Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Четырехполюсники

Содержание:

Основы теории четырехполюсников и фильтров:

Электрическая цепь, имеющая два входных и два выходных зажима, называется четырехполюсником. Теория четырехполюсников в общем виде рассматривает основную проблему электротехники: передачу энергии от источника к приемнику через промежуточное звено — четырехполюсник.

Активные четырехполюсники содержат внутри себя также источники электрической энергии. Далее сначала рассматриваются пассивные четырехполюсники, не содержащие внутри себя источников энергии. Примером их могут служить линия передачи (рис. 9.1, а), трансформатор (рис. 9.1, б), мостовая схема (рис. 9.1, в), а также Т-образная (рис. 9.1, г) и П-образная (рис. 9.1, д) схемы, к зажимам I', I" которых подключается источник, а к зажимам 2', 2" — приемник электрической энергии.

Четырехполюсники

На рис. 9.2, а изображена в общем виде схема четырехполюсника. Здесь Четырехполюсники

Четырехполюсники

Для вывода уравнений, связывающих входные и выходные напряжения и токи, удобно заменить приемник Z2 с напряжением Четырехполюсники эквивалентным источником напряжения без внутреннего сопротивления (рис. 9.2, б). Согласно, э. д. с. последнего должна быть равна Четырехполюсники Тогда можно применить метод наложения. Считая сначала существующим только источник Четырехполюсники и замыкая накоротко зажимы источника — Четырехполюсники (рис. 9.2, в), находят токи Четырехполюсникикоторые, очевидно, будут пропорциональны напряжению Четырехполюсники

Четырехполюсники

Аналогично, при наличии источника Четырехполюсники, и коротком замыкании Четырехполюсники (рис. 9.2, г)

Четырехполюсники

Здесь Четырехполюсники— комплексные коэффициенты пропорциональности, имеющие размерность проводимости; Y11 и Y12 называются входными, а Y12 и Y21 — взаимными проводимостями. Проводимости Y12 и Y21 определяют токи в короткозамкнутом выходном или входном контуре при заданном напряжении в другом контуре. При одинаковом напряжении U токи Yl2U и Y21U по принципу взаимности были бы равны между собой. Следовательно, взаимные проводимости

Четырехполюсники

Действительные токи на входе и выходе четырехполюсника

Четырехполюсники

Совместное решение этих уравнений дает

Четырехполюсники

После введения обозначений

Четырехполюсники (9.1)

получаются уравнения четырехполюсника:

Четырехполюсники

где комплексы А, В, С, D называются параметрами четырехполюсника. Между ними существует следующая связь:

Четырехполюсники

Следовательно, из четырех параметров независимыми являются три.

Если входные и выходные зажимы поменять местами (рис. 9.2, д), т. е. осуществить обратное питание (индекс «о»), уравнения, очевидно, получатся аналогичными:

Четырехполюсники

а параметры А', В', С', D' определятся из выражений (9.1), если индекс I заменить индексом 2 и наоборот:

Четырехполюсники

Следовательно, уравнения четырехполюсника, питаемого со стороны выхода, получают вид:

Четырехполюсники

Отсюда следует, что в симметричном четырехполюснике, который со стороны выходных зажимов представляет ту же цепь, что и со стороны входных, А = D и А2 — ВС = 1.

С помощью уравнений четырехполюсника можно определить нагрузочный режим, т. е. найти Четырехполюсники, для заданных Четырехполюсники. Очевидно, уравнения четырехполюсника могут быть использованы также для определения двух любых величин из указанных, если заданы две другие.

Холостой ход и короткое замыкание четырехполюсника

При холостом ходе ток на выходе Четырехполюсники = 0 и уравнения четырехполюсника дают

Четырехполюсники

При коротком замыкании напряжение на выходе Четырехполюсники = 0 и из уравнении четырехполюсника вытекает, что

Четырехполюсники

Отсюда видно, что параметр А представляет собой отношение входного и выходного комплексных напряжений при холостом ходе четырехполюсника, a D — отношение входного и выходного комплексных токов при коротком замыкании.

Если при холостом ходе напряжение на выходе будет равно напряжению Четырехполюсники при нагрузке, а при коротком замыкании ток на выходе — току Четырехполюсники при нагрузке, уравнения четырехполюсника получают вид:

Четырехполюсники

Следовательно, напряжение Четырехполюсники и ток I1 при любом заданном режиме Четырехполюсники работы приемника могут быть определены путем наложения соответствующих режимов холостого хода и короткого замыкания.

Чтобы осуществить это наложение, надо знать, как расположить друг относительно друга векторные диаграммы холостого хода Четырехполюсники и короткого замыкания Четырехполюсники. Для этой цели нужно измерить сдвиг фаз σ между векторами Четырехполюсники при опыте холостого хода и сдвиг фаз Четырехполюсники между векторами Четырехполюсники при опыте короткого замыкания.

После этого построение ведется в следующем порядке (рис. 9.3): строится заданная диаграмма Четырехполюсники затем под углом σ к вектору Четырехполюсникит. е. отличаются от основных уравнений четырехполюсника тем, что параметры А и D поменялись местами, строится вектор Четырехполюсники, а под углом Четырехполюсники к нему — вектор Четырехполюсники под углом β к вектору I2 строится вектор Четырехполюсники а под углом Четырехполюсники к нему — вектор Четырехполюсники После этого строятся векторы напряжения Четырехполюсники и тока Четырехполюсники на входе как суммы напряжений и токов при холостом ходе и коротком замыкании.

Так как в симметричном четырехполюснике А = D, то

Четырехполюсники

т. е. угол сдвига фаз между векторами Четырехполюсники равен заданному углу Четырехполюсники сдвига фаз в нагрузке, что сразу определяет взаимное расположение векторных диаграмм холостого хода и короткого замыкания без добавочных измерений.

Указанное применение принципа наложения имеет большое значение при испытании мощных электротехнических устройств, описываемых линейными уравнениями, так как позволяет заменить опыт нагрузки, требующий источников большой мощности, опытами холостого хода и короткого замыкания при значительно меньшей мощности.

Определение параметров четырехполюсника

Если известны конкретная схема и сопротивления (проводимости) ветвей четырехполюсника, то его параметры могут быть определены расчетным путем по входным и взаимным проводимостям. Можно также исходить непосредственно из зависимостей, устанавливаемых законами Кирхгофа.

Четырехполюсники

Далее в качестве примера рассмотрены простейшие схемы четырехполюсников. Так как из четырех параметров четырехполюсника независимыми являются три, простейшие схемы должны содержать три ветви, т. е. представлять собой соединение звездой (Т-образная схема, рис. 9.1, г) или треугольником (П-образная схема, рис. 9.1, д).

Для Т-образной схемы при режиме холостого хода (рис. 9.4, а) очевидны следующие соотношения:

Четырехполюсники

при коротком замыкании (рис. 9.4, б)

Четырехполюсники

Отсюда параметры этого четырехполюсника

Четырехполюсники

Параметры П-образной схемы могут быть определены аналогичным расчетом (рис. 9.1, д). При холостом ходе

Четырехполюсники

при коротком замыкании

Четырехполюсники

Отсюда параметры П-схемы

Четырехполюсники

Подобно тому, как при расчете цепей любой двухполюсник удобно заменить простейшим эквивалентным двухполюсником — последовательной или параллельной схемой, можно любой сложный четырехполюсник заменить простейшим эквивалентным ему, т. е. Т- или П-схемой. Решая уравнения (9.2) и (9.3), можно найти параметры этих эквивалентных схем, выразив их через параметры четырехполюсника.

Для Т-схемы

Четырехполюсники

Для П-схемы

Четырехполюсники

Из этих выражений видно, что схемы, эквивалентные симметричным четырехполюсникам, сами тоже симметричны, так как, если А = D, тоЧетырехполюсники

Если конкретная схема и параметры ветвей четырехполюсника неизвестны, его параметры могут быть определены из опытов холостого хода и короткого замыкания при питании и измерениях со стороны входа и со стороны выхода. Эти измерения позволяют определить комплексы сопротивлений короткого замыкания Четырехполюсники и холостого хода Четырехполюсники при питании схемы со стороны входных зажимов Четырехполюсники— при питании схемы со стороны выходных зажимов 2' —2":

Четырехполюсники

Как видно из этих выражений, полные сопротивления при коротком замыкании и холостом ходе связаны между собой соотношением:

Четырехполюсники

поэтому из четырех вышеупомянутых опытов необходимы лишь три, а четвертый может служить для контроля.

Параметры четырехполюсника находят по формулам, вытекающим из (9.4):

Четырехполюсники

Повторное сопротивление и коэффициент распространения симметричного четырехполюсника

В технике электросвязи часто применяются симметричные четырехполюсники и такое согласование их с сопротивлением нагрузки Z, при котором сопротивление между входными зажимами также равно Z, т. е.

Четырехполюсники

Сопротивление Z получило название повторного. Уравнения симметричного четырехполюсника после подстановки Четырехполюсники примут вид:

Четырехполюсники

Деление первого уравнения на второе дает:

откуда Четырехполюсники

и уравнения четырехполюсника, нагруженного повторным сопротивлением, будут иметь вид:

Четырехполюсники

Как видно из этих уравнений, равные между собой отношения напряжений Четырехполюсникии токов на входе и выходе являются комплексным числом. Последнее может быть представлено в показательной форме:

Четырехполюсники

Следовательно, у симметричного четырехполюсника, нагруженного повторным сопротивлением, выходные напряжение и ток меньше входных в Четырехполюсники раз, а их фазы — на угол β. Поэтому α называется коэффициентом затухания, β — коэффициентом фазы, Четырехполюсники — коэффициентом распространения. Коэффициент β измеряется в радианах, α—в неперах; одному неперу соответствует затухание в е = 2,718... раз.

Так как

Четырехполюсники

уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке могут быть переписаны в другой форме:

Четырехполюсники

Передаточные функции и обратные связи четырехполюсников

Как видно из предыдущего, четырехполюсник можно рассматривать как преобразователь входных величин Четырехполюсники или Четырехполюсники в выходные Четырехполюсникиили Четырехполюсники. Тогда его можно характеризовать передаточной функцией К, равной отношению выходной величины к входной. Например,

Четырехполюсники

Очевидно, что первая передаточная функция безразмерна, вторая имеет размерность сопротивления, третья — проводимости.

В ряде электротехнических и автоматических устройств необходимо, чтобы передаточная функция зависела от режима цепи на выходе. Для этого схема усложняется обратной связью — дополнительным четырехполюсником, питаемым выходной величиной основного четырехполюсника, например напряжением Четырехполюсники а выходная величина дополнительного четырехполюсника, например напряжение Четырехполюсники включается последовательно с источником первичного напряжения Четырехполюсники (рис. 9.5).

Четырехполюсники

Пусть передаточная функция четырехполюсника обратной связи равна Четырехполюсники. Тогда входное напряжение основного четырехполюсника, передаточная функция которого Четырехполюсники

окуда передаточная функция всей системы

Четырехполюсники

Из этого выражения видно, что передаточную функцию К' системы можно изменять, регулируя передаточную функцию Ко устройства обратной связи.

Цепные схемы и электрические фильтры

Цепные схемы состоят из каскадно включенных четырехполюсников, называемых звеньями (рис. 9.6).

Четырехполюсники

При этом выходные зажимы каждого предыдущего звена соединяются с входными последующего. Если все n четырехполюсника одинаковы и симметричны, а последний нагружен своим повторным сопротивлением Z, то оно будет также входным сопротивлением последнего звена, нагрузкой предпоследнего звена, его входным сопротивлением и т. д. Величина Четырехполюсники — коэффициент распространения одного звена схемы), на которую надо умножать выходные величины каждого звена, чтобы получить входные, также одинакова для всех звеньев. В результате Z является повторным сопротивлением всей цепной схемы, а ее коэффициент распространения

Четырехполюсники

Тогда уравнения n-звенной цепной схемы будут:

Четырехполюсники

В различных электротехнических устройствах между источником энергии и приемником включают электрические фильтры в виде четырехполюсников или цепных схем, чтобы пропустить к приемнику только токи заданного диапазона частоты.

Фильтры различаются по диапазону пропускаемых частот: низкочастотные — от 0 до заданного значения ω, высокочастотные — от ω до Четырехполюсники, полосные — от ω1 до <ω2, заграждающие — от 0 до <ω1 и от <ω2 до Четырехполюсники, причем ω1 < ω2, т. е. они не пропускают частоты от ω1 до ω2.

Идеальным был бы фильтр, нагруженный сопротивлением, npи всех частотах равным повторному. Кроме того, коэффициент затухания а в области пропускания должен быть равен нулю, а вне этой области — бесконечности. При этом в области пропускания

ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники

т. е. напряжение, ток и сдвиг фаз между ними и, следовательно, средняя мощность Р1 на входе и Р2 на выходе равны; вне области пропускания npи Четырехполюсникинапряжение U2=0 и ток I2 = 0. Так как в области пропускания Р1 = Р2 потери в идеальном фильтре должны отсутствовать, т. е. он должен состоять из чисто реактивных элементов.

Четырехполюсники

Далее даны примеры простейших фильтров. На рис. 9.7, а показан низкочастотный фильтр, Так как для этого Т-образного симметричного четырехполюсника Z1 = Z2 = Четырехполюсники его параметры (в отличие от емкости параметр С дается со звездочкой):

Четырехполюсники

но в данном случае А — вещественное число, следовательно,

Четырехполюсники (9.5)

Так как в области пропускания а = 0, ch а= 1, то А = cosβ может изменяться в пределах ±1 и границы области пропускания определяются из неравенства

Четырехполюсники

Следовательно, фильтр будет пропускать без затухания частоты от

Четырехполюсники

Повторное сопротивление фильтра

Четырехполюсники

уменьшается с ростом частоты, начиная со значения Четырехполюсники-при ω=0 до нуля в конце области пропускания при ω = Четырехполюсники, оставаясь при этом вещественным, т. е. активным сопротивлением. Поэтому при нагрузке повторным сопротивлением входное сопротивление фильтра, равное повторному, будет также чисто активным, т. е. для всех частот области пропускания фильтр работает в режиме резонанса. При большей частоте Z становится мнимым и носит индуктивный характер (рис. 9.7, б).

Если бы нагрузка Z2 на выходе фильтра в области пропускания мела бы ту же частотную характеристику, т. е. при всех частотах I2= Z, то фильтр в области пропускания был бы идеальным. Однако такое согласование, очевидно, невозможно, и фильтр работает с а = 0 только при ограниченном числе частот.

Вне области пропускания коэффициент затухания а может быть oпределен из уравнения (9.5); этот коэффициент от 0 при Четырехполюсникинарастает постепенно, т. е. в области затухания фильтр не является идеальным.

Четырехполюсники

Вторым примером может служить П-образный четырехполюсник, изображенный на рис. 9.8, у которого Четырехполюсники Его параметр

Четырехполюсники

тот же, что и у рассмотренного Т-образного четырехполюсника, следовательно, он также является низкочастотным фильтром.

Простейший высокочастотный фильтр показан на рис. 9.9. Так как у этого Т-образного симметричного четырехполюсника

Четырехполюсники

его параметры

Четырехполюсники

Так же, как и в первом примере, А — вещественное число, поэтому в области пропускания А = cos β изменяется в пределах

Четырехполюсники

Нижний предел соответствует Четырехполюсники, верхний Четырехполюсники т. е. этот фильтр будет пропускать без затухания частоты от Четырехполюсники до Четырехполюсники при нагрузке повторным сопротивлением.

Вне области пропускания коэффициент затухания а может быт.1 определен из уравнения

Четырехполюсники

При Четырехполюсники коэффициент затухания а = 0, а с уменьшением частоты становится отрицательным, возрастая по абсолютной величине, т. е. и этот фильтр в области затухания не является идеальным.

Повторное сопротивление этого фильтра

Четырехполюсники

равно нулю при Четырехполюсники и увеличивается до Четырехполюсникипри Четырехполюсникиоставаясь вещественным, т. е. активным сопротивлением. Тогда фильтр при нагрузке повторным сопротивлением работал бы в режиме резонанса. Однако такая частотная характеристика нагрузки, т. е. Z2 =Z, при всех частотах невозможна, поэтому фильтр будет работать с β=0 только при ограниченном числе частот.

Полосный фильтр можно получить путем последовательного соединения низкочастотного фильтра, пропускающего частоты до ω2, и высокочастотного, пропускающего частоты выше ω1 причем ω12. Такой фильтр будет пропускать полосу частот от ω1 до ω2, работая в ней при Z2 = Z в режиме резонанса.

Обычно в фильтрах всех типов вместо одного звена применяют цепную схему. Приведенный расчет области пропускания не изменится, так как для цепной схемы а = nа1 и при а1= 0 коэффициент а=0. Чем больше число звеньев, тем больше и число частот, при которых Z2 = Z, что вместе с увеличением a в n раз вне области пропускания приблизит фильтр к идеальному. Усложнение схемы звена также может улучшить качество фильтра.

Кроме фильтров, рассчитанных на диапазоны пропускаемых частот, применяются фильтры, пропускающие или задерживающие определенные частоты.

Активные четырехполюсники

Активными называются четырехполюсники, содержащие источники энергии. Примерами их могут служить усилитель и линия передачи, в разных точках которой включены дополнительные источники энергии.

Активный четырехполюсник условно изображается в виде прямоугольника с буквой А (рис. 9.10, й). Для вывода уравнений активного четырехполюсника удобно заменить приемник Z2 источником напряжения.

Четырехполюсники

И применить метод наложения в два этапа. Сначала принимаются в расчет только внешние источники Четырехполюсники, источники же э. д. с. внутри четырехполюсника считаются замкнутыми, а источники тока разомкнутыми, причем от всех источников остаются только внутренне сопротивления. Тогда активный четырехполюсник превратится в пассивный, изображенный на рис, 9.2, б, который, в свою очередь, эквивалентен пассивному четырехполюснику рис. 9.2, а. Поэтому для первого этапа наложения

Четырехполюсники (9.6)

где А, В, С, D — параметры пассивного четырехполюсника.

Четырехполюсники

Во втором этапе принимаются в расчет все внутренние источники, а источники Четырехполюсники замыкаются накоротко (рис. 9.10,6). Пусть токи во внешних ветвях при этом будут Четырехполюсники Тогда токи входа и выхода активного четырехполюсника оказываются равными

Четырехполюсники

После подстановки найденных отсюда значений Четырехполюсники в (9.6) получаются уравнения активного четырехполюсника:

Четырехполюсники

Из этих уравнений видно, что активный четырехполюсник рис. 9.10, а эквивалентен пассивному, к входным и выходным зажимам которого подключены ветви с источниками токаЧетырехполюсники. (рис. 9.10, в), заменяющими все внутренние источники четырехполюсника. Токи Четырехполюсники эквивалентных источников тока определяются в каждом частном случае расчетом.

Таким образом, расчет цепей с активными четырехполюсниками сводится к расчету цепей с пассивными четырехполюсниками.

Четырехполюсники при переменных токах и напряжениях

Нередко возникает задача исследовать изменение режима одной ветви сложной электрической цепи при изменении электрических характеристик в другой ветви.

Решение такой задачи облегчается с помощью приятия о четырехполюснике, так как в анализе рассматриваются только две ветви, а режим остальной части цени может оставаться неизвестным.

Такой метод применяется при исследовании линий электропередачи, трансформаторов, электрических машин, усилителей и др.

Уравнения четырехполюсника

Каждая из двух любых ветвей электрической цепи, которые предполагается рассмотреть во взаимосвязи, присоединены к остальной части цепи двумя зажимами или, как еще говорят, в двух полюсах (рис. 18.1, а).
 

Часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов, одна из которых является входной, а другая — выходной, называется четырехполюсником.

Внутреннее содержание и схемы четырехполюсников могут быть разнообразны. Задача состоит в том, чтобы написать общие выражения, пригодные для любого четырехполюсника.

Постановка задачи

Четырехполюсник, имеющий в своих ветвях источники электрической энергии, называется активным, а четырехполюсник, не имеющий в своих ветвях источников энергии, — пассивным.

Режим работы четырехполюсника относительно двух ветвей, которые присоединяются к его зажимам, вполне определен, если известны напряжения и токи на входе и выходе: u1, u2, i1, i2.
Четырехполюсники
Рис. 18.1. К вопросу о четырехполюснике

Задача ставится так: из четырех величин, определяющих режим четырехполюсника, две величины заданы; их можно рассматривать как заданные воздействия на цепь. Необходимо найти две другие величины которые являются откликами на эти воздействия.

На практике чаще приходится рассматривать схемы, в которых одна из ветвей, присоединенных к четырехполюснику, содержит источник энергии, а другая — приемник.

Зажимы, к которым присоединяется ветвь с источником, будем считать входными, а зажимы, к которым присоединяется приемник, — выходными.
Входными зажимами может быть любая пара зажимов — первичная 1—1 или вторичная 2—2 (рис. 18.1, б).

Основные уравнения четырехполюсника

Обозначим комплексы напряжения и тока со стороны первичных зажимов ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники со стороны вторичных зажимов — ЧетырехполюсникиЧетырехполюсникиЧетырехполюсникиЧетырехполюсники
В режиме четырехполюсника ничего не изменится, если вместо приемника Четырехполюсники ко вторичным зажимам присоединить источник, э. д. с. которого Четырехполюсники(рис. 18.1, в).

После такой замены можно применить метод наложения для нахождения зависимости между входными и выходными напряжениями и токами.
При коротком замыкании зажимов 2—2 (источник Е2 исключен) частные токи в схеме вызывает э.д. с. Е1. Величины их пропорциональны напряжению U1:

ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники
При наличии источника Е2 и коротком замыкании зажимов 1—1 величины токов пропорциональны U2:

Четырехполюсники Четырехполюсники
Коэффициенты пропорциональности имеют размерность проводимости: Четырехполюсники Четырехполюсники — входные проводимости; Четырехполюсники Четырехполюсники — взаимные проводимости.
В соответствии с принципом взаимности взаимные проводимости равны между собой: Четырехполюсники
Применяя принцип наложения токов, находим:
Четырехполюсники  Четырехполюсники
или

Четырехполюсники

Из этих уравнений можно получить другие уравнения, у которых заданными можно считать напряжение и ток на выходе четырехполюсника, а искомыми — напряжение и ток на входе. Для этого систему (18.1) надо решить относительно ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники:
Четырехполюсники
В этих уравнениях комплексы Четырехполюсники Четырехполюсники ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники называются коэффициентами или параметрами четырехполюсника:
Четырехполюсники
Уравнения в форме (18.2) удобно применять в тех случаях, когда четырехполюсник выполняет роль передаточного звена между источником и приемником энергии.

