Неравенство треугольника - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Неравенство треугольника:

Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС <АВ + ВС. Докажем это.

Теорема (о неравенстве треугольника).

Любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.

Дано:

Доказать: АС <АВ+ВС, АВ<АС+ВС, ВС < АВ+АС.

Доказательство:

Пусть АС — наибольшая сторона АВС. Проведем высоту ВН. Из прямоугольного АНВ следует АН<АВ (катет меньше гипотенузы). Аналогично из СНВ  НС<ВС. Сложив неравенства, получим АН+НС<АВ+ВС. Откуда АС<АВ+ВС. Два других неравенства АВ<АС+ВС и ВС

Для сторон , и треугольника можно записать неравенства: <+, <+,

<+. Каждое из трех указанных неравенств называется неравенством треугольника.

Следствие 1.

Если для точек А, В и С верно, что АВ=АС+ВС, то эти точки лежат на одной прямой. При этом точка С лежит между точками А и В.

Следствие 2.

Длина отрезка, соединяющего концы незамкнутой ломаной, меньше длины ломаной.

На рисунке 257 изображена незамкнутая ломаная ABCDE.

Докажем, что АЕ<АВ+ВС+CD+DE. Соединим точку А с точками С и D отрезками. По неравенству треугольника АС<АВ+ВС и AD<АС+CD. Значит, AD<АВ+ВС+CD. Так как по неравенству треугольника АЕ

Чтобы доказать, что данные три числа не могут быть длинами сторон треугольника, достаточно убедиться, что большее из этих чисел не меньше суммы двух других чисел. Например, треугольника со сторонами 21, 12, 35 не существует, так как не выполняется неравенство треугольника: 35>12+21 (рис. 258).

Замечание. Из неравенств треугольника следует, что то есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо 

Пример:

Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.

Решение:

Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС < АВ + ВС. Продлим сторону AM до пересечения со стороной ВС в точке К. Из МКС по неравенству треугольника МС<МК+КС. Тогда AM + МС<АК + КС (1). Из АВК по неравенству треугольника АК < АВ + ВК, значит, АК + КС<АВ + ВС (2). Из неравенств (1) и (2) следует, что AM + МС < АВ + ВС. Утверждение доказано.

Пример:

Доказать, что медиана треугольника меньше полусуммы двух соседних сторон.

Доказательство:

Докажем, что для медианы ВМ треугольника ABC справедливо неравенство: ВМ < (АВ + ВС) (рис.260).

Продлим медиану ВМ на ее длину, MD = ВМ, BD = 2ВМ. Треугольники AMD и СМВ равны по первому признаку равенства треугольников (AMD =CMB как вертикальные), откуда AD = BC. В ABD по неравенству треугольника BD (АВ + ВС). Утверждение доказано.

Теоремы о соотношениях между сторонами и углами треугольника.

Теорема 1. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

Доказательство.

1) Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что C > B (рис. 108, а).

2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).

3) Так как АF < АВ, то точка F лежит между точками А и В. Отсюда следует, что l является частью угла ВСА, а, значит, ВСА > 1.

4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, 2 > B.

5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то 1 = 2.

Таким образом, BСА > 1, 1 = 2 и 2 > B.

Отсюда получаем, что ВСА > B.

Теорема доказана.

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Доказательство.

1) Пусть в треугольнике АBС С > B. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.

2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ < АС.

3) Если АВ = АС, то данный треугольник АBС является равнобедренным, а, значит, B = C. Если АВ < АС, то по теореме 1 B > C.

В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: C > B. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.

Теорема доказана.

Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.

Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Доказательство.

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.

Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.

Теорема доказана.

Неравенство треугольника

Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

Доказательство.

1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ < АС + СВ (рис. 109, а).

2) Отложим на луче АС отрезок CF, равный стороне ВС (рис. 109, б).

3) В равнобедренном треугольнике ВСF угол 1 равен углу 2, а в треугольнике АВF  АВF  > l, следовательно, верно неравенство АВF > 2.

4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ < АF. Но так как АF = АС + СF, то АВ < АС + СВ.

Теорема доказана.

