Частотные методы анализа и расчёта электрических цепей

Содержание:

Частотные методы анализа электрических цепей:

Частотные характеристики являются компонентами комплексных функций цепи.

Комплексная функция цепи (КФЦ)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ)

Фазочастотная характеристика (ФЧХ)

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ) (комплексная функция цепи)

где — вещественная частотная характеристика (ВЧХ); — мнимая частотная характеристика (МЧХ).

Комплексные функции простых цепей можно рассчитать непосредственно по закону Ома.

На рис.4.1 показаны АЧХ и ФЧХ, а на рис.4.2 — АФЧХ простейшей интегрирующей цепи (апериодического звена). По АЧХ определяют полосу пропускания

Полосой пропускания П называется диапазон частот, на границах которого мощность сигнала уменьшается в 2 раза, а амплитуда (действующее значение) напряжения (тока) — в раз по сравнению с максимальными значениями.

Полоса пропускания может измеряться в радианах в секунду или в герцах (Гц).

Например, для простой интегрирующей цепи полоса пропускания (см. рис. 4.1)

Для сложных цепей КФЦ рассчитывают по MKT или МУН. В табл. 4.1 приведены соотношения для расчета КФЦ, выраженные через определитель и алгебраические дополнения матрицы контурных сопротивлений и узловых проводимостей.

Частотные характеристики цепей с одним реактивным элементом

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.2.1.

Определить комплексный коэффициент передачи по напряжению для дифференцирующего RC-контура (рис.4.3, а), рассчитать и построить графики АЧХ и ФЧХ.

Решение

1. Изобразим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.3, б).

2. Определим комплексное напряжение на выходе цепи в виде 

Преобразуем полученное выражение, вынеся зa скобки в числителе и знаменателе члены, не содержащие . После преобразований получим
Следовательно.

Введем обозначения:

Величина  называется постоянной времени цепи и измеряется в секундах. Величина имеет смысл коэффициента усиления по напряжению на постоянном токе, т. е. на частоте

 С учетом принятых обозначений

Для получения аналитических выражений АЧХ и ФЧХ запишем комплексную функцию в показательной форме.
Так как выражение (4.2) есть отношение двух полиномов, то удобно числитель и знаменатель записать отдельно в показательной форме, а затем разделить:

3. Из (4.3) запишем АЧХ и ФЧХ соответственно:

4. Построим график АЧХ и ФЧХ качественно по двум точкам. Для этого рассчитаем значения для крайних значений частот:

График АЧХ (рис. 4.4, а) является кривой, монотонно возрастающей от значения

График функции ФЧХ можно построить качественно как сумму двух графиков (рис. 4.4). Из рис. 4.4,б видно, что оба слагаемых монотонно увеличиваются: первое от нуля до +90° и вносит опережение по фазе. Второе до -90° и вносит отставание по фазе. Но первое слагаемое растет быстрее, так как что следует из формулы (4.1). Поэтому функция следовательно, дифференцирующий RС-контур вносит опережение по фазе.

Исследуя функцию (4.5) на экстремум, можно показать, что она имеет максимум на частоте

где 

Подставляя в (4.5), получим

Графики АЧХ и ФЧХ изображены на рис. 4.4.

Пример 4.2.2.

Для электрической цепи, изображенной на рис. 4.5, определить АЧХ  граничную частоту полосы пропускания. Рассчитать АЧХ, ФЧХ и построить графики, если параметры цепи:

Решение

1. Найдем комплексную функцию К(; (/ш) но формуле делителя напряжения

Преобразуем полученное выражение к виду

Обозначим:

Следовательно,

Отсюда: АЧХ

ФЧХ

2. Рассчитаем граничную частоту. По определению

Из (4.7) найдем

Следовательно,

Из уравнения (4.9) получаем, что

Отсюда    

3. Построим график функций.

Вычислим значения (4.7) и (4.8) для частот с дискретностью

Графики и таблицы выполним в среде Mathcad (рис. 4.6).

Пример 4.2.3.

Определить комплексный коэффициент передачи интегрирующей цепи (рис. 4.7, а), используя метод контурных токов. Построить в среде Mathcad график АЧХ, определить полосу пропускания.

Параметры цепи:

Решение

1. Представим цепь комплексной схемой замещения (рис. 4.7, б). Данная цепь имеет два независимых контура. Ток в первом контуре замыкается через источник, который на схеме не изображен. Направления контурных токов выбираем одинаковыми.

2.Составим матрицы контурных сопротивлений для двух независимых контуров

3.Определим комплексный коэффициент передачи, используя соотношение, приведенное в табл. 4.1.

где сопротивление нагрузки равно

Подставляя найденные выражения, получаем 

или 

где 

4. Рассчитаем для крайних значений частоты и 

Объяснить полученные результаты можно, рассуждая так: на нулевой частоте (режим постоянного тока) сопротивление емкости бесконечно велико, ток в ней равен нулю, что эквивалентно разрыву этой ветви. При этом цепь становится резистивным делителем напряжения с передаточной функцией  С ростом частоты емкостное сопротивление уменьшается. Если то и шунтирует сопротивление . При этом

    = 0.

По полученным выражениям строим график АЧХ (рис. 4.8) и среде Mathcad.

5. Определяем полосу пропускания. По определению

Поэтому из (4.11) имеем

После преобразований уравнения (4.12) получаем

откуда

или

Следовательно, цепь имеет полосу пропускания 

На рис. 4.8 указана граничная частота

Данная цепь представляет собой фильтр нижних частот с полосой пропускания  сигналы на частотах проходят с большим затуханием.

Пример 4.2.4.

Найти комплексную передаточную проводимость для цепи, изображенной на рис. 4.9, а методом узловых напряжений.

Параметры цепи:  

Определить АЧХ и ФЧХ, построить их графики в среде Mathcad.

Решение

1. Изобразим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.9, б). Схема имеет два независимых узла. В данном случае

2. Составим матрицу узловых проводимостей. При определении собственной проводимости узлов необходимо помнить, что собственная проводимость ветви, состоящей  из последовательно включенных пассивных элементов, находится из соотношения , где — эквивалентное сопротивление ветви. Как найти проводимость ветви с последовательно включенными

В начале рассчитывают комплексное сопротивление этой ветви, , а затем комплексную проводимость

Составим матрицу проводимостей цепи 1 2

Как видим, общие проводимости узлов взяты со знаком минус, так как узловые напряжения направлены одинаково, к базисному yзлy.

3.Определим комплексную передаточную проводимость по соотношению, приведенному в табл. 4.1

где -комплексная проводимость ветви, по которой протекает ток ,так как по определению

Найдем алгебраические дополнения:

После подстановки найденных значений получим

Для определении АЧХ и ФЧХ запишем выражения для модуля и аргумента

4. Рассчитаем значения на частотах

Примечание. Эти значения можно найти без вывода аналитического выражения для Для этого достаточно воспользоваться эквивалентными схемами цепи на рассматриваемых частотах.

Учитывая, что  получим две схемы, показанные на рис. 4.10. а, б, соответственно.

Для первой схемы:

Следовательно,

Аналогично для второй схемы получим 

При расчете сложных схем такой прием можно применять для проверки правильности полученного аналитического выражения КФЦ.

Из (4.13) видно, что функция наметен монотонной, но для качественного построения графика АЧХ (рис. 4.11) необходимо воспользоваться ПЭВМ, например построить функцию в среде Mathcad.

Пример 4.2.5.

Для интегрирующего RС-контура (рис.4.12,а) определить комплексный коэффициент передачи по напряжению, рассчитать АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ. Построить графики АЧХ, ФЧХ. АФЧХ, если

Решение

1. Составим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.12, б).

2. Определим из соотношения где

Следовательно.

3. Для нахождения АЧХ и ФЧХ комплексную функцию представленную в виде отношения двух полиномов мнимой частоты записывают в показательной форме

Найдем модуль (АЧХ) и аргумент (ФЧХ) комплексной функции;

Для определения вещественной и мнимой частотных характеристик запишем КФЦ в алгебраической форме. Для этого умножим и разделим (4.14) на комплексно-сопряженный знаменатель:

4. Для приближенного построения графиков АЧХ, ФЧХ. АФХ найдем значения  для трех значений частот: Результаты расчетов для удобства построения графиков сведем в табл. 4.2.

Для более точного и наглядного представления графиков воспользуемся ПЭВМ и математической средой Mathcad.

 Графики характеристик приведены на рис. 4.13.

АЧХ представляет монотонно убывающую функцию (рис. 4.13, а).

ФЧХ принимает отрицательные значения, т.е. контур вносит фазовое отставание, а на частоте ФЧХ имеет экстремум (рис.4.13, б). Найдем из соотношения

Взяв производную, получим

Решая полученное уравнение относительно , найдем

Подставляя  в выражение определим максимальное значение фазовой частотной характеристики.