Свойства четырехполюсников

Между коэффициентами четырехполюсника имеется такая связь:
Четырехполюсники
Это нетрудно доказать, если в формулу (18.4) подставить выражения (18.3).
Если поменять местами входные и выходные зажимы (рис. 18.1, г), то уравнения вида (18.1) можно записать, поменяв индексы при всех величинах:
Четырехполюсники
Решение этих уравнений относительно Четырехполюсники и Четырехполюсники дает
Четырехполюсники
Сопоставление (18.5) и (18.2) показывает, что при перемене местами входных и выходных зажимов в уравнениях четырехполюсника меняются местами коэффициенты Четырехполюсники и Четырехполюсники.
Отсюда следует, что при равенстве коэффициентов Четырехполюсники и Четырехполюсники четырехполюсник имеет одинаковую цепь со стороны той и другой пары зажимов. Такой четырехполюсник называется симметричным.

Задача 18.1.

Определить коэффициенты Четырехполюсники Четырехполюсники ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники четырехполюсника, схема которого показана на рис. 18.2, а. Параметры схемы: R1 = 20 Ом; Х1L = 30 Ом; R2 = 5 Ом; Х2L = 15 Ом.
Четырехполюсники
Рис. 18.2. К задаче 18.1

Решение. Для решения задачи воспользуемся методом наложения для определения входных и взаимных проводимостей со стороны первичных зажимов при коротком замыкании на выходе и со стороны вторичных зажимов при коротком замыкании на входе (рис. 18.2, в):
Четырехполюсники
Четырехполюсники

так как Четырехполюсники что видно из схемы рис. 18.2, б;

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники
По формулам (18.3) определить другие коэффициенты четырехполюсника.

Режимы четырехполюсника

Для практики наибольший интерес представляет нагрузочный режим четырехполюсника. Однако раньше рассмотрим режимы холостого хода й короткого замыкания на выходе четырехполюсника, которые используются, в частности, для определения его параметров.

Холостой ход и короткое замыкание

В режиме холостого хода на выходе четырехполюсника (рис. 18.4, а) Четырехполюсники Четырехполюсники При коротком замыкании вторичных зажимов (рис. 18.4, б) Четырехполюсники Четырехполюсники
Четырехполюсники
Рис. 18.4. К вопросу о режимах четырехполюсника

Из уравнений (18.2) следует

Четырехполюсники
Из этих выражений предоставляется возможным выразить параметры четырехполюсника:
Четырехполюсники
Если провести опыты холостого хода и короткого замыкания, измерить напряжения и токи (модули и фазы) на входе и выходе четырехполюсника, то параметры его легко определить по формулам (18.7).
Из опыта холостого хода можно также найти входное сопротивление при разомкнутых вторичных зажимах [см. (18.6)]:
Четырехполюсники
Из опыта короткого замыкания [см. (18.6)] находят входное сопротивление при замкнутых накоротко вторичных зажимах:
Четырехполюсники
Если известны внутренняя схема и сопротивления всех ветвей пассивного четырехполюсника, то параметры его можно найти расчетом, применяя известные методы преобразования схем. Сначала определяют входные сопротивления Четырехполюсники и Четырехполюсники и дополнительно — входное сопротивление со стороны вторичных зажимов при разомкнутых первичных зажимах Четырехполюсники Из уравнений (18.5)
Четырехполюсники
Совместным решением четырех уравнений (18.4), (18.8), (18.9), (18.10) определяют коэффициенты четырехполюсника.
В качестве контрольного можно использовать уравнение, полученное на основе режима короткого замыкания на первичной стороне.
Входное сопротивление со стороны вторичных зажимов при коротком замыкании на первичной стороне из (18.5) при Четырехполюсники

Четырехполюсники

Режим при нагрузке

Напряжение и ток на входе четырехполюсника (18.2) состоят из двух слагаемых.
Учитывая выражения (18.7), основные уравнения четырехполюсника можно записать так:
Четырехполюсники
Из уравнений видно, что напряжение и ток на входе четырехполюсника в режиме при нагрузке определяют наложением соответствующих величин, известных по режимам холостого хода и короткого замыкания.
Рабочий режим четырехполюсника в некоторых случаях характеризуется входным сопротивлением со стороны первичных зажимов Четырехполюсники и со стороны вторичных зажимов Четырехполюсники
Разделим первое уравнение (18.2) на второе:
Четырехполюсники
Но Четырехполюсники поэтому
Четырехполюсники
где Четырехполюсники — сопротивление нагрузки на вторичной стороне.
Входное сопротивление со стороны вторичных зажимов найдем из уравнений (18.5):
Четырехполюсники
Учитывая, что Четырехполюсники где Четырехполюсники — сопротивление нагрузки на первичной стороне, найдем
Четырехполюсники
 

Задача 18.3.

Определить коэффициенты Четырехполюсники Четырехполюсники ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники четырехполюсника, схема которого показана на рис. 18.2, а. Параметры схемы - по условию задачи 18.1: R1 = 20 Ом; Х1 = 30 Ом; R = 5 Ом; Х2 = 15 Ом.
Решение. В данном случае определим коэффициенты четырехполюсника на основе опытов холостого хода и короткого замыкания. Совместное решение уравнений (18.4), (18.8), (18.9), (18.10) дает:
Четырехполюсники
Четырехполюсники
Четырехполюсники
Четырехполюсники
Четырехполюсники
Вычислить другие коэффициенты четырехполюсника.

Схемы замещения пассивного четырехполюсника

Пассивный четырехполюсник, у которого сопротивления элементов схемы постоянны, можно привести к одной из эквивалентных схем замещения с тремя ветвями, соединенными звездой или треугольником.

Т-образная схема замещения

Три ветви пассивного четырехполюсника, соединенные звездой, образуют Т-образную схему замещения (рис. 18.5, а). Для этой схемы ток на входе
Четырехполюсники
Четырехполюсники
Напряжение" на входе

Четырехполюсники

Подставляя I1 из (18.14), получим
Четырехполюсники
или
Четырехполюсники
Четырехполюсники
Рис. 18.5. Эквивалентные схемы четырехполюсников

Сопоставляя полученные уравнения входных величин тока (18.14) и напряжения (18.15) с уравнениями четырехполюсника (18.2), найдем выражения коэффициентов Т-образной схемы замещения пассивного четырехполюсника:
Четырехполюсники

П-образная схема замещения

В схеме рис. 18.5, а звезду сопротивлений ЧетырехполюсникиЧетырехполюсникиЧетырехполюсники можно заменить эквивалентным треугольником сопротивлений
ЧетырехполюсникиЧетырехполюсникиЧетырехполюсники
После такой замены получим эквивалентную П-образную схему замещения пассивного четырехполюсника (рис. 18.5, б).

Выразим входные величины этой схемы:

Четырехполюсники
или
Четырехполюсники
Четырехполюсники
Четырехполюсники
или
Четырехполюсники
Сопоставляя полученные уравнения напряжения (18.17) и тока (18.18) с основными уравнениями четырехполюсника (18.2), найдем выражения коэффициентов для П-образной схемы замещения пассивного четырехполюсника:
Четырехполюсники

Приведение любой схемы четырехполюсника к одной из эквивалентных схем

Параметры схем замещения и постоянные пассивного четырехполюсника связаны формулами (18.16) и (18.19). Из них нетрудно выразить сопротивления Т- и П-образных схем.
Параметры:
Т-образной схемы из (18.16)
Четырехполюсники
П-образной схемы из (18.19)
Четырехполюсники

Отсюда следует путь приведения любой заданной схемы пассивного четырехполюсника к одной из эквивалентных схем:

  1. Определить расчетом или на основе опыта коэффициенты Четырехполюсники Четырехполюсники ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники заданного четырехполюсника.
  2. По формулам (18.20) или (18.21) найти параметры эквивалентной схемы замещения.

Далее эквивалентную схему можно использовать для анализа заданного четырехполюсника наравне с исходной схемой.

Основы теории линейных четырёхполюсников

Системы собственных параметров четырёхполюсников

Среди многополюсников (см. лекцию 1) особое место в теории цепей принадлежит четырёхполюсникам. К ним относятся: трансформаторы, усилители, электрические фильтры, линии связи, амплитудные и фазовые корректоры и другие устройства. Все они, несмотря на принципиальные схемные различия и специальное назначение, обладают рядом существенных общих свойств.

Обычно схема четырёхполюсника и параметры составляющих его элементов известны. Однако теория четырёхполюсников позволяет проанализировать свойства той или иной цепи и получить схему её замещения даже в случае, когда внутренняя структура исследуемого устройства неизвестна, т. е. когда четырёхполюсник представляет собой так называемый "чёрный ящик". Кроме того, методы теории четырёхполюсников применяются в задачах их синтеза.

Определение и классификация четырёхполюсников

Определение:

Четырёхполюсником (рис. 20.1) называется электрическая цепь произвольной сложности, которая может быть соединена с внешними по отношению к ней цепями через две пары зажимов (полюсовЧетырехполюсники).

ЧетырехполюсникиНе путать с полюсами передаточной функции.

Четырёхполюсник используется для передачи электрических колебаний (сигналов) от источника колебаний к нагрузке (приёмнику), в связи с чем в четырёхполюснике выделяют вход и выход. Соответственно зажимы (полюсы),  к которым подключается источник колебаний, называются входными, а зажимы, к которым подключается нагрузка, называются выходнымиЧетырехполюсники.

Четырехполюсники

Четырёхполюсник включается между источником колебаний и нагрузкой строго определённым образом, как показано на рис. 20.1, а именно: через каждую пару его зажимов Четырехполюсники должны проходить попарно равные и противоположно направленные токи Четырехполюсники Такая система отсчётов называется симметричной и, как будет ясно из дальнейшего, наиболее удобна для большинства форм уравнений передачи четырёхполюсника.

Четырёхполюсники подразделяют на следующие классы (рис. 20.2):

  • линейные и нелинейные; линейные четырёхполюсники не содержат нелинейных элементов, напряжения и токи на выходе линейного четырёхполюсника линейно зависят от напряжений и токов на его входе; линейные четырёхполюсники описываются линейными операторами, а нелинейные — нелинейными операторами;
  • по наличию источников электроэнергии: пассивные, которые не содержат источников электроэнергии, и активные, содержащие источники; в свою очередь, среди активных четырёхполюсников выделяют неавтономные, содержащие только зависимые источники (например, усилители), и автономные, которые содержат независимые (т. е. неуправляемые) источники;
  • по характеру элементов, входящих в состав четырёхполюсника: с сосредоточенными элементами (активного сопротивления, индуктивности, ёмкости) и распределёнными элементами, или параметрами (например, длинные линии);


Четырехполюсники В литературе такие четырёхполюсники иногда называют 2х2-полюсниками или проходными четырёхполюсниками.

Четырехполюсники

  • по виду схемы выделяют симметричные и несимметричные четырёхполюсники; в симметричном четырёхполюснике с помощью электрических измерений невозможно обнаружить различий между входными и выходными зажимами;
  • уравновешенные и неуравновешенные: уравновешенные четырёхполюсники имеют симметрию относительно продольной оси (рис. 20.3, а); в неуравновешенном четырёхполюснике (рис. 20.3, б) один из зажимов одной пары соединяется с зажимом другой пары — в результате образуется трёхполюсник, используемый в четырёхполюсном режиме;

Четырехполюсники

Четырехполюсники

  • по структуре четырёхполюсники подразделяют на лестничные: Г-образные (рис. 20.4, а), Т-образные (рис. 20.4, б), П-образные (рис. 20.4, в), а также Т-образные перекрытые (рис. 20.4, г) и мостовые (рис. 20.4, д)

Замечание:

Четырёхполюсники, изображённые на рис. 20.4, б, в, г, могут стать симметричными при условии соблюдения равенства Четырехполюсники

  • взаимные и невзаимные; взаимными являются четырёхполюсники, для которых справедлива теорема взаимности (см. разд. 6.1), согласно этой теореме отношение входного напряжения к току на выходе не меняется при перемене местами зажимов.

В дальнейшем изучаются основы общей теории линейных неавтономных четырёхполюсников при условии, что в цепи действуют гармонические колебания. При анализе свойств цепей будет использоваться как частотный метод, так и метод преобразования Лапласа.

Уравнения передачи четырёхполюсника

Свойства четырёхполюсника (рис. 20.1) как системы передачи энергии полностью определяются соотношениями между напряжениями на его входе и выходе Четырехполюсники и токами Четырехполюсники протекающими через входные и выходные зажимы.

Определение:

Соотношения, которые связывают комплексные амплитуды токов и напряжений (или их L-изображения) на двух парах зажимов, называются уравнениями передачи четырёхполюсника.

Для составления уравнений передачи необходимо выбрать положительные направления отсчёта токов на внешних зажимах. В зависимости от поставленной задачи применяются три варианта отсчётов положительного направления токов (рис. 20.5):

  • симметричный (рис. 20.5, а),
  • несимметричный (рис. 20.5, б),
  • несимметричный обратный (рис. 20.5, в),

из которых наиболее часто используется симметричный вариант.

Четырехполюсники

Уравнения передачи связывают две из четырёх величин Четырехполюсники с двумя заданными, поэтому число возможных форм уравнений передачи определяется числом сочетаний Четырехполюсники из четырёх элементов по два и, следовательно, равно шести:

Четырехполюсники

В качестве примера решим задачу.

Задача 20.1.

Записать уравнения передачи, устанавливающие связь между парой токов Четырехполюсники и парой напряжений Четырехполюсники четырёхполюсника при условии, что напряжения известны, т. е. представляют собой воздействия.

Решение. Согласно условию задачи токи можно рассматривать как реакции на воздействия. Направление отсчёта токов выберем симметричным (рис. 20.5, а). Поскольку четырёхполюсник линеен, каждый из рассматриваемых токов Четырехполюсники согласно свойству аддитивности (принципу наложения) можно записать в виде суммы двух составляющих токов (рис. 20.6): токов Четырехполюсники как реакций на воздействие напряжения (Четырехполюсники и токов Четырехполюсники как реакций на воздействие напряжения Четырехполюсники.

Четырехполюсники

Эти реакции связаны с воздействием по линейному закону: 

Четырехполюсники         (20.21)

Подставляя соотношения (20.1) в уравнения рис. 20.6, получаем так называемую Y-форму уравнений передачи четырёхполюсника:

Четырехполюсники          (20.2)

Полученная система уравнений является решением поставленной задачи.

Часто уравнения передачи четырёхполюсника записывают в матричном виде. Тогда из (20.2) получим:

Четырехполюсники               (20.3)

Здесь коэффициенты Четырехполюсники имеют размерность проводимости и называются Y-параметрами, или параметрами проводимости четырёхполюсника.

Аналогично (20.2) можно получить ещё пять форм уравнений передачи с соответствующими параметрами:

Четырехполюсники                (20.4)

Четырехполюсники                (20.5)

Четырехполюсники                (20.6)

Четырехполюсники                   (20.7)

Четырехполюсники                   (20.8)

Для форм (20.4)—(20.6) применяется симметричная система отсчётов токов (рис. 20.5, а), для формы (20.7) — несимметричная (см. рис. 20.5, б), для формы (20.8) — несимметричная обратная (см. рис. 20.5, в).

Уравнения передачи в форме (20.7) можно записать и при симметричной системе отсчётов, но тогда вторые слагаемые уравнений необходимо взять с обратным знаком. Что касается формы (20.8), то её можно получить, решив систему (20.7) относительно Четырехполюсники и Четырехполюсники:


Четырехполюсники


Отсюда получаем:

                                                                                                           Четырехполюсники      (20.9)

где Четырехполюсники является определителем системы (20.7). Сопоставляя

системы (20.7) и (20.8), нетрудно получить коэффициенты для (20.8).

Все формы уравнений передачи являются равноправными. Тем не менее, на практике чаще всего используются формы (20.2), (20.4), (20.7), а в цепях с транзисторами и форма (20.5), поскольку Н-параметры транзисторов помещены в справочниках.

Особо следует отметить, что уравнения передачи связывают как амплитуды, так и фазы гармонических колебаний на зажимах четырёхполюсника и поэтому представляют собой систему из минимального числа уравнений, необходимых для полного описания взаимодействия четырёхполюсника с внешними цепями. Разумеется, те же результаты можно получить, если для цепи с четырёхполюсником составить и решить систему узловых или контурных уравнений, которая содержит также информацию обо всех внутренних напряжениях и токах четырёхполюсника. Однако эта информация для поставленной в данном разделе задачи избыточна, поэтому и система узловых или контурных уравнений также избыточна, а её решение только вносит дополнительные трудности.

Системы собственных параметров и их физический смысл

Коэффициенты, входящие в системы уравнений, называются параметрами четырёхполюсника. Они не зависят от внешних цепей, между которыми включён четырёхполюсник, и характеризуют собственно четырёхполюсник, поэтому они называются собственными, или внутренними параметрами четырёхполюсника, в отличие от его рабочих, или внешних параметров, в которых учитывается взаимодействие четырёхполюсника с внешними цепями и которые изучаются в лекции 22.

Введём ряд необходимых определений.

  • Совокупность параметров любой системы уравнений передачи называется системой параметров четырёхполюсника. Например, параметры Четырехполюсники образуют систему Y-параметров, а параметры Четырехполюсники образуют систему Н-параметров. Особо выделяют систему А-параметров, которую называют системой обобщённых параметров.
  • Уравнения передачи, записанные в той или иной системе параметров, называются уравнениями передачи в соответствующей системе параметров. Так, форма (20.4) называется уравнениями в системе Z-параметров. На практике системы параметров записывают в виде матриц:
     

Четырехполюсники

  • Четырёхполюсники, которые при различной внутренней структуре (внутреннем содержании) обладают одинаковыми матрицами параметров, называются эквивалентными, поскольку они описываются одинаковыми уравнениями передачи и одинаково взаимодействуют с внешними электрическими цепями.

Все собственные параметры четырёхполюсников имеют физический смысл какой-либо комплексной частотной характеристики, которая определяется в режиме короткого замыкания (КЗ) или холостого хода (XX). Напомним, что режиму холостого хода (короткого замыкания) на некоторой паре зажимов соответствует размыкание (замыкание) этих зажимов.

Рассмотрим несколько наиболее важных примеров.

Пример 20.1.

Найти физический смысл Z -параметров. Решение. Разомкнём зажимы 2—2' (см. рис. 20.5, а), т. е. образуем на этих зажимах режим холостого хода — XX; тогда ток Четырехполюсники, а уравнения передачи (20.4) преобразуются к виду:

Четырехполюсники

откуда:

    Четырехполюсники  — входное комплексное сопротивление четырёхполюсника

со стороны зажимов 1—1' при разомкнутых зажимах 2—2'; 

  Четырехполюсники — отношение комплексной амплитуды напряжения на разомкнутых зажимах 2—2' к комплексной амплитуде тока Четырехполюсники проходящего через зажимы 1—1'. Разомкнём зажимы 1—1' (см. рис. 20.5, а), т. е. образуем на этих зажимах режим XX; тогда ток

Четырехполюсники а уравнения передачи (20.4) преобразуются к виду

Четырехполюсники

откуда:

   Четырехполюсники — отношение комплексной амплитуды напряжения на разомкнутых зажимах 1—1' к комплексной амплитуде тока Четырехполюсники, проходящего через зажимы 2—2';

   Четырехполюсники — входное комплексное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2—2' при разомкнутых
зажимах  1—1'.

Пример 20.2.

Найти физический смысл Y-параметров.

Решение. В режиме КЗ на зажимах 2—2' (см. рис. 20.5, а) получаем Четырехполюсники а уравнения передачи (20.2) преобразуются к виду:

Четырехполюсники

Отсюда:

Четырехполюсники — входная комплексная проводимость четырёхполюсника со стороны зажимов 1—1' при замкнутых зажимах 2—2';

Четырехполюсники — отношение комплексной амплитуды токаЧетырехполюсники, протекающего через короткозамкнутые зажимы 2—2', к комплексной амплитуде напряжения Четырехполюсники на зажимах 1—Г.

В режиме КЗ зажимов 1—1' (рис. 20.5, а) напряжение Четырехполюсники, а уравнения передачи (20.2) преобразуются к виду:

Четырехполюсники

Отсюда получаем:

  Четырехполюсники — отношение комплексной амплитуды тока Четырехполюсники протекающего через короткозамкнутые зажимы 1—1', к комплексной амплитуде напряжения Четырехполюсники на зажимах 2—2';

   Четырехполюсники— входная комплексная проводимость четырёхполюсника со стороны зажимов 2—2' при замкнутых накоротко зажимах 1—1'.

Пример 20.3.

Найти физический смысл обобщённых А-параметров.

Решение. Из системы уравнений передачи в А-параметрах (20.7) следует, что в правой её части переменными являются только комплексные ток и напряжение на зажимах 2—2'. Поэтому определение физического смысла А-параметров возможно только в режимах XX и КЗ зажимов 2—2'.

В режиме XX ток Четырехполюсники, поэтому из (20.7) имеем:

Четырехполюсники

а в режиме КЗ Четырехполюсники и потому из (20.7) имеем:

Четырехполюсники

Из этого набора равенств получаем:

Четырехполюсники

Заметим, что параметры Четырехполюсники и Четырехполюсники являются безразмерными; параметр Четырехполюсники имеет размерность сопротивления, а параметр Четырехполюсникипроводимости.
 

Методы определения собственных параметров

Методы определения собственных параметров:

Собственные параметры четырёхполюсника могут быть определены как аналитически, так и экспериментально.

Аналитически параметры четырёхполюсника можно вычислить, если полностью известна его структура и составляющие её элементы. Эксперимент используется в том случае, когда четырёхполюсник представлен в виде "чёрного ящика" или же влияние паразитных элементов четырёхполюсника не поддаются аналитическому учёту.

Из всех параметров четырёхполюсника проще всего измерить параметры ЧетырехполюсникиЧетырехполюсникикоторые, как было показано в примерах 20.1 и 20.2, представляют собой входные сопротивления и проводимости соответственно в режиме XX Четырехполюсники и КЗ Четырехполюсники

Измерения этих параметров можно выполнить на заданной частоте с помощью измерительного моста. Измерения же всех других параметров, в том числе взаимных Четырехполюсники и обобщённых А-параметров, связаны с существенными трудностями, поскольку требуется определить соотношение амплитуд и фаз напряжений и токов на противоположных парах зажимов четырёхполюсника.

По этой причине особое место в теории четырёхполюсника отведено параметрам Четырехполюсники которые называются системой параметров холостого хода (XX) и короткого замыкания (КЗ). Эта система параметров позволяет найти все системы параметров пассивного четырёхполюсника с точностью до знака некоторых из них.

Соотношения между различными системами параметров

Параметры четырёхполюсника различных систем обладают однозначной взаимосвязью. Иного и не может быть, поскольку все системы однозначно определяются схемой четырёхполюсника и значениями её элементов. Рассмотрим методику определения соотношения между различными системами параметров на двух примерах.

Пример 20.4.

Найти связь между параметрами проводимостей Y и параметрами сопротивлений Z.

Решение. Из системы (20.2) выразим неизвестные комплексные амплитуды напряжений Четырехполюсники

Четырехполюсники           (20.10)

где Четырехполюсники — определитель системы (20.2). Сопоставление системы (20.10) с системой (20.4) даёт следующие соотношения:

Четырехполюсники       (20.11)

С другой стороны, решая систему (20.4) относительно неизвестных комплексных амплитуд токов Четырехполюсники и Четырехполюсники, получаем:

Четырехполюсники


откуда при сопоставлении с системой (20.2) имеем: 

Четырехполюсники

где Четырехполюсники   — определитель системы уравнений (20.4).

Пример 20.5.

Выразить А-параметры четырёхполюсника через его Z-параметры.

Решение. Из второго уравнения передачи в Z-параметрах (20.4) найдём ток Четырехполюсники:

Четырехполюсники

и подставим его в первое уравнение той же системы:

Четырехполюсники

В результате получаем следующую систему уравнений:


Четырехполюсники

сопоставление которой с уравнениями передачи в А-параметрах (20.7) при симметричной системе отсчётов токов и напряжений даёт:

Четырехполюсники

Подобным образом можно установить взаимосвязи между другими системами параметров (табл. 20.1). Все соотношения, помещённые в табл. 20.1, справедливы как для пассивных, так и для активных четырёхполюсников.

Четырехполюсники
  Четырехполюсники

  Четырехполюсники

Если же четырёхполюсник пассивен, то согласно теореме взаимности справедливы равенства:

Четырехполюсники       (20.12)

Тогда при выражении А-параметров через Z-параметры получим:

Четырехполюсники        (20.13)

Аналогично для пассивных четырёхполюсников можно показать, что

Четырехполюсники            (20.14)

Вывод: пассивный четырёхполюсник полностью характеризуется любыми тремя независимыми параметрами:

Четырехполюсники

или

Четырехполюсники

или

Четырехполюсники

или

Четырехполюсники

или любыми тремя А-параметрами, поскольку четвёртый легко находится из соотношения (20.13).

Если же пассивный четырёхполюсник является к тому же симметричным, то для его полной характеристики достаточно знать два независимых параметра, поскольку

Четырехполюсники 

Замечание:

Следует отметить, что не у всех четырёхполюсников существуют все разновидности систем собственных параметров, что показано в лекции 21.

Свойства параметров XX и КЗ пассивного четырёхполюсника

Ранее было отмечено, что параметры XX и КЗ дают возможность найти все системы параметров пассивного четырёхполюсника с точностью до знака некоторых из параметров, что видно на примере выражения (20.11).

Легко видеть, что из (20.11) следует:

Четырехполюсники

поэтому только три из четырёх параметров XX и КЗ четырёхполюсника являются независимыми. Кроме того, из (20.11) при условии (20.12) также следует:

Четырехполюсники

откуда:

Ясно, что параметры Четырехполюсники определяются с точностью до знака. Зная параметры XX и КЗ, по формулам табл. 20.1 можно найти и другие параметры пассивного четырёхполюсника, причём параметры

Четырехполюсники

также определяются с точностью до знака.

Изменению знака перечисленных параметров соответствует скрещивание одной пары зажимов четырёхполюсника (рис. 20.7) и наоборот: скрещивание одной пары зажимов ведёт к изменению знаков этих параметров. Это объясняется тем, что при скрещивании одной пары зажимов проводимости КЗ Четырехполюсники и  Четырехполюсники

не меняются, поскольку при скрещивании одновременно изменяются направления отсчётов напряжения на скрещенной паре. В то же время параметры

Четырехполюсники

а потому и перечисленные выше параметры изменяют свои знаки.


Четырехполюсники

Замечание:

При скрещивании одной из пар зажимов ФЧХ четырёхполюсника изменяется на Четырехполюсники Если это допустимо, то для Четырехполюсники можно взять любой знак. В противном случае истинный знак Четырехполюсники определяется из сравнения вычисленного значения Четырехполюсники с измеренным, причём при измерениях важно получить только характер фазового сдвига.

Собственные параметры четырёхполюсников

Как известно, любые параметры четырёхполюсника можно найти, если решить системы узловых или контурных уравнений с использованием матричных методов расчёта. Соответствующие формулы, выраженные через определитель Четырехполюсники системы контурных уравнений и его миноры Четырехполюсники даны в табл. 20.1.

Однако возможен и другой, более экономичный и удобный подход, который заключается в представлении сложного четырёхполюсника в виде комбинации типовых четырёхполюсников. Изучению этого подхода и посвящена данная лекция.

Собственные параметры типовых четырёхполюсников

Среди типовых четырёхполюсников выделяют элементарные и простейшие. Элементарными (рис. 21.1) называют четырёхполюсники, схемы которых содержат не более одного двухполюсника или могут быть сведены к таковым. К простейшим четырёхполюсникам относят Г-, Т- и П-образные (рис. 21.2), а также отдельно изучаемые мостовые четырёхполюсники.

Собственные параметры элементарных четырёхполюсников

Элементарные четырёхполюсники не имеют общепринятых названий, поэтому в дальнейшем будем их различать по типам, как показано на рис. 21.1.

Найдём А-параметры элементарных четырёхполюсников, для чего при заданных на рис. 21.1 направлениях отсчёта токов и напряжений составим системы уравнений согласно законам Кирхгофа и сравним их с уравнениями передачи в А-параметрах (20.7).

Четырехполюсники

Четырёхполюсник типа 1. Для этого четырёхполюсника легко написать систему уравнений согласно законам Кирхгофа:

Четырехполюсники

Из сравнения полученной системы с системой уравнений в А-параметрах получаем матрицу:

Четырехполюсники

Важно:

для четырёхполюсника первого типа параметров сопротивления не существует, поскольку все они обращаются в бесконечность при Четырехполюсники (см. табл. 20.1).

Четырёхполюсник типа 2. Этот четырёхполюсник описывается системой уравнений:

Четырехполюсники

поэтому матрица А-параметров имеет вид:

Четырехполюсники

Важно:

для четырёхполюсника второго типа параметров проводимости не существует, поскольку все они обращаются в бесконечность при Четырехполюсники (см. табл. 20.1).

Четырёхполюсник типа 3. Этот четырёхполюсник не содержит двухполюсников и представляет собой прямое соединение, для которого очевидно:

Четырехполюсники

откуда

Четырехполюсники

Четырёхполюсник типа 4. Четырёхполюсник типа 4 так же, как и в предыдущем случае, не содержит двухполюсников, но представляет собой скрещенное соединение, у которого напряжение и ток на выходе имеют отрицательный знак:

Четырехполюсники

поэтому матрица А-параметров имеет вид:

Четырехполюсники

что соответствует изменению на я фаз комплексных амплитуд тока и напряжения на зажимах 2—2'.

Важно:

четырёхполюсники типа 3 и 4 не имеют параметров сопротивления и проводимости (см. четырёхполюсники типов 1 и 2).

Собственные параметры простейших четырёхполюсников

В отличие от предыдущих случаев, собственные параметры простейших четырёхполюсников удобнее находить в виде Z- или Y-параметров, а затем перейти к обобщённым параметрам. Это объясняется тем, что Z- и Y-параметры нетрудно определить с помощью систем контурных или узловых уравнений.

Четырехполюсники

Т-образный четырёхполюсник (рис. 21.2, а). Составим систему контурных уравнений с учётом принятых направлений отсчётов напряжений и токов:

Четырехполюсники

Сопоставление полученной системы с системой уравнений передачи в Z-параметрах (20.4) позволяет записать матрицу
Z-параметров:

Четырехполюсники 

Z-параметры можно получить иначе, если воспользоваться методом холостого хода (XX) и короткого замыкания (КЗ) и учесть, что рассматриваемый четырёхполюсник является пассивным симметричным, у которого всегда Четырехполюсники

Метод XX и КЗ рассмотрен в примере 20.1, из которого следует:

  Четырехполюсники— входное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов 1-1' при холостом ходе зажимов 2 - 2', поэтому Четырехполюсники ;

   Четырехполюсники— отношение комплексной амплитуды напряжения Четырехполюсники на разомкнутых зажимах 2—2' (1—1') соответственно к комплексной амплитуде тока, проходящего через противоположные зажимы (т. е. при КЗ противоположных зажимов), поэтому

Четырехполюсники

Четырехполюсники — входное комплексное сопротивление четырёхполюсника со стороны зажимов 2—2' при XX зажимов 1—1', поэтому

Четырехполюсники

Остальные параметры четырёхполюсника можно получить из соотношений табл. 20.1.

Пример 21.1.

Пользуясь табл. 20.1, запишем обобщённые А-параметры Т-образного четырёхполюсника:

Четырехполюсники

Пример 21.2.

Найти А-параметры четырёхполюсника, изображённого на рис. 21.3.

Четырехполюсники

Решение. Предварительно определим Z-параметры:

входное сопротивление со стороны зажимов 1—1' равно Четырехполюсники

входное сопротивление со стороны зажимов 2—2' равно Четырехполюсники а в силу симметрии четырёхполюсника оно будет равно и                               сопротивлению Четырехполюсники поэтому Четырехполюсники

 Четырехполюсники что показано ранее.

Теперь можно записать матрицу А-параметров через Z-параметры:

Четырехполюсники

где определитель матрицы Z-параметров

Четырехполюсники

После подстановки в матрицу А и в последнее равенство выражений Z-параметров

Четырехполюсники

окончательно получаем систему А-параметров:

Четырехполюсники

Параметры Г-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, б) можно получить из параметров Т-образного четырёхполюсника при условии Четырехполюсники Следовательно, Z-параметры приводятся к виду:

Четырехполюсники

и А-параметры принимают значения:

Четырехполюсники

Параметры П-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, в) получим методом короткого замыкания. Удобно сначала найти
Y-параметры, а затем, как 

Решение. Предварительно определим Z-параметры:

входное сопротивление со стороны зажимов 1—1' равно Четырехполюсники

 входное сопротивление со стороны зажимов 2—2' равно Четырехполюсники а в силу симметрии четырёхполюсника оно будет равно и                              сопротивлению Четырехполюсники поэтому Четырехполюсники

  Четырехполюсники что показано ранее.

Теперь можно записать матрицу А-параметров через Z-параметры:

Четырехполюсники

где определитель матрицы Z-параметров

Четырехполюсники

После подстановки в матрицу А и в последнее равенство выражений Z-параметров

Четырехполюсники

окончательно получаем систему А-параметров:

Четырехполюсники

Параметры Г-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, б) можно получить из параметров Т-образного четырёхполюсника при условии ЧетырехполюсникиСледовательно, Z-параметры приводятся к виду:

Четырехполюсники

и А-параметры принимают значения:

Четырехполюсники

Параметры П-образного четырёхполюсника (рис. 21.2, в) получим методом короткого замыкания. Удобно сначала найти
Y-параметры, а затем, как  

в примерах 21.1 и 21.2, записать другие параметры, воспользовавшись табл. 20.1.

 Четырехполюсники — входная проводимость четырёхполюсника со стороны зажимов 1—Г в режиме короткого замыкания зажимов 2—2';

 Четырехполюсники— входная проводимость четырёхполюсника со стороны зажимов 2—2' в режиме короткого замыкания зажимов 1—1';

 Четырехполюсники - отношение комплексной амплитуды

тока Четырехполюсники на короткозамкнутых зажимах 1—1' (2—2') к комплексной амплитуде напряжения на противоположных зажимах (т. е. при XX противоположных зажимов).

Знание Y-параметров позволяет записать Z- и А-параметры (читателю предлагается самостоятельно получить эти соотношения):

Четырехполюсники

Собственные параметры симметричного мостового четырёхполюсника

Симметричный мостовой четырёхполюсник (сокращённо — мост), как показано в дальнейшем, широко используется при анализе и синтезе пассивных симметричных четырёхполюсников. По этой причине уделим особое внимание параметрам этого четырёхполюсника.

Сопротивления ветвей мостового четырёхполюсника попарно равны (рис. 21.4, а), поэтому его схему, с целью упрощения рисунка, принято изображать так, как показано на рис. 21.4, б.

Найдём Z-параметры моста, для чего представим его схему в более наглядном и удобном для исследования виде (рис. 21.5).

Из данной схемы следует, что входное сопротивление со стороны зажимов 1—1' равно входному сопротивлению со стороны зажимов 2—2' в силу симметричности схемы. Для этих сопротивлений в режиме XX образуется цепь из параллельно соединённых ветвей, сопротивление каждой из которых составляет Четырехполюсники, поэтому и входные сопротивления оказываются равными друг другу:

Четырехполюсники            (21.1)

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Проходные сопротивления симметричного четырёхполюсника также равны друг другу: Четырехполюсники Найдём эти сопротивления. В режиме XX ток Четырехполюсники и для Четырехполюсники справедливо равенство:

Четырехполюсники

Но ток Четырехполюсники разветвляется на равные части, имея на сопротивлении Четырехполюсники обратное направление, т. е.

Четырехполюсники

поэтому


Четырехполюсники


и в результате получаем:


Четырехполюсники         (21.2)


По вычисленным Z-параметрам (21.1) и (21.2) нетрудно определить Y- и А-параметры симметричного мостового четырёхполюсника:


Четырехполюсники               (21.3)

Эквивалентность T-, П-образного и мостового четырёхполюсников

Рассмотренный симметричный мостовой четырёхполюсник (мост) является наиболее общей структурой в классе пассивных симметричных четырёхполюсников.

Покажем, что для любого пассивного симметричного четырёхполюсника можно найти и реализовать эквивалентный ему мостовой (обратный эквивалентный переход не всегда возможен). Это означает, что все характеристики, которыми могут обладать пассивные симметричные четырёхполюсники, можно изучить на основе мостовых четырёхполюсников. Такое свойство общности структуры моста используется в задачах синтеза электрических цепей.

Условие эквивалентности:

заданный симметричный и мостовой четырёхполюсники эквивалентны, если сопротивления двухполюсников, образующих ветви моста, выражены через параметры заданного четырёхполюсника.

Пусть заданный симметричный четырёхполюсник описывается парой его параметров сопротивлений:

Четырехполюсники

Для эквивалентности этого четырёхполюсника и мостового необходимо согласно (21.1) и (21.2) выполнение условий:

Четырехполюсники

Вычитая и складывая эти уравнения, получаем значения сопротивлений ветвей моста:

Четырехполюсники       (21.4)

Важно:

для физической реализуемости эквивалентного четырёхполюсника необходимо, чтобы между вещественными частями сопротивлений Четырехполюсники выполнялось соотношение Четырехполюсники

Пример 21.3.

Определить условия эквивалентности симметричного Т-образного и мостового четырёхполюсников.

Решение. Как было показано в разд. 21.1.2, Z-параметры несимметричного четырёхполюсника имеют вид:

Четырехполюсники

Для обеспечения симметричности необходимо, чтобы сопротивления Четырехполюсники и Четырехполюсники Т-образного четырёхполюсника были равными Четырехполюсники тогда его Z-параметры запишутся в виде:

Четырехполюсники

Из условий эквивалентности (21.4) получаем искомое решение:

Четырехполюсники

Пример 21.4.

Определить условия эквивалентности симметричного П-образного и мостового четырёхполюсников.

Решение. В этом случае удобнее рассматривать Y-параметры П-образного и мостового четырёхполюсников. Y-параметры несимметричного П-образного четырёхполюсника были получены в разд. 21.1.2.

Симметричный П-образный четырёхполюсник при Четырехполюсники имеет следующие Y-параметры:

Четырехполюсники

По условиям эквивалентности (21.4) должно соблюдаться равенство Y-параметров симметричного П-образного и Четырехполюсники-параметров мостового четырёхполюсников:

Четырехполюсники

Заменяя комплексные сопротивления моста его проводимостями

Четырехполюсники

после простейших преобразований получаем искомые условия:

Четырехполюсники

Соединения четырёхполюсников

Различные четырёхполюсники, соединённые между собой в определённом порядке, образуют сложные (составные) четырёхполюсники.

Поставили задачу: вычислить параметры сложного четырёхполюсника по параметрам входящих в его состав более простых четырёхполюсников.

Решение поставленной задачи возможно лишь при выполнении условия регулярности соединения.

Определение:

Регулярным называется такое соединение четырёхполюсников, при котором не происходит изменения соотношений между напряжениями и токами на их зажимах соединяемых четырёхполюсников, т. е. через каждую пару зажимов этих четырёхполюсников протекают попарно равные и противоположно направленные токи (см. рис. 20.1).

Условия регулярности кратко рассматриваются в разд. 21.5. Изучаемые далее способы соединения четырёхполюсников удовлетворяют условиям регулярности.

Каскадное соединение четырёхполюсников

При каскадном соединении (рис. 21.6) выходные зажимы первого четырёхполюсника соединяются с входными зажимами второго четырёхполюсника, поэтому при несимметричном отсчёте токов и напряжений имеют место равенства:

Четырехполюсники

и наиболее удобным оказывается описание соединения в А-параметрах (20.7):

Четырехполюсники

Четырехполюсники


Отсюда уравнения передачи соответствующих четырёхполюсников получают вид:

Четырехполюсники

Подставим в первую систему уравнений вместо Четырехполюсники равные им значения Четырехполюсники из второй системы:

Четырехполюсники

откуда получаем матрицу А-параметров каскадно-соединенных четырёхполюсников:

Четырехполюсники             (21.5)

Из (21.5) следует правило:

при каскадном соединении четырёхполюсников матрица А-параметров сложного четырёхполюсника равна произведению
матриц Четырехполюсники параметров входящих в соединение четырёхполюсников. Если каскадно соединены N четырёхполюсников, то матрица
А-параметров получается из произведения:

Четырехполюсники

При этом важно:

матрицы должны быть записаны в порядке следования четырёхполюсников, т. к. умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Параллельное соединение четырёхполюсников

При параллельном соединении четырёхполюсников (рис. 21.7) ток на входе всей системы Четырехполюсники равен сумме входных токов Четырехполюсники соединённых четырёхполюсников, а ток на выходе Четырехполюсники равен сумме выходных токов Четырехполюсники:
                                                                                                          Четырехполюсники

кроме того, имеют место равенства напряжений:

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Система уравнений передачи сложного четырёхполюсника может быть записана в Y-параметрах в матричной форме:

Четырехполюсники

а уравнения передачи составляющих четырехполюсников соответственно имеют вид:
 

Четырехполюсники

При этих условиях (21.7) запишется следующим образом:


Четырехполюсники          (21.7)

Применяя правило сложения матриц, получаем:

Четырехполюсники             (21.8)

Из (21.8) следует правило: при параллельном соединении N четырёхполюсников матрица Y-параметров сложного четырёхполюсника равна сумме матриц Четырехполюсники-параметров соединённых четырёхполюсников:

Четырехполюсники           (21.9)

Последовательное соединение четырёхполюсников

Произведя действия, подобные действиям в разд. 21.3, можно доказать, что при последовательном соединении двух (рис. 21.8) и более четырёхполюсников матрица Z-параметров соединения равна сумме матриц Четырехполюсники-параметров четырёхполюсников, составляющих соединение:

Четырехполюсники                 (21.10)

При доказательстве используются очевидные из рис. 21.8 соотношения:

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Последовательно-параллельное соединение четырёхполюсников

При последовательно-параллельном соединении (рис. 21.9) четырёхполюсники со стороны входных зажимов соединяются последовательно, а со стороны входных зажимов — параллельно.

Четырехполюсники


При этом нетрудно видеть, что имеют место следующие равенства:

Четырехполюсники

для которых удобно использовать матрицы Н-параметров.

Поступая так же, как в разд. 2.3.2, можно доказать, что при последовательно-параллельном соединении матрицы Четырехполюсники-параметров составляющих соединение четырёхполюсников складываются:

Четырехполюсники       (21.11)

Параллельно-последовательное соединение четырёхполюсников

При параллельно-последовательном соединении (рис. 21.10) четырёхполюсники со стороны входных зажимов соединяются параллельно, а со стороны выходных зажимов — последовательно.

Четырехполюсники

В данном случае удобно использовать F-параметры, поскольку имеют место следующие равенства:

Четырехполюсники

Условия регулярности соединения

В теорий цепей доказывается, что условия регулярности соединения четырёхполюсников, в частности, удовлетворяются, если осуществляется:

  • каскадное соединение любых четырёхполюсников;
  • параллельное соединение уравновешенных четырёхполюсников;
  • параллельное или последовательное соединение треугольных четырёхполюсников (рис. 21.2), при котором их общие зажимы                   объединяются;
  • соединение любым способом произвольного четырёхполюсника и так называемого "разорванного" четырёхполюсника, схема и            параметры которого приведены на рис. 21.11;
  • соединение любым способом произвольного четырёхполюсника с четырёхполюсником, на входе или/и выходе которого включён        трансформатор.


Четырехполюсники

Внешние характеристики четырёхполюсников

В лекциях 20 и 21 изучались собственные параметры четырёхполюсника, т. е. такие его индивидуальные характеристики, которые не зависят от внешних цепей и определяются лишь структурой четырёхполюсника и составляющими её элементами. Причём эти характеристики измеряются в одном из предельных режимов: холостого хода (XX) или короткого замыкания (КЗ). Тем не менее, роль собственных параметров четырёхполюсников чрезвычайно важна как в теории цепей, так и на практике, а именно: знание собственных параметров четырёхполюсника позволяет найти его любые КЧХ при произвольной внешней нагрузке в реальных, или рабочих, условиях (внутреннее сопротивление генератора, если оно является конечным и не равно нулю, также является сопротивлением нагрузки четырёхполюсника). Понятно, что в рабочих условиях невозможно добиться полного согласования комплексных сопротивлений четырёхполюсника с нагрузкой на всех частотах рабочего диапазона. Это приводит к появлению дополнительных потерь энергии за счёт её неоднократного отражения на входных и выходных зажимах. Для учёта таких потерь пользуются рабочими, или внешними характеристиками передачи.

