Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Содержание:

Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Если рассматривать две прямые на плоскости, то они либо не пересекаются, либо пересекаются только в одной точке. Те прямые, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости, называют параллельными. А те, которые пересекаются, имеют особое название только в одном случае - если пересекаются под прямым углом. Такие прямые называются перпендикулярными.

Существуют ли в пространстве прямые, которые пересекаются и которые не пересекаются? Ответ на этот вопрос дают образы окружающего мира. Имеют ли такие прямые свое название и как их различать - вы узнаете из этого параграфа.
По аксиоме стереометрии, если две прямые пересекаются, то через них можно провести единственную плоскость. Это означает, что любые две пересекающиеся прямые определяют плоскость, а плоскости, в свою очередь, - пространство.

Итак, в пространстве прямые, расположенные в одной плоскости, могут пересекаться или быть параллельными. По аксиоме параллельных прямых, через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной. По следствию из аксиомы стереометрии, через прямую и точку вне ее можно провести единственную плоскость. Поэтому выходит, что две параллельные прямые задают плоскость.

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если две произвольные прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Рассмотрим модель куба, изготовленного из «проволочных отрезков», лежащих на соответствующих прямых (рис. 3.1). Среди прямых, на которых лежат ребра куба, есть такие, которые не пересекаются и лежат в одной плоскости (Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и т.д.), т.е. являются параллельными, однако есть и такие, которые не пересекаются и не являются параллельными (Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения иВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и т.д.). Такие прямые называются скрещивающимися.

Две прямые пространства, которые не пересекаются и не параллельны, называются скрещивающимися.

Понятно, что две скрещивающиеся прямые не могут лежать в одной плоскости. Поэтому говорят, что две прямые скрещиваются, если их нельзя поместить в одну плоскость. Для определения скрещивающихся прямых используют символ Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Например Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (читается: «прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - скрещивающиеся», или «прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения скрещивается с прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения»). Особым случаем расположения прямых является их наложение - прямые совпадают.

Итак, расположение двух прямых в пространстве может быть следующим:

  1. прямые пересекаются, если они имеют только одну общую точку;
  2. прямые параллельны, если они не пересекаются и лежат в одной плоскости;
  3. прямые скрещиваются, если они не пересекаются и не параллельны;
  4. прямые совпадают, если они имеют хотя бы две общие точки.

Рассмотрим свойства, которыми обладают параллельные прямые в пространстве.

Теорема 1

Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство:

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения произвольная прямая пространства, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - точка, не принадлежащая ей (рис. 3.2). Через прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения можно провести плоскость. Пусть это будет плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. На плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения лежит прямая и точка вне ее. Через эту точку можно провести прямую, параллельную данной. Пусть прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Докажем, что прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения единственная. Допустим, что существует другая прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая не совпадает с прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельна прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и проходит через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Поскольку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то по определению они лежат в одной плоскости, например Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения имеют общую прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а поэтому совпадают. В плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения проходят две прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельные прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, что противоречит аксиоме параллельности. Получили противоречие, которое доказывает единственность прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Теорема 2 (признак параллельности прямых)

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Доказательство:

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Пусть прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны прямой с (рис. 3.3). Докажем, что прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны. Случай, когда прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, с лежат в одной плоскости, был рассмотрен в планиметрии. Это свойство еще называют признаком параллельности прямых. Поэтому будем считать, что эти прямые не лежат в одной плоскости, и докажем, что такой признак имеет место и в пространстве.
По условию Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, и поэтому эти прямые лежат в одной плоскости, пусть это будет плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. АналогичноВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, поэтому эти прямые будут лежать в некоторой другой плоскости - плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Выберем на прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Через прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения проведем плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая пересечет плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения по некоторой прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения имеют общую точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения). Поскольку через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения уже проходит прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, т.е. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в некоторой точке Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а значит Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Однако Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения поэтому Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.
Т.е. точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения принадлежит трем плоскостям Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Но все точки, общие для плоскостей Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, лежат на прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Поэтому прямая а проходит через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, что противоречит условию Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекает прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, т.е. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельна Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Однако в плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения проходит только одна прямая, параллельная прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Поэтому прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения совпадают. Поскольку прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекает прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и принадлежит плоскостиВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, т.е. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Свойство скрещивающихся прямых выражает признак: если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а вторая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся (предлагаем доказать это самостоятельно).

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая является подмножеством точек плоскости. Она состоит из множества точек. Такие рассуждения приводят к тому, что прямая и плоскость могут иметь множество общих точек, одну или ни одной общей точки. Случаи, когда прямая принадлежит плоскости и когда прямая пересекает плоскость, нам известны (рис. 3.9). Другие случаи расположения прямой и плоскости рассмотрим в следующих параграфах.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Теорема 3

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая также пересекает эту плоскость. 

Доказательство:

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Пусть даны параллельные прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в точке Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения(рис. 3.10). Докажем, что вторая прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения также пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, т.е. имеет с ней общую точку, и притом только одну.

Обозначим Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения плоскость, которой принадлежат параллельные прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Поскольку различные плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения имеют общую точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то, по аксиоме стереометрии, они имеют некоторую общую прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Одна из параллельных прямых Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Поэтому ее пересекает вторая, параллельная ей, прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения является точкой пересечения прямых Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - общей точкой прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Допустим, что прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения имеет с плоскостью Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения какую-либо другую общую точку. Тогда, по следствию из аксиом стереометрии, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения принадлежит Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Поскольку прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения принадлежит и плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то она совпадает с прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая является линией пересечения плоскостей Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Из этого вытекает, что прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения одновременно пересекает и прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и параллельна ей. Получили противоречие, что и требовалось доказать. Теорема доказана.
 

Пример №1

Отрезок Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в точке Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Через его концы Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая делит отрезок в отношении Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, считая от точки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость соответственно в точках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Найдите длину отрезка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, если известно, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Решение:

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Поскольку прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны и пересекают прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то они лежат в одной плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 3.11). Точки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения лежат на одной прямой - прямой пересечения плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения с плоскостью Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.
Проведем в плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, где Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - точка пересечения этой прямой с прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - с прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Поскольку четырехугольники Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения- параллелограммы, то Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Обозначим длину этих отрезков через Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Тогда Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (взаимное расположение точек Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения может быть различным: рис. 3.11, а и рис. 3.11, б).

Из подобия треугольников Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения имеем: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, отсюда Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения или Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.
Ответ. 4 см или 32 см.
 

Отметим, что прямая пересекает плоскость, когда у нее с плоскостью одна общая точка.

Параллельность прямой и плоскости

Рассмотренные в параграфах 3.1 и 3.2 случаи не исчерпывают всех возможных вариантов расположения прямой относительно плоскости. Рассмотрим случай, когда у прямой с плоскостью нет ни одной общей точки. В таком случае говорят, что прямая параллельна плоскости.

Прямая называется параллельной плоскости, если не имеет с ней ни одной общей точки.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Параллельность прямой и плоскости обозначают символом Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Например Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 3.16). Проверить параллельность прямой и плоскости можно, пользуясь признаком.
 

Теорема 4 (признак параллельности прямой и плоскости)

Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.

Доказательство:

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - плоскость, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - прямая, которая ей не принадлежит, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - прямая, принадлежащая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Если Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 3.17), то они лежат в одной плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Тогда Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - прямая, все точки которой общие для плоскостей Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Пусть прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, тогда эта точка пересечения является общей точкой для плоскостей Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, т.е. принадлежит прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Это означает, что прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияпересекаются. Получили противоречие условию. Итак, прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не может иметь с плоскостью а общих точек, поэтому параллельна ей, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Отрезок называется параллельным плоскости, если он принадлежит прямой, которая параллельна плоскости. Например, и помещении, имеющем форму прямоугольного параллелепипеда, стыки стен с потолком параллельны полу, и наоборот -стыки стен с полом параллельны потолку и т.д. Аналогично можно рассматривать такое расположение на модели прямоугольного параллелепипеда (рис. 3.18):

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Следствие 1. Если прямая параллельна плоскости, то через каждую точку этой плоскости на ней можно провести пря мую, параллельную данной прямой.
Например, на плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения находится множество прямых, которым параллельна прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 3.19).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Следствие 2. Существует множество прямых, параллель пых одной и той же плоскости.

Например, вне плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения находится множество параллельных ей прямых, которые могут принадлежать или не принадлежать одной плоскости (рис. 3.20).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Следствие 3. Если прямая параллельна каждой из пересекаю щихся плоскостей, то она параллельна и прямой их пересечения.

Например, на рисунке 3.21 изображены Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Вывод: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Итак, через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения вне плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения можно провести:

  • - множество прямых, параллельных плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения,
  • - одну прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельную прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения,
  • - множество прямых, скрещивающихся с прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Пример №2

Докажите, что все прямые, пересекающие одну из двух скрещивающихся прямых и параллельные другой, лежат в одной плоскости.

Дано: прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения- скрещивающиеся.

Доказать, что все прямые, пересекающие Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и параллельные Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, лежат в одной плоскости.

Доказательство:

Проведем несколько произвольных прямых Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, пересекающих одну из двух скрещивающихся, например Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, и параллельных прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 3.22). Поскольку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, т.е. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения принадлежат некоторой плоскости. Назовем ее Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Отсюда следует, что прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Аналогично рассуждая, получаем, что прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения также принадлежат плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Итак, все прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения,Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения принадлежат плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Почему именно так?

Скрещивающиеся прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекаются и не параллельны. Нужно выбрать одну из них, с которой будем выполнять пересечение, например Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Тогда на прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения выбираем некую точку, через которую проводим прямую, параллельную прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (по аксиоме). Пусть это прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Это определяет единственную плоскость, допустим Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. На прямой выбираем еще одну точку, через которую проводим прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, причем Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Приходим к выводу: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и хВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а это означает, что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Такие рассуждения можно провести для любой прямой, пересекающей прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и параллельной прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Пример №3

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает стороны Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения треугольника Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения соответственно в точках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения , Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 3.23). Найдите длину стороны Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения треугольника Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, если Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Дано:Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Найти: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Решение:


Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - прямая пересечения Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, поэтому Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (по углам).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, тогда Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Ответ. 15 см.

Почему именно так?

Плоскость треугольника Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекается с плоскостью Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в двух точках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения через которые проходит единственная прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - прямая пересечения плоскостей. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, поэтому Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Однако через Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения проходит единственная плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Далее используем обобщенную теорему Фалеса (о пропорциональных отрезках) или подобие треугольников.

Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве. Параллельные плоскости

Если рассматривать две плоскости в пространстве, то их расположение зависит от наличия общих точек.

Возможны случаи:

1. Если у двух плоскостей имеется одна общая точка, то они пересекаются по прямой, которая проходит через эту точку (аксиома расположения) (рис. 4.1, а). При наличии двух общих точек ситуация не изменится: через произвольные две точки можно провести только одну прямую, которая будет общей для этих двух плоскостей, т.е. они пересекаются по этой прямой.
Итак, если две плоскости имеют одну или много общих точек, лежащих на одной прямой, то эти плоскости пересекаются.

2. Как известно, через три произвольные точки пространства, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну (следствие из аксиом стереометрии). Тогда очевидно, что если две плоскости будут иметь три и больше общих точек, не лежащих на одной прямой, то они будут накладываться (рис. 4.1, б). В таком случае говорят, что плоскости совпадают.

Отсюда вытекает, что плоскости совпадают, если они имеют:

  • а)    общую прямую и точку, не принадлежащую ей;
  • б)    две общие прямые, которые пересекаются;
  • в)    хотя бы три общие точки, не лежащие на одной прямой.

3. Если две различные плоскости не имеют ни одной общей точки, то они называются параллельными (рис. 4.1, в). Для обозначения параллельности плоскостей используют символ Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Записывают Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (читают: «плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельна плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения», или «плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны»).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Итак, плоскости в пространстве могут: пересекаться, совпадать или быть параллельными.

