Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°:

Теорема (о катете, лежащем против угла в 30°). Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Дано: Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами

Доказать: ВС = Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиАВ.

Доказательство:

На луче ВС отложим отрезок СВ1 равный отрезку ВС. Так как            Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиАВ1С =Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиАВС по двум катетам (катет АС — общий), то Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиB1AC =Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиBAC = 30°,

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиBAB1 = 60°. Но Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиВ = Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиВ1 = 60°. Известно, что если у треугольника все углы равны, то он равносторонний. Отсюда Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиАВВ1 — равносторонний, АВ = ВВ1, ВС = Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиВВ1 =Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиАВ. Теорема доказана.

Верно и утверждение, обратное данному. Докажем его.

Теорема. Если в прямоугольном треугольнике катет равен половине гипотенузы, то этот катет лежит против угла в 30°.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиC = 90°, АВ = Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами, ВС=Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами (рис. 279).

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами

Докажем, что Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиBAC = 30°. Продлим катет ВС на его длину: СВ1 = ВС. Из равенства прямоугольных треугольников АСВ1 и АСВ (по двум катетам) следует, что АВ1 = АВ = ВВ1 = Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами. Значит, Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиАВВ1 — равносторонний, все его углы равны по 60°, а его высота АС является биссектрисой. Поэтому Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиBAC = 30°. Что и требовалось доказать.

Пример:

В прямоугольном треугольнике ABC, у которого Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиC = 90°, Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиA=30°, проведена высота CD. Найти отрезок AD, если BD = 8 см.

Решение:

Так как угол А и угол BCD дополняют угол В до 90°, то Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиBCD=Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиA=30° (рис. 280).

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами

В прямоугольном треугольнике CDB катет BD лежит против угла в 30°.  Поэтому СВ = 2BD = 16 см.

В треугольнике ABC катет ВС лежит против угла в 30°. Поэтому АВ = 2ВС = 32 см.

Отсюда AD=AB-BD = 32 - 8 = 24 (см).

Ответ: 24 см.

Замечание. Мы доказали, что BC = 2BD, AB = 2BC = 4BD, AD = АВ - BD = 3BD, то есть в прямоугольном треугольнике с углом 30° высота делит гипотенузу в отношении 1 : 3.

Пример:

Дан прямоугольный треугольник с углом 15°. Высота, проведенная к гипотенузе, равна 2 см. Найти гипотенузу.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиACB = 90°, Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиB = 15°, СН = 2 см — высота (рис. 281).

Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерами

Нужно найти АВ. Проведем медиану СМ треугольника ABC. Так как в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то СМ = MB. Треугольник СМВ — равнобедренный, Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиMCB = Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиCBM = 15°, Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиAMC — его внешний угол.

По свойству внешнего угла Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиAMC =Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиMCB +Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30° с примерамиMBC = 15° + 15° = 30°.

В прямоугольном треугольнике СНМ катет СН лежит против угла в 30°, поэтому он равен половине гипотенузы СМ. Отсюда СМ = 2СН = 4 см, АВ = 2СМ = 8 см.

Ответ: 8 см.