АФХ (рис. 4.13, в) представляет собой полуокружность, расположенную в 4-м квадрате. Центр окружности находится на оси в точке с абсциссой, равной

Радиус окружности нетрудно определить из соотношения:

МЧХ:

Отрицательное значение свидетельствует о том, что 

принимает отрицательное значения, т.е. интегрирующий контур вносит запаздывание по фазе.

5. Проверка расчетов АЧХ. Воспользуемся эквивалентными схемами цепи для  частот (рис. 4.14).

На частоте цепь разомкнута (рис. 4.14, а), поэтому

При схема представляет собой резистивный делитель напряжения (рис. 4.14, б) с коэффициентом передачи

Подставляя эти значения частот в аналитическое выражение (4.14) для получаем

Следовательно, расчет АЧХ выполнен верно.

Частотные характеристики последовательного колебательного контура

Основные теоретические сведения:

В последовательном колебательном контуре (рис. 4.21) возникает резонанс напряжений, если выполняется условие    

 т. е.                      

Резонансная частота

Волновое сопротивление контура

Сопротивление контура при резонансе

Собственная добротность контура  

Добротность нагруженного контура

Затухание контура  

Абсолютная расстройка   

Относительная расстройка   

Обобщенная расстройка

Фактор расстройки:  

Абсолютная полоса пропускания (рис. 4.22)

Относительная полоса пропускания

Для нагруженного контура:

Комплексные коэффициенты передачи по напряжению:

на активном сопротивлении

на индуктивности

на емкости 

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.3.1.

Последовательный колебательный контур (рис. 4.23) подключен к источнику напряжению. Контур настроен в резонанс.

Параметры цепи:

Определить резонансную частоту, волновое сопротивление. добротность и полосу пропускания, ток и напряжения на элементах контура.

Построить АЧХ и ФЧХ по напряжению на конденсаторе в среде Mathcad.    

Решение

1. Определяем резонансную частоту контура

2. Находим волновое сопротивление контура

3. Вычисляем добротность нагруженного контура

4. Определяем полосу пропускания

5. Рассчитываем ток и напряжения на элементах контура при резонансе

Напряжение на R равно

Напряжения на реактивных элементах

6. Рассчитаем АЧХ и ФЧХ комплексного коэффициента передачи напряжения с емкости.

Учитывая (4.22), из (4.29) получим:

Для построения графиков АЧХ и ФЧХ, выполнения расчетов используем среду Mathcad. АЧХ, ФЧХ в виде графиков и таблиц приведены на рис. 4.24.

Следует заметить, что максимум А11Х достигается на частоте

т.е. при смещение максимума мало, тогда

Задача 4.3.2.

К последовательному колебательному контуру (рис. 4.25) с параметрами подключена нагрузка

Определить собственную добротность и добротность нагруженного контура, полосу пропускания нагруженного и ненагруженного контура.

Решение

1. Рассчитаем вторичные параметры ненагруженного контура:

2.Определим вторичные параметры наруженного контура. Так как сопротивление нагрузки активное, причем то согласно (4.15) и (4.16) резонансная частота и волновое сопротивление не изменяются.

Для определения добротности рассчитаем сопротивление , вносимое в контур за счет нагрузки, и построим эквивалентную схему нагруженного контура (рис. 4.25, б). Так как то

Следовательно,

Вывод. Подключение нагрузки ухудшает добротность контура, что приводит к расширению полосы пропускания.

Пример 4.3.3.

На рис. 4.26, а изображена входная цепь приемника, а на рис. 4.26, б — ее эквивалентная схема. Известны входное сопротивление и входная емкость транзистора входного каскада УВЧ: . На резонансной частоте антенна наводит в контуре ЭДС Емкость конденсатора катушка индуктивности имеет

Определить абсолютную полосу пропускания и ток в контуре на резонансной частоте.

Решение

1. Определяем эквивалентную емкость контура

2. Рассчитываем резонансную частоту контура

3. Находим волновое сопротивление и сопротивление, вносимое в контур за счет транзистора усилителя (рис. 4.26, в):

4. Определяем добротность нагруженного контура

5. Рассчитаем абсолютную полосу пропускания нагруженного контура

6. Находим ток в контуре

Пример 4.3.4.

Рассчитать емкость последовательного колебательного контура, если резонансная частота контура полоса пропускания при сопротивлении потерь 0,5 Ом.

Построить АЧХ и ФЧХ комплексного коэффициента передачи напряжения с индуктивности в среде Mаthcad.

Решение

1. Определим требуемую добротность контура

2. Рассчитаем емкость конденсатора. Из формулы найдем

3. Рассчитаем АЧХ и ФЧХ.

