Пространственные фигуры - виды, изображения, свойства с примерами решения

Пространственные фигуры:

Геометрические фигуры делятся на плоские и пространственные в зависимости от того, все или не все точки фигуры принадлежат одной плоскости.

Пространственные фигуры

Некоторые пространственные фигуры — призма (рис. 1), пирамида (рис. 2), цилиндр (рис. 3), конус (рис. 4), шар (рис. 5). Раздел геометрии, в котором изучаются плоские фигуры, называется планиметрией, а раздел, в котором изучаются пространственные фигуры, — стереометрией.

Ту или иную пространственную фигуру приходится изображать на плоскости листа в тетради или на плоскости доски. Соответствующий рисунок выполняют таким образом, чтобы он создавал то же впечатление, что и сама изображаемая фигура. При этом невидимые линии делают штриховыми.

На рисунке 6 изображены параллелограмм и треугольник которые пересекаются по отрезку Часть треугольника находится на параллелограммом часть — под ним. При этом часть четырёхугольника видна, а часть — не видна. Обращаем внимание на то, что точки и треугольника не принадлежат параллелограмму а значит, и его стороне

На рисунке 7 изображена треугольная пирамида которую пересекает плоскость по четырёхугольнику При этом у пирамиды невидимым является ребро а у сечения — его стороны и

Представление пространственной фигуры на рисунке называют изображением фигуры.

Важным классом пространственных фигур являются многогранники, под которыми понимают тела, ограниченные плоскими многоугольниками.

Эти многоугольники называются гранями многогранника, их вершины — вершинами многогранника, а стороны — рёбрами многогранника.

Отрезок, соединяющий две вершины многогранника, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника (рис. 8).

Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке 9 изображён невыпуклый многогранник.

Б) Мы будем изучать простейшие выпуклые многогранники — призмы и пирамиды.

Призмой называется многогранник, две грани которого — равные угольники, а остальные граней — параллелограммы.

Равные грани-многоугольники призмы называют её основаниями, а остальные грани — боковыми гранями. Рёбра боковых граней, не принадлежащие основаниям, называются боковыми рёбрами (рис. 10).

В зависимости от количества сторон основания призмы отличают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную и т. д. призмы. На рисунке 11 изображена шестиугольная призма.

Совокупность боковых граней призмы образуют боковую поверхность.

Площадь боковой поверхности призмы равна сумме площадей боковых граней.

Призмы разделяются на прямые и наклонные.

Прямая призма — призма, боковые грани которой являются прямоугольниками. Обычно, изображая прямую призму, её боковые рёбра проводят вертикально (рис. 12).

Призма прямая, если боковые рёбра перпендикулярны рёбрам основания призмы.

Призма наклонная, если боковые рёбра не перпендикулярны рёбрам основания призмы.

Прямая призма называется правильной, если её основания являются правильными многоугольниками.

Призма, основаниями которой являются параллелограммы, называется параллелепипедом.

Параллелепипед, как и призма, может быть и прямым (рис. 13), и наклонным (рис. 14).

Прямой параллелепипед, основания которого являются прямоугольниками, называется прямоугольным параллелепипедом.

Все грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками.

Три ребра прямоугольного параллелепипеда, сходящиеся в одной вершине, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед с равными измерениями называется кубом.

Все грани куба — равные друг другу квадраты.

В) Пирамидой называется многогранник, одна грань которого — многоугольник, а остальные являются треугольниками с общей вершиной.

На рисунке 15 изображена пирамида Многоугольник называют основанием пирамиды, треугольные грани — боковыми гранями, а общую вершину боковых граней — вершиной пирамиды. Обычно в записи обозначения пирамиды первая буква соответствует её вершине.

В зависимости от количества сторон основания пирамиды отличают треугольную, четырёхугольную, пятиугольную и т. д. пирамиды. Пирамида на рисунке 15 — пятиугольная, а на рисунке 16 — треугольная.

Пирамида, основание которой — правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий её вершину с центром основания, перпендикулярен любой прямой, проведённой в плоскости основания через этот центр, называется правильной.

Высота боковой грани правильной пирамиды, опущенная из вершины пирамиды, называется апофемой пирамиды.

На рисунке 17 изображена правильная четырёхугольная пирамида отрезок — одна из её апофем.

Теорема 1. У правильной пирамиды равны её: а) боковые грани; б) апофемы.

Доказательство: Пусть — правильная пирамида и точка — центр её основания (рис. 18).

а) Поскольку треугольники и оба прямоугольные, имеют общий катет и равные катеты и то они равны. Поэтому равны и их гипотенузы и Аналогично доказывается, что другие боковые рёбра также равны

Боковые грани пирамиды — равнобедренные треугольники с равными боковыми сторонами. Основания этих треугольников также равны друг другу как стороны правильного многоугольника, который лежит в основании пирамиды. Поэтому боковые грани равны между собой по трём сторонам.

б) Поскольку боковые грани пирамиды равны между собой, то равны и их высоты, проведённые из вершины это значит, что все апофемы пирамиды равны.

Теорема 2. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра её основания и апофемы.

Доказательство: Пусть — правильная пирамида (см. рис. 18). Площадь её боковой поверхности состоит из площадей боковых граней, которые являются равными друг другу равнобедренными треугольниками с равными апофемами Поэтому

где — полупериметр основания пирамиды, — апофема пирамиды

Г) Ещё один класс пространственных фигур составляют тела вращения, к которым относятся цилиндр, конус, шар.