Модели параллельных плоскостей встречаются довольно часто: полки в шкафу, двойные стекла в оконной раме, пол и потолок, перекрытия в многоэтажном доме, ровно сложенные в упаковках диски, учебники и т.д. Выяснить, параллельны ли плоскости, позволяет признак параллельности плоскостей.

Теорема 1

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения иВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - данные плоскости (рис. 4.2), Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - две прямые, лежащие на плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и пере секающиеся в точке Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения лежат на плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и соответственно параллельны прямым Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Докажем, что плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны, методом от противного.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Допустим, что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекаются по некоторой прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. По теореме о параллельности прямой и плоскости, прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельные прямым Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекают плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а значит не пересекают и прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, принадлежащую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Таким образом, на плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения проходят две прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельные Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, что невозможно по аксиоме параллельности. Получили противоречие. Итак, предположение неверно, плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекаться не могут, поэтому Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны, что и требовалось доказать. Теорема доказана.

Теорема 2

Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Доказательство:

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - заданная плоскость, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - точка, не принадлежащая ей. Проведем в плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения две произвольные прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, пересекающиеся в точке Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис.4.3.), а через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - две прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельные им Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая проходит через прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельна плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Итак, плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения построена. Докажем, что она единственная, т.е. не зависит от выбора прямых Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Допустим, что существует другая плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая проходит через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и параллельна плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Далее выполним еще два дополнительных построения:

1. Построим плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая содержит параллельные прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Поскольку плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения имеет с Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения общую точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения по некоторой прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, проходящей через эту точку. Но поскольку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, это противоречит аксиоме параллельности. Итак, прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения совпадают.

2. Построим плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая содержит параллельные прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Она пересечет плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения по некоторой прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Рассуждая аналогично, докажем, что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения совпадает с Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Итак, имеем, что через две пересекающиеся прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения проходят две различные плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, однако это противоречит аксиоме принадлежности. Предположение о существовании двух различных плоскостей, параллельных данной, которые бы проходили через одну и ту же точку, неверно. Через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну, что и требовалось доказать. Теорема доказана.
 

Пример №4

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не принадлежит плоскости треугольника Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. На отрезках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения выбраны точки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения соответственно, так что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Докажите, что плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны.
Дано: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.
Доказать: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Доказательство:

По условию задачи: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, поэтому Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (по обобщенной теореме Фалеса).
Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, поэтому Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - единственная плоскость; Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения -единственная плоскость.
Итак, по признаку параллельности плоскостей, имеем, что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, ч.т.д.

Почему именно так?

По обобщенной теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Поэтому, учитывая условие задачи, получаем параллельность трех пар соответствующих прямых:Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Точками Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения определяется одна плоскость, а Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения -другая, которые, по признаку параллельности плоскостей, параллельны, ч.т.д.

Пример №5

Даны две параллельные плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не лежит ни в одной из них. Найдите геометрическое место прямых, которые проходят через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и параллельны двум плоскостям Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Решение:

Пусть плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны. Точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не лежит ни в плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, ни в плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Возьмем в плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения произвольную точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, через которую проведем две прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.
Через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения проведем соответственно две прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельные Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а значит, и плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Две пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, пусть это будет плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Тогда Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, по признаку параллельности плоскостей.
Аналогично доказывается, что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, не лежащую ни в одной из двух плоскостей, можно провести много прямых, параллельных плоскостям Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которые будут лежать в одной плоскости, параллельной данным плоскостям.
Ответ. Плоскость.

Почему именно так?

Точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не принадлежит двум данным плоскостям Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Ее расположение в пространстве произвольно: или между плоскостями, или вне плоскостей. На решение задачи это не влияет. Через точку вне плоскости можно всегда провести много прямых, параллельных данной плоскости. Каждая прямая, параллельная одной из двух параллельных плоскостей, будет параллельной и другой плоскости. Поскольку через две пересекающиеся прямые можно провести единственную плоскость, то все параллельные данным плоскостям прямые, которые проходят через заданную точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, принадлежат одной и той же плоскости. Геометрическим местом таких прямых является плоскость.

Свойства параллельных плоскостей

Параллельные плоскости имеют определенные свойства. Рассмотрим их.

