Вычисление площадей плоских фигур с примерами решения

Вычисление площадей плоских фигур:

Определение 1. Пусть Ф – фигура на плоскости. Рассмотрим множество

Пусть  - площади фигур  и . Фигура Ф называется квадрируемой, если При этом число  (1) называется площадью фигуры Φ (по Жордану).
 

Замечание. Для квадрируемости фигуры Ф необходимо и достаточно,
чтобы

В частности, для криволинейной трапеции (см. § 24) в качестве  и можно рассматривать нижние и верхние суммы Дарбу (см. рис. 3, 4, 5 из § 24). И тогда, с учетом § 24, из (1) следует, что (2)
Пусть  - непрерывны на Тогда из (2) следует, что для фигуры (3)

 

Пример 1.

Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями 
 

Решение.

Точки пересечения линий  − найдем, решив систему:

Сверху фигура ограничена прямой y=3-x, снизу – параболой . Поэтому
по формуле (3): 

 

Пример 2.

Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями 
 

Решение.

Рис.6. Фигура Ф.

Снизу фигура ограничена параболой , сверху – кривой заданной двумя аналитическими выражениями.
Поэтому разобьем отрезок интегрирования [0, 3] на два: [0,1] и [1, 3] , и

 

Пример 3.

Найти площадь фигуры Ф, ограниченной линиями 
 

Решение.

Точки пресечения линий − найдем, решив систему:

За независимую переменную в данном случае удобно считать у , а х – функцией от у.
Справа фигура ограничена прямой x=3- y, слева – параболой . По формуле (3): (см. пример 1).
 

Замечание. Необходимо помнить, что когда функция y=f(x) не является знакопостоянной, равен алгебраической сумме площадей криволинейных трапеций, расположенных выше оси Ох (со знаком «+») и ниже оси Ох (со знаком «-»).

Пример 4.

Рассмотрим кривую на плоскости, заданную параметрически в виде
- непрерывны при Предположим вначале, что кривая не имеет точек самопересечения ( простая кривая ) или образует петлю (если - простая замкнутая кривая ).

Пример 5.

а) График любой непрерывной функции  − простая кривая: (в качестве параметра берем х).
б) График любой непрерывной функции − простая кривая: (в качестве параметра берем у).
в) Эллипс  − простая замкнутая кривая:
 (см. пример 8 § 17).
г) Кривая (см. пример 10 §17) не является простой (имеет точки самопересечения при
Рассмотрим криволинейную трапецию

Площадь трапеции − непрерывно-
дифференцируема на промежутке Тогда по формуле (1) § 26:
(4)  где 

Таким образом (5) (кривую удобно обходить так, чтобы область Ф оставалась слева).

Аналогично, для криволинейной трапеции

непрерывно-дифференцируемая на промежутке функция, то
где 

При движении от А к В область остается слева.
Рассмотрим простую замкнутую кривую
Площадь Ф, которую она ограничивает можно находить как по формуле (5), так и по формуле (6):
а также по формуле:  (7)  и при изменении параметра t от полный обход контура проходит против часовой стрелки (область остается слева).
 

Пример 6.

Найдем площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции и прямыми х = 0 и х = 3.
 (см. пример 1 § 26).
С другой стороны кривая задается параметрически в виде:

Поэтому, по формуле (5)

Пример 7.

Найдем площадь ограниченную эллипсом 

 - параметрическое уравнение эллипса.
 

Решение.

Найдем площадь по формуле (7)

 

Пример 8.

Найти площадь петли кривой:
 

Решение:

− четная относительно t функция,  − нечетная, поэтому кривая симметрична относительно оси Оу .

− точка самопересечения кривой.

При изменении t от -1 до 1 обход контура проходит против часовой стрелки.
По формуле (6):

Рассмотрим замкнутую кривую, имеющую точки самопересечения. В этом случае, проинтегрировав по всему контуру в формулах (5) – (7), мы получим алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных каждой пройденной петлей взятых со знаком «+», если петля проходится против часовой стрелки, и со знаком «-», если петля проходится по часовой стрелке.

Пример 9.

Рассмотрим кривую

При изменении ϕ от 0 до 2π каждый лепесток кривой проходится против часовой стрелки, поэтому  - площадь
ограниченная четырьмя лепестками.

Площадь одного лепестка:

Вычисления проводим в пакете
Mathematica:
Ячейка Input:

Ячейка Output: 
Иногда удобнее найти площадь одного лепестка и результат умножить на
количество лепестков.

Пример 10.

Рассмотрим кривую

При изменении ϕ от 0 до 2π каждый лепесток проходится дважды (и оба раза против часовой стрелки);  Площадь одного лепестка :  площадь всей фигуры равна 

 

Пример 11.

Рассмотрим кривую

Фигура, ограниченная малой петлей обходится дважды (и оба раза против часовой стрелки). Площадь, ограниченная внешним контуром:
 Площадь ограниченная внутренним контуром:

 

Пример 12.

Рассмотрим кривую 

Один лепесток проходится по часовой стрелке, второй – против:
 Площадь одного лепестка: