Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Метод симметричных составляющих

Содержание:

Метод симметричных составляющих:

Метод расчета несимметричных режимов трехфазных цепей, относился к частным случаям таких режимов, когда не было взаимной индукции между фазами или она могла быть учтена в эквивалентном сопротивлении на фазу (при отсутствии нейтрального провода не было вращающихся машин с несимметричным ротором, отсутствовали токи в земле с неизбежным индуктивным влиянием на фазные обмотки или провода.

Для расчета несимметричных режимов трехфазных электрических цепей в общем случае применяется метод симметричных составляющих, основанный на представлении любой трехфазной несимметричной системы электрических или магнитных величин (токов, напряжений, магнитных потоков) в виде суммы трех симметричных систем. Эти симметричные системы величин, образующих в совокупности несимметричную систему, носят название симметричных составляющих прямой, обратной и нулевой последовательностей. При этом под последовательностью подразумевается порядок следования во времени максимумов фазных величин.

На рис. 12-22 в виде примера показаны симметричные составляющие токов всех трех последовательностей. Как видно из рисунка, симметричные составляющие обозначаются цифрами 1, 2, 0.
Метод симметричных составляющих

Система прямой последовательности образует симметричную трехлучевую звезду Метод симметричных составляющих

Система обратной последовательности образует трехлучевую звезду Метод симметричных составляющих с порядком следования фаз А, С, В.

Система нулевой последовательности состоит из трех равных векторов: Метод симметричных составляющих

Векторами, показанными на рис. 12-22, могут изображаться как комплексные амплитуды, так и комплексные действующие значения токов трех последовательностей.

Мгновенные (синусоидальные) значения симметричных составляющих мыслятся в виде проекций на мнимую ось комплексных амплитуд, вращающихся с угловой скоростью со в положительную сторону. Следует обратить внимание на то, что направление вращения у всех трех систем векторов одно и то же.

Взаимное расположение и модули векторов прямой, обратной и нулевой последовательностей зависят от характера несимметрии и электрических параметров трехфазной цепи.

На основании рис. 12-22:
Метод симметричных составляющих
Токи в фазах А, В и С определяются как суммы соответствующих симметричных составляющих:

Метод симметричных составляющих

В дальнейшем ради упрощения записи индекс Л при симметричных составляющих фазы A опущен, т. е.

Метод симметричных составляющих

С учетом (1^-9) и (12-11) выражения (12-10) принимают вид:

Метод симметричных составляющих
Эти формулы служат для нахождения фазных токов по их симметричным составляющим.

Если известны фазные токи, то симметричные составляющие служат решением системы уравнений (12-12). Умножив вторую стр.оку на Метод симметричных составляющих и третью строку на сг и сложив уравнения (12-12), получим (с учетом того, чтоМетод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих

Аналогичным образом, умножив вторую строку на а-и третью строку на а и сложив уравнения (12-12), найдем:

Метод симметричных составляющих

Наконец, сложив уравнения (12-12), получим:

Метод симметричных составляющих

Выражения (12-12) — (12-15) являются общими; они применимы также для напряжений, магнитных потоков и других величин.

Поперечная несимметрия

Поперечная несимметрия в одной точке трехфазной цепи возникает в том случае, когда к фазам присоединяются неравные сопротивления, как это, например, показано на рис. 12-23, а. Такое включение может иметь место при несимметричном коротком замыкании или несимметричной нагрузке.

Любые два сопротивления из числа включенных в звезду, а также сопротивление Метод симметричных составляющихмогут быть равны нулю или бесконечности. Таким образом, различные виды несимметрии или короткого замыкания, изображенные, например, на рис. 12-23, б, в иг, получаются как частные случаи из общего случая, представленного на рис. 12-23, а.

Метод симметричных составляющих

В случае короткого замыкания сопротивления в месте замыкания складываются из сопротивлений электрических дуг и заземлений. Эти сопротивления, как показали экспериментальные исследования, являются активными. Поэтому сопротивления для упомянутых выше частных случаев приняты активными, а именно:

1)    при двухфазном замыкании между фазами В и С (рис. 12-23, б)

Метод симметричных составляющих

2)    при двухфазном замыкании на землю (или корпус самолета) (рис. 12-23, в)

Метод симметричных составляющих

3)    при однофазном замыкании на землю (корпус) (рис. 12-23, г)

Метод симметричных составляющих

Поперечная несимметрия в общем случае (рис. 12-23, а) характеризуется уравнениями:
Метод симметричных составляющих
здесь Метод симметричных составляющих — фазные напряжения в месте несим-метрии относительно земли.

Входящие в (12-16) фазные напряжения и токи могут быть с учетом формул (12-12) заменены симметричными составляющими. При этом получаются три уравнения, связывающие симметричные составляющие в месте поперечной несимметрии (так называемые граничные условия).

Дополнительные три уравнения, необходимые для вычисления шести неизвестных (симметричных составляющих напряжений и токов в месте несимметрии), даются соотношениями между напряжениями и токами одноименных последовательностей для фазы А:
Метод симметричных составляющих
здесь Метод симметричных составляющих — результирующие фазные сопротивления всей цепи (без сопротивлений в месте несимметрии) для токов прямой, обратной и нулевой последовательностей; Метод симметричных составляющих — э. д. с. фазы А эквивалентного генератора.

Формулы (12-17) выражают второй закон Кирхгофа для каждой последовательности в отдельности. Поскольку э. д. с. генератора трехфазного тока образует симметричную звезду с прямым чередованием фаз, в уравнениях (12-17) э. д. с. генератора входит только в уравнение для составляющих прямой последовательности; в остальных двух уравнениях, связывающих составляющие напряжений и токов обратной и нулевой последовательностей, э. д. с. генератора отсутствует.

Сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательностей для электрических машин (генераторов, электрических двигателей, трансформаторов) берутся по заводским данным.

Равенство Метод симметричных составляющих имеет место только для статических не вращающихся устройств — трансформаторов, линий и т. п.

Для вращающихся электрических машин обычно Метод симметричных составляющих Разница в сопротивлениях прямой и обратной последовательностей электрических машин обусловлена различными направлениями вращения магнитных полей, образуемых токами прямой и обратной последовательностей: направление вращения магнитного поля, созданного токами прямой последовательности, совпадает с направлением вращения ротора, магнитное же поле, образованное токами обратной последовательности, вращается в противоположную сторону. Более подробно этот вопрос рассматривается в литературе по электрическим машинам и токам короткого замыкания в трехфазных системах.

Сопротивления прямой и нулевой последовательностей трехфазной линии (кабельной или воздушной) находятся расчетным или опытным путем, причем сопротивления прямой и обратной последовательностей для линий одинаковы, а сопротивление нулевой последовательности может в 2—3 раза превышать сопротивление прямой последовательности. Объясняется это различием э. д. с. взаимной индукции, наводимых в фазе токами прямой и нулевой последовательностей, протекающими по двум другим фазам, а также сопротивлением земли или обшивки транспортного средства, по которому проложена сеть.

Методика определения симметричных составляющих токов и напряжений и построения' соответствующих векторных диаграмм иллюстрирована ниже на примере частных случаев поперечной несимметрии.

1. Двухфазное короткое замыкание (рис. 12-23, б). Граничные условия удовлетворяют уравнениям:
Метод симметричных составляющих
Подстановка (12-18) в (12-13) и (12-14) дает:

Метод симметричных составляющих

откудаМетод симметричных составляющих
Подстановка (12-18) в (12-15) дает:Метод симметричных составляющих
Кроме того, на основании (12-19)
Метод симметричных составляющих

илиМетод симметричных составляющих

Уравнения (12-20) и (12-21) вместе с дополнительными первыми двумя уравнениями (12-17) достаточны для нахождения четырех неизвестных: Метод симметричных составляющихВ результате совместного решения этих уравнений получается:
Метод симметричных составляющих
На рис. 12-24 представлены векторные диаграммы токов и напряжений в месте двухфазного короткого замыка-