Цилиндром называется тело, полученное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон (рис. 19). При этом вращении одна сторона прямоугольника остаётся неподвижной, её называют осью цилиндра. Сторона, противолежащая оси, образует поверхность, которую называют боковой поверхностью цилиндра, а саму сторону — образующей цилиндра. Ещё две стороны прямоугольника при вращении образуют поверхности, которые являются равными кругами, эти круги называют основаниями цилиндра (рис. 20). На рисунке 21 дано изображение цилиндра.

Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов (рис. 22), который называют осью конуса. Второй катет описывает круг, который называют основанием конуса; неподвижную вершину треугольника, которая не принадлежит основанию, называют вершиной конуса. Гипотенуза при вращении образует поверхность, которую называют боковой поверхностью конуса, саму гипотенузу называют образующей конуса (рис. 23). На рисунке 24 дано изображение конуса.

Шаром называется тело, полученное вращением круга вокруг своего диаметра (рис. 25). При этом вращении окружность описывает поверхность, которую называют сферой (рис. 26). На рисунке 27 дано изображение шара.

Пример:

Найдите площадь боковой поверхности прямой четырёхугольной призмы, в основании которой лежит прямоугольник с измерениями 4 см и 5 см, а боковое ребро равно 6 см.

Решение:

Пусть — прямая призма; — прямоугольник, = 4 см, = 5 см, = 6 см (рис. 28).

— прямоугольники ( — прямая призма), поэтому

Ответ:

Боковая поверхность прямой призмы равна произведению периметра её основания и бокового ребра. Докажите это самостоятельно.

Пример:

Боковая поверхность правильной четырёхугольной пирамиды равна а её апофема — 12 см. Найдите площадь основания пирамиды.

Решение:

Пусть — правильная четырёхугольная пирамида; — апофема; = 12 см (рис. 29).

так как пирамида правильная, поэтому

Тогда так как — квадрат.

Ответ:

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней.

Пример:

Апофема правильной четырёхугольной пирамиды равна 30 см, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, — 24 см. Найдите боковую поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть — правильная четырёхугольная пирамида, — апофема, = 30 см, — центр основания = 24 см (см. рис. 29).

(см), так как (см), так как — квадрат, (см).

(см2),

так как пирамида правильная.

Ответ:

В правильной пирамиде отрезок, соединяющий центр основания пирамиды с основанием апофемы пирамиды, — радиус окружности, вписанной в основание пирамиды. Докажите это самостоятельно.

Пример:

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна см, а отрезок, который соединяет вершину пирамиды с центром основания, — 8 см. Найдите:

а) боковые рёбра пирамиды;

б) боковую поверхность пирамиды;

в) полную поверхность пирамиды.

Решение:

Пусть — правильная треугольная пирамида, см, — центр основания = 8 см (рис. 30).

a) (см), так как — радиус окружности, описанной около правильной треугольника

так как

так как — правильная треугольная пирамида.

б) Пусть — апофема. Тогда — середина (в и ).

(медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника ), поэтому — радиус вписанной в окружности и (см).

(см), так как

(см),

так как — правильный.

В)

Ответ: а) см; б)

в)

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площади основания

Изображение пространственных фигур

Чтобы получить изображение призмы, достаточно построить многоугольник — основание призмы. Из вершин основания провести прямые, параллельные некоторой фиксированной прямой, и отложить на них одинаковые отрезки. Соединив концы этих отрезков, получим многоугольник — изображение другого основания призмы.

Чтобы получить изображение пирамиды, достаточно построить изображение основания пирамиды, выбрать некоторую точку в качестве изображения вершины пирамиды и соединить её с вершинами многоугольника основания пирамиды.

Не каждый рисунок воспринимается нами как изображение реально существующей фигуры. Расхожее выражение «обман зрения» по сути является неверным. Глаза не могут обмануть нас, поскольку являются лишь промежуточным звеном между объектом и мозгом человека. Обман обычно возникает не из-за того, что мы видим, а из-за того, что неосознанно рассуждаем и непроизвольно ошибаемся.

Невозможные объекты представляют собой рисунки на двумерной плоскости, изображающие трёхмерные структуры, существование которых в реальном трёхмерном мире представляется невозможным. Классическим примером такой простой фигуры является невозможный треугольник Пенроуза (рис. 53). В этом треугольнике каждый угол сам по себе является возможным, но парадокс возникает тогда, когда мы рассматриваем его целиком. Стороны треугольника направлены одновременно и на зрителя, и от него, поэтому отдельные части треугольника не могут образовать реальный трёхмерный объект.

Наш мозг интерпретирует рисунок на плоскости как трёхмерную модель. Сознание задаёт «глубину», на которой находится каждая точка рисунка. Наши представления о реальном мире сталкиваются с противоречием, с определённой непоследовательностью, и приходится делать некоторые допущения: прямые двумерные линии интерпретируются как прямые трёхмерные линии; двумерные параллельные линии интерпретируются как трёхмерные параллельные линии; острые и тупые углы интерпретируются как прямые углы в перспективе; внешние линии рассматриваются как граница формы, которая крайне важна для восприятия определённого изображения.

Человеческое сознание сначала создаёт общий рисунок предмета, а затем анализирует его отдельные части. Каждый угол совместим с пространственной перспективой, но, соединившись, они образуют пространственный парадокс. Если закрыть любой из углов треугольника (рис. 54), то невозможность существования исчезает.

Похожие фигуры явились источником вдохновения для многих творцов. График Маурицио Эшер создал ряд литографий (рис. 55), которые принесли ему известность художника-иллюзиониста.