Площади поверхностей геометрических тел - определение и примеры с решением

Содержание:

Площади поверхностей геометрических тел:

Под площадью поверхности многогранника мы понимаем сумму площадей всех его граней. Как же определить площадь поверхности тела, не являющегося многогранником? На практике это делают так. Разбивают поверхность на такие части, которые уже мало отличаются от плоских. Тогда находят площади этих частей, как будто они являются плоскими. Сумма полученных площадей является приближенной площадью поверхности. Например, площадь крыши здания определяется как сумма площадей кусков листового металла. Еще лучше это видно на примере Земли. Приблизительно она имеет форму шара. Но площади небольших ее участков измеряют так, как будто эти участки являются плоскими. Более того, под площадью поверхности тела будем понимать предел площадей полных поверхностей описанных около него многогранников. При этом должно выполняться условие, при котором все точки поверхности этих многогранников становятся сколь угодно близкими к поверхности данного тела. Для конкретных тел вращения понятие описанного многогранника будет уточнено.

Понятие площади поверхности

Рассмотрим периметры

Применим данные соотношения к обоснованию формулы для площади боковой поверхности цилиндра.

При вычислении объема цилиндра были использованы правильные вписанные в него призмы. Найдем при помощи в чем-то аналогичных рассуждений площадь боковой поверхности цилиндра.

Опишем около данного цилиндра радиуса R и высоты h правильную n-угольную призму (рис. 220).

Площадь боковой поверхности призмы равна

где — периметр основания призмы.

При неограниченном возрастании n получим:

так как периметры оснований призмы стремятся к длине окружности основания цилиндра, то есть к

Учитывая, что сумма площадей двух оснований призмы стремится к , получаем, что площадь полной поверхности цилиндра равна . Но сумма площадей двух оснований цилиндра равна . Поэтому найденную величину S принимают за площадь боковой поверхности цилиндра.

Итак, площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле

где R — радиус цилиндра, h — его высота.

Заметим, что эта формула аналогична соответствующей формуле площади боковой поверхности прямой призмы

За площадь полной поверхности цилиндра принимается сумма площадей боковой поверхности и двух оснований:

Если боковую поверхность цилиндра радиуса R и высоты h разрезать по образующей АВ и развернуть на плоскость, то в результате получим прямоугольник который называется разверткой боковой поверхности цилиндра (рис. 221).

Очевидно, что сторона этого прямоугольника есть развертка окружности основания цилиндра, следовательно, . Сторона АВ равна образующей цилиндра, то есть АВ = h. Значит, площадь развертки боковой поверхности цилиндра равна . Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади ее развертки.

Пример:

Параллельно оси цилиндра на расстоянии d от нее проведена плоскость, отсекающая от основания дугу . Диагональ полученного сечения наклонена к плоскости основания под углом а. Определите площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

Пусть дан цилиндр, в основаниях которого лежат равные круги с центрами — ось цилиндра. Рассмотрим плоскость, параллельную . Сечение цилиндра данной плоскостью представляет собой прямоугольник (рис. 222).

Пусть хорда АВ отсекает от окружности основания дугу . Тогда, по определению, . Так как образующие цилиндра перпендикулярны основаниям, . Значит, АВ — проекция на плоскость АОВ, тогда угол между и плоскостью АОВ равен углу . По условию .

В равнобедренном треугольнике проведем медиану ОК. Тогда O Так как то по признаку перпендикулярных плоскостей. Но тогда по свойству перпендикулярных плоскостей. Значит, ОК — расстояние между точкой О и плоскостью . Учитывая, что , по определению расстояния между параллельными прямой и плоскостью получаем, что ОК равно расстоянию между и плоскостью . По условию OK = d. Из прямоугольного треугольника АКО

имеем:

откуда Из прямоугольного треугольника

Итак,

В случае, когда

Аналогично предыдущему, и в этом случае получаем тот же результат для площади боковой поверхности.

Ответ:

Площадь поверхности конуса и усеченного конуса

Связь между цилиндрами и призмами полностью аналогична связи между конусами и пирамидами. В частности, это касается формул для площадей их боковых поверхностей.

Опишем около данного конуса с радиусом основания R и образующей I правильную л-угольную пирамиду (рис. 223). Площадь ее боковой поверхности равна

где — периметр основания пирамиды, — апофема.

При неограниченном возрастании n получим:

так как периметры оснований пирамиды стремятся к длине окружности основания конуса, а апофемы равны I.

Учитывая, что площадь основания пирамиды стремится к , получаем, что площадь полной поверхности конуса равна . Но площадь основания конуса равна . Поэтому найденную величину S принимают за площадь боковой поверхности конуса. Итак, площадь боковой поверхности конуса вычисляется по формуле

где R — радиус основания, I — образующая.

За площадь полной поверхности конуса принимается сумма площадей его основания и боковой поверхности:

Если боковую поверхность конуса разрезать по образующей РА и развернуть на плоскость, то в результате получим круговой сектор который называется разверткой боковой поверхности конуса (рис. 224).

Очевидно, что радиус сектора развертки равен образующей конуса I, а длина дуги — длине окружности основания конуса, то есть . Учитывая, что площадь соответствующего круга равна , получаем: , значит, Таким образом, площадь боковой поверхности конуса равна площади ее развертки.

Учитывая формулу для площади боковой поверхности конуса, нетрудно найти площадь боковой поверхности усеченного конуса.

Рассмотрим усеченный конус, полученный при пересечении конуса с вершиной Р некоторой секущей плоскостью (рис. 225).

Пусть — образующая усеченного конуса точки — центры большего и меньшего оснований с радиусами R и г соответственно. Тогда площадь боковой поверхности усеченного конуса равна разности площадей боковых поверхностей двух конусов:

Из подобия треугольников

следует, что

Тогда получаем

Таким образом,

Итак, мы получили формулу для вычисления площади боковой поверхности усеченного конуса: , где R и г — радиусы оснований усеченного конуса, I — его образующая.

Отсюда ясно, что площадь полной поверхности усеченного конуса равна

Такой же результат можно было бы получить, если найти площадь развертки боковой поверхности усеченного конуса или использовать правильные усеченные пирамиды, описанные около него. Попробуйте дать соответствующие определения и провести необходимые рассуждения самостоятельно.

Связь между площадями поверхностей и объемами

При рассмотрении объемов и площадей поверхностей цилиндра и конуса мы видели, что существует тесная взаимосвязь между этими фигурами и призмами и пирамидами соответственно. Оказывается, что и сфера (шар), вписанная в многогранник, связана с величиной его объема.

Определение:

Сфера (шар) называется вписанной в выпуклый многогранник, если она касается каждой его грани.

При этом многогранник называется описанным около данной сферы (рис. 226).

Рассмотрим, например, сферу, вписанную в тетраэдр (рис. 227).

Плоскости, содержащие грани тетраэдра, являются касательными к вписанной сфере, а точки касания лежат в гранях тетраэдра. Заметим, что по доказанному в п. 14.2 радиусы вписанной сферы, проведенные в точку касания с поверхностью многогранника, перпендикулярны плоскостям граней этого многогранника.

Для описанных многоугольников на плоскости было доказано, что их площадь равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности. Аналогичное свойство связывает объем описанного многогранника и площадь его поверхности.

Теорема (о связи площади поверхности и объема описанного многогранника)

Объем описанного многогранника вычисляется по формуле

где — площадь полной поверхности многогранника, г — радиус вписанной сферы.

Доказательство:

Соединим центр вписанной сферы О со всеми вершинами многогранника (рис. 228). Получим n пирамид, основаниями которых являются грани многогранника, вершины совпадают с точкой О, высоты равны г. Тогда объем многогранника, по аксиоме, равен сумме объемов этих пирамид. Используя формулу объема пирамиды, найдем объем данного многогранника:

где - площади граней многогранника.

Теорема доказана.

Оказывается, что в любой тетраэдр можно вписать сферу, и только одну. Но не каждый выпуклый многогранник обладает этим свойством.

