Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ромбом называют параллелограмм, у которого все стороны равны (рис. 48).

Так как ромб является параллелограммом, то он имеет все свойства параллелограмма.

1. Сумма любых двух соседних углов ромба равна 180°.

2. У ромба противолежащие углы равны.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

4. Периметр ромба Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Кроме того, ромб имеет еще и такое свойство.

5. Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Доказательство:

Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - диагонали ромба Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (рис. 49), Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - точка их пересечения. Поскольку Ромб и его свойства, определение и примеры с решением и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением то Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - медиана равнобедренного треугольника Ромб и его свойства, определение и примеры с решением проведенная к основанию Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемПоэтому Ромб и его свойства, определение и примеры с решением является также высотой и биссектрисой треугольника Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Следовательно, Ромб и его свойства, определение и примеры с решением и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Аналогично можно доказать, что диагональ АС делит пополам угол Ромб и его свойства, определение и примеры с решением а диагональ Ромб и его свойства, определение и примеры с решением делит пополам углы Ромб и его свойства, определение и примеры с решением и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Пример:

Угол между высотой и диагональю ромба проведенными из одной вершины, равен 28°. Найдите углы ромба.

Решение:

Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - диагональ ромба Ромб и его свойства, определение и примеры с решениема Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - его высота (рис. 50), Ромб и его свойства, определение и примеры с решением = 28°.

Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

1) В Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

2) Так как Ромб и его свойства, определение и примеры с решением делит угол Ромб и его свойства, определение и примеры с решением пополам, то Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемРомб и его свойства, определение и примеры с решением

3) Тогда Ромб и его свойства, определение и примеры с решением

Ответ. 124°, 56°, 124°, 56°.

Рассмотрим признаки ромба.

Теорема (признаки ромба). Если в параллелограмме: 1) две соседние стороны равны, или 2) диагонали пересекаются под прямым углом, или 3) диагональ делит пополам углы параллелограмма, — то параллелограмм является ромбом.

Доказательство:

1) Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - параллелограмм (рис. 48). Так как Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (по условию) и Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (по свойству параллелограмма), то Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемСледовательно, Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - ромб.

2) Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (рис. 49). Поскольку Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (по свойству параллелограмма), то Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (по двум катетам). Следовательно, Ромб и его свойства, определение и примеры с решением По п. 1 этой теоремы Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - ромб.

3) Диагональ Ромб и его свойства, определение и примеры с решением делит пополам угол Ромб и его свойства, определение и примеры с решением параллелограмма Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (рис. 49), то есть Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемТак как Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемРомб и его свойства, определение и примеры с решением - секущая, то Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (как внутренние накрест лежащие). Следовательно, Ромб и его свойства, определение и примеры с решением Поэтому по признаку равнобедренного треугольника Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - равнобедренный и Ромб и его свойства, определение и примеры с решениемПо п. 1 этой теоремы Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - ромб. 

Пример:

Докажите, что если в четырехугольнике все стороны равны, то этот четырехугольник - ромб.

Доказательство:

Пусть Ромб и его свойства, определение и примеры с решением (рис. 48).

1) Так как противолежащие стороны четырехугольника Ромб и его свойства, определение и примеры с решением попарно равны, то Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - параллелограмм по признаку параллелограмма.

2) У параллелограмма Ромб и его свойства, определение и примеры с решением соседние стороны равны. Поэтому Ромб и его свойства, определение и примеры с решением - ромб (по признаку ромба). 

А еще раньше...

Слово «ромб» греческого происхождения, которое в древние времена означало вращающееся тело, веретено, волчок. Ромб тогда связывали с сечением веретена, на которое намотаны нити.

В «Началах» Евклида термин «ромб» встречается единожды, а свойства ромба Евклид вообще не рассматривал.