Параллельность прямых и плоскостей - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Определение. Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Если прямые

Два отрезка (луча) называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Отрезок (луч) называется параллельным данной прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной.

Теорема 1. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной прямой.

Доказательство:

1. Докажем, существование прямой.

Пусть дана прямая b и точка А, не лежащая на этой прямой. Тогда через них проходит единственная плоскость а (рис. 68, а, б). В этой плоскости, как известно из планиметрии, существует прямая проходящая через точку А и параллельная прямой b.

2. Докажем единственность прямой.

Предположим, что существует еще одна прямая проходящая через точку А и параллельная прямой b. Тогда прямая должна лежать в одной плоскости с точкой А и прямой b, т. е. в плоскости . Из курса планиметрии известно, что в плоскости через точку А проходит единственная прямая, параллельная прямой b. Значит, прямая совпадает с прямой

Теорема доказана.

Теорема 2. Если одна аз двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Доказательство.

Пусть а и b — параллельные прямые и прямая а пересекает плоскость в точке О. Докажем, что прямая b также пересекает плоскость (рис. 69, а, б).

Рассмотрим плоскость , в которой лежат параллельные прямые а и b. Плоскости а и  имеют общую точку О, следовательно, они пересекаются по некоторой прямой

Прямая лежит в плоскости и пересекает прямую а в точке О, значит, она пересекает и прямую b, параллельную прямой а, в некоторой точке Т. Так как прямая лежит в плоскости , то точка Т есть общая точка прямой b и плоскости .

Прямая b не имеет с плоскостью других точек, кроме точки Т. Действительно, если бы прямая b имела еще одну общую точку с плоскостью , то она лежала бы в плоскости , а следовательно, была бы общей прямой плоскостей и , т. е. совпадала бы с прямой , что противоречит параллельности прямых a и b.

Таким образом, прямая b имеет с плоскостью единственную общую точку Т, т. е. пересекается с плоскостью в точке Т.

Теорема доказана.

Теорема 3 (признак параллельности прямых). Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой.

Доказательство:

Пусть (рис. 70 а, б). Докажем, что Для этого необходимо доказать, что прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Пусть О — некоторая точка на прямой b. Обозначим буквой (3 плоскость, проходящую через прямую а и точку О. Докажем, что прямая b лежит в плоскости . Допустим, что прямая b пересекает плоскость , тогда по теореме 2 прямая с также пересекает плоскость . Так как то и прямая а по теореме 2 пересекает плоскость , а это противоречит тому, что прямая а лежит в плоскости .

Прямые а и b не пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит теореме 1.

Теорема доказана.

Например, пусть — параллелепипед (рис. 71, a). Тогда прямые  параллельны. Действительно, так как четырехугольник — параллелограмм, то  Аналогично так как — параллелограмм. Тогда по признаку параллельности прямых

 

Пример:

Основанием прямоугольного параллелепипеда служит квадрат, длина стороны которого 1 см, а длина бокового ребра параллелепипеда равна 3 см. Точки Р, Т, О и К являются серединами отрезков АВ, ВВХ, и AD соответственно. Вычислите периметр четырехугольника РТОК (рис. 71, б, в).

Решение:

1)В треугольнике отрезок ТО есть средняя линия, следовательно,

2)В треугольнике ABD отрезок РК — средняя линия, значит,

3)Из 1) и 2) следует, что т. е. РТОК — параллелограмм.

4)Теперь вычислим периметр четырехугольника:

Теорема 4 (о точке пересечения диагоналей параллелепипеда). Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство:

1)    Пусть — параллелепипед. Рассмотрим четырехугольник диагонали которого являются диагоналями данного параллелепипеда (рис. 72, а). Так как — параллелограмм, то так как четырехугольник ABCD — параллелограмм, то Следовательно, т. е. четырехугольник — параллелограмм. Поэтому его диагонали пересекаются в некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

2)    Рассмотрим четырехугольник Он также является параллелограммом, так как Следовательно, его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Серединой диагонали B,D является точка О, значит, диагонали параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся ею пополам (рис. 72, б).

3)    Теперь рассмотрим четырехугольник Этот четырехугольник является параллелограммом, так как Значит, его диагонали которые являются диагоналями параллелепипеда, пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Серединой диагонали является точка О, следовательно, и диагональ параллелепипеда проходит через точку О и делится этой точкой пополам (рис. 72, в).

Параллельность прямой и плоскости

1. Параллельность прямой и плоскости. Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости:

1)прямая лежит в плоскости (каждая точка прямой лежит в плоскости). Например, если DABC — треугольная пирамида, то прямая СВ лежит в плоскости ABC (рис. 82, а);

2)прямая и плоскость пересекаются (имеют единственную общую точку). Например, прямая пересекается с плоскостью грани ABCD параллелепипеда (рис. 82, б);

3)прямая и плоскость не имеют ни одной общей точки. Например, если — куб, то прямая и плоскость, в которой лежит грань ABCD, не пересекаются (рис. 82, в).

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Если прямая а параллельна плоскости то пишут Читают: «Прямая а параллельна плоскости ».

Отрезок (луч) называется параллельным плоскости, если он лежит на прямой, параллельной данной плоскости.

Наглядное представление о прямой, параллельной плоскости, дает линия пересечения стены и потолка в комнате. Эта линия параллельна плоскости пола.

Признак параллельности прямой и плоскости

Докажем признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема 1 (признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Доказательство:

Пусть прямая а не лежит в плоскости а, прямая b лежит в этой плоскости и Докажем, что прямая а параллельна плоскости ос (рис. 83, а, б).

Предположим, что прямая а пересекает плоскость в некоторой точке X. Точка X лежит в плоскости  и в плоскости  проходящей через параллельные прямые а и b. Следовательно, она лежит на прямой b, по которой пересекаются плоскости что противоречит условию теоремы (а || b).

Таким образом, предположение неверно и прямая а не пересекает плоскость а. По условию она не лежит в плоскости а, значит,

Теорема доказана.

Например, на рисунке 84, а, б — параллелепипед) прямая параллельна плоскости а, в которой лежит грань ABCD. Действительно, прямая параллельна прямой АВ, лежащей в плоскости . Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости

Теорема 2. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Доказательство:

Пусть плоскость проходит через прямую а, параллельную плоскости , а плоскости и пересекаются по прямой b. Докажем, что а || b. Прямые а и b лежат в одной плоскости а. Кроме того, они не пересекаются. Действительно, если бы прямые а и b пересекались в некоторой точке X, тогда бы прямая а пересекала плоскость в точке X, что противоречит условию. Таким образом, прямые а и b параллельны (рис. 85, а, б).

Проиллюстрируем возможность применения теоремы при решении задач.

Пример №1

Дан куб . Постройте сечение куба плоскостью а, проходящей через прямую и точку Т, которая принадлежит ребру ВС.

Решение:

1)    Плоскость пересекает грань ABCD по отрезку AT (рис. 86, а, б).

2)    Прямая параллельна прямой лежащей в плоскости грани  следовательно, плоскость пересекает плоскость грани  по прямой параллельной прямой  Отметим точку

3)    Плоскость пересекает грани  по отрезкам соответственно. Четырехугольник — искомое сечение.

Пример №2

Прямая а параллельна плоскости Точка О лежит в плоскости . Докажите, что прямая, проходящая через точку О и параллельная прямой а, лежит в плоскости

Доказательство:

Пусть прямая b проходит через точку О и параллельна прямой а. Предположим, что прямая b не лежит в плоскости а, т. е. пересекает плоскость а в точке О. Тогда прямая а также пересекает плоскость а (гл. 2, § 1, теорема 4), что противоречит условию. Следовательно, прямая b лежит в плоскости а.

Пример №3

Постройте сечение параллелепипеда плоскостью проходящей через прямую В,С и точку О, лежащую на ребре

Решение:

1)Плоскость пересекает грани и  по отрезкам соответственно (рис. 87, а).

2)Четырехугольник является параллелограммом (т. к. ), следовательно, По признаку параллельности прямой и плоскости прямая параллельна плоскости, в которой лежит грань

3)Секущая плоскость а пересекает плоскость грани по прямой проходящей через точку О и параллельной прямой Отметим точку (рис. 87, б).

4)Плоскость а пересекает грани и ABCD по отрезкам ХО и ХС (рис. 87, в). Четырехугольник — искомое сечение.

Скрещивающиеся прямые

Если две различные прямые лежат в одной плоскости, то они либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве возможен и третий случай, когда не существует плоскости, в которой лежат две прямые.

Например, если — прямая треугольная призма (рис. 98, а, б), то прямые и СВ не параллельны и не пересекаются.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если не существует плоскости, в которой они обе лежат.

Возможны три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве:

1. прямые пересекаются (имеют одну общую точку) (рис. 99, а);
2. прямые параллельны (лежат в одной плоскости и не пересекаются) (рис. 99, б);
3. прямые скрещиваются (не существует плоскости, в которой они обе лежат) (рис. 99, в).

Признак скрещивающихся прямых

Докажем теорему, которая позволяет выяснить, являются ли две прямые скрещивающимися .

Теорема 1 (признак скрещивающихся прямых). Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Доказательство:

1)Пусть прямая а лежит в плоскости а прямая b пересекает эту плоскость в точке О, не лежащей на прямой а (рис. 100, а, б). Докажем, что прямые а и b скрещивающиеся, т. е. не существует плоскости, в которой они обе лежат.

2)Предположим, что прямые а и b лежат в некоторой плоскости . Тогда плоскость проходит через прямую а и точку О, а следовательно, совпадает с плоскостью (так как через прямую и не лежащую на ней точку проходит единственная плоскость). Получили, что прямая b лежит в плоскости а это противоречит условию теоремы. Таким образом, наше предположение неверно, а значит, прямые а и b скрещивающиеся.

Теорема доказана.

Рассмотрим пример. Пусть  — прямая треугольная призма. Тогда прямые  и ВС скрещивающиеся, так как прямая пересекает плоскость ABC в точке А, не лежащей на прямой ВС (рис. 101, а).

Пример №4

Точки Т и К лежат на ребре CD, а точки О и Е — на ребре АВ треугольной пирамиды DAB С (рис. 101, б). Докажите, что прямые ТО и КЕ скрещивающиеся.

Доказательство:

Прямая ТК пересекает плоскость ABC в точке С, не лежащей на прямой ОЕ, следовательно, прямые ТК и ОЕ скрещивающиеся. Значит, точки Т, К, Е и О не лежат в одной плоскости. Отсюда следует, что прямые ТО и КЕ не лежат в одной плоскости, т. е. являются скрещивающимися.

Теорема 2. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Доказательство:

1. Доказательство существования плоскости.

Пусть а и b — скрещивающиеся прямые (рис. 102 а, б). Докажем, что через прямую b проходит плоскость, параллельная прямой а. Через какую-либо точку О прямой b проведем прямую с, параллельную прямой а. Пусть —плоскость, проходящая через прямые b и с. Так как прямая а не лежит в плоскости и параллельна прямой с, лежащей в этой плоскости, то прямая а параллельна плоскости .

2. Доказательство единственности.

Плоскость — единственная плоскость, проходящая через прямую b и параллельная прямой а. Действительно, любая другая плоскость, проходящая через прямую Ъ, пересекается с прямой с, а следовательно, пересекается и с параллельной ей прямой.

Пример №5

Точка О — середина ребра SA треугольной пирамиды SABC. Постройте сечение пирамиды плоскостью , проходящей через прямую ОС и параллельной прямой АВ.

Решение:

Плоскость проходит через точку О, принадлежащую плоскости SAB, и параллельна прямой , следовательно, она пересекает плоскость SAB по прямой проходящей через точку О и параллельной прямой АВ. Строим точку Плоскость пересекает грань SAB по отрезку OF, а грани SAC и SBC — по отрезкам ОС и CF соответственно. Треугольник COF — сечение пирамиды SABC плоскостью (выполните рисунок самостоятельно).

Пример №6

Точки Р,Т и Е принадлежат соответственно ребрам АВ, SC и AS треугольной пирамиды SABC. Постройте сечение пирамиды плоскостью , проходящей через прямую РТ и параллельной прямой ЕС.

Решение:

1)    Плоскость проходит через точку Т и параллельна прямой ЕС, следовательно, она пересекает плоскость SAC по прямой, проходящей через точку Т и параллельной прямой ЕС. Построим точку Тогда плоскость пересекает грань SAC по отрезку а грань SAB — по отрезку (рис. 103, а).

2)    Строим точку (точка лежит в секущей плоскости) (рис. 103, б).

3)    Находим точку Секущая плоскость пересекает грани АБС и SBC по отрезкам и соответственно. Таким образом, четырехугольник — искомое сечение (рис. 103, в).

Угол между прямыми

Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости и образуют четыре неразвернутых угла. Если пересекающиеся прямые образуют тупые и острые углы, то углом между этими прямыми называется тот, который не превосходит любой из трех остальных углов. Если пересекающиеся прямые образуют четыре равных угла, то угол между этими прямыми равен Угол между двумя пересекающимися прямыми удовлетворяет условию:

Теперь введем понятие угла между скрещивающимися прямыми. Пусть а и b — две скрещивающиеся прямые. Возьмем произвольную точку в пространстве и проведем через нее прямые параллельные прямым а и b соответственно. Углом между скрещивающимися прямыми а и b называется угол между построенными пересекающимися прямыми (рис. 114, а).

Докажем, что угол между скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки Возьмем любую другую точку и проведем через нее прямые параллельные прямым и соответственно. Пусть угол между прямыми равен ах, а угол между прямыми равен

Если прямые лежат в одной плоскости, то по свойству накрест лежащих углов при параллельных прямых (рис. 114, б).

Пусть теперь прямые пересекающиеся в точке лежат в одной плоскости, а прямые пересекающиеся в точке — в другой плоскости (рис. 114, в). Возьмем на прямых точки так, чтобы а четырехугольники были параллелограммами  Тогда четырехугольник — параллелограмм Отсюда следует, что Таким образом, треугольники равны по трем сторонам. Из равенства этих треугольников следует, что

Из определения угла между скрещивающимися прямыми следует, что он не превосходит

Угол между параллельными прямыми считается равным Две прямые называются взаимно перпендикулярными (перпендикулярными), если угол между ними равен Если прямая а перпендикулярна прямой b, то пишут

Из определения следует, что перпендикулярные прямые могут пересекаться, а могут быть скрещивающимися.

Для нахождения угла между двумя данными скрещивающимися прямыми а и b можно взять на одной из них, например на прямой а, некоторую точку О ив плоскости, определяемой прямой b и точкой О, провести через точку О прямую  параллельную прямой b. Тогда угол между прямыми а и равен углу между скрещивающимися прямыми а и b (рис. 115, а).

Например, пусть на ребре DB треугольной пирамиды DABC взята точка Т (рис. 115, б). Тогда угол между скрещивающимися прямыми ВС и AT равен углу между прямой AT и прямой TF, которая проходит через точку Т и параллельна прямой ВС в плоскости BDC.

Рассмотрим еще пример. Пусть в параллелепипеде ,точка О — точка пересечения диагоналей грани а точка F — точка пересечения диагоналей грани Угол между скрещивающимися прямыми равен углу между прямой OF и прямой ОК, проходящей в плоскости через точку О и параллельной прямой(рис. 115, в).

Пример №7

В треугольной пирамиде SABC точка D принадлежит ребру SC, а точка О лежит внутри треугольника ABC. Постройте угол между прямыми SO и BD.

Решение:

1)Рассмотрим плоскость проходящую через прямую DB и точку О (рис. 116, а).

2)Сечением пирамиды плоскостью является треугольник

3)В плоскости DXB через точку О проведем прямую ОТ, параллельную прямой DB. Тогда угол SOT искомый.

Пример №8

В прямоугольном параллелепипеде Найдите угол между прямыми где точки F и К — середины ребер и AD соответственно.

Решение:

I. Построение искомого угла.

1) Рассмотрим плоскость  проходящую через прямую и точку К (рис. 116, б).

2)    Плоскость проходит через прямую параллельную плоскости грани (так как где точка О — середина ребра ВС), а следовательно, пересекает эту грань по отрезку, параллельному прямой т. е. по отрезку FC.

3)    Сечение параллелепипеда плоскостью есть четырехугольник который является параллелограммом (так как ). Следовательно,  Отсюда следует, что угол искомый.

II. Нахождение градусной меры угла.

1)    Угол найдем из треугольника .

2)  — общая сторона),  ( — общая сторона, Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Значит,

Ответ:

Пример №9

SABC — тетраэдр. Точки F и К — середины его ребер АВ и АС соответственно. Найдите косинус угла между прямыми SF и ВК (рис. 117).

Решение:

1) В плоскости SFC через точку проведем прямую OD, параллельную прямой SF. Тогда угол DOK искомый. Соединим точку D с точкой К и найдем косинус угла DO К треугольника DOK. Для нахождения косинуса угла DO К вычислим длины сторон треугольника DOK и воспользуемся теоремой косинусов. Пусть длина ребра тетраэдра равна (рис. 118, а, б).

2)    В треугольнике

3)    В треугольнике следовательно,

4)    В треугольнике

Ответ:

Параллельность плоскостей

Признак параллельности плоскостей

В данном параграфе рассмотрим свойства параллельных плоскостей.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Представление о параллельных плоскостях дают, например, пол и потолок комнаты, поверхности пола и стоящего на нем стола, противоположные стенки шкафов и др.

Если две плоскости параллельны, то пишути говорят: «Плоскость параллельна плоскости ».

Теорема 1 (признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство:

Пусть даны две плоскости В плоскости а лежат пересекающиеся в точке О прямые а и b, а в плоскости — прямые такие, что (рис. 125, а). Заметим, что каждая из прямых а и b параллельна плоскости

Предположим, что плоскости не параллельны. Пусть они пересекаются по прямой с. Тогда плоскость a проходит через прямую  параллельную плоскости и пересекает плоскость по прямой с, следовательно, прямая а параллельна прямой с (см. теорему 2, § 2). Аналогично плоскость проходит через прямую b, параллельную плоскости , и пересекает ее по прямой с, значит, прямая b параллельна прямой с.

Таким образом, исходя из предположения, получили, что через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с. Но это противоречит теореме о том, что через точку О проходит единственная прямая, параллельная прямой с. Следовательно, наше предположение неверно и плоскости и параллельны.

Теорема доказана.

Теорема 2 (о свойстве противолежащих граней параллелепипеда). Противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.

Доказательство:

Докажем, например, что грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях. Так как ABCD — параллелограмм, то Четырехугольник — параллелограмм, следовательно, Таким образом, две пересекающиеся прямые плоскости, в которой лежит граньсоответственно параллельны прямым DC и DD, плоскости, в которой лежит грань следовательно, по признаку параллельности указанные плоскости параллельны (рис. 125, б).

Свойства параллельных плоскостей

Рассмотрим некоторые свойства параллельных плоскостей.

Теорема 3 (о прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью). Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то прямые их пересечения параллельны между собой.

Пусть — параллельные плоскости, которые пересекает плоскость (рис. 126, а, б). Рассмотрим прямые а и b, по которым плоскость пересекает плоскости соответственно. Докажем, что Действительно, эти прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются. Если бы прямые а и b пересекались, то их общая точка принадлежала бы плоскостям чего быть не может, так как по условию они параллельны. Таким образом, прямые а и b лежат в одной плоскости и не пересекаются, т. е.

Пример №10

Точки Р, Т и Е — соответственно середины ребер , параллелепипеда Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Р, Т и Е. Какая фигура получится в сечении?

Решение:

1)Плоскость РТЕ пересекает грани по отрезкам РТ и РЕ соответственно (рис. 127, а).

2)Плоскость грани параллельна плоскости грани следовательно, секущая плоскость РТЕ пересекает плоскость грани по прямой, параллельной прямой РТ. Строим точку (рис. 127, б).

3) Четырехугольник ТРЕХ — искомое сечение. Так как то четырехугольник ТРЕХ — параллелограмм (рис. 127, в).

Теорема 4. Отрезки параллельных прямых, расположенные между параллельными плоскостями, равны.

Доказательство:

Пусть АВ и CD — отрезки параллельных прямых а и b, расположенные между параллельными плоскостями (рис. 128, а, б). Докажем, что Плоскость проходящая через параллельные прямые а и b, пересекает плоскости по параллельным прямым АС и BD (теорема 2). Следовательно, четырехугольник ABCD — параллелограмм, так как в нем противолежащие стороны попарно параллельны. В параллелограмме противолежащие стороны равны, значит,

Теорема доказана.

Пример №11

Докажите, что если прямая пересекает плоскость то она пересекает любую плоскость параллельную плоскости Проведите доказательство самостоятельно.

Теорема 5 (о существовании единственной плоскости, параллельной данной плоскости и проходящей через точку вне ее). Через точку, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной.

I.Доказательство существования плоскости.

1)Пусть точка О не лежит в данной плоскости Рассмотрим в плоскости какие-либо две пересекающиеся прямые а и b (рис. 129, а, б).

2)Проведем через точку О прямые параллельные прямым а и b соответственно.

3)Рассмотрим плоскость проходящую через прямые и.

4)Плоскость — искомая, так как она проходит через точку О и по признаку параллельности двух плоскостей параллельна плоскости.

II.Доказательство единственности плоскости.

1)Предположим, что существует другая плоскость проходящая через точку О и параллельная плоскости

2)Пусть— прямая, по которой плоскость пересекает плоскость Проведем в плоскости прямую b, пересекающую прямую.

3)Прямая b пересекает плоскость , поэтому она пересекает и параллельную ей плоскость Следовательно, плоскость , в которой лежит прямая b, пересекает плоскость

Таким образом, наше предположение неверно и плоскость единственная.

Теорема доказана.

Пример №12

Докажите, что через две скрещивающиеся прямые а и b можно провести две параллельные плоскости и и притом такая пара плоскостей единственная.

Доказательство:

Пусть а и b — скрещивающиеся прямые (рис. 130, а). Возьмем произвольные точки и проведем через них прямые   Пары пересекающихся прямых определяют плоскости соответственно. Тогда согласно признаку параллельности плоскостей плоскости параллельны.

Докажем единственность существования такой пары плоскостей.

Допустим, что существует еще пара плоскостей таких, что Через точку В и прямую а проведем плоскость Пусть эта плоскость пересекает плоскости по прямым соответственно. Так как то прямые с и с, проходят через точку В. Тогда по теореме 2 а это противоречит тому, что через точку В вне данной прямой а можно провести единственную прямую, параллельную данной.

Полученное противоречие говорит о том, что наше предположение неверное, а следовательно, существует единственная пара плоскостей удовлетворяющих условию задачи.

Например, если — параллелепипед, тогда пара параллельных плоскостей, проходящих через скрещивающиеся прямые АС и , есть плоскости граней ABCD и (рис. 130, б).

Взаимное расположение прямых в пространстве

А) Две прямые пространства называются параллельными прямыми, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

На плоскости через данную точку можно провести единственную прямую, параллельную данной. Это утверждение истинно и в пространстве.

Теорема 1. Через точку вне данной прямой можно провести единственную прямую, параллельную данной прямой.

Доказательство: Пусть имеется прямая и точка вне её (рис. 131). По теореме 3 из параграфа 2 через прямую и точку проходит единственная плоскость — плоскость Если прямая проходит через точку параллельно прямой , то она должна лежать в плоскости В плоскости а через точку проходит единственная прямая , параллельная прямой Прямая — искомая прямая, и она единственная.

На плоскости, если одна из параллельных прямых пересекает некоторую прямую, то и другая также пересекает её. Аналогичное утверждение истинно и в пространстве.

Теорема 2. Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство: Пусть есть две параллельные прямые и и одна из них — прямая — пересекает плоскость в точке (рис. 132).

Поскольку прямые и параллельны, то они лежат в одной плоскости, пусть это будет плоскость Плоскости и имеют общую точку , поэтому по аксиоме 3 они имеют общую прямую Эта прямая лежит в плоскости и пересекает прямую в точке поэтому она пересекает параллельную ей прямую с в некоторой точке

Поскольку прямая лежит и в плоскости то точка принадлежит этой плоскости. Значит, точка — общая точка плоскостей и

Остаётся доказать, что прямая с плоскостью не имеет других общих точек. Допустим, что это не так. Пусть прямая имеет с плоскостью ещё одну общую точку Тогда по аксиоме 2 прямая с лежит в плоскости Получается, что прямая — общая прямая плоскостей и Но такой прямой является прямая Значит, прямая с совпадает с прямой что невозможно, так как прямая параллельна прямой и пересекает прямую

Вы знаете, что если на плоскости две прямые параллельны третьей, то они параллельны и друг другу. Докажем, что такое утверждение истинно и в пространстве.

Теорема 3. Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны и друг другу.

Доказательство: Пусть прямые и параллельны прямой (рис. 133). Докажем, что прямая параллельна прямой т. е. прямые и лежат в одной плоскости и не пересекаются.

На прямой выберем произвольно точку через неё и прямую проведём плоскость Докажем, что прямая лежит в этой плоскости. Допустим, что это не так. Учитывая, что прямая имеет с плоскостью общую точку, нужно согласиться с тем, что прямая пересекает плоскость . Тогда по теореме 2 эту плоскость пересекает прямая так как она параллельна прямой и прямая которая параллельна прямой Но такое невозможно, так как прямая лежит в плоскости Значит, прямая вместе с прямой лежат в плоскости

Прямые и не пересекаются. Допустим, что это не так, т. е. прямые тип пересекаются в некоторой точке Получается, что через точку проходят две различные прямые и , параллельные прямой что противоречит теореме 1.

Используя теорему 3, можно доказать важные утверждения о параллелепипеде.

Теорема 4. У параллелепипеда: а) противоположные грани равны; б) все его диагонали пересекаются в одной точке и делятся ею пополам.

Доказательство: Пусть дан параллелепипед (рис. 134).

а) Докажем, например, равенство противоположных граней и

Отрезки и а также и равны как противоположные стороны параллелограммов и соответственно. Отрезки и параллельны и равны друг другу, так как каждый из них параллелен отрезку и равен ему. Значит, четырёхугольник — параллелограмм. А поэтому отрезки и равны друг другу как противоположные стороны этого параллелограмма.

Поскольку и то треугольники и равны, поэтому равны и углы и Значит, равны друг другу и параллелограммы-грани и

б) Докажем, что все диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Четырёхугольник — параллелограмм, так как его противоположные стороны и равны и параллельны друг другу, потому что каждый из отрезков и равен отрезку и параллелен ему (рис. 135). Поэтому диагонали и точкой пересечения О делятся пополам.

Четырёхугольник — также параллелограмм, поэтому его диагональ пересекает другую диагональ в её середине, т. е. в точке

Наконец, четырёхугольник — параллелограмм, поэтому его диагональ пересекает другую диагональ в её середине

Если две прямые пересекаются (рис. 136) или параллельны (рис. 137), то они лежат в одной плоскости. Две прямые, которые не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися (рис. 138).

Докажем признак скрещивающихся прямых.

Теорема 5. Если из двух прямых одна принадлежит некоторой плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то такие прямые являются скрещивающимися.

Доказательство: Пусть прямая лежит в плоскости а, а прямая q пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей прямой (рис. 139). Докажем, что прямые и скрещиваются.

Допустим, что прямые и лежат в некоторой плоскости Тогда плоскости принадлежит прямая и точка которая принадлежит прямой и, значит, плоскость совпадает с плоскостью Получили, что плоскости принадлежит прямая которая по условию ей не принадлежит. Это противоречие означает, что сделанное допущение ложно.

Б) Мы знаем, что углом между пересекающимися прямыми называется величина одного из четырёх образовавшихся при этом углов, который не больше 90° (рис. 140).

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые параллельны данным скрещивающимся прямым.

Докажем, что это определение корректно, т. е. не зависит от выбора точки, через которую проходят прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым.

Теорема 6. Угол между пересекающимися прямыми равен углу между параллельными им пересекающимися прямыми.

Доказательство: Пусть прямые и пересекаются в точке прямые и — в точке и (рис. 141).

От точки на прямой отложим равные отрезки и а на прямой — отрезок равный отрезку Через точки и проведём прямые, параллельные прямой они пересекут прямую в точках и соответственно. Через точку проведём прямую, параллельную прямой она пересечёт прямую в точке

Четырёхугольник является параллелограммом, так как его противоположные стороны и параллельны и равны. Поэтому и Аналогично, поскольку четырёхугольник — параллелограмм, то и а так как — параллелограмм, то и

Поскольку каждый из отрезков и равен и параллелен отрезку то они равны и параллельны друг другу. Поэтому четырёхугольники и оба являются параллелограммами и, значит, и

Теперь по признаку равенства треугольников по трём сторонам можно утверждать, что и а потому и

Таким образом, мы доказали, что углы, образованные при пересечении прямых и равны соответственным углам, образованным при пересечении прямых и

На рисунке 142 показано, как можно найти угол между скрещивающимися прямыми: выбрать произвольно точку пространства и через неё провести прямые, параллельные данным скрещивающимся прямым. Понятно, что точка может быть выбрана и на одной из скрещивающихся прямых.

Пример №13

На рисунке 143 точки и — точки пересечения диагоналей граней и параллелепипеда Построим угол между скрещивающимися прямыми и Для этого в плоскости которой принадлежат точка и прямая через точку параллельно прямой проведём прямую. Это прямая Угол — искомый угол между скрещивающимися прямыми и

Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.

Прямые, угол между которыми равен 90°, называются перпендикулярными прямыми.

Перпендикулярные прямые могут быть пересекающимися, а могут быть и скрещивающимися. Например, перпендикулярные прямые и которые проходят через соответствующие рёбра прямоугольного параллелепипеда (рис. 144), пересекаются, а перпендикулярные прямые и скрещиваются.

Пример №14

Диагонали грани куба пересекаются в точке а диагонали грани — в точке Серединами рёбер и являются точки и соответственно (рис. 150). Определите взаимное расположение прямых и

Решение:

— куб, следовательно, — квадрат и — квадрат.

— квадрат и поэтому — середина

— квадрат и поэтому — середина

Поскольку — средняя линия середина и — середина ), то

Поскольку — средняя линия середина и — середина ), то и поэтому

Ответ:

Пример №15

Отрезок имеет с плоскостью одну общую точку Через точку и середину отрезка проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость в точках и соответственно (рис. 151). Найдите длину отрезка учитывая, что

Решение:

Пересекающиеся прямые и определяют плоскость

и следовательно,

следовательно,

и

— средняя линия — середина и ), следовательно,

Ответ: 20 см.

Пример №16

— правильная треугольная призма, длина каждого ребра которой равна 1 м. Диагонали граней и пересекаются соответственно в точках и (рис. 152). Найдите площадь четырёхугольника

Решение:

— правильная треугольная призма и

м, следовательно, и — квадраты со стороной 1 м.

Поэтому

поэтому и

и поэтому — средняя линия

— средняя линия поэтому и

— средняя линия поэтому

Ответ:

Пример №17

На ребре треугольной пирамиды (рис. 153) выбрана такая точка что и через неё проведена прямая параллельная медиане грани Найдите медиану , учитывая, что длина отрезка прямой находящегося внутри пирамиды, равна 35 см.

Решение:

Поскольку точки и лежат как в плоскости так и в плоскости то Точка прямой лежит в плоскости так как

Прямая проходит через точку плоскости параллельно прямой этой плоскости, поэтому

Поскольку прямые а прямые и пересекаются, то пересекаются и прямые и Пусть

поэтому

Ответ: 49 см.

Пример №18

Прямая параллельна диагонали параллелограмма и не лежит в его плоскости. Докажите, что прямые и — скрещивающиеся, и найдите угол между ними, учитывая, что

Решение:

Пусть — плоскость, в которой лежат параллельные прямые и Тогда (рис. 154).

Поскольку то

Прямые и — скрещивающиеся по теореме 5

поэтому угол между и равен углу между и и равен углу (теорема 6).

— параллелограмм, следовательно,

Ответ: 60°.

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

А) В пространстве общих точек у прямой и плоскости может быть ни одной, одна или более одной.

Если у прямой и плоскости общих точек более одной, то, как утверждает аксиома 2, сама прямая принадлежит плоскости (рис. 163).

Прямая и плоскость могут иметь единственную общую точку. Пусть — некоторая плоскость (рис. 164). Выберем точку на плоскости и точку вне плоскости . Точки и определяют единственную прямую которая не имеет с плоскостью а иных общих точек, кроме точки Действительно, если допустить обратное, то по аксиоме 2 прямая будет лежать в плоскости а значит, в этой плоскости будет лежать и точка что противоречит выбору этой точки.

Прямая и плоскость, имеющие единственную общую точку, называются пересекающимися.

Прямая и плоскость могут не иметь общих точек. В этом случае говорят, что прямая параллельна плоскости и пишут

Докажем признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема 7. Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна какой-либо прямой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Доказательство: Пусть прямая параллельна прямой принадлежащей плоскости и не принадлежит плоскости (рис. 165). Нужно доказать, что прямая не имеет общих точек с плоскостью Допустим, что это не так, т. е. прямая пересекает плоскость в некоторой точке Эта точка не может лежать на прямой так как Тогда по признаку скрещивающихся прямых получаем, что прямые и — скрещивающиеся.

А это противоречит тому, что прямые и параллельные. Значит, прямая и плоскость не могут иметь общих точек, т. е.

Б) Докажем свойство прямой, параллельной плоскости.

Теорема 8. Линия пересечения плоскостей, одна из которых проходит через прямую, параллельную другой плоскости, параллельна этой прямой.

Доказательство: Пусть прямая параллельная плоскости принадлежит плоскости и прямая — линия пересечения плоскостей и (рис. 166). Тогда прямые и обе лежат в плоскости и не пересекаются, так как в противном случае прямая пересекала бы плоскость Значит, прямые и параллельны.

Пример №19

Докажем, что через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит единственная плоскость, параллельная другой прямой.

Пусть прямые и — скрещивающиеся (рис. 167). На прямой выберем произвольно точку и через неё проведём прямую параллельную прямой Прямые и пересекаются, поэтому через них проходит единственная плоскость Плоскость параллельна прямой так как прямая не лежит в плоскости и параллельна прямой лежащей в плоскости

Пример №20

Основание трапеции равно 48 см. Вне плоскости трапеции выбрана точка и отмечена середина отрезка (рис. 172). Постройте точку пересечения плоскости и отрезка Найдите длину отрезка

Решение:

поэтому определена (теорема 4).

и поэтому (теорема 7). }

поэтому

и поэтому (аксиома 3).

значит, (теорема 8).

и значит,

значит,

значит, и

значит,

— середина и поэтому — средняя линия

и — средняя линия поэтому

поэтому

Ответ: 24 см.

Пример №21

Постройте сечение правильной четырёхугольной пирамиды плоскостью проходящей через ребро и точку на ребре

Решение:

Определим, по какой линии пересекает поверхность пирамиды плоскость которой принадлежат прямая и точка

и поэтому (рис. 173).

и и поэтому

и поэтому и

— правильная четырёхугольная пирамида, поэтому — квадрат и

и поэтому (теорема 7).

и поэтому и (теорема 8).

и поэтому и

поэтому

и поэтому

и поэтому

и и поэтому

и и поэтому

Получили, что плоскость пересекает пирамиду по трапеции

Пример №22

Точки — середины рёбер треугольной пирамиды (рис. 174).

а) Постройте точку в которой плоскость пересекает ребро

б) Докажите, что отрезки и пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Решение:

а) Точки и — общие точки плоскостей и Поэтому

Плоскость имеет с гранью общие точки и Поэтому

и — середины рёбер и значит, — средняя линия и поэтому и

и следовательно, (теорема 7). и и следовательно, Поскольку — середина ребра и то — средняя

линия и поэтому Значит, — середина ребра

Искомое сечение — четырёхугольник

б) Поскольку и и то

— параллелограмм. Отрезки и — его диагонали. Поэтому — середина и

Взаимное расположение плоскостей в пространстве

А) Две плоскости или имеют общую точку, или не имеют её. В первом случае в соответствии с аксиомой 3 плоскости имеют общую прямую, т. е. пересекаются по этой прямой (рис. 183). Во втором случае плоскости не пересекаются (рис. 184).

Плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными плоскостями.

Представление о параллельных плоскостях дают поверхности потолка и пола или поверхности противоположных стен комнаты (рис. 185). Следующая теорема выражает признак параллельности плоскостей.

Теорема 9. Плоскость, проходящая через две пересекающиеся прямые, параллельные другой плоскости, параллельна этой плоскости.

Доказательство: Пусть плоскость проходит через пересекающиеся прямые и которые параллельны плоскости (рис. 186). Докажем, что плоскость параллельна плоскости .

Допустим, что плоскость пересекает плоскость по некоторой прямой Тогда по теореме 8 прямая параллельна и прямой и прямой Значит, по теореме 3 прямые и параллельны друг другу. Но это противоречит условию о том, что они пересекаются. Значит, плоскость параллельна плоскости

Следствие 1. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Это следствие получается из теоремы 9 с учётом признака параллельности прямой и плоскости.

Следствие 2. Противоположные грани параллелепипеда параллельны, т. е. лежат в параллельных плоскостях.

Например, грань параллелепипеда (рис. 187) содержит прямые и а грань — прямые и Поскольку и — параллелограммы, то и и, значит, плоскости и параллельны.

Б) Докажем свойства параллельных плоскостей.

Теорема 10. Линии пересечения двух параллельных плоскостей третьей плоскостью параллельны.

Доказательство: Пусть плоскость у пересекает параллельные плоскости и по прямым и (рис. 188). Докажем, что прямые и параллельны.

Допустим, что это не так, т. е. прямые и имеют общую точку Тогда точка принадлежит плоскости так как прямая принадлежит плоскости а, точка принадлежит и плоскости так как прямая принадлежит плоскости Получается, что плоскости и имеют общую точку но это невозможно, так как по условию плоскости и параллельны.

Значит, прямые и не могут иметь общей точки. А поскольку они лежат в одной плоскости, именно в плоскости то они параллельны.

Пример №23

Параллелепипед пересечён плоскостью, проходящей через середины его рёбер соответственно. Определим, какая фигура получится в сечении.

Плоскость пересекает грани и по отрезкам и (рис. 189), при этом так как — средняя линия прямоугольника и

Поскольку плоскость проходит через прямую параллельную плоскости то линия пересечения этих плоскостей — прямая — параллельна Четырёхугольник — искомое сечение.

Учтём, что плоскости граней и параллельны. Из теоремы 10 следует, что прямые и по которым плоскости и пересекает плоскость параллельны. А поскольку и то четырёхугольник — параллелограмм.