Определение:

Под рабочими, или внешними характеристиками четырёхполюсника понимаются его комплексные частотные характеристики при условии подключения к нему генератора и двухполюсной нагрузки.

К рабочим характеристикам относятся: комплексное входное сопротивление нагруженного четырёхполюсника и его передаточные функции.

Комплексное входное сопротивление четырёхполюсника при произвольной нагрузке

Рассмотрим четырёхполюсник, у которого одна пара зажимов 2—2' нагружена двухполюсником с комплексным сопротивлением Четырехполюсники (рис. 22.1, а). Тогда со стороны зажимов 1—1' нагруженный четырёхполюсник можно рассматривать как двухполюсник с входным комплексным сопротивлением Четырехполюсники

Четырехполюсники


Поставим задачу выразить комплексное сопротивление Четырехполюсники через собственные параметры четырёхполюсника.

При выбранном направлении отсчётов токов и напряжений удобно воспользоваться уравнениями передачи в А-параметрах (20.7):

Четырехполюсники

Значение комплексного входного сопротивления Четырехполюсникинайдём, разделив первое уравнение системы на второе:

Четырехполюсники

и подставив в эту дробь величину напряжения на выходных зажимах

Четырехполюсники

В результате получим:

Четырехполюсники           (22.1)

Воспользовавшись табл. 20.1, нетрудно получить выражения для Четырехполюсники через другие системы параметров четырёхполюсника, например, через его Z- и Y-параметры:

Четырехполюсники        (22.2)

Рассмотрим случай обратного включения четырёхполюсника (рис. 22.1, б): найдём входное сопротивление Четырехполюсники со стороны зажимов
2—2', нагрузив четырёхполюсник со стороны зажимов 1—1'. Для этого воспользуемся теми же уравнениями передачи в А-параметрах (20.7), но учтём, что

Четырехполюсники

При этих соотношениях имеем:

Четырехполюсники

откуда

Четырехполюсники      (22.3)

Выразив А-параметры через другие параметры, получим: 

Четырехполюсники       (22.4)

Следствие:

вторые слагаемые формул (22.2) и (22.4) учитывают влияние сопротивления нагрузки Четырехполюсники четырёхполюсника; эти слагаемые называют вносимым нагрузкой сопротивлением, или просто вносимым сопротивлением.

Комплексные частотные характеристики нагруженных четырёхполюсников

Вносимые сопротивления оказывают влияние на амплитудно-частотные (АЧХ) и фазо-частотные характеристики (ФЧХ) нагруженных четырёхполюсников, что всегда нужно учитывать на практике. Как известно, АЧХ и ФЧХ можно получить из комплексной частотной характеристики (КЧХ), которую, как показывается далее, можно найти методами теории четырёхполюсников. При этом будем различать режимы односторонней и двусторонней нагрузки.

Комплексные частотные характеристики односторонне нагруженных четырёхполюсников

Определение:

Режимом односторонней нагрузки называют такое включение четырёхполюсника, при котором его внешние характеристики определяются лишь одним из двух сопротивлений нагрузки (рис. 22.2 и 22.3).

Выделим две группы односторонне нагруженных четырёхполюсников:

  • группу четырёхполюсников, нагруженных на комплексное пассивное сопротивление;
  • группу четырёхполюсников, нагруженных на генератор (напряжения или тока)

Четырехполюсники

Четырёхполюсники, нагруженные на пассивное сопротивление

Сначала рассмотрим нагруженный четырёхполюсник при условии, что задано входное напряжение Четырехполюсники (рис. 22.2, а). Тогда КЧХ Четырехполюсники представляет собой отношение напряжения на выходе к напряжению на входе

Четырехполюсники       (22.5)

и найдётся из первого уравнения передачи (20.7):

Четырехполюсники

Подставляя сюда, согласно рис. 22.2, а, соотношения Четырехполюсники   и пользуясь формулой (22.5), получаем КЧХ нагруженного четырёхполюсника при заданном напряжении на входе:

Четырехполюсники        (22.6)

Теперь рассмотрим нагруженный четырёхполюсник при условии, что задан входной ток Четырехполюсники (рис. 22.2, б). Тогда КЧХ Четырехполюсники представляет собой отношение тока на выходе к току на входе:

Четырехполюсники

которое найдётся из второго уравнения (20.7):

Четырехполюсники       (22.7)

Выводы:

□    полученные КЧХ (22.6) и (22.7) являются безразмерными величинами;
□    АЧХ нагруженных четырёхполюсников Четырехполюсники называются коэффициентами усиления напряжения и тока                                 соответственно; это означает, что коэффициенты усиления являются функциями частоты;

□ аргументы Четырехполюсники и Четырехполюсники представляют собой фазочастотные характеристики:

Четырехполюсники              (22.8)

Четырёхполюсники, нагруженные на генератор

Варианты односторонне нагруженного четырёхполюсника при наличии генератора (для определённости на зажимах 1—1') показаны на рис. 22.3: режимы холостого хода (XX) и короткого замыкания (КЗ).


Четырехполюсники


В режиме XX комплексная частотная характеристика определяется как отношение

Четырехполюсники

Поскольку в данном случае Четырехполюсники уравнения передачи в А-параметрах получают вид:

Четырехполюсники

Отсюда

Четырехполюсники

и окончательно можно записать:

                                                                          Четырехполюсники            (22.9)


В режиме КЗ имеем КЧХ по току:

Четырехполюсники                     (22.10)

где Четырехполюсники —ток, протекающий через коротко замкнутые зажимы 2—2'. Вновь обратимся к уравнениям передачи в А-параметрах (ток Четырехполюсники запишется без отрицательного знака) при условии Четырехполюсники:

Четырехполюсники

Для получения полного отношения (22.10) выразим ток Четырехполюсники через Четырехполюсники и Четырехполюсники ясно, что ток Четырехполюсники равен сумме тока Четырехполюсники и тока Четырехполюсники, протекающего через проводимость Четырехполюсники :

Четырехполюсники

Подставляя это равенство в (22.10), получаем КЧХ по току в системе А-параметров:

Четырехполюсники             (22.11)

или в системах других параметров (табл. 20.1):

Четырехполюсники          (22.12)

Внешние характеристики двусторонне нагруженного четырёхполюсника

Пусть задана система, состоящая из генератора, четырёхполюсника и нагрузки (рис. 22.4, а).

Четырехполюсники

При этом известны:

Четырехполюсники — комплексная амплитуда ЭДС генератора; 

 Четырехполюсники — внутренне комплексное сопротивление генератора;

  Четырехполюсники — собственные обобщённые параметры четырёхполюсника; 

  Четырехполюсники— комплексное сопротивление нагрузки.

Задача 22.1.

Найти отношение комплексной амплитуды напряжения на выходе Четырехполюсники к комплексной амплитуде ЭДС генератораЧетырехполюсники

Решение. Из рис. 22.4, а следуют соотношения:

Четырехполюсники

Подставим эти соотношения в уравнения по А-параметрам:

Четырехполюсники

откуда получаем

Четырехполюсники           (*)

Четырехполюсники                       (**)

Подставим значение Четырехполюсники из (**) в уравнение (*):

Четырехполюсники

Определение

Отношение комплексной амплитуды напряжения Четырехполюсники на выходе двусторонне нагруженного четырёхполюсника к комплексной амплитуде ЭДС Четырехполюсники генератора (источника) называется рабочим комплексным коэффициентом  Четырехполюсники  передачи четырёхполюсника по напряжению.

Для нагруженного четырёхполюсника вводят также понятие его комплексного входного сопротивления.
 

Определение

Отношение комплексной амплитуды напряжения Четырехполюсники к комплексной амплитуде тока Четырехполюсники на входе двусторонне нагруженного четырёхполюсника называется комплексным входным сопротивлением Четырехполюсники

Четырехполюсники

Комплексные входное сопротивление и коэффициент передачи получили название внешних характеристик  двусторонне нагруженного четырёхполюсника.

Нормирование рабочих характеристик

В большинстве практических применений, а также в задачах синтеза линейных электрических цепей внутреннее сопротивление генератора и сопротивление нагрузки рассматриваются чисто резистивными сопротивлениями Четырехполюсники и Четырехполюсники (рис. 22.4, б). Например, именно при таких сопротивлениях рассчитываются и используются усилители.

На практике удобно пользоваться нормированными рабочими характеристиками (параметрами). Напомним, что нормированной функцией называется безразмерная функция Четырехполюсники, которая получается от деления текущего значения функции Четырехполюсники) на её абсолютный достижимый максимум:

Четырехполюсники

Как и для двухполюсников, АЧХ четырёхполюсников при резистивных Четырехполюсники и Четырехполюсники принято нормировать относительно максимально достижимого в данной системе значения амплитуды напряжения на выходе Четырехполюсники

Комплексный нормированный рабочий коэффициент передачи

Запишем комплексный коэффициент передачи (22.13) в показательной форме, для удобства опустив индекс "раб":

Четырехполюсники               (22.14)

  Четырехполюсники— АЧХ нагруженного четырёхполюсника, называемая рабочим коэффициентом передачи;

  Четырехполюсники — ФЧХ четырёхполюсника, равная разности между фазой напряжения на выходе и фазой ЭДС генератора.

Введём понятие нормированного комплексного коэффициента передачи Четырехполюсники: комплексный коэффициент передачи (22.14) является нормированным при делении его на Четырехполюсники

Четырехполюсники         (22 15)

где согласно (22.14)

Четырехполюсники

С учётом последнего соотношения выражение (22.15) принимает вид:

Четырехполюсники

где

Четырехполюсники

является нормированной АЧХ, или нормированным рабочим коэффициентом передачи.

Понятно, что если четырёхполюсник пассивен, то значение нормированного коэффициента передачи на любой частоте со не превышает единицы:

Четырехполюсники            (22.18)

Если четырёхполюсник активен и представляет собой, например, усилитель, то средняя мощность в нагрузке четырёхполюсника Четырехполюсники оказывается больше той, которую вообще может отдать заданный генератор с амплитудой ЭДС Е .

Чтобы получить общее выражение нормированного рабочего коэффициента передачи, необходимо знать значение Четырехполюсники Значение Четырехполюсники нетрудно получить из величины средней мощности в нагрузке пассивного четырёхполюсника (см. лекцию 9):

Четырехполюсники

которая не может превышать той средней мощности, которую способен развить заданный генератор (9.22):

Четырехполюсники

Приравняем последние два выражения:

Четырехполюсники

откуда получаем:

Четырехполюсники         (22.19)

Теперь запишем общее выражение комплексного нормированного рабочего коэффициента передачи:

Четырехполюсники         (22.20)

из которого имеем нормированный рабочий коэффициент передачи:

Четырехполюсники

Комплексный коэффициент передачи (22.14) можно выразить через обобщённые параметры, если в (22.13) положитьЧетырехполюсники

Рабочая постоянная передачи цепи

Нормированный комплексный коэффициент передачи принято представлять в логарифмическом масштабе:

Четырехполюсники           (22.22)

Функцию (22.22) принято называть логарифмической амплитудно-фазовой характеристикой, её мнимую часть — фазочастотной характеристикой,  

а вещественную часть — рабочим усилением четырёхполюсника,    которое выражают либо в неперах (Нп):

Четырехполюсники       (22.23)

либо в децибелах (дБ):

Четырехполюсники       (22.24)

Комплексная величина

Четырехполюсники       (22.25) 

называется рабочей постоянной передачи четырёхполюсника, вещественная часть которой

 Четырехполюсники   (22.26)

представляет собой рабочее затухание четырёхполюсника (а = -А), а мнимая часть Четырехполюсники является рабочей фазой четырёхполюсника.

Четырехполюсник в цепях постоянного и переменного тока

Четырехполюсником называется часть электрической цепи, имеющая две пары зажимов (рис. 21.1а).

Четырехполюсники

К одной паре зажимов — входных Четырехполюсники — может быть присоединен источник, а к другой паре — выходных Четырехполюсники — присоединяется потребитель.

Если внутри четырехполюсников нет источников питания, то его называют пассивным. К пассивным четырехполюсникам относятся двухпроводная линия электропередачи, трансформаторы, выпрямители, фильтры, делители напряжения, мостовая схема и др.

Если электрическая схема содержит источник ЭДС, то в прямоугольнике, который изображает четырехполюсник, ставится буква «А» (активный).

Рассмотрим пассивный четырехполюсник. Такой четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и потребителем. При этом предполагается, что может изменяться нагрузка четырехполюсника и напряжение на входе, но схема внутренних соединений четырехполюсника и значения сопротивлений в ней остаются неизменными.

Напряжение Четырехполюсники приложенное к входным зажимам Четырехполюсники, называется входным напряжением. Ток, проходящий через входные зажимы Четырехполюсники, называется входным током

Напряжение Четырехполюсники между выходными зажимами Четырехполюсники называется выходным напряжением. Ток, проходящий через выходные зажимы Четырехполюсники, называется выходным током Четырехполюсники (рис. 21.1). Положительное направление напряжений и токов выбирается произвольно. Расчет подтвердит или опровергнет этот выбор.

Между входным и выходным напряжениями и токами четырехполюсника существуют линейные зависимости, называемые уравнениями четырехполюсника:

Четырехполюсники

Величины А, В, С и Д в уравнениях четырехполюсника называются постоянными четырехполюсника.

Постоянные четырехполюсника А и Д — отвлеченные числа, В имеет размерность сопротивления, а С — проводимости. Постоянные четырехполюсника взаимосвязаны уравнением

Четырехполюсники

Если поменять местами входные и выходные зажимы четырехполюсника (рис. 21.1а), т. е. источник ЭДС присоединить к зажимам Четырехполюсники, а потребитель к зажимам Четырехполюсники, то уравнение четырехполюсника изменится:

Четырехполюсники

Как видно, при перемене входных и выходных зажимов четырехполюсника в уравнениях четырехполюсника меняются местами коэффициенты А и Д (ср. (21.1) и (21.3)). Уравнение (21.2) остается справедливым и для этого случая.

Четырехполюсник называется симметричным, если при перемене мест источника и потребителя входные и выходные напряжения и токи не изменяются. Для симметричного четырехполюсника существует дополнительная связь между постоянными:

Четырехполюсники

Любой пассивный четырехполюсник, сопротивления которого постоянны, можно заменить эквивалентным четырехполюсником с тремя сопротивлениями, соединенными звездой - Т-образная схема замещения (рис. 21.16) или треугольником- П-образная схема замещения (рис. 21.1 в).

Уравнения четырехполюсника (21.1) и (21.3) справедливы для Т- и П-образных схем замещения. Постоянные четырехполюсника по-разному зависят от своих сопротивлений в этих схемах замещения.

Постоянные четырехполюсника А, В, С и Д (в любом случае) зависят от схемы внутренних соединений четырехполюсника, от величины сопротивлений схемы и от частоты (для переменного тока) и могут быть определены расчетным или опытным путем.

Постоянные четырехполюсника экспериментально можно определить в режимах холостого хода и короткого замыкания. В режиме холостого хода (выходные зажимы 2'—2" разомкнуты, Четырехполюсники = 0) четырехполюсник подключают к источнику и измеряют входное напряжение Четырехполюсники и входной ток Четырехполюсники.

В режиме короткого замыкания (зажимы 2'—2" замкнуты накоротко) измеряют входное напряжение Четырехполюсники и входной ток Четырехполюсники. Поменяв местами источник и потребитель, при холостом ходе (зажимы Четырехполюсники разомкнуты) определяют Четырехполюсники, а при коротком замыкании (зажимы Четырехполюсники замкнуты накоротко) определяют Четырехполюсники. Воспользовавшись результатами этих измерений, определяют постоянные четырехполюсника:

Четырехполюсники

По вычисленным постоянным четырехполюсника (21.5) определяют параметры Т-образной и П-образной схем замещения. Для Т-образной схемы:

Четырехполюсники

Для П-образной схемы:

Четырехполюсники

Для определения коэффициентов и параметров четырехполюсника в цепях переменного тока их записывают в символической форме. Уравнения четырехполюсника в символической форме для расчета в цепях переменного тока записываются следующим образом:

Четырехполюсники

Постоянные четырехполюсника А, В, С и Д в символической форме связаны уравнением

Четырехполюсники

Для симметричного четырехполюсника

Четырехполюсники

Расчет производится по тем же уравнениям, что и для четырехполюсников в цепи постоянного тока.

Что такое четырехполюсник

Исследование и расчет сложных цепей в существенной мере упростится, если исходную цепь разделить на отдельные блоки, связанные друг с другом двумя, тремя и большим числом зажимов. Рассматривая методы расчета сложных цепей, мы вводили понятие двухполюсников, при расчете трёхфазных цепей мы имели дело с трёхполюсниками. Теперь остановимся на понятии четырехполюсников, т.е. таких электрических цепях, у которых можно выделить две пары зажимов.

На практике четырехполюсники применяются для передачи и преобразования сигналов, несущих какую-либо информацию. Совокупность соединенных друг с другом четырехполюсников можно считать каналом связи, соединяющим источник информации (генератор) и приемник (нагрузку). В реальных условиях в состав канала связи входят усилители, аттенюаторы (ослабители), фильтры, корректирующие контуры, трансформаторы и просто линии передач. Теория четырехполюсников дает общий метод анализа сложных электрических цепей. Она позволяет разделить исходную цепь на отдельные звенья и исследовать их по частям с целью получения объективной информации о режиме ее работы в целом. На рис. 10.1 показана схема пассивного четырехполюсника.

Четырехполюсники

Рис. 10.1. Схема пассивного четырехполюсника

Левые клеммы условно считаются входными, а правые - выходными. В зависимости от назначения выделяют активные и пассивные четырехполюсники. Если четырехполюсник линеен по структуре и для него выполняется свойство взаимности, то он считается обратимым. Проведем анализ работы четырехполюсников при условии их подключения к источникам синусоидального тока и напряжения. В случае работы их в цепях несинусоидального тока необходимо знать частотные характеристики входного сигнала (см. несинусоидальные цепи). Все это же будет справедливо и для случая источника постоянного тока или напряжения.

Канонические уравнения пассивных четырехполюсников

Режим работы четырехполюсника определен, если известна связь между четырьмя его основными величинами: входными и выходными токами и напряжениями. Для вывода уравнений рассмотрим электрическую цепь и представим ее в виде пассивного четырехполюсника, при этом выделим две ветви, содержащие источники ЭДС.

Четырехполюсники

Рис. 10.2. Схема пассивного четырехполюсника с двумя источниками ЭДС

Используя метод контурных токов, составим систему уравнений электрического равновесия для схемы рис. 10.2:

Четырехполюсники

или

Четырехполюсники

Представленная система называется Четырехполюсники —формой записи уравнений четырехполюсника.

Входящие в нее значения сопротивлений могут быть найдены, если провести режимы холостого хода со стороны первичных и вторичных зажимов.

При Четырехполюсники имеем:

Четырехполюсники

При Четырехполюсники имеем:

Четырехполюсники

Данная система является не единственной. В ряде случаев, которые определяются способом соединения четырехполюсников, используют Четырехполюсники - форму, для которой входные и выходные токи являются функциями напряжений Четырехполюсники и Четырехполюсники Решив систему уравнений (10.1) относительно токов, получим Четырехполюсники - форму записи уравнений четырехполюсника, применительно к цепи по рис. 10.3.

Четырехполюсники

При каскадном соединении четырехполюсников целесообразно иметь такую форму записи, которая позволяла бы выразить параметры Четырехполюсники и Четырехполюсники через соответствующие Четырехполюсники и Четырехполюсники Для вывода данной формы записи уравнений, которые носят название Четырехполюсникиформы, решим систему уравнений (10.2) относительно Четырехполюсники и Четырехполюсники

Четырехполюсники

Рис. 10.3. Схема пассивного четырехполюсника с одним источником ЭДС

Тогда Четырехполюсники —форма будет иметь вид:

Четырехполюсники

При этом коэффициенты Четырехполюсники могут быть выражены через значения записанных выше проводимостей Четырехполюсники

Четырехполюсники

Коэффициенты Четырехполюсники и Четырехполюсники являются безразмерными, Четырехполюсники

Аналогичного рода система уравнений может быть получена при перемене местами входных и выходных зажимов:

Четырехполюсники

Из сравнения систем уравнений (10.3) и (10.4) видно, что коэффициенты Четырехполюсники и Четырехполюсники меняются местами. Система уравнений по формуле (10.4) называется Четырехполюсники —формой записи уравнений четырехполюсника.

Коэффициенты Четырехполюсники связаны между собой следующим соотношением:

Четырехполюсники

Уравнение (10.5) называется уравнением связи. Четырехполюсник называется симметричным, если при перемене местами источника с приемником токи в нагрузке и источнике не меняются, для него Четырехполюсники В этом случае нет необходимости маркировать входные и выходные зажимы.

Кроме приведенных выше четырех форм записи уравнений четырехполюсника есть еще и так называемые гибридные формы записи, когда ток на входе и напряжение на выходе выражаются через ток на выходе и напряжении на входе и наоборот.

Четырехполюсники — форма

Четырехполюсники

Четырехполюсники — форма

Четырехполюсники

Коэффициенты четырехполюсника в любой форме записи могут быть определены из опытов XX и КЗ. Определим коэффициенты Четырехполюсники и Четырехполюсники для одной из наиболее часто применяемых форм записи уравнений - Четырехполюсникиформы.

Определение коэффициентов четырехполюсника

Для несимметричного четырехполюсника необходимо провести три из возможных четырех опытов холостого хода (XX) и короткого замыкания (КЗ) при питании со стороны первичных и вторичных зажимов, так как четвертым является уравнение связи (10.5). Проведем опыт холостого хода при питании со стороны первичных зажимов и опыты холостого хода и короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов.