Метод симметричных составляющих

ния при R = 0 (металлическое короткое замыкание). В этом случае в соответствии с (12-21) Метод симметричных составляющих

Векторные диаграммы построены в предположении, что вектор э. д. с. ЁА направлен вертикально вверх, причем углы комплексных сопротивлений прямой и обратной последовательностей одинаковы (например, 60°). Поэтому Метод симметричных составляющихсовпадает по фазе с Метод симметричных составляющихи ток Метод симметричных составляющихотстает от Метод симметричных составляющихна заданный угол.

Сумма токов Метод симметричных составляющихв месте двухфазного короткого замыкания равна нулю, поэтому Метод симметричных составляющихТоки Метод симметричных составляющихдают в сумме фазный ток Метод симметричных составляющихв месте короткого замыкания, а токиМетод симметричных составляющих дают в сумме фазный ток Метод симметричных составляющих

Токи Метод симметричных составляющих находятся в противофазе.

Поскольку при построении векторных диаграмм сопротивление R в месте короткого замыкания принято равным нулю, фазные напряженияМетод симметричных составляющих в месте повреждения равны друг другу и соответственно линейное напряжение Метод симметричных составляющихравно нулю. По мере удаления от места короткого замыкания в сторону генератора линейное напряжение между фазами В и С возрастает.

Метод симметричных составляющих

2. Однофазное короткое замыкание (см. рис. 12-23, г). Граничные условия удовлетворяют уравнениям:

Метод симметричных составляющих

Замена фазных величин их симметричными составляющими дает:
Метод симметричных составляющих

В результате совместного решения уравнений (12-17) и (12-23) получается:
Метод симметричных составляющих
Векторные диаграммы токов и напряжений при Метод симметричных составляющих= О представлены на рис. 12-25.

Продольная несимметрия

Продольная несимметрия в одной точке трехфазной цепи возникает в том случае, когда в рассечку фаз включаются неравные сопротивления, как это, например, показано на рис. 12-26, а. Любые два сопротивления могут быть при этом равны нулю или бесконечности.

Метод симметричных составляющих

Продольная несимметрия характеризуется в данном случае уравнениями:
Метод симметричных составляющих

здесь Метод симметричных составляющих — напряжения на выводах сопротивлений Метод симметричных составляющих(продольные напряжения).

В результате замены напряжений и токов, входящих в (12-25), симметричными составляющими получаются три уравнения (граничные условия), связывающие симметричные составляющие в месте продольной несимметрии.

В частном случае, изображенном на рис. 12-26, б, Метод симметричных составляющих и соответственноМетод симметричных составляющих

Симметричные составляющие продольных напряжений

Метод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих

Пример 12-3. К трехфазному генератору присоединена линия с асинхронным двигателем на конце (рис. 12-27, а). Нейтральные точки генератора и двигателя заземлены, Произошел обрыв фазы А вблизи выводов генератора. Требуется определить токи в фазах В и С и напряжения в месте обрыва.

Обозначим: Метод симметричных составляющих — комплексные сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательностей генератора; Метод симметричных составляющих — то же для линии;Метод симметричных составляющих — то же для асинхронного двигателя;Метод симметричных составляющих— э. д. с. фазы А генератора.

Для сокращения записи обозначим:

Метод симметричных составляющих

На основании схем замещения для отдельных последовательностей (рис, 12-27, б — а) можно написать основные уравнения (12-17):

Метод симметричных составляющих

Для данного случая добавочные уравнения согласно (12-26) при Метод симметричных составляющихбудут:

Метод симметричных составляющих

Совместное решение этих уравнений дает:

Метод симметричных составляющих

гдеМетод симметричных составляющих

Полные токи и напряжения могут быть легко найдены суммированием отдельных составляющих.