Следствие 1. Для любых трех точек А, В, С, не лежащих на одной прямой, справедливы следующие три неравенства, которые называются неравенствами треугольника:

АВ < АС + СB; АС < АВ + ВС; АВ < ВА+АС.

Следствие 2. Длина каждой стороны треугольника больше разности длин двух других его сторон.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

На основании первого и второго признаков равенства треугольников можно доказать следующие признаки равенства прямоугольных треугольников.

Теорема 1 (о равенстве прямоугольных треугольников по двум катетам). Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Так как в прямоугольном треугольнике угол между катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то по первому признаку равенства треугольников следует утверждение данной теоремы.

Теорема доказана.

Например, пусть ABCD — квадрат, а точки О и F — середины сторон АВ и AD соответственно (рис. 112, а). Тогда прямоугольные треугольники OAD и FAB равны. Действительно, поскольку каждый угол квадрата прямой, а его стороны равны, то АD =АВ и АО = АF, т. е. эти треугольники равны по двум катетам.

Пусть точки О и F — середины ребер А₁В₁ и АВ соответственно прямоугольного параллелепипеда (рис. 112, б). Тогда равны прямоугольные треугольники АА₁O и В₁ВF, содержащиеся в грани АA₁B₁B прямоугольного параллелепипеда. Действительно, так как каждый угол прямоугольника АA₁B₁B прямой (рис. 112, в), а противоположные стороны равны, то верны равенства АA₁О =FBВ₁= 90°, АА₁=ВВ₁ и А₁O = ВF, т. е. треугольники равны по двум катетам.

Теорема 2 (о равенстве прямоугольных треугольников по катету и прилежащему острому углу). Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

Учитывая условие теоремы и тот факт, что прямые углы равны, получаем, что катет и два прилежащих к нему угла одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и двум прилежащим к нему углам второго прямоугольного треугольника. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников эти треугольники равны.

Теорема доказана.

Докажем еще два признака равенства прямоугольных треугольников.

Теорема 3 (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу). Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

1) Пусть в прямоугольных треугольниках АBС и А₁В₁С₁ равны гипотенузы АВ и А₁В₁, а также А=A₁. Докажем, что треугольники ABC и А₁В₁С₁ равны (рис. 113, а).

2) Так как сумма градусных мер углов любого треугольника равна 180°, то в треугольнике ABC B = 90° - A и в треугольнике А₁В₁С₁ B₁ = 90° - A₁. Так как A = A₁, то B = B₁.

3) Таким образом, гипотенуза AB и два прилежащих к ней угла треугольника ABC соответственно равны гипотенузе А₁В₁ и двум прилежащим к ней углам треугольника А₁В₁С₁. Следовательно, на основании второго признака равенства треугольников получаем, что АВС = А₁В₁С₁.

Теорема доказана.

Например, пусть отрезки СО и AF — высоты равнобедренного треугольника ABC с основанием АС. Тогда АОС = CFA по гипотенузе и острому углу.

Действительно, АС — общая гипотенуза этих треугольников, а OAC = FCA, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника ABC равны (рис. 113, б, в).

Теорема 4 (о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету). Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство.

1) Пусть в прямоугольных треугольниках АСВ и А₁С₁ В₁ C=С₁, AB=А₁В₁  и AC=А₁C₁ (рис. 114, a).

2) На луче, противоположном лучу СB, отложим отрезок СF, равный отрезку С₁В₁. Тогда треугольники А₁В₁С₁  и АСF равны по двум катетам.

3) Следовательно, АF =А₁В₁=АВ, т. е. треугольник АВF является равнобедренным и B = F. Таким образом, прямоугольные треугольники АСВ и АСF равны по гипотенузе и острому углу. Кроме того, АCF = А₁С₁В₁, значит, треугольник АСВ равен треугольнику А₁С₁В₁.

Теорема доказана.

Например, пусть прямая l пересекает окружность, центром которой является точка А, в точках D и F (рис. 114, б). Отрезок АВ — перпендикуляр, проведенный из точки А к прямой l. Тогда треугольники ABF и ABD равны по гипотенузе и катету. Действительно, AF = AD как радиусы окружности, отрезок АВ — общий катет этих треугольников.