу.

Процедура применения преобразования Лапласа схожа с процедурой, используемой в символическом методе, по сути дела также являющемся отображением:

1. Оригинал, или пространство оригиналов, переводится в р-область с помощью преобразования (16.3).
2. Находятся решения в р-области, являющиеся L-изображениями решений в пространстве оригиналов.
3. Полученные решения в р-области переводятся в пространство оригиналов с помощью обратного преобразования (16.4).

Использование преобразования Лапласа наиболее эффективно для решения интегро-дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Свойство линейности

Пусть функция представляет собой сумму N взвешенных функций

тогда согласно определению её L-изображение имеет вид:

           (16.5)

Таким образом, L-изображение суммы взвешенных функций равно сумме L-изображений этих функций с теми же весовыми коэффициентами.

2. Теорема запаздывания (задерживания)

Найдём преобразование Лапласа функции задержанной по времени на т. е. функции По определению имеем:

Произведём в интеграле замену переменной

          (16.6)

Следовательно, L-изображение задержанной функции есть изображение исходной функции  умноженное на экспоненту

3. Теорема свёртки

Найдём L-изображение свёртки функций

По определению имеем:

Поменяем местами операции интегрирования с учётом переменных, по которым осуществляется интегрирование, и получим:

Второй интеграл в полученном выражении является L-изображением задержанной на функции и согласно тереме запаздывания можно записать:

      (16.7)

Последний интеграл представляет собой L-изображение функции Действительно, поскольку функция существует только на интервале ничто не мешает верхний предел  интегрирования заменить бесконечностью — и тогда получим преобразование Лапласа (16.3). Следовательно, выражение (16.8) представляет собой произведение L-изображений свёртываемых функций 

причём результат не зависит от порядка записи свёртываемых функций.

4. Теорема смещения

Покажем, что смещение изображения на некоторую величину соответствует умножению оригинала на экспоненту

       (16.9)

Действительно,

5. Теорема подобия (изменения масштаба аргумента)

Умножению аргумента оригинала на постоянное число соответствует деление аргумента изображения и самого изображения на это же число.

       (16.10)

Покажем это. По определению имеем:

Произведём замену переменной:

Подставляя полученные соотношения в L-изображение оригинала и вынося

при этом за знак интеграла константу приходим к выражению (16.11):

L-изображения типовых функций, операций дифференцирования и интегрирования

Изображение константы А:

Изображение константы имеет вид:

         (16.11)

откуда следует, что L-изображение константы равно отношению константы к оператору

Изображение -функции

      (16.12)

соответствует определению -функции, которая равна 1 только при а при остальных значениях функция равна нулю.

Изображение единичного скачка (функции Хэвисайда)

Согласно формуле (16.6) получаем:

           (16.13)

Изображение взвешенной экспоненты:

Как увидим в дальнейшем, большое практическое значение имеет взвешенная экспонента вида (рис. 16.1), L-изображение которой равно:

      (16.14)

где следует быть внимательным к соответствию между знаком показателя степени экспоненты и знаком в знаменателе изображения.

Изображение отрезка синусоиды

Найдём L-изображение отрезка синусоиды на интервале

Представим синус через экспоненциальные функции согласно формуле Эйлера

и воспользуемся свойством линейности преобразования Лапласа; тогда получим:

Для записи изображений экспонент воспользуемся свойством (16.14):

Подставим эти изображения  в предыдущую формулу:

 Теперь окончательно получаем:

           (16.15)

Изображение отрезка косинусоиды

Поступая так же, как в предыдущем пункте, нетрудно получить:

         (16.16)

Знание изображений типовых функций позволяет получить L-изображения более сложных функций, являющихся различными комбинациями типовых. В приводимой далее таблице соответствий табл. 16.1 даны преобразования Лапласа основных операций и рациональных функций.

 
                        

Подробные таблицы преобразований Лапласа приводятся в разнообразных руководствах, учебных пособиях и справочниках как по теории электрических цепей, так и в математических справочниках.

L-изображения операций дифференцирования и интегрирования

L-изображение операции дифференцирования:

Пусть функция имеет L-изображение Поставим задачу найти L-изображение производной

этой функции:

Произведём интегрирование по частям:

           (16.17)

Интеграл в последней сумме (16.17) представляет собой L-изображение функции , поэтому справедлива окончательная запись:

        (16.18)

Если имеют место нулевые начальные условия, когда получаем L-изображение первой производной:

       (16.19)

Применяя аналогичный подход для вывода L-изображений высших производных при ненулевых начальных условиях, нетрудно получить:

      

Тогда для производной и-го порядка можно записать:

откуда следует общая формула L-изображений высших производных при ненулевых начальных условиях:

       (16.20)

Смысл полученной формулы состоит в том, что весьма непростая операция дифференцирования в пространстве оригиналов заменяется элементарными операциями умножения и суммирования в пространстве изображений, причём коэффициентами многочлена порядка n - 1 являются начальные значения оригинала и всех его производных порядка до n - 1 включительно.

Выражение (16.20) особенно полезно при решении дифференциальных уравнений.

При нулевых начальных условиях, когда начальные значения оригинала и всех его производных порядка до п - 1 включительно равны нулю, получаем формулу:

        (16.21)

т. е. L-изображение дифференцируемой функции представляется умножением изображения функции на степень оператора, равную порядку производной.

Важно:

использование соответствий (16.20) и (16.21) возможно только в том случае, когда наивысшая встречающаяся производная существует в каждой точке  и обладает L-изображением.

L-изображение операции интегрирования:

Если дифференцированию оригинала соответствует умножение изображения на р (16.19), то при нулевых начальных условиях интегрированию оригинала на отрезке времени соответствует деление изображения на р:

       (16.22)

где

Покажем справедливость соотношения (16.22), для чего продифференцируем интеграл по t. Тогда получим подынтегральную функцию

к которой применим правило определения изображения производной (16.19)

откуда

       (16.23)

что подтверждает верность выражения (16.22).

Замечание:

Поскольку при нулевых начальных условиях операции дифференцирования (интегрирования) оригинала соответствует операция умножения (деления) её изображения на оператор , то оператор  часто называют оператором дифференцирования, а оператор — оператором интегрирования.

Обратное преобразование Лапласа

Задача получения оригинала по его известному изображению может быть решена с помощью интеграла (16.4):

Однако применение этого интеграла весьма и весьма ограничено, поскольку в большинстве случаев этот интеграл не берётся. Тем не менее, получить оригинал по его изображению можно, не прибегая к интегралу (16.4). Для получения обратного преобразования Лапласа наиболее широко применяются два метода: табличный метод и разложение на сумму простых дробей (теорема разложения).

1. Табличный метод:

Метод основан на использовании табличных однозначных соответствий между оригиналами и изображениями с применением свойств преобразования Лапласа.

Пример 16.1.

Пусть известно изображение

и требуется найти оригинал

Решение. Обратимся к таблице соответствий (табл. 16.1) и увидим, что такой табличной функции нет. Однако в той же таблице имеются соответствия 10 и 11 (см. (16.15) и (16.16)), у которых знаменатели одинаковые, а именно:

Чтобы использовать эти соответствия, представим изображение (16.24) в виде суммы двух дробей с одинаковыми знаменателями:

где

Следовательно, по свойству линейности искомый оригинал будет представлять собой сумму двух оригиналов:

Согласно полученным в разд. 16.2.1 табличным соответствиям имеем:

откуда следует:

или

2. Метод разложения на сумму простых дробей (теорема разложения)

Пусть L-изображение некоторого оригинала представляет собой дробно-рациональную функцию

      (16.25)

где — вещественные коэффициенты и порядок полинома в числителе не превышает порядка полинома в знаменателе. Такие функции применяются при синтезе пассивных электрических цепей (см. лекцию 30). Обратимся к знаменателю (16.25): уравнение, получаемое приравниванием полинома знаменателя нулю,

называется характеристическим уравнением. Пусть корни характеристического уравнения простые и не равны корням уравнения, получаемого приравниванием нулю полинома числителя. При этих условиях дробь (16.25) можно представить в виде суммы простых дробей:

где — коэффициенты разложения, имеющие тот же тип, что и корни вещественному корню соответствует вещественный коэффициент разложения, комплексному корню — комплексный коэффициент разложения.