Рассматривают также сферы, описанные около многогранника.

Определение:

Сфера называется описанной около многогранника, если все его вершины лежат на сфере.

При этом многогранник называется вписанным в сферу (рис. 229).

Также считается, что соответствующий шар описан около многогранника.

Около любого тетраэдра можно описать единственную сферу, но не каждый многогранник обладает соответствующим свойством.

Площадь сферы

Применим полученную связь для объемов и площадей поверхностей описанных многогранников к выводу формулы площади сферы.

Опишем около сферы радиуса R выпуклый многогранник (рис. 230).

Пусть S' — площадь полной поверхности данного многогранника, а любые две точки одной грани удалены друг от друга меньше чем на е. Тогда объем многогранника равен. Рассмотрим расстояние от центра сферы О до любой вершины многогранника, например А₁ (рис. 231).

По неравенству треугольника где О' — точка касания. Отсюда следует, что все вершины данного многогранника лежат внутри шара с центром О и радиусом .

Итак, объем V данного многогранника больше объема шара радиуса R и меньше объема шара радиуса , то есть

Отсюда получаем

Если неограниченно уменьшать размеры граней многогранника, то есть при е, стремящемся к нулю, левая и правая части последнего неравенства будут стремиться к , а многогранник все плотнее примыкать к сфере. Поэтому полученную величину для предела S' принимают за площадь сферы.

Итак, площадь сферы радиуса R вычисляется по формуле

Доказанная формула означает, что площадь сферы равна четырем площадям ее большого круга (рис. 232).

Исходя из аналогичных рассуждений, можно получить формулу для площади сферической части шарового сегмента с высотой Н:

Оказывается, что эта формула справедлива и для площади сферической поверхности шарового слоя (пояса):

где Н — высота слоя (пояса).

Справочный материал

Формулы объемов и площадей поверхностей геометрических тел

Историческая справка

Многие формулы для вычисления объемов многогранников были известны уже в Древнем Египте. В так называемом Московском папирусе, созданном около 4000 лет назад, вероятно, впервые в истории вычисляется объем усеченной пирамиды. Но четкие доказательства большинства формул для объемов появились позднее, в работах древнегреческих ученых.

Так, доказательства формул для объемов конуса и пирамиды связаны с именами Демокрита из Абдеры (ок. 460-370 гг. до н. э.) и Евдокса Книдского (ок. 408-355 гг. до н. э.). На основании их идей выдающийся математик и механик Архимед (287-212 гг. до н. э.) вычислил объем шара, нашел формулы для площадей поверхностей цилиндра, конуса, сферьГг

Дальнейшее развитие методы, предложенные Архимедом, получили благодаря трудам средневекового итальянского монаха и математика Бонавентуры Кавальери (1598-1647). В своей книге «Геометрия неделимых» он сформулировал принцип сравнения объемов, при котором используются площади сечений. Его рассуждения стали основой интегральных методов вычисления объемов, разработанных Исааком Ньютоном (1642 (1643)-1727) и Готфридом Вильгельмом фон Лейбницем (1646-1716). Во многих учебниках по геометрии объем пирамиды находится с помощью * чертовой лестницы» — варианта древнегреческого метода вычерпывания, предложенного французским математиком А. М. Лежандром (1752-1833).

На II Международном конгрессе математиков, который состоялся в 1900 году в Париже, Давид Гильберт сформулировал, в частности, такую проблему: верно ли, что любые два равновеликих многогранника являются равносоставленными? Уже через год отрицательный ответ на этот вопрос был обоснован учеником Гильберта Максом Деном (1878-1952). Другое доказательство этого факта предложил в 1903 году известный геометр В. Ф. Каган, который в начале XX века вел плодотворную научную и просветительскую деятельность в Одессе. В частности, из работ Дена и Кагана следует, что доказательство формулы объема пирамиды невозможно без применения пределов.