1. Опыт холостого хода при питании со стороны первичных зажимов, когда Четырехполюсники

Из формулы (10.3) имеем:

Четырехполюсники

2. Опыт холостого хода при питании со стороны вторичных зажимов, когда Четырехполюсники

Из формулы (10.4) следует:

Четырехполюсники

3. Опыт короткого замыкания при питании со стороны вторичных зажимов, когда Четырехполюсники

Из формулы (10.4) получим:

Четырехполюсники

Совместное решение уравнений (10.5) и (10.7-10.9) относительно коэффициента Четырехполюсники дает:

Четырехполюсники

При проведении всех опытов необходимо учесть, что по результатам измерений можно определить только модули сопротивлений. Для определения комплексных сопротивлений необходимо дополнительно оценить на входе или выходе четырехполюсника угол сдвига фаз между соответствующими токами и напряжениями, поэтому на входе или, соответственно, на выходе четырехполюсника включают фазометр или ваттметр.

Определив коэффициенты для одной из форм записи, для других форм их можно пересчитать или воспользоваться справочной литературой.

Входное сопротивление пассивного четырехполюсника

В случае, когда четырехполюсник включен между генератором и нагрузкой, то режим работы генератора будет существенно зависеть от входного сопротивления четырехполюсника. В свою очередь это сопротивление будет зависеть от сопротивлений нагрузки Четырехполюсники или Четырехполюсники

Определим выражения для Четырехполюсники и Четырехполюсники

При питании со стороны первичных зажимов получим:

Четырехполюсники

Аналогично, при замене местами входа и выхода:

Четырехполюсники

Между параметрами Четырехполюсники и имеется соотношение:

Четырехполюсники

Характеристические сопротивления и постоянная передачи несимметричного четырехполюсника

Характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника называется такая пара сопротивлений, для которых Четырехполюсники соответственно при питании со стороны выходных зажимов Четырехполюсники и Четырехполюсники При этом четырехполюсник будет выполнять роль связующего звена между генератором и нагрузкой. Из полученных ранее уравнений четырехполюсника определим входные сопротивления Четырехполюсники и Четырехполюсники Входное сопротивление при условии, что Четырехполюсники

Четырехполюсники

Аналогично можно получить при перемене клемм местами:

Четырехполюсники

Совместное решение уравнений (10.11) и (10.12) позволит выразить характеристические сопротивления через параметры Четырехполюсники четырехполюсника, то есть:

Четырехполюсники

Третьим параметром, характеризующем четырехполюсник с точки зрения передачи электромагнитной энергии со входа на выход, является постоянная передачи Четырехполюсники представляющая собой комплексную величину и получаемую при условии, что четырехполюсник нагружен на сопротивление, равное характеристическому:

Четырехполюсники

где:

Четырехполюсники

Коэффициент Четырехполюсники то есть вещественная часть постоянной передачи Четырехполюсники называется коэффициентом затухания. Коэффициент при мнимой части Четырехполюсники называется коэффициентом фазы:

При

Четырехполюсники

получим:

Четырехполюсники

Введем в уравнения четырехполюсника характеристические сопротивления:

Четырехполюсники

Аналогично для тока:

Четырехполюсники

С учетом того, что:

Четырехполюсники

постоянная передачи может быть определена как:

Четырехполюсники

Параметры Четырехполюсники и Четырехполюсники называются вторичными параметрами четырехполюсника

Характеристическое сопротивление и постоянная передачи симметричного четырехполюсника

Для симметричного четырехполюсника Четырехполюсники поэтому характеристические сопротивления равны Четырехполюсники и, соответственно:

Четырехполюсники

Для симметричного четырехполюсника связи между входными и выходными напряжениями и токами несколько изменятся:

Четырехполюсники

Постоянная передачи Четырехполюсники

Четырехполюсники

Параметр Четырехполюсники можно выразить через известные комплексные величины токов и напряжений:

Четырехполюсники

Тогда:

Четырехполюсники

В итоге получим:

Четырехполюсники

Коэффициент затухания количественно показывает изменение величины выходного сигнала по сравнению с входным. Коэффициент Четырехполюсники равен 1Нп (Непер), если Четырехполюсники Это очень большая величина, поэтому используется меньшая единица, называемая белом (Б) и определяемая как:

Четырехполюсники

Еще меньшая единица - децибел (дБ), определяемый по выражению:

Четырехполюсники

Уравнения четырехполюсника в гиперболических функциях

Выразим коэффициенты несимметричного четырехполюсника через гиперболические функции:

Четырехполюсники

Объединяя соотношения, установим взаимосвязь между первичными и вторичными параметрами четырехполюсника.

Четырехполюсники

В итоге уравнения четырехполюсника примут вид:

Четырехполюсники

При симметричном четырехполюснике уравнения упростятся в силу того, что Четырехполюсники и Четырехполюсники и примут вид:

Четырехполюсники

Схемы замещения пассивного четырехполюсника

Ранее было установлено, что любой пассивный четырехполюсник однозначно характеризуется тремя независимыми коэффициентами. Исходя из сказанного, следует, что его можно заменить трехэлементной схемой замещения (рис. 10.4).

Четырехполюсники

Рис. 10.4. Трехэлементная схема замещения четырехполюсника: а) Четырехполюсники - образная; b) Четырехполюсники - образная Четырехполюсники - продольные сопротивления; Четырехполюсники - поперечные сопротивления.

Комбинации Четырехполюсники - образных схем (рис. 10.5) могут дать Четырехполюсники - или Четырехполюсники - образную схему. Четырехполюсники - образные схемы не уравновешены, т.к. отсутствует симметрия между корпусом и входом. Такого рода четырехполюсник может включаться между сеткой электронной лампы и её заземлённым катодом.

Четырехполюсники

Рис. 10.5. Варианты Четырехполюсники - образных схем замещения четырехполюсника

Однако в ряде случаев нужен уравновешенный четырехполюсник, если он, например, включается в линию передачи информации для устранения искажений, вносимых самим каналом (рис. 10.6.а,b).

Расчет параметров схем замещения проводится одинаково для всех четырехполюсников. При определении параметров схемы замещения необходимо учитывать, что коэффициенты Четырехполюсники реального четырехполюсника и эквивалентной схемы замещения одинаковы. Рассмотрим определение сопротивлений Четырехполюсникиобразной схемы замещения, полагая, что коэффициенты четырехполюсника известны.

Четырехполюсники

Рис. 10.6. Примеры уравновешенных четырехполюсников

Четырехполюсники

Рис. 10.7. Четырехполюсники - образная схема замещения четырехполюсника

Запишем для Четырехполюсники - образной схемы по рис. 10.7. систему уравнений по законам Кирхгофа и приведем ее к виду уравнений для Четырехполюсникиформы:

Четырехполюсники

Сравним полученные выражения для тока и напряжения на входе четырехполюсника с каноническими уравнениями:

Четырехполюсники

Коэффициенты четырехполюсника связаны с сопротивлениями схемы замещения следующими соотношениями:

Четырехполюсники

Из полученных соотношений рассчитаем сопротивления схемы замещения:

Четырехполюсники

Правомерно и обратное решение, т.е. по известным сопротивлениям легко рассчитать коэффициенты Четырехполюсники Аналогичного рода рассуждения могут быть выполнены и для Четырехполюсники - образной схемы (рис. 10.8).

Четырехполюсники

Рис. 10.8. Четырехполюсники - образная схема замещения четырехполюсника

Ниже приведены формулы, связывающие коэффициенты четырехполюсника и сопротивления схемы замещения, полученные из уравнений, составленных по законам Кирхгофа и приведенных к Четырехполюсникиформе:

Четырехполюсники

Из этих уравнений легко рассчитать сопротивления схемы замещения:

Четырехполюсники

В частном случае симметричного четырехполюсника данные уравнения упрощаются. Для Четырехполюсники - образной схемы Четырехполюсники Для Четырехполюсники - образной схемы Четырехполюсники В заключение отметим, что схемы замещения упрощают исследование цепей, особенно при их каскадном соединении.

Способы соединения пассивных четырёхполюсников

Существуют пять видов соединения четырехполюсников, которые представлены на рис. 10.9-10.13.

Четырехполюсники

Рис. 10.9. Последовательное соединение четырехполюсников

Для расчета удобна Четырехполюсники - форма.

Четырехполюсники

Рис. 10.10. Параллельное соединение четырехполюсников

Для расчета используется Четырехполюсники - форма.

Четырехполюсники

Рис. 10.11. Комбинированное последовательно-параллельное соединение четырехполюсников

Для расчета используется Четырехполюсники - форма.

Четырехполюсники

Рис. 10.12. Комбинированное параллельно - последовательное соединение четырехполюсников

Для расчета используется Четырехполюсникиформа.

Наиболее важным и значимым с точки зрения практики является каскадный способ соединения четырехполюсников (рис. 10.13).

Четырехполюсники

Рис. 10.13. Каскадный способ соединения четырехполюсников

Расчет эквивалентной схемы ведется по Четырехполюсникиформе. Если входящие в каскад четырехполюсники одинаковы по структуре, то они образуют цепную схему. С ее помощью реализуется линии задержки сигналов, а в каскад собираются частотные фильтры для увеличения коэффициента Четырехполюсники в области затухания. Если четырехполюсники, входящие в схему симметричны, то симметрична и вся цепная схема, при этом практически важной является задача определения параметров цепной схемы в целом, если известны параметры одного его звена. Под этими параметрами будем понимать характеристическое сопротивление и постоянную передачи как одного звена Четырехполюсники так и всей схемы Четырехполюсники

Решение данного вопроса рассмотрим на примере цепной схемы, составленной из симметричных и согласованных с нагрузкой четырехполюсников, общее число которых равно Четырехполюсники (рис. 10.14).

Для них имеем:

Четырехполюсники

Пусть Четырехполюсникиый четырёхполюсник согласован с нагрузкой, т.е. его Четырехполюсники тогда и на входе Четырехполюсникиго звена также будем иметь сопротивление Четырехполюсники Оно будет являться нагрузкой для Четырехполюсники четырехполюсника, т.е. его входное сопротивление так же будет равно Четырехполюсники которое, в свою очередь будет являться нагрузкой Четырехполюсники-го звена и т.д. Двигаясь от конца схемы к началу, приходим к выводу, что входное сопротивление всей схемы равно Четырехполюсники т.е., получим Четырехполюсники Ранее было получено выражение для постоянной передачи симметричного четырехполюсника:

Четырехполюсники

Рис. 10.14. Цепная схема соединения четырехполюсников

Для всей схемы получим:

Четырехполюсники

Но так как все четырехполюсники одинаковы, то:

Четырехполюсники

Если каскадная схема состоит из несимметричных четырёхполюсников, но согласованных друг с другом и последний Четырехполюсникиый согласован с нагрузкой, то эквивалентный четырехполюсник будет иметь пару характеристических сопротивлений Четырехполюсники и Четырехполюсники

Постоянная передачи эквивалентного четырехполюсника определится как:

Четырехполюсники

В самом общем случае цепная схема может быть составлена из несимметричных и несогласованных друг с другом четырехполюсников. В этом случае для расчета эквивалентной схемы уравнения каждого четырехполюсника надо представить в матричной форме:

Четырехполюсники

Поскольку выходные значения тока и напряжения предыдущего четырехполюсника являются входными для последующего, то уравнение, связывающее их в матричной форме, примет вид:

Четырехполюсники

Таким образом, задача по расчету параметров эквивалентного четырехполюсника Четырехполюсники сводится к умножению матриц исходных.

Передаточная функция четырехполюсника

Отношение комплексных амплитуд или комплексов действующих значений тока или напряжения на выходе к соответствующим значениям тока или напряжения на входе называется комплексной передаточной функцией четырехполюсника:

Четырехполюсники

Понятие передаточной функции является важнейшим в теории автоматического управления (ТАУ) и будет подробно исследоваться в рамках соответствующего курса. Если известны параметры четырехполюсника и сопротивление нагрузки, то передаточные функции по напряжению и току могут быть выражены следующим образом:

Четырехполюсники

Дифференцирующие и интегрирующие цепи

С помощью четырехполюсника на выходе можно получить производную или интеграл от входного сигнала, что позволяет рассматривать его в качестве дифференцирующего или интегрирующего звена, входящих в состав сложных динамических систем.

Применительно к теории электрических цепей такого рода звенья могут быть реализованы с использованием параметров Четырехполюсники

Примеры такого рода цепей даны на рис. 10.15. и 10.17.

Такие четырехполюсники называются дифференцирующими и интегрирующими цепями.

Дифференцирующая цепь.

На рис. 10.15 представлены простейшие дифференцирующие цепи.

Четырехполюсники

Рис. 10.15. Схемы простейших дифференцирующих цепей

Пусть в схеме с индуктивностью сопротивление нагрузки столь велико, что током Четырехполюсники по сравнению с током Четырехполюсники можно пренебречь.

Четырехполюсники

Определим передаточную функцию:

Четырехполюсники

Если постоянная времени цепи Четырехполюсники мала по сравнению с интервалом R времени, в течение которого входное напряжение заметно меняется, то расчет упростится:

Четырехполюсники

При нулевых начальных условиях:

Четырехполюсники

Таким образом, на выходе получили производную от входного сигнала на входе:

Четырехполюсники

Цепь Четырехполюсники представленная на рис. 10.15, выполняет также дифференцирование функции. Покажем это. При нулевых начальных условиях напряжение на выходе, выраженное через напряжение на входе, в операторной форме имеет вид:

Четырехполюсники

Определим передаточную функцию:

Четырехполюсники

Если постоянная времени цепи Четырехполюсники достаточно мала по сравнению со временем, в течение которого напряжение Четырехполюсники заметно меняется, то приближенно можно считать:

Четырехполюсники

Тогда мгновенное значение напряжения:

Четырехполюсники

Интегрирующая цепь.

На рис. 10.16 изображены простейшие интегрирующие звенья.

Проведем аналогичный расчет.

Будем полагать, что в обеих схемах сопротивление нагрузки столь велики, что током Четырехполюсники по сравнению с током Четырехполюсники можно пренебречь.

Четырехполюсники

Рис. 10.16. Схемы простейших интегрирующих цепей

Определим выходное напряжение для цепи Четырехполюсники

Четырехполюсники

Если постоянная времени Четырехполюсники существенно больше интервала времени, в течение которого входное напряжение постоянно или изменяется незначительно, то:

Четырехполюсники

Аналогичные рассуждения можно провести и для второй схемы.

Частотные электрические фильтры

Электрическими фильтрами называются четырехполюсники, которые обычно составлены из катушек индуктивностей и конденсаторов и из всего широкополосного спектра генератора пропускающие в нагрузку один или несколько заданных частотных диапазонов.

Принцип работы фильтров базируется на двух основных положениях: индуктивное сопротивление прямо, а емкостное - обратно пропорционально частоте; ток в емкости опережает, а в индуктивности отстает от приложенного напряжения. Будем рассматривать идеальные фильтры, в состав которых входят только идеальные реактивные элементы.

В зависимости от диапазона пропускаемых частот выделяют НЧ - низкочастотные фильтры, пропускающие в нагрузку все частоты от 0 до некоторой Четырехполюсники где Четырехполюсники - частота среза фильтра или граничная частота; ВЧ - высокочастотные фильтры, пропускающие в нагрузку все частоты от Четырехполюсники до бесконечности; полосовые фильтры пропускающие в нагрузку частоты от Четырехполюсники до Четырехполюсники заграждающие фильтры (пробки) пропускающие в нагрузку частоты от 0 до Четырехполюсники и от Четырехполюсники до бесконечности.

Область, в которой частоты распространяются без затухания, называется зоной прозрачности, а вся остальная область частот называется зоной затухания.

Фильтры являются частным случаем пассивного четырехполюсника, поэтому все его свойства будут определяться вторичными параметрами Четырехполюсники и Четырехполюсники Если произведение продольного сопротивления на поперечное представляет некоторое постоянное число Четырехполюсники не зависящее от частоты, то такие фильтры называют фильтрами типа Четырехполюсники

Исследование фильтрационных свойств тех или иных четырехполюсников сводится к исследованию зависимостей коэффициента затухания Четырехполюсники коэффициента фазы Четырехполюсники и характеристического сопротивления Четырехполюсники от частоты. Рассмотрение данного вопроса будем проводить для двух типов фильтров, построенных по Четырехполюсники и Четырехполюсникиобразной схемам (рис. 10.17).

Для каждой из представленных схем ранее были получены соотношения, связывающие коэффициенты Четырехполюсники и параметры сопротивлений, входящие в их состав:

для Четырехполюсникиобразной схемы:

Четырехполюсники

для Четырехполюсникиобразной схемы:

Четырехполюсники

Отметим, что в любой из этих схем отношение соответствующих сопротивлений в коэффициенте Четырехполюсники всегда будет вещественным числом (положительным или отрицательным).

Кроме того, в уравнениях четырехполюсника, представленных в гиперболических функциях, коэффициент Четырехполюсники равен

Четырехполюсники

в силу того, что для симметричного четырехполюсника Четырехполюсники

Четырехполюсники

Рис. 10.17. ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники - образные схемы фильтра

Используя известные преобразования, получим:

Четырехполюсники

Из выражения для коэффициента Четырехполюсники в тригонометрической форме следует, что это комплексное число, однако с другой стороны, для четырехполюсника, составленного из идеальных индуктивностей и емкостей он является вещественным. Данные выводы позволяют записать следующую систему уравнений:

Четырехполюсники

Полученные уравнения могут быть использованы при расчете тех или иных фильтров.

Покажем методику расчета НЧ-фильтра, представленного Четырехполюсникиобразной схемой (рис. 10.18):

Четырехполюсники

Рис. 10.18. Четырехполюсникиобразная схема низкочастотного фильтра

Обозначим сопротивления этой схемы: Четырехполюсники

Четырехполюсники

В зоне полосы прозрачности коэффициент затухания равен нулю и поэтому Четырехполюсники

Из этого следует, что Четырехполюсники который изменяется в пределах Четырехполюсники Тогда: Четырехполюсники Из полученного неравенства определяется граница полосы прозрачности НЧ-фильтра.

Четырехполюсники

Полученный результат позволяет заключить, что НЧ-фильтр пропускает в нагрузку все частоты генератора начиная с 0 до частоты среза Четырехполюсники

Определим закон изменения коэффициента фазы Четырехполюсники в зоне полосы прозрачности:

Четырехполюсники

При достижении частоты Четырехполюсники коэффициент фазы Четырехполюсники достигнув Четырехполюсники остается неизменным. Это следует из второго уравнения системы (10.13). Таким образом, полученные соотношения позволяют качественно построить зависимости коэффициентов Четырехполюсники и Четырехполюсники от частоты (рис. 10.19).

Ранее было установлено, что:

Четырехполюсники

Уравнения для Четырехполюсникиобразной схемы замещения дают следующие выражения для коэффициентов Четырехполюсники и Четырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Используя полученное выражение построим функцию Четырехполюсники (рис. 10.20).

Четырехполюсники

Рис. 10.19. Зависимости коэффициентов затухания Четырехполюсники и фазы Четырехполюсники от частоты

Из графика следует, что в зоне полосы прозрачности Четырехполюсники имеет активный характер, в то время, как в зоне затухания характер Четырехполюсники становится емкостным.

Четырехполюсники

Рис. 10.20. Зависимость характеристического сопротивления Четырехполюсники от частоты

Основные определения и классификация четырехполюсников

Часть электрической цепи, рассматриваемая по отношению к любым двум парам ее выводов, называется четырехполюсником (рис. 9-1). Понятием «четырехполюсник» пользуются тогда, когда интересуются токами и напряжениями только в двух ветвях или двух парах узлов электрической цепи. Так, в качестве четырехполюсника могут быть представлены длинная линия, электрический фильтр, трансформатор, усилитель, корректирующее и всякое другое устройство с двумя парами выводов, включенное между источником и  приемником электрической

Четырехполюсники

энергии, когда предметом исследования являются токи и напряжения на этих выводах, а не токи и напряжения внутри самого четырехполюсника.

Выводы четырехполюсника, к которым присоединяется источник электрической энергии, называются входными, а выводы, к которым присоединяется нагрузка, — выходными. Ради краткости применяются также термины «вход» и «выход» четырехполюсника.

Четырехполюсники

На практике возможны случаи, когда обе пары выводов четырехполюсника являются входными (случай двустороннего питания четырехполюсника) или выходными (случай четырехполюсника, содержащего независимые источники электрической энергии и нагруженного с обеих сторон).

Четырехполюсники могут быть классифицированы по различным признакам.

По признаку линейности элементов, входящих в них, четырехполюсники разделяются на линейные и нелинейные. Ниже рассматриваются линейные четырехполюсники.

По схеме внутренних соединений четырехполюсников различают Г-образный (рис. 9-2, а), Т-образный (рис. 9-2, б), П-образный (рис. 9-2, в), мостовой (рис. 9-2, г), Т-образно-мостовой (рис. 9-2, д) и другие.

Четырехполюсники делятся на активные и пассивные.

Четырехполюсник называется активным, если он содержит внутри источники электрической энергии. При этом, если эти источники являются независимыми, то в случае линейного четырехполюсника обязательным дополнительным условием активности четырехполюсника является наличие на одной или обеих парах его разомкнутых выводов напряжения, обусловленного источниками электрической энергии, находящимися внутри него, т. е. необходимо, чтобы действия этих источников не компенсировались взаимно внутри четырехполюсника. Такой активный четырехполюсник называется автономным.

В случае, когда источники внутри четырехполюсника являются зависимыми, как это, например, имеет место в схемах замещения электронных ламп и транзисторов, то после отсоединения четырехполюсника от остальной части цепи напряжение на разомкнутых выводах его не обнаруживается. Такой активный четырехполюсник называется неавтономным.

Четырехполюсник называется пассивным, если он не содержит источников электрической энергии; линейный четырехполюсник может содержать источники электрической энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжения на обеих парах разомкнутых выводов четырехполюсника равны нулю. Так, четырехполюсник на рис. 9-3, а пассивен, так как любые две э. д. с. четырехполюсника взаимно компенсируются в контуре (в уравнениях Кирхгофа эти э. д. с. взаимно уничтожаются); четырехполюсник, изображенный на рис. 9-3, б, пассивен вследствие того что напряжение на выводах ветви с источниками всегда равно нулю.

Если все э. д. с. в схемах рис. 9-3 приравнять нулю, то получатся четырехполюсники, эквивалентные в электрическом смысле исходным. Под эквивалентностью двух четырехполюсников понимается возможность взаимной замены их в электрической цепи без изменения токов и напряжений в остальной ее части.
 

Четырехполюсники

Различают четырехполюсники симметричные и несимметричные. Четырехполюсник является симметричным в том случае, когда перемена местами его входных и выходных выводов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой он соединен. В противном случае четырехполюсник является несимметричным.