Воспользуемся комплексным коэффициентом передачи напряжения с индуктивности по формуле (4.28). Учитывая 4.22), запишем:

Вычислим значения функций на частотах:

Определим частоту, при которой АЧХ имеет максимум

Смещением частоты можно пренебречь.

Результаты расчетов АЧХ и ФЧХ б графическом и табличном видах приведены на рис. 4.27.

Частотные характеристики параллельного колебательного контура

Основные теоретические сведения:

Параллельный колебательный контур образуется путем параллельного соединения катушки индуктивности и конденсатора. Оба элемента, кроме основного эффекта (запасания энергии), имеют потери энергии. В расчетной схеме (рис. 4.29, а) тепловые потери в элементах учтены включением условных сопротивлений

где резонансная частота колебаний

Для реального контура поэтому при расчете можно полагать, что

При резонансе сопротивление контура является активным, поэтому ток в цепи и напряжение в контуре синфазны. Эквивалентные схемы цепи в режиме резонанса токов показаны на рис. 4.31, а, б.

Сопротивление параллельного колебательного контура при резонансе максимально и равно (без учета внешней цепи)

где  

Добротность нагруженного контура меньше собственной добротности Ее можно выразить через сопротивления элементов цепи

или через их проводимости

Важными параметрами цепи при резонансе являются токи в ветвях и напряжение на контуре. Ток в обшей ветви (ток источника) при резонансе минимален и равен (см. рис. 4.31)

При этом напряжение на контуре максимально и равно

Токи в индуктивности и в емкости при резонансе равны по значению и противоположны по направлению. Они образуют замкнутый ток в контуре, равный

Частотные свойства параллельного колебательного контура обычно оценивают по нормированной АЧХ

где -обобщенная расстройка контура без учета внешних цепей; — фактор расстройки.

Параллельный контур, показанный на рис. 4.29, имеет по одной реактивности в ветвях. Такой контур называется простым или контуром I вида. Для уменьшения шунтирующего действия внешних цепей часто применяют сложные параллельные контуры.

На рис. 4.32, а, б, в показаны контуры II, (III и IV) видов, соответственно.

Главной особенностью этих контуров является то, что их резонансное сопротивление меньше резонансного сопротивления простого контура с такими же параметрами.

Сопротивление контуров (рис.4.32) при резонансе рассчитывается по формулам, соответственно:

где — коэффициенты включения:

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.4.1.

Параллельный контур (см. рис. 4.29, а) подключен к источнику с параметрами Контур настроен в резонанс на длину волны, равную 1000 м.

Параметры катушки индуктивности:

Определить действующие значения тока в контуре, тока на входе цепи и напряжения на контуре при резонансе, абсолютную и относительную полосы пропускания контура, добавочное сопротивление необходимое для расширения полосы пропускания в 2 раза.

Решение

1. Определим резонансную частоту колебания

2. Рассчитаем волновое сопротивление

3. Определим сопротивление контура при резонансе

4. Найдем действующее значение тока на входе контура (см. рис. 4.31, а) при резонансе

5. Определим соответственную добротность контура

6. Найдем ток в контуре и напряжение на нем:

7.  Определим добротность нагруженного контура

8. Рассчитаем абсолютную и относительную полосы пропускания:

9.  Определяем добавочное cопротивление  из (4.31)

Пример 4.4.2.

Рассчитать полосу пропускания колебательного контура (см. рис. 4.30, а).

Дано:

Определить сопротивление  шунта, необходимого для расширения полосы пропускания до 10 кГц.

Решение

1. Рассчитаем волновое сопротивление и резонансную частоту контура:

2.Рассчитаем добротность цепи без шунта. Воспользуемся трехветвевой эквивалентной схемой цепи и соотношением (4.32). Найдем проводимость элементов схемы:

Тогда

3. Определим полосу пропускания

4. Найдем сопротивление шунта, необходимою для расширения полосы до 10 кГц,

В этом случае добротность цепи должна быть равна

Тогда из (4.32) получаем

Следовательно, сопротивление шунта должно быть равно

Пример 4.4.3.

Параллельный колебательный контур с параметрами: подключен к источнику

Определить собственную добротность контура, добротность нагруженного контура, абсолютную полосу пропускания и граничные частоты полосы пропускания. Построить резонансную кривую по напряжению на ЭВМ.

Решение

1. Определим волновое сопротивление контура

2. Рассчитаем собственную добротность контура

3. Найдем сопротивление контура при резонансе

4. Определим добротность нагруженного контура по формуле (4.31)

5. Рассчитаем резонансную частоту

6. Найдем полосу пропускания

7. Определим граничные частоты полосы пропускания:

8. Построим резонансную характеристику контура но напряжению. Из выражения (4.33) запишем

Напряжение па контуре при резонансе 

Для построения резонансной характеристики задаемся характерными значениями частот: Результаты расчетов в графическом виде представлены на рис. 4.33.

Пример 4.4.4.

Определить резонансную частоту, эквивалентное сопротивление при резонансе и добротность сложного контура (рис. 4.32, а), подключенного к источнику напряжения.

Дано:

Решение

1. Определим резонансную частоту и сопротивление параллельного контура при резонансе:

Сопротивление контура при резонансе

2. Рассчитаем эквивалентное сопротивление сложного контура II вида

3. Найдем добротность нагруженного контура II  вида

Сравним значения  с добротностью простого нагруженного контура

Вывод. За счет неполного включения индуктивности уменьшилось шунтирующее действие источника. Поэтому добротность сложного контура больше, чем простого с теми же параметрами элементов.

Частотные характеристики связанных колебательных контуров

Основные теоретические сведения:

С целью повышения коэффициента прямоугольности АЧХ контуров применяют связанные контуры последовательного и параллельного питания (рис. 4.37, а, б).

Частотные характеристики связанных контуров рассмотрим на примере системы из двух контуров.

Эквивалентные схемы связанных контуров

Во всех случаях систему связанных контуров можно представить в виде Т- или П-образной эквивалентной схемы (рис. 4.38).

Количественной характеристикой связи является сопротивление связи в Т-образной эквивалентной схеме (рис. 4.38,а) или проводимость связи  в П-образной эквивалентной схеме (рис. 4.38, б).

Удобным параметром для оценки связи является коэффициент связи

В случае реактивной связи для Т-образной схемы

Для П-образной схемы

где — сопротивление (проводимость) связи; — сопротивления (проводимости) контуров, однотипные элементу связи. Для анализа связанных контуров удобно применять схемы, приведенные к первичному (рис. 4.39, а) или ко вторичному (рис. 4.39, б) контуру.

Для этого используют понятия вносимого сопротивления и вносимой проводимости  Эти схемы представляют собой одиночные последовательные (параллельные) контуры с параметрами:

Резонансы в связанных контурах:

При настройке контуров в резонанс добиваются максимального тока (напряжения) во вторичном контуре.

Настройка связанных контуров может производиться различными способами, поэтому различают шесть резонансов. В табл. 4.3, 4.4 приведены виды и условия резонансов, способы настройки и соотношения для токов (напряжений) в связанных контурах последовательного (параллельного) питания.

Резонансные характеристики связанных контуров:

Для двух неидентичных связанных контуров: последовательного питания

где   

параллельного питания:

где — параметр связи. 

Если контуры идентичны, то обобщенная расстройка 

На рис. 4.40 приведены резонансные характеристики при различных факторах связи.

Относительная полоса пропускания:

а) связь слабая

б) связь критическая

в) связь сильная

При достигается максимально возможная полоса пропускания

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.5.1.

В системе двух индуктивно связанных контуров (см. рис.4.37,а) известны следующие параметры: коэффициент связи

Определить емкость при которой в системе наступает первый частный резонанс, если частота источника равна 500 кГц.

Решение

Емкость конденсатора определим но реактивному сопротивлению первого контура:

отсюда

Определим реактивное сопротивление , первого контура из условия первого частного резонанса (см. табл. 4.3)

Peaктивное сопротивление второго контура 

Рассчитаем полное сопротивление второго контура 

Определим сопротивление связи контуров

Следовательно

Находим емкость первого контура

Пример 4.5.2.

Рассчитать емкости связанных контуров (см. рис. 4.37,а) и оптимальное сопротивление связи, если система настроена и полный резонанс. Определить токи, мощности в контурах при этом режиме, а также КПД системы.

Дано:

Решение

1. Определим емкость конденсатора , полагая, что

Отсюда

2.  Сопротивление оптимальной связи при полном резонансе

3. Рассчитаем токи в первом и втором контурах при полном резонансе

4. Определим активные мощности в первом и втором контурах и КПД связанных контуров:

Пример 4.5.3.

На рис. 4.37, а показана система из двух идентичных связанных контуров с параметрами: Рассчитать полосы пропускания одиночного контура и связанных контуров при различной связи:

Решение

1. Определим полосу пропускания одиночного контура 

2. Рассчитаем полосу пропускания системы связанных контуров:

1)  определим параметр связи для

Таким образом при связь меньше критической При этом относительная полоса пропускания

Абсолютная полоса пропускания (рис. 4.41, резонансная кривая А = 0,5)

2) при параметр связи Таким образом, коэффициент связи является оптимальным, а связь критическая, система настроена в полный резонанс. Полоса пропускания в этом случае

3) если  то параметр связи  следовательно, связь больше критической.

Рассчитаем полосу пропускания для этого случая.

Вид резонансных кривых по току и полоса пропускания для критической и сильной связи показаны на рис. 4.41, кривые А = 1 и А = 2.

Пример 4.5.4.

Антенный контур (см. рис. 4.37,б) индуктивно связан с входным контуром усилителя высокой частоты. Оба контура настроены в резонанс на частоту принимаемого сигнала. В антенном контуре наводится

Дано: 

Входное сопротивление УВЧ считать бесконечно большим.

Определить емкости и добротности контуров, их взаимную индуктивность, а также ток и напряжение на емкости во вторичном контуре.

Решение

1.Емкости контуров определим из формулы резонансной частоты. Емкость конденсатора первого контура

Емкость конденсатора второго контура

2. Рассчитаем волновое сопротивление контуров:

3. Рассчитаем добротности контуров и параметр связи:

4. Определим взаимную индуктивность двух связанных контуров

5. Рассчитаем ток во вторичном контуре. Известно (см. табл. 4.3), что при полном резонансе

Тогда, учитывая, что контуры настроены в резонанс, то из (4.34) получаем

Оба контура по условию настроены в резонанс, поэтому расстройки равны нулю:

С учетом этого рассчитаем ток во втором контуре

6. Найдем напряжение на конденсаторе вторичного контура

Пример 4.5.5.

На рис. 4.42 приведена схема одного каскада УПЧ радиоприемника, в котором избирательность обеспечивается двумя связанными контурами с емкостной связью. Оба контура настроены в резонанс на промежуточную частоту

Эквивалентная схема этого каскада (рис. 4.43) имеет следующие параметры:

Определить емкости и добротности контуров, емкость связи, напряжение на емкости во вторичном контуре, а также полосу пропускания каскада УПЧ.

Решение

1. Из формулы резонансной частоты найдем емкость первого контура. С учетом влияния выходной емкости транзистора и емкости монтажа получаем

Емкость второго контура с учетом влияния входной емкости транзистора и емкости монтажа

2. Определим емкость связи

3. Рассчитаем добротности нагруженных контуров при отсутствии связи между ними. Для расчета воспользуемся формулой (4.31)

где

где

4. Рассчитаем параметр связи

5. Рассчитаем напряжение на втором контуре. Известно (см. табл. 4.4), что при полном резонансе

Тогда, учитывая, что контуры настроены в резонанс из (4.35) получаем

Найдем проводимость контуров

Тогда

6. Рассчитаем полосу пропускания каскадов УПЧ. учитывая, что А = 1,2.

Частотные методы расчета и построения переходных и установившихся процессов в электрических цепях

Основные теоретические сведения:

Зная частотную характеристику электрической цепи  можно определить ее выходную величину при подаче на вход синусоидального (гармонического) сигнала. Действительно, если на вход цепи подано синусоидальное напряжение комплексное изображение которого  то в установившемся режиме комплексное изображение выходного напряжения

где амплитуда и сдвиг по фазе выходных колебаний соответственно.

С помощью частотной характеристики электрической цели можно не только определить выходную величину цепи в установившемся режиме при гармоническом входном воздействии, но и найти реакцию цепи в переходном процессе на произвольное воздействие . Действительно, представляя это воздействие в зависимости от того, является оно периодической или непериодической функцией, в виде ряда или интеграла Фурье, т.е. в виде бесконечной суммы гармонических колебаний. По частотной характеристике можно определить реакцию электрической цепи на каждое из этих элементарных колебаний, а затем, просуммировав все реакции, найти результирующую реакцию в виде суммы или интеграла [4].

Найдем реакцию цепи на единичную ступенчатую функцию (т.е. найдем переходную функцию цепи), используя ее частотную характеристику. Как известно, интеграл Фурье для единичной ступенчатой функции имеет вид

т.е. единичная ступенчатая функция может быть представлена как бесконечная сумма элементарных колебаний вида

Каждому из этих колебаний соответствует выходное колебание а реакция системы на единичную ступенчатую функцию выражается интегралом

Представляя в алгебраической форме и преобразуя выражение (4.37), получаем следующую формулу для переходной функции |4, 6|:

где — вещественная частотная характеристика (ВЧХ) КФ электрической цепи. Полученное выражение связывает ВЧХ КПФ цепи с ее переходной функцией. Таким образом, при частотном методе анализа косвенной характеристикой переходной функции является вещественная частотная характеристика КФ электрической цепи.