Весомый вклад в развитие теории площадей поверхностей внесли немецкие математики XIX века. Так, в 1890 году Карл Герман Аман-дус Шварц (1843-1921) построил пример последовательности многогранных поверхностей, вписанных в боковую поверхность цилиндра («сапог Шварца»). Уменьшение их граней не приводит к приближению суммы площадей этих граней к площади боковой поверхности цилиндра. Это стало толчком к созданию выдающимся немецким математиком и физиком Германом Минков-ским (1864-1909) современной теории площадей поверхностей, в которой последние связаны с объемом слоя около данной поверхности.

Учитывая огромный вклад Архимеда в развитие математики, в частности теории объемов и площадей поверхностей, именно его изобразили на Филдсовской медали — самой почетной в мире награде для молодых математиков. В 1990 году ею был награжден Владимир Дрин-фельд (род. в 1954 г.), который учился и некоторое время работал в Харькове. Вот так юные таланты, успешно изучающие геометрию в школе, становятся в дальнейшем всемирно известными учеными.

Уравнения фигур в пространстве

Напомним, что уравнением фигуры F на плоскости называется уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки фигуры F и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей фигуре F. Так же определяют и уравнение фигуры в пространстве; но, в отличие от плоскости, где уравнение фигуры содержит две переменные х и у, в пространстве уравнение фигуры является уравнением с тремя переменными х, у и z.

Выведем уравнение плоскости, прямой и сферы в пространстве. Для получения уравнения плоскости рассмотрим в прямоугольной системе координат плоскость а (рис. 233) и определим свойство, с помощью которого можно описать принадлежность произвольной точки данной плоскости. Пусть ненулевой вектор перпендикулярен а (то есть принадлежит прямой, перпендикулярной данной плоскости,— такой вектор называют вектором нормали или нормалью к плоскости а), а точка принадлежит данной плоскости.

Так как , то вектор га перпендикулярен любому вектору плоскости а. Поэтому если — произвольная точка плоскости а, то , то есть . Более того, если векторы перпендикулярны, то, поскольку плоскость, проходящая через точку М₀ перпендикулярно вектору , единственна, имеем , то есть . Таким образом, уравнение — критерий принадлежности точки М плоскости а. На основании этого векторного критерия выведем уравнение плоскости в пространстве.

Теорема (уравнение плоскости в пространстве)

В прямоугольной системе координат уравнение плоскости имеет вид , где А, В, С и D — некоторые числа, причем числа А, В и С одновременно не равны нулю.

Доказательство:

Запишем в координатной форме векторное равенство , где — вектор нормали к данной плоскости, — фиксированная точка плоскости, M(x;y;z) — произвольная точка плоскости. Имеем

Следовательно,

После раскрытия скобок и приведения подобных членов это уравнение примет вид:

Обозначив числовое выражение в скобках через D, получим искомое уравнение, в котором числа А, В и С одновременно не равны нулю, так как .

Покажем теперь, что любое уравнение вида Ах + Ву +Cz+D = 0 задает в пространстве плоскость. Действительно, пусть — одно из решений данного уравнения. Тогда . Вычитая это равенство из данного, получим Так как это уравнение является координатной записью векторного равенства , то оно является уравнением плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

Обратим внимание на то, что в доказательстве теоремы приведен способ составления уравнения плоскости по данным координатам произвольной точки плоскости и вектора нормали.

Пример:

Напишите уравнение плоскости, которая перпендикулярна отрезку MN и проходит через его середину, если М{-1;2;3), N(5;-4;-1).

Решение:

Найдем координаты точки О — середины отрезка MN:

Значит, О (2; -1; l). Так как данная плоскость перпендикулярна отрезку MN, то вектор — вектор нормали к данной плоскости. Поэтому искомое уравнение имеет вид: .

И наконец, так как данная плоскость проходит через точку О(2;-l;l), то, подставив координаты этой точки в уравнение, получим:

Таким образом, уравнение искомое.

Ответ:

Заметим, что правильным ответом в данной задаче является также любое уравнение, полученное из приведенного умножением обеих частей на число, отличное от нуля.

Значения коэффициентов А, В, С и D в уравнении плоскости определяют особенности расположения плоскости в системе координат. В частности:

• если , уравнение плоскости примет вид Ax+By+Cz = 0; очевидно, что такая плоскость проходит через начало координат (рис. 234, а);
• если один из коэффициентов А, В и С равен нулю, a , плоскость параллельна одной из координатных осей: например, при условии А = 0 вектор нормали перпендикулярен оси Ох, а плоскость By + Cz + D = Q параллельна оси Ох (рис. 234, б)\
• если два из коэффициентов А, В и С равны нулю, а , плоскость параллельна одной из координатных плоскостей: например, при условиях А = 0 и В-О вектор нормали перпендикулярен плоскости Оху, а плоскость Cz+D = 0 параллельна плоскости Оху (рис. 234, в);
• если два из коэффициентов А, В и С равны нулю и D = 0, плоскость совпадает с одной из координатных плоскостей: например, при условиях и В = С = D = 0 уравнение плоскости имеет вид Ах = О, или х= 0, то есть является уравнением плоскости Оуz (рис. 234, г).

Предлагаем вам самостоятельно составить полную таблицу частных случаев расположения плоскости Ax + By+Cz+D = 0 в прямоугольной системе координат в зависимости от значений коэффициентов А, В, С и D.

Пример: (о расстоянии от точки до плоскости)

Расстояние от точки до плоскости а, заданной уравнением Ax + By + Cz+D = О, вычисляется по формуле

Докажите.

Решение:

Если , то по уравнению плоскости , откуда = 0.

Если , то проведем перпендикуляр КМ к плоскости a, .

Тогда , поэтому , то есть . Так как , то , откуда

Таким образом,

Рассмотрим теперь возможность описания прямой в пространстве с помощью уравнений.

Пусть в пространстве дана прямая k (рис. 235). Выберем ненулевой вектор , параллельный данной прямой или принадлежащий ей (такой вектор называют направляющим вектором прямой k), и зафиксируем точку , принадлежащую данной прямой. Тогда произвольная точка пространства М (х; у; z) будет принадлежать прямой k в том и только в том случае, когда векторы коллинеарны, то есть существует число t такое, что

Представим это векторное равенство в координатной форме. Если ни одна из координат направляющего вектора не равна нулю, из данного равенства можно выразить t и приравнять полученные результаты:

Эти равенства называют каноническими уравнениями прямой в пространстве.

Пример:

Напишите уравнение прямой, проходящей через точки А(1;-3;2) и В(-l;0;l).

Решение:

Так как точки А и В принадлежат данной прямой, то — направляющий вектор прямой АВ. Таким образом, подставив вместо координаты точки А, получим уравнение прямой АВ:

Ответ:

Заметим, что ответ в этой задаче может иметь и другой вид: так, в числителях дробей можно использовать координаты точки В, а как направляющий вектор рассматривать любой ненулевой вектор, коллинеарный (например, вектор ).

Вообще, если прямая в пространстве задана двумя точками , то — направляющий вектор прямой, а в случае, если соответствующие координаты данных точек не совпадают, канонические уравнения прямой имеют вид

С помощью уравнений удобно исследовать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Рассмотрим прямые направляющими векторами соответственно. Определение угла между данными прямыми связано с определением угла между их направляющими векторами. Действительно, пусть ф — угол между прямыми . Так как по определению , а угол между векторами может быть больше 90°, то либо равен углу ср (рис. 236, а), либо дополняет его до 180° (рис. 236, б).

Так как cos(l80°-ф) = -coscp, имеем , то есть

Отсюда, в частности, следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямых :

Кроме того, прямые параллельны тогда и только тогда, когда их направляющие векторы коллинеарны, то есть существует число t такое, что , или, при условии отсутствия у векторов р и q нулевых координат,

Проанализируем теперь отдельные случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве. Очевидно, что если —вектор нормали к плоскости а, то все ненулевые векторы, коллинеарные л, также являются векторами нормали к плоскости а. Из этого следует, что две плоскости, заданные уравнениями :

• совпадают, если существует число t такое, что , или, если числа ненулевые
• параллельны, если существует число t такое, что , или, если координаты ненулевые, (на практике это означает, что уравнения данных плоскостей можно привести к виду Ax+By+Cz+D₁= 0 и Ax+By+Cz+D₂=0, где ).