Свойство 1. Если две параллельные плоскости пересечь третьей, то прямые их пересечения параллельны.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Доказательство:

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - секущая плоскость для плоскостей Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 4.9), имеем две прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения; они могут не пересекаться или пересекаться только в одной точке как прямые одной плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, причем Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекаются и лежат в одной плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, тогда они параллельны, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, ч.т.д.

Свойство 2. Параллельные плоскости, пересекая две параллельные прямые, отсекают на них равные отрезки.

Доказательство:

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - данные параллельные прямые, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения- параллельные плоскости, пересекающие их соответственно в точках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 4.10).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Поскольку прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны, то они лежат в одной плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения по прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - по прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которые по свойству 1 параллельны. Поэтому Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - параллелограмм. Таким образом, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения ч.т.д.

Свойство 2 иногда формулируется так: отрезки параллельных прямых, находящиеся между двумя параллельными плоскостями, равны.

Свойство 3. Две плоскости, параллельные третьей плоскости, параллельны между собой.

Доказательство:

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения,Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Допустим, что плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не параллельны. Тогда плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения имеют общую точку. Через эту точку проходит две плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельные плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Однако через точку вне данной плоскости можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну, поэтому мы пришли к противоречию. Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, ч.т.д.

Пример №6

Докажите, что плоскость, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую плоскость.

Дано: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.
Доказать: плоскость у пересекается с плоскостью Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Доказательство:

Докажем, что плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекается с плоскостью Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, методом от противного (рис. 4.9). Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекаются, тогда Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. По условию задачи, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, тогда Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Т.е. существует такая точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения на прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, через которую проведены две разные плоскости, параллельные плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Это противоречит теореме о существовании плоскости, параллельной данной. Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, т.е. плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекается с плоскостью Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, ч.т.д.

Почему именно так?

Для доказательства требования задачи важно выбрать метод доказательства: прямой или от противного. В общих случаях чаще используют метод от противного. Сделав предположение, противоположное требованию задачи, мы приходим к выводу: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Отсюда, по транзитивности, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, что противоречит условию задачи. Полученное противоречие доказывает требование задачи.

Итак, плоскость, пересекающая одну из двух параллель ных плоскостей, пересекает и другую.

Пример №7

Докажите, что прямая, которая пересекает одну из параллельных плоскостей, пересекает и другую.
Дано: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения
Доказать: прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Доказательство:

Построим произвольную плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 4.11), которая проходит через прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - общая точка прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а значит и плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Поэтому Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Тогда, по задаче 1, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, где Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - прямая пересечения Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Получили, что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, принадлежащая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, пересекает прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в точке Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, следовательно, и прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, т.е. плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.
Можно было бы доказать требование задачи методом от противного: предположив, что прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Тогда, еслиВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения не пересекается с Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, то Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, что противоречит условию задачи. Итак, прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, что и требовалось доказать.
Итак, любая прямая, пересекающая одну из двух параллельных плоскостей, пересекает и другую.

Пример №8

Две параллельные плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекают сторону Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения угла Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в точках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а сторону Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - соответственно в точках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Найдите длину отрезка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, если Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 4.12).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Дано: плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения
Найти: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения
 

Решение:

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения пересекает стороны угла Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в точках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - в точках Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. По условию Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Учитывая, что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, имеем: Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения подобен Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Итак, Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения
Ответ. 36 см.

Почему именно так?

Через точки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения проведем плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, пересекающую две параллельные плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения по параллельным прямым Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Тогда полученные треугольники Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения подобны и их соответствующие стороны пропорциональны. Находим неизвестный член пропорции и получаем решение задачи.

Параллельное проецирование. Изображение плоских и пространственных фигур на плоскости

Чтобы изобразить пространственные фигуры на плоскости, прибегают к разным методам. Один из них - параллельное проецирование.
Параллельное проецирование - это метод изображения произвольной геометрической фигуры на плоскости, при котором все точки фигуры переносятся на плоскость по прямым, параллельным заданной, называющейся направлением проецирования.