Построение переходной функции с помощью вещественной частотной характеристики методами численного интегрирования:

Выражение (4.38) позволяет вычислить переходную функцию ЭЦ и определить качество переходного процесса. Однако интегрирование этого выражения аналитическими методами — задача весьма трудоемкая, а чаще всего просто практически невыполнимая. С применением современных ЭВМ и методов численного интегрирования (метод прямоугольников, трапеций, метод Симпсона и др.) эта задача существенно упрощается, ее решение сводится к составлению программы для ПЭВМ. В инженерной практике интегрирование достаточно осуществлять в области существенных частот от  В области частот влияние ВЧХ на переходную функцию (4.38) мало и им можно пренебречь. В dtom случае используют модифицированное выражение от (4.38) [4]

В результате интегрирования получают совокупность значений переходной функции системы и исследуемом интервале времени и строят график переходной функции, по которой определяют показатели качества переходного процесса.

В качестве примера построения алгоритма численного интегрирования рассмотрим интегрирование с точки зрения простоты вычислений и точности результата. Сущность метода заключается в следующем. Пусть необходимо вычислить определенный интеграл

Вид подынтегральной функции, соответствующей выражению

при фиксированном времени  приведен на рис. 4.47, кривая для t = 10 с, кривая 2 для , а кривая 3 изображает ВЧХ электрической цепи. Функция  представляет функцию  модулированную «замечательным» синусом. Известно, что интеграл (4.40) численно равен площади под кривой функции  Если интервал аргумента разбить на равных частей, то длина одного интервала будет равна Площадь под кривой можно аппроксимировать суммой площадей прямоугольных трапеций с основаниями и высотой Тогда интеграл (4.40) можно представить как сумму площадей прямоугольных трапеций:

Очевидно, что погрешность численного интегрирования зависит и от выбора числа интервалов разбиения аргумента  при конкретном времени  При увеличении времени , как видно из рис. 4.47, период подынтегральной функции уменьшается. Следовательно, необходимо увеличивать число интервалов, которое определился выражением

При этом одно полное колебание подынтегральной функции представляется не менее чем шестнадцатью трапециями.

В качестве примера для построения переходной функции возьмем электрическую цепь, ВЧХ которой была построена и приведена на рис. 4.47 (кривая 3). На рис. 4.48 приведена переходная функция этой сложной электрической цепи.

Переходная функция на рис. 4.48 получена с помощью пакета ПП «Сигнал» [5].

Для вычисления интеграла (4.39) необходимо определить значение частоты для верхнего предела интегрирования Это значение легко может быть определено из кривой вещественной частотной характеристики (ВЧХ) КФ электрической цепи. В качестве примера возьмем простую интегрирующую цепь (см. рис. 4.1), КФ которой имеет вид

Алгебраическая форма КФ

где  — вещественная и мнимая части КФ. Построим кривую (рис. 4.49) в среде Mathcad, если .

Из графика ВЧХ видно, что при  Влияние ВЧХ в области больших частот на переходную функцию несущественно, поэтому за частоту можно принять частоту, при которой ВЧХ принимает значение Эту частоту принято называть «существенной частотой» и обозначать . В нашем примере  Переходная функция, вычисленная по выражению (4.39), приведена на рис. 4.49.

Для случая электрических цепей с дифференцирующими свойствами может оказаться, что при ВЧХ КФ этой цепи Тогда для расчета переходной функции необходимо использовать мнимую частотную характеристику (МЧХ) в соответствии с выражением

Приведенный пример наглядно показывает, что использование частотных характеристик для построения временных характеристик с помощью ЭВМ существенно расширяет возможности частотных методов анализа электрических цепей.

Спектральный метод расчета и построения выходных величин электрических цепей при сложных входных воздействиях:

Применение частотных методов при анализе и синтезе электрических цепей с требуемыми динамическими характеристиками и использованием ЭВМ позволяет не только строить переходные характеристики, но и строить реакцию цепи на любые детерминированные воздействия, оценивать их в установившихся режимах.

Математической основой частотных методов анализа электрических цепей и систем автоматического управления является обратное преобразование Фурье, позволяющее получать изображение выходного сигнала системы y(t) с помощью вещественной и мнимой частотных характеристик систем. В свою очередь, по вещественной или мнимой частотным характеристикам можно построить переходный процесс выходной величины и оценить реакцию цепи в переходном и установившемся режимах.

