Площадь трапеции - определение и вычисление с примерами решения

Теорема (о площади трапеции). Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту.

Доказательство:

Пусть

Докажем, что площадь трапеции можно найти по формуле:

1) Диагональ разбивает трапецию на два треугольника и Поэтому

2) - высота треугольника  поэтому

3) Проведем в трапеции высоту  она является и высотой треугольника поэтому

4) (как высоты трапеции). Следовательно,

В общем виде формулу площади  трапеции можно записать так:

где и  - основания трапеции, - ее высота.

Следствие. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.

Пример:

В трапеции   Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) Проведем в трапеции высоту

(рис. 245). В (по свойству катета, противолежащего углу 30°). Следовательно, (см).

2)

Ответ. 39

Пример:

Периметр трапеции 60 см, а одна из боковых сторон точкой касания вписанной окружности делится на отрезки 9 см и 4 см. Найдите площадь трапеции.

Решение:

1) Так как трапеция является описанной около окружности (рис. 246), то

2) Центр вписанной окружности - точка - является точкой пересечения биссектрис углов трапеции, следовательно, и углов и  Поэтому (задача 214, с. 43).

3) Точка  - точка касания окружности со стороной  поэтому Следовательно, - радиус окружности и высота прямоугольного треугольника  проведенная к гипотенузе. По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем: откуда

4) — диаметр окружности, а также высота трапеции, поэтому (см).

5) Следовательно,

Ответ. 180

Площадь трапеции

Часто для вычисления площади некоторого многоугольника его разбивают на несколько треугольников и находят искомую площадь как сумму площадей этих треугольников. Именно такой подход можно применить для вывода формулы площади трапеции.

Теорема (формула площади трапеции) Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

где  — основания трапеции,  — высота трапеции.

Доказательство:

 Пусть дана трапеция  с основаниями  и высотой  Диагональ  делит ее на два треугольника  (рис. 151).

Проведем высоты этих треугольников  Обе они являются высотами трапеции, т.е. равны  Имеем:

Теорема доказана. 

Следствие

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту.