Площадь многоугольника - определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Математика, отделяя линию от площади и площадь от тела, утверждает, что реально только тело, а линия и площадь — абстракции.

До настоящего времени в теоремах и задачах рассматривались лишь числовые характеристики отдельных элементов геометрических фигур — длины сторон, градусные меры углов и т. п. В отличие от них площадь характеризует фигуру в целом, т. е. зависит как от ее формы, так и от размеров.

В повседневной жизни человек имеет дело с площадями каждый день — измеряет жилые помещения и приусадебные участки, лесные массивы и сельскохозяйственные угодья и т.д. Вычислением площадей вы занимались и на уроках математики в младших классах. Тем не менее, дать строгое с научной точки зрения определение площади не так просто, и соответствующая математическая теория была создана значительно позже многих известных теорем.

В этой главе мы обобщим сведения о многоугольниках и их площадях. Благодаря этому ваш математический багаж пополнится немалым количеством новых формул, которые необходимо знать и уметь применять. В этой связи дадим вам совет: усвоить какую-либо формулу значительно проще, если понять и запомнить способ ее получения. Более того, откроем вам маленькую профессиональную тайну: иногда даже профессиональные математики не запоминают формулы, а выводят их в уме в случае необходимости. Будет очень здорово, если такую математическую эрудицию удастся приобрести и вам.

Многоугольник и его элементы

Определение многоугольника

Рассмотрим фигуру, которая состоит из отрезков

В зависимости от количества вершин многоугольник называют треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т.д. Многоугольник, который имеет  вершин (а следовательно,  сторон), называют -угольником.

Многоугольник обозначают по его вершинам. При этом буквы, которые стоят в названии многоугольника рядом, должны обозначать вершины, которые принадлежат одной стороне (соседние вершины). Например, пятиугольник на рисунке 136, б можно обозначить  или но нельзя обозначать 

Определение

Периметром многоугольника называется сумма длин всех его сторон.

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий две несоседние вершины.

Например, на рисунке 136, б отрезки  и  являются диагоналями пятиугольника  выходящими из вершины  Периметр этого многоугольника вычисляется по формуле 

Любой многоугольник делит плоскость на две части. Одна из них (на рисунке 136, а она закрашена) является внутренней областью многоугольника. Фигуру, состоящую из многоугольника и его внутренней области, называют плоским многоугольником, или, в некоторых случаях, просто многоугольником. Определение

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от любой прямой, которая содержит его сторону.

На рисунке 137, а изображен выпуклый многоугольник, а на рисунке 137, б — невыпуклый. Далее мы будем рассматривать только выпуклые многоугольники.

Рассмотрим выпуклый многоугольник  (рис. 138). Углы ...,  (на рисунке они закрашены) называют углами (внутренними углами) многоугольника  В частности, угол данного многоугольника при вершине  на рисунке обозначен одной дужкой. Углы, смежные с данным внутренним углом, являются внешними углами многоугольника  при вершине  (на рисунке они обозначены двумя дужками).

Любой внутренний угол выпуклого многоугольника меньше 

Определение

Многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на этой окружности. Многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются этой окружности.

На рис. 139, а изображен вписанный многоугольник, а на рис. 139, б — описанный.

Сумма углов выпуклого многоугольника

Как известно, сумма углов треугольника равна  а сумма углов четырехугольника —  Нетрудно предположить, что сумма углов выпуклого многоугольника должна зависеть от количества его сторон. Эта зависимость выражается следующей теоремой.

Теорема (о сумме углов выпуклого -угольника)

Сумма углов выпуклого «-угольника равна 

Доказательство:

 Пусть дан выпуклый -угольник  (рис. 140). Обозначим внутри него произвольную точку  и соединим ее с вершинами  При этом образуется  треугольников. Обратим внимание на то, что сумма углов данного многоугольника равна сумме всех углов этих треугольников, кроме углов при вершине  Поскольку сумма углов  составляет  то искомая сумма углов многоугольника равна 

Пример:

Докажите, что сумма внешних углов выпуклого -угольника, взятых по одному при каждой вершине, равна

Решение:

Поскольку внешний угол многоугольника по определению является смежным с соответствующим внутренним углом, то сумма этих двух углов равна Таким образом, сумма всех внутренних и внешних углов равна  Чтобы получить сумму внешних углов, вычтем из этой суммы сумму внутренних углов: 

Понятие площади многоугольника

Понятие площади хорошо известно нам из повседневного опыта: мы измеряем площадь спортивной площадки или садового участка, рассчитываем по площади количество обоев или коврового покрытия для ремонта комнаты и т.д. Попробуем придать представлениям о площади определенную математическую строгость.

Условимся, что под площадью многоугольника мы будем понимать площадь его внутренней области. Как и в случае измерения длин отрезков, измерение площадей основывается на сравнении данной фигуры с фигурой, площадь которой принята за единицу измерения. За единицу измерения площади принимают площадь квадрата, сторона которого равна единице измерения отрезков.

Например, если за единицу измерения отрезков приняты 1 мм, 1 см или 1 м, то за единицу измерения площади принимают площадь квадрата со стороной 1 мм, 1 см или 1 м. Площадь такого квадрата называется квадратным миллиметром  квадратным сантиметром  или квадратным метром  соответственно. Из курса математики известны и другие единицы площади: ар (площадь квадрата со стороной 10 м), гектар (площадь квадрата со стороной 100 м) и др.

При выбранной единице измерения площадь каждого многоугольника выражается положительным числом, которое показывает, сколько раз единица измерения площади и ее части укладываются в данном многоугольнике. Обычно площадь обозначается буквой 

Для определения приближенного значения площади можно использовать палетку — прозрачную пленку с квадратной сеткой (рис. 141).

Наложив палетку на фигуру, площадь этой фигуры определяют обычным подсчетом количества единичных квадратов, которые вместились в данной фигуре. Однако на практике применять такой способ неудобно. Поэтому для определения площади многоугольника обычно измеряют лишь некоторые связанные с ним отрезки, а потом вычисляют площадь по соответствующим формулам. Вывод этих формул основывается на свойствах площадей, которые мы рассмотрим ниже.

Прежде всего заметим, что когда два многоугольника равны, то единица измерения площади и ее части укладываются в каждом из них одинаковое количество раз, т. е. имеет место следующее свойство.

1. Равные многоугольники имеют равные площади.

Далее, пусть многоугольник состоит из нескольких частей — других многоугольников, которые не имеют общих внутренних точек (рис. 142). Если эти части имеют площади  то площадь всего многоугольника равна их сумме:  В этом заключается второе свойство площадей.

2. Если многоугольник составлен из нескольких многоугольников, то его площадь равна сумме площадей этих многоугольников.

Третье свойство площадей связано с единицей их измерения.

3. Площадь квадрата со стороной, равной единице длины, равна единице площади.

Три приведенных свойства называют аксиомами площадей. Итак, площадь многоугольника — это положительная величина, численное значение которой удовлетворяет аксиомам площадей.

Из этого, в частности, следует, что каждый многоугольник имеет некоторую площадь, которая однозначно определяется в заданных единицах измерения.

Определение

Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равные площади.

Очевидно, что по первой аксиоме площадей любые два равных многоугольника равновеликие. Однако не любые два равновеликих многоугольника равны.

Если рассмотреть два равных прямоугольных треугольника (рис. 143, а), то, прикладывая их равными сторонами друг к другу, можно получить равнобедренный треугольник (рис. 143, б), параллелограмм (рис. 143, в), прямоугольник (рис. 143, г) или четырехугольник с попарно равными соседними сторонами — дельтоид (рис. 143, д). Все эти фигуры равносоставленные, т. е. составлены из одних и тех же многоугольников.

По второй аксиоме площадей все образованные таким способом фигуры имеют равные площади. Следовательно, любые равносоставленные многоугольники являются равновеликими. Интересно, что имеет место и обратное утверждение (теорема Бойяи — Гервина): два равновеликих многоугольника являются равносоставленными (приводим этот факт без доказательства).