Теорема 11. Через данную точку вне данной плоскости проходит единственная плоскость, параллельная данной.

Доказательство: Пусть даны плоскость и точка вне её (рис. 190). В плоскости а проведём какие-либо пересекающиеся прямые и , а через точку — прямые и параллельные прямым и соответственно. Плоскость определённая прямыми и с учётом признака параллельности плоскостей параллельна плоскости а и проходит через точку .

Докажем единственность плоскости Допустим, что есть ещё одна плоскость которая проходит через точку и параллельна плоскости (рис. 191). Прямые и обе не могут принадлежать плоскости ибо тогда плоскости и совпадали бы. Пусть не принадлежит плоскости Через точку и прямую проведём плоскость 8. Она пересекает плоскость по прямой а плоскость — по прямой Тогда по теореме 10 обе эти прямые параллельны прямой .

Но такое невозможно, так как в плоскости через данную точку параллельно данной прямой проходит единственная прямая.

Следствие 3. Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей плоскости, то эти две плоскости параллельны друг другу.

Если прямая пересекает плоскость то она пересекает и любую плоскость, параллельную плоскости Докажите самостоятельно.

Если плоскости и параллельны и прямая проходящая через точку плоскости параллельна плоскости то прямая лежит в плоскости Докажите самостоятельно.

Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию, есть многоугольник, подобный основанию. Докажите самостоятельно.

Теорема 12. Отрезки параллельных прямых, заключённые между двумя параллельными плоскостями, равны.

Доказательство: Пусть параллельные плоскости и высекают из параллельных прямых и отрезки и (рис. 192). Докажем, что эти отрезки равны.

Плоскость которой принадлежат параллельные прямые и пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым и В результате получается четырёхугольник в котором противоположные стороны параллельны. Значит, этот четырёхугольник — параллелограмм, поэтому его противоположные стороны и равны.

Пример №24

Докажем, что отрезки произвольных прямых, заключённые между тремя параллельными плоскостями, пропорциональны.

Пусть параллельные плоскости высекают из прямой отрезки и а из прямой — отрезки и (рис. 193). Докажем, что

Через точку проведём прямую, параллельную прямой пусть она пересекается с плоскостями и в точках и соответственно. В треугольнике отрезок параллелен стороне Поэтому

Но и в соответствии с теоремой 12. Значит,

Параллельные или пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость. Скрещивающиеся прямые определяют единственную пару параллельных плоскостей.

Пример №25

Докажем, что через скрещивающиеся прямые можно провести параллельные плоскости, причём такая пара плоскостей единственная.

Пусть даны скрещивающиеся прямые и (рис. 194). Выберем произвольно на прямой точку на прямой — точку и через точку проведём прямую параллельную прямой а через точку — прямую параллельную прямой Пересекающиеся прямые и также и определяют плоскости и которые с учётом признака параллельности плоскостей являются параллельными.

Единственность искомой пары плоскостей доказывается методом от противного, подобно тому, как это было сделано при доказательстве теоремы 11. Проведите это рассуждение самостоятельно.

На рисунке 195 плоскости граней и параллелепипеда проходят через скрещивающиеся прямые и

Пример №26

Учитывая, что точка не лежит в плоскости треугольника с площадью, равной 48 а точки — середины отрезков (рис. 197):

а) докажите, что плоскости и параллельны;

б) найдите площадь треугольника .

Решение:

а) Точки и — середины отрезков и следовательно, и

Точки и — середины отрезков и следовательно, и

и следовательно,

и следовательно,

и следовательно,

б) Поскольку и — средние линии и соответственно, то точки и — середины рёбер и Следовательно, — средняя линия

и подобны по третьему признаку, так как

Следовательно,

Ответ: 12

Пример №27

Докажите, что в параллелепипеде (рис. 198) плоскость параллельна плоскости

Доказательство: В четырёхугольнике стороны и параллельны и равны. Следовательно, — параллелограмм. Значит, и

В четырёхугольнике стороны и параллельны и равны. Следовательно, — параллелограмм. Значит, и

Поскольку обе прямые и параллельны плоскости лежат в плоскости и пересекаются, то (теорема 9).

Пример №28

В параллелепипеде точка — середина ребра (рис. 199). Постройте сечения параллелепипеда плоскостями и и отрезок, по которому пересекаются эти сечения.

Решение:

— параллелепипед, следовательно, и А поскольку ) и то Значит, пересекает параллелепипед по параллелограмму

Грани и параллельны. А поскольку и то и

и — параллелограммы, следовательно,

— середина ребра так как — середина ребра и

пересекает параллелепипед по параллелограмму

Точки и принадлежат как плоскости так и плоскости Следовательно,

Ответ:

Пространственное моделирование

При изображении на плоскости (на бумаге) фигур, размещённых в пространстве, используют параллельное проектирование.

Рассмотрим плоскость и прямую которая пересекает эту плоскость. Возьмём произвольную точку проведём через неё прямую так, что (рис. 208а). Прямая пересекает плоскость в некоторой точке Точка называется проекцией на плоскость точки при проектировании параллельно прямой Плоскость — плоскость проекций, прямая задаёт направление проектирования.

Параллельной проекцией фигуры называют множество проекций всех её точек на заданную плоскость (рис. 208б). Фигура называется параллельной проекцией фигуры

Параллельной проекцией реальной фигуры является её тень, которая падает на плоскую поверхность при солнечном свете, так как солнечные лучи можно считать параллельными (рис. 209).

Когда вы посмотрите на свою тень на земле или на стене, то увидите собственную параллельную проекцию.

«Наш разум по природе своей наделён неутомимой жаждой познавать истину»

(Цицерон).