Четырехполюсник называется о бр атимым, если выполняется теорема обратимости, т. е. отношение напряжения на входе к току на выходе, или, что то же, передаточное сопротивление входного и выходного контуров не зависит от того, какая из двух пар выводов является входной и какая выходной. В противном случае четырехполюсник называется необратимым.

Пассивные линейные четырехполюсники являются обратимыми, несимметричные же активные (автономные и неавтономные) четырехполюсники необратимы. Симметричные четырехполюсники всегда обратимы.

Основной смысл теории четырехполюсника заключается в том, что, пользуясь некоторыми обобщенными параметрами четырехполюсника, можно находить токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника.

Сложная электрическая цепь (например, канал связи), имеющая входные и выходные выводы, может рассматривать как совокупность составных четырехполюсников, соединенных по определенной схеме.

Теория четырехполюсника позволяет вычислить параметры такого сложного четырехполюсника по параметрам составных четырехполюсников и, таким образом, получить аналитическую зависимость между токами и напряжениями на входе и выходе результирующего сложного четырехполюсника, не производя расчетов токов и напряжений внутри заданной схемы.

Получаемые таким путем значения величин на входе и выходе позволяют оценить режим работы передачи в целом. При этом пользование обобщенными параметрами четырехполюсника дает возможность сопоставлять и правильно оценивать передающие свойства электрических цепей, различных по своему типу и структуре.

Теория четырехполюсника позволяет также решать задачи синтеза, т. е. находить структуру и элементы четырехполюсника по заданным характеристикам.

Основы теории пассивного четырехполюсника разрабатывались многими отечественными и зарубежными учеными. Понятие четырехполюсник может быть применено и к механизму, служащему для передачи силы и скорости от источника механической энергии к приемнику. Такой «механический четырехполюсник», имеющий два полюса (вход и выход), может быть описан линейными уравнениями, связывающими силы и скорости на полюсах].

Механическому четырехполюснику соответствует электрический четырехполюсник, построенный по одному из двух принципов электромеханических аналогий,  силы заменяются напряжениями, скорости — токами, либо силы заменяются токами, а скорости — напряжениями.

В настоящей главе рассматриваются активные (неавтономные) и пассивные четырехполюсники, имеющие одну пару входных и одну пару выходных выводов. Рассмотрение общей теории многополюсника не входит в рамки данного курса.

Системы уравнений четырехполюсника

Положим, что имеется четырехполюсник, не содержащий независимых источников электрической 'энергии. Обозначим левую пару выводов четырехполюсника цифрами 1—1', а правую пару выводов — цифрами 2—2'. Этого условного обозначения будем придерживаться во всем последующем изложении, приписывая индексы 1 и 2 токам и напряжениям, относящимся соответственно к левой и правой парам выводов четырехполюсника. Теми же индексами 1 и 2 будут обозначаться входной и выходной контуры четырехполюсника.

Четырехполюсники

На рис. 9-4 обозначены принятые положительные направления для токов и напряжений на выводах четырехполюсника. Вариант с токами Четырехполюсники принято называть прямой передачей (см. уравнения по форме || А ||), вариант с токами Четырехполюсники— обратной передачей (см. уравнения по форме || В ||). Используется также вариант с токами Четырехполюсникикоторый будем называть третьим вариантом (см. уравнения по формам || У ||, || Z ||, || Н ||, || С ||). Во всех случаях каждое из напряжений Четырехполюсники и Четырехполюсникипонимается как разность потенциалов верхнего Четырехполюсникиили 2) и нижнего (Г или 2') выводов четырехполюсника.

Напряжения и токи на выводах четырехполюсника обусловливаются присоединением активных цепей к обеим парам выводов либо присоединением активной цепи к одной паре, а пассивной цепи к другой паре выводов .четырехполюсника.

Электрические цепи, присоединенные к выводамЧетырехполюсникии 2—2', могут быть на оснований теоремы компенсации в любом режиме замещены источниками э. д. с.Четырехполюсники иЧетырехполюсники которые могут рассматриваться как контурные э.д. с., включенные в два независимых контура четырехполюсника, а токи Четырехполюсники— как контурные токи.

Соотношения между напряжениями и токами на входе и выходе четырехполюсника могут быть записаны в виде следующих ниже шести форм уравнений:

1.    Форма Четырехполюсникивыражаются в зависимости от Четырехполюсники

Четырехполюсники

2.    ФормаЧетырехполюсники выражаются в зависимости отЧетырехполюсники

Четырехполюсники

3.    ФормаЧетырехполюсники выражаются в зависимости отЧетырехполюсники

Четырехполюсники

4.    ФормаЧетырехполюсники выражаются в зависимости отЧетырехполюсники

Четырехполюсники

5.    ФормаЧетырехполюсники выражаются в зависимости отЧетырехполюсники

Четырехполюсники

6.    ФормаЧетырехполюсники выражаются в зависимости отЧетырехполюсники

Четырехполюсники

Из перечисленных выше шести форм уравнений рассмотрим более подробно формыЧетырехполюсники

Коэффициенты и определители каждой системы уравнений четырехполюсника могут быть выражены через коэффициенты и определители любой другой системы (см. приложения II и III). Таблицы облегчают переход от одной формы записи уравнений четырехполюсника к другой.

Контурные токи Четырехполюсники связаны с контурными э. д. с. Четырехполюсники(рис. 9-4) линейными уравнениями (9-1), которые непосредственно^ следуют из (7-11) , поскольку рассматриваемый четырехполюсник не содержит независимых источников электрической энергии.

Коэффициенты Y представляют собой входные и передаточные проводимости контуров / и 2, В общем случае — это комплексные величины, зависящие от частоты; они определяются следующим образом:

Четырехполюсники—входнаяпроводимость со стороны выводов 1 при закороченных выводах 2

Четырехполюсники —входная проводимость со сторонывыводов 2 при закороченных выводах 1;

Четырехполюсники-передаточная проводимость при закороченных выводах 2
Четырехполюсники передаточная проводимость при закороченных выводах 1.

В случае обратимого четырехполюсника
Четырехполюсники
т. е. только три коэффициента в уравнениях (9-1) являются независимыми.

Если четырехполюсник симметричен, то наряду с (9-7) выполняется условие

Четырехполюсники

В этом случае число независимых коэффициентов равно двум (например,Четырехполюсники).
Коэффициенты Четырехполюсники в общем случае комплексные и зависят от частоты. Они имеют размерность сопротивления и могут быть определены следующим образом:

Четырехполюсники —входное сопротивление со стороны выводов 1 при разомкнутых выводах 2;

Четырехполюсники—входное сопротивление со стороны выводов 2при разомкнутых выводах 1;

Четырехполюсники— передаточное сопротивление при разомкнутых выводах 2;

Четырехполюсники— передаточное сопротивление при разомкнутых выводах 1.

В случае обратимого четырехполюсникаЧетырехполюсники

т. е. только три коэффициента в уравнениях (9-2) являются независимыми .

Если четырехполюсник симметричен,' то наряду с (9-9) выполняется условие

Четырехполюсники

В этом случае остаются только два независимых коэффициента (например, Четырехполюсники
 

Уравнения четырехполюсника в форме || А||

Как уже отмечалось при записи уравнений в форме || А || положительное направление токов Четырехполюсники выбирается согласно рис. 9-4. Удобство выбора именно такого положительного направления тока Четырехполюсники связано в данном случае с тем, что форма || А || применяется обычно при передаче электрической энергии от входных выводов к вы-'ходным, причем четырехполюсник, включенный между источником и приемником, может состоять из нескольких четырехполюсников, соединенных каскадно; вход каждого последующего четырехполюсника совпадает с выходом предыдущего четырехполюсника.

Выведем форму || А || из формы || Y ||. Для этого в уравнениях (9-1), заменив Четырехполюсники через —Четырехполюсники получим:

Четырехполюсники
Из второго уравнения (9-11) следует:
Четырехполюсники
Подстановка этого выражения в первое уравнение (9-11) дает:Четырехполюсники
гдеЧетырехполюсники

---------------------------------------------------------
* Коэффициенты четырехполюсников по формеЧетырехполюсникине являются обратными величинами по отношению к коэффициентам по формеЧетырехполюсники так что, например, Четырехполюсники

---------------------------------------------------------

Положив в (9-12) и (9-13):
Четырехполюсники
получим систему уравнений четырехполюсникаЧетырехполюсники (9-3). КоэффициентыЧетырехполюсники в общем случае комплексные и зависят от частоты: Четырехполюсники — безразмерные, Четырехполюсники имеет размерность сопротивлений, Четырехполюсникиимеет размерность проводимости. Эти коэффициенты могут быть определены аналогично предыдущему следующим образом:

  • Четырехполюсники — отношение напряжений при разомкнутых вьрсодных выводах;
  • Четырехполюсники— отношение токов при закороченных выходных выводах;
  • Четырехполюсники— величина, обратная передаточной проводимости при закороченных выходных выводах;
  • Четырехполюсники—величина, обратная передаточному сопротивлению при разомкнутых выходных выводах.

Определитель, составленный из коэффициентов А, равен:

Четырехполюсники
В случае обратимого четырехполюсника Четырехполюсникии поэтому

Четырехполюсники

т. е. только три любых коэффициента в уравнениях (9-3) являются независимыми; четвертый коэффициент связан с остальными условием (9-16).

Если четырехполюсник симметричен, то на основании (9-14) с учетом (9-8)

Четырехполюсники
т. е. число независимых коэффициентов равно двум (например, Четырехполюсники

1 Коэффициенты Четырехполюсники часто также обозначаются через А, В, С и D.

В случае перемены направления передачи электрической энергии, а именно при передаче энергии от выводов 2 к выводам 1, в уравнениях четырехполюсника связывают напряжения и токи Четырехполюсники [см. уравнения (9-4) по форме ЧетырехполюсникиЕсли заменить в (9-3) токи Четырехполюсники на —Четырехполюсникина —Четырехполюсники и решить уравнения относительно Четырехполюсникито получим уравнения четырехполюсника в форме || В ||, выраженные через коэффициенты формы || А ||. Для обратимого четырехполюсника:

Четырехполюсники

Сопоставляя уравнение (9-18) с уравнениями (9-3), соответствующими направлению передачи энергии от выводов 1 к выводам 2, заключаем, что с переменой направления передачи энергии коэффициенты Четырехполюсники входящие в системы уравнений, меняются местами.

Параметры холостого хода и короткого замыкания

Было показано, что коэффициенты Четырехполюсники представляют собой входные проводимости четырехполюсника рис. 9-4, измеренные слева и справа при закороченных противоположных выводах; соответственно Четырехполюсникипредставляют собой входные сопротивления четырехполюсника при разомкнутых выводах.

Введя индексы «к» и «х» для обозначения режимов короткого замыкания (выводы замкнуты) и холостого хода (выводы разомкнуты), получим параметры холостого хода и короткого замыкания:

Четырехполюсники

Этих параметров достаточно для составления уравнений обратимого четырехполюсника. Для записи уравнений необратимого четырехполюсника недостаточно параметров холостого хода и короткого замыкания, так как из них только три являются независимыми.

Действительно, на основании (9-19) и таблицы приложения IIЧетырехполюсники

иЧетырехполюсники

откудаЧетырехполюсники

Таким образом, параметры холостого хода и короткого замыкания, выражаемые формулами (9-19), принудительно связаны уравнением (9-20).

В случае симметричного четырехполюсника
Четырехполюсники

т. е. симметричный четырехполюсник характеризуется только двумя параметрами.

Параметры холостого хода и короткого замыкания могут быть выражены через любую систему коэффициентов, например через коэффициенты А:Четырехполюсники
В свою очередь любая система коэффициентов обратимого четырехполюсника может быть выражена через параметры холостого хода и короткого замыкания. Например, для коэффициентов А получаем Четырехполюсники
Четырехполюсники
и, используя (9-21), выражаем все остальные коэффициенты черезЧетырехполюсникиЧетырехполюсники
 

Схемы замещения четырехполюсника

На основании уравнений четырехполюсника могут быть построены различные схемы замещения, которые облегчают исследование общих свойств рассматриваемой цепи. Ниже показаны некоторые схемы замещения четырехполюсника, параметры которых выражаются через коэффициенты У, Z и А.
1 Эта формула дает двузначное решение, так как входящие в нее параметры не меняются от перекрещивания любой пары выводов.

На практике чаще всего пользуются П-образной и Т-образной схемами замещения четырехполюсника.

Четырехполюсники

На рис. 9-5, а показана П-образная схема замещения четырехполюсника, в которой проводимости ветвей выражены через коэффициенты Y. При этом зависимый источник тока Четырехполюсники сохраняется в эквивалентной схеме

Четырехполюсники

только в случае необратимого четырехполюсника; в схеме обратимого четырехполюсникаЧетырехполюсники источник тока отсутствует (см. рис. 9-6, а).

Схема рис. 9-5, о соответствует системе уравнений (9-1). Действительно, по первому закону Кирхгофа токЧетырехполюсники равен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями Четырехполюсники Ток, входящий в первую ветвь, рдвен Четырехполюсники а ток, входящий во вторую ветвь, равен Четырехполюсники

Итак,

Четырехполюсники

В свою очередь токЧетырехполюсники равен сумме токов, входящих в ветви с проводимостями Четырехполюсники и тока источника ЧетырехполюсникиСледовательно,

Четырехполюсники

На рис. 9-5, б показана Т-образная схема замещения, в которой сопротивления ветвей выражены через коэффициенты Z четырехполюсника. Применив второй закон Кирхгофа, легко убедиться в тем, что данная схема соответствует уравнениям (9-2).

Схема замещения четырехполюсника содержит зависимый источник э. д. с. или тока в случае, когда четырехполюсник необратим. В схеме обратимого четырехполюсника Четырехполюсники зависимый источник отсутствует (рис. 9-6, б).

Параметры схемы замещения четырехполюсника могут быть выражены также через коэффициенты А. Так, например, пользуясь таблицей приложения II, можно в П-об-разной схеме (см. рис. 9-5, а) проводимости ветвей выразить через коэффициенты А. при этом получится схема рис. 9-5, в\ в случае обратимого четырехполюсника будем иметь схему рис. 9-6, а, которая часто применяется для расчета энергетических систем.

Пассивный П-образный четырехполюсник может быть преобразован в Т-образный (или наоборот) по правилу преобразования треугольника в эквивалентную звезду.

Следует заметить, что П-образ на я и Т-образная схемы замещения четырехполюсника не всегда физически реализуемы Четырехполюсники

Под физически реализуемой пассивной схемой понимается такая схема, в которой параметры r, L и С положительны. Если в какой-либо ветви схемы данное условие не выполнено, то схема физически нереализуема. 

1 Это не относится к четырехполюсникам, не содержащим реактивных элементов.

Например, схема рис. 9-6, б нереализуема при отрицательном знаке действительной части Четырехполюсникит. е. если

Четырехполюсники

Схемой замещения четырехполюсника может служить и мостовая схема. Мостовая схема является физически реализуемым эквивалентом для любого реально осуществимого симметричного пассивного четырехполюсника.

Схемы замещения необратимых четырехполюсников, описанные выше, применяются для анализа и расчета электрических цепей, содержащих электронные лампы и транзисторы. К этому вопросу предстоит вернуться во второй части курса.

Пример 9-1.

Рассматривая автотрансформатор (см. рис. 8-21, о) как четырехполюсник, построить для него Т-образную схему замещения.

Выбрав положительные направления токов по третьему варианту и воспользовавшись параметрами Z, найдем:

Четырехполюсники

На основании рис. 9-6, б получаются следующие сопротивления ветвей Т-образной схемы:

Четырехполюсники

Полученный результат совпадает с данными (см, рис. 8-21, б).

Входное сопротивление четырехполюсника при произвольной нагрузке

Обозначим черезЧетырехполюсники входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 1, когда к выводам 2 присоединено произвольное комплексное сопротивление Z3 (рис. 9-7, а); соответственно через Четырехполюсникиобозначим. входное сопротивление четырехполюсника со стороны выводов 2, когда к выводам 1 присоединено произвольное комплексное сопротивление Четырехполюсники(рис. 9-7, б).

Следовательно, входное сопротивление Четырехполюсникиравно отношению напряжения Четырехполюсникик токуЧетырехполюсники при прямой передаче энергии:Четырехполюсникиa Четырехполюсникиравно отношению напряжения Четырехполюсникик-локу Четырехполюсники при обратной передаче энергии:

Четырехполюсники
Входные сопротивления четырехполюсника могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника и комплексные сопротивления нагрузок Четырехполюсники и Четырехполюсники.Четырехполюсники

а и б — произвольная нагрузка: в и г — согласованная нагрузка.

Например, если воспользоваться системой уравнений (9-3), то, разделив первое из уравнений на второе, получим:

Четырехполюсники

Аналогично при    обратной передаче на основании (9-18)

Четырехполюсники

Если воспользоваться таблицами приложений II и III, то можно выразить Четырехполюсникичерез другие коэффициенты четырехполюсника.

На практике применяются и другие выражения для Четырехполюсники. Например, в тех случаях, когда известны параметры холостого хода Четырехполюсники и короткого замыканияЧетырехполюсники удобно пользоваться зависимостями Четырехполюсники от этих параметров. С этой целью выражениям (9-23) и(9-24) с учетом (9-21) придается следующий вид:

Четырехполюсники

Рассмотренные выше функциональные зависимости Четырехполюсникипредставляют собой дробнолинейные преобразования, связывающие сопротивления на выводах четырехполюсника; они иллюстрируют одно из свойств четырехполюсника — способность преобразовывать сопротивления.
 

Характеристические параметры четырехполюсника

Положим, что сопротивления Четырехполюсникив схемах рис. 9-7, а и б подобраны таким образом, что Четырехполюсники и Четырехполюсники. Иначе говоря, будем считать, что существуют два сопротивления: Четырехполюсники которые удовлетворяют следующему условию: входное сопротивление Четырехполюсникичетырехполюсника, нагруженного сопротивлением Четырехполюсники, равно Четырехполюсники(рис. 9-7, в); входное сопротивление Четырехполюсникичетырехполюсника, нагруженного сопротивлением Четырехполюсники равно Четырехполюсники(рис. 9-7, г).

Такие два сопротивления называются характеристическими сопротивлениями несимметричного четырехполюсника.

Условие, когда четырехполюсник нагружен соответствующим характеристическим сопротивлением, называется условием согласованной нагрузки или согласованного включения.

Положив в (9-23) и (9-24)
Четырехполюсники

иЧетырехполюсники

получимЧетырехполюсники

Совместное решение этих уравнений относительноЧетырехполюсники и Четырехполюсникидает:
Четырехполюсники
Введем для рассматриваемого обратимого четырехполюсника новый параметр g, удовлетворяющий условиям:
Четырехполюсники
Эти условия всегда осуществимы, так как параметр g может быть комплексным. Кроме того, эти условия взаимно дополняют друг друга, так как имеющая место связь между коэффициентами (9-16) соответствует тригонометрической формуле

Четырехполюсники
Параметр g в общем случае комплексный; Четырехполюсники называется мерой передачиЧетырехполюсники четырехполюсника. Это — третий характеристический параметр обратимого четырехполюсника. Его действительная часть а называется собственным затуханием четырехполюсника, а мнимая часть b — коэффициентом фазы.

Физический смысл этих коэффициентов будет пояснен ниже. Выразим коэффициенты четырехполюсника формы Четырехполюсники через характеристические параметры.

На основании (9-25):

Четырехполюсники

и

Четырехполюсники

Умножение (9-26) на (9-27) и (9-28) дает:

Четырехполюсники

1 Иногда этот параметр называется коэффициентом передачи, его не следует смешивать с терминами «коэффициент передачи по напряжению» и «коэффициент передачи по току». В литературе ранее применялось обозначение Четырехполюсники

Деление (9-26) на (9-27) и (9-28) дает:

Четырехполюсники

В результате подстановки (9-29)—(9-32) в (9-3) получаются уравнения несимметричного обратимого четырехполюсника в гиперболической форме, соответствующие положительным направлениям токов Четырехполюсникиуказанным на рис. 9-4:
Четырехполюсники
При согласованно подобранной нагрузкеЧетырехполюсники имеет место равенство

Четырехполюсники
Если воспользоваться известным математическим соотношением

Четырехполюсники

то уравнения (9-33) упростятся:

Четырехполюсники

Отсюда следует, что при согласованно подобранной нагрузке модули напряжений и соответственно токов на входе и выходе четырехполюсника связаны уравнениями:

Четырехполюсники
Множитель Четырехполюсникиравен отношению амплитуд или действующих значений напряжений на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке. В свою очередь множитель Четырехполюсники равен отношению амплитуд или действующих значений токов при той же нагрузке.

Если аргументы (углы) комплексных характеристических сопротивлений Четырехполюсники обозначить через Четырехполюсники то фазовый сдвиг напряжения на входе относительно напряжения на выходе определится величиной Четырехполюсникиа фазовый сдвиг тока на выходе относительно тока на выходе — величиной Четырехполюсники

В общем случае коэффициент фазы b может быть определен как полусумма фазовых сдвигов между напряжениями и соответственно между токами на входе и выходе четырехполюсника, нагруженного согласованно. При равенстве углов Четырехполюсники и согласованно подобранной нагрузке фазовые сдвиги между напряжениями и соответственно между токами четырехполюсника одинаковы и равны b.

Характеристические параметры Четырехполюсникии g могут быть выражены через параметры холостого хода и короткого замыкания, а именно: на основании (9-21), (9-25) и (9-26)
Четырехполюсники
Подстановка (9-26) в формулу ch g + sh g = Четырехполюсники приводит к выражению, связывающему характеристический параметр g с коэффициентами четырехполюсника формы ||A||,
Четырехполюсники
По этой формуле g вычисляется однозначно, если подставлять под радикалы коэффициенты А в показательной форме с последующим сложением углов и делением их суммы на 2. По формуле (9-35) для тангенса принципиально невозможно получить однозначное решение, так как входные сопротивления под радикалом не изменяются от перекрещивания выводов четырехполюсника. Поэтому формула (9-36) предпочтительнее формулы (9-35) для th g.

Вычисление g по формуле для th g ведется в следующем порядке:

Четырехполюсники
откуда
Четырехполюсники
в результате логарифмированияЧетырехполюсники

Следует отметить, что параметр g может быть также получен как половина натурального логарифма отношения произведений комплексных напряжения и тока на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке.