Модели параллельного проецирования можно сравнить с тенью на плоской поверхности стены или земли при солнечном освещении. Итак, чтобы выполнить параллельное проецирование, сначала задают фигуру и плоскость, на которую проецируют, - плоскость проекции. Далее задают прямой направление проецирования - проецирующую прямую. Она должна пересекать плоскость проекции.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Пусть заданы произвольная плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, проецирующая прямая Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, не принадлежащая ни прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, ни плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 4.22, а).
Проведем через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельно Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, которая пересекает плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения в точке Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 4.22, б). Найденная таким образом точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения называется параллельной проекцией точки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения на плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Т.е. мы выполнили параллельное проецирование точки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения на плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Каждая геометрическая фигура состоит из точек. Поэтому, проецируя последовательно точки фигуры на плоскость, получаем изображение, которое называют проекцией этой фигуры, и способ выполнения изображения - параллельным проецированием.
 

Отметим, что если точка принадлежит проецирующей прямой, ее проекцией будет точка пересечения прямой с плоскостью (точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения на рис. 4.22), а если точка принадлежит плоскости проекции, то ее проекция совпадает с точкой плоскости.

Рассмотрим параллельное проецирование для изображения геометрических фигур на плоскость. Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения произвольная геометрическая фигура, которую нужно спроецировать на плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Возьмем произвольную прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, пересекающую плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, и проведем через вершины фигуры Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (точки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения) прямые, параллельные Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Точки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - точки пересечения этих прямых с плоскостью проекции Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - будут проекцией вершин фигуры. Понятно, что отрезки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения перейдут в отрезки плоскости проекции Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияВзаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, все точки фигуры перейдут в точки плоскости проекции, образовав изображение Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияфигуры Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 4.23).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Для параллельного проецирования важно знать его направление. От него зависит общий вид изображения проекции. Например, проекцией отрезка, параллельного проецирующей прямой, будет точка (рис. 4.24, а), а проекцией отрезка, не параллельного проецирующей прямой, - отрезок (рис. 4.24, б).
Итак, параллельное проецирование имеет свои свойства для прямых и отрезков, не параллельных направлению проецирования:

  1. Проекцией прямой является прямая, а проекцией отрезка - отрезок.
  2. Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.
  3. Соотношения длин отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются (рис. 4.24, б), т.е. равны соотношению длин своих проекций, в частности середина отрезка проецируется в середину его проекции.

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Отметим, что длины проекций отрезков, параллельных плоскости проекций, сохраняются, т.е. равны длинам самих отрезков. Отсюда вытекает, что плоская фигура, плоскость которой параллельна плоскости проекции, проецируется в равную себе фигуру.

Приведем некоторые свойства изображения фигуры на плоскости, вытекающие из вышеописанного построения.
Прямолинейные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка отрезками (рис. 4.24, б).

Действительно, все прямые, которые проецируют точки отрезка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, лежат в одной плоскости, пересекающей плоскость Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения по прямой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Произвольная точка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения отрезка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения изображается точкой Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения отрезка Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.
 

Отметим, что рассмотренные выше отрезки, которые проецируются, не параллельны направлению проецирования.
 

Параллельные отрезки фигуры изображаются на плоскости рисунка параллельными отрезками (рис. 4.25).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Пусть Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения - параллельные отрезки некоторой фигуры. Их проекции - отрезки Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияи Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения параллельны, поскольку их получили в результате пересечения параллельных плоскостей с плоскостью Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (первая из этих плоскостей проходит через прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, а вторая - через прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой, то плоскости параллельны).

Соотношения длин отрезков одной прямой или параллельных прямых сохраняются при параллельном проецировании.

Покажем, например, что Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения (рис. 4.26).

Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения

Прямые Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения лежат в одной плоскости Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Проведем в ней через точку Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения прямую Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения, параллельную Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения. Треугольники Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения и Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решенияподобны. Из подобия треугольников и равенств Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения вытекает пропорция:Взаимное расположение прямых в пространстве, прямой и плоскости с примерами решения.

Пример №9

Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника?

Решение:

При параллельном проецировании сохраняются соотношения отрезков прямой. Поэтому середина стороны треугольника проецируется в середину проекции этой стороны. Отсюда вытекает, что проекции медиан треугольника будут медианами его проекции.