Длина дуги кривой - определение и вычисление с примерами решения

Длина дуги кривой:

Определение 1. Рассмотрим простую кривую L на плоскости (см. § 30), заданную параметрически в виде

Разобьем отрезок

Кривая называется спрямлякмой, если множество – длин всевозможных вписанных в кривую ломаных – ограничено, при этом  – называется длиной кривой L.
 

Замечание. Эквивалентное утверждение: число l называется длиной кривой L, если такое, что ∀ разбиения диаметром Δ < δ выполнено неравенство (3)

 

Теорема 1. Пусть x (t) и y (t) – непрерывно-дифференцируемы, тогда кривая L вида (1) – спрямляемая.
Доказательство. по теореме Лагранжа   где
Тогда

Таким образом  – ограничено, и следовательно имеет точную верхнюю грань, что и требовалось доказать.
Найдем длину кривой L. Рассмотрим случай явного задания функции:

интегральная сумма для функции поэтому:
(4)

Аналогично для кривой L заданной по формулам (1)
(5)

Длина l пространственной кривой L: находится по формуле:

 

Пример 1.

Найдем длину дуги астроиды 

Решение.

По формуле (5): 
 

Пример 2.

Найти длину дуги линии

 

Решение.

Кривая симметрична относительно оси Ох:
 – задают верхнюю и нижнюю ветви  По формуле (4)
 Длина всей кривой: 

 

Замечание. Если кривая не является простой, необходимо учитывать возможность самоналожения участков кривой друг на друга.

Пример 3.

Найти длину кривой 
 

Решение.

При получаем график:

При получаем тот же график, проходимый в обратном направлении (точки совпадают.
Поэтому  (проверить).
 

Замечание. называется дифференциалом длины дуги. И тогда формула (5) перепишется в виде:
Найдем длину кривой L заданной в полярных координатах: r=r(ϕ),  где функция r(ϕ) – непрерывно-дифференцируема. Тогда (см. формулы (1) § 31)
 - параметрическое задание кривой;

Поэтому  (7)
 

Пример 4.

Найти длину дуги части кардиоиды расположенной вне круга
(см. пример 4 § 31).
 

Решение.