Действительно, на основании (9-34)
Четырехполюсники
откуда
Четырехполюсники
В случае симметричного четырехполюсникаЧетырехполюсники характеристические сопротивленияЧетырехполюсникиравны друг другу:Четырехполюсники
Следовательно, входное сопротивление симметричного четырехполюсника, нагруженного характеристическим сопротивлением Четырехполюсники равно Четырехполюсники. Это означает, что всякому симметричному четырехполюснику соответствует некоторое характеристическое сопротивление Четырехполюсники обладающее следующим свойством: если нагрузить данный четырехполюсник сопротивлением Четырехполюсникито отноишия напряжения к току на входе и выходе четырехполюсника будут-одинаковыми, т. е.

Четырехполюсники
На основании (9-33) уравнения симметричного четырехполюсника при произвольной нагрузке записываются в гиперболической форме (для положительных направлений рис. 9-4) так:

Четырехполюсники
Если нагрузка подобрана согласованно, т. е. ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники тоЧетырехполюсники
В этом случае амплитудные изменения напряжения и тока определяются множителем Четырехполюсникиа фазовый сдвиг между напряжениями или токами — углом b. Собственное затухание а будет:
Четырехполюсники
Величины g, а и b — безразмерные. Угол b вычисляется в радианах (рад); собственное затухание а, входящее в (9-39), принято вычислять в б е л а х (Б) или децибелах (дБ), которые определяются следующим образом.

Если полная мощность на выходе четырехполюсника в 10 раз меньше мощности на его входе, то затухание составляет 1-Б\ если мощность уменьшается в 100 раз, то затухание оценивается в 2 Б и т. д. Поэтому
Четырехполюсники
В случае согласованно нагруженного симметричного четырехполюсника

Четырехполюсники

и, следовательно,

Четырехполюсники
Децибел — единица затухания, в 10 раз мейьшая бела. Затухание 1 дБ соответствует уменьшению полной мощности в 1,26 раза или уменьшению напряжения и тока в 1,12 раза.

Затуханию 1 Нп соответствует уменьшение амплитуды и действующего значения напряжения или тока в е = 2,718 раза (так как при Четырехполюсникиимеем Четырехполюсники).
Табл. 9-1 иллюстрирует зависимость затухания в децибелах от отношений полных мощностей Четырехполюсники на входе и выходе четырехполюсника;

Таблица 9-1
Затухание при различных отношениях Четырехполюсники дБ

Четырехполюсники

соответствующие им отношения величин напряжений или токов симметричного четырехполюсника, нагруженного согласованно, составляют Четырехполюсники

Для перехода от децибелов к неперам или обратно можно воспользоваться приведенным выше условием:
Четырехполюсники

т.е.

Четырехполюсники

или

Четырехполюсники
 

Вносимое затухание четырехполюсника

Вносимое затухание (или усиление) является мерой оценки изменения условий передачи при включении четырехполюсника между источником и приемником.

Положим, что между источником напряжения, имеющим внутреннее сопротивление Четырехполюсникии приемником Четырехполюсники включен четырехполюсник.

Четырехполюсники

Под вносимым затуханием четырехполюсника подразумевается десятикратное значение десятичного логарифма (в децибелах) или половина натурального логарифма (в неперах) отношения полной мощности 5,. которую непосредственно отдавал бы источник сопротивлению Четырехполюсники(рис. 9-8, о), к полной мощности Четырехполюсники на выходе четырехполюсника, нагруженного сопротивлением Четырехполюсники (рис, 9-8, б):

Четырехполюсники
или
Четырехполюсники
МощностиЧетырехполюсники выражаются следующим образом:

Четырехполюсники

Согласно (9-41)

Четырехполюсники
Отношение Четырехполюсники входящее в (9-42), может быть выражено через характеристические параметры четырехполюсника и сопротивления Четырехполюсники

Пользуясь обозначениями рис. 9-8, б и уравнениями четырехполюсника, записанными в формеЧетырехполюсники находим:

Четырехполюсники

откуда
Четырехполюсники
На основании (9-29) — (9-32)Четырехполюсники

Подстановка (9-44) в (9-43) дает:

Четырехполюсники

После ряда алгебраических преобразований получается: Четырехполюсники
где
Четырехполюсники

— так называемые коэффициенты отражения на входе и выходе четырехполюсника.

В связи с этим выражение (9-42) принимает следующий вид:Четырехполюсники

Следовательно, вносимое затухание состоит из пяти слагаемых. Первое слагаемое — собственное затухание четырехполюсника, второе — затухание вследствие несогласованности сопротивлений на входе четырехполюсника, третье — затухание вследствие несогласованности сопротивлений на выходе, четвертое — затухание вследствие взаимодействия несогласованностей на входе и выходе и пятое со знаком минус — затухание вследствие несогласованности сопротивлений источника и приемника.

Если вносимое затухание равно нулю, то это означает, что мощности на входе и выходе четырехполюсника равны между собой.

Когда четырехполюсник является усилителем мощности (например, в случае лампового триода или транзистора), выражения (9-40) и (9-41) дают отрицательные значения Четырехполюсники; это указывает на то,- что вместо затухания в данном случае имеет место усиление (измеряемое в децибелах или неперах),

Передаточная функция

Передаточной функцией называется зависимость от частоты отношения комплексных амплитуд или комплексных действующих значений электрических величинЧетырехполюсники на выходе и входе четырехполюсника при заданном режиме передачи. Необходимо помнить, что именно выходная электрическая величина делится на входную, а не обратно.

Передаточные функции, соответствующие отношению одноименных электрических величин, — коэффициент передачи по напряжению

Четырехполюсники

и коэффициент передачи по току

Четырехполюсники

представляют собой безразмерные, в общем случае комплексные, зависящие от частоты величины. Применительно к усилительным устройствам они носят название коэффициентов усиления по напряжению и току.

Отношения разноименных электрических величин — передаточное сопротивление Четырехполюсникии передаточная проводимость Четырехполюсники — имеют соответственно размерности сопротивления и проводимости и также являются в общем случае комплексными величинами, зависящими от частоты.

Зависимости модулей комплексных отношений представляют собой амплитудно-частотные, зависимости их аргументов — фазо-частотные характеристики четырехполюсника.
ЧетырехполюсникиПод передаточной функцией понимается часто отношение операторных изображенийэлектрических величин на выходе и входе четырехполюсника»

Эти характеристики имеют важное значение для работы устройств автоматики и радиотехники.

В общем случае четырехполюсника, нагруженного произвольным сопротивлениемЧетырехполюсники передаточные функции могут быть выражены через любую систему коэффициентов четырехполюсника, и сопротивление Четырехполюсники

Через коэффициенты формы Четырехполюсникиони выразятся следующим образом (положительные направления для токов соответствуют прямой передаче):
НЧетырехполюсники

При холостом ходе и коротком замыкании эти коэффициенты примут вид:
Четырехполюсники
В случае обратной передачи, очевидно, можно написатьЧетырехполюсники

Четырехполюсники
Отсюда видно, что для обратимого четырехполюсника коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и прямом направлении передачи энергии равен коэффициенту передачи по току при коротком замыкании и обратном направлении передачи энергии. В свою очередь коэффициент передачи по току при коротком замыкании и прямом направлении передачи равен коэффициенту передачи по напряжению при холостом ходе и обратном направлении передачи.

Каскадное соединение четырехполюсников, основанное на согласовании характеристических сопротивлений

На практике широко распространено каскадное или цепочечное соединение четырехполюсников, при котором входные выводы каждого последующего четырехполюсника присоединяются к выходным выводам предыдущего четырехполюсника; цепи, служащие для передачи электрической энергии (каналы связи и т. д.) обычно состоят из звеньев, следующих друг за другом.

Каскадное соединение четырехполюсников, выполненное по принципу согласования характеристических сопротивлений, заключается в том, что входное сопротивление на выводах любого четырехполюсника равно характеристическому.

Рисунок 9-9 иллюстрирует каскадное соединение двух четырехполюсников. Ввиду того что комплексное сопротивление нагрузки согласовано с выходным характеристическим сопротивлениемЧетырехполюсники второго четырехполюсника, входное сопротивление этого четырехполюсника равно характеристическому Четырехполюсникипри этом оно служит согласованной нагрузкой для первого четырехполюсника. Поэтому входное сопротивление первого четырехполюсника также равно характеристическому Четырехполюсники

Четырехполюсники
Отсюда следует, что каскадно соединенные четырехполюсники с согласованными характеристическими сопротивлениями могут быть замещены одним четырехполюсником, имеющим характеристические сопротивления, равные входному характеристическому сопротивлению первого и выходному характеристическому сопротивлению последнего четырехполюсников (рис. 9-9). Мера передачи g результирующего четырехполюсника определяется алгебраической суммой мер передачи составных четырехполюсников.

В самом деле, применительно к схеме рис. 9-9 в соответствии с (9-34)

Четырехполюсники

Полученные выражения подтверждают сказанное выше: результирующий четырехполюсник имеет характеристические сопротивления Четырехполюсники и меру передачи ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники Соответственно собственное затухание результирующего четырехполюсника Четырехполюсникиа фазовый коэффициентЧетырехполюсники

Было показано что передача максимума активной мощности обеспечивается, когда комплексные сопротивления источника и нагрузки являются сопряженными. Это условие не выполняется в случае согласования характеристических сопротивлений каскада в прямом и обратном направлениях, если характеристические сопротивления комплексные. Однако если они активные (включая сопротивление источника), как это нередко имеет место на практике, то обеспечивается оптимальное условие передачи мощности.

Согласование характеристических сопротивлений .широко применяется в автоматике, приборостроении и электронике.
 

Уравнения сложных четырехполюсников в матричной форме

Для получения параметров результирующего четырехполюсника, составленного из более простых четырехполюсников, параметры которых известны, удобно пользоваться матричной записью,

Четырехполюсники
В зависимости от схемы соединения сложного четырехполюсника применяется та или иная форма уравнений, а именно:

  1. при каскадном соединении (рис. 9-10) —формаЧетырехполюсники
  2. при последовательном соединении (см. рис. 9-11) — формаЧетырехполюсники
  3. при параллельном соединении (см. рис. 9-12) — форма Четырехполюсники Каскадное соединение четырехполюсников (рис. 9-10). Уравнения

составных четырехполюсников в матричной форме ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники

Здесь индексом а отмечены величины, относящиеся к первому четырехполюснику, а индексом 6 — величины, относящиеся ко второму четырехполюснику.

При каскадном соединении

Четырехполюсники
Следовательно,

Четырехполюсники
Таким образом, матрица Четырехполюсники результирующего четырехполюсника равна произведению матриц составных четырехполюсников:

Четырехполюсники

Эго правило распространяется на случай каскадного соединения любого числа четырехполюсника.' При этом матрицы, подлежащие

Четырехполюсники
перемножению, записываются в порядке следования соответствующих четырехполюсников, так как умножение матриц не подчиняется переместительному закону.

Последовательное соединение четырехполюсников (рис. 9-11) Уравнения составных четырехполюсников в матричной формеЧетырехполюсникиимеют вид:
Четырехполюсники

Здесь

Четырехполюсники

Если при этом

Четырехполюсники

То

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Таким образом, матрица Четырехполюсникирезультирующего четырехполюсника равна сумме матриц составных четырехполюсников:

Четырехполюсники
Параллельное соединение четырехполюсника (рис. 9-12)

Уравнения составных четырехполюсников в матричной форме Четырехполюсники имеют вид:
При параллельном соединении четырехполюсников:

Четырехполюсники

При параллельном соединении четырехполюсников:

Четырехполюсники

Следовательно,

Четырехполюсники

Таким образом, матрица Четырехполюсникирезультирующего четырехполюсника равна сумме матриц Составных четырехполюсников

Четырехполюсники

Правила нахождения матриц сложных четырехполюсников сведены в табл. 9-2. Они справедливы при любом числе составных четырехполюсников. Однако правила сложения матриц применимы только при равенстве токов входящего и выходящего в каждой паре выводов составных четырехполюсников, которое должно быть обеспечено тем или иным способом.

Одноэлементные четырехполюсники

Простейшими четырехполюсниками являются одноэлементные четырехполюсники, состоящие из последовательного (рис. 9-13, а) или параллельного (рис. 9-13, б) двухполюсника.

Уравнения первого из них в форме Четырехполюсникизаписываются следующим образом:

Четырехполюсники
или, что то же,
Четырехполюсники
Уравнения одноэлементного четырехполюсника с параллельной ветвью (рис. 9-13, б) в формеЧетырехполюсникизаписываются следующим образом:

Четырехполюсники
или, что то же,

Четырехполюсники
Если в первом четырехполюснике (рис. 9-13, а) положить Z = 0 или, что то же, во втором четырехполюснике (рис. 9-13, б) принять Четырехполюсники то получится уравнение

в форме ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники

соответствующее непосредственному прямому соединению, показанному на рис. 9-14, а.
Четырехполюсники

Четырехполюсники
Поэтому при перекрещивании входных или выходных выводов любого четырехполюсника его матрица Четырехполюсники умножается наЧетырехполюсники что равносильно перемене знаков коэффициентов А.

Г-образный четырехполюсник

Коэффициенты Г-образного четырехполюсника (см. рис. 9-15) могут быть получены непосредственно по формулам. Например, для схемы рис. 9-15, а коэффициенты формы ||Л|| согласно формулам будут:
Легко убедиться, что перекрещенному соединению (рис. 9-14, б) соответствует уравнение в формеЧетырехполюсникисогласно формулам будут:

Четырехполюсники

Аналогично могут быть вычислены и другие коэффициенты.

Характеристические параметры Г-образного четырехполюсника могут быть вычислены по формулам (9-25) и (9-26).

Четырехполюсники
Для схемы рис. 9-15, а:

Четырехполюсники

Для схемы рис. 9-15, б:

Четырехполюсники
При расчете электрических фильтров и в ряде других случаев за исходные схемы Г-образных четырехполюсников принимаются схемы рис. 9-15, виг, причем мера передачи Г-образного четырехполюсника обозначается через g/2, для того чтобы при согласованном каскадном соединении двух таких четырехполюсников получался Т- или П-образный четырехполюсник с мерой передачи g. При этом характеристическое сопротивление со стороны параллельной ветви обозначается через Четырехполюсники а со стороны последовательной ветви — через Четырехполюсники
На основании (9-45) или (9-46):

Четырехполюсники
Эти выражения используются в теории электрических фильтров.
 

Т-образный и П-образный четырехполюсники

Рассматривались схемы замещения четырехполюсника и приводились схемы Т-образного и П-образного четырехполюсников. Коэффициенты таких четырехполюсников вычисляются по общей методике.

Так, для Т-образной схемы рис.

9-16 получим:
Четырехполюсники

Четырехполюсники
Характеристические параметры находятся по формулам (9-25) и (9-26).

Симметричные Т- и П-образные четырехполюсники можно получить согласованным каскадным соединением двух одинаковых Г-образных четырехполюсников (рис. 9-17, а и б). Результирующие четырехполюсники имеют характеристические сопротивленияЧетырехполюсникиопределяемые согласно (9-47), и меру передачи g, вдвое превышающую меру передачи Г-образного четырехполюсника.

С учетом (9-48) имеем:

Четырехполюсники

Тот же результат получается на основании (9-26).

Четырехполюсники

Симметричный мостовой четырехполюсник

Для симметричного мостового четырехполюсника (см.рис. 9-18) в соответствии с можно получить коэффициенты формы Четырехполюсники

Четырехполюсники
Четырехполюсники
Характеристические параметры симметричного мостового четырехполюсника находятся по формулам:

Четырехполюсники

Как уже отмечалось, мостовой четырехполюсник является физически реализуемым эквивалентом для любого реально осуществимого симметричного пассивного четырехполюсника.
 

Обратная связь

Последовательно-параллельное соединение двух четырехполюсников представляет собой один из основных видов цепи с обратной связью, в которой напряжение на выходе воздействует на входные напряжения системы. Пусть некоторое устройство, которое назовем основным, представляет собой четырехполюсник с передаточной функцией Четырехполюсники

Четырехполюсники (рис. 9-19). Если выходное напряжение Четырехполюсникиподвести к выводам другого четырехполюсника, называемого устройством обратной связи, и включить его противоположные выводы последовательно с входными выводами основного устройства, то получится система с обратной связью по напряжению.

Обозначим передаточную функцию устройства обратной связи черезЧетырехполюсникиОчевидно, Четырехполюсники

Четырехполюсники

Следовательно, передаточная функция всей системы

Четырехполюсники

или, если разделить числитель и знаменатель наЧетырехполюсники

Четырехполюсники
Если поменять полярность одной из пар выводов устройства обратной связи, то в знаменателе (9-51) вместо знака минус получится знак плюс.

Обратная связь, при которой напряжение, пропорциональное выходному напряжению, добавляется к входному напряжению системы так, чтоЧетырехполюсникиназывается положительной; если жеЧетырехполюсники то обратная связь называется отрицательной.

Выражение (9-51) может быть переписано так:

Четырехполюсники

Если Четырехполюсники то

Четырехполюсники
Это выражение показывает, что передаточная функция системы зависит от передаточной функции устройства обратной связи. Регулируя последнюю, можно воздействовать на передаточную функцию всей системы.

Методы расчета электрических цепей с использованием теории четырехполюсников

Основные теоретические сведения:

В радиотехнике обычно интересуются прохождением сигналов через произвольную сложную электрическую цепь. При этом важно установить связь между выходными и входными значениями сигнала, не рассчитывая токи и напряжения на элементах внутри цепи.

Для такого анализа цепь (или часть цепи) представляется обобщенной схемой в виде четырехполюсника. Анализ цепи в этом случае производится на основе классической теории четырехполюсников, которая устанавливает связь между токами и напряжениями, действующими на входных и выходных зажимах (полюсах).

Краткая характеристика четырехполюсников

На рис. 5.1. показан неавтономный активный четырехполюсник. В зависимости от того, какая пара переменных величин считается независимой, процессы в четырехполюсниках можно описать одной из шести форм уравнений, приведенных и табл. 5.1.

Коэффициенты уравнений характеризуют свойства четырехполюсника, зависящие только от схемы цепи и параметров ее элементов. Поэтому коэффициенты уравнения называют собственными (иногда первичными) параметрами четырехполюсника. Их можно определить экспериментально или аналитически по известной схеме цепи. Для определения параметров применяют режим холостого хода (XX) или режим короткого замыкания (КЗ) на соответствующих зажимах четырехполюсника.

Четырехполюсники

Режим работы четырехполюсника выбирают так, чтобы одно из слагаемых данных уравнений (табл. 5.1) было равно нулю. Например, для выходных зажимов при XX Четырехполюсникипри КЗ Четырехполюсники Далее, полагая одну из двух переменных величин (ток, напряжение) заданной, по схеме цепи рассчитывают данный параметр.

При выбранном режиме работы четырехполюсника каждый коэффициент уравнений имеет конкретный физический смысл. Например, из уравнений в форме Y (табл. 5.1) видно, что каждый коэффициент равен отношению тока к напряжению. Поэтому по физическому смыслу Y-параметры являются входными или передаточными проводимостями. В этом смысле Z- параметры являются входными или передаточными сопротивлениями.
Четырехполюсники

Четырехполюсники

А- и В-параметры называют передаточными, так как по физическому смыслу они являются передаточными сопротивлениями (проводимостями) или коэффициентами передачи по напряжению (току). Параметры вида Н и G называются гибридными, так как они содержат входные сопротивления (проводимости) и коэффициенты передачи по напряжению (току).

В общем случае четырехполюсник характеризуется четырьмя параметрами. Для взаимных и симметричных четырехполюсников число параметров уменьшается, так как могут быть два параметра, равных по величине. Условия взаимности и симметричности четырехполюсников для различных собственных параметров приведены в табл. 5.2.

Любая система параметров может быть выражена через каждую из других пяти систем (табл.5.3). Например, в справочнике приведены Н-параметры транзистора, а для расчета цепи необходимо знать Y-параметры транзистора. В этом случае необходимо воспользоваться формулами, расположенными на пересечении строки Y и столбца Н (табл. 5.3):

Четырехполюсники

где Н — определитель матрицы Н-параметров.

Использование собственных параметров четырехполюсника позволяет при расчете любую электрическую цепь представить эквивалентной схемой замещения.
Четырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники

На рис. 5.2 показаны схемы замещения на базе Y-, Z- и Н-параметров. Наиболее часто схемы замещения применяют для описания электрических приборов (триодов, транзисторов), включенных в электрическую цепь.

Собственные параметры четырехполюсника не учитывают влияние внешних цепей (источника и нагрузки). Для расчета четырехполюсника с учетом этих целей применяют комплексные функции, которые иногда называют вторичными или рабочими параметрами. Эти параметры выражают через собственные параметры Y или Z.

Если источник задан напряжением или током на входе четырехполюсника, то при расчете необходимо учитывать только нагрузку. Комплексные входные и передаточные функции для этого случая приведены соответственно в табл. 5,4 и 5.5.

Расчет в ряде случаев удается упростить, если цепь представить в виде сложного четырехполюсника. Основные виды соединения двух простых четырехполюсников показаны в табл. 5.6. Матрицы параметров некоторых простых четырехполюсников приведены в табл. 5.7 и 5.8.
Четырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Примеры решения задач:

Пример 5.1.1.

Для четырехполюсника (рис. 5.3, а) определить А-параметры. Y- и Z-параметры найти по связям с полученными параметрами.

Дано: Четырехполюсники

Решение

1. Строим схемы для холостого хода и короткою замыкания на зажимах 2—2' (рис. 5.3, б, в).

Четырехполюсники

Для режима холостого ходаЧетырехполюсники система уравнений вида А примет вид:

Четырехполюсники

Отсюда
Четырехполюсники
Для определении Четырехполюсники на вход цепи рис. 5.3,6 подаем Четырехполюсники и определяем ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники

При расчете Четырехполюсники задаемся Четырехполюсники и находим Четырехполюсники (рис. 5.3, б) 

Четырехполюсники

Отсюда

Четырехполюсники

Для режима короткого замыкания Четырехполюсники система уравнений вида А примет вид

Четырехполюсники

Тогда

Четырехполюсники

Для определения Четырехполюсники на вход цепи (рис. 5.3, в) подаем Четырехполюсники и находим Четырехполюсники. Из схемы видно, чтоЧетырехполюсники поэтому

Четырехполюсники

Подставляя по значение в исходную формулу, получаем

Четырехполюсники

Четырехполюсники можно найти из соотношения

Четырехполюсники

т.е.   Четырехполюсники

2. Рассчитаем Y- и Z-параметры по формулам связи с А-параметрами (см. табл. 5.3):

Четырехполюсники
Четырехполюсники
 

Пример 5.1.2.

