Внешний угол треугольника - определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Внешний угол треугольника:

Углы треугольника называются еще его внутренними углами. Помимо внутренних углов, у треугольника есть и внешние углы.

Определение. Внешним углом треугольника называется угол, смежный с его внутренним углом.

На рисунке 237, а углы ВСК, ABM, CAN — внешние, так как каждый из них является смежным с одним из внутренних углов треугольника. При каждой вершине треугольника один угол внутренний и два внешних. На рисунке 237, б угол 1 — внутренний, углы 2 и 3 — равные внешние углы. Угол 4 не является внешним, так как он не является смежным с внутренним углом 1.

Дано:

Доказать: 4 =1 +2.

Доказательство:

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

l +2 +3 = 180°.

Так как сумма смежных углов равна 180°, то3 +4 = 180°.

Тогда Отняв от обеих частей равенства 3, получим 1 +2 =4. Теорема доказана.

Следствие.

Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

Пример:

Доказать, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника параллельна основанию.

Доказательство:

Пусть в АВС АВ=ВС, ВМ — биссектриса внешнего угла КВС,      1 =2 =  KBC (рис. 239).

По свойству внешнего угла треугольника KBC =3 +4. Так как АВС равнобедренный, то3=4=KBC. Поэтому 2 =4. Поскольку внутренние накрест лежащие углы 2 и 4 равны (при прямых ВМ и АС и секущей ВС), то прямые ВМ и АС параллельны.

Пример:

Доказать, что сумма углов А, В, С, D и Е «звездочки» равна 180° (рис. 240).

Решение:

Рассмотрим АМК. Сумма его углов равна 180°. Угол АМЕ — внешний для ЕМС, поэтому AME =C +E.

Аналогично, угол АКВ — внешний для KBD, поэтомуAKB =B +D.

Так какA +AMK +AKM = 180°, тоA + (C +E) + (B +D) = 180°.

Геометрия 3D

Пример:

DABC — правильная треугольная пирамида, точка К — середина ребра DC, AKB = 50°. Найдите KAB (рис. 244).

Решение:

Так как пирамида правильная, то треугольники ADC и BDC — равные равнобедренные, AD = BD, BD = CD, ADC = BDC. Тогда ADK = BDK по двум сторонам и углу между ними. Отсюда АК = ВК, АКВ — равнобедренный,

KAB = 65°.

Ответ: 65°.