Знание корней полинома и коэффициентов разложения позволяет из (16.26) получить обратное преобразование Лапласа функции для чего воспользуемся свойством линейности преобразования:

        (16.27)

в результате остаётся только найти обратное L-преобразование дроби, стоящей в скобках; но эта дробь представляет собой L-преобразование взвешенной экспоненты (16.14):

при Подставляя взвешенную экспоненту с указанными параметрами в (16.27), получаем:

     (16.28)

Здесь значения известны, и для окончательного решения задачи необходимо вычислить коэффициенты разложения , что можно выполнить двумя способами, рассматриваемыми далее.

3. Метод производной знаменателя:

Для определения -го коэффициента разложения умножим обе части (16.26) на

       (16.29)

и устремим Тогда правое слагаемое обращается в нуль:
                                                                                                             
и коэффициент оказывается равным:

Перейдём в полученном выражении к пределу:

          (16.30)

В уравнении (16.30) при под знаком предела множитель и знаменатель обращаются в нуль, образуя неопределённость вида 0/0, которую раскроем по правилу Лопиталя путём дифференцирования по числителя и знаменателя:

в результате чего из (16.30) имеем:

      (16.31)

В полученном выражении величина представляет собой значение производной полинома по комплексной переменной при причём неравенство является принципиальным, поскольку полином согласно принятому предположению, имеет только простые корни.

Аналогичным образом можно получить любой из коэффициентов что даёт возможность перейти от индекса к индексу к и записать,(16.31) в виде:

Если один из корней характеристического уравнения равен нулю (пусть это будет ), тогда соответствующий коэффициент разложения вычисляется по простой формуле:

         (16.33)

Пример 16.2.

      (16.34)

найдём оригинал по его изображению, воспользовавшись изложенной методикой.

Решение. Здесь характеристическое уравнение

имеет два простых вещественных корня: поэтому разложение функции (16.34) согласно (16.26) получает вид:

Для вычисления коэффициентов разложения и запишем производную знаменателя (16.34):

после чего коэффициенты разложения в соответствии с (16.32) оказываются равными:

        (16.36)

Подставляя полученные коэффициенты и значения корней в (16.32), получаем оригинал:

       (16.37)

4. Метод неопределённых коэффициентов

Рассмотренный метод получения коэффициентов разложения требует вычисления производной знаменателя, что не всегда бывает удобным. В большинстве же практических случаев можно воспользоваться известным из математики методом неопределённых коэффициентов, при котором рациональная дробь также представляется в виде суммы простых дробей (16.26), а дальнейшие вычисления осуществляются в следующем порядке:

• дроби (16.26) приводятся к общему знаменателю;
• в числителе новой рациональной дроби приводятся подобные члены по степеням переменной , полученные коэффициенты при         степенях переменной будут представлять собой суммы искомых коэффициентов разложения
• составляется система линейных уравнений путём приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях р числителей                    полученной и исходной дроби (16.25);
• решение составленной системы уравнений даст множество коэффициентов разложения

Пример 16.3.

Найдём решение задачи, поставленной в предыдущем примере, методом неопределённых коэффициентов.

Решение. Для решения задачи вновь обратимся к формуле (16.35):

Приведём дроби к общему знаменателю:

       (16.38)

Равенство дробей (16.38) и (16.34) означает равенство их знаменателей и числителей, но знаменатели равны, поэтому приравняем числители

и коэффициенты при одинаковых степенях р:

Нетрудно проверить, что решение этой системы даёт те же коэффициенты (16.36), а потому и тот же итоговый результат (16.37).