Найти матрицу А низкочастотного фильтра, изображенного на рис. 5.4, пользуясь матрицами элементарных четырехполюсников.

Решение

1. Определяем матрицу Четырехполюсники элементарного четырехполюсника (см. табл. 5.7)   Четырехполюсники                   Четырехполюсники

2. Находим матрицу Четырехполюсники элементарного четырехполюсника (см. табл. 5.7)
Четырехполюсники

3.Рассчитаем матрицу А сложного четырехполюсника при каскадном включении элементарных четырехполюсников

Четырехполюсники

Пример 5.1.3.

Определить комплексную передаточную функцию по напряжению реактивного фильтра нижних частот (см. рис. 5.4), нагруженного на активное сопротивление Четырехполюсники.

Решение

1. Рассчитаем Y-параметры ненагруженного четырехполюсника. Из табл. 5.8 определим Четырехполюсники

Четырехполюсники

2.Комплексную передаточную функцию по напряжению нагруженного четырехполюсника определим по формуле (см. табл. 5.5).

Четырехполюсники

Учитывая, что Четырехполюсники, получаем

Четырехполюсники

Методы расчета линейных активных цепей с использованием теории четырехполюсников

Основные теоретические сведения:

Цепи с электронными приборами (электронными лампами, транзисторами, операционными усилителями и т.п.), способные в определенных режимах усиливать по мощности входной сигнал, называются активными. Вследствие нелинейности вольт-амперных характеристик (ВАХ) электронных приборов такие цепи, строго говоря, являются нелинейными. Если амплитуда входного сигнала мала, а рабочая точка выбрана на линейном участке ВАХ прибора, id активные цели можно рассматривать как линейные.

В этом случае их анализ производят методами теории линейных электрорадиоцепей.

Для расчета линейных электрических цепей активные элементы заменяют их моделями, которые с определенной степенью точности отражают происходящие в них физические процессы. Paзличают математические (аналитические) и электрические модели электронных приборов. При расчете линейных активных цепей (ЛАЦ) известными методами теории цепей используют электрические модели, т. е. эквивалентные электрические схемы активных элементов. Обычно применяют два вида эквивалентных схем электронных приборов — физическую и схему на базе собственных параметров четырехполюсника.

Физическая эквивалентная схема строится на основе структуры прибора и принципа его работы, т. е. на основе так называемых физических параметром.

Рассмотрим эквивалентные схемы трех основных видов электронных приборов, применяемых для усиления сигналов. Способность прибора усиливать сигнал отражается включением в эквивалентную схему зависимого источника тока или напряжения.

На рис.5.9 схематически показано устройство плоскостного биполярного транзистора и его условное графическое изображение. В электрическую цепь транзистор может быть включен по схеме с обшей базой (ОБ), но схеме с общим эмиттером (ОЭ) или по схеме с общим коллектором (ОК). В табл. 5.9 приведены физические эквивалентные схемы биполярного транзистора для трех схем включения.

Элемент Четырехполюсники, схемы является дифференциальным сопротивлением эмиттерного перехода в прямом направлении, Четырехполюсники — дифференциальное сопротивление коллекторного перехода в обратном направлении, Четырехполюсники — сопротивление объема полупроводника базы. Обычно в транзисторах ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники

В общем случае все физические параметры являются частотно-зависимыми. Этот факт учитывается включением в электрическую модель емкостей эмиттера и коллектора. Эти емкости достаточно малы, поэтому их влияние необходимо учитывать лишь на высоких частотах. Наиболее вредной является емкость коллектора шунтирующая источник.

В рассматриваемых схемах усилительные свойства отображены зависимыми источниками тока в цепи коллектора, которые выражены через коэффициент передачи тока;

Четырехполюсники

Зависимый источник можно выразить также через коэффициент Четырехполюсники передачи тока базы:ЧетырехполюсникиТак как Четырехполюсники то

Четырехполюсники

Четырехполюсники

В современных транзисторах ток базы мал по сравнению с током эмиттера. ОбычноЧетырехполюсники поэтому Четырехполюсники

На рис.5.10 приведены условное графическое изображение и физическая эквивалентная схема электровакуумного триода.

Эквивалентная схема характеризуется физическими параметрами: входным и внутренним Четырехполюсники сопротивлениями триода переменному току и межэлектродными емкостями, которые пунктиром показаны на условном графическом изображении. Для большинства триодов эти емкости имеют значения от 2 до 15 пФ, поэтому на низких частях их можно не учитывать.

Величины входного и внутреннего сопротивлений зависит от режима работы триода. Обычно на сетку подается отрицательное относительно катода напряжение. При этом ток сетки близок к нулю, а входное сопротивление велико - единицы - десятки мегаом. Внутреннее сопротивление триода при работе в линейном режиме обычно лежит в пределах от 10 до 30 кОм.

Зависимый источник тока в эквивалентной схеме определяется крутизной S вольт-амперной характеристики и напряжением Четырехполюсники между сеткой и катодом:

Четырехполюсники

где Четырехполюсники— ток анода.

Важным параметром триода является коэффициент усиления

Четырехполюсники
гдеЧетырехполюсники — напряжение между анодом и катодом.

Современные триоды имеют коэффициент усиления от 3 до 100 и крутизну от 1 до 50 мА/В.

Рассмотренная физическая эквивалентная схема соответствует включению триода и цепь по наиболее распространенной схеме с общим катодом. Кроме того, триод может включаться в цепь по схеме с общим анодом или с обшей сеткой.

Полевой (униполярный, канальный) транзистор является полупроводниковым аналогом электровакуумного триода. На рис.5.11 схематически показано устройство полевого транзистора с управляющим Четырехполюсникипереходом и каналом Четырехполюсники типа, а также его условное графическое изображение.

Сетке триода соответствует затвор (3) транзистора, катоду -исток (И), аноду - сток (С).

Физическая эквивалентная схема этого транзистора, включенного на схеме с общим истоком, показана на рис. 5.12. Видно, что эта схема аналогична схеме триода. Зависимый источник тока характеризуется крутизной ВАХ и напряжением Четырехполюсники между затвором и истоком:

Четырехполюсники

где Четырехполюсники — ток стока.

Величина внутреннего сопротивления может достигать сотен килоом.

Четырехполюсники

Второй тип эквивалентных схем электронных приборов основан на представлении их линейными невзаимными четырехполюсниками. В этом случае параметрами активных элементов являются коэффициенты уравнений четырехполюсников (см. табл. 5.1). Поэтому эквивалентными схемами электронных приборов являются схемы замещения четырехполюсников на базе соответствующих параметров (см. рис. 5.2). Аналогично физическим эквивалентным схемам усилительные свойства электронных приборов отражаются зависимыми источниками.

В настоящее время основными параметрами транзисторов считаются гибридные Н-параметры, так как они наиболее просто измеряются. Именно эти параметры приводятся во всех справочниках. При расчете некоторых цепей удобнее применять Y-napaметры. Переход от одних параметров к другим производится по известным формулам связи собственных параметров четырехполюсников разных систем (см. табл. 5.3).

Н- и Y-параметры называются низкочастотными мало сигнальными, так как они справедливы лишь на низких частотах и для входных сигналом с малыми амплитудами. При работе электронных приборов на низких частотах все их параметры являются вещественными.

Параметры электронных приборов как четырехполюсников, в отличие от физических параметров, существенно зависят от схемы включения прибора в цепь. Поэтому к цифровому индексу параметра добавляют соответствующую букву.

Например, матрицы Н-параметров транзисторов, включенных по схеме с ОЭ и по схеме с ОБ, соответственно имеют вид:

Четырехполюсники

Аналогично записываются матрицы Y-параметров.

Зная параметры прибора для одной схемы включения, можно найти его параметры для другой схемы. В табл. 5.10 приведены формулы, связывающие Четырехполюсники-параметры транзистора при различных схемах включения в цепь.

Н-параметры так же, как и Y-параметры, непосредственно связаны с физическими параметрами электронного прибора. Некоторые формулы, определяющие эту связь для биполярных транзисторов, приведены в табл. 5.11 и 5.12.

Отметим физический смысл Н-параметров транзистора, который следует из уравнений четырехполюсника в форме Н (см. табл. 5.1).

В систему Н-параметров входят величины:

Четырехполюсники. — входное сопротивление при коротком замыкании выходных зажимов транзистора Четырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники

Четырехполюсники — коэффициент обратной связи по напряжению при холостом ходе на входных зажимах;

Четырехполюсники — коэффициент передачи тока (Четырехполюсники или Четырехполюсники в зависимости от схемы включения) при Четырехполюсники

Четырехполюсники— выходная проводимость транзистора при холостом ходе на входе Четырехполюсники

По физическому смыслу выходная проводимость есть внутренняя проводимость транзистора;

Четырехполюсники

Для полевого транзистора или электровакуумного триода эквивалентную схему можно упростить. Наиболее часто эти приборы включают в цепь по схеме с общим катодом (истоком). При этом входное сопротивление велико, поэтому ток сетки (затвора) близок к нулю.

Из уравнений в форме Четырехполюсники (см. табл. 5.1) видно, что Четырехполюсники Поэтому эти активные элементы характеризуются двумя параметрами: Четырехполюсники

Расчет линейных активных целей (ЛАЦ) с использованием рассмотренных эквивалентных схем активных элементов может производиться по известным методам. В настоящее время наиболее часто применяют MУH, MKT, метод сигнальных графов.

Введение в эквивалентные схемы активных элементов зависимых (управляемых) источников позволяет исключить из расчета независимые источники цепи (источники питания), которые обеспечивают заданный режим работы. При этом зависимые источники работают на частоте сигнала, подаваемого на вход цепи.

Таким образом, при расчете полагают, что в цепи действует один независимый источник сигнала на входе. Поэтому расчет цепи проводят обычным способом, определяя заданные токи (напряжения) или комплексные функции.

Особенность расчета ЛАЦ по MKT или МУН состоит в следующем. Электрическая схема цепи заменяется эквивалентной схемой, в которой активные элементы заменяются физическими эквивалентными схемами или схемами на базе параметров четырехполюсника. Далее, в соответствии с выбранным методом расчета составляются по общим правилам контурные или узловые уравнения.

Например, допустим, что схема имеет три независимых контура. Источник сигнала Четырехполюсники включен в первый контур, а зависимый источник электронного прибора находится в третьем контуре. В соответствии с MKT система контурных уравнений в матричной форме будет иметь видЧетырехполюсники

В этом случае матрица контурных сопротивлений описывает только пассивные элементы цепи. Условимся называть такие матрицы матрицами пассивной части цепи и обозначим соответственно Четырехполюсники или Четырехполюсники Эти матрицы являются симметричными относительно главных диагоналей, т. е. Четырехполюсники

Зависимые источники активных элементов неизвестны, они определяются токами (напряжениями) в цепи. Поэтому их необходимо выразить через контурные токи (при MKT) или через узловые напряжения (при МУН) и перенести в соответствующие элементы правой части уравнений.

После преобразований все уравнения, кроме первого, будут иметь нулевые правые части. При этом матрица Z или Y характеризует цепь с учетом активных элементов. Такую матрицу будем называть полной.

Так как электронной прибор является невзаимным (однонаправленным), то полная матрица будет несимметричной, т. е. в общем случае

Четырехполюсники

Полная матрица Z или Y позволяет но известным формулам через определители рассчитать любую комплексную функцию цепи.

Эти методы расчета обычно называют методами эквивалентных схем. Они отличаются наглядностью, простатой и логичностью действий, позволяют использовать любые эквивалентные схемы активных элементов. Однако их применение ограничено, так как для сложных многокаскадных цепей метод становится громоздким.

Представление зависимых источников через искомые точки или напряжения, перенос этих величин в левые части уравнений имеют общие закономерности. Исследования этих закономерностей позволило обобщить (формализовать) методы расчета. Суть обобщения состоит в том, что можно по известным правилам составлять полную матрицу сопротивлений (проводимостей) цепи, не составляя систему уравнений.

Рассмотрим обобщенный метод узловых напряжений (ОМУН). Сущность этого метода состоит в следующем. Электронные приборы в схеме заменяют физической эквивалентной схемой, затем по известным правилам определяют независимые узлы и для них составляют матрицу Четырехполюсники пассивной части цепи, включая физические параметры электронного прибора. Далее в эту матрицу вписывают так называемые управляющие параметры, учитывающие зависимые источники активных элементов. Полученная в результате этого матрица является полной матрицей активной линейной цепи, позволяющей произвести расчет заданных величин.

Управляющим параметрам называют коэффициент (по модулю) при узловом напряжении, которое создает ток зависимого источника активного элемента. Он рассчитывается непосредственно из выражения для зависимого источника тока.

Для биполярного транзистора Четырехполюсники Ток эмиттера зависит от сопротивления Четырехполюсники ветви эмиттера (внутреннего Четырехполюсники и внешнего) и от приложенного к ней узлового напряжения. Например, если Четырехполюсники то

Четырехполюсники

Проводимость Четырехполюсники и является управляющим параметром, который вписывается в два элемента матрицы Четырехполюсники. В общем случае ток эмиттера может определяться разностью двух узловых напряжений: Четырехполюсники В этом случае управляющий параметр необходимо вписать в четыре элемента матрицы.

Номера строк этих элементов определяются номерами узлов цепи, к которым подключен зависимый источник тока Четырехполюсники, а номера столбцов - номерами узловых напряжений, создающих этот ток. Например, пусть источник включен между узлами 3 и 5, а управляется он узловым напряжением Четырехполюсники. Тогда управляющий параметр необходимо вписать в элементы Четырехполюсники матрицы.

Параметр вписывают со знаком плюс, если источник и напряжение относительно своих углов направлены одинаково. Например, в элемент параметр необходимо вписать со знаком плюс, если ток источника направлен к узлу 5, а напряжение Четырехполюсники — к узлу 3 (или оба направлены от узлов). В противном случае необходимо ставить знак минус.

Необходимо помнить, что при определении направления напряжения Четырехполюсникиотносительно Четырехполюсники-го узла необходимо учитывать его знак в формуле для расчета эмиттерного тока.

Для расчета ЛАЦ применяют также другой вариант ОМУН, принципиально отличающийся от рассмотренного выше. Сущность этого метода состоит в следующем. Для расчета составляют эквивалентную схему цепи, из которой исключают все активные элементы. Точки включения электродов этих элементов на схеме считаются узлами. Для этой схемы по известным правилам МУН составляют матрицу Четырехполюсники

Электронные приборы описывают матрицами Y-параметров. Для получения полной матрицы цепи элементы матрицы Y-napaметров необходимо вписать в одноименные элементы матрицы Четырехполюсники Далее расчет ведется обычным способом.

Если электронный прибор включен в цепь определенно, т. е. по схеме с общим электродом, то он характеризуется четырьмя параметрами, например:Четырехполюсники

В общем случае электронный прибор включается в цепь неопределенно, т. е. без общего электрода. При этом на всех электродах имеется напряжение относительно базисного узла (относительно земли).

Пример неопределенного включения транзистора показан на рис. 5.13. В этом случае транзистор описывается не четырьмя, а девятью Y-параметрами. Такая матрица формируется на основе параметров транзистора с определенной схемой включения. Для схемы, прицеленной на рис. 5.13, матрица Y-параметров транзистора имеет вид:
Четырехполюсники                      Четырехполюсники
Можно показать, что такая матрица является неопределенной, т. е. суммы ее элементов в каждой строке и в каждом столбце тождественно равны нулю. На основании этого свойства определяют дополнительные параметры. Например: ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники и.т.д.

Чтобы получить правильную полную матрицу проводимостей ЛАЦ, необходимо знать правила вписывания Y-параметров электронных приборов. Если, например, электроды транзистора включены к узлам с номерами Четырехполюсники то строки и столбцы неопределенной матрицы необходимо обозначить соответственно этими же номерами (см. Четырехполюсники). Тогда элементы этой матрицы вписываются в элементы матрицы Четырехполюсники имеющие те же номера.

Примеры решения  задач:

Пример 5.2.1.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.14) методом контурных токов (MKT). Транзистор представить физической схемой замещения.

Решение

1. Составим эквивалентную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.15).

2. Выполним эквивалентные преобразования сопротивлений в схеме (рис. 5.16).

Четырехполюсники

Четырехполюсники

3. Выберем независимые контуры и зададим положительное направление контурных токов в них (рис. 5.16).

Четырехполюсники

4.  Составим систему уравнении по MKT:

Четырехполюсники

5.  Выразим ток  эмиттеpa через контурный ток

Четырехполюсники

6. Подставим ток эмиттера в уравнения

Четырехполюсники

7.  Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях

Четырехполюсники.

8. Рассчитаем ток Четырехполюсники по формуле Крамера

Четырехполюсники

где

Четырехполюсники
9. Рассчитаем выходное напряжение транзисторного усилителя

Четырехполюсники

10. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению транзисторного усилителя

Четырехполюсники

Пример 5.2.2.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.17) MKT. Транзистор представить схемой замещения на базе Н-параметров.

Четырехполюсники

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.18).

2.Выполним эквивалентные преобразования сопротивлений в схеме и преобразуем источник тока в эквивалентный источник ЭДС (рис. 5.19):

Четырехполюсники

Четырехполюсники

3. Выберем независимые контуры и зададим положительное направление в них контурных токов.

4. Составим систему уравнений по MKT:

Четырехполюсники

5. Выразим ток  Четырехполюсники и напряжение Четырехполюсники через контурные токи:

Четырехполюсники

6. Подставим их выражения в уравнения:

Четырехполюсники

7. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях:

Четырехполюсники

8. Рассчитаем комплексный ток третьего контура Четырехполюсники

Четырехполюсники

где

Четырехполюсники

9.  Рассчитаем выходное напряжение транзисторного усилителя

Четырехполюсники

10. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению транзисторного усилителя

Четырехполюсники

Пример 5.2.3. Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (рис. 5.20) ОМУН. Транзистор представить физической схемой замешения.

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.21).
2.  Выберем независимые углы и зададим положительное направление узловых напряжений.

Четырехполюсники

3. Составим матрицу проводимостей пассивной части схемы.

Четырехполюсники

4. Определим управляющий параметр. Из схемы видно, что Четырехполюсники поэтому источник тока

Четырехполюсники

Отсюда получим управляющий параметр: Четырехполюсники

5. Впишем управляющий параметр в матрицу Четырехполюсники

Источник тока включен в узлы 3 и 4, а управляется он узловым напряжением третьего узла Четырехполюсники. Поэтому параметр Четырехполюсники необходимо вписать в элементы матрицы Четырехполюсники

Ток источника направлен от yзла 3, а напряжение Четырехполюсники с учетом знака в формуле (5.1) направлено к. узлу. Поэтому в элемент Четырехполюсники параметр Четырехполюсники вписывается со знаком минус. Рассуждая аналогично, найдем, что в элемент Четырехполюсники параметр необходимо вписать со знаком плюс. После вписывания получим полную матрицу Y проводимостей усилителя

Четырехполюсники

6. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи усилителя по формуле (см. табл. 4.1)

где Четырехполюсники — алгебраические дополнения полной матрицы проводимостей, получаемые из нее путем вычеркивания соответствующих строк (в данном случае первой) и столбцов (первого и четвертого соответственно).

Пример 5.2.4.

Рассчитать Y-параметры транзистора Четырехполюсники — 623 В.

Дано: Четырехполюсники

Решение

1. Рассчитаем параметр Четырехполюсники транзистора по формуле (см. табл. 5.9)

Четырехполюсники

2. Рассчитаем Четырехполюсники-параметры транзистора, включенного в схему с общей базой, по формулам пересчета параметров (см. табл. 5.3):

Четырехполюсники

3. Используя основное свойство неопределенной матрицы, составим матрицу Y-параметров транзистора
Четырехполюсники

4. Составим матрицу Четырехполюсники-параметров транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером

Четырехполюсники

Пример 5.2.5.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилителя (см. рис. 5.20) ОМУН. Транзистор описать матрицей Y-параметров.

Решение

1.Составим эквивалентную комплексную схему однокаскадного транзисторного усилителя без учета транзистора (рис. 5.22).
Четырехполюсники
2. Выберем независимые узлы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3. Составим матрицу проводимостей пассивной части схемы
Четырехполюсники

4. Впишем матрицу проводимостей пассивной части схемы в матрицу Y-параметров транзистора, включенного по схеме с общим эмиттером

Четырехполюсники

5. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению

Четырехполюсники

Пример 5.2.6.

Рассчитать комплексный коэффициент передачи по напряжению однокаскадного транзисторного усилители (рис. 5.23) МУН. Транзистор представить схемой замещения на базе Y-параметров. Построить АЧХ усилителя в диапазоне ЧетырехполюсникиЧетырехполюсники

Дано: Четырехполюсники Четырехполюсники

Четырехполюсники

Решение

1. Составим эквивалентную комплексную схему транзисторного усилителя по переменному току (рис. 5.24).

Четырехполюсники

2. Выберем независимые узлы и зададим положительное направление узловых напряжений.

3.  Составим систему уравнений по МУН

Четырехполюсники

4.  Выразим напряженияЧетырехполюсники через узловые напряжения:

Четырехполюсники

5. Подставим значения напряжений Четырехполюсники в систему уравнений (5.2):

Четырехполюсники

6. Сгруппируем подобные слагаемые в уравнениях (5.3):

Четырехполюсники

7. Запишем матрицу проводимостей из полученной системы уравнений (5.4)

Четырехполюсники

8. Подставим числовые значения и матрицу проводимостей

Четырехполюсники

9. Рассчитаем комплексный коэффициент передачи по напряжению:
Четырехполюсники

где 

Четырехполюсники

Четырехполюсники

После подстановки и преобразований получим

Четырехполюсники
Модуль комплексного коэффициента передачи определяется выражением
Четырехполюсники
10. Рассчитаем значения модуля комплексного коэффициента передачи по напряжению и диапазоне частот Четырехполюсники

По результатам расчета построим график АЧХ и среде Mathcad (рис. 5.25).

Четырехполюсники