Фильтры симметричных составляющих

Фильтрами симметричных составляющих называются устройства, служащие для выделения соответствующих составляющих напряжений или токов трехфазной цепи. Фильтры имеют входные и выходные выводы. К входным выводам фильтра подводятся напряжения или токи трехфазной электрической цепи; на выходных выводах фильтра получается напряжение или ток, пропорциональные соответствующим симметричным составляющим электрических величин, подводимых к входным выводам.

Напряжения и токи, выделяемые фильтрами симметричных составляющих, используются на практике для цепей автоматики, защиты от несимметричных режимов или сигнализации. С этой целью к выходным выводам фильтров симметричных составляющих присоединяются соответствующие аппараты, приборы, реле и т. п.

Наиболее простой тип фильтра симметричных составляющих представляет собой фильтр токов нулевой последовательности, в котором суммируются токи трех фаз (рис. 12-28, а) или создаваемые ими магнитные потоки (рис. 12-28, б). В первом случае реагирующий прибор включается в нейтральный провод трех

трансформаторов токаМетод симметричных составляющих а во втором случае — Между выводами обмотки; насаженной на магнитопровод, охватывающий три фазы.

Фильтр напряжений нулевой последовательности выполняется с помощью трех однофазных трансформаторов напряжения, первичная обмотка которых соединяется звездой с выведенной нейтральной точкой, а вторичная обмотка соединяется разомкнутым треугольником (рис. 12-28, в).

Благодаря такому соединению составляющие напряжений прямой последовательности взаимно компенсируются: Метод симметричных составляющихТо же имеет место и в отношении напряжений обратной последовательности: Метод симметричных составляющих

Составляющие же напряжений нулевой последовательности образуют на выводах разомкнутого треугольника напряжения Метод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих
Фильтр напряжений нулевой последовательности может быть получен и с помощью трех равных сопротивлений, соединенных звездой и приключенных к трехфазной цепи. При симметричном режиме работы трехфазной цепи напряжение между нейтральной точкой этих сопротивлений и нейтральной точкой цепи равно нулю; при появлении же в трехфазной цепи составляющих напряжений нулевой последовательности между упомянутыми точками возникает напряжение, пропорциональное составляющей нулевой последовательности.

Системы симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей различаются порядком следования во времени амплитуд фазных величин, поэтому всякая схема для выделения составляющих обратной последовательности может быть путем перестановки любых двух фаз превращена в схему для выделения составляющих прямой последовательности. С этой точки зрения является достаточным рассмотреть фильтры только какой-либо одной из указанных последовательностей, например обратной, распространив затем полученные результаты на фильтры симметричных составляющих другой (прямой) последовательности.

Метод симметричных составляющихВторичные токи трансформаторов тока приближенно равны первичным, деленным на отношение чисел витков Метод симметричных составляющихНа рис. 12-28 вторичные токи и напряжения приведены к первичной обмотке.

Принцип выполнения фильтров токов и напряжений обратной последовательности иллюстрирован ниже на примере двух схем: схемы фильтра токов трансформаторного типа (рис. 12-29) и схемы четырехэлементного активно-емкостного фильтра напряжений (рис. 12-30).

В фильтрах обоих типов суммируются напряжения, находящиеся в определенных соотношениях с токами или напряжениями, подводимыми к входным выводам фильтров.

Фильтр токов обратной последовательности, изображенный на рис. 12-29, состоит из активных сопротивлений, между которыми проложен нейтральный провод трансформаторов тока, и промежуточного трансформатора, токовые обмотки которого в фазах В и С связаны индуктивно с третьей обмоткой в выходной цепи; параметры фильтра удовлетворяют условию Метод симметричных составляющих где

Метод симметричных составляющих
Метод симметричных составляющих— угловая частота тока, на которую рассчитан фильтр; М — взаимная индуктивность первичной и вторичной обмоток промежуточного трансформатора.

Благодаря тому, что магнитопровод промежуточного трансформатора имеет воздушный зазор, обеспечивается линейная зависимость э. д. с. взаимной индукции от токов.

