Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Содержание:

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении прямой и окружности. Ранее уже отмечалось, что возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

  1. прямая имеет только две общие точки с окружностью;
  2. прямая имеет только одну общую точку с окружностью;
  3. прямая не имеет общих точек с окружностью.

Если прямая имеет две общие точки с окружностью, то она называется секущей.

Понятие о вписанных и описанных многоугольниках

Взаимное расположение окружности со (О, R) с центром в точке О радиуса R и прямой I характеризуется соотношением между расстоянием d(0, I) от центра О окружности до прямой I и радиусом R окружности. Докажем это.

1) Прямая I имеет только две общие точки с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I меньше радиуса окружности, т. е. Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Пусть прямая I не проходит через центр О окружности и расстояние Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Обозначим OF Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением— перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, тогда OF = m. Пусть точки А и В лежат на прямой I

так, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Докажем, что точки А и В принадлежат окружности.

Действительно, так как по теореме Пифагора

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

 Таким образом, точки А и В — общие точки прямой и окружности. Докажем, что других общих точек прямая I и окружность Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением не имеют.

Предположим, что существует еще одна точка X — общая для окружности и прямой. Тогда центр окружности О равноудален от точек А, В, и X, а значит, он лежит на серединных перпендикулярах Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением к отрезкам АВ и ВХ, т. е. О — точка перессечения серединных перпендикуляровВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Но так какВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением,. Получили противоречие. Значит, наше предположение не верно и других общих точек прямой и окружности нет.

Если прямая I проходит через центр О окружности, т. е. d(0, Z) = 0, то она пересекает окружность в двух точках, которые являются концами диаметра, лежащего на этой прямой.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) Прямая I имеет только одну общую точку с окружностью, если расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, т. е. если d(0, I) = R.

Пусть расстояние от центра окружности до прямой I равно радиусу окружности, а точка F — основание перпендикуляра, проведенного из центра окружности к прямой I (рис. 2). Тогда OF = R, а значит, точка F лежит на окружности. Других общих точек прямая и окружность не имеют. Действительно, для любой точки X прямой I, не совпадающей с точкой F, выполняется условие ОХ > OF, OF = R, так; как наклонная ОХ больше перпендикуляра OF.

Следовательно, точка X не лежит на окружности.

3) Прямая I не имеет общих точек с окружностью, если расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса окружности, т. е. если d(0, I) > R.

Пусть расстояние от центра О окружности до прямой I больше радиуса R. Обозначим буквой F основание перпендикуляра, проведенного из центра О окружности к прямой I (рис. 3). Тогда OF = d(0, I), d(0, I) > R.
 

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Для любой точки X прямой выполняется условие Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, следовательно, точка X не лежит на окружности. Таким образом, в случаеВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением прямая и окружность не имеют общих точек.

Касательная к окружности

Рассмотрим случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку. Прямая, имеющая единственную общую точку с окружностью, имеет специальное название — касательная.

Определение. Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку.

Единственная общая точка прямой и окружности называется точкой касания прямой и окружности.

Если прямая I имеет единственную общую точку А с окружностью, то говорят, что прямая I касается окружности в точке А.

Теорема 1 (о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна радиусу этой окружности, проведенному в точку касания.

Доказательство.

1) Пусть прямая I касается окружностиВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Докажем, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к прямой I. Перпендикуляр, проведенный из точки О к прямой I, меньше наклонной ОА, следовательно, расстояние от центра окружности до прямой

меньше радиуса. Значит, прямая и окружность имеют две общие точки, что противоречит условию. Таким образом, прямая I перпендикулярна радиусу ОА.

Теорема доказана.

Рассмотрим следствия из данной теоремы.

Пусть через точку А проведены две прямые, касающиеся окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемТогда отрезки АВ и АС называются отрезками касательных, проведенными из точки А (рис. 5).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Следствие 1. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Доказательство.

1) Пусть АВ и АС — отрезки касательных, проведенные из точки А (рис. 5). Для доказательства равенства АВ = АС рассмотрим треугольники АВО и АСО.

2) По свойству касательной Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, т. е. треугольники АВО и АСО — прямоугольные.

3)Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, так как АО — общая гипотенуза, а катеты О В и ОС равны как радиусы окружности. Отсюда следует, что АВ =АС.

Следствие 1 доказано.

Из равенства треугольников АВО и АСО вытекает также, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Таким образом, получим еще одно следствие.

Следствие 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Теперь докажем признак, который позволяет устанавливать, в каком случае прямая касается окружности. Оказывается, для этого достаточно установить, что прямая перпендикулярна радиусу и проходит через его конец, лежащий на окружности.

Теорема 2 (признак касательной). Если прямая перпендикулярна радиусу окружности и проходит через его конец, лежащий на окружности, то она касается этой окружности.

Доказательство.

1) Пусть прямая I проходит через точку А окружности и перпендикулярна радиусу О А (рис. 6). Для доказательства того, что прямая I касается окружности, достаточно доказать, что она имеет с этой окружностью единственную общую точку.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) Так как точка А лежит на окружности и прямая I проходит через точку А, то А — общая точка прямой I и окружности.

3) Других общих точек прямая I и окружность не имеют. Действительно, для любой точкиВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением отрезок ОХ является наклонной, так как по условию Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Следовательно, ОХ > ОА, т. е. точка X не принадлежит окружности.

Таким образом, точка А — единственная общая точка прямой I и окружности, а, значит, прямая I — касательная к окружности.

Теорема доказана.

Пример №1

Через точку А, находящуюся от центра О окружности на расстоянии 10 см, проведены две касательные АВ и АС, где Б и С — точки касания. Вычислите площадь Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением четырехугольника АВОС, если АВ + АС = = 16 см ( рис. 7).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Решение:

1) Площадь четырехугольника АВОС равна сумме площадей треугольников АВО и АСО.

2) По свойству касательной Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Прямоугольные треугольники АВО и АСО равны по гипотенузе и катету (АО — общая, ОВ = ОС). Значит,

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

3) Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны. Следовательно, АВ=АС = 8 см. Теперь, применив теорему Пифагора, вычислимВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Таким образом, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Ответ: Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Пример №2

Точка F — середина основания ВС равнобедренного треугольника АБС. Докажите, что прямая ВС является касательной к окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (рис. 8, а, б).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

1) Прямая ВС проходит через конец F радиуса окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Для доказательства того, что ВС является касательной, достаточно доказать, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) В равнобедренном треугольнике AВС отрезок AF — медиана, проведенная к его основанию. Следовательно, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемТаким образом, по признаку касательной прямая ВС касается окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Что и требовалось доказать.

Пример №3

Точка А лежит вне окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Постройте прямую, которая касается окружности и проходит через точку А.

Поиск решения.

1) Пусть прямая I, проходящая через точку А и касающаяся окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, построена. Точка В — точка касания. Тогда по свойству касательной OB LAB (рис. 9, а). Следовательно, для построения искомой касательной необходимо построить точку В на окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением так, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением.

2) Рассмотрим окружность coj, диаметром которой является отрезок АО, т. е. Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Пусть В и С — точки пересечения окружностей Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением(рис. 9, б). Заметим, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, как углы при основании равнобедренных треугольников ВО,О и ВО,А соответственно. Так как Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, то Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Значит, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, т. е.Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Аналогично доказывается, чтоВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Отсюда по признаку

касательной к окружности следует, что прямые АВ и АС являются касательными. Теперь понятна последовательность необходимых построений.
Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Построение.

1) Проводим отрезок О А, соединяющий центр О данной окружности и точку А (рис. 10, а).

2) Строим середину Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением отрезка ОА: Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Точки F и Е — точки пересечения окружностей Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

гдеВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением(рис. 10, б).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

3) Строим окружность Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (рис. 10, в) и точки Б, С — точки пересечения данной и построенной окружностей.

4) Прямые АВ и АС — искомые касательные к данной окружности.

Доказательство. По построению Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (см. задачу № 251 учебного пособия «Геометрия, 7»), т. е. АВ1ОВ и АС 1ОВ. Следовательно, по признаку касательной АВ и АС — касательные.

Взаимное расположение двух окружностей

Рассмотрим вопрос о взаимном расположении двух окружностей в плоскости. Возможны следующие случаи взаимного расположения двух различных окружностей:

1) окружности не имеют общих точек (в этом случае говорят, что они не пересекаются (рис. 11, а ));

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) окружности имеют две общие точки (в этом случае говорят, что окружности пересекаются (рис. 11, б));

3) окружности имеют только одну общую точку, и одна из окружностей лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внутренним образом (рис. 12, а ));

4) окружности имеют только одну общую точку, и ни одна из окружностей не лежит внутри круга, ограниченного другой окружностью (в этом случае говорят, что они касаются внешним образом, (рис. 12, б)).


Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Пример №4

Докажите, что если две окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов, т. е.Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

1) Пусть окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением касаются внешним образом в точке А (рис. 13, а).

2) Докажем, что точка А лежит на отрезке Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемДопустим, что точка А не лежит на отрезке Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Заметим, что в случае внешнего касания точка А не может лежать на продолжении отрезка Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемПусть точка касания А не лежит на отрезке Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (рис. 13, б). Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

3) Пусть F — точка, симметричная точке А относительно прямой Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, а значит, точка F принадлежит каждой окружности. Таким образом, окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением имеют две общие точки А и F, что противоречит условию их касания. Следовательно, точка касания А лежит на отрезке Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

4) Докажем, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Точка А лежит на отрезкеВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением значит, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение.

Пример №5

Докажите, если расстояние между центрами двух окружностей, лежащих в плоскости, равно сумме их радиусов, то такие окружности касаются внешним образом.

Доказательство.

1) Пусть даны две окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и известно, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Докажем, что окружности касаются внешним образом.

2) На отрезкеВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемрассмотрим точку А такую, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Таким образом, точка А принадлежит каждой из данных окружностей.

3) Докажем, что окружности не имеют других общих точек. Действительно, на прямой Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением таких точек нет. Предположим, что существует точка X вне прямой Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением принадлежащая каждой окружности. Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениеми Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВ треугольнике Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемдлина стороныВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемравна сумме длин сторон Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, что невозможно.

4) Таким образом, предположение о существовании еще одной точки, принадлежащей окружностямВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, приводит к противоречию. Следовательно, других общих точек, кроме точки А, не существует, т. е. окружности касаются.

5) Докажем, что окружности касаются внешним образом. Для любой точки F окружностиВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемвыполняется условие Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемТаким образом, либо точка F лежит вне окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением когда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, либо эта точка принадлежит обеим окружностям, еслиВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Но в этом случае точка F есть точка А касания окружностей. Следовательно, окружность Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением расположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Аналогично можно доказать, что окружность Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением расположена вне части плоскости, ограниченной окружностью Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Теперь доказано, что окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением касаются внешним образом.

Пример №6

Докажите, что две окружности касаются внутренним образом тогда и только тогда, когда расстояние между их центрами равно модулю разности их радиусов.

Другими словами, если окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемкасаются внутренним образом, то Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемИ наоборот, если выполняется равенство Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, то окружности касаются внутренним образом.

Пример №7

Две окружности с центрами в точках О и К, радиусы которых равны 16 см и 9 см соответственно, касаются внешним образом в точке С. К окружностям проведена общая касательная АВ, где точки А и В — точки касания.

Общая касательная, проведенная через точку С, пересекает касательную АВ в точке Т (рис. 14, а). Вычислите длину отрезка СТ.
 

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Решение:

Для решения задачи воспользуемся тем, что отрезки касательных, проведенные к окружности из одной точки, равны, а радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны касательной. Учтем также, что окружности касаются внешним образом, а значит, расстояние между их центрами равно сумме их радиусов.

1) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то ТС = ТА = ТВ, т. е. Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Значит, нам необходимо вычислить длину отрезка АВ.

2) Так как окружности касаются внешним образом, то ОК = ОС + СК = 16 + 9 = 25 (см).

3) Рассмотрим четырехугольник ODBK. Пусть Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (рис. 14, б). Так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, тоВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, т. е. треугольник BAD — прямоугольный. Следовательно,

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

4) Четырехугольник ODBK — параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны, значит, DB = ОК = = 25 см. Кроме того, DA = ОА - OD = ОА - КВ =16-9 = 7 (см).

Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемСледовательно,Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Ответ: ТС = 12 см.

Центральные и вписанные углы

В данном параграфе изучим понятия центрального и вписанного углов.

Определение. Центральным углом окружности называется угол с вершиной в центре этой окружности.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Например, на рисунке 18, а изображен центральный угол TOF, который меньше развернутого угла, а на рисунке 18, б — центральный угол SOD — больше развернутого угла.

Любые две различные точки А и В окружности служат концами двух дуг. Для различия этих дуг на каждой из них отмечается некоторая промежуточная точка. Например, если на дугах отмечены точки F и Т, то в этом случае дуги обозначаются Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и данная запись читается так: «дуга АТВ и дуга AFB» (рис. 19, а). Если понятно, о какой из двух дуг идет речь, употребляется также обозначение Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Дуга АВ окружности называется полуокружностью, если ее концы служат концами диаметра этой окружности.

Например, на рисунке 19, б изображены полуокружности ALB и АС В.

Пусть точки А и Б не являются концами диаметра окружности с центром в точке О. Тогда лучи ОА и ОБ служат сторонами двух центральных углов, один из которых меньше, а другой больше развернутого угла (рис. 20, а).
Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Дуга АВ окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и центральный угол АОВ, внутри которого лежит эта дуга, называются соответствующими.

Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который меньше развернутого угла, то говорят, что эта дуга меньше полуокружности.

Если дуга окружности лежит внутри соответствующего ей центрального угла, который больше развернутого угла, то говорят, что дуга больше полуокружности.

Например, на рисунке 20, а изображены дуга AFB, которая меньше полуокружности, и дуга АТВ — больше полуокружности.

Для сравнения дуг окружности вводится понятие градусной меры дуги окружности.

Дадим определение градусной меры дуги окружности.

Определение. Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Градусная мера дуги АВ, как и сама дуга, обозначается Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Таким образом, если дуга АВ окружности меньше полуокружности, a Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением — соответствующий ей центральный угол, то Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (см. рис. 20, а).

Если дуга АВ является полуокружностью, то ее градусная мера равна 180° (рис. 20, б).

Градусная мера дуги АТВ, которая больше полуокружности и дополняет дугу АВ, меньшую полуокружности, до окружности, равна 360° Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, где угол АОВ соответствует дуге АВ (рис. 20, в).

Понятие градусной меры дуги позволяет определить понятие равенства дуг окружности.

Две дуги одной и той же окружности называются равными, если равны их градусные меры.

Если градусная мера дуги АВ равна 33°, то пишут Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением= 33°. Читают: «Градусная мера дуги АВ равна 33°», или кратко «Дуга АВ равна 33°».

Рассмотрим примеры. Пусть диагонали квадрата ABCD пересекаются в точке О. Окружность Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением пересекает стороны ВС и CD квадрата в точках F и L соответственно. ТогдаВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением , а градусная мера дуги FO, которая меньше полуокружности, равна 45°. Градусная мера дуги FLO, которая больше полуокружности, равна Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (рис. 21, а).

Рассмотрим еще один пример. Пусть точка О — центр окружности, отрезок АВ — хорда окружности, равная ее радиусу, а отрезок АС — диаметр окружности (рис. 21, б).
Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Тогда градусная мера дуги АВ, которая меньше полуокружности, равна 60°, так как треугольник АОВ — равносторонний, а значит, градусная мера соответствующего ей центрального угла АОВ равна 60°. Градусная мера дуги ВС, которая меньше полуокружности, равна 120°, так как градусная мера соответствующего ей центрального угла ВОС равна 120°.

Можем вычислить градусную меру дуги ВАС, которая больше полуокружности:  Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением = 240°.

Вписанные углы. Рассмотрим понятие вписанного угла

Определение. Угол называется вписанным в окружность, если он меньше развернутого угла, вершина его лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.

Например, на рисунке 22, а изображен вписанный угол TOF. Если точки А, В и С лежат на окружности, то каждый из угол ABC, ВСА, САВ является вписанным (рис. 22, б).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Пусть Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением — вписанный угол, при этом Г и В — точки пересечения его сторон с окружностью, a TF — дуга, которая лежит внутри этого вписанного угла. В этом случае говорят, что вписанный угол TOF опирается на дугу TF (см. рис. 22, а).

Например, на рисунке 22, в изображены вписанные углы ВАС, ВОС и BFC, которые опираются на одну и ту же дугу ВС.

Теперь докажем теорему о вписанном угле.

Теорема 1(о вписанном угле). Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры, дуги, на которую он опирается.

Доказательство.

Пусть вписанный в окружностьВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемугол ABC опирается на дугу АС.

Докажем, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемРассмотрим три возможных случая. Центр О окружности лежит: 1) на одной из сторон угла; 2) во внутренней области угла; 3) во внешней области угла.

Первый случай. Центр О окружности лежит на одной из сторон угла ABC, например на стороне ВС (рис. 23).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

1) Дуга АС меньше полуокружности, следовательно, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) Угол АОС — внешний угол равнобедренного треугольника АОВ, значит, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

3) Так как углы при основании равнобедренного треугольника АОВ равны, то Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

4) Так как Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, тоВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Второй случай. Центр О окружности лежит во внутренней области угла.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО и дуги АС (рис. 24). Тогда по доказанному в первом случае

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Таким образом, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Третий случай. Центр О окружности лежит во внешней области угла ABC.

1) Пусть D — точка пересечения луча ВО с окружностью (рис. 25). Тогда согласно доказанному в первом случае
Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Таким образом, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Теорема доказана.

Из данной теоремы получим следующие следствия.

Следствие 1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (рис. 26, а).

Следствие 2. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность, прямой (рис. 26, б).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Рассмотрим пример. Пусть хорда АВ соединяет концы дуги AFB и равна радиусу окружности со (О, R). Тогда градусная мера каждого из вписанных углов, опирающихся на дугу AFB, равна 30° (рис. 26, в). Действительно, градусная мера центрального угла АОВ равна 60°, значит, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Каждый из указанных углов опирается на дугу AFB, следовательно, градусная мера каждого из них равнаВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Теорема 2 (об угле между хордой и касательной).

Градусная мера угла, сторонами которого служат касательная и хорда, равна половине градусной меры дуги, расположенной внутри этого угла.
 

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

Первый случай. Пусть угол FAB — острый (рис. 27, о.).

1) Проведем диаметр АС. Тогда вписанный угол СВ А опирается на полуокружность, значит, по следствию 2 он прямой, т. е. Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) Треугольник СВА — прямоугольный, следовательно, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

3) Так как диаметр АС перпендикулярен касательной FA, то Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Таким образом,Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Так как вписанный угол АСВ опирается на дугу Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Следовательно, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Второй случай. Пусть угол FAB — тупой (рис. 27, б). Проведем диаметр СА. Тогда

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

но дуга ВСА лежит внутри тупого угла FAB.

Теорема доказана.

Свойство пересекающихся хорд. Теорема о касательной и секущей

Теорема 3 (об отрезках пересекающихся хорд). Если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.
Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

1) Проведем хорды АС и BD (рис. 28, б). Рассмотрим треугольники АОСи DOB.

2) Заметим, что Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу СВ. Кроме того, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, так как они вписанные и опираются на одну и ту же дугу AD.

3) Треугольник АОС подобен треугольнику DOB по первому признаку подобия треугольников, так как Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

4) Из подобия треугольников АОС и DOB следует, что

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Значит,  Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Теорема доказана.

Пусть через точку S, лежащую вне окружности, проведена секущая, которая пересекает окружность в точках С и Б, и SC < SB.

Тогда отрезок SB называется отрезком секущей, а отрезок SC — ее внешней частью.

Теорема 4 (об отрезках секущей и касательной). Если через точку, лежащую вне круга, ограниченного окружностью, провести к этой окружности касательную и секущую, то квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей и ее внешней части.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

1) Проведем хорды АС и АВ (рис. 29, б).

2) По теореме о вписанном угле Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Кроме того, в силу теоремы 2 имеем Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Значит, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

3) Так как Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением — общий угол треугольников ASB и CSA, то эти треугольники подобны.

4) Из подобия треугольников АЗ В и CSA следует, что выполняется равенство

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Теорема доказана.

Из данной теоремы получим следствие.

Следствие. Если через точку S, лежащую вне круга, ограниченного окружностью, проведены две секущие, пересекающие окружность соответственно в точках Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Пример №8

Через точку S проведена секущая, которая проходит через центр О окружности Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением и пересекает ее в точках С и Б, SC: СВ = 1-2. Найдите длину отрезка SA касательной (рис. 30, б).

Решение:

По теореме об отрезках секущей и касательной имеем Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Так как SC : СВ = 1: 2, а СВ = 2R, то SC = R и SB = SC + СВ = 3R. ТогдаВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Отсюда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Ответ: Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Пример №9

Радиус круга равен 7,5 см. Точка Р лежит внутри круга на расстоянии 6,5 см от его центра О. Через точку Р проведена хорда АВ, длина которой равна 9 см. Вычислите длины отрезков, на которые точка Р делит хорду АВ.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Решение:

Воспользуемся теоремой об отрезках пересекающихся хорд.

1) Пусть С и D — точки пересечения прямой ОР с границей круга (рис. 31, б). Тогда CO = OD = 7,5 см.

2) По теореме об отрезках пересекающихся хорд имеем АР • РВ = СР • PD, или Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

3) Заметим, что СР = СО-РО= 7,5-6,5=1 (см). Кроме того, PD = PO + OD= 7,5 + 6,5=14 (см). Таким образом, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Отсюда найдем: РВ = 2 см или РВ = 7 см. Следовательно, РВ = 2 см и АР = 7 см или РВ = 7 см и АР = = 2 см.

Ответ: 2 см, 7 см.

Замечательные точки треугольника

Ранее мы уже отмечали следующие свойства: медианы треугольника пересекаются в одной точке', биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке', высоты треугольника, или прямые, их содержащие, пересекаются в одной точке.

Теорема о свойстве медиан треугольника была доказана в восьмом классе. Сейчас докажем теоремы о свойствах биссектрис и высот треугольника.

1. Теорема о точке пересечения биссектрис треугольника.

Предварительно докажем одно свойство биссектрисы угла.

Теорема 1 (о свойстве биссектрисы угла). Каждая точка биссектрисы угла, который меньше развернутого, равноудалена от его сторон. Каждая точка указанного угла, равноудаленная от его сторон, лежит на биссектрисе этого угла.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

I. Докажем, что каждая точка биссектрисы угла, который меньше развернутого угла, равноудалена от его сторон.

1) Пусть луч ОТ — биссектриса углаВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, а F — произвольная точка биссектрисы ОТ. Проведем перпендикуляры FC и FD к прямым ВО и АО соответственно и докажем, что FC = FD (рис. 36, а).

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники OFD и OFC. Эти треугольники равны по гипотенузе и острому углу (отрезок OF — общая гипотенуза, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением).

3) Из равенства треугольников OFD и OFC следует, что FC = FD.

Что и требовалось доказать.

II. Докажем, что если точка равноудалена от сторон угла, который меньше развернутого угла, то она лежит на его биссектрисе.

1) Пусть точка L равноудалена от сторон угла АОВ, т. е. перпендикуляры LD и LC, проведенные к сторонам угла, равны. Докажем, что луч OL — биссектриса угла АОВ (рис. 36, б).

2) Рассмотрим прямоугольные треугольники ODL и ОСЬ. Эти треугольники равны по гипотенузе и катету (отрезок OL — общая гипотенуза, LD = LC).

3) Из равенства треугольников ODL и ОСЬ следует, чтоВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, т. е. луч OL — биссектриса угла АОВ.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2 (о точке пересечения биссектрис). Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

1) Пусть отрезкиВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением— биссектрисы треугольника ABC. Докажем, что они пересекаются в одной точке (рис. 37).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Пусть О — точка пересечения биссектрис АА, и ВВ,, отрезки OF, ОТ и ОЕ — перпендикуляры, проведенные из точки О к прямым АВ, ВС и АС соответственно.

2) Так как лун АО является биссектрисой угла ВАС, то по теореме о свойстве биссектрисы утла выполняется равенство ОЕ = OF. Так как луч ВО — биссектриса угла ABC, то OF = ОТ также по теореме о свойстве биссектрисы угла. Отсюда следует, что ОЕ = ОТ.

3) Равенство ОЕ = ОТ означает, что точка О равноудалена от сторон угла АСВ. Следовательно, по теореме о свойстве биссектрисы угла получим, что точка О лежит на биссектрисе угла АСВ. Иначе говоря, биссектриса Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, проходит через точку О. Таким образом, все три биссектрисыВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением треугольника ABC пересекаются в точке О.

Теорема доказана.

2. Теорема о точке пересечения прямых, содержащих высоты треугольника. Ранее было введено понятие серединного перпендикуляра к отрезку и доказана теорема о серединном перпендикуляре: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. И обратно', если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном, перпендикуляре к этому отрезку.

Воспользуемся этими свойствами для доказательства следующей теоремы.

Теорема 3(о точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника). Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство.

Пусть Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением — серединные перпендикуляры к сторонам АВ, ВС и АС треугольника ABC соответственно (рис. 38). Докажем, что серединные перпендикуляры Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением пересекаются в одной точке.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

1) Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляровВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Тогда по теореме о серединном перпендикуляре справедливы равенства ОА = ОВ (так как прямая Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением — серединный перпендикуляр к отрезку АВ) и ОВ = ОС (так как прямая Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением — серединный перпендикуляр к отрезку ВС). Отсюда следует, что ОА = ОС.

2) Равенство ОА = ОС означает, что точка О равноудалена от вершин А и С. Значит, по теореме о серединном перпендикуляре точка О лежит на серединном перпендикуляре к стороне АС. Таким образом, все три серединных перпендикуляра Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемпересекаются в одной точке.

Теорема доказана.

Воспользуемся теоремой 3 для доказательства свойства высот треугольника.

Теорема 4 (о точке пересечения прямых, на которых лежат высоты треугольника). Прямые, на которых лежат высоты треугольника, пересекаются в одной точке.
Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

1) Пусть отрезки Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением— высоты произвольного треугольника ABC (рис. 39). Докажем, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются в одной точке.

2) Проведем через вершины А, В и С прямые, параллельные сторонам ВС, АС и АВ соответственно. Пусть Т, F и D — точки их пересечения.

3) Докажем, что точки А, В и С являются соответственно серединами сторон TD, TF и FD треугольника TFD. Например, докажем, что точка С — середина стороны DF. Так как четырехугольник ABCD — параллелограмм, то АВ = DC. Так как AJBFC — параллелограмм, то АВ = CF. Таким образом, DC = CF.

4) Аналогично доказывается, что AT=AD и ТВ = BF. По условиюВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, а по построению TD || ВС, следовательно, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. АналогичноВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Значит, прямые Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника TFD. Следовательно, они пересекаются в одной точке.

Теорема доказана.

Точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис и точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называются замечательными точками треугольника.

Заметим, что если треугольник остроугольный, то пересекаются в одной точке сами его высоты, а если треугольник тупоугольный, то пересекаются в одной точке прямые, содержащие высоты.

Вписанные и описанные треугольники

1. Окружность, вписанная в треугольник. Рассмотрим понятие окружности, вписанной в треугольник.

Определение. Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех сторон треугольника. В этом случае треугольник называется описанным около окружности.

Например, на рисунке 44, а изображена окружность, вписанная в треугольник ABC. Окружность, которая изображена на рисунке 44, б не является вписанной в треугольник ABC, так как она не касается стороны ВС.
Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Круг называется вписанным в треугольник, если его граница вписана в этот треугольник.

Следующая теорема дает ответ на вопрос о существовании окружности, вписанной в треугольник.

Теорема 1 (о существовании окружности, вписанной в треугольник). В любой треугольник можно вписать единственную окружность.

Доказательство.

I. Докажем, что в треугольник можно вписать окружность.

1) Пусть О — точка пересечения биссектрис произвольного треугольника ABC (рис. 45).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) Отрезки OK, ОЕ и ОТ — перпендикуляры, проведенные из точки О к сторонам АВ, ВС и АС соответственно

3) По теореме о биссектрисе угла точка О равноудалена от сторон треугольника, следовательно, OK = ОЕ = ОТ. Таким образом, окружность с центром в точке О и радиусом, равным отрезку ОК, проходит через точки К, Е и Т.

4) Стороны АВ, ВС и АС треугольника касаются этой окружности в точках К, Е и Т, так как они перпендикулярны радиусам OK, ОЕ и ОТ соответственно. Следовательно, окружность с центром в точке О и радиусом ОК является вписанной в треугольник АБС. Существование вписанной окружности доказано.