В остальных случаях данные плоскости пересекаются, причем угол между ними связан с углом между векторами нормалей и . Предлагаем вам самостоятельно обосновать формулу для определения угла между плоскостями :

В частности, необходимое и достаточное условие перпендикулярности плоскостей выражается равенством .

Заметим также, что прямая в пространстве может быть описана как линия пересечения двух плоскостей, то есть системой уравнений

где векторы не коллинеарны.

Пример:

Напишите уравнение плоскости, которая проходит через точку М(4;2;3) и параллельна плоскости x-y + 2z-S = 0.

Решение:

Так как искомая плоскость параллельна данной, то вектор нормали к данной плоскости является также вектором нормали к искомой плоскости. Значит, искомое уравнение имеет вид . Так как точка М принадлежит искомой плоскости, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости, то есть 4-2 + 2-3 + 2) = 0, D = -8. Следовательно, уравнение x-y+2z-8=0 искомое.

Ответ: x-y+2z-8 = 0.

Аналогично уравнению окружности на плоскости, в пространственной декартовой системе координат можно вывести уравнение сферы с заданным центром и радиусом.

Теорема (уравнение сферы)

В прямоугольной системе координат уравнение сферы радиуса R с центром в точке имеет вид Доказательство

Пусть — произвольная точка сферы радиуса R с центром (рис. 237). Расстояние между точками О и М вычисляется по формуле

Так как OM=R, то есть ОМ² = R², то координаты точки М удовлетворяют уравнению . Если же точка М не является точкой сферы, то , значит, координаты точки М не удовлетворяют данному уравнению.

Следствие

Сфера радиуса R с центром в начале координат задается уравнением вида

Заметим, что фигуры в пространстве, как и на плоскости, могут задаваться не только уравнениями, но и неравенствами. Например, шар радиуса R с центром в точке задается неравенством (убедитесь в этом самостоятельно).

Пример:

Напишите уравнение сферы с центром А (2;-8; 16), которая проходит через начало координат.

Решение:

Так как данная сфера проходит через точку 0(0;0;0), то отрезок АО является ее радиусом. Значит,

Таким образом, искомое уравнение имеет вид:

Ответ:

Доказательство формулы объема прямоугольного параллелепипеда

Теорема (формула объема прямоугольного параллелепипеда)

Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:

где — измерения параллелепипеда.

Доказательство:

Докажем сначала, что объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как длины их высот.

Пусть — два прямоугольных параллелепипеда с равными основаниями и объемами соответственно. Совместим данные параллелепипеды. Для этого достаточно совместить их основания. Теперь рассмотрим объемы параллелепипедов (рис. 238). Для определенности будем считать, что . Разобьем ребро на n равных отрезков. Пусть на отрезке лежит m точек деления. Тогда:

проведем через точки деления параллельные основанию ABCD (рис. 239). Они разобьют параллелепипед на n равных параллелепипедов. Каждый из них имеет объем . Очевидно, что параллелепиппед содержит в себе объединение m параллелепипедов и сам содержится в объединении параллелепипедов.

Таким образом, откуда или

Сравнивая выражения (1) и (2), видим, что оба отношения находятся между , то есть отличаются не больше чем на Докажем методом от противного, что эти отношения равны.

Допустим, что это не так, то есть Тогда найдется такое натуральное число n, что Отсюда Из полученного противоречия следует, что то есть объемы двух прямоугольных параллелепипедов с равными основаниями относятся как длины их высот.

Рассмотрим теперь прямоугольные параллелепипеды с измерениями объемы которых равны V, соответственно (рис. 240).

По аксиоме объема V₃ =1. По доказанному Перемножив эти отношения, получим: V = abc.

Теорема доказана.

* Выберем , например, , где — целая часть дроби .