Как известно, реакция системы определяется по формуле обратного преобразования Фурье [4]

где 

После соответствующих преобразований выражение (4.46) примет вид:

I) для ступенчатой входной функции  спектром 

2) для линейной входной функции со спектром

y{t) = v\P(0)t+±l
2 r0( Л» И
(4.48)
О)
3) для параболической входной функции со спектром 

4) для полиномиального воздействия вида 

Применение ЭВМ и численных методов интегрирования позволяет отказаться от графических и табличных методов построения переходных и других необходимых функций в электрических цепях.

Примеры решения типовых задач:

Пример 4.6.1.

Определить комплексный коэффициент передачи по напряжению для дифференцирующего -контура (рис. 4.50,а), рассчитать и построить переходную функцию контура с помощью ВЧХ.

Решение

1. Изобразим комплексную схему замещения цепи (рис. 4.50, б).

2. Определим комплексное напряжение на выходе цепи в виде

Преобразуем полученное выражение, вынеся за скобки в числителе и знаменателе члены, не содержащие  После преобразований получим

Следовательно

Введем обозначения:

Величина  называется постоянной времени цепи и измеряется в секундах. Величина k имеет смысл коэффициента усиления по напряжению на постоянном токе, т. е. на частоте  С учетом принятых обозначений

Для получения аналитических выражений ВЧХ и МЧХ запишем комплексную функцию и алгебраической форме

где

Примем:

Для определения частоты в среде Mathcad построим кривые ВЧХ и МЧХ (рис. 4.51).

Из частотных характеристик КПФ принимаем Для построения переходной функции воспользуемся выражением (4.45). Построение проведем также в среде Mathcad.

Переходная функция, показанная на рис.4.52, соответствует дифференцирую щему фазоопережающему контуру, который широко применяется в электронных и радиотехнических устройствах, системах автоматического управления.

Пример 4.6.2.

Для электрической цепи, изображенной на рис, 4.53, определить КПФ построить ВЧХ и МЧХ . Рассчитать и построить график переходной функции. Параметры цепи:  

Решение

1. Найдем комплексную функцию по формуле делителя напряжения

Преобразуем полученное выражение к виду 

Обозначим:

Следовательно,

Для получения аналитических выражений ВЧХ и МЧХ запишем комплексную функцию и алгебраической форме

где 

Для определения частоты  в среде Mathcad построим кривые ВЧХ и МЧХ (рис. 4.54).

По виду ВЧХ и МЧХ определяем, что для построения переходной функции необходимо применить МЧХ. Примем из графика МЧХ  Переходная функция и программа для ее вычисления и построения приведена на рис. 4.55.

Из рис. 4.55 видно, что переходная функция соответствует интегрирующему контуру.

Пример 4.6.3.

Определить комплексный коэффициент передачи интегрирующей цепи (рис. 4.56, а), используя метод контурных токов. Построить в среде Mathcad графики АЧХ, ВЧХ, МЧХ. Рассчитать и построить эпюру входного и выходного напряжения, если на вход цепи поступает напряжение вида где

Параметры цепи:

Решение

1.Представим цепь комплексной схемой замещения (рис. 4.56, б). Данная цепь имеет два независимых контура. Ток в первом контуре замыкается через источник, который на схеме не изображен. Направление контурных тиков выбираем одинаковым.

2.Составим матрицы контурных сопротивлений для двух независимых контуров

3.Определим комплексный коэффициент передачи, используя соотношение, приведенное в табл. 4.1.

где сопротивление нагрузки

Подставляя найденные выражения, получаем

т.е.  

где  

4. Рассчитаем для крайних значений частоты  и 

Объяснить полученные результаты можно, рассуждая так: на нулевой частоте (режим постоянного тока) сопротивление емкости бесконечно велико, ток в ней равен нулю, что эквивалентно разрыву этой ветви. При этом цепь становится резистивным делителем напряжения с передаточной функцией = = 0,75. С ростом частоты емкостное сопротивление уменьшается. Если    то и шунтирует сопротивление. При этом

5.Определим выражения для АЧХ, ВЧХ, МЧХ. Представим КГ1Ф (4.55) в алгебраической форме

где вещественная частотная характеристика:

— мнимая частотная характеристика.
Амплитудно-частотную характеристику запишем в виде

6. В среде Mathcad построим частотные характеристики и определим

По ВЧХ на рис. 4.57 определяем, что существенная частота

7. Построим переходную функцию электрической цепи, которая представлена на рис. 4.58.

Переходная функция электрической цепи соответствует апериодическому звену.

8. Построим реакцию электрической цепи на напряжение, изменяющееся но линейному закону (рис. 4.59).