II. Докажем, что такая окружность единственная.

Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из окружностей равноудален от сторон треугольника, а следовательно, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника; ее радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Таким образом, эти окружности совпадают. Теорема доказана.

Окружность, описанная около треугольника

Рассмотрим понятие окружности, описанной около треугольника.

Определение. Окружность называется описанной около треугольника, если все его вершины лежат на этой окружности. В этом случае треугольник называется вписанным в окружность.

Например, на рисунке 46, а. изображена окружность, которая является описанной около треугольника TFE. Окружность, которая изображена на рисунке 46, б, не является описанной около треугольника АБС, так как вершина С не лежит на окружности.

Круг называется описанным около треугольника, если его граница описана около этого треугольника.
 

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Докажем теорему о существовании описанной около треугольника окружности.

Теорема 2 (о существовании окружности, описанной около треугольника). Около любого треугольника можно описать единственную окружность.

Доказательство.

I. Докажем, что около треугольника можно описать окружность.

1) Пусть О — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам произвольного треугольника ABC (рис. 47).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

2) Так как точки серединного перпендикуляра к отрезку равноудалены от его концов, то О А = О В = ОС. Таким образом, окружность с центром в точке О и радиусом, равным отрезку ОА, проходит через все вершины треугольника ABC, а значит, является описанной около этого треугольника.

II. Докажем, что такая окружность единственная.

Предположим, что около треугольника можно описать еще одну окружность. Тогда ее центр равноудален от вершин треугольника, а следовательно, совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника; ее радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Таким образом, окружности совпадают. Теорема доказана.

Пример №10

Докажите, что радиус г вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти по формуле г=р-с, где р — полупериметр прямоугольного треугольника, с — длина его гипотенузы.

Доказательство.

1) Пусть К, Т, F — точки касания вписанной окружности соответственно со сторонами АС, АВ и ВС треугольника ABC, точка О — центр этой окружности (рис. 48, а, б).

Четырехугольник CKOF — квадрат Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением,Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением значит, CF = CK = OK = OF = г.

2) Отрезки касательных, проведенные из одной точки, равны, следовательно, АТ = АК =АС -г и ВТ = BF = ВС - г.

3) Так как АТ + ВТ = с, то (АС - г) + (ВС - г) = с. Таким

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Что и требовалось доказать.

Пример №11

Докажите, что для произвольного треугольника ABC выполняется равенство Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемстороны, лежащей против угла A, R окружности.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

Пусть около треугольника ABC описана окружность. Проведем диаметр BF этой окружности. Возможны три случая.

Первый случай. Углы А и F опираются на одну дугу (рис. 49, а). Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. В прямоугольном треугольнике Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Второй случай. Углы А и F опираются на дуги, дополняющие друг друга до окружности, т. е. Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением(рис. 49, б). Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. В прямоугольном треугольнике Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Но так какВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением то в этом случае также Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Третий случай. Если треугольник ВАС прямоугольный с прямым углом при вершине А, то формула верна, так как в этом случае sinA= 1 и сторона, лежащая против угла А, является диаметром окружности, т. е. а = 2R.

Что и требовалось доказать.

Окружность, вписанная в четырехугольник

Определим понятие окружности, вписанной в четырехугольник.

Определение. Окружность называется вписанной в четырехугольник, если она касается всех сторон четырехугольника. В этом случае четырехугольник называется описанным около окружности.

Например, на рисунке 53, а изображены квадрат AJ3CD и вписанная в него окружность. Окружность, изображенная на рисунке 53, б, не является вписанной в четырехугольник AFDC, так как она не касается его стороны DC.

Заметим, что не в любой четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник, не являющийся квадратом, нельзя вписать окружность. Существует окружность, которая касается трех сторон такого прямоугольника, и не существует окружности, касающейся всех его четырех сторон (рис. 53, в).

Круг называется вписанным, в четырехугольник, если его граница вписана в четырехугольник.
 

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Следующая теорема характеризует свойство четырехугольника, в который можно вписать окружность.

Теорема 1(о свойстве четырехугольника, в который можно вписать окружность). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противолежащих сторон равны.

Доказательство.

1) Пусть в четырехугольник ABCD вписана окружность, которая касается его сторон в точках F, О, Т  и Е (рис. 54).

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Докажем, что АВ + CD = ВС +AD.

2) Так как отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны, то AF = АЕ = a, BF = ВО = b,

СО = СТ = m, DT = DE = с.

3) Таким образом, АВ+CD=(AF+FB)+

+ (СТ + DT) = a + b + c + m и ВС + AD = (ВО + ОС) + (АЕ + ED) = = а + b + с + т. Отсюда следует, что АВ + CD = ВС + AD.

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение, которое отвечает на вопрос, при каком условии в четырехугольник можно вписать окружность.

Теорема 2 (условие, при котором в четырехугольник можно вписать окружность). Если в выпуклом четырехугольнике суммы длин противолежащих сторон равны, то в этот четырехугольник можно вписать окружность.
 