Напишем уравнение второго закона Кирхгофа по выходному контуру:

Метод симметричных составляющих

С учетом первого закона Кирхгофа

Метод симметричных составляющих

и соотношений между симметричными составляющими

Метод симметричных составляющих

получим окончательно:

Метод симметричных составляющих

т. е. выходное напряжение пропорционально току обратной последовательности.

Влияние токов нулевой последовательности отсутствует в рас-сматриваемом фильтре благодаря взаимной компенсации падений напряжения оттоковМетод симметричных составляющихв сопротивлениях Метод симметричных составляющихДругой возможный способ устранения влияния токов нулевой последовательности заключается в том, что к фильтру токов обратной последовательности вместо фазных токов Метод симметричных составляющихподводятся разности фазных токов Метод симметричных составляющих в которых составляющие нулевой последовательности отсутствуют.

Аналогичным образом для устранения влияния напряжений нулевой последовательности фильтры напряжений обратной последовательности включаются обычно на линейные напряжения Метод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих

На рис. 12-30 показан четырехэлементный фильтр напряжений обратной последовательности, применяемый в релейной защите. Параметры элементов фильтра подбираются из условия

Метод симметричных составляющих

При холостом режиме работы фильтра, т. е. при разомкнутых вторичных выводах, напряжение на этих выводах равно сумме

Метод симметричных составляющих

Если Метод симметричных составляющихвыразить через симметричные составляющие линейных напряжений, то напряжение на выходных выводах фильтра будет равно:

Метод симметричных составляющих

т. е. пропорционально составляющей обратной последовательности. Если на выходе фильтра присоединена нагрузка (реагирующий прибор), то ток или напряжение в выходной цепи могут быть получены на основании теоремы об эквивалентном источнике.

Пример 12-4. К выходным выводам фильтра токов обратной последовательности, показанного на рис, 12-29, подключена нагрузка

Метод симметричных составляющих

Определить ток в нагрузке при подведений к входным выводам фильтра системы несимметричных токов.

Будем исходить из предположения, что к выходным выводам фильтра подключены источники токов Метод симметричных составляющихтак как эти токи ие зависят от сопротивлений нагрузки.

Согласно (12-27) напряжение на разомкнутых выходных выводах фильтра равно Метод симметричных составляющих

По теореме об эквивалентном источнике ток в нагрузке равен:

Метод симметричных составляющих

гдеМетод симметричных составляющих— сопротивление фильтра, измеренное со стороны его выходных выводов при разомкнутых входных выводах, так как внутренние сопротивления источников тока равны бесконечности.

Обозначив черезМетод симметричных составляющих сопротивление вторичной обмотки промежуточного трансформатора, включенной в выходную цепь, получим:

Метод симметричных составляющих

Таким образом, при заданном значении Метод симметричных составляющих пропорциональность тока Метод симметричных составляющих току Метод симметричных составляющихсохраняется.

Пример 12-5. К выходным выводам фильтра напряжений обратной последовательности, показанного на рис. 12-30, подключена нагрузка Метод симметричных составляющих Параметры элементов фильтра, удовлетворяющие соотношению (12-28), выбраны следующим образом:
Метод симметричных составляющих
Определить напряжение на нагрузке при подведении к входным выводам фильтра несимметричных напряжений.

Будем исходить из предположения, что к входным выводам фильтра подключены источники э. д. с. Метод симметричных составляющих Согласно"(12-29)напряжение на разомкнутых выходных выводах фильтра равно:

Метод симметричных составляющих
По теореме об эквивалентном источнике напряжение на нагрузке равно:
Метод симметричных составляющих
где Метод симметричных составляющих — сопротивление фильтра, измеренное со стороны его выходных выводов при закороченных входных выводах, так как внутренние сопротивления источников э. д. с. равны нулю.

Следовательно, в соответствии с заданием

Метод симметричных составляющих
отсюда
Метод симметричных составляющих
При любом заданном значенииМетод симметричных составляющих сохраняется пропорциональность между Метод симметричных составляющих