Автор Анна Евкова
Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Конусом называется тело, полученное вращением прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов (рис. 126).

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

На рисунке 127 показано образование конуса при вращении прямоугольного треугольника Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами вокруг прямой Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, которой принадлежит катет Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. При этом ломаная Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами описывает поверхность конуса, гипотенуза Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерамибоковую поверхность, а катет Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерамиоснование конуса (рис. 128). Саму гипотенузу Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами называют образующей конуса, неподвижную точку Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерамивершиной конуса, прямую, проходящую через неподвижный катет Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, — осью конуса, а перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на основание, — высотой конуса (рис. 129). Основание высоты конуса совпадает с центром основания конуса.

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Поверхность конуса можно развернуть на плоскость, в результате получится сектор, представляющий боковую поверхность конуса, и круг, представляющий основание конуса. На рисунке 130 представлены конус и его развертка.

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теорема 5.

Боковая поверхность конуса равна произведению полуокружности его основания и образующей:

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство проведите самостоятельно, используя рисунок 130.

Важной пространственной конфигурацией, которая часто встречается в задачах, является сочетание конуса с плоскостью.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной основанию, то получится круг (рис. 131), а если плоскостью, проходящей через вершину, то — равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса (рис. 132).

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Осевое сечение конуса, т. е. сечение плоскостью, проходящей через ось конуса, является равнобедренным треугольником, у которого основание равно диаметру основания конуса (рис. 133).

Проведем через вершину конуса секущую плоскость и будем ее поворачивать вокруг прямой, перпендикулярной оси конуса (рис. 134). При этом основание треугольника-сечения будет укорачиваться, а его боковые стороны сближаться до того момента, пока не совпадут. Получим плоскость, целиком содержащую образующую и не имеющую с конусом других общих точек. Такая плоскость называется касательной плоскостью конуса.

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теорема 6.

Если плоскость касается конуса по некоторой образующей, то ей перпендикулярна плоскость, проходящая через эту образующую и ось конуса.

Доказательство:

Пусть плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами касается конуса с осью Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами по образующей Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 135). Докажем, что плоскость, содержащая эту образующую и ось Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, перпендикулярна плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Проведем прямую Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, которая перпендикулярна образующей Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, пересекает ось конуса в точке Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, отличной от вершины Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Через точку Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами проведем плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, перпендикулярную оси Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, она пересечет конус по кругу с центром Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — по прямой Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, касающейся окружности с центром Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Эта касательная по свойству касательной к окружности перпендикулярна радиусу Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами соответствующей окружности. Но этот радиус является проекцией наклонной Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами на плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, поэтому по теореме о трех перпендикулярах прямая Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикулярна наклонной Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, т. е. прямой Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Таким образом, прямая Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикулярна прямым Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, которые пересекаются и лежат в плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, поэтому по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикулярна плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Значит, плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, содержащая прямую Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, перпендикулярна плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Теорема 6 выражает свойство касательной плоскости конуса.

Теорема 7.

Плоскость касается конуса, если она проходит через его образующую и перпендикулярна плоскости, проходящей через эту образующую и ось конуса.

Доказательство:

Пусть плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами проходит через образующую Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами конуса с осью Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и перпендикулярна плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 136). Докажем, что плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами касается конуса, т. е. что точки образующей Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, и только они, являются общими точками конуса и плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Точки образующей Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами принадлежат и конусу, и плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Пусть Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — какая-либо точка плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами вне образующей Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Через эту точку проведем плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, перпендикулярную оси Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, она пересекает поверхность конуса по окружности Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами с центром Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, образующую Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — в некоторой точке Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и плоскость Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — по прямой Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Пусть Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — прямая, которая перпендикулярна плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и пересекает ось Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами в точке Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Тогда по теореме о трех перпендикулярах прямая Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, проведенная в плоскости Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами через основание наклонной Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами перпендикулярно к ней, перпендикулярна ее проекции Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Значит, Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — касательная к окружности Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, и поэтому точка Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами находится вне окружности Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, а значит, и вне конуса.

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теорема 7 выражает признак касательной плоскости конуса.

Пусть есть конус с вершиной Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 137). Впишем в основание конуса многоугольник Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и через его вершины Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами проведем образующие Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. В результате получим тело Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, являющееся пирамидой. Ее называют пирамидой, вписанной в конус, а сам конус — конусом, описанным около пирамиды.

Если основание конуса вписано в основание пирамиды, а боковая поверхность конуса касается боковых граней пирамиды, то говорят, что пирамида описана около конуса, или конус вписан в пирамиду (рис. 138).

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теорема 8.

Объем конуса равен третьей доле произведения площади Рис. 139 т его основания и высоты:

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Доказательство:

Пусть есть конус с осью Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 139). В него впишем правильную пирамиду Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, а около него опишем правильную пи-рамиду Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. В соответствии с теоремой 4 объем первой пирамиды равен третьей доле произведения площади многоугольника Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и высоты Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами пирамиды, т. е. высоты конуса, а объем второй — произведению площади многоугольника Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и той же высоты. Объем самого конуса заключен между этими числами.

Будем увеличивать количество Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами сторон оснований пирамид. Тогда объем первой пирамиды будет увеличиваться, объем второй — уменьшаться, причем их разность стремится к нулю, если значение переменной Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами неограниченно увеличивается. То число, к которому приближаются объемы обеих пирамид, принимается за объем конуса.

В описанном процессе высота Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами пирамиды не изменяется, а площади обоих многоугольников — Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — стремятся к площади Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами круга, являющегося основанием конуса. Значит, объем Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами конуса равен третьей доле произведения площади Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами основания конуса и его высоты Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами:

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Теорема 9.

Если конус пересечь плоскостью, параллельной его основанию, то:

  • а) образующая и высота разделяются на пропорциональные части;
  • б) площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Используя рисунок 140, докажите эту теорему самостоятельно.

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Секущая плоскость, параллельная основанию конуса, разделяет его на две части (рис. 141). Одна из этих частей также является конусом, а другая — телом, которое называется усеченным конусом.

Основание данного конуса и круг, полученный в сечении, называют основаниями усеченного конуса, а отрезок образующей данного конуса, заключенный между его основанием и секущей плоскостью, — образующей усеченного конуса (рис. 142). Высотой усеченного конуса называется перпендикуляр, проведенный из какой-либо точки одного его основания к плоскости другого основания.

Усеченный конус можно получить вращением прямоугольной трапеции вокруг боковой стороны, к которой прилежат прямые углы (рис. 143).

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Пример:

Найдем боковую поверхность усеченного конуса. Пусть есть усеченный конус, у которого радиусы оснований Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равны Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами соответственно, а образующая Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами равна Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами (рис. 144).

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Достроим его до полного конуса. Достроенная часть представляет собой конус, у которого радиус основания равен Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами. Пусть образующая Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами достроенного конуса равна Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами.

Боковую поверхность Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами усеченного конуса можно получить как разность боковых поверхностей Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами полного и достроенного конусов. Пусть Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами — длины окружностей нижнего и верхнего оснований усеченного конуса.

Тогда:

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Найдем Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами, учитывая подобие треугольников Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами:

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Значит,

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами

Таким образом, боковая поверхность усеченного конуса равна произведению полусуммы длин окружностей его оснований и образующей.

Пример:

Используя рисунок 144, можно, как и для усеченной пирамиды (см. параграф 9), доказать, что объем Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами усеченного конуса равен третьей доле произведения высоты Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами конуса и суммы площадей Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами и Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами оснований конуса и их среднего геометрического Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами:

Конус в геометрии - элементы, формулы, свойства с примерами