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

1) Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, в котором АВ + CD = ВС + AD. Докажем, что в этот четырехугольник можно вписать окружность.

2) Рассмотрим окружность, которая касается трех сторон: АВ, ВС и AD. Центр О этой окружности есть точка пересечения биссектрис углов СВА и BAD (рис. 55, а).

3) Докажем, что эта окружность вписана в четырехугольник, т. е. что она касается также и стороны CD. Предположим,
 

что это не так. Тогда либо сторона CD не пересекает окружность, либо является секущей.

4) Пусть сторона CD не пересекает окружность (рис. 55, б). Проведем касательную DF, где F е ВС. Так как ABFD — описанный четырехугольник, то верно равенство АВ + DF = = AD + BF. Кроме того, по условию АВ + CD = BF + FC + AD. Отсюда следует, что АВ + CD =АВ + DF + FC или CD = DF + FC, что невозможно, так как в треугольнике DFC длина стороны CD должна быть меньше суммы длин двух других сторон. Аналогично приводит к противоречию и предположение о том, что сторона CD является секущей.

5) Таким образом, предположение о том, что сторона CD не касается рассматриваемой окружности, неверно. Следовательно, сторона CD касается этой окружности, и, значит, окружность вписана в четырехугольник ABCD. Теорема доказана.

Окружность, описанная около четырехугольника

Определим понятие окружности, описанной около четырехугольника.

Определение. Окружность называется описанной около четырехугольника, если все его вершины лежат на окружности. В этом случае четырехугольник называется вписанным в окружность.

Круг называется описанным около четырехугольника, если его граница описана около четырехугольника.

Теперь рассмотрим свойство четырехугольника, вписанного в окружность.

Теорема 3 (о свойстве четырехугольника, вписанного в окружность). Если около четырехугольника описана окружность, то суммы градусных мер его противолежащих углов равны 180°.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Так как сумма градусных мер углов четырехугольника ABCD равна 360° и Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Теорема доказана.

Справедливо и обратное утверждение, которое характеризует условие, при котором около четырехугольника можно описать окружность.

Теорема 4 (условие, при котором, около четырехугольника можно описать окружность). Если в четырехугольнике суммы градусных мер противолежащих углов равны 180°, то около такого четырехугольника можно описать окружность.
 

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Доказательство.

1) Пусть в четырехугольнике ABCD выполняется равенство Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Докажем, что около четырехугольника ABCD можно описать окружность (рис. 57, а).

2) Рассмотрим окружность, описанную около треугольника ABD, и докажем, что эта окружность проходит также через вершину С. Предположим, что окружность не проходит через вершину С. Тогда либо вершина С лежит вне круга, границей которого служит рассматриваемая окружность, либо внутри этого круга.

3) Пусть вершина С лежит вне круга (рис. 57, б). Обозначим буквами F и О точки пересечения сторон ВС и DC с окружностью. Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемСледовательно,Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемТак как угол А является вписанным, то Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Это противоречит условию, значит, наше предположение неверно, т. е. окружность проходит через вершину С. Аналогично можно доказать, что вершина С не может лежать внутри круга. Теорема доказана.

Из доказанной теоремы следует, что около любого прямоугольника можно описать окружность.

Рассмотрим некоторые задачи, при решении которых используются доказанные теоремы.

Пример №12

Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD, длина ее боковой стороны равна 10 см, а градусная мера одного из ее углов равна 60°. Вычислите площадь трапеции.


Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Решение:

Для нахождения площади трапеции воспользуемся формулой Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением, где а и b — длины ее оснований, h — высота.

1) Пусть отрезок BF — высота трапеции. Тогда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением(рис. 58, б).

2) Так как в трапецию ABCD вписана окружность, то ВС + AD = АВ + CD. Но так как трапеция равнобедренная, то ВС + AD = 2АВ = 20 см.

3) В прямоугольном треугольнике AFB длина катетаВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (см). Теперь вычислим площадь трапеции Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Пример №13

Основанием прямоугольного параллелепипеда Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением является квадрат. Вычислите площадь боковой грани параллелепипеда, если диаметр окружности, описанной около основания параллелепипеда, равен Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемсм, а боковое ребро в два раза больше стороны основания.

Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Решение:

Каждая грань прямоугольного параллелепипеда является прямоугольником. Так как основания параллелепипеда — квадраты, то боковые грани — равные прямоугольники. Площадь прямоугольника равна произведению длин его сторон, следовательно, достаточно вычислить, например, длины отрезковВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением тогда площадь грани Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (рис. 59, а).

1) Диагональ квадрата, вписанного в окружность, равна диаметру окружности, значит, Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением (рис. 59, б).

2) В равнобедренном прямоугольном треугольнике ADC имеем Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением. Значит, DC = 3 см.

3) По условию боковое ребро параллелепипеда в два раза больше стороны основания. Значит,Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

4) Теперь вычислим площадь боковой грани Вписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решениемВписанные и описанные многоугольники - формулы, свойства и примеры с решением

Ответ: 18 см2.