Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияАВС (рис. 220).

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Доказать: Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияA+Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияB +Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияC = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияKBA =Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияA как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияMBC =Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияC как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияKBA +Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияABC +Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияMBC = 180°. ОтсюдаСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияA +Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияB +Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияC = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1.    Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

2.    Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).    

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, тоСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения1 =Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения2.

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Решение:

Пусть Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения (Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения — градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Тогда Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения 

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Ответ: Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° - 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Из треугольника АОС находим: Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Ответ: 125°.

Замечание. Если Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения то, рассуждая аналогично, получим формулу: Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения Если, например, Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения (рис. 226).

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Докажем, чтоСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияACB = 90°. Обозначим Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияA = Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения,Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияВ = Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияАМС — равнобедренный, тоСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияA =Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияACM = Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияСМВ — равнобедренный и Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияB =Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияBCM = Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения. Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения + 2Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения, с другой — равна 180°. Отсюда 2Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения + 2Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения = 180°, 2(Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения + Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения) = 180°, Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения + Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения = 90°. НоСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияACB = Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения + Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения, поэтому

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияACB = 90°. 

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой». 

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияC=90°,Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияA=Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения,Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияB=Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения.

Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Проведем отрезок СМ так, чтоСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияACM=Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияАВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияBCM дополняетСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияACM до 90°. Поскольку Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияACM =Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияA = Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения, тоСумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияBCM =Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = Сумма углов треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решенияАВ.